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Université Badji Mokhtar
Annaba
Badji Mokhtar University -
Annaba
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
THESE
Présentée en vue de l’obtention du diplôme de
Doctorat en Mathématiques
Option : Mathématiques Appliquées
Sur la stabilité et les dynamiques diffusives
dans des domaines non bornés
Par:
NISSE Khadidja
Sous la direction de
NISSE Lamine MC(A)
Devant le jury
PRESIDENT :
LASKRI Yamina
Prof.
UBM-Annaba
EXAMINATEUR :
CHORFI Lahcen
Prof.
UBM-Annaba
EXAMINATEUR :
BENZINE Rachid
Prof.
EPST Annaba
EXAMINATEUR :
BOUSSETILA Nadjib MC(A)
U. Guelma
EXAMINATEUR :
NOUAR Ahmed
MC(A)
U. Skikda
TABLE DES MATI`
ERES
Introduction . . . 7
0.1 Position du probl`eme . . . 9
0.2 Plan de la th`ese . . . 11
1. Pr´eliminaires et rappels d’analyse fonctionnelle . . . 13
1.1 Rappels sur la th´eorie des op´erateurs . . . 13
1.1.1 Notations et d´efinitions . . . 14
1.1.2 Op´erateurs sym´etriques, et op´erateurs auto-adjoints . . . 15
1.2 Op´erateurs de Fredholm . . . 16
1.3 Bases orthonormales et analyse de Fourier . . . 18
2. Formulation op´erationnelle du probl`eme . . . 21
2.1 Stabilit´e lin´eaire : param`etres critiques . . . 21
Table des mati`eres 8
2.2.1 Notations et reformulation . . . 24
2.3 Forme op´erationnelle du probl`eme . . . 28
2.3.1 D´efinition de l’op´erateur lin´eaire Lα,s,r . . . 28
2.3.2 D´efinition de l’op´erateur non lin´eaire Nα,s,r . . . 28
2.4 Cadre fonctionnel . . . 30
2.4.1 Notations et d´efinitions . . . 30
2.4.2 Le cadre abstrait de l’op´erateur Lα,s,r . . . 31
2.5 Propri´et´es de l’espace H1 per(Ω) . . . 32
2.6 Etude de l’op´erateur ∆sr . . . 39
2.7 Le caract`ere Fredholm de l’op´erateur Lα,s,r . . . 44
2.7.1 Le noyau de Lαc,sc,rc . . . 44
2.7.2 R´egularit´e de l’op´erateur non lin´eaire Nα,s,r . . . 47
3. R´eduction du probl`eme stationnaire . . . 48
3.1 D´escription de la m´ethode de r´eduction de Lyapunov-Schmidt . 49 3.2 Application de la m´ethode de r´eduction . . . 52
3.2.1 Le principe de r´eduction . . . 53
3.2.2 L’´equation r´eduite . . . 55
Table des mati`eres 9
4.1 Action et effets des sym´etries . . . 58
4.1.1 La r´eduction de Liapunov-Schmidt avec sym´etrie . . . . 59
4.1.2 Les sym´etries du probl`eme . . . 63
4.1.3 Action des sym´etries sur l’´equation r´eduite . . . 65
4.1.4 Cons´equenses sur l’´equation r´eduite . . . 73
4.2 Calcul de la fonction de r´eduction f . . . 75
4.2.1 Forme g´en´erale de f et U . . . 75
4.2.2 Proc´edure du calcul des premiers termes . . . 76
4.2.3 Calcul des premiers termes du d´eveloppement de f . . . 79
4.2.4 R´esultats et cons´equences des calculs . . . 83
Conclusion g´en´erale . . . 84
5. Annexe . . . 86
A Premiers termes dans le d´eveloppement des op´erateurs . . . 86
B Outils et proc´edure de calcul . . . 88
B.1 Identification du terme en ρ13S . . . 89
B.2 Identification du terme en ρ13SR . . . 91
