I. Langage des ensembles 1°) Intersection
L’intersection de deux ensembles A et B est noté AB (lire « A inter B ») c’est l’ensemble des éléments qui sont dans A et dans B :
1 On considère un jeu de 32 cartes. Soient A l’ensemble des carters rouges et B l’ensemble des dames. ABest l’ensemble des dames rouges.
2°) Réunion
La réunion de deux ensembles A et B est noté AB (lire « A union B ») c’est l’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B :
1 Soient C l’ensemble des rois et D l’ensemble des piques.ABest l’ensemble des piques et des rois.
II. Langage des évènements 1°) Expérience aléatoire.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne connait pas le résultat à priori, il est précisé son déroulement.
1 On choisi une carte au hasard dans le jeu de cartes précédent.
2°) Univers
Probabilités
Mme LE DUFF 1 technologique STAV 2 On lance un dé, puis on note le numéro apparu sur la face supérieure.
1;2;3;4;5;6
3°) Evènement
Un évènement est une partie de l’univers.
2 Soit A l’évènement : « obtenir un multiple de 3 »
4°) Evènement contraire
L’évènement contraire de A, noté A est la partie constituée de toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A.
2 Card( )=4
Soit B l’évènement : « obtenir un chiffre pair » :
III. Probabilité sur un ensemble fini 1°) Evènements élémentaires
Pour modéliser l’expérience, on attribue à chacun des évènements élémentaires
e un nombre positif, i noté , qui est par définition sa probabilité, de sorte que :1 ) ( ... ) (e1 p en p et 0 p(ei)1
On lance un dé à 6 faces truqué de la façon suivante :
Num face 1 2 3 4 5 6 Total
p(face) 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 ? ? Total = 1 donc 1 1 10 5 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1 ) 6 ( p . 2°) Cas général
La probabilité d’un évènement A, noté p(A), est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui composent A.
1 ) (
p et .
Pour tout évènement A : 0 p(A)1
1 On reprend l’exemple du dé truqué. La probabilité de l’événement A : « Obtenir un chiffre pair »est alors :
10 7 2 1 10 1 10 1 ) 6 ( ) 4 ( ) 2 ( ) (A p p p p
IV. Probabilité uniforme
Lorsque les n évènements élémentaires ont tous la même probabilité, qui est alors égale à . On dit qu’ils sont équiprobables.
Mme LE DUFF 1 technologique STAV
Expérience
Univers
Condition de l’équiprobabilité
sur cet univers
Probabilités de chacun des évènements élémentaires Lancer d’un dé parfait ou non truqué. Parfait Non truqué Lancer d’une pièce
équilibrée Equilibrée 1/2
Tirage au hasard d’une boule dans une urne contenant
10 boules numérotées de 1 à 10 indiscernables au toucher L’univers est l’ensemble des boules Au hasard Indiscernables au toucher 1/10
3 Une urne contient 10 boules noires numérotées de 1 à 10, 5 boules bleues numérotées de 1 à 5 et 3 boules vertes numérotées de 1 à 3. On tire une boule au hasard dans l’urne, on note sa couleur et son numéro.
Soient les évènements :
A : « La boule tirée est bleue ». B : « la boule porte le numéro 5 ».
a) Quel est l’univers ? L’univers est l’ensemble des 18 boules de l’urne. b) Quel mot justifie la probabilité uniforme sur cet univers ? « Hasard ». c) Calculer p( A)etp(B). 18 5 ) (A p et 9 1 18 2 ) (B p
V. Règles de calcul
1°) Probabilité de l’évènement contraire Pour tout évènement A, p(A)1p(A)
5 On pioche au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Soient les évènements :
N : « la carte tirée est noire ». DécrireNet calculer p(N).
N : « la carte tirée est rouge.
2 1 32 16 1 ) (N p 2°) Union
Quels que soient les évènements A et B :
B A p B p A p B A p( ) ( ) ( ) (
5 On pioche au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Soient les évènements :
C : « la carte est un cœur ». F : « la cartes est une figure ».
N : « la carte tirée est rouge ». a. Calculer p(C). 4 1 32 8 ) (C p b. Calculer p(F). 8 3 32 12 ) (F p c. DécrireCF. F
C : « la carte est une figure de cœur. d. Calculer p(CF).
3 ) (CF p
