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Identité de Bézout 4ème Mathématiques
Exercice 1
1) On considère dans ℤ × ℤ, l’équation : 4 − 5 = 1.
a) Vérifier que −1 , −1 est une solution de . b) Résoudre dans ℤ × ℤ, l’équation .
2) Soit , et trois entiers naturels tels que : = 4 + 3 et = 3 + 1, on pose = ˄ .
a) Déterminer les valeurs possible de .
b) Montrer que = 5 si et seulement si, ≡ 3 5 .
3) a) Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel , les restes modulo 5 de 2 . b) Montrer que ∀ ∈ ℕ, on a : 2 + 3 ≡ 3 1 + 2 5
c) Déterminer le plus petit entier naturel ≥ 2013 tels que : # ˄ = 5 2 + 3 ≡ 0 5 $ . Exercice 2
1) Soit , dans ℤ × ℤ , lʹéquation : 4312 − 1755 = 1 a) Prouver que admet au moins une solution dans ℤ.
b) Déterminer une solution particulière de . Résoudre , dans ℤ, l’équation . 2) a) Déterminer , suivant les valeurs de , les restes modulo 10 de 7
b) En déduire le chiffre des unités de 2007&'(( . 3) Soit ,dans ℤ × ℤ , lʹéquation ) : 5x − 7y = 2016 ∶.
a) Montrer que pour tout couple , solution de ) , est divisible par 7. b) En déduire l’ensemble des solutions de ) .
Exercice 3
1) Soit dans ℤ × ℤ l’équation : : 3 − 8 = 5.
Montrer que les solutions de sont les couples , tels que : = 8/ − 1 et = 3/ − 1 avec / ∈ ℤ. 2) a) Soit , et trois entiers tels que : # = 3 + 2= 8 + 7$ montrer que , est une solution de . b) On considère le système 0: # ≡ 2 3
≡ 7 8 $ où est un entier. Montrer que est une solution de 0 si et seulement si ≡ 23 24 .
3) a) Soit / un entier naturel. Déterminer le reste de 2&1 modulo 3 et le reste de 7&1 modulo 8.
b) Vérifier que 1991 est une solution de 0 et montrer que l’entier 1991&''3− 1 est divisible par 24. Exercice 4
1) On considère dans ℤ&, l’équation ( : 11 + 8 = 79.
a) Montrer que si , est solution de ( alors ≡ 3 11 .
b) Résoudre l’équation ( .
2) Soit dans ℤ&, l’équation & : 3 + 114 = 372.
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b) Résoudre l’équation & .
3) Résoudre dans ℤ&, l’équation 5 : 3 − 84 = −24.
4) Le prix totale de 41 pièces détachées, réparties en trois lots, est de 480 dinars Le prix d’une pièce du premier lot est de 48 dinars
Le prix d’une pièce du deuxième lot est de 36 dinars Le prix d’une pièce du troisième lot est de 4 dinars Déterminer le nombre de pièces de chaque lot. Exercice 5
1) On considère l’équation : 8 + 5 = 1 ; où , ∈ 6&.
a) Donner une solution particulière de . b) Résoudre dans 6& l’équation .
2) Soit un entier naturel tel qu’il existe deux entiers naturels et vérifiant : = 8 + 1 et = 5 + 2
a) Montrer que , − est une solution de . b) En déduire le reste modulo 40 de .
3) a) Résoudre dans 6& l’équation 8 + 5 = 100.
b) Un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge; les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
Exercice 6
1) a) Quel est le reste de la division euclidienne de 6(' par 11 b) Quel est le reste de la division euclidienne de 67 par 5
c) En déduire que 67'− 1 ≡ 0 11 et 67'− 1 ≡ 0 5 d) En déduire que 67'− 1 est divisible par 55
2) Dans cette question et désignent des entiers relatifs.
a) Montrer que l’équation ∶ 65 – 40 = 1 n’a pas de solution dans ℤ&
b) Montrer que l’équation ) ∶ 17 – 40 = 1 admet au moins une solution dans ℤ& c) Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution de ) . d) Résoudre ) .
Prouver qu’il existe un unique entier naturel ' inférieur à 40 tel que 17 ' ≡ 1 40 , trouver cet entier 3) Pour tout entier naturel , démontrer que si : (9 ≡ 55 et 7'≡ 1 55
alors 55≡ 55
Exercice 7
1) Démontrer les propositions suivantes : a) 257' ≡ 1 11
b) Pour tout entier naturel ; 9 divise 75 − 1.
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2) a) Donner suivant les valeurs de les restes de la division euclidienne de 2 par 7. b) En déduire que si est un multiple de 3 alors 2 :&+ 2 :(+ 1 est divisible par 7. Exercice 8
Soit un entier naturel supérieur ou égale à 2.
1) a) Montrer que et 2 + 1 sont premier entre eux.
b) En déduire que : si est un diviseur de 2 + 1 alors et sont premier entre eux. 2) On pose ; = + 3 ; < = 2 + 1 et ( = ; ˄ <.
a) Calculer 2; − <, en déduire les valeurs possibles de (.
b) Démontrer que ; et < sont multiples de 5 ssi − 2 est un multiple de 5. 3) On considère les entiers naturels et définies par :
= 5 + 2 &− 3 et = 2 &− − 1 Factoriser et , en déduire que et sont divisibles par − 1 .
4) On pose & = + 3 ˄ 2 + 1 et = = ˄
a) Montrer que ( = & (on pourra montrer que ( divise & et & divise (). b) En déduire = en fonction de ( et .
c) Application : Déterminer = pour = 2002. Déterminer = pour = 2010. Exercice 9
1) On considère l’équation 1 d’inconnue , élément de ℤ& tel que : 11 − 24 = 1
a) Justifier que cette équation admet au moins une solution.
b) En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de l’équation 1 .En déduire l’ensemble des solutions de l’équation 1 .
2) Justifier que 9 divise 10((− 1 et 10&7− 1.
3) Soit , un couple quelconque d’entiers naturels solutions de 1 .
a) Montrer que : 10(( − 1 − 10 10&7>− 1 = 9
b) Montrer pour tout réel non nul et tout entier naturel / on a :
1− 1 = − 1 1?(+ 1?&+ ⋯ + 1
c) Montrer que : 10((− 1 divise 10(( − 1.
En déduire que tout diviseur commun à 10&7− 1 et 10((− 1 divise 9. 4) Déterminer des questions précédentes le ABCD de 10&7− 1 et 10((− 1.
5) a) Montrer que 10(&≡ 1 13 et en déduire que 10&7− 1 est divisible par 13. b) Montrer que 10E ≡ 1 7 et en déduire que 10&7− 1 est divisible par 7. c) Montrer que 10&7− 1 est divisible par 3.
6) En déduire de ce qui précède que 10&7− 1 est divisible par 273. Exercice 10
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points respectivement de l’axe F , GH et de l’axe F , IH tel que le triangle JKC est rectangle en J on note l’abscisse de K et l’ordonnée de C.
1) Montrer que le couple , est solution de l’équation : 2 + 3 = 26.
2) On se propose de déterminer les points K et C dont les coordonnées sont entières.
a) Vérifier que les coordonnées de J vérifient l’équation . b) Résoudre dans ℤ × ℤ, l’équation .
3) a) Déterminer les cordonnées de K et C, telles que : 5 ≤ ≤ 15 et −5 ≤ ≤ 5.
b) Faire une figure, on affectera aux points K et C les valeurs de / trouvées. Exercice 11
On considère dans ℤ × ℤ, l’équation ∶ 2 + 5 = 6
1) a) Vérifier que 3 , 0 est solution de .
b) Résoudre dans ℤ × ℤ, l’équation .
2) Soit , une solution de .
a) Quelles sont les valeurs possibles de ˄ ?
b) Déterminer les couples , , solutions de , tel que ˄ = 3. Exercice 12
Pour tout de ℕ∗, on pose 0 = 1 + 31 + 31&+ ⋯ + 31 ?(. 1) a) Montrer que : 0&'(5− 31 × 0&'(&= 1.
b) En déduire que 31 et 0&'(5 sont premiers entre eux.
2) Montrer que Pour tout de ℕ∗ on a : 30 × 0 = 31 − 1.
3) a) Montrer que 31&'(5≡ 1 0&'(5 .
b) Résoudre dans ℤ la congruence : 31 ≡ 1 0&'(5
4) Par la suite on admet que 2011 est premier.
a) Montrer que si est premier et ≥ 7 alors divise 0 − 1. b) Déterminer le reste modulo 2011 du nombre 0&'(5.
Exercice 13
Soit la suite N d’entiers naturels définie sur ℕ par : N' = 14 et ∀ ∈ ℕ, N :(= 5N − 6. 1) Calculer N(, N&, N5 et N7
2) a) Montrer que : ∀ ∈ ℕ on a : N :&≡ N 4 .
b) En déduire que : ∀/ ∈ ℕ on a : N&1 ≡ 2 4 et N&1:( ≡ 0 4 . 3) a) Montrer que : ∀ ∈ ℕ on a : 2N = 5 :&+ 3
b) En déduire que : ∀ ∈ ℕ on a : 2N ≡ 28 100 .
4) Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de N suivant les valeurs de .
