Le comportement asymptotique de l'équation de McKendrick avec immigration

(1)

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Le comportement asymptotique de l’équation de

McKendrick avec immigration

Nicolas Bacaër

To cite this version:

Nicolas Bacaër. Le comportement asymptotique de l’équation de McKendrick avec immigration. 2003,

pp.1-20. �10.1080/08898480306716�. �hal-01577654v2�

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Le comportement asymptotique de l’´equation de

McKendrick avec immigration

Nicolas Baca¨er

Mathematical Population Studies 10 (2003) 1-20

hal : 01577654

Traductions : [ar, de, es, it, ja, nl, pt, ru, zh], [html]

R´esum´e

L’objectif de cet article est de discuter de l’influence de l’immigration dans un modèle mathématique pour l’évolution de la structure par âge de la population. Dans le cas sous-critique, la structure par âge converge vers un état stationnaire. On présente un programme qui simule le modèle et qui est utilisé pour des projections pour la population de la France. On insiste aussi sur le lien avec un modèle plus complexe.

Mots clés : démographie, structure de la population, immigration, équations aux dérivées partielles, transformation de Laplace

1 Introduction

On divise une population en K sous-populations (K ≥ 1). Les variables x et t représentent l’âge et le temps. Soit Pk(x, t) la densité de la sous-population k d’âge x au temps t, et P (x, t) la fonction vectorielle (Pk(x, t))1≤k≤K. Sup-posons qu’il y ait une fonction Mk(x) ≥ 0 constante, c’est-à-dire indépendante du temps, qui représente le flux d’individus d’âge x qui entrent dans la sous-population k et proviennent d’une autre sous-population. Soit M (x) = (Mk(x))1≤k≤K. Supposons qu’il existe une fonction Bk,l(x) ≥ 0 qui représente la fertilité des individus de la sous-population l qui donnent naissance à des individus dans la sous-population k. Soit B(x) la fonction matricielle (Bk,l(x))1≤k,l≤K. Supposons que B(x) = 0 pour tout x suffisamment grand. Soit P0

k(x) la structure initiale par ˆage de la sous-population k, et posons P0_{(x) = (P}0

k(x))1≤k≤K. Supposons qu’il y ait une fonction constante dk(x) ≥ 0 qui repr´esente le taux auquel les individus de la sous-population k ≪quittent≫la population. Pour tout k 6= l,

supposons qu’il existe une fonction constante τk,l(x) ≥ 0 qui repr´esente le taux de≪transfert≫des individus de la sous-population l vers la sous-population k.

(3)

Posons

∆k,k(x) = dk(x) +X l6=k

τl,k(x), 1 ≤ k ≤ K,

∆k,l(x) = −τk,l(x), k 6= l,

et ∆(x) = (∆k,l(x))1≤k,l≤K. Alors P (x, t) est l’unique solution des équations de McKendrick ∂P ∂t + ∂P ∂x + ∆(x)P (x, t) = M (x), ∀t > 0, ∀x > 0, (1) P (0, t) = Z ∞ 0 B(x)P (x, t)dx, ∀t > 0, (2) P (x, 0) = P0(x), ∀x > 0. (3) De plus, P (x, t) ≥ 0 pour tout (x, t) ∈ [0, +∞[×[0, +∞[. Considérons la ma-trice1 ˆ G(0) = Z ∞ 0 B(x) S(0, x) dx, où ∂S

∂x(ξ, x) = −∆(x)S(ξ, x) pour x > ξ et S(ξ, ξ) = I (la matrice identité de taille K × K). Supposons que le rayon spectral ρ de ˆG(0) soit strictement inférieur à 1. Posons L = Z ∞ 0 B(x) Z x 0 S(u, x)M (u) du dx, R = (I − ˆG(0))−1L.

Alors pour tout x ≥ 0,

P (x, t) −→

t→+∞S(0, x)R + Z x

0

S(u, x)M (u) du. (4)

Autrement dit, pour tout 1 ≤ k ≤ K, la pyramide des ˆages x 7→ Pk(x, t) converge vers un ´etat stationnaire quand t → +∞.

Ces résultats sont démontrés dans la section 2. L’étude du comportement asymptotique de P (x, t) revient à celle de Φ(t), où Φ(t) est l’unique solution d’une équation intégrale de la forme

Φ(t) = F (t) + Z t

0

G(x)Φ(t − x) dx, t > 0,

où F (t) et G(x) sont donnés. Ce problème a été étudié par Lotka (1939) dans le cas d’une équation (K = 1). Pour un système d’équations (K > 1), Bellman et Cooke (1963) ont étudié le cas où R∞

0 G(x) dx est une matrice irr´eductible (au sens de la th´eorie de Perron et Frobenius des matrices positives), et Crump

1. Attention : S(0, x) n’est pas en général égal à e− Rx

(4)

(1970 et 1971) a étudié le cas réductible. Ces études se sont focalisées sur le cas où F (t) → 0 quand t → ∞. Dans notre modèle, le terme inhomogène M (x) dans les équations de McKendrick implique que F (t) a une limite non nulle quand t → ∞. Si l’on soustrait l’état stationnaire, le problème inhomogène se réduit à un problème homogène, pour lequel on peut appliquer les résultats sur l’existence et le comportement asymptotique. On propose néanmoins ci-dessous une démonstration pour obtenir le second résultat (P (x, t) ≥ 0) et parce que la démonstration est assez simple avec l’hypothèse sous-critique ρ < 1 : on n’a pas besoin de distinguer les cas réductibles et irréductibles.

Dans la section 3, on présente trois exemples qui modélisent des popula-tions humaines. Dans chaque exemple, le terme M (x) représente l’immigration et dk(x) la mortalité, qui pourrait aussi inclure le taux d’émigration. Dans le troisième exemple, τk,l(x) représente le taux de changement de nationalité pour les étrangers. La section 4 présente un programme qui simule le modèle et son application aux trois exemples, en utilisant des données de France. Dans la sec-tion 5, on fait le lien avec un modèle plus complexe étudié par Arino et Smith (1998). Le modèle plus complexe représente mieux les populations réelles. Ce-pendant, il fait intervenir des paramètres difficiles à estimer par manque de données pour les populations humaines des sections précédentes. La conclusion indique comment le modèle de base (1)-(2)-(3) pourrait s’appliquer à des popu-lations animales ; les termes des équations prennent alors un sens différent.

Pour finir, mentionnons quelques études sur la modélisation de l’immigra-tion. Barbu, Iannelli et Martcheva (2001) ont étudié la contrôlabilité de la struc-ture par âge d’une population par une immigration sélective sur l’âge. Dans le livre d’Alvarado et Creedy (1998), on trouve des modèles discrets.

2 D´

emonstration des r´

esultats

2.1 Formulation comme une ´

equation int´

egrale

Le système d’équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre se réduit à un système d’équations différentielles ordinaires linéaires du premier ordre le long des caractéristiques. Ainsi, pour x > t,

P (x, t) = S(x − t, x)P0_{(x − t) +}Z x x−t

S(u, x)M (u) du (5)

tandis que pour x < t,

P (x, t) = S(0, x)P (0, t − x) + Z x

0

S(u, x)M (u) du. (6)

Posons Φ(t) = P (0, t). Puisque Φ(t) = Z t 0 B(x)P (x, t) dx + Z ∞ t B(x)P (x, t) dx, t > 0,

(5)

il résulte des formules obtenues pour x > t et x < t que Φ(x, t) est solution d’une équation intégrale de la forme

Φ(t) = F (t) + Z t

0

G(x)Φ(t − x) dx, t > 0, (7)

o`u la matrice G(x) est d´efinie par

G(x) = B(x)S(0, x), et F (t) est le vecteur d´efini par

F (t) = Z t 0 B(x) Z x 0 S(u, x)M (u) du dx + Z ∞ t B(x)S(x − t, x)P0(x − t) dx + Z ∞ t B(x) Z x x−t S(u, x)M (u) du dx. (8)

L’équation (7) a une unique solution, comme on peut le voir avec la méthode des approximations successives (Bellman et Cooke, 1963). Donc l’équation aux dérivées partielles initiale a aussi une unique solution. Or les éléments sur la diagonale de ∆ sont positifs ou nuls et ceux en dehors de la diagonale sont négatifs ou nuls. Ceci implique que pour tout a ≤ b, S(a, b) est une matrice à coefficients positifs ou nuls (Berman et Plemmons, 1994 chap. 6 § 3.12). Donc F (t) ≥ 0 et G(x) ≥ 0 pour tout x, t ≥ 0. La méthode des approximations successives montre alors que Φ(t) ≥ 0 pour tout t ≥ 0. D’après (5) et (6), P (x, t) ≥ 0 pour tout x, t ≥ 0. Ceci démontre les deux premiers résultats.

2.2 Transformation de Laplace

Soit ξ0(Φ) le plus petit nombre r´eel tel que l’int´egrale vectorielle ˆ

Φ(z) = Z ∞

0

e−zt_{Φ(t) dt,}

c’est-à-dire la transformée de Laplace de Φ, soit absolument convergente pour tout nombre complexe z tel que Re(z) > ξ0. Définissons ξ0(F ) et ξ0(G) de la même manière. Puisque B(x) est à support compact, G(x) l’est aussi et ξ0(G) = −∞. Donc pour tout z ∈ C tel que Re(z) > max{ξ0(Φ), ξ0(F )},

ˆ

Φ(z) = ˆF (z) + ˆG(z) ˆΦ(z). Soit I la matrice identit´e de taille K × K. Alors

(I − ˆG(z)) ˆΦ(z) = ˆF (z). Soit z ∈ C tel que ξ = Re(z) > 0. Pour tout 1 ≤ k, l ≤ K,

(6)

Donc d’apr`es Horn et Johnson (1985, §8.1.18 et 8.1.19), les rayons spectraux correspondants v´erifient

ρ( ˆG(z)) ≤ ρ( ˆG(ξ)) ≤ ρ( ˆG(0)) < 1,

et I− ˆG(z) est inversible. Ainsi, pour tout z ∈ C tel que Re(z) > max{ξ0(Φ), ξ0(F ), 0}, ˆ

Φ(λ) = (I − ˆG(z))−1F (z).ˆ

Prenons la transform´ee de Laplace inverse. On obtient pour tout nombre r´eel ξ > max{ξ0(Φ), ξ0(F ), 0} et pour tout t > 0,

Φ(t) = 1 2πiη→∞lim

Z ξ+iη ξ−iη

ezt_{(I − ˆ}_G(z))−1_{F (z) dz.}_ˆ ₍₉₎

Posons X = sup{x ≥ 0; ∃k, l tels que Bk,l(x) > 0}. Notez que la formule (8) implique que pour tout t ≥ X,

F (t) = L = Z ∞ 0 B(x) Z x 0 S(u, x)M (u) du dx.

Pour tout z ∈ C tel que Re(z) > 0,

ˆ F (z) = Z X 0 e−zt_{F (t) dt +}e−zX z L .

Si L 6= 0, alors z = 0 est le pôle de ˆF avec la partie réelle la plus grande, et L est le résidu en z = 0. Ainsi z = 0 est aussi le pôle de (I − ˆG(z))−1_{F (z) avec}_ˆ la partie réelle la plus grande et R = (I − ˆG(0))−1_{L est le résidu en z = 0. La} formule des résidus appliquée à (9) donne

Φ(t) −→ t→∞R.

Ceci reste vrai si L = 0, car alors tous les pˆoles de (I − ˆG(z))−1_{F (z) sont dans}_ˆ le demi-plan gauche du plan complexe, ce qui implique que Φ(t) converge vers 0 quand t → ∞. Dans tous les cas, il r´esulte de (6) que pour tout x ≥ 0,

P (x, t) −→

t→∞S(0, x)R + Z x

0

S(u, x)M (u) du. (10)

C’est le troisi`eme r´esultat.

3 Exemples

Les exemples dans cette section sont con¸cus pour représenter des populations humaines : Mk(x) est l’immigration et dk(x) la mortalité. S’il y a de l’émigration, seul dk(x) change.

(7)

3.1 Premier exemple

La population est divis´ee entre hommes (k = 1) et femmes (k = 2). Suppo-sons que ∆ = d1 0 0 d2 , B = 0 B1,2 0 B2,2 , M = M1 M2 ,

ce qui signifie que le nombre de naissances dépend du nombre de femmes mais pas du nombre d’hommes. Pour simplifier les formules, supposons que B1,2(x) = B2,2(x) = b(x). Cette hypothèse signifie que les probabilités pour un nouveau-né d’être un gar¸con ou une fille sont égales (en pratique, c’est presque vrai).

Puisque B est une matrice triangulaire sup´erieure, ˆG(0) l’est aussi. Donc le rayon spectral est

ρ( ˆG(0)) = Z ∞

0

b(x) e−R0xd2(u) dudx.

Supposons que ρ( ˆG(0)) < 1. Le vecteur R se calcule facilement :

R1= R2= R∞ 0 b(x) Rx 0 e −Rx ud2(v) dvM2(u) du dx 1 −R∞ 0 b(x) e− Rx 0 d2(u) dudx .

P1(x, t) −→ t→∞e −Rx 0 d1(u) du_R1₊ Z x 0 e−Rx ud1(v) dvM1(u) du, P2(x, t) −→ t→∞e −Rx 0 d2(u) duR2+ Z x 0 e−Ruxd2(v) dvM2(u) du.

3.2 Deuxi`

eme exemple

La population est divisée entre les hommes nés dans le pays (k = 1), les femmes nées dans le pays (k = 2) et les immigrés de première génération, qui sont soit des hommes (k = 3), soit des femmes (k = 4). Supposons que

∆ =     d1 0 0 0 0 d2 0 0 0 0 d3 0 0 0 0 d4     , B =     0 B1,2 0 B1,4 0 B2,2 0 B2,4 0 0 0 0 0 0 0 0     , M =     0 0 M1 M2     ,

ce qui signifie que les femmes immigrées donnent naissance à des enfants du pays, avec un taux différent de celui des femmes nées dans le pays. Supposons aussi que B1,2 = B2,2 = b2 et B1,4 = B2,4 = b4. Puisque B et ˆG(0) sont des matrices triangulaires supérieures,

ρ( ˆG(0)) = Z ∞

0

(8)

Notons que ρ( ˆG(0)) ne dépend pas de b4. Dans ce modèle, un taux de fertilité élevé pour les immigrés ne peut changer une situation sous-critique (ρ( ˆG(0)) < 1) en une situation surcritique (ρ( ˆG(0)) > 1). Supposons que ρ( ˆG(0)) < 1. Le vecteur R se calcule encore facilement :

R1= R2= R∞ 0 b4(x) Rx 0 e− Rx ud4(v) dvM4(u) du dx 1 −R∞ 0 b2(x) e −Rx 0 d2(u) du_dx , R3= R4= 0.

P1(x, t) −→ t→∞e −Rx 0 d1(u) du_R1, P2(x, t) −→ t→∞e −Rx 0 d2(u) du_R2 P3(x, t) −→ t→∞ Z x 0 e−Ruxd3(v) dvM3(u) du, P4(x, t) −→ t→∞ Z x 0 e−Rx ud4(v) dvM4(u) du.

Notez que ce deuxième exemple redonne le premier exemple si d1= d3, d2= d4 et b2= b4, c’est-à-dire si les immigrés de première génération suivent immédia-tement les taux de fertilité et de mortalité locaux. En effet, P1+ P3 remplace P1 et P2+ P4 remplace P2.

3.3 Troisi`

eme exemple

La population est divis´ee en nationaux, hommes (k = 1) ou femmes (k = 2), et ´etrangers, hommes (k = 3) ou femmes (k = 4). Supposons que

∆ =     d1 0 −τ1,3 0 0 d2 0 τ2,4 0 0 d3+ τ1,3 0 0 0 0 d4+ τ2,4     , B =     0 B1,2 0 0 0 B2,2 0 0 0 0 0 B3,4 0 0 0 B4,4     , M =     0 0 M3 M4     ,

ce qui signifie que les femmes étrangères donnent naissance à des enfants étrangers, mais les étrangers peuvent changer de nationalité (ils sont transférés de la sous-population 3 ou 4 vers les sous-sous-populations 1 ou 2). Pour simplifier, supposons que d1 = d3 et d2 = d4 : la mortalité des étrangers est la même que celle des nationaux. Supposons aussi que B1,2 = B2,2= b2 et B3,4= B4,4 = b4. Alors

S(0, x) =     S1,1(0, x) 0 S1,3(0, x) 0 0 S2,2(0, x) 0 S2,4(0, x) 0 0 S3,3(0, x) 0 0 0 0 S4,4(0, x)    

(9)

avec

S1,1(y, x) = e−Ryxd1(u) du, S2,2(y, x) = e−

Rx

y d2(u) du,

S3,3(y, x) = e− Rx

y[d1(u)+τ1,3(u)] du, S4,4(y, x) = e−

Rx y[d2(u)+τ2,4(u)] du, et S1,3(y, x) = e−Ryxd1(u) du+ Z x y τ1,3(z) e−Rzxd1(u) du− Rz y[d1(u)+τ1,3(u)]dudz, S2,4(y, x) = e−Ryxd2(u) du+ Z x y τ2,4(z) e−Rzxd2(u) du− Rz y[d2(u)+τ2,4(u)]dudz. Ainsi, ˆ G(0) =     0 R∞ 0 b2(x) S2,2(x) dx 0 R∞ 0 b2(x) S2,4(x) dx 0 R∞ 0 b2(x) S2,2(x) dx 0 R∞ 0 b2(x) S2,4(x) dx 0 0 0 R∞ 0 b4(x) S4,4(x) dx 0 0 0 R∞ 0 b4(x) S4,4(x) dx    

Comme ˆG(0) est une matrice triangulaire sup´erieure, ρ( ˆG(0)) = max Z ∞ 0 b2(x) e−Rx 0d2(u) du ; Z ∞ 0 b4(x) e−Rx 0[d2(u)+τ2,4(u)] du .

Supposons ρ( ˆG(0)) < 1. Le vecteur R se calcule encore ais´ement. Posons L2= Z ∞ 0 b2(x) Z x 0 S2,4(y, x)M4(y) dy dx L4= Z ∞ 0 b4(x) Z x 0 S4,4(y, x)M4(y) dy dx. Alors L = (L2, L2, L4, L4) et R1= R2= L2+ ˆG2,4(0)L4/(1 − ˆG4,4(0)) 1 − ˆG2,2(0) , R3= R4= L4 1 − ˆG4,4(0). Enfin, pour tout x ≥ 0,

P1(x, t) −→ t→∞S1,1(0, x)R1+ S1,3(0, x)R3+ Z x 0 S1,3(u, x) M3(u) du P2(x, t) −→ t→∞S2,2(0, x)R2+ S2,4(0, x)R4+ Z x 0 S2,4(u, x) M4(u) du P3(x, t) −→ t→∞S3,3(0, x)R3+ Z x 0 S3,3(u, x) M3(u) du P4(x, t) −→ t→∞S4,4(0, x)R4+ Z x 0

S4,4(u, x) M4(u) du.

Notons que ce troisième exemple se réduit au premier exemple si τ1,3= τ1,2 = 0, c’est-à-dire si les sous-populations {1, 2} et {3, 4} ne se mélangent pas.

(10)

4 Un logiciel

Pour illustrer cette étude, on a écrit un programme qui tourne dans l’en-vironnement Scilab, un logiciel libre de calcul numérique disponible à l’adresse www-rocq.inria.fr/scilab. Le programme, nommé census.sci, se trouve

avec les fichiers qui contiennent les données pour la France `_{a l’adresse www.ann.jussieu.fr/~bacaer/Prog/Immi} Il résout le système d’équations aux dérivées partielles en utilisant la méthode

des différences finies. Fixons δt > 0 et δx > 0. La valeur de Pk(x, t) en x = i δx et t = j δt est approchée par P_ki,j. On utilise des notations similaires pour ∆k,l, Mk, Bk,l et P0 k. Alors P_ki,0= (Pk0)i, ∀i ≥ 0, P_k0,j+1= K X l=1 ∞ X i=0 Bi k,lP i,j l , ∀j ≥ 0, P_ki,j+1− P_ki,j δt + P_ki,j− P_ki−1,j δx + K X l=1 ∆ik,lP i,j l = M i k, ∀i ≥ 1, ∀j ≥ 1. Notez la différence finie progressive en temps et rétrograde en âge. Les équations sont en fait des équations d’advection, donc on doit tenir compte de la direction des caractéristiques pour avoir un schéma qui converge. La condition δt ≤ δx doit aussi être respectée. Dans le programme, on a toujours pris δx égal à une année.

4.1 Utilisation

La syntaxe est la suivante :

census(X,K,annees,gauche,droit,pfichiers,bindices,dindices,dfichiers,mindices,mfichier D´efinitions :

– X,K : entiers positifs ;

– annees : vecteur d’entiers positifs ou nuls ;

– gauche,droit : K matrices colonnes de nombres r´eels ;

– pfichiers, bfichiers, dfichiers, mfichiers : vecteurs de chaˆınes de caract`eres ;

– bindices, dindices : deux matrices colonnes d’entiers positifs ≤ K ; – mindices : vecteur d’entiers positifs ≤ K.

Signification :

– X : ˆage maximum ;

– K : nombre de sous-populations ;

– annees : temps auxquels la population sera repr´esent´ee ;

– gauche, droite : les lignes de gauche (resp. de droite) définissent les combinaisons linéaires de (P1, . . . , PK) à représenter à gauche (resp. à droite) de la figure ;

– pfichiers, bfichiers, dfichiers, mfichiers : noms de fichiers qui contiennent les donn´ees ; ces fichiers sont des vecteurs colonnes ;

(11)

– bindices, dindices : les lignes de ces matrices donnent les indices (ligne et colonne) des coefficients non nuls des matrices B et ∆, dont la valeur est donnée dans bfichiers et dfichiers ; ainsi le nombre de lignes de bindices(resp. dindices) est égal à la longueur du vecteur bfichiers (resp. dfichiers) ;

– mindices : indices des coefficients non nuls du vecteur M , dont la valeur est donn´ee dans mfichiers.

4.2 Premier exemple

Comme donnée initiale pour les populations masculines et féminines, on prend les résultats du recensement de 1999 en France. Les taux de fertilité et de mortalité sont calculés avec les données de la même année (Beaumel, Doisneau et Vatan, 2001) : voir la figure 1(a). Si le terme d’immigration est égal à 0, alors

census(99,2,[0 25 50 75 100],[1 0],[0 1],[’male.dat’

’female.dat’,[1 2;2 2],[’malebirth.dat’ ’femalebirth.dat’], [1 1; 2 2],[’maledeath.dat’, ’femaledeath.dat’],[],[])

donne la figure 1(b), o`u la population finit par tendre vers 0, mais assez lente-ment.

Incluons désormais le terme d’immigration M (x). Dinh (1994) a calculé M (x) en utilisant les résultats de deux recensements consécutifs et les données sur les naissances et les morts entre ces deux recensements. La méthode a donné des résultats raisonnables jusqu’aux années 1980. Mais entre 1990 et 1999, l’im-migration totale était du même ordre que les erreurs sur les recensements, de sorte que les calculs ne donnent pas de résultat raisonnable. Une autre méthode consiste à utiliser les données annuelles de l’Office des migrations internationales (1999), qui sont résumées dans la figure 2(a). L’immigration totale est la somme des travailleurs immigrés, des immigrés qui ont obtenu une carte de séjour, et des immigrés dans le cadre du regroupement familial. On a trouvé des données par âge pour les immigrés qui ont obtenu une carte de séjour (d’où la fonction en escalier dans la figure 2(a)), mais pas pour les adultes dans le cadre du re-groupement familial. Pour les calculs, seules les courbes extérieures de la figure 2(a) sont utiles. Alors l’instruction

census(99,2,[0255075100],[10],[01],[’male.dat’’female.dat’],[12;22],[’malebirth.dat’’fe produit la figure 2(b). La structure de la population converge lentement vers

un état stationnaire avec une population totale petite (non représentée dans la figure).

Ce type de modèle (avec K = 2) est semblable aux versions discrètes utilisées par l’INSEE (Brutel, 2001). Il est facile de critiquer ce modèle. D’un côté, on utilise des chiffres d’immigration assez faibles. D’un autre côté, on utilise les données actuelles pour calculer le taux de naissances. Actuellement, ce taux est assez élevé. C’est dû en partie au pourcentage élevé d’immigrés dans la population et au fait que les immigrés ont des taux de fertilité plus élevés que les Fran¸cais. Ceci nous conduit aux deux modèles suivants.

(12)

Figure_{1 – Sans immigration. (a) Naissances totales : x 7→ B1,2(x) + B2,2(x).} Mortalités : x 7→ d1(x) et x 7→ d2(x). (b) À gauche : P1(x, t). À droite : P2(x, t). Ligne continue : situation en 1999. Lignes en pointillé : projections après 25, 50,

(13)

Figure_{2 – Influence de l’immigration. (a) Immigration totale et ses 3} compo-santes. À gauche : x 7→ M1(x). À droite : x 7→ M2(x). (b) À gauche : P1(x, t). `

(14)

4.3 Deuxi`

eme exemple

Comme donnée initiale pour les populations masculines et féminines nées en France ou immigrées, on prend les résultats du recensement de 1999 (INSEE, 2001). On utilise le même profil d’immigration que dans le premier exemple. Pour estimer les taux de fertlité, on suppose qu’il existe un nombre ε > 0 tel que B1,4(x) = (1+ε)B1,2(x) et B2,4(x) = (1+ε)B2,2(x) pour tout x. Connaissant le nombre total d’enfants nés de mère étrangère (qui forment plus ou moins un sous-ensemble des femmes immigrées) et aussi le nombre de femmes étrangères, on obtient ε = 0,6. Alors

census(99,4,[0255075100],[0010],[0001],[’malenative.dat’’femalenative.dat’’maleimmigra produit la figure 3 pour la pyramides des ˆages des immigr´es. La pyramide

converge rapidement (apr`es 100 ans) vers un ´etat stationnaire.

Figure _{3 – Personnes nées en France et immigrés avec des taux de fertilité} différents. À gauche : P3(x, t) (hommes immigrés). À droite : P4(x, t) (femmes immigrées).

4.4 Troisi`

eme exemple

Comme donnée initiale pour la population masculine et féminine de natio-nalité fran¸caise et celle étrangère, on prend les résultats du recensement de 1999 (INSEE, 2001). On utilise le même profil d’immigration que dans le premier

(15)

exemple. Pour estimer les taux de fertlité, on suppose encore qu’il existe un nombre ε > 0 tel que B3,4(x) = (1 + ε)B1,2(x) et B4,4(x) = (1 + ε)B2,2(x) pour tout x. Connaissant le nombre total d’enfants nés de mère étrangère, on obtient ε = 0,56. Pour les taux de changement de nationalité, on suppose que τ1,3(x) = τ2,4(x) = τ (x). Avec les données du Ministère de la justice (2001), on a pu trouver une estimation de τ (x), voir figure 4(a). Cette estimation fait la somme des contributions de trois types de procédure, également représentées dans la figure 4(a) : ≪sans formalité ou par anticipation≫ (enfants étrangers

nés en France qui deviennent citoyens à 18 ans),≪par décret≫(étrangers ayant

v´ecu longtemps en France et leurs enfants) et≪par d´eclaration≫(mariage avec

un citoyen fran¸cais). Dans tous les cas où la structure par âge n’est donnée que par groupe d’âges, on a utilisé des fonctions en escalier comme approximation. Alors l’instruction

census(99,4,[0255075100],[0010],[0001],[’malefrench.dat’’femalefrench.dat’’maleforeign produit la figure 4(b) pour la pyramides des ˆages des ´etrangers. La pyramide

converge apr`es 100 ans vers un ´etat stationnaire.

4.5 Comparaison

Pour comparer les différents modèles, la figure 5 montre les projections pour la population totale. La courbe la plus basse est celle sans immigration. La courbe la plus haute est celle avec immigration mais sans différence de fer-tilité (premier exemple). Les deux courbes très proches intermédiaires corres-pondent au deuxième et au troisième exemple, où les personnes nées en France (resp. les citoyens fran¸cais) sont distinguées des immigrés (resp. des étrangers). La différence pour la population totale entre ces deux derniers modèles et le premier exemple avec immigration est d’environ 0,7 million après 50 ans et d’environ 2,5 millions après 100 ans.

5 Lien avec un mod`

ele plus complexe

Arino et Smith (1998) ont étudié un modèle plus complexe avec une va-riable de plus, qui se généralise de la manière suivante. Chacune des K populations est divisée en deux : il y a les individus qui sont dans cette sous-population depuis leur naissance (notons Qk(x, t) leur densité) et des individus qui ont été dans une autre sous-population avant (notons Rk(x, y, t) la densité de ces individus d’âge x au temps t qui sont dans la sous-population k depuis y années (y < x). Les nouveaux-nés appartiennent au premier type, tandis que

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Figure _{4 – Fran¸cais et étrangers avec des fertilités différentes. (a) Obtention} de la nationalité fran¸caise. Taux de transfert τ (x) et ses 3 composantes. (b) À gauche : P3(x, t) (hommes étrangers). À droite : P4(x, t) (femmes étrangères).

(17)

Figure_{5 – Projections pour la population totale (en millions) sous diff´erentes} hypoth`eses.

(18)

les individus transférés et les immigrés sont du second type. D’où le modèle ∂Q ∂t + ∂Q ∂x + ∆ Q_{(x)Q(x, t) = 0,} _{∀t > 0,} _{∀x > 0,} ∂R ∂t + ∂R ∂x + + ∂R ∂y + ∆ R_{(x, y)R(x, y, t) = 0,} _{∀t > 0,} _{∀x > y > 0,} Q(0, t) = Z ∞ 0 BQ_{(x)Q(x, t) dx +} Z ∞ 0 Z x 0 BR_{(x, y)R(x, y, t) dy dx,} _{∀t > 0,} R(x, 0, t) = τQ_{(x)Q(x, t) +} Z x 0 τR_{(x, y)R(x, y, t) dy + m(x),} _{∀t > 0,} _{∀x > 0,} Q(x, 0) = Q0(x), ∀x > 0, R(x, y, 0) = R0(x, y), ∀x > y > 0.

Les matrices ∆Q _{et ∆}R _{sont diagonales et pour tout 1 ≤ k ≤ K,} ∆Q_k,k(x) = dQ_k(x) +X l6=k τ_l,kQ(x), ∆Rk,k(x, y) = dRk(x, y) + X l6=k τl,kR(x, y).

Ce modèle, appliqué au troisième exemple des sections 3 et 4, donne un système de huit équations aux dérivées partielles et conditions aux bords qui régissent les Fran¸cais de naissance, les Fran¸cais par acquisition, les étrangers nés en France et les étrangers nés à l’étranger. Les matrices de naissance et de transfert BQ_, BR_{, τ}Q_{et τ}R_{ont la même forme que dans la section 3 : par exemple, τ}R

1,3 et τ2,4R sont les seuls coefficients non nuls de τR_{. Le modèle peut représenter les taux} de transfert avec précision. Presque tous les étrangers nés en France deviennent citoyens fran¸cais à 18 ans, donc τ1,3Q (x) et τ2,4Q (x) ont un pic vers x = 18 ans. Les étrangers nés à l’étranger ne peuvent pas en général devenir Fran¸cais s’ils ont moins de 18 ans ou s’ils ont vécu en France moins de cinq ans (d’après la loi), donc τR

1,3(x, y) et τ2,4R (x, y) sont proches de zéro si x < 18 ou y < 5. Bien que le modèle suive correctement les processus d’évolution, il est difficile à mettre en œuvre car les données telles que R0

k(x, y) pour 1 ≤ k ≤ 4 ne sont pas connues. Plus exactement, ces données seraient peut-être accessibles à travers le méga-fichier du recensement de 1999, mais elles n’ont pas été publiées.

Une manière de contourner ce problème est de supposer que ∆R_{, B}R _{et τ}R ne dépendent pas de y. Mais cela réduit plus ou moins le modèle complexe à celui de la section 3.3. En effet, posons

S(x, t) = Z x 0 R(x, y, t) dy et P (x, t) = Q(x, t) S(x, t) . Alors P (x, t) est l’unique solution du syst`eme (1)-(2)-(3) avec

∆ = ∆Q ₀ −τQ _∆R_{− τ}R , B = BQ _BR 0 0 , M = 0 m . Pour ce dernier modèle, les données sont disponibles pour faire les calculs. Le résultat ne serait pas très différent de celui de la figure 4.

(19)

6 Conclusion

Le modèle linéaire (1)-(2)-(3) pourrait être utile pour d’autres problèmes, par exemple pour les populations de poissons. Les sous-populations peuvent ne pas résider au même endroit. On peut imaginer des sous-populations en différents sites, avec des transferts (migrations) comme dans Arino et Smith (1998). Les fonctions dk(x) incluent la pêche. Les termes sources Mk(x) pour-raient représenter la réintroduction des poissons d’une espèce menacée, comme le saumon en France.

On peut aussi élaborer des versions non linéaires ou non homogènes en temps du modèle, comme chez Hoppensteadt (1975), Webb (1985) ou Cushing (1998).

R´

ef´

erences

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(20)

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