Physique expérimentale préparatoire aux sciences biomédicales y compris l'introduction mathématique aux sciences expérimentales : Fascicule de travaux dirigés

Physique expérimentale préparatoire aux sciences biomédicales

y compris l'introduction mathématique aux sciences expérimentales

M. Hoebeke,chargéede cours

Travaux dirigés

1e Cand. Sc. Med. et Sc. Dent.

N.D.Nguyen(nd.nguyen@ulg.ac.be)

Collectif de l'Enseignement delaPhysique enPremière Candidature

Avertissement

L'ecacité des séancesde travauxdirigés (répétitions) dépend du niveau de

prépara-tion de chacun. Du point de vue de l'étudiant, cela consiste notamment en une relecture

préalabledesconceptsabordésaucoursthéorique.Cefasciculecomprenduneintroduction

des outils mathématiques utiles à la résolution des exercices etdes problèmes. A titre de

rappel, un résumésuccinctde lathéorie estdonnée audébut dechaque sujet(section). Il

estdemandéauxétudiantsd'apporterleurexemplairedel'ouvragederéférence(Physique,

J. Kaneet M. Sternheim,Dunod 1999) aucours des séancesde travauxdirigés, certaines

Table des matières 1 Introduction mathématique 5 1.1 Algèbre . . . 5 1.2 Analyse . . . 6 1.3 Trigonométrie . . . 10 1.4 Vecteurs . . . 12

2 Cinématique du point matériel 16 2.1 Formulaire. . . 16

2.2 Remarques . . . 17

2.3 Problèmes . . . 17

3 Dynamique 19 3.1 Introduction . . . 19

3.2 Enoncés desloisde Newtonpour ladynamique . . . 19

3.3 Le poids etlepoidseectif. . . 19

3.4 Le frottement . . . 19

3.5 Problèmes . . . 20

4 Statique 22 4.1 Lesconditions d'équilibre . . . 22

4.2 Le moment d'uneforce . . . 22

4.3 Lesleviers :avantagemécanique . . . 23

4.4 Problèmes . . . 23

5 Le mouvement circulaire 25 5.1 Lesvariables angulaires . . . 25

5.2 Relations entreles coordonnées angulaires etlinéaires. . . 25

5.3 Le mouvement circulaire uniforme(MCU) . . . 26

5.4 Le mouvement circulaire uniformément accéléré(MCUA) . . . 26

5.5 La dynamiquedesmouvements derotation autourd'unaxe xe . . . 27

5.6 Problèmes . . . 27

6 Travail, Energie, Puissance 29 6.1 Dénitionsetprincipe de conservation . . . 29

6.2 Problèmes . . . 30

7 Quantité de mouvement, moment cinétique, lois de conservation 32 7.1 Dénitionsetloisde conservation . . . 32

7.2 Problèmes . . . 33

8 Mécanique des uides non visqueux 34 8.1 Principe d'Archimède . . . 34

8.2 Equationde continuité . . . 34

8.3 Théorème de Bernoulli . . . 34

9 Mécanique des uides visqueux 36

9.1 Ecoulement laminaire dansuntube . . . 36

9.2 Forces de résistancevisqueuse . . . 36

9.3 Tension supercielle . . . 37 9.4 Problèmes . . . 37 10 Electrostatique 39 10.1 Dénitions. . . 39 10.2 Problèmes . . . 40 11 Courantscontinus 42 11.1 Dénitionsetlois . . . 42 11.2 Problèmes . . . 44 12 Optique géométrique 46 12.1 Leslentilles minces . . . 46

12.2 La formationde l'image . . . 46

12.3 L'oeil. . . 47

12.4 Lesinstruments d'optique . . . 47

12.5 Problèmes . . . 47

1 Introduction mathématique

1.1 Algèbre

Equation du premier degré

Laforme généraled'une équation du premier degré a pour expression

ax+b=0

où x est l'inconnue; a, le coecient, est un nombre réel diérent de zéro et b, appelé

le terme indépendant, est un nombreréel quelconque. Résoudre cette équation consiste à

déterminerpardesméthodesprécisesl'ensembledesvaleursdexquivériecetteéquation.

Ex. 1 Résoudreles équations suivantes :

t+1 2 6t+7 8 = 4 3t 5 1 8 2u 5 1 3  5 4 u 4  =u+ 27 5 3y 5 2 4y+1 3 =2 3y+1 4 4 3 (2t 3)+ 3 4  t 2 +1  = 1 2

Inéquation du premier degré

Une inéquation dupremier degré prendlaforme généralesuivante

ax+b60

oùlesymboled'inégalitépeutégalementêtre:<,>,ou>.Lesméthodesderésolutiondes

équations dupremierdegrépeuvents'appliquer auxinéquationsdupremier degré.Il reste

à noterquelorsde lamultiplicationdesdeuxmembresd'uneinégalité par unnombreréel

,lesigned'inégalitéreste inchangésiestpositif.Siestnégatif,lesigned'inégalitéest

renversé.

Ex. 2 Résoudreles inéquationssuivantes:

10 2t 6 2 > 2t 5 2t 17 3 3x 1 5 x+1 2 <1 x 7

Equation du second degré

Laforme généraled'une équation du second degré est

ax 2

+bx+c=0

où le coecient aest unnombreréel diérent de zéroetoù b etc sont desnombres réels

quelconques. Pour résoudreune équation du seconddegré, il faut calculer leréalisant (ou

discriminant)de l'équation. Celui-ci estdonné par

=b 2

Le réalisant permet en outre de déterminer le nombre de solutions. Les diérents cas

possiblessuivant lesigne de  sontdiscutés danslaTab.1.

<0 Pasde solution

-=0 Une solution double x= b 2a >0 Deux solutions x 1 = b+ p  2a , x 2 = b p  2a

Tab. 1 Solutions d'uneéquation dusecond degré

Ex. 3 Résoudreles équations suivantes :

(x+1)(x+2)=2 t 2 (t+3)=4 (5v 3)(v 5)=(2v+5) 2 +90 5w 2 =4w+2 4y 2 9y 9=0 1.2 Analyse

Fonctions du premier et du second degré

Laforme généraled'une fonctiondu premier degré estdonnéepar

f(x)=ax+b

oùaestunnombre réeldiérent dezéroetbestunnombreréelquelconque. Legraphique

desfonctionsdu premierdegréesttoujours unedroite. Lecoecient areprésentelapente

de ladroite etb estl'ordonnée à l'origine.

Sib=0,alorsladroitepasseparl'origine(0;0).Sinon,ladroitepasseparlepoint(0;b).

Si a est positif, alors la droite est croissante (elle monte). Dans le cas où a est négatif,

elle estdécroissante (elledescend). LaFig.1 donne quelquesexemplesdereprésentation

graphique d'unefonction dupremier degré.

Lapente d'unedroite peutêtreobtenue à l'aidede laformule

a= f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2

où les couples (x

1 ;f(x 1 )) et (x 2 ;f(x 2

))sont les coordonnées de deux points quelconques

de ladroite.

Laforme généraled'une fonctiondu seconddegré estdonnéepar

f(x)=ax 2

+bx+c

où aest un nombre réel diérent de zéro, b et c étant des nombres réels quelconques. Le

graphiquen'estplusunedroitemaisprendlaformed'uneparabole. Lesensdelaconcavité

est donnéepar lesigne dea. Siaest positif, laconcavité estorientée versle haut (^). Si

aestnégatif,laconcavitéestorientéeverslebas(_). LaFig.2 donnequelquesexemples

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

2

1

-1

f(t)

t

0

-3

-2

-1

1

6

5

4

3

2

1

-1

-2

f(x)

x

0

(a)

(b)

(c)

5

4

3

2

1

-1

-2

5

4

3

2

1

-1

-2

v

f(v)

Fig. 1 Exemples de fonctions du premier degré : (a) f(t) = 3t 1, (b)

f(v)= v+3,(c) f(x)= 1

2 x.

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

-6

-4

-2

2

4

6

f(v)

v

0

32

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-4

-2

2

4

_t

f(t)

0

(a)

(b)

Fig. 2 Exemples de fonctionsdu second degré: (a)f(t)=t 2

2t 3, (b)

f(v)= v 2

Notion de dérivée d'une fonction

Onappelle le nombre dérivé de f(x)en a,s'il existe,lenombre réel

f 0 (a)= lim x!a f(x) f(a) x a

Silafonctionf(x)possèdeunnombredérivéniena,on ditalorsqu'elleestdérivable en

a. La fonction dérivée oudérivée, notéef 0

(x), estla fonctionqui associeà unpoint xson

nombre dérivéf 0 (x).

5

4

3

2

1

-1

-2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

_x

f(x)

P

1

P

2

Fig. 3 Interprétationgéométriquede ladérivée d'unefonctionen unpoint.

L'interprétationgéométriquedeladérivéeestdonnéeàlaFig.3.Considéronslafonction

f(x)= x 2 4 + x 2

+1. Cettefonction estdérivableen x=2(à admettre). Sionconsidère les

deux points P

1

de coordonnées ( 2;1) et P

2

de coordonnées (2;3), ils appartiennent au

graphe delafonction et ladroite qui passe parces deuxpointspossèdeune pentedonnée

par f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 = 1 3 2 2 = 2 4 = 1 2

Si maintenant on fait varier le point P

1

le long de la courbe pour l'amener sur le point

P

2

, on constate que lorsque le point P

1

prend successivement pour coordonnées ( 1; 3 4 ), (0;1), et(1; 7 4 ),les droitesP 1 P 2

tendent verslatangente à lacourbeau point P

2 .Donc, à lalimite, ladroiteP 1 P 2

devient latangenteàlacourbeen P

2

.La pentedecette tangente

peuts'exprimerpar

lim x 1 !x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 =f 0 (x 2 ) où x 1 et x 2

désignent les abscisses de P

1 et P

2

respectivement. Le nombre dérivé f 0

(x

2 )

apparaît dèslors commela pentede latangente à lacourbe au point d'abscissex

2 .C'est

Développement en série de Taylor

Ledéveloppementen sériede Taylor delafonctionf auvoisinagedex

0

estdonné par

f(x)=f(x 0 )+(x x 0 )f 0 (x)    x=x 0 + (x x 0 ) 2 2 f 00 (x)    x=x 0 + (x x 0 ) 3 6 f 000 (x)    x=x 0 +::: = 1 X n=0 (x x 0 ) n n! f (n) (x)    x=x 0 où f (n) (x)    x=x 0

représente la dérivée d'ordre n de f(x) en x = x

0

, et n! = 1
2
3


n

(factorielle den).

Ex. 4 Développerensérie deTaylor, au voisinagede t=0,(1+t) m et 1 (1+t) m . 1.3 Trigonométrie Angle orienté

Deuxdemi-droites[saet[sbdemêmeoriginesdénissent

α

a

b

s

Fig. 4 Angleorienté l'angle orienté

c

asb (Fig. 4). Lepoint sest appeléle sommet

de l'angle, tandis que [saest lademi-droite origine et[sb la

demi-droite extrémité.

L'amplitude d'unangleestdonnéeparsamesureendegré

ou radian.L'angle droit a une amplitude de 90° ou 

2 [rad].

Le passage d'un système d'unité à l'autre s'eectue suivant

les formules de laTab.2. Dans laFig. 4,l'angle orienté c asb a pour mesure .  [°]   180° !  [rad ]  [rad ]  180°  !  [°]

Tab. 2 Conversion desunités de mesured'angle.

Cercle et nombres trigonométriques

Le cercle trigonométrique (Fig. 5) est un cercle centré en l'origine d'un repère

ortho-normé. Son rayon est unitaire. Le demi-axe horizontal de droite (abscisses positives) est

choisicomme demi-droite originede tousles angles.L'orientation desangles rapportés au

cercletrigonométrique estdanslesensanti-horlogerousens trigonométrique.Onydénit

quatre quadrants notés I, II, III etIV. Un angle orienté b rapporté au cercle

trigonomé-trique possède une innitéde mesuresdont l'expressiongénérale enradian s'écrit

+k(2) k 2Z

1

1

sin

cos

α

α

α

α

tg

α

cotg

I

II

III

IV

a

y

x

o

p

q

Fig. 5 Lecercle trigonométriqueet lesnombres trigonométriques.

L'abscisseetl'ordonnéedupointd'intersectionadelademi-droiteextrémitédel'angle

de mesure  avec le cercle trigonométrique (Fig. 5) dénissent respectivement le sinus

(sin)etlecosinus(cos)del'angle orienté .b Ondénitégalementles nombres

trigono-métriques :tg= sin cos etcotg= cos sin .

L'interprétation géométriquede tg etcotg estdonnéeà laFig. 5:tg est

l'ordon-née dupoint d'intersectionde la demi-droite extrémité de l'angle orienté b avec ladroite

verticale x =1 tangente au cercletrigonométrique, et cotg est l'abscisse du point

d'in-tersectionde lademi-droite extrémitéde l'angleorientéb avec ladroite horizontale y=1

tangente aucercle trigonométrique.

Larelation fondamentale sin 2 +cos 2 =1

peutêtredémontrée àl'aidedu théorèmede Pythagore dansletriangleaop.

Nombres trigonométriques des angles remarquables

La Tab. 3 donne les valeurs desnombres trigonométriques de quelquesangles

remar-quables.

Angles associés

Lesnombrestrigonométriques desangles associés àl'angle b exprimésen fonctiondes

nombres trigonométriquesde b sont donnésà laTab.4.

Exercices

Ex. 5 Placer sur lecercle trigonométrique les images des angles dont les mesures sont :

95 6 , 93 4 ,  3 +k (k2Z).

Ex. 6 Exprimerenfonctiondecosxousinx:cos(25 x),sin( 11+x),sin( 13

2 +x).

 sin cos tg cotg  0° 0 1 0 +1 0 30° 1 2 p 3 2 p 3 3 p 3  6 45° p 2 2 p 2 2 1 1  4 60° p 3 2 1 2 p 3 p 3 3 2 3 90° 1 0 +1 0  2 180° 0 -1 0 1  270° -1 0 1 0 3 2

Tab. 3 Anglesremarquables.

Ex. 7 Donnerles valeursexactesde cos 40 3 ,sin 41 6 .

Ex. 8 Ondonne cos  5 = p 5+1 4 ,calculer :cos 4 5 ,cos 6 5 ,cos 9 5 . 1.4 Vecteurs Notion de vecteur

Levecteur estuneentitémathématique caractériséeparune

a

Fig. 6 grandeur etunedirection.Parcontraste,unscalaire nepossède

que la caractéristique de grandeur représentée par un nombre

réelordinaire.Ondésigneunvecteurparunelettreencaractère

gras, comme Aou b,ou par une lettresurmontée d'uneèche,

comme~s.

Schématiquement, un vecteur est représenté par une èche

dont la longueur est proportionnelle àla grandeur du vecteur et dont l'orientation donne

la direction du vecteur (Fig. 6). La grandeur du vecteur ~a, appelée le module de ~a, est

désignée soitpar lamême lettre encaractères normaux(a)soit par j~ajou jaj.

Addition vectorielle

L'addition vectorielle est illustrée à la Fig. 7. Pour additionner deux vecteurs~a et ~

b

(Fig. 7(1)), on reporte l'origine du vecteur ~

b à l'extrémité du vecteur ~a (Fig. 7(2)). Une

translation ne modiepas la grandeur d'un vecteur. La somme~c=~a+ ~

b est représentée

par le vecteur ayant pour origine celle du vecteur ~a et pour extrémité celle du vecteur

~

b (Fig. 7(3)). L'addition vectorielle est commutative :elle peut s'eectuer dans un ordre

quelconque (~a+ ~

b= ~

b+~a).

La soustractionvectoriellese ramène à une addition vectorielle. Eneet, soustrairele

vecteur ~

b du vecteur~a équivaut à ajouter à~al'opposé de ~ b :~a ~ b=~a+( ~ b). L'opposé

Angles opposés : leur somme vaut 0 sin( )= sin cos( )=cos tg( )= tg cotg( )= cotg

α

α

-Angles supplémentaires : leur

somme vaut  sin( )=sin cos( )= cos tg( )= tg cotg( )= cotg

α

-π α

leur diérence vaut 

sin(+)= sin cos(+)= cos tg(+)=tg cotg(+)=cotg

α

+

π α

Anglescomplémentaires:leur

somme vaut  2 sin(  2 )=cos cos(  2 )=sin tg(  2 )=cotg cotg(  2 )=tg

α

2

-π α

a

b

c

b

a

a

b

a

b

=

+

(1)

(2)

(3)

Fig. 7 Principe de l'additionvectorielle.

du vecteur ~

b,noté ~

b,estlevecteur demême grandeurque ~

b,demême direction,maisde

sens opposé.

Multiplication par un scalaire

Pour multiplier un vecteur~a par unscalaire (nombre réel), il sut de multiplier la

grandeur de~apar .La direction estconservée, maislesens estinversé si <0.

Composantes d'unvecteur

Unvecteur peutêtre également caractérisé par ses

a

a

a

x

y

x

y

θ

avoir déplacé l'origine du vecteur ~a vers l'origine du

système d'axes x et y perpendiculaires du repère, les

composantesde~a,notéesa

x eta

y

,s'obtiennenten

pro-jetant le vecteur ~a perpendiculairement à l'axe x et

l'axe y,respectivement (Fig.8).

Lesrelations entreles composantesde~ad'unepart

etlemoduleetl'anglequefaitlevecteuravecl'axex

d'autre partpeuvent êtreobtenuespar application des

propriétés des triangles rectangles (voirappendice) :

8 < : a x =acos a y =asin

Silesvaleursdescomposantesduvecteursontdonnées, ilestpossiblede déterminerla

grandeur et la direction. Eneet, d'unepart, par application du théorème de Pythagore,

on aa 2 x +a 2 y =a 2 ,c'est-à-dire a= q a 2 x +a 2 y

D'autre part,parmi les relations dansun trianglerectangle, l'unepermetd'écrire

tg= a y a x ) =arctg  a y a x 

L'inspection du signe de a

x

permet de déterminer de manière univoque l'angle . Les

composantes a

x et a

y

sont des nombres réels. Lorsque le vecteur ~a est dirigé vers les

valeurscroissantesdex,a

x

estpositif.Lorsqu'ilestdirigéverslesvaleursdécroissantes,a

x

est négatif. La composante a

y

est positive lorsque~a estdirigé vers les valeurscroissantes

de y etnégative quand~a estdirigévers lesvaleursdécroissantes dey.

Lasommededeuxou plusieursvecteurspeuts'exprimeren fonctiondescomposantes.

Pourcela,ondénitunvecteurunitaire~e

x

delongueurégaleà1etdirigésuivantlesvaleurs

croissantesde x. Delamême manière, on dénitun vecteur unitaire~e

y

, dirigésuivant les

valeurs croissantes de y. Tout vecteur~a peut s'écrire, dans le repère orthogonal muni de

ces vecteursunitaires, souslaforme

~a=a x ~ e x +a y ~ e y Silevecteur ~ b s'écrit ~ b=b x ~ e x +b y ~ e y ,alors levecteur~c=~a+ ~ bs'écrit : ~c=(a x +b x ) | {z } cx ~e x +(a y +b y ) | {z } cy ~ e y

Les composantes duvecteur~c sontdonc les sommes descomposantes desvecteurs~a et ~

b.

Exercices

Ex. 9 (K&S 2-3) Un vecteur a une composante suivant l'axe desx qui vaut a

x

= 10

et une composante suivant l'axe des y qui vaut a

y

= +3. (a) Dessinerun système d'axes

etpositionner levecteur~a;(b) calculerlagrandeur etladirection dece vecteur.

Ex. 10 (K&S 2-2) DanslaFig. 2.18, quelledoit êtrela valeur de l'angle pour quele

vecteur ~ C = ~ A+ ~

B ait(a) unegrandeur minimum; (b)unegrandeur maximum?(c)Que

vaut j ~

Cjlorsque =90°?

Ex. 11 (K&S 2-12) Danslecasdesvecteursde lagure2.22, évaluerlagrandeur etla

direction de (a)D=A+B+C;(b)E=A B C.

Ex. 12 Déterminezlescomposantesduvecteur ~

F danslessystèmedecoordonnées(~e

x ;~e y ) et( ~ e 0 x ; ~ e 0 y ) (Fig.9). Ondonne F =5, =60° et=40°.

θ

φ

e'

_x

e'

_y

e

x

e

y

_F

2 Cinématique du point matériel 2.1 Formulaire Accélération moyenne :  a=
v
t Accélération instantanée : a= lim
t!0
v
t = d v d t Vitessemoyenne :  v=
x
t Vitesseinstantanée : v= lim
t!0
x
t = dx dt Relationaccélération-position : a= d 2 x dt 2

Mouvement rectiligne uniforme (MRU):

8 > > > < > > > : a = 0 v = v 0 (constante) x = x 0 +v 0 (t t 0 )

Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) :

8 > > > < > > > : a = constante v = v 0 +a(t t 0 ) x = x 0 +v 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0 ) 2 UnitésMKSA: Accélération a m/s 2 Vitesse v m/s Position x m Temps t s

2.2 Remarques

La résolution d'un problème de cinématique nécessite la détermination de la loi du

mouvement dans un système de référence choisi, c'est-à-dire l'expression mathématique

reliant l'espace (x, à une dimension) au temps (t). Si les conditions initiales (position

et vitesse initiales), ainsi que le type de mouvement (MRU ou MRUA) sont connus, le

mouvement dupointmatériel estcomplètement déterminé.

Dansl'étudedesproblèmesàdeuxdimensions(soient xety,lescoordonnées dupoint

matériel dansun système de référence donné), le type de mouvement peut être diérent

pour chaque coordonnée : le point matériel peut, par exemple, être soumis à un MRU

suivantladirectiondex etàunMRUAsuivant ladirectiondey.C'est lecaspourl'étude

des projectiles. Par ailleurs, l'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant 1

le temps t

entre lesloisdu mouvementspour xetpour y.

La position, la vitesse etl'accélération sont desquantités vectorielles. Cette précision

estparticulièrement importantedanslesproblèmes àdeuxdimensions, oùlaconnaissance

des bases du calcul vectoriel est nécessaire. Dans les problèmes à une dimension, il est

courant de ne pasmentionner la naturevectorielle de cesgrandeurs. Par ailleurs, dansla

résolution desproblèmesàdeuxdimensions,laméthodededécompositionsuivant lesaxes

de coordonnées permetde seretrouver avec des équationspurement scalaires.

2.3 Problèmes

Prob. 1 (K&S 1-21) Apartirdugraphedelagure1.11donnantlapositiond'unobjet

en fonction du temps, évaluerla vitessemoyenne entre t=0 s et(a) t=10 s;(b)t=20

s;(c) t=40.

Prob. 2 (K&S 1-46) Unobusanti-aérienesttiré àlaverticale avec unevitesseinitiale

de 500 m/s. (a) Calculer la hauteur maximum de l'obus. (b)Quel temps lui faut-il pour

atteindre cettehauteur?(c)A quel moment l'obusatteindra-t-il unehauteur de1000 m?

Prob. 3 (K&S 1-48) Une pierre tombe d'une falaise de 60 m. (a) Trouver la vitesse

moyenne pendant les 3 premières secondes de la chute. (b) A quel moment la vitesse

instantanée sera-t-elleégale à lavitessemoyenne évaluéeen (a)?(c)Quel temps faut-ilà

lapierre pour atteindre lesol?

Prob. 4 (K&S Exemple 1.15) ApartirdesdonnéesdelaTab.5,trouver(a)lavitesse

v

t

d'unsauteuraumomentoùilquittelesol(vitessed'échappement), (b)l'accélérationa

t

à ce même moment.Utiliser,après l'avoir démontrée, larelationv 2

=v 2

0

+2a
x.

Distanced'accélération (d) Hauteur verticale (h)

Homme 0,5 1,0

Tab. 5 Extraitde latable 1.4(enmètres)

1

Cela consiste, par exemple, à isoler le temps t dansla loi du mouvement pour la coordonnée x et

procéderàsasubstitutiondanslaloidumouvementpourlacoordonnéey,dontl'expressionmathématique

Prob. 5 (K&S 1-71) Danslefeuilleton télévisé L'hommequivalaitsixmillions de

dol-lars, le colonel Austin a les capacités d'un surhomme. Au cours d'un épisode, il tente

d'attraper unhomme quis'enfuit dansune voiture de sport. La distanceentre euxest de

100maumomentoùlavoiturecommencesonaccélération.Cetteaccélérationestconstante

etvaut5m/s 2

.LecolonelAustincourtàlavitessede30m/s.Montrerqu'ilneparviendra

pas à rattraperla voiture. Déterminer la distance minimale qui leséparera de la voiture.

(Question subsidiaire) A quelle vitesse minimale devrait courir Austin pour rattraper la

voiture?

Prob. 6 Dessecouristes veulent larguer desprovisionsà desalpinistesisolés surlacrête

d'unemontagne, 200 mplusbas(cfr.Fig.10).Sil'avionsedéplace horizontalement àune

vitessede 250 km/h (69m/s),

(a) A quelle distance horizontale en avant des alpinistes doivent-ils lancer les

provi-sions?

(b) Sil'avion larguaitles provisionsà une distance de400 men avant du point visé,

quellevitesseverticalesupplémentairedevrait-onleurimprimer(verslehautouvers

lebas?)pourqu'elles tombent précisément àl'endroit souhaité?

(c) Dans lasituation décriteen (b),à quellevitessevont-ellestoucherlesol?

Fig. 10

Prob. 7 Onfrappe une ballede tennis àpartir de la ligne defond (située en x

0

=0) et

y

0

=1 mau-dessusdu soldans unedirection faisant unangle =9° avec l'horizontale.

(a) Calculer la portée du tir (abscisse x

i

du point d'impact). La balle est-elle in ou

out? Lalongueur du terrainvaut x

T

=23;77 m. Négligerlarésistance de l'air.

(b) A quelle distance
y la balle passe-t-elle au-desus du let? Le let se trouve à

une distancex

F

=11;89 metsahauteur vaut 0,915m.

3 Dynamique

3.1 Introduction

La dynamique est l'étude de la relation entre le mouvement d'un corps et les causes

qui leproduisent.

Uneforce estreprésentéepar unvecteur.Elleestcaractériséeparunegrandeur

(inten-sité), une direction etunsens.

3.2 Enoncés des lois de Newton pour la dynamique

1. Siaucuneforcerésultanten'agitsurun objet:

 Un objetaureposreste au repos

 Un objet en mouvement continue à se mouvoir avec une vitesse constante en

grandeur etdirection

2. La force ~

F nécessaire pour fournir une accélération~a à un objetde massem est

donnéepar

~

F =m~a

3. Siunobjetexerceuneforce ~

F surunsecondobjet,lesecondexerce,surlepremier

une forceégaleen grandeur maisopposée ~

F.

3.3 Le poids et le poids eectif

Le poids d'un objet représente la force gravitationnelle qui agit sur cet objet. Pour

un objet situé au voisinage de la surface terrestre, cette force est essentiellement due à

l'attraction de la terre. Sous l'hypothèse que les masses d'inertie (intervenant dans la

deuxième loi de Newton) et gravitationnelle (intervenant dans la loi de la gravitation

universelle)sont égales,l'accélération~gqui résultede laforce gravitationnelleexercée par

laterre sur l'objetestindépendantede lamassede cetobjet.

Bien que la valeur du poids d'une personne ne varie pas suivant que celle-ci subit ou

non une accélération supplémentaire ~a, la perception qu'elle a de son propre poids est

déterminée par les forces exercées par lesol ou tout autre support.Or, cesforces ne sont

paségalesau poidslorsque lapersonne est enaccélération.

Le poids eectif d'une personne ou d'un objet, noté w~ e

, est déni comme étant la

force totale que cette personne ou cet objetexerce sur une balance. Cette force est égale

et opposée à la force ~

S exercée par la balance sur la personne ou sur l'objet. De façon

générale, lepoidseectif d'uncorpsde massem en accélération~aest donné par

~ w e

=m~g m~a

3.4 Le frottement

Lorsqu'une force est appliquée à un objet au repossur une surface et que cette force

dépasse la force de frottement statique maximum, ~

f

s

(max ), il commence à se mouvoir.

Expérimentalement, on montre que ~

f

s

etlasurfacequilesupporte. Sagrandeurestproportionnelleàcelledelaforcenormale ~

N,

la constante de proportionnalité 

s

étant appelé le coecient de frottement statique (en

règle générale,  s <1) : f s (max )= s N

La force de glissement, ou force de frottement cinétique, ~

f

c

est inférieure en grandeur

à f

s

(max ). Elle est aussi indépendante de l'aire de contact et proportionnelle à la force

normale N : f c = c N où c

estlecoecient defrottement cinétique (

c <

s

). Ilest pratiquement

indépen-dant de lavitessedel'objet.

3.5 Problèmes

Prob. 8 (K&S 3-50) Au cours d'une collision, une automobile, dont la masse est de

1000 kg, passe d'unevitesse initiale de 20 m/s,à une vitessenulle,sur une distance de 2

m, avec une décélérationconstante. (a)Quevautladécélérationde lavoiture?(b)Quelle

est laforcerésultante quiagit surlavoiture durant lacollision?

Prob. 9 (K&S 3-89) Une llette,dont la masseest de 40 kg, descend à skiune pente

quiformeunanglede37° avecl'horizontale(négligerlarésistancedel'air).Silecoecient

de frottement cinétiqueentre sesskis etlaneigevaut 0,1, quevaut sonaccélération?

Prob. 10 (K&S 3-91) Dans lagure 3.25, les celles etles pouliesont desmasses

né-gligeables et le coecient de frottement cinétique entre le bloc et la surface horizontale

vaut 0,1. Evaluer (a)latensiondans lescelles;(b)l'accélération dusystème.

Prob. 11 Le système représenté à laFig. 12 est composé de deux masses identiques et

est initialement au repos.Les angles desplans inclinés valent respectivement 55° et 30°.

Quelle est la valeur minimale du coecient de frottement qui permet de conserver l'état

de repos?Les massesde lacordeetde lapoulie sont négligeables.

55˚

30˚

M

M

Fig. 12

Prob. 12 Unblocde10kgestreliéàunautreblocaumoyend'unecordeetd'unepoulie

demassesnégligeables. Lecoecient defrottement cinétiqueentreleblocet leplanestde

0,2. Leblocde10kgmontesurunplaninclinéà37° pendant queleblocde5kgdescend

(a)Evaluerla forcenormaleexercée par leplansurlebloc de 10 kg.

(b)Quelleest l'accélérationdu système?

(c)Quevaut latensiondanslacorde?

4 Statique

Lastatique est l'étudedesforces qui s'exercent suruncorps en équilibre etau repos.

4.1 Les conditions d'équilibre

Le corps étudié est soit un point matériel ou un solide rigide (un objet idéal dont le

volume, laforme etlesdimensionsne varientpaslorsqu'il estsoumisà une force.)

 Danslecasdupointmatériel,laconditiond'équilibre estquelarésultantedesforces

doit êtrenulle( ~

F =0).

 Dansle casdusolide, les conditions d'équilibre sont :

1. La résultantedesforces agissant surle solidedoitêtre nulle : ~

F =0.

2. Le moment résultant des forces appliquées au solide, calculé par rapport à un

point quelconque,doit êtreégalement nul(~ =0).

4.2 Le moment d'une force

Lemoment d'uneforce ~

F,appliquée aupointA,par rapportàunpoint quelconqueO

(Fig. 13),est unvecteur ~ donné par :

~ = ! OA^ ~ F

O

A

F

0

r

r

sin 0

Lemomentde force~ estleproduitvectorieldesvecteurs !

OAet ~

F.Ils'agitdonc d'un

vecteur qui est

 perpendiculaireauplan formépar les vecteurs !

OA et ~

F.

 sagrandeur estdonnéepar

 =r F sin

où r =j !

OA j et  désigne l'angle compris entre !

OA et ~

F. La distance r sin estla

distancer

?

dupointO àsaprojection orthogonalesurladroitequiportelevecteur

force ~

F.Dès lors,on peutaussiexprimerlagrandeur du moment de forcepar

 =r

? F

4.3 Les leviers : avantage mécanique

L'avantgemécanique (A.M.)d'unlevier s'exprimepar lerapportdelaforcerésistante

~

F

R

par laforceappliquée ~ F A : A.M.= F R F A

Siles forces sont àangle droitpar rapport aulevier,on a A.M.= x R x A . 4.4 Problèmes

Prob. 13 (K&S 4-12) La Fig. 4.34 montre l'avant-bras considéré dans l'exemple 4.4.

La personne tient en mainunpoidsde 12N (w~

1

).(Lepoidsde l'avant-brasestreprésenté

par w.)~ (a)Evaluer laforce ~

T exercéepar lebicepsetlaforce ~

E exercéepar l'articulation

du coude.(b) Dansl'exemple 4.4, ona trouvéque lorsquew

1

=0 N,T =36 N etE =24

N.Pourquoiles forces sont-ellesplusque doublées dansce cas-ci?

Prob. 14 (K&S 4-45) Le muscle deltoïdedétermine l'élévation de lapartie supérieure

du bras(Fig. 4.51).(a) Trouver latensionT exercéepar le muscle et les composantes R

x

et R

y

de laforce exercée par l'articulation de l'épaule. (b)Quel est l'avantage mécanique

du muscle pour souleverlebras?

Prob. 15 (K&S 4-49) DanslaFig.4.53, lepoids delapartie supérieureducorps vaut

w=490 N.EvaluerlaforceT exercée parles musclesdudosetlescomposantesR

x etR

y

de laforceR exercée par lesacrumsile poids w

1

vaut (a)0;(b)175N.

Prob. 16 (K&S 4-51) Un serpent exerce une force musculaire M = 5 N (Fig. 4.54a).

M agitàune distancede0,03mde l'articulationetlaforcedemorsurevaut 2N.Trouver

(a) ladistance entre l'articulation et laligne d'action de laforcede morsure;(b) laforce

exercée par l'articulationde lamâchoire.

Prob. 17 Dansledispositifstatiquede laFig.14,lespoulieset lescordes sont depoids

négligeables. Si le poids 1 est de 15 N et le poids 2 est de 31 N et les deux angles sont

 = 45 ° et  = 20 °, déterminer la valeur du poids 3. Vérier que le système est en

équilibre.

1

2

3

0

o

Prob. 18 (K&S 4-40) L'homme de la Fig. 4.49 a une masse de 100 kg. Ses bras sont

tendus latéralement et il tient dans une main une masse M. (a) Trouver les positions

horizontaleetverticaleducentredegravitédel'hommelorsqu'iltientlamasseM.(Choisir

commeoriginelepointmilieuentrelespieds).(b)Quellemassemaximuml'homme peut-il

tenir sans basculer?

Prob. 19 (K&S 4-37) La tension T vaut 20 N à chaque extrémité de la chaîne

repré-sentée danslaFig.4.46. Quel estlepoidsde lachaîne?

Prob. 20 L'enseigne d'un magasin est suspendue à une barre de longueur L = 1;2 m,

selonleschémadelaFig.15.Labarreestelle-mêmexéeaumurparunpivotetmaintenue

par uncâble. Sila massede l'enseigne est M =20 kget cellede la barreest m =10 kg,

calculer (a)latensiondansle câbleet(b)laforce auniveau dupivot.

M

m

40˚

3L/4

L

Prob. 21 Une personne de masse m =50 kg est debout sur ses 2 pieds au bord d'une

marche d'escalier (Fig. 16(a)). Le piedsubit la réactionnormale du sol ~

N,laréaction du

tibia ~

R etlatension dutendond'Achille ~

T.

1. Dans le cas où la plante des pieds est horizontale, déterminer les valeurs de R et

T.Lestroisforces sontsupposées verticales, commereprésentédansleschéma dela

Fig.16(b).

2. Danslecasoùlaplantedespiedsfaitunanglede30° avecl'horizontale,déterminer

R et T. Les troisforces sont encore supposées verticales, comme représenté dansle

schémadelaFig.16(c).Ya-t-il,ouiounon,unediérenceparrapportàlasituation

du point 1?Expliquezpourquoi.

xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx

Tibia

Tendon

d'Achille

(a)

_(b)

_(c)

N

R

T

15 cm

6 cm

α

15 cm

6 cm

T

R

N

5 Le mouvement circulaire

5.1 Les variables angulaires

Laposition angulaire

= l

r

où l estlalongueur de l'arcdecercle délimitépar l'angle estr lerayon ducercle.

c

r

l

θ

Fig. 17

Lavitesse angulairemoyenne

 ! =



t

Lavitesse angulaireinstantanée

! = lim
t!0

t = d d t

La vitesse angulaire est une grandeur vectorielle ~! dont la direction est celle de l'axe

de rotationetle sensestdéterminé par larègle de lamain droite.

L'accélération angulaireinstantanée

~ =

d~!

dt

Unités:

Position angulaire  rad

Vitesseangulaire ! rad/s

Accélération angulaire  rad/s 2

5.2 Relations entre les coordonnées angulaires et linéaires

l=r  v=r ! a T =r  oùa T

5.3 Le mouvement circulaire uniforme (MCU)

La vitesseangulaire ~! est constante en grandeur etdirection.La vitesse linéaire~v est

constante en grandeur,mais pas en direction.Il existe une accélération~a

c

dite centripète

ou normale,dirigée verslecentre dela trajectoire circulaireet qui vauten grandeur

a

c =!

2

r

Un corps de masse m décrivant un MCU est soumis à la force centripète ~

F = m~a

c ,

dirigée selon l'accélérationetdont lemodulevaut

F =m v 2 r Caractéristiques du MCU: 8 > > > > > > < > > > > > > :  = 0 ! = constante  =  0 +! (t t 0 ) v = ! r (constante) a c = ! 2 r= v 2 r

v

a

_c

C

a

_T

α ω

5.4 Le mouvement circulaire uniformément accéléré (MCUA)

L'accélération angulaire estconstante. Enplusde l'accélérationcentripète, on aune

accélération tangentielle, dirigéelelongde latangente àlatrajectoireetde grandeur

a

T =r

Caractéristiques du MCUA: 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > :  = constante ! = ! 0 + (t t 0 )  =  0 +! 0 (t t 0 )+ 1 2  (t t 0 ) 2 v = ! r (non constante) a c = ! 2 r= v 2 r (nonconstante) a T =  r

5.5 La dynamique des mouvements de rotation autour d'un axe xe

Unsolidedemomentd'inertie I soumisàunmomentdeforce~ subit uneaccélération

angulaire ~ selon laloide ladynamique:

~ =I ~

Il s'agit de laloi de Newtonpour les mouvements de rotation, homologueà ~

F =m~a,

valable pourles mouvements detranslation.

Pour un point matériel de masse m situé à une distance r de l'axe de rotation, le

moment d'inertiepar rapportà cetaxe apour expression

I =m r 2

Les moments d'inertie de quelques solides de forme géométrique dénie sont donnés

dansle tableau5.3 (K&Sp.106).

Pour un corps solide de masse et de forme quelconque, le moment d'inertie a pour

expression

I =m k 2

où k désigne le rayon de giration.

5.6 Problèmes

Prob. 22 (K&S 5-30) (a)Trouverl'accélérationradialeaubordd'undisquede

phono-graphe de 0,15m de rayon qui eectue78 tours par minute. (b)Le disque s'arrête en 2 s

avec une décélération angulaireuniforme. Trouverla décélérationtangentielle au bord du

disque etladécélérationangulaire.

Prob. 23 (K&S 5-35) Une voitureen accélérationuniformepartdureposet atteintla

vitessede20 m/sen15secondes. Lesrouesont unrayonde 0,3m.(a)Quevaut lavitesse

angulaire nale desroues?(b) Quevaut l'accélération angulaire desroues? (c)Que vaut

le déplacement angulaire pendant l'intervalle de temps de 15 secondes?

Prob. 24 (K&S 5-58) Une pierrede 2 kgest attachée à unecorded'unmètrede long.

On fait tourner la pierre dans un plan horizontal. La corde forme un angle de 30 ° avec

Prob. 25 (K&S 5-66) Un bloc dont la masse est de 10 kg est placé sur une surface

horizontale.Lecoecientdefrottementcinétiquevaut0,1.Unecelledemassenégligeable

est attachée au bloc et passe sans frottement dans la gorge d'une poulie. On suspend à

l'autre extrémité de la celle un bloc dont la masse est de 20 kg. Lorsque le système est

libéré, il se déplace de 2 m en 1 seconde. Que vaut la masse de la poulie s'il s'agit d'un

cylindre solide?

Prob. 26 (K&S 5-67) Deux blocs dont les masses valent respectivement 10 et 30 kg

sont suspendus de part et d'autre d'une poulie par une celle de masse négligeable. La

poulie a une masse de 3 kg, un rayon de 0,1 m et un rayon de giration de 0,08 m. Si le

système possède une accélérationde 3m/s 2

,quel est lemoment des forces de frottement

6 Travail, Energie, Puissance

6.1 Dénitions et principe de conservation

 Le travailélémentaire dW qu'eectue uneforce ~

F en déplaçant sonpoint

d'applica-tion d'unedistancedsvaut :

dW =F s ds=F cosds où F s désigne laprojection de ~

F surlevecteur déplacement et estl'angle compris

entre la force ~

F et le vecteur déplacement. Le travail W (unité : le Joule [J]) est

l'intégralede dW calculée de laposition dedépart A àlapostion d'arrivée B :

W = Z B A F s d s= Z B A ~ F
d~s

Casparticulier important où laforceest constanteetledéplacement linéaire :

W =F cos s=F

s s=

~

F
~s

Remarque :Le travail estune quantité scalaire.

 Lapuissancemoyenne 

P estlerapportdutravail
W eectuéaucoursdel'intervalle

de temps
t:  P =
W
t La puissanceinstantanée : P = d W dt

La puissance s'exprime en Joule par seconde, dénissant leWatt [W]. La puissance

développée par uneforce déplaçant sonpoint d'applicationà une vitessev :

P =F

s v

 L'énergie cinétique K (unité : [J]) d'unobjet de masse m mesure letravail quecet

objet amené à une vitesse v peut eectuer grâce à son mouvement. Elle a pour

expression: K = 1 2 m v 2

Lavariationd'énergiecinétique
Kd'unobjetestletravailW eectuésurcetobjet

par toutes lesforces qui agissent surlui :

 Le travail eectué par une force conservative agissant sur un objetlors du

déplace-ment desaposition initialeàsapositionnaleestégal, maisdesigne contraire,àla

variationd'énergie potentielle del'objet:

W =
U = (U

f U

i )

L'énergiepotentielled'unobjetnedépendquedesaposition.Letravailaccomplipar

uneforce conservativenedépend pasdu chemin parcouruentredeuxpointsdonnés,

maisuniquement despositions initialeet naledel'objet déplacé.

Exemples :la forcegravitationnelle, laforce derappeld'unressort.

Le travail eectuéparune force dissipative dépend ducheminparcouru.C'est lecas

desforces de frottement.

 Lorsd'unmouvementoùlesforcesdissipativesnefournissentpasdetravail,lasomme

de l'énergie cinétique et de l'énergie mécanique (qui est l'énergie mécanique totale)

reste constante (principe de conservation de l'énergie mécanique totale) :

K+U =K

0 +U

0

=E (constante)

En présenced'untravaileectué par lesforces de frottement :

K+U =K 0 +U 0 +W a où W a =  c N s 6.2 Problèmes

Prob. 27 (K&S p.145) Le sauten hauteur.

Prob. 28 (K&S 6-25) Uneballe debase-ball,lancée àlaverticale,atteint unehauteur

de 50 m.Quelle était savitesseinitiale? (Négliger larésistancede l'air)

Prob. 29 (K&S 6-31) Une boîte qui aune vitesseinitiale de 3 m/sglisse surle sol et

s'immobilise surune distance0,5m. Quevaut lecoecient de frottement cinétique?

Prob. 30 (K&S 6-66) Un homme et une bicyclette ont une masse totale de 100 kg.

Si l'homme gravit à la vitesse constante de 8 m/s une côte formant un angle de 4° avec

l'horizontale,quelle puissance dépense-t-il contreles forces gravitationnelles?

Prob. 31 Aprèsavoirlâchélelinquilereliaitaubateauquiletractait,unhommede80

kgfaisantduskinautiqueabordeenAletremplin delagure1(L=1m)avec unvitesse

de 55 km/h (Fig. 19). (a) Sil'on observe que leskieur atteint lahauteur H =1;30 mau

sommet desatrajectoire, quedoitvaloir lecoecient defrottementcinétique 

c

entreles

skis et le tremplin? (b) Quelle est la portée d du saut qu'il va eectuer? Considérer le

A

B

d

L

H

10

Fig. 19

Prob. 32 Un projectile de masse m = 10 g est tiré horizontalement dans un bloc de

masse M =0:5kgqui reposesur unetable (Fig. 20). Le projectile s'incrustedansle bloc

qui,sous l'impact, recule de10 cmavant de s'immobiliser.

(a) Sachant que lecoecient defrottement entre leblocetlatable estde 0.3,

déter-minerlavitesse initialeduprojectile

(b) Quelle partiede l'énergieinitale du projectile s'estdissipée lors de lacollision?

On négligel'eet de la pesanteursur latrajectoire du projectile ainsique les frottements

avec l'air.

M

m

7 Quantité de mouvement, moment cinétique, lois de

conser-vation

7.1 Dénitions et lois de conservation

 Laquantité demouvement (quantité vectorielle,unité:[kgms 1

])d'uncorpsde m

etde vitesse~v estdénie par :

~ p=m~v

 Relationentreforce etquantité de mouvement :

~

F = d ~p

d t

Silamassedel'objetnevariepasau coursdutemps,onretrouve ladeuxième loide

Newton: ~ F =m d~v d t =m~a

 Loi de conservationde la quantité demouvement d'un système :

Sila résultante detoutes lesforces externes agissant surlesystème est

nulle, la quantité de mouvement du système reste constante.

Lesforcesexternes sontlesforces dont l'origineestextérieureausystème.Lesforces

internes sontdesforces dont l'originesetrouvedanslesystèmeet quisontduesaux

interactions mutuelles (actionetréaction) deséléments dusystème.

SoitunsystèmedemassetotaleM.LadeuxièmeloideNewtonappliquéeausystème

s'écrit : M ~a centredemasse = ~ F ext où ~ F ext

est la résultante des forces extérieures. Le centre de masse du système se

déplace donc comme une particulaire imaginaire dont la masse est la masse totale

dusystème, sous l'action desforcesextérieures.

 Le moment cinétique (grandeur vectorielle, unité : [kg m 2

s 1

]) d'une particule de

quantité de mouvement ~p=m~v etde vecteurposition~r estdéni par :

~

L=~r^~p

Le moment cinétique est un vecteur perpendiculaire au plan formé par ~r et ~p. Sa

grandeur vautL=r p sin,où est l'angleentre~r et ~p.

Le moment cinétique ~

Ld'uncorps de moment d'inertieI etdevitesse angulaire~!

~

 Relationentremoment de forceetmoment cinétique: ~ = d ~ L dt

Si le moment d'inertie de l'objet ne varie pas au cours du temps, on retrouve la

deuxième loi deNewtonpour lesmouvements de rotation:

~  =I

d ~!

dt =I ~

 Loi de conservationdu moment cinétique d'un système :

Si le moment résultant des forces externes agissant sur le système est

nul, le moment cinétique du système reste constant.

7.2 Problèmes

Prob. 33 (K&S 7-15) Lorsque le ventricule gauche du coeur se contracte, il y a un

déplacement du sang vers latête. Supposons qu'une personne immobile soit allongée sur

une table quisedéplace sans frottement. Lorsd'unecontraction cardiaquequi dure0,2s,

0,8 kgde sang est pompé sur une distance de 0,1 m;si lamasse totalede la personne et

de latable estde 80 kg,quelle seraleur vitesseà lande contraction?

Prob. 34 Une plongeuse peut réduire son moment d'inertie d'un facteur 4 lorsqu'elle

passe de la position allongée à une position groupée. Durant les 12 mètres de chute du

tremplin jusqu'àl'eau, elle eectue3rotations en position groupéeetseplace en position

8 Mécanique des uides non visqueux

8.1 Principe d'Archimède

Lorsqu'unobjet unplongé dans un uide, celui-ci exerce sur l'objetune poussée égale

au poids duuide déplacé :

B = g V

immergé

oùB estlapousséed'Archimède,lamassevolumiqueduuideetV

immergé

levolume

de lapartie immergéede l'objet.

8.2 Equation de continuité

Le débit Qd'un uideà travers une canalisation est dénicomme étant levolume de

uidequilatraverseparunitéde temps.Ilestégalauproduitdelavitessevduuidepar

lasection Adu conduit :

Q=A v

Sileuide estincompressible, le débitest constant.

8.3 Théorème de Bernoulli

Dans lesconditions suivantes :

 Leuide estincompressible (samasse volumique reste constante)

 Leuide estnonvisqueux (pasde dissipationd'énergie due auxfrottements)

 L'écoulement estlaminaire (nonturbulent)

 L'écoulement estenrégimestationnaire (lavitesseduuideenunpointquelconque

nechange pasau coursdu temps),

La sommede lapressionetde l'énergie mécanique par unité devolume est constante

tout lelongd'untube de courant :

P +gh+ 1 2 v 2 =C te 8.4 Problèmes

Prob. 35 Un ourspolairede masse226,7kgetdehauteur 183cm(lorsqu'ilest debout)

monte surune plaque ottante de glaced'épaisseur 0,305 m. Quedoit être l'aire de cette

plaque si elle aeure à la surface, en portant l'ours? (Prendre 

mer,15°C = 1025 kg/m 3 et glace,-5°C =917 kg/m 3 )

Prob. 36 (K&S 13-31) Un morceau de chêne pèse 90 N dans l'air. Un bloc de plomb

pèse130 Nquandilestimmergé dansl'eau.Attachés l'unàl'autre, ils pèsent100 Ndans

l'eau. Quelle est la masse volumique du bois? (Utiliser éventuellement 

plomb

= 11300

kg/m 3

Prob. 37 (K&S 13-19) Lecerveaud'unêtrehumain enpositiondebout setrouve à0,5

m au-dessus du coeur. Siune personne se penche de façon que son cerveau soit à 0,4 m

au-dessous du coeur, quel estlechangement de lapressiondu sangdanslecerveau?

Prob. 38 (K&S 13-24) (a)Unepersonnesetrouve dansunascenseurquiaccélèrevers

le haut à raison de 9,8 m/s 2

. Quelle est la pression moyenne du sang dans le cerveau et

dans les pieds en supposant que la personne est en position debout? (b) Si l'ascenseur

descend avec une accélérationde 9,8m/s 2

,quelleest lapression moyenne dusang dansle

cerveau et dansles pieds?La pression sanguine au niveau du coeur(1,4 mau-dessus des

pieds et0,4men-dessous de latête) vaut 13300 Pa.

Prob. 39 (K&S 13-8) Un vaisseau sanguin de rayon r seramie en quatrevaisseaux,

chacun de rayon r=3. Si la vitesse moyenne dans le vaisseau le plus large est égale à v,

trouverlavitesse moyenne danschacun despetits vaisseaux.

Prob. 40 Unréservoircylindriquedelargesectionestéquipéd'unsystèmequimaintient

constant le niveau d'eau à une hauteur H = 60 cm (Fig. 21). Ce réservoir est percé

latéralementdedeuxtrous:l'unestsituéàunehauteurh=10cmparrapportaufonddu

réservoiretl'autreà unehauteuryinconnue.(a)Calculerlavitessedel'eauquis'échappe

del'orice inférieur.(b)AquelledistanceDdurécipient lejetd'eauinférieurtouchera-t-il

le plan horizontal passant par le fond du réservoir? (c) A quelle hauteur y est percé le

second trousi onobserve queles deuxjets touchent le solà lamême distanceD?

H

D

h

y

Fig. 21

Prob. 41 Unbateausurunlacsubitunchocavecunrocherimmergé,quifaituntroude

40 cm 2

danssacoqueà1mau-dessousdelalignede ottaison.Silebateaupeut recevoir

10 m 3

d'eau avant d'avoir sa cargaison trempée, estimer le temps qu'il reste à l'équipage

9 Mécanique des uides visqueux

9.1 Ecoulement laminaire dans un tube

Débit

A cause des forces de frottements existant entre les couches d'un uide visqueux, la

vitesse n'est pas constante le long d'unesection donnéed'un tube de courant. On dénit

alors ledébit Qà l'aidede lavitessemoyenne v surlasectiond'aire A:

Q=Av

où lavitesse moyenne v vaut la moitié de la vitessemaximale v

max

, qui a lieu au centre

de lasectiondroite du tube:v= 1 2 v max . Perte de charge

Pourentretenirl'écoulementenrégimepermanentd'unuidevisqueux,ilfautdépenser

untravailpourvaincreles forcesdeviscosité.Lachutedepression
P =P

1 P

2

,appelée

perte de charge, le longd'un tube horizontal de section constante est proportionnelle aux

forces visqueuses.Silasectiondroite varie,ousiletube n'estpashorizontal, ilseproduit

desvariations depression supplémentairesen accordavec lethéorèmedeBernoulli. La loi

dePoiseuille énoncelarelationentreledébitQ,d'unuidedeviscosité[Pas],nécessaire

pour entrenir uneperte decharge
P surune longueur l d'untubede rayon R :

Q=
P R 4 8l La vitessemoyenne v=Q=(R 2 ) apour expressionv=
P R 2 8l .

Larésistanceà l'écoulement,appeléeaussirésistance vasculaire [Pa sm 3

],estdénie

par R=
P=
Q. Dansun écoulement laminaire :

R= 8l

R 4

La résistancevasculaire équivalente Rd'unsystèmeden conduitesmises ensérie vaut :

R=R 1 +


+R n où R 1 ,


, R n

sont les résistances vasculaires des n conduites. La résistance vasculaire

équivalente Rd'unsystèmede nconduites misesen parallèle vaut:

1 R = 1 R 1 +


+ 1 R n

9.2 Forces de résistance visqueuse

Unobjetenmouvementauseind'unuidevisqueuxestsoumisàdesforcesderésistance

delapartdeceuide.LaforcederésistancevisqueuseF

R

exercéeparunuidedeviscosité

 surune sphère derayon R sedéplaçant avec une vitessev dansle uideestdonnée par

laloi deStokes :

F

R

qui est valable lorsque la vitesse de l'objet est faible. Cette condition s'exprime par une

limitesupérieure dunombre deReynolds pour une sphèrede rayon R :

N R = vR  <1

où  estlamasse volumique duuide.

9.3 Tension supercielle

Lahauteurd'ascensionh d'unliquide demassevolumiquedansuntubecapillairede

rayon r vaut

h=

2 cos

gr

où estla tensionsupercielle[N m 1

]du liquide etest l'anglede contact à l'interface

du liquide avec le tube. Ce dernier dépend de la nature du liquide et du matériau solide

dont estfait letube.

9.4 Problèmes

Prob. 42 (K&S 14-20) Le débit moyen du sang à travers l'aorte est de 4;2010 6

m 3

/s. Le rayon de l'aorte estde 1;310 2

m. (a) Quelle estla vitessemoyenne dusang

dans l'aorte?(b) Quelle est laperte de charge surune longueur de 0,1 m de l'aorte? (c)

Quelle estlapuissance nécessaireau pompage dusangà travers cette partie de l'aorte?

Prob. 43 (K&S 14-33) (a)Calculerlarésistanceàl'écoulementd'uncapillairehumain

typique. Le rayon est de 210 6

met lalongueur vaut 1mm. (b)Estimer lenombre de

capillairesdanslecorpshumain,étantdonnéqueledébitàtraversl'aorteestde9;710 5

m 3

/setqueladiérence depression entrelesystèmeartériel etlesystèmeveineuxest de

11,6kPa.Supposerquetouslescapillaires sonten parallèleetquelapertede chargedans

les capillaires correspond à9 %dela perte decharge totale.

Prob. 44 Une aiguille hypodermique est longue de 4 cm (Fig. 22). Son rayon intérieur

vaut 0,5mm.Del'eau dontlaviscosité estégaleà 10 3

Pa s estforcéeàtraversl'aiguille.

(a) Quel estledébit maximumpourquel'écoulement restelaminairedansl'aiguille?

(suggestion:écoulement laminairesi N

R

<2000)

(b) Quelle estlapertede charge (
P)nécessaire pour avoirun teldébit?

(c) Si l'extrémité libre de l'aiguille est soumise à une pression de 1 atm, dans les

conditions de débit laminaire maximum obtenues au point (a), quelle est la force à

exercer surla surface S du piston de la Fig.1.Cette surface estsupposée circulaire

etde rayon R=5 mm.

Prob. 45 Considérons une bifurcation (Fig. 23) constituée d'un tuyau cylindrique de

rayon r

1

et de longueur l

1

, etde deux tuyauxégalement rigides de rayonsr

2 et r 3 ,et de longueur l 2 et l 3

. Un débit constant Q passe dans le tuyau de rayon r

1 (Q=10 5 m 3 /s).

L'écoulementestlaminaire.Laviscositéduuidevaut=10 5 Pas.Valeursnumériques: l 1 =5 cm,l 2 =5 cm, l 3 =5 cm, r 1 =2 cm,r 2 =1;5 cm,r 3 =1cm.

s

F

4 cm

r

₁

r

₂

r

₃

l

₁

l

₂

l

₃

(a) Quelle estlarésistance àl'écoulement dutuyau 1,du tuyau 2et du tuyau 3?

(b) Quelle estlarésistanceà l'écoulement totale opposée par lestuyaux2et3?

(c) Quel débitde uidepasse dansletuyau 3?Quelleest lavitesseduuidedansle

tuyau3?

(d) Supposons qu'une sténose seforme dans letuyau 3 (Fig. 24). Cettesténose sera

schématisée par un rétrécissement de rayon r = 0;2 cm et de longueur l = 2 cm.

Quelle estalors la résistancedutuyau 3?Quelleest lenouveau débit dansletuyau

3?Quelle estlavitessedu uidedanslasténose?

r

r

l

l

3

3

Prob. 46 (K&S 14-37) La vitesse limite d'une goutelette d'huile de forme sphérique,

lors de sa chute dans de l'air à 20° C, est de 210 7

m/s. Quel est le rayon de cette

goutelette, sisamassevolumique estde 930kg/m 3

?

Prob. 47 Quandun tubeen verre estplongé dansde l'eau à20° C,l'eau monte jusqu'à

une hauteur de 0,2m. Quand le tube est plongé dansun liquide d'une masse volumique

de 700 kg/m 3

, la hauteur d'ascension est de 0,15 met l'angle de contact est nul. Quelle

est latensionsuperciellede ce liquide?(La massevolumique de l'eau à20°C estde 990

kg/m 3

10 Electrostatique

10.1 Dénitions

Force électrique

La force électrique [N] entre deux charges électriques q et q 0

[C] est proportionnelle

au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de leur distance (Loi de

Coulomb).La forceexercée par q 0

sur q estdonnée par

~ F =k qq 0 r 2 ~ r 0

où r estladistance entre q 0

et q,~r

0

estlevecteur unitaired'origine q 0 etd'extrémité q,et k =9:010 9 Nm 2 C 2

.Laforceestattractivesiq etq 0

sontdesignesopposéset répulsive

si q etq 0

sontde même signe.

Champ électrique

Unensemble de charges électriquesproduisent un champélectrique ~

E [N/C].La force

électrique exercéepar cet ensemble dechargesur unechargeq donnéeestproportionnelle

au champélectrique etàlavaleur delachargeq elle-même :

~

F =q ~

E

Le champélectrique produitpar une charge Qs'exprime par :

~ E(~r)=k Q r 2 ~ r 0 Potentiel électrique

Le potentiel électrique V [V] est l'énergie potentielle U [J] par unité de charge q :

V = U=q. Il permet de caractériser les eets d'une ou de plusieurs charges sans spécier

l'importance oule signede lachargesurlaquelle ceseetssemanifestent.

Quandondéplace unechargepositived'unedistanceldanslesensopposéàunchamp

constant d'intensité E, on augmente son énergie potentielle U. La diérence de potentiel

(ddp)correspondante vaut
V =El.

Remarques :

 Lorsqueplusieurs chargesagissentsimultanément,lepotentielrésultant en unpoint

estla sommealgébriquedespotentielsdéveloppéspar chacuned'elles

 Autre unitépour lechamp électrique :[V/m]

 Autre unitéd'énergie potentielle électrique :[eV] (1eV =1:6010 19

J)

Exemple:Potentieldû àune chargeQponctuelle

V(r)=k Q

Capacité et condensateur plan

Deuxconducteursséparésparlevideouparunisolantformentuncondensateur. Siles

deux conducteurs ont des charges égales etopposées Q, lacapacité du condensateur se

dénit comme

C= Q

V

oùV estladdpentrelesdeuxconducteurs. Danslecasdelamesparallèles, d'aireA,dans

le vide:C ="

0

A=l avec "

0

=1=(4k).

L'énergieélectriquestockéedansuncondensateurdecapacitéC sousuneddpdeV est

U =QV=2=CV 2

=2.

Dipôle électrique

Une paire decharges égalesetopposées +q et q séparées par une distancel forment

un dipôleélectrique,caractérisé par unmoment dipolaire électrique~p [Cm] dénipar

~ p=q ~ l où ~

l estlevecteur distance, de normel,d'origine q et d'extrémité+q.

Laforcerésultantesurundipôleélectriquedansunchampélectriqueuniformeestnulle.

Lemomentrésultant surundipôleélectriquedansunchampélectriqueuniforme ~ E est ~  =~p^ ~ E.

L'énergie potentielle U d'un dipôlep~ dansun champ ~

E,avec lequel il fait un angle,

vaut U = pEcos.

10.2 Problèmes

Prob. 48 Deux charges ponctuelles q

1

=+10 nC etq

2

= 20 nC setrouvent sur l'axe

des x aux points de coordonnées x = 0 et x = +10 m, respectivement. (a) Que vaut la

forceélectrique exercéeparlachargeq

1

surlachargeq

2

?(b)Calculerlechampélectrique

au point d'abscisse x = 4 m. (c) Trouver, s'il existe, le point où le champ électrique est

nul.

Prob. 49 (K&S 16-16) Sur laFig. 25,quevaut lepotentiel(a) àl'origine, (b)en x=

3a, y=0?

q

-3q

x

y

(-a,0)

₀

(a,0)

Fig. 25

Prob. 50 (K&S 16-20) Uneparticuleestunnoyaud'héliumavecunechargede2eet

unemassede6;6410 27

kg.Supposonsqu'uneparticulesoitaccéléréedureposjusqu'à

unevitessede10 7

m/spar desforcesélectriquesdanslepremiertronçond'unaccélérateur

Prob. 51 (K&S 16-24) Un dipôle électrique est constitué de charges e distantes de

10 10

m. Il est placé dans un champ de 10 6

N/C. Que vaut le moment du couple sur le

dipôle quandcelui-ciest(a)parallèle au champ,(b)à angledroit avec lechamp, (c)dans

le sensopposéauchamp?

Prob. 52 (K&S 16-24) Un condensateur à lames parallèles a une capacité de 2 F

quand les lames sont séparées par le vide. Les lames sont à 10 3

m l'une de l'autre et

sont connectéesàunepilequimaintient unediérencedepotentielde50Ventreelles.(a)

Quelle est la charge deslames?(b) Que vaut le champélectrique entre les lames? (c) Si

une feuille d'isolant, de constantediélectrique égale à5,est inséréeentreles lames, quelle

est lanouvelle charge? (d)Quelest lechampélectrique avec la feuilleisolanteen place?

Prob. 53 (K&S 16-45) Un électron est introduit avec une vitesse v

0

dans un champ

électrique uniforme (Fig. 26). (Négliger la force de pesanteur sur l'électron.) (a) Trouver

la direction et le module de son accélération (b) Combien de temps restera-t-il dans le

champ? (c)Quelle estl'importance de ladéviation verticale lorsqu'il sortdu champ?(d)

Trouverl'angle entre lavitesseà lasortieetladirection initiale.

0,2 m

0,04 m

v = 2 x 10 m/s

₀

7

3

E = 10 N/C

Fig. 26

Prob. 54 (K&S 16-51) LaFig.27montreunmodèledemolécule d'eau.Chaqueatome

d'hydrogèneaunechargerésultantepositiveq etl'atomed'oxygèneaunechargerésultante

2q.La distancel est9:6510 11

m.La chargepositivesur unatome d'hydrogèneetla

moitiédelachargenégativesurl'atomed'oxygèneformentundipôle.Lemomentdipolaire

électrique total ~p de lamolécule est lasommevectorielle des deuxmoments dipolaires

H-O. (a)Quelle est ladirection de p~? (b)Si p =6:010 30

Cm,quelle est lacharge q en

multiples de lachargeedu proton?

+q

+q

-2q

H

H

O

104˚

l

l

11 Courants continus

11.1 Dénitions et lois

Loi d'Ohm

Le courant électrique moyen dansunlconducteur est lacharge
Qqui traverse une

section droite dulpar unité detemps :I =
Q=
t[A]. Lecourant instantané est

i= dQ

dt

Le sens ducourant conventionnel estcelui d'unuxde charges positives.

Lesconducteursohmiques obéissent à laloi d'Ohm

V =R I

où V est ladiérence de potentiel[V] auxbornes du conducteur,I [A] est lecourant qui

le parcourtet R []estlarésistance dece conducteur.

Loi de Pouillet

La loi de Pouillet donne larésistance R d'unconducteur de conductivité =1= [S],

oùestsarésistivité [m],enfonctionde salongueurl[m]etde l'airede sasectiondroite

A [m 2

]:

R =l=A

Source de force électromotrice

Unesourced'énergie,appeléeforce électromotrice (FEM),estnécessairepourmaintenir

un courant continu dansun circuit. La FEME d'un générateur estle travail eectué par

unité de charge, par les forces nonélectriquesà l'intérieurde ce générateur.

Puissance

LapuissanceP [W]fournieoudissipée parun élémentdansuncircuitélectriqueestle

produit deladiérence de potentiel àses bornes etducourant quileparcourt :

P =VI

Pour une FEM,P =EI.Pour une résistanceohmique, P =R I 2

(Eet Joule).

Lois de Kirchho

LesloisdeKirchho gouvernentlacirculationdescourantsdanslescircuitsélectriques:

 Loi des noeuds :La somme des courants qui entrent en tout point d'un circuit est

égale àlasomme descourantsqui en sortent.

 Loi des mailles :Lasommedesdiérencesde potentiellelongdetoutchemin fermé

Charge et décharge d'un condensateur

Dans un circuit contenant un condensateur de capacité C, une résistance R et une

FEME,on peutobserverlephénomène dechargeetdéchargeducondensateur. Lacharge

q dans lecondensateur et le courant i dansle circuit varient dans letemps selon deslois

exponentielles décroissantes. La constante de temps  =R C est le temps caractéristique

de cesrégimes transitoires.

Lorsde lachargedu condensateur (Fig.28), initiée en t=0,lacharge q etlecourant

ivarient enfonction du temps tselon leslois(Fig. 29)

q(t)=q f (1 e t= ) i(t)=i 0 e t= où q f

est lachargenaleatteintepar lecondensateurlorsqueletemps tendversl'inni et

i

0

est le courant initial dans le circuit : i

0

=E=R . En t = , la charge du condensateur

vaut q(t=)=q f (1 e 1 )=q f (1 1 e )0;63q f

,tandis quele courant vauti(t=)=

i 0 e 1 =i 0 1 e 0;37i 0 .

R

C

E

+

-+q

-q

i

Fig. 28 Charge d'uncondensateur

t

q

q

f

0,63 q

f

τ

2

τ

3

τ

i

t

i

0

0,37 i

0

τ

2

τ

3

τ

(a)

(b)

Fig. 29 Charge d'un condensateur. (a) Graphe de variation de lacharge q

en fonction du temps t, (b) graphe de variation du courant i en

fonctiondu temps t.

courant ivarient enfonction du temps tselon les lois(Fig.31) q(t)=q 0 e t= i(t)=i 0 e t= où q 0

estlachargeinitiale stockée danslecondensateur.

R

C

_+q

-q

i

Fig. 30 Décharge d'uncondensateur

q

t

q

0

0,37 q

0

τ

2

τ

3

τ

i

t

i

0

0,37 i

0

τ

2

τ

3

τ

(a)

(b)

Fig. 31 Décharge d'uncondensateur. (a)Graphe de variation de la charge

q en fonction du temps t, (b)graphe de variation du courant ien

fonctiondu temps t.

11.2 Problèmes

Prob. 55 (K&S 17-13) Le courant dansl'élément chauant d'unchaue-eauestde 20

A quandon leconnecte àun secteurde 230 V.Quevaut sarésistance?

Prob. 56 (K&S 17-23) (a) Quelle est la résistance d'une ampoule de 100 W conçue

pour fonctionnersur120 V?(b)Que vaut lecourant qu'elleconsomme?

Prob. 57 (K&S 17-23) DanslecasducircuitdelaFig.32,trouver(a)lecourantdans

la résistancede 2 ;(b)ladiérence de potentielentre les extrémitésde larésistance de

+

-6 V

6

I

3

2

I

I

1

2

3

A

B

Ω

Ω

Ω

Prob. 58 (K&S 17-63) Le condensateur d'unash électronique aune capacité de 100

Fet estchargé sous1000 V. (a)Que vaut lacharge surles lamesdu condensateur?(b)

Le condensateur se décharge dansla lampe ashet 0.001 seconde après quel'on a fermé

l'interrupteur, lachargerestantevaut0.37foislachargeinitiale.Quevautlarésistancedu

circuit?(c) Quevaut lecourant après 0.001seconde?

Prob. 59 (K&S 17-22) Un grille-pain consomme 1500 Wquand on le branche sur du

120 V. Il faut 1 minute pour griller une tranche de pain. Si l'énergie électrique coûte 16

eurocents aukilowatt-heure, quel estlecoût decette opération?

Prob. 60 (K&S 17-25) Pour le circuit de la Fig. 33, trouver (a) le courant, (b) la

puissance fournie parchaque pileet(c) lapuissancedissipée danschaque résistance.

+

+

-12 V

8 V

6

4

I

Ω

Ω

Prob. 61 (K&S 17-53) (a) Que vaut la résistance, à température ambiante, d'un l

d'aluminium de1 mdelonget0,002mderayon?(b)Quevautlerayond'unldecuivre

de 1mdelongayant lamême résistance?(c)Comparer lesmassesdesdeuxls(lamasse

volumique ducuivreest de8900 kg/m 3

etcelle del'aluminium estde 2700 kg/m 3