© Nada Missaoui, 2020
Optimisation du diamètre effectif d10 des matériaux de
protection contre le gel pour limiter l'effet de la
convection dans une structure de chaussée en Norvège
Mémoire
Nada Missaoui
Maîtrise en génie civil - avec mémoire
Maître ès sciences (M. Sc.)
Optimisation du diamètre effectif d
10des matériaux
de protection contre le gel pour limiter l’effet de la
convection dans une structure de chaussée en
Norvège
Mémoire
Nada Missaoui
Maîtrise en génie Civil
Maître ès sciences (M. Sc.)
Sous la direction de :
Jean Côté, ing, Ph.D, directeur de recherche
Québec, Canada
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Résumé
Cette étude se concentre sur l’étude de l’influence de la granulométrie des matériaux de protection contre le gel sur le transfert thermique dans les chaussées. Elle se base sur la modélisation d'une structure de chaussée, avec le logiciel Flexpde, en choisissant différentes régions de la Norvège. La température normale d'une période de 30 ans s’étalant de 1980 jusqu’à 2010, ainsi que l’année la plus froide (condition extrême) ont été choisies pour chaque région comme étant la température de l’air. Par l’intermédiaire d’un facteur N, cette température est liée à la température de la surface qui sera imposée par la suite comme conditions aux limites.
Tout d’abord, une démarche de validation a été faite pour trois cas d’étude. Le premier cas consiste à modéliser un problème de transfert de chaleur par la conduction pure qui considère le changement de phase d’eau liquide. La solution analytique étudiée pour ce cas est le problème de Neumann. Le deuxième cas consiste à modéliser un problème de transfert de chaleur par convection naturelle en régime permanent dans une cellule adiabatique chauffée par le bas, qui génère un mouvement circulaire de l’air. La cellule adiabatique est modélisée en 2D (1m x 1m). La température imposée en haut et en bas du matériau est symétrique par rapport à la température de référence. Finalement, le troisième cas consiste à reproduire numériquement une structure de chaussée expérimentée à Røros/Norvège pour évaluer l’évolution de la profondeur de gel durant l’hiver pour l’année 2017/2018.
Ensuite une étude de structure de chaussée comprenant une couche d’asphalte, une couche de base, une couche de sous-base et une couche de protection contre le gel (Frost protection layer) ainsi que le sol naturel a été modélisée en variant les conditions climatiques imposées selon les régions étudiées en Norvège.
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Table des matières
Résumé ... ii
Table des matières ... iii
Liste des tableaux ... vi
Liste des figures ... vii
Introduction ... 1
1 Revue de littérature ... 4
1.1 Phénomène de convection dans les ouvrages de génie civil ... 4
1.1.1 Remblai sur pergélisol ... 4
1.1.2 Barrage en enrochement ... 5
1.1.3 Problèmes rencontrés en Norvège ... 5
1.2 Modes de transfert de chaleur dans le sol et phénomène de changement de phase : 7 1.2.1 Conduction thermique ... 9
1.2.2 Convection thermique ... 10
1.2.3 Radiation ... 12
1.2.4 Phénomène de changement de phase dans les sols... 13
1.3 Modèle de prédiction et de calcul des propriétés du sol ... 19
1.3.1 Conductivité thermique ... 19
1.3.2 Perméabilité intrinsèque ... 29
2 Méthodologie ... 31
2.1 Outil numérique utilisé ... 31
2.2 Processus de modélisation ... 32
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3 Implémentation et validation des équations de transfert et de conservation ... 36
3.1 Conduction avec changement de phase d’eau ... 36
3.1.1 Solution numérique ... 36
3.1.2 Solution analytique ... 40
3.2 Conduction et convection d’air ... 43
3.2.1 Solution numérique : ... 44
3.2.2 Résultats de Schubert et Strauss (1979) ... 48
3.3 Étude de cas en Norvège : Site expérimental Røros 2017/2018 ... 51
4 Étude numérique et choix du modèle de calcul ... 56
4.1 Choix de la géométrie et propriétés des matériaux ... 56
4.2 Choix du temps de calcul ... 59
4.3 Choix de l’erreur de calcul ... 60
4.4 Choix des régions et des conditions aux limites de surface ... 61
4.4.1 Finnmark ... 63
4.4.2 Sør-Trøndelag ... 63
4.4.3 Oppland ... 64
4.4.4 Hedmark ... 65
5 Présentation des résultats ... 67
5.1 Relation entre la température moyenne annuelle «TMA» et l’indice de gel «FI». 67 5.2 Effet des données climatiques sur la profondeur de gel ... 69
5.2.1 Données normales ... 69
5.2.2 Comparaison des résultats 30 ans avec les données de la littérature ... 71
5.2.3 Données extrêmes ... 73
5.2.4 Comparaison des résultats extrêmes avec les données de la littérature ... 75
v
6 Discussions ... 79
6.1 Détermination du diamètre critique du rayonnement ... 79
6.2 Détermination du diamètre effectif critique de la convection ... 81
6.3 Relation entre le d10 critique et les données climatiques ... 87
6.4 Relation entre d10 critique et le gradient thermique critique ... 89
6.5 Comparaison des résultats numériques avec les résultats analytiques... 92
Conclusion ... 94
vi
Liste des tableaux
Tableau 1: Propriétés du milieu poreux ... 46
Tableau 2 : Propriétés de l’air à 20°C ... 47
Tableau 3 : Nombre de Nusselt calculé en fonction du nombre de Rayleigh par Schubert et Strauss (1979) pour une seule cellule en 2D ... 48
Tableau 4 : Propriétés des matériaux utilisés pour la section Ro3. ... 52
Tableau 5: Comparaison du résultat numérique avec celui du terrain. ... 55
Tableau 6 : Propriétés des matériaux utilisés. ... 59
vii
Liste des figures
Figure 1: Distribution granulométrique des différents matériaux utilisés (tiré de Rieksts
Karlis 2018). ... 7
Figure 2 : Mode de transfert thermique prépondérant dépendamment du diamètre effectif et du degré de saturation (Fillion, 2008). ... 8
Figure 3: Chaleur latente de fusion de l'eau en fonction de la température. ... 15
Figure 4: Relation entre la conductivité thermique des sols naturels secs et la porosité (Côté & Konrad, 2005). ... 21
Figure 5: Montage expérimental pour les matériaux à échelle réelle (Fillion 2008). ... 26
Figure 6: Effet attendu du rayonnement thermique dans les géo matériaux (Fillion, et al., 2011). ... 27
Figure 7: Conductivité thermique effective expérimentale et modélisée (Fillion, et al., 2011). ... 28
Figure 8: Perméabilité intrinsèque des sables et des cailloux testés par Côté et al (2011) en fonction du paramètre α. ... 30
Figure 9: Courbe caractéristique de la solidification de l’eau avec changement de phase instantané en utilisant la méthode de Guryanov. ... 37
Figure 10: Évolution de changement de phase de l'eau avec la méthode de VG-CC. ... 38
Figure 11: Paramètres de sortie pour la solution numérique avec la méthode de VG-CC. .. 39
Figure 12: problème de Neumann, tiré de (Rahimi, 2016). ... 41
Figure 13: Comparaison entre la solution analytique et les solutions numériques. ... 43
Figure 14:Conditions aux limites « transfert de chaleur »... 45
Figure 15:Conditions aux limites « imperméabilité ». ... 46
Figure 16:Nu en fonction de Ra pour cette étude et pour les résultats de Schubert & Strauss. ... 49
Figure 17:Contour de la température pour Ra=9.73 et Nu=1. ... 50
Figure 18:Contour de Température et vecteur de vitesse pour Ra=155.57 et Nu=3.4. ... 50
Figure 19:Section de validation Ro3. ... 51
Figure 20: Courbe de rétention pour le silt et l'argile. ... 53
Figure 21:Comparaison des résultats numériques avec ceux du terrain. ... 54
viii
Figure 23: choix de la largeur du sol naturel à côté de la structure. ... 57
Figure 24: Conditions aux limites imposées à la structure. ... 58
Figure 25: profils de température pour la 30ème année. ... 60
Figure 26: Comparaison entre les tolérances d'erreur du calcul numérique. ... 61
Figure 27: Régions étudiés en Norvège. ... 62
Figure 28: Variation de Ts et Tair pour les conditions normales et extrêmes à Finnmark. . 63
Figure 29: Variation de Ts et Tair pour les conditions normales et extrêmes à Røros. ... 64
Figure 30: Variation de Ts et Tair pour les conditions normales et extrêmes à Oppland. ... 65
Figure 31:Variation de Ts et Tair pour les conditions normales et extrêmes à Hedmark. ... 66
Figure 32: Variation de la TMA en fonction de l'indice de gel (Côté, 2009). ... 68
Figure 33: Variation de la profondeur de gel maximal en fonction la TMA30ans. ... 70
Figure 34: Évolution de la profondeur de gel en fonction du temps pour la région de Finnmark, pour d10=110 mm. ... 70
Figure 35: Variation de la profondeur de gel en fonction de l'indice de gel normal. ... 71
Figure 36: Validation des résultats de cette étude avec les données de littérature (Côté, 2009). ... 72
Figure 37: Variation de la profondeur de gel maximale en fonction de la TMA extrême. .. 74
Figure 38: Variation de la profondeur de gel maximale en fonction de l'indice de gel extrême. ... 74
Figure 39: Comparaison des résultats de cette étude où la convection n'est pas active avec les données de la littérature. ... 76
Figure 40: Comparaison des résultats de cette étude où la convection est active avec les données de la littérature. ... 77
Figure 41: Effet du diamètre d10 sur la profondeur de gel maximale pour la région de Finnmark. ... 78
Figure 42: Évolution de la profondeur de gel maximale en fonction de d10 utilisé pour la région de Sør-Trøndelag. ... 80
Figure 43:Évolution de la profondeur de gel maximale en fonction de d10 utilisé pour la région d'Oppland. ... 81
Figure 44:Magnitude de la vitesse de Darcy pour Finmark Ext pour d10=90 mm en date du 1er Février... 82
ix
Figure 45:Variation du nombre de Rayleigh au cours du temps pour différents d10 utilisés
pour Finnmark extrême. ... 83
Figure 46: Détermination du d10 critique pour la région de Finnmark. ... 84
Figure 47:Détermination du d10 critique pour la région de Sør-Trøndelag. ... 85
Figure 48:Détermination du diamètre effectif d10 critique pour la région d'Oppland. ... 85
Figure 49:Détermination du diamètre effectif d10 critique pour la région d'Hedmark. ... 86
Figure 50: Variation du diamètre effectif d10critique en fonction de la TMA extrême et normale. ... 87
Figure 51:Variation du diamètre effectif d10critique en fonction de l'indice de gel extrême et normale. ... 88
Figure 52: Variation du flux thermique en fonction du gradient thermique à Finnmark ext pour un diamètre d10=90 mm. ... 90
Figure 53:Variation du flux thermique en fonction du gradient thermique à Finnmark ext pour un diamètre d10=70 mm. ... 90
Figure 54: Variation du gradient thermique critique en fonction du diamètre effectif d10. .. 92
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Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de recherche, Mr. Jean Côté, de m’avoir offert l’opportunité d’effectuer un projet de maitrise au sein de sa chaire de recherche en collaboration avec l’université norvégienne NTNU. J’ai beaucoup appris sous sa supervision et je le remercie pour ses judicieux conseils tout au long du projet. Cette expérience m’a permis de me familiariser avec le milieu de la recherche et de développer mes connaissances dans les domaines du transfert de chaleur et la géotechnique de régions froides.
Je tiens également à remercier Mohammad Rahimi de m’avoir aidé à m’entrainer sur la modélisation avec Flexpde et Karlis Rieksts pour sa collaboration.
J’aimerais aussi remercier Olivier Lachance pour sa disponibilité et son aide et tous mes collègues étudiants pour les agréables moments passés durant mon projet de maîtrise.
Finalement, je voudrais exprimer toute ma gratitude et mon amour infini à mes parents pour leur soutien moral et financier et pour m’avoir inculqué des valeurs de dépassement de soi et de travail bien fait.
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Introduction
Dans les pays nordiques, l’hiver est long et très dur et la température de l’air peut atteindre des valeurs très faibles. Dépendamment de l’altitude, la localisation et les conditions météorologiques de ces régions, cette température peut aller parfois au-dessous de -25°C. Par conséquent, ces régions se caractérisent par une grande variation annuelle de température qui a une grande influence sur le comportement des chaussées. En effet, pendant le gel des sols d’infrastructure, lorsque ceux-ci présentent une sensibilité au gel élevée en présence d’eau, une formation de lentilles de glace se produit. La présence de ces lentilles de glace est à l’origine du soulèvement dû au gel. Pendant le dégel printanier, la fonte de la glace peut provoquer la saturation en eau et le sol peut alors dépasser sa limite de liquidité et perdre toute consistance, réduisant ainsi la résistance effective de la structure de chaussée et sa capacité portante(Doré & Zubeck, 2009).
Le gradient thermique élevé entre la fondation d’un ouvrage et l’air ambiant engendre l’extraction de chaleur de la fondation vers la surface. Cette extraction est, le plus souvent, régie par le transfert de chaleur par conduction (Johansen, 1975). Cependant, l’utilisation des matériaux grossiers dans la construction de ces ouvrages peut également permettre le transfert de chaleur par convection et par rayonnement. Par conséquent, une étude sur la granulométrie s’avère alors importante afin d’évaluer le transfert de chaleur dans le sol afin d’éviter les problèmes d’instabilité et minimiser les dégâts des constructions causés par les cycles gel-dégel.
Le transfert de chaleur dans le sol se fait selon plusieurs mécanismes en fonction de plusieurs paramètres comme la taille des particules, la porosité, la perméabilité et le gradient thermique auquel est soumis l’ouvrage.
Les études de Côté et Konrad (2011) ont prouvé que le rayonnement contribue d’une manière significative au transfert de chaleur dans le sol lorsque le diamètre effectif d10 est supérieur à 10 mm et devient prédominant lorsqu’il est supérieur à 90 mm. En effet, les résultats montrent que la radiation affecte de façon importante la conductivité thermique effective, avec des valeurs de λe variant de 0,71 à 1,02 W·m-1·K-1, comparativement à une valeur
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typique de 0,36 W· m-1·K-1 lorsque seulement la conduction est considérée. En outre, dans les fondations qui utilisent les matériaux grossiers, les pores sont grands et permettent la circulation du fluide sous l’effet d’un gradient de pression ou d’un gradient de température. Durant la saison froide, la température du sol naturel est plus élevée que celle à la surface de l’ouvrage ce qui résulte un gradient de température ascendant entrainant ainsi un mouvement du fluide dû à une différence de masse volumique. Le mouvement circulaire ascendant et descendant à l’intérieur du milieu poreux crée des cellules convectives.
De ce fait, l’utilisation des matériaux grossiers augmente le transfert de chaleur dans le sol et accentue la pénétration de gel dans le sol. L’étude de l’effet de la granulométrie est alors importante afin d’évaluer le transfert de chaleur dans le sol et ses conséquences sur la performance thermique des chaussées.
En Norvège, au cours des dernières décennies, les pratiques de construction de routes ont considérablement changé. En effet, il y a eu une transition majeure vers l'utilisation de matériaux de roche concassée pour la construction de routes et de chemins de fer au lieu de matériaux naturels tels que le sable ou le gravier puisque les matériaux de roche concassée favorisent l’extraction de la chaleur en hiver et permettent de l’apporter de la fondation vers la surface. Cependant, la plupart des classifications (sensibilité au gel, conductivité thermique, etc.) utilisées dans les spécifications actuelles sont basées sur les recherches menées dans le cadre de l'ancien projet Frost i Jord (1970-1976). Comme mentionné précédemment, différents matériaux étaient utilisés dans les couches granulaires des routes à cette époque (gravier au lieu de roche concassée). Une approche complexe s’avère nécessaire pour élaborer de nouvelles lignes directrices de conception pour les chaussées dans des conditions climatiques froides. Il est nécessaire d'optimiser les propriétés des roches concassées et d'adapter la procédure de conception existante au changement climatique. En outre la recherche sur l'exposition au gel et sa protection était absente en Norvège depuis des décennies.
Le projet de recherche « Protection contre le gel des routes et des chemins de fer » a été alors lancé au NTNU dans le but d'accroître la compréhension dans ce domaine complexe et de fournir la base scientifique pour de nouvelles directives de conception et la sélection des matériaux. Ce projet de maitrise s’inscrit dans ce cadre de projet de recherche et constitue
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une partie dont le principal objectif est d’optimiser le diamètre effectif d10 des matériaux de protection contre le gel pour limiter l’effet de la convection dans une structure de chaussée en Norvège. Les objectifs spécifiques consistent à i) Développer un modèle numérique pour estimer la profondeur de gel maximale et l’exprimer en fonction des données climatiques de chaque site étudié, ii) Développer une méthode d’analyse pour caractériser le diamètre effectif d10 critique à partir duquel le rayonnement et la convection sont actives, iii) Estimer d10 critique en fonction des données climatiques.
Dans le but d’atteindre tous les objectifs du projet ce mémoire a été structuré en 6 chapitres. Le chapitre 1 est consacré à une revue de littérature sur le phénomène de convection dans les ouvrages de génie civil, les modes de transfert thermique dans les milieux poreux et le phénomène de changement de phase de l’eau, ainsi que les modèles de prédiction et de calcul des propriétés du sol. Le chapitre 2 présente la méthodologie adoptée et l’outil numérique utilisé. Le chapitre 3 détaille l’implémentation et la validation des équations de transfert et de conservation en traitant 3 cas d’étude différents. Le chapitre 4 décrit les différentes étapes et les éléments nécessaires pour le développement du modèle numérique. Le chapitre 5 présente les résultats obtenus qui seront analysés dans le chapitre 6 qui présente les discussions. Finalement, la conclusion vient résumer les différents résultats du projet et propose des recommandations pour le choix des matériaux grossiers à travers les d10 critique trouvés.
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1 Revue de littérature
1.1 Phénomène de convection dans les ouvrages de génie civil
Dans la construction des grands ouvrages de génie civil, l’utilisation des matériaux à grande porométrie a une importance particulière. Ils sont utilisés en tant que remblai dans la réalisation des chaussées, de chemins ferroviaires, ainsi que dans les barrages en remblai pour la réalisation des épaulements amont et aval.
L’utilisation de ces matériaux grossiers permet d’apporter la chaleur de la fondation vers la surface, par conséquent, la convection intervient dans le transfert de chaleur et augmente le flux thermique. De ce fait, tenir compte de la conduction seule ne représente pas alors le comportement réel d’un ouvrage complexe construit de matériaux grossiers. Il est alors important de prendre en considération la convection d’air dans l’enrochement.
L’impact de la convection sur le comportement thermique des ouvrages de génie civil dépend du type de structure considéré : elle peut être favorable dans le cas de routes ou de voies ferrées construites sur des sols gelés où l’augmentation de l’extraction de chaleur permet de maintenir le pergélisol gelé et ainsi limiter les dégâts sur ces ouvrages dus au dégel saisonnier du sol (Goering & Kumar, 1996) (Goering, 2002) ; (Saboundjian, 2003).
Toutefois, l’impact peut être défavorable dans le cas de barrages et routes en remblai où la partie inférieure du remblai va se refroidir et ainsi augmenter les risques de gel saisonnier du drain de pied (Konrad, et al., 2006) (Lebeau & Konrad, 2008)
1.1.1 Remblai sur pergélisol
Les constructions sur pergélisol sont difficiles à mettre en œuvre car elles modifient la surface préexistante et l’équilibre énergétique entre le sol et la surface (Goering & Kumar, 1996). Ceci se traduit généralement par une augmentation de la différence de température entre la surface et l’air et conduit à une surface plus chaude. Finalement, cela peut entrainer un dégel du sol et si ce sol est riche en inclusions de glace, un tassement important peut avoir lieu. Les conséquences sur les constructions sont alors majeures : instabilité, fissuration et éventuellement rupture (Goering & Kumar, 1996) (Binxiang, et al., 2007).
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Pour ces raisons, il est nécessaire d’utiliser des méthodes de conception et de construction qui protègent le pergélisol.
Les remblais à convection d’air ont été utilisés comme méthode pour éviter le tassement des routes dû au dégel dans les régions de pergélisol. En hiver, la convection produite dans les pores de ces remblais augmente les pertes de chaleur, offrant ainsi un effet de refroidissement (Goering, 2003).
En hiver, le remblai est refroidi à sa surface supérieure en raison des basses températures de l'air ambiant. Si le refroidissement est suffisamment important et que le matériau du remblai est suffisamment perméable, une convection naturelle de l'air interstitiel se produira pendant les mois d'hiver en raison de l’air instable qui se développe. La convection peut transférer la chaleur du remblai vers le haut à un taux qui peut être supérieur au transfert de chaleur par conduction, ce qui augmente considérablement le refroidissement hivernal. En été, l'air dans les pores est stable et la convection ne se produit pas.
1.1.2 Barrage en enrochement
Les études sur la convection dans les barrages en enrochement sont très limitées, car les problèmes reliés à ce phénomène ont été remarqués depuis quelques années seulement. En effet,
Cinq années après sa construction, le barrage sud du complexe Laforge-2 (LA-2 BSU, situé dans le nord du Québec) a été sujet à des venues d’eau irrégulières au pied de la face avale (Konrad, et al., 2006).L'étude des mécanismes de blocage du drain de pied propose que celui-ci ait gelé dû au phénomène de convection dans les matériaux en enrochement (Konrad, et al., 2006).
Des modélisations numériques (Lebeau & Konrad, 2008) ont permis de démontrer qu'en couplant la conduction et la convection thermiques, la température à l'intérieur et autour du drain de pied d'un barrage diminue suffisamment pour amener celui-ci en permanence à l'état gelé.
1.1.3 Problèmes rencontrés en Norvège
Les hivers de 2009/2010 et 2010/2011 dans le sud-est de la Norvège ont été excessivement froids, entraînant des dégâts liés au gel, même sur les routes et les voies ferrées récemment construites. Les dommages causés aux structures routières et ferroviaires étaient principalement liés au soulèvement dû au gel provenant d'une profondeur de pénétration du gel excessive et imprévue. Cela a attiré l'attention du public, et avec certains articles de
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journaux, une publicité négative a été créée pour les autorités nationales des routes et des chemins de fer (Rieksts, 2018).
L'administration norvégienne des routes publiques a donc créé un groupe d'experts pour rechercher les causes des soulèvements excessifs dus au gel et proposer des modifications à la réglementation en vigueur. Depuis lors, le manuel N200 (2014) a été révisé deux fois, en 2014 et une nouvelle version a été publiée en 2018.
Étant donné que la réglementation du manuel 2014 devrait être basée sur une validation plus expérimentale des matériaux actuellement utilisés dans la construction des routes et des chemins de fer, un projet appelé Frost Protection of Roads and Railways (le projet Frost) a été lancé à l'Université norvégienne des sciences et de la technologie (NTNU) en collaboration avec l’Université Laval.
Le projet Frost étudie les problèmes de soulèvement dû au gel et les propriétés thermiques des matériaux de construction routière et ferroviaire. Une attention particulière a été accordée à, i) l'utilisation de matériaux grossiers qui pourraient entraîner une convection naturelle de l'air imprévue, ce qui réduirait finalement l'efficacité de la protection contre le gel ii) et l’estimation du front de gel pour les différents matériaux utilisés.
Le site expérimental est situé dans la région de Trøndelag en Norvège, à quelques kilomètres de Røros. La construction du site a eu lieu à l'automne 2016 et s'est terminée un peu avant la saison de gel. Plusieurs emplacements de sites d'essai (routes existantes et zones hors route) ont été pris en compte pendant la phase de conception et finalement la décision était basée sur les conditions hivernales rigoureuses de cette région.
Le site comprenait un tronçon de route de 48 m avec 6 sections différentes et un tronçon de chemin de fer de 32 m avec 4 sections différentes. Chaque tronçon mesurait 6 m de largeur.
Il a été construit sur une zone hors route qui n'est pas soumise à une charge de trafic. Cependant, un bon entretien hivernal (déneigement) a été effectué sur les deux tronçons.
Une pratique courante d'isolation des routes en Norvège consiste à utiliser une couche de roche concassée, appelée couche de protection contre le gel (FPL). La réglementation autorise une grande variation de la distribution granulométrique dans cette couche. Pour les 3 premiers tronçons de la route, les courbes granulométriques des couches sont présentées
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dans la figure 1, chaque FPL étant composé d'un mètre d'agrégats de roches concassées et construit comme suit: la section Ro-3 avec un matériau à granulométrie dense grossière (0/120 mm), la section Ro-1 avec un matériau à granulométrie plus ouverte (40/120 mm) et la section Ro-2 avec un matériau à granulométrie fine (0/32 mm).
Figure 1: Distribution granulométrique des différents matériaux utilisés (tiré de Rieksts Karlis 2018).
1.2 Modes de transfert de chaleur dans le sol et phénomène de changement de phase :
Généralement, la conduction est le principal mode de transfert de chaleur dans le sol. Cependant, dépendamment du diamètre des particules et du degré de saturation du sol, d'autres modes de transferts de chaleur peuvent intervenir. En effet, en hiver et dans les matériaux grossiers d'enrochement, une extraction de chaleur plus importante peut se produire par convection de l'air dans les pores du matériau.
Le transfert de chaleur dans le sol peut se faire selon différents mécanismes. Cependant, ils ne sont pas tous actifs au même instant et dépendent des caractéristiques du sol (diamètre effectif des particules, porosité, …) et de paramètres extérieurs (gradient de température, humidité présente dans le sol etc.…)
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(Johansen, 1975) a établi les limites de prédominance pour les différents modes de transfert de chaleur dans les sols en fonction du degré de saturation et du diamètre effectif des particules d10 comme présenté dans la figure 2.
Figure 2 : Mode de transfert thermique prépondérant dépendamment du diamètre effectif et du degré de saturation (Fillion, 2008).
Il a été montré que la conduction est le mode de transfert de chaleur dominant « zone 1 » pour la majorité des sols. D’autres modes peuvent avoir lieu comme la migration d’humidité « zone 2 » et la diffusion de vapeur « zone 3 » qui sont actifs pour des valeurs faibles de d10 et des valeurs de degré de saturation qui restent au-dessous de 0,6 et 0,25 respectivement. En outre, on trouve que la convection dans l’eau « zone 4 » est active pour des diamètres effectifs d10 variant de 0.001 mm à 0.1 mm avec un degré de saturation supérieur ou égale à 0,7. Quant à la convection dans l’air « zone 5 » et la radiation « zone 6 » sont actifs pour des diamètres effectifs relativement grand et des degrés de saturation inférieure ou égale à 0,4 et 0,7 respectivement.
La convection que ce soit dans l’eau ou dans l’air ne peut pas apparaitre lorsque le matériau est fin vu que la taille des pores est très réduite ce qui rend difficile la circulation du fluide entre les interstices sauf si le gradient thermique est très important. Il est de même pour la
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radiation qui ne peut pas être active pour les matériaux fins que lorsqu’ils sont soumis à un gradient de température très élevé.
Au cours de ce projet, les températures sont comprises entre [-25 °C,25 °C], alors pour que la convection soit active, il faut que les matériaux utilisés soient grossiers.
1.2.1 Conduction thermique
Le transfert de chaleur par conduction se produit dans un milieu matériel sans mouvement de matière. Elle est due à des phénomènes physiques microscopiques comme l’agitation des atomes ou des molécules. En effet, c’est un transfert d’énergie des particules chaudes qui ont une énergie de vibration élevée vers les particules froides qui sont moins énergétiques.
La conduction peut être caractérisée par une caractéristique propre à chaque matériau, c’est la conductivité thermique qui représente la quantité de chaleur transférée par unité de surface et par unité de temps sous l'action d'un gradient de température.
Dans le sol, la conductivité thermique dépend de plusieurs facteurs comme la densité du matériau, la teneur en eau, la minéralogie et la structure des grains (Côté & Konrad, 2005).
Quand le transfert de chaleur se fait purement par conduction, l’équation de conservation de la chaleur peut s’écrire comme suit :
𝐶𝑣𝜕𝑇
𝜕𝑡+∇. (−𝜆𝑒𝑓𝑓∇𝑇)= 0 [1.1]
Où Cv est la capacité calorifique volumétrique (kJ m−3 K−1) et 𝜆𝑒𝑓𝑓 est la conductivité thermique effective du matériau (W/m.°C). Le premier terme de l’équation est le terme qui présente le stockage de la chaleur, alors que le deuxième présente le terme du transfert thermique.
En régime permanent et en reposant sur l’hypothèse d’un flux unidimensionnel, le flux de chaleur par conduction est déterminé par :
𝑞 = 𝜆Δ𝑇
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Où q est le flux de chaleur exprimé en (W/m2), λ est la conductivité thermique exprimée en W/m°C, ΔT est la différence de température (en °C) et Δh est la distance entre deux mesures de température (en m).
1.2.2 Convection thermique
La convection de l'air dans les pores est un des phénomènes qui participent à l'écoulement de chaleur dans les matériaux grossiers. Dans les infrastructures, elle est fonction de deux propriétés, caractéristiques des matériaux, soient une conductivité thermique faible et une perméabilité intrinsèque élevée. (Côté, et al., 2011b)
Les matériaux grossiers se caractérisent par les grands pores qui leurs permettent de faire circuler le fluide sous l’effet d’un gradient de pression ou d’un gradient de température. Dans ce dernier cas, si le gradient de température est ascendant (opposé à la gravité), il va entrainer un mouvement du fluide dû à une différence de masse volumique : le fluide plus chaud devient plus léger et monte ; le fluide plus froid devient plus lourd et descend. La combinaison de ces mouvements ascendant et descendant forme un mouvement circulaire à l’intérieur du milieu poreux, appelé cellule convective.
De nombreuses études antérieures sur les mécanismes de transfert de chaleur ont démontré le potentiel de refroidissement de la convection naturelle dans les matériaux grossiers (Goering & Kumar, 1996) (Goering, 2000) (Goering, 2002) (Goering, 2003), (Binxiang, et al., 2007) (Lebeau & Konrad, 2008); Ces études ont montré que le transfert de chaleur en été est dominé par la conduction thermique, tandis qu’en hiver, il est contrôlé par convection thermique. C’est pour cette raison que les remblais de roche grossière sont souvent appelés des remblais de convection.
Deux nombres adimensionnels sont utilisés afin de quantifier le gradient thermique appliqué au matériau (nombre de Rayleigh) et le flux additionnel dû au transfert de chaleur par convection (nombre de Nusselt). Le nombre de Rayleigh est exprimé en fonction des caractéristiques de fluide et du milieu poreux (Nield & Bejan, 2006)
𝑅𝑎 = 𝐾 𝜌𝑓 2𝑐
𝑓𝛽𝑔𝐻2𝛻𝑇
𝜇 𝜆𝑒𝑓𝑓 [1.3]
11 • K : perméabilité intrinsèque en m²
• 𝜌𝑓 : masse volumique du fluide en kg/m3 • 𝑐𝑓 : capacité calorifique massique en kJ/(kg.K) • 𝛽 : coefficient d'expansion thermique en K-1 • 𝑔: accélération de la pesanteur en m/s² • 𝐻: hauteur du milieu poreux en m
• ∇𝑇 = |𝑇1−𝑇2|/𝐻 : gradient de température imposé entre les extrémités du milieu poreux en K/m.
• 𝜇 : viscosité dynamique en kg/(m.s)
• 𝜆𝑒𝑓𝑓: conductivité équivalente du milieu poreux et du fluide en W/(m.K)
Le nombre de Nusselt (Nu) est égal au ratio du flux dans le cas d’un gradient thermique ascendant (transfert thermique par conduction et convection) sur le flux dans le cas d’un gradient thermique descendant (transfert thermique par conduction uniquement) (Nield & Bejan, 2006)
Nu =𝑞 ↑
𝑞 ↓ [1.4]
A partir de la définition du nombre de Rayleigh et en utilisant les résultats de Schubert et Strauss, il est possible d’établir une relation entre les nombres de Rayleigh et de Nusselt pour une cellule cubique avec une seule cellule convective. Puis il est possible d’exprimer le flux dans le cas de la convection et de la conduction en fonction du flux en conduction et des caractéristiques du matériau comme suit (Dhyser, 2013):
𝑞 ↑= 𝑞 ↓ × Nu = 𝜆𝑒𝑓𝑓× ∇𝑇 × Nu [1.5]
𝑞 ↑= 𝜆𝑒𝑓𝑓× ∇𝑇 × (1.719 × 𝑙𝑛 (𝐾 𝜌𝑓 2𝑐
𝑓 𝛽 𝑔 𝐻2 𝛻𝑇
𝜇 𝜆𝑒𝑓𝑓 ) − 5.273) [1.6]
Le nombre de Nusselt est supérieur ou égal à 1 : il est égal à 1 quand le transfert de chaleur se fait par conduction uniquement et est supérieur à 1 quand le transfert de chaleur se fait par conduction et par convection.
12
Quand le transfert de chaleur se fait par conduction et par convection d’air, l’équation de conservation de la chaleur peut s’écrire comme suit :
𝐶𝑣 𝜕𝑇
𝜕𝑡+∇. (−𝜆𝑒𝑓𝑓∇𝑇) +𝑉⃑⃑⃑ 𝐶𝑎 𝑎. ∇⃑⃑ T = 0 [1.7] Où 𝐶𝑎 est la capacité thermique volumique de l’air et 𝑉⃑⃑⃑ est le vecteur de vitesse de Darcy 𝑎 pour l’écoulement d’air.
1.2.3 Radiation
Le transfert de chaleur par rayonnement se produit sous la forme d'un processus électromagnétique où les ondes se propagent dans un milieu transparent (principalement gaz) d'une surface chaude à une surface plus froide.
La loi de Stefan-Boltzman décrit l'intensité du rayonnement thermique proportionnel à la température de surface
𝑞𝑟 = 𝜀𝜎𝑇4 [1.8]
Où ε est l'émissivité de surface (0-1), 𝜎 est la constante de Stefan-Boltzman égale à 5,67 × 10-8 (Wm-2K-4), et T est la température (K).
Le transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux poreux est un mécanisme de transfert de chaleur qui a de l’importance dans plusieurs applications industrielles. (Schotte, 1960) (Chen & Churchill, 1963) (Godbee & Ziegler, 1966) (Vortmeyer, 1978) ont montré que les milieux poreux constitués de particules très fines (poudres) étaient généralement des matériaux purement conducteurs à la température ambiante. À des températures élevées, les mêmes poudres ont présenté une augmentation significative des taux de transfert de chaleur, ce qui a été attribué au fait que le rayonnement est devenu le mécanisme de transfert prédominant (Fillion, et al., 2011)
Dans la marge des températures imposées au cours de ce projet qui varient approximativement de -25 °C à 25 °C, les matériaux doivent être plus grossiers pour que le rayonnement contribue au transfert de chaleur.
Quand le transfert de chaleur se fait par conduction, convection et rayonnement, l’équation de conservation de la chaleur peut s’écrire comme suit :
13 𝐶𝑣𝜕𝑇
𝜕𝑡 + 𝑉⃑⃑⃑ 𝐶𝑎 𝑎∇⃑⃑ T = ∇. (𝜆𝑐 ∇𝑇) + ∇. 𝑞𝑟 [1.9] Où ∇𝑞𝑟 est le gradient de flux de chaleur radiatif. Expérimentalement, il est pratiquement impossible de distinguer le flux thermique par radiation de celui par conduction. Cependant, le flux de chaleur transmis par radiation est orienté dans le même sens que le flux transmis par conduction, alors ces deux flux combinés permettent d'établir une conductivité thermique effective (Wakao & Kato, 1969)
L'apport de la radiation à la conductivité thermique effective au travers d'un vide est donné par :
𝜆𝑟= 4𝐸𝑑10𝜎𝑇3 [1.10]
Où E est un facteur d'échange égale à 𝜀
2−𝜀 selon (Argo & Smith, 1953) et d10 est le diamètre des particules dans les matériaux non uniformes et T est la température du milieu.
La conductivité thermique effective peut être donc définie comme la somme des contributions du rayonnement inter particulaire en termes de conductivité rayonnante 𝜆𝑟 et de la conductivité pure 𝜆𝑟 (Tien & Drolen, 1987) (Kaviany, 1995)
𝜆𝑒𝑓𝑓 = 𝜆𝑐+ 𝜆𝑟 [1.11]
Par la suite l’équation [2.9] peut s’écrire donc sous la forme suivante : 𝐶𝑣𝜕𝑇
𝜕𝑡 + 𝑉⃑⃑⃑ 𝐶𝑎 𝑎∇⃑⃑ T = ∇. (𝜆𝑒𝑓𝑓∇𝑇) [1.12]
1.2.4 Phénomène de changement de phase dans les sols
Le sol est un matériau à trois phases qui se compose de squelette solide sous forme de particules minérales dont les vides peuvent être remplis de liquide et/ou de gaz.
La coexistence, dans le matériau, de trois phases présentant de grandes différences dans leurs propriétés physiques et mécaniques explique la complexité du comportement des sols.
14
Quand la température atteint une valeur en dessous de 0 °C, l’eau dans les pores gèle et passe de l’état liquide à l’état solide.
Pour un problème de transfert de chaleur par conduction, convection et radiation en considérant le changement de phase d’eau liquide, l’équation de la chaleur peut être écrite comme suit : 𝐶𝑣𝜕𝑇 𝜕𝑡+ 𝑉⃑⃑⃑ 𝐶𝑎 𝑎⃑⃑ T = ∇. (𝜆∇ 𝑒𝑓𝑓 ∇𝑇)+𝐿𝑓𝜌𝑖 𝜕𝜃𝑖 𝜕𝑡 [1.13] 1.2.4.1 Chaleur latente
La chaleur latente ou l’enthalpie de changement d’état d’une quantité de matière est la quantité d'énergie qu'il faut dégager ou absorber pour qu'elle passe de l'état initial (solide, liquide ou gazeux) à un autre état.
La figure 3 montre la variation de l’énergie en fonction de la température et pour le changement de phase de l’eau solide (gelée) en eau liquide (dégelée). La chaleur latente L est représentée à une température de 0 ⁰C. Dans le cas du changement de phase de l’eau liquide en glace, la chaleur libérée est de Lw=333 MJ/m3 (80 cal/kg). La valeur de chaleur latente dans un sol varie donc principalement en fonction de la teneur en eau gelée et non gelée. La chaleur la tente de fusion Lf d’un sol pour 1m3 de sol est calculée avec la formule suivante :
𝐿𝑓 = 𝑆𝑟𝑛𝐿𝑤 [1.14] Où 𝑆𝑟 est le degré de saturation du sol, 𝑛 est la porosité.
15
Figure 3: Chaleur latente de fusion de l'eau en fonction de la température.
La chaleur spécifique d'un corps ou capacité thermique massique est la quantité d'énergie requise pour qu’un kilogramme d’un élément augmente de 1 degré Celsius.
Comme présentée dans la figure 3, la capacité thermique volumique est représentée comme la pente de la droite de l’énergie en fonction de la température.
Dans le sol, en multipliant la capacité thermique massique de l’élément par sa masse volumique et par sa fraction volumétrique, on obtient la capacité thermique volumique qui peut être exprimée comme suit :
𝐶𝑣 = (1 − 𝑛)𝐶𝑠𝜌𝑠+ 𝜃𝑤𝐶𝑤𝜌𝑤 + 𝜃𝑖𝐶𝑖𝜌𝑖+ 𝜃𝑎𝐶𝑎𝜌𝑎 [1.15] Où 𝜃𝑠 = (1 − 𝑛) correspond à la fraction des grains solides, 𝜃𝑤 la fraction d’eau liquide, 𝜃𝑖 la fraction de la glace et 𝜃𝑎 la fraction d’air par rapport au volume total de sol. 𝐶𝑎 est la capacité thermique de l’air. Cette valeur étant très faible d’où son terme dans l’équation sera négligé. L’équation de la capacité thermique d’un sol devient donc :
16
𝐶𝑣 = (1 − 𝑛)𝐶𝑠𝜌𝑠+ 𝜃𝑤𝐶𝑤𝜌𝑤+ 𝜃𝑖𝐶𝑖𝜌𝑖 [1.16] 𝐶𝑤est la capacité thermique de l’eau = 4.180 MJ/m3 ⁰C
𝐶𝑖 est capacité thermique de l’eau gelée = 2.060 MJ/m3 ⁰C
𝐶𝑠 est capacité thermique des particules de sol est généralement prise = 0.800 MJ/m3 ⁰C
1.2.4.2 Changement de phase de l’eau
Dans un milieu poreux, et en particulier dans un sol, la phase liquide est liée à la phase solide par des forces d’hydratation. Ces forces sont de plusieurs natures et l’importance de chacune varie suivant l’état hydrique du milieu. Pour de fortes teneurs en eau, c’est la capillarité qui a un rôle prépondérant dans la rétention d’eau alors que pour les états les plus secs, ce sont les forces d’adsorption.
Dans un sol saturé, tous les pores sont remplis d’eau et aucune surface de séparation air-eau n’est présente. Dans ce cas, la pression totale de l’eau s’exprime par l’équation suivante : (Dall’Amico., et al., 2010)
𝑃𝑤 = 𝑃𝑎+ ⍴𝑤𝑔ℎ [1.17] Où h est la hauteur de la colonne d’eau.
Dans un sol non saturé, en revanche, la présence du ménisque crée une pression négative selon l'équation suivante :
𝑃𝑤 = 𝑃𝑎 − 𝛾𝑤𝑎𝜕𝐴𝑤𝑎
𝜕𝑉𝑤 [1.18]
Où 𝐴𝑤𝑎 est la surface de séparation de l'eau et de l'air et 𝑉𝑤 le volume de la gouttelette d'eau. Cette pression, divisée par ⍴𝑤et g, représente l'énergie, appartenant à l'eau des capillaires.
En intégrant cette énergie dans un volume élémentaire représentatif et en divisant par le volume total, on obtient l’énergie moyenne de l’eau dans le volume, en considérant tout le rayon des différents capillaires. Ce paramètre est appelé succion du sol et est généralement appelée ψ𝑤.
Quand la température du sol diminue au-dessous de la température de congélation (0 °C pour l’eau), l’eau liquide dans les pores peut se transformer en glace. Ce phénomène représente le
17
changement de phase ou d’état de l’eau et peut-être expliqué par l’équation de Gibbs-Duhem. Cette équation est la dérivée de l’équation d’énergie de Gibbs qui s’exprime comme suit :
G (P,T)=H-T x ES
Où H et ES sont l’enthalpie et l’entropie respectivement.
Pour une seule substance (eau ou glace) et en supposant un processus à pression constante et que l’enthalpie est utilisée pour évaluer de l'entropie, l'équation de Gibbs-Duhem peut être exprimé comme suit :
𝑑µ𝑗 = −𝐻𝑗
𝑇 𝑑𝑇 + 𝑉𝑗𝑑𝑃𝑗 𝑗 ⋲ {𝑖, 𝑤} [1.19] Où µ est le potentiel chimique de l’eau ou de la glace, V est le volume spécifique. H et V dépendent de la température et de la pression. En supposant que ces deux dernières sont constantes à la température de référence et à la pression de référence, alors la condition d’équilibre est obtenue pour la glace et l’eau comme suit : (Dall’Amico, 2010)
−𝐻𝑤
𝑇 𝑑𝑇 + 𝑉𝑤𝑑𝑃𝑤 = −𝐻𝑖
𝑇 𝑑𝑇 + 𝑉𝑖𝑑𝑃𝑖 [1.20] En supposant que 𝑃𝑖 = 𝑃𝑎 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑤 = 𝑃𝑖+ 𝑃𝑔𝑒𝑙 , on aura :
{𝑑𝑃𝑤 = 𝑑𝑃𝑔𝑒𝑙 𝑑𝑃𝑖 = 0
La dernière égalité étant une conséquence de 𝑃𝑎 tend vers une constante proche de 0. Donc:
𝐿𝑓 𝑑𝑇 𝑇 = 𝑉𝑤𝑑𝑃𝑔𝑒𝑙 = 𝑔 𝑑𝜓𝑔𝑒𝑙 [1.21] Or 𝑃 = ⍴𝑤𝑔𝜓 alors 𝐿𝑓ln 𝑇 𝑇0 ⋍ 𝐿𝑓 𝑇 − 𝑇0 𝑇0 = 𝑔 𝑑𝜓𝑔𝑒𝑙 [1.22]
En prenant une température de référence 𝑇0 = 273.15𝐾 𝑒𝑡 𝜓𝑔𝑒𝑙0 = 0, on obtient,
𝜓𝑔𝑒𝑙 = 𝜓𝑔𝑒𝑙(𝑇) = 𝐿𝑓
18
Cette équation s'appelle l'équation de Clausius-Clapeyron. Elle a été introduite pour la première fois par (Edlefsen & Anderson, 1943) dans le but de décrire la dépendance mutuelle de la température, de la teneur en eau et des solutés au moyen d'une équation de Clapeyron généralisée et étendue utilisant la théorie de l'équilibre thermodynamique (Dall’Amico, 2010).
1.2.4.3 Mécanismes de rétention d’eau
La courbe caractéristique de l'eau dans le sol ou courbe de rétention d'eau est la relation entre la teneur en eau, θw, et le potentiel hydrique du sol, ψ, et est caractéristique de différents types de sol.
Les relations de Brooks & Corey 1964, Clapp & Hornberger 1978, et Van Genuchten 1980 représentent les relations les plus populaires actuellement utilisées. Lorsque la glace est présente dans le sol, les flux de chaleur et de l’eau sont étroitement couplés, c’est-à-dire que ψ et θw dépendent fortement de la température car la formation de glace dans les pores affecte l’équilibre des phases.La relation entre les températures de gel du sol et la teneur en eau non gelée est généralement appelée courbe caractéristique de gel du sol (Dall’Amico, 2010).
Selonle modèle de (Van Genuchten, 1980), la teneur volumétrique en eau liquide θw peut être exprimée comme suit :
𝜃𝑤[𝜓(𝑇)] = 𝜃𝑟+ (𝜃𝑠− 𝜃𝑟) × {1 + [−𝛼𝜓(𝑇)]𝑛}−𝑚 [1.24]
Où 𝜃𝑟 est la teneur en eau résiduelle et 𝜃𝑠 est la teneur en eau saturée, c'est-à-dire la porosité du sol. 𝛼 [m-1], m [-] et n [-] sont des paramètres d'ajustement reflétant l’inverse de la valeur de la charge capillaire critique et la distribution granulométrique.
Habituellement, 𝑚 = 1 −1
𝑛 pour simplifier le calcul.
Pour remplacer 𝜓 par son expression dans l’équation [2.24], elle doit être exprimée en m sous la forme suivante :
𝜓 = 𝐿𝑓 𝑔𝑇0
(𝑇 − 𝑇0) [1.25]
19 𝜃𝑤[𝜓(𝑇)] = 𝜃𝑟+ (𝜃𝑠− 𝜃𝑟) × {1 + [−𝛼 𝐿𝑓 𝑔 𝑇0(𝑇 − 𝑇0) ] 𝑛 } 1 𝑛−1 [1.26]
1.3 Modèle de prédiction et de calcul des propriétés du sol 1.3.1 Conductivité thermique
La conductivité thermique est le mode de transfert de chaleur déterminant dans la majorité des matériaux granulaires non liés (Farouki, 1981) (Johansen, 1975). Au cours des dernières décennies, de nombreux modèles théoriques (Smith, 1942), semi empiriques (Côté & Konrad, 2005) (Johansen, 1975), et empiriques (Kersten, 1949) ont été développés pour les sols secs, humides et saturés. (Farouki, 1981) passe en revue plusieurs des modèles de conductivité thermique disponibles à ce moment-là et parvient à la conclusion générale que le modèle de Johansen (1975) fournit les meilleures estimations pour la plus large gamme de sols.
Johansen (1975) a développé son modèle à partir des données recueillies par Kersten (1949) sur les sables moyens et fins et les sols fins. Il propose l'approche de la conductivité thermique normalisée comme suit :
𝜆𝑛 =
𝜆 − 𝜆𝑑𝑟𝑦 𝜆𝑠𝑎𝑡− 𝜆𝑑𝑟𝑦
[1.27]
Où 𝜆𝑛 est la conductivité thermique normalisée (Wm-1°C-1), 𝜆 est la conductivité thermique mesurée (Wm-1°C-1), 𝜆𝑑𝑟𝑦 est la conductivité thermique à l'état sec et 𝜆𝑠𝑎𝑡 est la conductivité thermique conductivité à l'état saturé. Johansen (1975) relie ensuite la conductivité thermique normalisée au degré de saturation et propose des relations dépendant du type de sol.
Le modèle de conductivité thermique normalisé définit les conditions aux limites suivantes :
𝑆𝑟= 0 ∶ 𝜆 = 𝜆𝑑𝑟𝑦 => 𝜆𝑟 = 0 [1.28]
20
Compte tenu de ses performances relativement bonnes, comme l'ont indiqué (Farouki, 1981), (Côté & Konrad, 2005) ont étendu le modèle pour le rendre applicable à d'autres types de sols afin de proposer une relation généralisée 𝜆𝑟− 𝑆𝑟.
𝜆𝑛 = κ 𝑆𝑟 1 + (1 − κ)𝑆𝑟
[1.30]
Où κ est un paramètre empirique utilisé pour tenir compte des différents types de sols dans les états gelés et non gelés.
Pour les graviers et sables grossiers, la valeur de κ est fixée à 4.6 pour l’état non gelé, et 1.7 pour l’état gelé, pour les sables fins et moyens elle est fixée à 3.55 pour l’état non gelé et 0.95 pour l’état gelé. Quant aux sols limoneux et argileux elle est fixée à 1.9 pour l’état non gelé et 0.85 pour l’état gelé.
1.3.1.1 Conductivité thermique des sols secs
Le rapport élevé de conductivité thermique entre l'air et les particules solides (> 100) implique généralement une plus grande sensibilité de la conductivité thermique à la microstructure des sols secs (Johansen, 1975). Auparavant, aucune approche théorique ou analytique n'a été en mesure de quantifier cet effet sur la sécheresse pour une grande variété de sols secs. Une approche empirique a donc été utilisée par (Côté & Konrad, 2005) pour analyser les données de conductivité thermique pour les sols secs.
La figure 4 présente la relation entre la conductivité thermique des sols naturels secs et la porosité pour les données de (Johansen, 1975), avec les valeurs estimées de 𝜆𝑠 = 2.7 − 5.9 W/m. °C; (Kersten, 1949) avec des valeurs estimées de𝜆𝑠 = 2 − 5 W/m. °C; Slusarchuk et Watson (1975), avec 𝑘𝑠 inconnu; (Smith, 1942), avec des valeurs rapportées de 𝜆𝑠 = 2.5 − 3 W/m. °C; et Smith et Byers (1938) avec 𝜆𝑠 inconnu. La conductivité thermique des sols minéraux naturels secs varie de 0,4 à 0,12 W / m ° C pour des porosités allant de 0,25 à 0,67. (Côté & Konrad, 2005)
21
Figure 4: Relation entre la conductivité thermique des sols naturels secs et la porosité (Côté
& Konrad, 2005).
Comme la teneur en minéraux des particules solides a une faible influence sur la conductivité thermique des sols secs, la figure 4 montre que 𝑘𝑑𝑟𝑦 peut être directement liée à la porosité n pour différents types de sols. Une relation exponentielle généralisée est donc proposée afin d’estimer les valeurs de la conductivité thermique des matériaux secs pour les sols de différentes formes de particules.
La conductivité thermique normalisée exprime la conductivité thermique d'un matériau donné dans ses états sec et saturé. Côté et Konrad (2005) proposent, avec le modèle de conductivité thermique généralisée, une équation qui permet de calculer 𝜆𝑑𝑟𝑦comme suit :
𝜆𝑑𝑟𝑦 = χ × 10−ηn [1.31] Où χ (W·m-1·°C-1) et η (sans unité) sont des paramètres matériels qui représentent le type de sol et n est la porosité. Pour les matériaux concassés, les valeurs de χ et η sont respectivement 1,7 W·m-1·°C-1 et 1,8 et pour les sols naturels, χ et η sont respectivement 0.75 W·m-1·°C-1 et 1.2.
22
L’équation [2.31] présente 𝜆𝑑𝑟𝑦 en fonction de la porosité et du type de sol, mais ne prend pas en compte la conductivité thermique en phase solide 𝜆𝑠. Plus tard, Côté et Konrad (2009) ont proposé une équation semi empirique pour un matériau en deux phases afin de tenir en compte la variation de 𝜆𝑠.
Ce modèle est mathématiquement équivalent au modèle bien connu proposé par (Fricke, 1924), mais comprend un paramètre de structure 𝜅2𝑝 qui est empiriquement dérivé de données expérimentales issues de plusieurs sols naturels, roches concassées, roches sédimentaires et industrielles, ciment industriel et béton bitumineux ( (Smith, 1942); (Woodside & Messmer, 1961); (Johansen, 1975) (Brigaud & Vasseur, 1989) (Tavman, 1996) (Côté & Konrad, 2005)
𝜆𝑑𝑟𝑦 =(𝜅2𝑝𝜆𝑠− 𝑘𝑓)(1 − 𝑛) + 𝜆𝑓
1 + (𝜅2𝑝− 1)(1 − 𝑛) [1.32]
Où 𝜆𝑠 et 𝜆𝑓 sont respectivement la conductivité thermique (W/m·°C) des phases solide et fluide (air), et 𝜅2𝑝est un paramètre de structure (pas d'unités) défini comme suit :
𝜅2𝑝 = 0.29(15 𝑘𝑠 𝑘𝑓
)𝛽 [1.33]
Où 𝛽 est un facteur empirique tenant compte de la structure. Lorsque le rapport λf / λs est inférieur à 1/15, les valeurs empiriques de 𝛽 sont respectivement 0,81, 0,54 et 0,34 pour le sol naturel, pierre concassée et matériaux collés (béton et roche poreuse).
Pour les rapports λf/λs supérieurs à 1/15, les effets de structure sont négligeables et une valeur unique de 𝛽 égale à 0,46 a été jugée adéquate pour les trois types de matériaux.
1.3.1.2 Conductivité thermique saturée
Le calcul de la conductivité thermique des sols saturés non gelés se fait avec les équations suivantes :
23
Où 𝑘𝑠𝑎𝑡(𝑢)est la conductivité thermique du sol saturé non gelé ; 𝑘𝑠et 𝑘𝑤 sont les conductivités thermiques des particules solides et l'eau (W/ m°C), respectivement ; et n est la porosité du sol, qui peut être obtenu à partir de la relation suivante :
𝑛 = 1 −𝜌𝑑
𝜌𝑠 [1.35]
Où 𝜌𝑠et 𝜌𝑑 sont, respectivement la densité des particules solides et la densité sèche des sols (kg/m3).
La conductivité thermique des sols saturés gelés peut être calculée avec
𝜆𝑠𝑎𝑡(𝑓)= 𝜆𝑠1−𝑛× 𝜆𝑖
𝑛−𝜃𝑢 × 𝜆 𝑤
𝜃𝑢 [1.36]
Où 𝜆𝑠𝑎𝑡(𝑓)est la conductivité thermique du sol gelé saturé et 𝜆𝑖 est la conductivité thermique de la glace, 𝜆𝑤 est la conductivité thermique de l’eau et 𝜃𝑢 est la fraction volumétrique de l’eau non gelée.
En remplaçant 𝜆𝑤 et 𝜆𝑖 par leurs valeurs, les deux équations peuvent s’écrire comme suit : ✓ Pour le cas gelé :
𝜆𝑠𝑎𝑡(𝑓) = 𝜆𝑠1−𝑛× 2.24𝑛−𝜃𝑢 × 0.6𝜃𝑢 [1.37] ✓ Pour le cas non gelé :
𝜆𝑠𝑎𝑡(𝑢) = 𝜆𝑠1−𝑛× 0.6𝑛 [1.38]
1.3.1.3 Conductivité thermique des particules solide
L'équation de calcul 𝜆𝑠𝑎𝑡 nécessite 𝜆𝑠 en tant que paramètre d'entrée. Lorsque la composition minérale complète est connue, la conductivité thermique des particules solides peut être évaluée en utilisant la méthode de la moyenne géométrique généralisée avec des données relatives à la conductivité thermique des minéraux en formation comme suit
𝜆𝑠 = ∏ 𝜆𝑚𝑗𝑥𝑖 𝑧 𝑗=1 𝑎𝑣𝑒𝑐 ∏ 𝑥𝑖 = 1 [1.39] 𝑧 𝑗=1
24
Où Π est le produit de la conductivité thermique de chaque minéral 𝜆𝑚élevé à la puissance de sa proportion volumétrique x dans la roche. Cette méthode est utilisée avec succès dans plusieurs études (Côté & Konrad, 2005); (Sass, et al., 1971) (Woodside & Messmer, 1961)
1.3.1.4 Prédiction de la conductivité thermique des sols
La conductivité thermique du matériau à l’état gelé et non gelé peut se calculer en se basant sur les équations suivantes :
𝜆𝑢 = (𝜆𝑠𝑎𝑡(𝑢)− 𝜆𝑑𝑟𝑦) 𝜆𝑛𝑢+ 𝜆𝑑𝑟𝑦 [1.40]
𝜆𝑓 = (𝜆𝑠𝑎𝑡(𝑓)− 𝜆𝑑𝑟𝑦) 𝜆𝑛𝑓+ 𝜆𝑑𝑟𝑦 [1.41]
Où 𝜆𝑛𝑢 et 𝜆𝑛𝑓 correspondent à la conductivité thermique normalisée des conditions non gelées et gelées, et les indices u et f correspondent aux conditions non gelées ou gelées.
1.3.1.5 Conductivité thermique effective
La conduction dans la plupart des sols secs est généralement indépendante de la taille des particules (Côté & Konrad, 2005), (Côté & Konrad, 2009), (Côté, et al., 2011b). Cependant, l'augmentation de la taille des particules augmentera la contribution du transfert de chaleur radiatif.
(Vortmeyer, 1978), (Tien & Drolen, 1987) et (Kaviany, 1995)ont proposé que la contribution du rayonnement thermique soit prise en compte en utilisant le modèle de conductivité radiante.
Le comportement efficace de la conductivité thermique peut être défini comme la somme des contributions du rayonnement inter particulaire et de la conduction pure. (Tien & Drolen, 1987) (Kaviany, 1995).
𝜆𝑒 = 𝜆𝑐+ 𝜆𝑟 [1.42]
Où 𝜆𝑒 est la conductivité thermique effective, 𝜆𝑐 est la conductivité thermique qui tient compte de la conduction pure et λr et la conductivité thermique radiante.
1.3.1.6 Conductivité thermique par conduction
La conductivité thermique qui tient compte de la conduction pure est celle présentée précédemment par l’équation [2.43].
25
𝜆𝑐 = (𝜅2𝑝𝜆𝑠− 𝜆𝑓)(1 − 𝑛) + 𝜆𝑓
1 + (𝜅2𝑝− 1)(1 − 𝑛) [1.43] Le modèle a été développé pour des matériaux avec des valeurs de d10 inférieures à 1 mm, qui se situent bien dans la zone 1 de la figure 1, typique pour les matériaux purement conducteurs.
1.3.1.7 Conductivité thermique par radiation
Les milieux poreux en grandes particules contiennent généralement de gros pores ce qui augmente le bilan de rayonnement entre les particules. Dans l'approximation de la diffusion, la conductivité rayonnante équivalente peut être exprimée par (Tien & Drolen, 1987)
𝜆𝑟= 4𝐸𝑑10𝜎𝑇3 [1.44]
Où E est un facteur d'échange égale à 𝜀
2−𝜀 selon (Argo & Smith, 1953) et d10 est le diamètre effectif des particules dans les matériaux non uniformes, σ est la constante de Stefan-Boltzmann égale à 5,67x10-8 Wm-3K-4 et T est la température moyenne du milieu poreux en K.
La conductivité thermique effective (conduction + rayonnement) s’exprime alors sous la forme suivante
𝜆𝑒𝑓𝑓 = (𝑘2𝑝 𝜆𝑠−𝜆𝑓)(1−𝑛)+𝜆𝑓
1+(𝑘2𝑝−1)(1−𝑛) +4𝐸𝑑10𝜎𝑇
3 [1.45]
1.3.1.8 Effet de d10 sur la conductivité thermique effective
Afin de mieux comprendre le phénomène de rayonnement et sa contribution à la conductivité thermique des matériaux, (Fillion, 2008) a réalisé des tests en laboratoire sur une cellule de transfert de chaleur de 1 m× 1 m × 1 m. Le principe du test consistait à appliquer des
températures sur les échantillons par la circulation d’un fluide à température contrôlée au haut et au bas de l’échantillon. Les flux de chaleur et les variations de température sont mesurés afin d’établir la conductivité thermique effective λeff, qui tient compte des deux
mécanismes de transfert de chaleur : la conduction et la radiation. Le diamètre équivalent des particules d10 des matériaux étudiés varie entre 90 mm et 100 mm, et ils ont une porosité n
26
Figure 5: Montage expérimental pour les matériaux à échelle réelle (Fillion 2008). La cellule de transfert thermique utilisée dans le laboratoire par Fillion (2008) est représentée sur la figure 5. L'appareil est constitué d'une boîte en bois de 1 m x 1 m x 1 m, isolé avec du polystyrène de 150 mm d'épaisseur. Deux plaques en béton et en aluminium à température contrôlée sont placées au-dessus et au-dessous de l'échantillon. Les températures imposées aux deux plaques sont différentes afin de créer un gradient de température dans l’échantillon. Une couche de sable d’épaisseur moyenne de 3 cm est insérée entre ces plaques et le matériau afin d’assurer un bon contact. Les faces latérales et supérieures du matériau sont isolées par plusieurs couches de contreplaqué et de polystyrène.
Des thermistances sont placées dans le matériau d’enrochement pour mesurer la température en différents points. Le flux est mesuré par quatre fluxmètres placés dans la partie inférieure de la couche de béton supérieure.
Ces conditions expérimentales permettent d’assurer des conditions interstitielles stables et favorisent le processus de transfert de chaleur par conduction et rayonnement, sans effets de convection. La conductivité thermique effective est alors obtenue par :
𝜆𝑒𝑓𝑓 =𝑞 ↓ ∆𝐻
∆𝑇 [1.46] Où q ↓ est le flux de chaleur descendant (W m-2), ΔH est la hauteur de l'échantillon (m), et ΔT est la différence de température (K) entre le haut et le bas de l'échantillon.
27
La figure 6 montre que pour les matériaux (que ce soient naturel ou bien concassé) ayant des diamètres de particules d10 inférieurs à 10 mm, l'effet de rayonnement est négligeable et le mode de transfert de chaleur prépondérant est la conduction. Cependant, pour des diamètres de particule d10 supérieurs à 10 mm, l'influence du rayonnement thermique devient significative, car la conductivité thermique effective augmente considérablement avec le diamètre des particules.
La figure 6 permet de constater aussi que la conductivité thermique par conduction pure est constante (ligne pointillée horizontale), indépendamment de d10. Pour les matériaux de d10 inférieur à 3 mm, la conductivité thermique radiante λr est négligeable et la conductivité thermique effective expérimentale est constante à environ 0,36 W m-1·K-1. Pour les matériaux avec des particules plus grosses, λeff augmente rapidement avec une augmentation de d10.
Comme il a été généralement observé, la conductivité thermique (conduction pure) des matériaux granulaires secs n'est pas influencée par le diamètre des particules. L'augmentation de λeff par rapport à d10 peut donc être attribuée à la distance croissante entre les particules adjacentes lorsque d10 augmente. Pour un gradient thermique donné, la différence de Figure 6: Effet attendu du rayonnement thermique dans les géo matériaux (Fillion, et al., 2011).
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température entre deux surfaces adjacentes est une fonction directe de d10. En effet, plus la différence de température de surface entre deux particules est élevée, plus le flux thermique de rayonnement net est élevé.
Comme le montre la figure 7, les points noirs représentent les données expérimentales obtenues par (Côté, et al., 2011b) pour les sables granitiques. Les valeurs d10 de ces sables étaient inférieures à 3 mm, ce qui correspond à des matériaux purement conducteurs, comme le montre la zone 1 de la figure 1. Le modèle prédictif de (Côté & Konrad, 2009) pour la conduction pure est en accord avec les données expérimentales pour les sables.
Cependant, les matériaux utilisés par Fillion, avec d10 allant de 90 à 150 mm, ont des valeurs 2 à 3 fois plus élevées que pour la conduction pure seule, comme c’est indiqué avec les flèches verticales de la figure 7, alors que le matériau de Johansen (1975), avec un d10 d'environ 30 mm, a une valeur lue environ 45% plus élevé que la valeur donnée par le modèle de conduction pure. (Fillion, et al., 2011)
Figure 7: Conductivité thermique effective expérimentale et modélisée (Fillion, et al.,
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On peut donc affirmer que le mécanisme de transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux particulaires semble commencer à contribuer au transfert de chaleur global pour les matériaux secs avec d10 supérieur à 3 mm. Le rayonnement devient un mécanisme de transfert de chaleur important pour d10 supérieur à 10 mm et est certainement prédominant pour d10 supérieur à 90 mm.
1.3.2 Perméabilité intrinsèque
La perméabilité intrinsèque est un paramètre crucial qui contrôle les flux d'air et de chaleur dans les matériaux grossiers (Goering & Kumar, 1996) (Fillion, et al., 2011) démontrent une augmentation de la perméabilité avec une augmentation de d10. Cela conduit à des gradients critiques nécessaires pour initier la convection de l'air.
La convection d’air dans un milieu poreux est contrôlée par la perméabilité intrinsèque ; elle dépend de la structure et de la connexion des pores (Nield & Bejan, 1999).
La perméabilité intrinsèque est en relation aussi avec plusieurs propriétés physiques des matériaux, comme la porosité, la surface spécifique, le diamètre des grains. La relation théorique de Kozeny-Carman permet d’estimer la perméabilité intrinsèque en fonction du diamètre effectif des particules (d10 en m), de la porosité du matériau (n) et d’un paramètre empirique adimensionnel (C/f²) permettant de tenir compte de la tortuosité ainsi que de la forme des pores et des particules.
𝐾 = 𝐶 𝑓2𝑑10
2 𝑛3
(1 − 𝑛)2 [1.47]
(Chapuis, 2004) a amélioré la relation de Kozeny-Carman pour mieux estimer de la perméabilité hydraulique des sables. L’équation semi-empirique a été reformulée en termes de perméabilité intrinsèque par (Côté, et al., 2011b)
𝐾 = 1.25(10−4)𝛼0.7825 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼 = 𝑑 102
𝑛3
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Figure 8: Perméabilité intrinsèque des sables et des cailloux testés par Côté et al (2011) en fonction du paramètre α.
La Figure 8 présente une comparaison graphique de l’équation de Chapuis (2004) avec les résultats expérimentaux de (Côté, et al., 2011a) pour les sables et de (Côté, et al., 2011b) pour les matériaux testés par Fillion (2008). Vu que la relation de Chapuis (2004) a été développée pour les sables, elle permet donc d’estimer la perméabilité des matériaux fins où 10−8𝑚² < 𝛼 < 10−6𝑚².
Les résultats de mesure de la perméabilité obtenus par (Côté, et al., 2011b) pour des cailloux sont relativement près de celles qui seraient obtenus avec la relation de Chapuis (2004). Il serait donc possible d’étendre le domaine de validité de cette relation à des matériaux plus grossiers avec des valeurs de 𝛼 allant jusqu’à 10−2𝑚².
