Fonctions trigonométriques 3ème ScExpérimentales

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Fonctions trigonométriques 3ème Sc Expérimentales

Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé , , .

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim _→ sin 3₆ lim_→ sin 2 + sin₃ lim _→ _{1 − cos lim}sin 3 _→ sin !1" # lim →$ sin − 1 − %2 & lim →$ cos − %2 ' lim →$( 2sin − √3 − %3 * lim→+$, sin + cos + %4 . lim→ sin − tan

( 1 lim _→$_{2 − %}cos lim_→ cos √234

lim_→ cos 52 + %46 − sin52 + % 46

Exercice 2

Soit la fonction 7 définie sur ℝ par 7 = :;<

<=> et soit ?@ sa courbe représentative. 1) a) Montrer que pour tout ∈ ℝ, on a : 7 % − = −7

b) Interpréter le résultat trouvé. 2) a) Calculer pour tout ∈ ℝ, 7′ .

b) dresser le tableau de variation de 7 sur C– % , %E.

3) a) Ecrire une équation de la tangente F à ?_@ au point d’abscisse $ b) Tracer F et ?_@.

Exercice 3

Soit la fonction 7 définie sur ℝ par 7 = 234 cos 2 et soit ?_@ sa courbe représentative. 1) a) Montrer que 7 est périodique de période %.

b) Etudier la parité de 7.

c) En déduire que l’on peut étudier 7 sur G0 ,$I.

2) a) Montrer que pour tout ∈ G0 ,$I ; 7′ = 2 cos 2 − 1 sin 2 b) Dresser le tableau de variation de 7 sur G0 ,$I.

3) Tracer la partie de ?_@ pour tout ∈ G0 ,$I

Exercice 4

Le graphique ?_@ représenté ci-dessous sur l’intervalle J0 , %K est celui d’une fonction 7 définie sur ℝ par : 7 = L cos 2 + M cos avec L ∈ ℝ et M ∈ ℝ.

1) Par lecture graphique, montrer que 7 = cos 2 − 2 cos .

3) Déterminer une équation de la tangente F à ?_@ au point d’abscisse ₍$ Tracer F.

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2) Compléter la construction de ?_@ sur 3) Soit N la fonction définie sur K−%

4) Montrer que N est continue et dérivable en

Exercice 5

Soit N la fonction définie sur G−$ ,$ 1) a) Dresser le tableau de variation de b) En déduire le signe N de pour tout 2) Soit la fonction 7 définie sur G $

représentative.

a) Montrer que 7 est continue en b) Montrer que 7 est dérivable en d’abscisse 0.

c) Etudier la parité de 7. 3) a) Montrer que pour tout ∈ G b) Dresser le tableau de variation de 4) Tracer ?_@ ( unité graphique 3 OP

Exercice 6

Soit la fonction 7 définie par 7 9 1) a) Déterminer le domaine de définition b) Etudier la parité de 7.

2) a) Montrer que le point Q 5$ , 06

b) Montrer que 7 est périodique de période c) En déduire que les point Q_R5$

Kooli Mohamed Hechmi

sur J 2% ,2%K ; expliquer.

K % , %J par SN 9 @<=> T 23 U 0 N 0 9 0 V est continue et dérivable en 0.

$_{I par N} _{9 sin} _cos ₁ ) Dresser le tableau de variation de N.

de pour tout ∈ G $ ,$I.

G $ ,$I par S7 9 2 5T+:;< 6 23 U 0 7 0 9 0 V et est continue en 0.

est dérivable en 0, préciser 7′ 0 et écrire une équation de la tangente T à

G $ ,$I \X0Y on a : 7′ 9 Z[

Dresser le tableau de variation de 7. OP )

9_:;<:;< et soit ?_@ sa courbe représentative. Déterminer le domaine de définition \_@ de 7.

6 est un centre de symétrie de ?@. est périodique de période 2%.

5 ]% , 06 sont des centres de symétrie de ?@.

Kooli Mohamed Hechmi

_{http://mathematiques.kooli.me/}

V

V et soit ?_@ sa courbe

et écrire une équation de la tangente T à ?_@ au point

(3)

3) a) Justifier que l’on peut étudier 7 sur G0 ,$I. b) Montrer que 7 est dérivable sur G0 ,$I \ ^$

,_ et que pour tout ∈ G0 , $_{I \ ^}$

,_ ; 7′ =

`T abc[ _{d <=>}

abc[

c) Dresser le tableau de variation de 7.

Exercice 7

Soit la fonction 7 définie sur ℝ par 7 = L sin 2 + M 1 − 2 cos 2 où L et M deux réels. La fonction 7 admet un extremum au point d’abscisse $_e et le point f 5 $

( , −36 ∈ ?@ courbe représentative de 7. 1) Montrer que ∀ ∈ ℝ ; 7 = 2 cos 52 −$

(6 − 1. 2) Montrer que 7 est périodique de période %. 3) a) Calculer ∀ ∈ ℝ ; 7′ .

b) Dresser le tableau de variation de 7 sur J0 , %K. 4) Tracer la partie de ?_@ pour tout ∈ G−$ , 2%I.

5) Soit la fonction N définie sur ℝ par N = 2 cos 52| | −$₍6 − 1 a) Montrer que la fonction N est paire.

b) Explique comment déduire le traçage de ?_Z courbe représentative de N à partir de ?_@ et tracer ?_Z.

Exercice 8

Soit la fonction 7 définie sur ℝ par 7 = 2 Oi2 − √3234 − 1 et soit ?_@ sa courbe représentative. 1) Montrer que pour tout ∈ ℝ ; 7 = 2 cos 52 +$

(6. 2) a) Montrer que la droite ∆∶ =$

( est un axe de symétrie de ?@. b) En déduire que l’on peut réduire l’étude de 7 à l’intervalle G−$

e , $ (I. 3) a) Dresser le tableau de variation de 7.

b) Construire la courbe ?_T de la restriction de f à l’intervalle G−,$

( ,,$(I. (Préciser les points d’intersection de ?_T avec l’axe des abscisses).

4) Soit la fonction N définie sur G−,$ ( ,

,$

(I par N = 2cos 52| | + $

(6 et soit ?Z sa courbe représentative. a) Utiliser ?_T pour tracer ?_Z.

b) Résoudre graphiquement l’inéquation N ≥ 0.