Les diapositives

(1)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Probabilités

Jean-Pierre Becirspahic

(2)

Espaces probabilisés

(Ω,A ,P) où Ω est ununivers,A unetribu, P uneprobabilité.

• _{Ω est l’univers des possibles (les résultats d’une expérience) ;}

• _{A ⊂ P (Ω) est l’ensemble des événements (mesurables);}

(3)

Espaces probabilisés

(4)

Espaces probabilisés

(5)

Espaces probabilisés

(6)

Espaces probabilisés

• P:A → [0,1] attribue à chaque événement une probabilité.

A est une tribu lorsque                Ω ∈A A ∈A =⇒ A ∈ A (A_n) ∈AN =⇒ [ n∈N A_n ∈A Conséquences : ∈A _et \ n∈N An ∈A .

(7)

Espaces probabilisés

• P:A → [0,1] attribue à chaque événement une probabilité.

Pest une probabilité lorsque

           P(Ω) = 1 si i , j ⇒ Ai∩ Ai= , P [ n∈N An =X n∈N P(A_n) Conséquences : • P() = 0 • P(A ) = 1 − P(A ) • P(A ∪ B ) = P(A ) + P(B ) − P(A ∩ B ) • _{A ⊂ B} _{=⇒ P(A ) 6 P(B )}

(8)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

Pour montrer qu’on est en présence d’un événement, il faut savoir tra-duire les connecteurs logiques en termes ensemblistes :

• _une_négation_{correspond à}

un passage au complémentaire ; • _un_{il existe}_{correspond à une union ;}

• _un_{pour tout}_{correspond à une intersection ;} • _une_implication_{correspond à une inclusion.}

Soit(A_n) une suite d’événements. Montrer que «seul un nombre fini

d’événements parmi les Ansont réalisés» est un événement.

Soitω ∈ Ω. On traduit : ⇐⇒∃n ∈ N ∀k > n, ω < Ak ⇐⇒ ∃n ∈ N ∀k > n, ω ∈ Ak ⇐⇒ ∃n ∈ N ω∈ \ k >n Ak ⇐⇒ ω ∈ [ n∈N \ k >n A_k −→ c’est un événement

(9)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

• _une_négation_{correspond à}

un passage au complémentaire ;

• _un_{il existe}_{correspond à une union ;}

(10)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

• _une_négation_{correspond à un passage au complémentaire ;}

• _un_{il existe}_{correspond à}

une union ;

(11)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

• _une_négation_{correspond à un passage au complémentaire ;} • _un_{il existe}_{correspond à}

une union ;

(12)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

• _une_négation_{correspond à un passage au complémentaire ;} • _un_{il existe}_{correspond à une union ;}

• _un_{pour tout}_{correspond à}

une intersection ; • _une_implication_{correspond à une inclusion.}

(13)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

• _un_{pour tout}_{correspond à}

une intersection ;

• _une_implication_{correspond à une inclusion.}

(14)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

• _un_{pour tout}_{correspond à une intersection ;}

• _une_implication_{correspond à}

une inclusion.

(15)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

• _un_{pour tout}_{correspond à une intersection ;} • _une_implication_{correspond à}

une inclusion.

(16)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

(17)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

Soit(An) une suite d’événements. Montrer que «seul un nombre fini

d’événements parmi les An sont réalisés» est un événement.

(18)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

(19)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

(20)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

(21)

Espaces probabilisés

Un savoir faire

(22)

Théorèmes de limite monotone

• _{Si A} n⊂ An+1, P [ n∈N A_n = lim P(A_n) ; • _{Si A} n+1⊂ An, P \ n∈N A_n = lim P(A_n).

Conséquences : dans le cas général, • P [ n∈N An = lim P(B_n) avec B_n = n [ k=0 Ak (Bn ⊂ Bn+1) ; • P \ n∈N A_n = lim P(C_n) avec C_n= n \ k=0 A_k (Cn+1⊂ Cn).

(23)

Théorèmes de limite monotone

• _{Si A} n⊂ An+1, P [ n∈N A_n = lim P(A_n) ; • _{Si A} n+1⊂ An, P \ n∈N A_n = lim P(A_n). Conséquences : dans le cas général,

• P [ n∈N An = lim P(B_n) avec B_n = n [ k=0 Ak (Bn ⊂ Bn+1) ; • P \ n∈N A_n = lim P(C_n) avec C_n= n \ k=0 A_k (Cn+1⊂ Cn).

(24)

Espaces probabilisés

Lemme de Borel-Cantelli

Soit(A_n) une suite d’événements indépendants, et A∗=\

p∈N [ n>p An. Alors P(A∗) = 0 ou P(A∗) = 1. Remarque :ω ∈ A∗ ⇐⇒ ∀p ∈ N, ∃n > p ω∈ An

A∗est réalisé lorsque un nombre infini de Anest réalisé.

A∗= \ p∈N Bpavec Bp= [ n>p An. On a Bp= Bp+1∪ Ap donc Bp+1⊂ Bp etP(A∗) = lim P(B_p). P(B p) = 1 − P(Bp) = 1 − P \ n>p A_n = 1 −Y n>p 1 − P(A_n). On étudielnY n>p 1−P(A_n) =X n>p

ln1−P(A_n)−→ ˆm nature queXP(A

(25)

Espaces probabilisés

A∗= \ p∈N Bpavec Bp= [ n>p An. On a Bp= Bp+1∪ Ap donc Bp+1⊂ Bp etP(A∗) = lim P(B_p). P(B p) = 1 − P(Bp) = 1 − P \ n>p A_n = 1 −Y n>p 1 − P(A_n). On étudielnY n>p 1−P(A_n) =X n>p

(26)

Espaces probabilisés

A∗=\ p∈N Bpavec Bp= [ n>p An. On a Bp= Bp+1∪ Ap donc Bp+1⊂ Bp etP(A∗) = lim P(B_p). P(B p) = 1 − P(Bp) = 1 − P \ n>p A_n = 1 −Y n>p 1 − P(A_n). On étudielnY n>p 1−P(A_n) =X n>p

(27)

Espaces probabilisés

(28)

Espaces probabilisés

(29)

Espaces probabilisés

n). • _SiXP(A_n) CValorslim p X n>p ln1 − P(An) = 0 donc P(A∗) = lim P(B p) = 0.

(30)

Espaces probabilisés

n). • _SiXP(A_n) DValors ∀p, X n>p ln1 − P(An) = −∞ donc ∀p, P(Bp) = 1 et P(A∗) = lim P(B_p) = 1.

(31)

Espaces probabilisés

p∈N [ n>p An. Alors P(A∗) = 0 ou P(A∗) = 1. • _SiXP(A n) CV, P(A ∗ ) = 0. • _SiXP(A n) DV, P(A ∗ ) = 1.

Une urne contient une boule noire et une boule blanche. On effectue des tirages avec remise, en ajoutant une boule blanche après chaque tirage. Quelle est la probabilité de tirer une infinité de fois la boule noire ?

→P(A n) = 1 1+ n donc P(A ∗ ) = 1.

Même chose mais cette fois en doublant le nombre de boules blanches après chaque tirage.

→P(A n) = 1 1+ 2n−1 donc P(A ∗ ) = 0.

(32)

Espaces probabilisés

Une urne contient une boule noire et une boule blanche. On effectue des

tirages avec remise, en ajoutant une boule blanche après chaque tirage. Quelle est la probabilité de tirer une infinité de fois la boule noire ?

→P(A n) = 1 1+ n donc P(A ∗ ) = 1.

→P(A n) = 1 1+ 2n−1 donc P(A ∗ ) = 0.

(33)

Espaces probabilisés

→P(A n) = 1 1+ n donc P(A ∗ ) = 1.

→P(A n) = 1 1+ 2n−1 donc P(A ∗ ) = 0.

(34)

Espaces probabilisés

→P(A n) = 1 1+ n donc P(A ∗ ) = 1.

→P(A n) = 1 1+ 2n−1 donc P(A ∗ ) = 0.

(35)

Espaces probabilisés

→P(A n) = 1 1+ n donc P(A ∗ ) = 1.

→P(A n) = 1 1+ 2n−1 donc P(A ∗ ) = 0.

(36)

Espaces probabilisés

Cas d’un univers dénombrable

Si Ω = nωn

n ∈ N

o

on peut choisir A = P (Ω) et définir P en posant

P({ω_n}) = p_n avec p_n>0 et X

n

pn= 1.

• _{Montrer qu’on définit sur N une probabilité en posant : ∀n ∈ N,}

P

{n}= 1

2n+1.

• _{Soit k ∈ N. Quelle est la probabilité qu’un entier soit multiple de k ?}

• _{∀n ∈ N,} 1 2n+1 >0 et +∞ X n=0 1 2n+1 = 1 2 1 1 −1₂ = 1. • P(k N) = +∞ X n=0 P {kn}= +∞ X n=0 1 2kn+1= 1 2 1 1 − 1 2k = 2 k −1 2k_{− 1}.

Pour cette loi, la probabilité qu’un entier soit pair vaut2

(37)

Espaces probabilisés

Si Ω = nωn

n ∈ N

o

n

pn= 1.

P

{n}= 1

2n+1.

• _{∀n ∈ N,} 1 2n+1 >0 et +∞ X n=0 1 2n+1 = 1 2 1 1 −1₂ = 1. • P(k N) = +∞ X n=0 P {kn}= +∞ X n=0 1 2kn+1= 1 2 1 1 − 1 2k = 2 k −1 2k_{− 1}.

(38)

Espaces probabilisés

Si Ω = nωn

n ∈ N

o

n

pn= 1.

P

{n}= 1

2n+1.

• _{∀n ∈ N,} 1 2n+1 >0 et +∞ X n=0 1 2n+1 = 1 2 1 1 −1₂ = 1. • P(k N) = +∞ X n=0 P {kn}= +∞ X n=0 1 2kn+1 = 1 2 1 1 − 1 2k = 2 k −1 2k_{− 1}.

(39)

Espaces probabilisés

Si Ω = nωn

n ∈ N

o

n

pn= 1.

P

{n}= 1

2n+1.

• _{∀n ∈ N,} 1 2n+1 >0 et +∞ X n=0 1 2n+1 = 1 2 1 1 −1₂ = 1. • P(k N) = +∞ X n=0 P {kn}= +∞ X n=0 1 2kn+1 = 1 2 1 1 − 1 2k = 2 k −1 2k_{− 1}.

(40)

Conditionnement, indépendance

• P_B(A ) = P(A | B ) est définie par : P(A ∩ B ) = P(A | B )P(B ).

• _(B

i)i ∈Iest unsystème complet d’événementslorsque

i , j =⇒ Bi∩ Bj= et

[

i ∈I

Bi= Ω.

• _{Proba. totales : si}_(B

i)i ∈I est un s.c.e., P(A ) =

X

i ∈I

P(A | B

i)P(Bi).

• _{Bayes : si}_(B

i)i ∈I est un s.c.e., P(Bi| A ) =

P(A | B_i)P(B_i) P

j ∈IP(A | Bj)P(Bj)

.

• _{A et B sont}_{indépendants}_{lorsque P(A ∩ B ) = P(A )P(B ).}

Conséquence : P(A | B ) = P(A ), P(B | A ) = P(B ).

Si A et B sont indépendants, il en est de même de A et B , de A et B , de A et B .

• _Les_(A

n) sontindépendantslorsque pour tout k ∈ N

∗

et tout n₁< n2< · · · < nk, P(An1∩ · · · ∩ Ank) = P(An1) · · · P(Ank).

(41)

Conditionnement, indépendance

• _(B

[

i ∈I

B_i= Ω.

X

i ∈I

P(A | B

i)P(Bi).

P(A | B_i)P(B_i) P

.

• _Les_(A

∗

(42)

Conditionnement, indépendance

• _(B

[

i ∈I

B_i= Ω.

X

i ∈I

P(A | B

i)P(Bi).

P(A | B_i)P(B_i) P

.

• _Les_(A

∗

(43)

Conditionnement, indépendance

• _(B

[

i ∈I

B_i= Ω.

X

i ∈I

P(A | B

i)P(Bi).

P(A | B_i)P(B_i) P

.

• _Les_(A

∗

(44)

Conditionnement, indépendance

• _(B

[

i ∈I

B_i= Ω.

X

i ∈I

P(A | B

i)P(Bi).

P(A | B_i)P(B_i) P

.

• _Les_(A

∗

(45)

Conditionnement, indépendance

• _(B

[

i ∈I

B_i= Ω.

X

i ∈I

P(A | B

i)P(Bi).

P(A | B_i)P(B_i) P

.

• _Les_(A

∗

(46)

Conditionnement, indépendance

On considère une variable aléatoire uniforme M: Ω → Mn({−1, 1}). Pour

toutω ∈ Ω, on note M_ij(ω) les coefficients de la matrice M(ω).

Montrer que les n2variables aléatoires(M_ij)_{16i,j 6n} sont indépendantes.

card M_n({−1, 1}) = 2n2. Si A ∈ Mn({−1, 1}), P(M = A ) = 1 2n2. Si ∈ {−1, 1}, P(Mij = ) = 2n2−1 2n2 = 1 2.

On pose le problème : soit K ⊂ ~1, n2, et(ij)(i,j )∈K∈ {−1, 1}card K.

À prouver: PM_ij= ij ∀(i, j ) ∈ K = Y (i,j )∈K P(M ij = ij). • P Mij = ij ∀(i, j ) ∈ K =2 n2−card K 2n2 = 1 2card K ; • Y (i,j )∈K P(M_ij= _ij) = Y (i,j )∈K 1 2= 1 2card K.

(47)

Conditionnement, indépendance

On pose le problème : soit K ⊂ ~1, n2, et(ij)(i,j )∈K∈ {−1, 1}card K.

(48)

Conditionnement, indépendance

On pose le problème : soit K ⊂ ~1, n2, et(ij)(i,j )∈K ∈ {−1, 1}card K.

(49)

Conditionnement, indépendance

(50)

Conditionnement, indépendance

À prouver: PM_ij= ij ∀(i, j ) ∈ K = Y (i,j )∈K P(M ij = ij). • P Mij = ij ∀(i, j ) ∈ K =2 n2−card K 2n2 = 1 2card K ; • Y (i,j )∈K P(M_ij = _ij) = Y (i,j )∈K 1 2= 1 2card K.

(51)

Variables aléatoires

• _X_{: Ω → R est une}_{variable aléatoire réelle}_{lorsque pour tout x ∈ R,}

X−1({x}) ∈A . X estdiscrètelorsque X(Ω) est fini ou dénombrable.

• _{Si X}_{(Ω) ⊂}n xn n∈ N o , etX n

pn = 1 avec pn>0, il existe P telle que

P(X = x

n) = pn.

Déterminer la loi de X, c’est donnernxn

n∈ N

o

et P(X = x_n).

• _{La loi}_conjointe_{de X et de Y est la loi de}_(X_{, Y ) ; les lois}_marginales

de(X, Y ) sont les lois de X et de Y .

P(X = x) =

X

y∈Y(Ω)

P(X = x et Y = y) (idem pour Y )

• _{X et Y sont}_{indépendantes}_{si P(X = x et Y = y) = P(X = x)P(Y = y).}

(X_n)_n∈Nsontmutuellement indépendanteslorsque

P(X_n

1= x1et · · · et Xnk = xk) = P(Xn1= x1) · · · P(Xnk = xk).

• _{Lemme des coalitions (HP) : si X}

1, . . . , Xn sont mutuellement

indépendantes, les variables f(X₁, . . . , Xp) et g(Xp+1, . . . , Xn) sont

(52)

Variables aléatoires

• _{Si X est fini on peut écrire X(Ω) =}n x₀, . . . , xn o . • _{Si X est dénombrable X}_{(Ω) =}n x_n n∈ N o .

• _{Dans tous les cas}_{il existe}_(x

n)n∈Ntelle que X(Ω) ⊂ n x_n n∈ N o . • _{Si X}_{(Ω) ⊂}n_x n n∈ N o , etX n

pn = 1 avec pn>0, il existe P telle que

P(X = x_n) = p_n.

Déterminer la loi de X, c’est donnernx_n

n∈ N

o

et P(X = x_n).

P(X = x) =

X

y∈Y(Ω)

P(X_n

indépendantes, les variables f(X1, . . . , Xp) et g(Xp+1, . . . , Xn) sont

(53)

Variables aléatoires

• _{Si X}_{(Ω) ⊂}n_x n n∈ N o , etX n

p_n = 1 avec p_n>_{0, il existe P telle que} P(X = x_n) = p_n.

n∈ N

o

et P(X = x_n).

P(X = x) =

X

y∈Y(Ω)

P(X_n

(54)

Variables aléatoires

• _{Si X}_{(Ω) ⊂}n_x n n∈ N o , etX n

n∈ N

o

et P(X = x_n).

P(X = x) =

X

y∈Y(Ω)

P(X_n

(55)

Variables aléatoires

• _{Si X}_{(Ω) ⊂}n_x n n∈ N o , etX n

n∈ N

o

et P(X = x_n).

P(X = x) =

X

y∈Y(Ω)

P(X_n

(56)

Variables aléatoires

• _{Si X}_{(Ω) ⊂}n_x n n∈ N o , etX n

n∈ N

o

et P(X = x_n).

P(X = x) =

X

y∈Y(Ω)

P(X_n

(57)

Variables aléatoires

• _{Si X}_{(Ω) ⊂}n_x n n∈ N o , etX n

n∈ N

o

et P(X = x_n).

P(X = x) =

X

y∈Y(Ω)

P(X_n

(58)

Loi hypergéométrique

On considère une urne contenant N boules, Np boules blanches et

Nq= N (1 − p) boules noires, avec p ∈]0, 1[. On effectue un tirage sans

remise de n boules, avec n 6 N , et on note X le nombre de boules blanches tirées.

Déterminer la loi de X , puis lim

N →+∞ P(X = k ). X(Ω) = ~0, min(n, Np), et P(X = k ) =( Np k)( Nq n−k) (N_n) . P(X = k ) = n k ! (Np)! (Np − k )! (Nq)! (Nq − n + k )! (N − n)! N! = n k ! (Np)(Np − 1) · · · (Np − k + 1)(Nq)(Nq − 1) · · · (Nq − n + k + 1) N(N − 1) · · · (N − n + 1) ∼ N →+∞ n k ! (Np)k_(Nq)n−k Nn = n k ! pkqn−k

(59)

Loi hypergéométrique

N →+∞ P(X = k ). X_{(Ω) = ~0, min(n, Np), et P(X = k ) =}( Np k)( Nq n−k) (N_n) . P(X = k ) = n k ! (Np)! (Np − k )! (Nq)! (Nq − n + k )! (N − n)! N! = n k ! (Np)(Np − 1) · · · (Np − k + 1)(Nq)(Nq − 1) · · · (Nq − n + k + 1) N(N − 1) · · · (N − n + 1) ∼ N →+∞ n k ! (Np)k_(Nq)n−k Nn = n k ! pkqn−k

(60)

Loi hypergéométrique

N →+∞ P(X = k ). X_{(Ω) = ~0, min(n, Np), et P(X = k ) =}( Np k)( Nq n−k) (N_n) . P(X = k ) = n k ! (Np)! (Np − k )! (Nq)! (Nq − n + k )! (N − n)! N! = n k ! (Np)(Np − 1) · · · (Np − k + 1)(Nq)(Nq − 1) · · · (Nq − n + k + 1) N(N − 1) · · · (N − n + 1) ∼ N →+∞ n k ! (Np)k_(Nq)n−k Nn = n k ! pkqn−k

(61)

Fonction de répartition

Si X est une variable aléatoire, F_X : x 7→ P(X 6 x).

+∞ 1

FX est une fonction croissante,lim_−∞FX(x) = 0, lim

+∞FX(x) = 1, en tout point

(62)

Fonction de répartition

Si X est une variable aléatoire, F_X : x 7→ P(X 6 x).

+∞ 1

FX est une fonction croissante,lim_−∞FX(x) = 0, lim

+∞FX(x) = 1, en tout point

(63)

Fonction de répartition

• _F

X est croissante.

Soit x 6 y. On a X 6 x =⇒ X 6 y donc P(X 6 x) 6 P(X 6 y).

Conséquence. F_X possède des limites à droite et à gauche, ainsi

qu’en ±∞. • _lim −∞FX= 0. \ n∈N h

X 6 −ni= donc (limite monotone) 0 = lim PX 6 −n= lim

−∞FX. • _lim +∞FX= 1. [ n∈N h

X 6 ni= Ω donc (limite monotone) 1 = lim PX 6 n= lim

+∞FX.

• _F

X est continue à droite et possède une limite à gauche.

h X 6 ai= \ n∈N∗ X 6 a+1 n ⇒ P(X 6 a) = lim n→+∞FX a+1 n = F_X(a+). h X< ai= [ n∈N∗ X 6 a −1 n ⇒ P(X< a) = lim n→+∞FX a −1 n = F_X(a−). Conséquence :P(X = a) = F X(a+) − FX(a − ).

(64)

Fonction de répartition

• _F

X est croissante.

qu’en ±∞. • _lim −∞FX= 0. \ n∈N h

−∞FX. • _lim +∞FX= 1. [ n∈N h

+∞FX.

• _F

(65)

Fonction de répartition

• _F

X est croissante.

qu’en ±∞. • _lim −∞FX= 0. \ n∈N h

−∞FX. • _lim +∞FX= 1. [ n∈N h

+∞FX.

• _F

(66)

Fonction de répartition

• _F

X est croissante.

qu’en ±∞. • _lim −∞FX= 0. \ n∈N h

−∞FX. • _lim +∞FX= 1. [ n∈N h

+∞FX.

• _F

(67)

Fonction de répartition

• _F

X est croissante.

qu’en ±∞. • _lim −∞FX= 0. \ n∈N h

−∞FX. • _lim +∞FX= 1. [ n∈N h

+∞FX.

• _F

(68)

Fonction de répartition

• _F

X est croissante.

qu’en ±∞. • _lim −∞FX= 0. \ n∈N h

−∞FX. • _lim +∞FX= 1. [ n∈N h

+∞FX.

• _F

(69)

Fonction de répartition

• _F

X est croissante.

qu’en ±∞. • _lim −∞FX= 0. \ n∈N h

−∞FX. • _lim +∞FX= 1. [ n∈N h

+∞FX.

• _F

h X 6 ai= \ n∈N∗ X 6 a+1 n ⇒ P(X 6 a) = lim n→+∞FX a+1 n = F_X(a+). h X< ai= [ n∈N∗ X 6 a −1 n ⇒ P(X< a) = lim n→+∞FX a −1 n = F_X(a−). Conséquence :P(X = a) = F_X(a+) − F_X(a−).

(70)

Fonction de répartition

Loi normale (HP)

Si F: R → R est une fonction croissante continue à droite et telle que

lim

−∞F= 0 et lim_+∞F= 1, il existe une variable aléatoire réelle X telle que

FX = F (admis et HP).

Laloi normaleest définie par P(X 6 x) = √1 2π

Zx

−∞

e−t2/2dt = F_X(x).

F_X est continue sur R donc pour tout a ∈ R, P(X = a) = 0.

P(X ∈ [a, b ]) = P(X ∈]a, b ]) = P(x 6 b ) − P(x 6 a) =√1 2π Zb a e−t2/2dt . a _b

(71)

Fonction de répartition

Loi normale (HP)

lim

Zx

−∞

e−t2/2dt = F_X(x).

(72)

Fonction de répartition

Loi normale (HP)

lim

Zx

−∞

e−t2/2dt = F_X(x).

(73)

Fonction de répartition

Loi normale (HP)

lim

Zx

−∞

e−t2/2dt = F_X(x).

(74)

Espérance et variance

Si X(Ω) ⊂nx_n n∈ N o ,

X possèdeun moment d’ordre k lorsqueXx_nkP(X = x

n) CVA.

• _{Si X possède un moment d’ordre 1, E(X ) =}

+∞

X

n=0

xnP(X = x_n) ;

• _{si X possède un moment d’ordre 2,}

V(X ) = E

(X − E(X ))2= E(X2) − E(X )2etσ(X ) =pV(X ) ;

• _{si X et Y possèdent un moment d’ordre 2,}

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ).

L’application (X, Y ) 7→ E(XY ) est bilinéaire, symétrique, positive, donc :

Cauchy-Schwarz: E(XY ) 6 q E(X2)E(Y2).

L’application(X, Y ) 7→ cov(X , Y ) est bilinéaire, symétrique, positive, donc :

Cauchy-Schwarz: cov(X , Y ) 6 p V(X )V (Y ). → ρ(X, Y ) = cov(X, Y ) σ(X )σ(Y )∈ [−1, 1].

(75)

Espérance et variance

n) CVA.

+∞

X

n=0

xnP(X = x_n) ;

V(X ) = E

(X − E(X ))2= E(X2) − E(X )2etσ(X ) =pV(X ) ;

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ).

(76)

Espérance et variance

n) CVA.

+∞

X

n=0

xnP(X = x_n) ;

V(X ) = E

(X − E(X ))2= E(X2) − E(X )2etσ(X ) =pV(X ) ;

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ).

(77)

Espérance et variance

n) CVA.

+∞

X

n=0

xnP(X = x_n) ;

V(X ) = E

(X − E(X ))2= E(X2) − E(X )2etσ(X ) =pV(X ) ;

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ).

(78)

Espérance et variance

n) CVA.

+∞

X

n=0

xnP(X = x_n) ;

V(X ) = E

(X − E(X ))2= E(X2) − E(X )2etσ(X ) =pV(X ) ;

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ).

(79)

Espérance et variance

n) CVA.

+∞

X

n=0

xnP(X = x_n) ;

V(X ) = E

(X − E(X ))2= E(X2) − E(X )2etσ(X ) =pV(X ) ;

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ).

Cauchy-Schwarz: cov(X , Y ) 6 p V(X )V (Y ). → ρ(X, Y ) = cov(X, Y ) σ(X )σ(Y ) ∈ [−1, 1].