Etude et applications des amplificateurs paramétriques à fibre optique

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fibre optique

A. Vedadi

To cite this version:

A. Vedadi. Etude et applications des amplificateurs paramétriques à fibre optique. Sciences de

l’ingénieur [physics]. Université de Franche-Comté, 2008. Français. �tel-00544865�

É ole Do torale S ien es Physiques Pour l'Ingénieur et

Mi rote hniques (SPIM)

Thèse de Do torat

Spé ialité S ien es pour l'ingénieur

présentée par

Armand Vedadi

Etude et appli ations des ampli ateurs

paramétriques à bre optique

Thèse dirigée par T. Sylvestre, E. Lantz et H. Maillotte

soutenue le18 Janvier2008

Jury :

Rapporteurs : M. E. MARHIC Professeur à l'Universitéde Swansea, Royaume-Uni

P. L. VOSS Professeur assistant à GeorgiaTe h Lorraine, Metz

Examinateurs : H. MAILLOTTE Dire teur dere her he CNRS, Institut FEMTO-ST

T. SYLVESTRE HDR, Chargé dere her he CNRS, InstitutFEMTO-ST

E. LANTZ Professeur à l'Universitéde Fran he-Comté

A. MUSSOT Maître de onféren esà l'Universitédes S ien es et

Te hniques de Lille

Remer iements

Cette thèse n'auraitjamaispu être é ritesans l'apportde nombreuses personnes

tou-joursprêtes à partager leur savoir, leur soutien,leur ae tion ouleur amitié.La listedes

personnes quion ontribuéà ettethèse,soitparleurdévouementautravail,soitparleur

exemple, soit par leur amitié ou soit simplement par leur présen e est longue. Bien que

vosnoms ne soient pas tous ités i i, ette page vous est destinée.

Jeremer ie toutd'abordmes superviseurs,Hervé Maillotte,Thibaut SylvestreetEri

Lantzde m'avoirfait onan eà l'issued'un entretienun ertain12Juillet 2004.Malgré

leurs doutes,leur onan e atoujoursété indéfe tible, leur attention etleur disponibilité

onstant. La omplémentarité de leurs personnalités fortes a été une han e dans ma

formationde her heur.

Jeprotede etteopportunitépour remer ieraussiLu Thévenaz qui,parson a ueil

àl'EPFL,sesen ouragementsetsurtoutsonexemple,aexer éuneinuen efondamentale

et ri he dans maformation de her heur.

Je remer ie ensuite les dire teurs su essifs du laboratoire d'optique P.M. Dueux

d'avoir mis à ma disposition les moyens de réussir ette thèse. D'abord Mr Daniel Van

Labeke, puis Mr Hervé Maillotte, qui malgré sa nouvelle harge de travail a néanmoins

toujours su dégager du temps pour ontribuer à mon en adrement, parfois même avant

lesdeadlines.

J'aimeraisremer ieraussilesmembresdemon jurydethèse pouravoira eptéde lire

monrapportave honnêtetéetpertinen e :Mi helE.Marhi ,PaulVoss, ArnaudMussot

et AlainJolly.

Je veux remer ier l'ensembledes personnes présentes durant es trois années au

labo-ratoire.Lesé hangesquej'aipu avoirave ha uned'entre ellesfurenttoujoursagréables

etri hes. J'aimerais en parti ulier exprimermagratitude àtous eux ave qui je me suis

noué d'amitié. Hervé, Thibaut et Eri bien sûr. Les autres permanents de l'équipe ONL

aussi :Matthieu Chauvet, Gil Fanjoux,Fabri eDevauxetKien Phen Huy.Arnaud

Mus-sot, qui a veillé durant toute ette période à e que je ne n'abîme pas trop le ambeau

qu'ilm'apassé.Mi haëlDelque,monasso iéetgrandami,ave quij'aipartagébienplus

qu'un bureau. Anne Bou on, qui durant deux ans a été la lune du bureau -115B.

Domi-niqueHeinis,l'alsa ienméditerranéen.BertrandKibleraliaskiki hoduposs.Jean-Charles

Beugnotetsesséle tionsD-Jayquiégayaientlasalledemanip.Ludovi Gauthier-Manuel,

artiste passionné de ûtes (du pipeau à latromped'éléphant) mais qui toujourstrouvait

letempsderéparermes onne teurs.RémyPassieretses onemanshows. Jean-Lu

Blan- het, o-bureaud'unanmais surtoutl'amiquej'aitoujoursvouluavoir.Jérémy Mi haud

pour l'ensemble de son ÷uvre. Benattou Sadani, frère d'arme d'une bonne humeur

Albaladejo de la iudad,Federi o Petazzi, DarioAlasiaet Jörgen S hroeder.

Un grand mer i àtous lesbisontins d'origineou de œur quiont rendu ette période

de troisans inoubliable.GabrieleDandoloilmaestronapolitan,Barbara,AmirJamashei,

tous lesamis du théâtre, toutela lique du BUCAlpinettous eux qui ontjalonnésmon

par ours à Besançon.

Je tiens aussi àmontrer mare onnaissan e à tous les autres amis qui m'ont soutenu

durant ettepériodedi ile:AliMehrabivahamehba hehaayegolegolabeLyon!Amir

Massoud, lefrère queje n'ai jamais eu, tous les parisiensetles autres.

Je remer ie enn mafamillepour m'avoir apporté son soutienin onditionnelet

indé-fe tible même lorsqu'elle ne omprenait pas la pertinen e de mes hoix. Ma gratitude se

porte avant tout vers ma mère dont l'amour etla grandeur ont posé les bases de toutes

mes réussites. Mer iàmon père pour son soutienetses parolesrempliesde sagesse,àma

s÷ur Sara notammentpour la rele ture de mathèse, mas÷ur Sandraqui m'obligeà me

dépasser onstamment, mon génialissime beau frère Alain. Je remer ie mes on les, daei

Camy qui m'a fait l'honneur de sa présen e lors de ma soutenan e, daei Mehran et daei

Amir pour leurs pensées. Je remer ie mes grands-parents de Dle, toujours a ueillants.

Enn, je voudrais a order une pla e parti ulière à mes grands parents d'Iran, mamonir

et babozorg, ave qui j'ai eu la han e de grandir en étant ber é d'amour, d'exemple et

Table des matières

Remer iements i

Bibliographie de l'auteur 1

Introdu tion 3

1 Prin ipes et Généralités 7

1.1 Lapropagation de la lumièredans les bres optiques . . . 7

1.1.1 Leguidage de la lumière . . . 8

1.1.2 Eetslinéaires. . . 9

1.1.2.1 Absorption . . . 9

1.1.2.2 Dispersion hromatique . . . 11

1.1.2.3 Biréfringen e . . . 12

1.1.3 Eetsnon linéaires . . . 13

1.1.3.1 Eet Brillouin . . . 13

1.1.3.2 Eet Raman . . . 14

1.1.3.3 Eet Kerroptique . . . 15

1.1.4 Modélisationde lapropagation dans une bre optique. . . 16

1.1.4.1 Equation non linéairede S hrödinger . . . 16

1.1.4.2 Laméthode de Fourieritérative . . . 17

1.1.5 État de l'art des bres unimodales . . . 18

1.2 Lesampli ateursparamétriques à bre optique . . . 18

1.2.1 Ampli ateur paramétriqueà une pompe . . . 19

1.2.1.1 Mélange àquatre ondes dégénéré . . . 19

1.2.1.2 Ampli ateurinsensible àla phase . . . 20

1.2.2 Ampli ateur paramétriqueà deux pompes . . . 23

1.3 Historique etétat de l'art des ampli ateursparamétriques à breoptique 25 2 Etude des ampli ateurs paramétriques à deux pompes 31 2.1 Introdu tion . . . 31

2.2 Modèle analytique à six ondes . . . 32

2.2.1 Théorie . . . 32

2.2.2 Impa t des bandes latéralessur le gain . . . 35

2.3 Impa t de la modulationde phase . . . 37

2.3.2 Élargissement de l'idler . . . 38

2.3.3 Flu tuationsdu gain paramétrique . . . 39

2.3.3.1 Développementanalytique . . . 40

2.3.3.2 Simulationsnumériques . . . 43

2.3.3.3 Conversiondelamodulationdephaseenmodulation d'am-plitude. . . 46

2.3.3.4 Impa t de la variationdu zéro de dispersion . . . 47

2.4 Réalisationexpérimentaled'unampli ateurparamétriqueàdeux pompes àl'aide d'un modulateur de phasedouble . . . 50

2.4.1 Introdu tion . . . 50

2.4.2 Présentation du modulateur de phase double . . . 50

2.4.3 Montage expérimental . . . 51

2.4.4 Résultats . . . 53

2.4.4.1 Spe tre de gain . . . 53

2.4.4.2 Analyse basse fréquen e du signalet de l'idler . . . 54

2.4.4.3 Comparaisonsave lasimulation numérique . . . 57

2.5 Con lusion . . . 59

3 Cartographie du gain paramétrique par analyse Brillouin dans le do-maine temporel 61 3.1 Motivation . . . 61

3.2 Prin ipe . . . 62

3.2.1 Présentation de l'analyse Brillouin dans le domaine temporel (B-OTDA) . . . 62

3.2.2 Prin ipe de la mesure. . . 64

3.3 Expérien e . . . 65

3.3.1 Montage expérimental . . . 65

3.3.2 Résultats . . . 67

3.4 Vers la artographie de la dispersion . . . 71

3.4.1 Prin ipe . . . 71

3.4.1.1 Théorie . . . 71

3.4.1.2 Méthode pour réduire l'in ertitudesur

∆β

L

. . . 73

3.4.1.3 Extra tiondes oe ients de dispersion

β

2

,

β

3

et

β

4

. . . 73

3.4.2 Simulationnumérique . . . 74

3.4.2.1 Cas sans bruit de mesure . . . 74

3.4.2.2 Cas ave bruit de mesure . . . 77

3.5 Con lusion . . . 78

4 Ampli ation paramétrique d'un signal dans une bou le de répli ation 81 4.1 Cadrede l'étude. . . 81

4.1.1 Présentation du projet d'é hantillonnage Mono oup Ultra Large-bande Optique(MULO) . . . 81

4.1.2 Cahierdes harges de l'ampli ateurparamétrique . . . 82

4.2 Dimensionnement de l'ampli ateurparamétrique . . . 83

4.2.1.1 Régime linéaire . . . 84

4.2.1.2 Régime de saturation. . . 85

4.2.2 Impa t de la rétrodiusion Brillouinstimulée. . . 87

4.3 Etude du fa teur de bruit dans la bou le àrépli ation . . . 89

4.3.1 Dénitiondu fa teur de bruit . . . 89

4.3.2 Impa t du bruit quantique . . . 90

4.3.2.1 Lebruit quantique dans un ampli ateuret un atténuateur 90 4.3.2.2 Théoriedu fa teur de bruit dans labou lede répli ation . 91 4.3.2.3 Simulationnumérique . . . 93

4.3.2.4 Utilisationd'un oupleur déséquilibré . . . 94

4.3.3 Impa t du bruit de lapompe . . . 98

4.3.3.1 Pompe moduléeen phase par une séquen e PRBS . . . 98

4.3.3.2 Bruitde phase aléatoired'une pompemonomode . . . 100

4.3.3.3 Pompe partiellement ohérente . . . 101

4.4 Con lusionset perspe tives. . . 103

Con lusion générale 105

Bibliographie de l'auteur

* Publi ations dans des Revues Internationales à Comité de Le ture :

P.1 T. Sylvestre, A. Vedadi, H. Maillotte, F. Vanholsbee k, S. Coen, Super ontinuum

generation using ontinuous-wave multiwavelength pumping and dispersion

mana-gement,Opti s Letters, vol. 31,no. 13, (2006),p.2036-2038.

P.2 A. Vedadi, A. Mussot, E. Lantz, H. Maillotte, T. Sylvestre, Theoreti al study of

gaindistortions indual-pumpberopti alparametri ampliers,Opti s

Commu-ni ations, vol.267, no. 1, (2006), p.244-252.

P.3 A.Vedadi,D. Alasia,E. Lantz, H. Maillotte,L. Thévenaz, M. González-Herráez, T.

Sylvestre, Brillouinopti al time-domain analysis of ber-opti parametri

ampli-ers,IEEE Photoni s Te hnology Letters,vol. 19,no. 3, (2007),p.179-181.

P.4 A.Vedadi,J.C. Beugnot,E.Lantz, H.Maillotte,J.Hauden,T. Sylvestre,

Demons-trationof an integrated Y-jun tion LiNbO3 syn hronized ounter-phase modulator

and itsappli ationstober opti alparametri ampliersand onverters, Journal

of Lightwave Te hnology (A paraître,2007).

* Conféren es Internationales ave Pro eedings à Comité de Le ture :

PrI.1 T.Sylvestre,A.Vedadi,A.Mussot,E.Lantz,H.Maillotte,Continuumgeneration

inadispersion-shiftedber usingone ortwo ontinuous-wave Ramanberlasers,

NonlinearGuidedWavesand theirAppli ations 2005,Dresden,ALLEMAGNE,6-9

Septembre 2005. Nonlinear Guided Waves and Their Appli ations Conferen e on

CD-ROM,(TheOpti alSo ietyof Ameri a,Washington,DC, 2005),paperThB10.

PrI.2 A. Vedadi, D. Alasia, E. Lantz, H. Maillotte, L. Thévenaz, M. González-Herráez,

T. Sylvestre, Brillouinopti al time domainanalysis ofber opti parametri

am-pliers, European Conferen e on Opti al Communi ation 2006, Cannes, 24-28

Septembre 2006. ECOC 2006 Pro eedings, vol.4, (2006),paper Th.1.3.7, p.25-26.

PrI.3 A. Vedadi, J-C. Beugnot,E. Lantz, H.Maillotte, J.Hauden, T. Sylvestre, Fiber

opti al parametri amplier based on a novel LiNbO3 syn hronized double phase

modulator,Opti alFiberConferen e,OFC2007,Anaheim,USA,25-29mars2007.

* Conféren es Nationales ave A tes à Comité de Le ture :

Pr.1 A.Vedadi,D.Alasia,E.Lantz,H. Maillotte,L.Thévenaz, M.Gonzáles-Herráez,T.

Sylvestre,Mesure distribuée du gain d’un ampli ateurparamétrique àbre

op-tiquepar rétrodiusion Brillouin,25èmes Journées Nationalesd'Optique Guidée,

Metz, 7-9Novembre 2006. Re ueildes Communi ations JNOG(2006), p.250-252.

Pr.2 A. Vedadi, N. Grossard, J.C. Beugnot, E. Lantz, H. Maillotte, J. Hauden, T.

Syl-vestre,UndoublemodulateurdephaseLiNbO3pourl’ampli ationparamétrique

sur bre optique , 26èmes Journées Nationales d'Optique Guidée, Grenoble, 2-5

Juillet 2007. Re ueildes Communi ations JNOG(2007).

* Workshops et E oles d'Eté Internationaux :

WI.1 A. Vedadi, D. Alasia,E. Lantz, H. Maillotte, L. Thévenaz, M. González-Herráez,

T. Sylvestre, Brillouinopti al time domainanalysis ofber opti parametri

am-pliers, rst Te hni al Meeting "European COST Workshop 299 FIDES", Mons,

Belgique,10-11 Mai 2006.

WI.2 T. Sylvestre, A. Vedadi, H. Maillotte, F. Vanholsbee k, S. Coen, M.

González-Herráez, S. Martin-Lopez, Super ontinuum light generation in the

ontinuous-wave regime, rst Te hni al Meeting "European COST Workshop 299 FIDES",

Mons, Belgique,10-11 Mai 2006.

* Contrats, rapports :

R.27 Repli ation MULO par ampli ationparamétrique sur bre,Rapport nal du

Contratd’étudetripartiteCEA/CESTA/DLP-FEMTO-ST/LOPMD-PHLAM,

Introdu tion

L'habilité à ommuniquer onstitue un des fondements du progrès des ivilisations

humaines.Ledéveloppement des moyens de ommuni ation adon toujours été un enjeu

apital des so iétés. Depuis l'avènement en Perse, il y a 2500 ans, du servi e postal, la

apa ité à transmettre un maximum d'information sur une longue distan e en un

mi-nimum de temps s'avère être une des quêtes de l'Homme. Aujourd'hui, les moyens de

télé ommuni ationsmodernesfont partide notre quotidienetnous permettentde

parta-ger quasi-instantanément de lavoix, de l'image oudu texte ave un interlo uteur situé à

des milliers de kilomètres.

Lesinnovationste hnologiquesquiontpermisunetelleprouessetrouventleursorigines

aumilieudu XIX eme

siè le. L'invention du télégraphe permet lespremières

télé ommuni- ations transo éaniques. Il s'agit alors de transmettre du texte grâ e au ode de Morse,

ave un débit de 60mots à la minute (équivalentaujourd'hui à 64bits/s). Puis la

dé ou-verte de lapiézoéle tri itépermit de oder la voix en signaux éle trique. C'étaitledébut

du téléphone, qui onnut un large su ès tout au long du XIX eme

siè le et s'implanta à

travers le monde. Dès lors, la ourse au débit s'a élère. L'enjeu pour les opérateurs de

télé ommuni ationsest de pouvoirtransporterun maximumde ommuni ations

télépho-niquessimultanémentsurdelonguesdistan es (réseauxdorsaux).Denouvelleste hniques

detraitementdusignaletdemultiplexagedessignauxsontinventées.L'essentieldutra

est alors transporté par des âbles oaxiaux et dans les années 70, des débits d'environ

260Mbits/ssont atteints sur les réseaux dorsaux.Ces systèmes sont limités ar ils

né es-sitentune régénérationdu signal à des intervalles trop ourts pour être é onomiquement

viables. On pense alors aux télé ommuni ations par satellite pour tenter d'augmenter le

débit auniveau des réseaux dorsaux.

Dans les années 60, le prin ipe du guidage de la lumière dans les bres de verre

est onnu depuis une entaine d'années et est utilisée pour l'endos opie. Les re her hes

ont permis de diminuer onsidérablement les pertes dans es bres. Kao et Ho kman

suggèrent en 1964, puis démontrent en 1966, qu'une bre de sili e peut potentiellement

transporterunetrèsgrandequantitéd'informationsurdelonguesdistan es.C'estledébut

des ommuni ationsoptiques. Ils'en suivraalors unprogrèsrapide delate hnologieetle

premiersystème de télé ommuni ations optiqueest ommer ialiséen 1980.Ces systèmes

permettent d'une part des débits de plus en plus grands, et d'autre part d'augmenter la

A ette mêmepériode, parallèlement,les ordinateurs personnels ommen entà

enva-hir le mar hé du grand publi . Des proto oles ont été développés à la n des années 70

pour faire ommuniquer es diérents appareilsentre eux.Les réseaux des opérateurs ne

sont plus uniquement téléphoniques mais transmettent aussi des données. Vers le début

des années 1990, la mise à disposition d'Internet au grand publi , ainsi que l'apparition

des réseaux de ommuni ation mobile bas ule la so iété mondialisée dans l'ère des

télé- ommuni ations. Les réseaux dorsaux doivent assurer le transport d'un tra en pleine

explosion. D'énormes investissements en re her he et développement sont alors engagés.

Les ampli ateurs à bres dopées Erbium (EDFA), développés dans les années 80, sont

installés. Ils permettent de ré-amplier le signal sans onversion opto-éle trique et sur

une pluslargebandespe trale.Ils orentainsilapossibilitéde multiplexerlessignaux en

longueur d'onde et multiplient ainsi le débit des réseaux dorsaux. De nombreuses

te h-nologiespour ledéveloppement de omposantspermettantle traitementtout optique du

signal sont également proposées. Le début des années 2000 a vu l'engouement pour les

télé ommuni ationss'estomper.Pourtant,lademandeen débit ontinued'augmenter.Les

systèmes de ommuni ations optiquessont progressivement déployésdans les réseaux

lo- aux et hez l'abonné. Ces besoins justient le développement de nouveaux omposants

de traitement ultra rapidedu signal optique.

C'est dans e ontexte que se situe e travail de thèse. Plus pré isément, l'objet des

études présentées dans e manus rit est la re her he d'outils de traitement ultra-rapide

de l'informationtransporté par la ou he physique des télé ommuni ations. En eet, de

nombreuses re her hes es dernièresannées ontmontré lavariétéd'appli ationspossibles

à partir de l'ampli ation paramétrique à bre optique. Ce manus rit est omposé de

quatre hapitres.

Dans le premier hapitre, nous introduirons lesoutils théoriques né essaires à l'étude

et àla ompréhension des ampli ateurs paramétriquesà bre optique. Nousétudierons

d'abord la propagation linéaire dans les bres optiques onventionnelles. Nous

expli ite-ronsaussileseetsnonlinéairesetl'eetKerroptiqueenparti ulierdans esbres.L'eet

Kerr optique est responsable du mélange à quatre ondes, qui est l'origine physique à la

base des ampli ateurs paramétriques (FOPA). Nous étudierons ensuite théoriquement

lesar hite tures d'ampli ateur à une pompe età deux pompes.

Le deuxième hapitre on erne les FOPAs à deux pompes. Ces omposants sont

po-tentiellement intéressants pour les télé ommuni ations. Ils permettent en eet de lever

ertaines limitations des FOPAs à une pompe, mais sont ependant plus omplexes à

mettre en ÷uvre expérimentalement.Nous étudierons d'abord théoriquement lesFOPAs

àdeux pompes. Nousanalyserons égalementle bruitapporté parlamodulationde phase

des pompes, inévitables pour supprimer la rétrodiusion Brillouin stimulée dans toute

bre optique. Nous donnerons la démonstration théorique que deux pompes modulées

en opposition de phase annulent toutes distortions de gain liée à ette modulation de

phase.Nousprésenteronségalementunemiseen ÷uvre expérimentaled'un FOPAàdeux

pompes, intégrantun nouveau modulateur de phase doubleréalisé en partenariatave la

en opposition de phase et permet ainsi une onversion de longueur d'ondetransparente.

Le troisième hapitreprésente e qui onstitue, ànotre onnaissan e, lapremière

me-sure distribuéedu gain paramétriquelelong de labreoptique servant de milieu

ampli- ateur. Ces travaux ont été réalisésen ollaborationave l'E ole Fédérale Polyte hnique

de Lausanne (EPFL), en Suisse. Ils sont basés sur l'analyse Brillouin dans le domaine

temporel (B-OTDA). Dansune se onde partie,nous tâ herons d'explorer ommentil

se-raitpossible àpartir de es mesures de remonter à la artographiede ladispersion de la

bre ampli atri e.

Lequatrième hapitrerelateuneétude théoriqueetnumériquesur une bou leà

répli- ation intégrant un FOPA à une pompe. Ces travaux ont été réalisés dans le adre d'un

ontratave leCentre d'EtudesS ientiquesetTe hniquesd'A quitaineduCommissariat

à l'Energie Atomique (CEA/CESTA), regroupant aussi le Laboratoire de Physique des

Lasers, Atomes et Molé ules(Phlam) de l'université de Lille.L'originalitéde ette étude

réside dans l'exploitationdes ampli ateurs paramétriques dans la fenêtre de longueurs

d'ondes autour de

1µm

. Nous avons dans un premier temps dimensionné le FOPA en fon tion d'un ahier des harges. Puis nous avons étudié le bruit a umulé sur les

ré-pliques su essives issues de la bou le. Une originalité de ette étude réside dans le fait

que le signal à amplier se situe dans la fenêtre d'ampli ation de l'Ytterbium. La mise

Chapitre 1

Prin ipes et Généralités

Ce hapitre a pour but d'introduire les diérents phénomènes physiques et outils

né- essaires pour omprendre et modéliser les ampli ateurs paramétriques à bre optique

(FOPA). Dans un premier temps, nous rappellerons les diérents phénomènes linéaires

et non linéaires qui interviennent lors de la propagation d'une onde lumineuse dans une

bre. Puis nousdis uterons de lamodélisationde es phénomènes. Enn, nous tâ herons

de mettreen pla eles on epts théoriques pour l'étudedes ampli ateursparamétriques.

1.1 La propagation de la lumière dans les bres

op-tiques

Depuis lapremière moitiédu

20

ème

siè leetl'introdu tiondelamé anique quantique,

la lumière est onsidérée à la fois omme un ux de orpus ules de masse nulle,

appe-lées photons, etune onde éle tromagnétique[1℄. D'unpointde vue ma ros opique,il est

possible de dé rire e ux de photons uniquement par une onde éle tromagnétique. Le

hamp magnétique étant relié au hamp éle trique, onne s'intéressera qu'au hamp

éle -trique. Pour les signaux étudiés, nous supposons que le hamp éle trique d'une onde se

propageant sur l'axe

z

suivantla longueur de la bre s'é rit en notation omplexe :

~

E(x, y, z, t) = E(x, y, z)e

−(jω

0

t−β(ω

0

)z)

_~u

(1.1)

E(x, y, z)

est l'enveloppe lentement variable de l'onde,

ω

0

la pulsation de l'onde tandis que

β(ω

0

)

estla onstantedepropagationde l'onde.

~u

représentelapolarisationde l'onde. Dansnotre as, onpeut fairel'approximationque ettepolarisationest dansleplan(x,y)

transverse àladire tionde propagationde l'onde.Le hampréel sera donnépar lapartie

réelle du hamp omplexe

Re( ~

E)

. Dès le

19

ème

Revêtement de protection

Gaine optique

Cœur

~10µm

(fibre monomode)

125µm

~230µm

n

g

n

c

(a)

(b)

θ

max

Fig. 1.1  (a) S héma en oupe d'une bre optique onventionnelle. (b) Prin ipe du

guidagepar réexiontotale interne (RTI).

.

premières expérien es dans les bresde verre remontent audébut du siè le, ave

notam-mentl'invention del'endos ope.Enenlevantlesimpuretésdu verre,onréussitàdiminuer

les pertes des bres de sili e jusqu'à 0,2dB/km dans la fenêtre des télé ommuni ations.

Cetteavan éete hnologiquemajeurepermitl'émergen edessystèmesde ommuni ations

optiques ommenous les onnaissons a tuellement.

1.1.1 Le guidage de la lumière

Les bres optiques onventionnelles généralement utilisées dans le domaine des

télé- ommuni ations sont onstituées de ou hes de sili e (

SiO

2

) on entriques d'indi e de réfra tion diérents, omme s hématisé sur la gure 1.1(a). Le ÷ur onstitue le guide

d'onde à l'intérieur duquel se propagent les ondes lumineuses. La gaine optique sert à

onner es ondes. Unethéorie omplète de la propagationdes ondeséle tromagnétiques

à l'intérieur du ÷ur né essite d'utiliser les équations de Maxwell [2℄. An de simplier

l'exposé et donner une vision plus instin tive de la propagation de la lumière dans une

bre optique, nous donnons une des ription géométrique. Dans le as le plus simple des

bres à saut d'indi e, le ÷ur est onçu pour avoir un indi e de réfra tion

n

c

légère-mentsupérieurà elui

n

g

de lagaine(généralementpar dopageàl'oxydede germanium). Le prin ipe de la propagation des ondes lumineuses dans le ÷ur repose sur une

su es-sion de réexionstotales à l'interfa e ÷ur/gaineoptique (voirgure 1.1(b)). Leslois de

Snell-Des artes imposent que les ondes in identes en entrée de la bre et appartenant à

un ne d'angle

θ

M AX

se propagent le long de la bre. En utilisant les lois basiques de l'optique géométrique, onpeut dénir l'ouverture numérique O.N. omme:

O.N. = sin(θ

M AX

) =

q

n

2

c

− n

2

g

(1.2)

Enfon tionde leurangled'in iden elesondeséle tromagnétiquespeuvent ainsi

emprun-ter diérents hemins lors de leur propagation dans la bre. Cha un de es hemins est

un mode de propagation de la lumière. A haque mode de propagation orrespond une

distribution transverse de l'énergie lumineuse transportée. L'existen e de es modes de

rayon

a

du ÷ur de la bre.On dénitla fréquen e normalisée

V

omme:

V =

2π

λ

a

q

n

2

c

− n

2

g

(1.3)

Ce paramètre détermine le nombre de modes qui se propagent dans la bre. On montre

que lorsque

V < 2, 405

,la bre ne possède qu'un seul mode de propagation appelémode fondamental.Unetellebre seradénomméebremonomodeouunimodale,en opposition

aux bres multimodes. L'existen e de diérents modes de propagation peut onduire au

brouillage des bits su essifs transmis, e qui limite fortement le débit et la distan e

de transmission des signaux. Pour les télé ommuni ations à haut débit sur de longues

distan es, il est don né essaire d'utiliser des bres monomodes. Nous n'utiliserons que

es bres dans les travaux présentés. Elles possèdent un diamètre de ÷ur très inférieur

à elui des bres multimodes,de l'ordrede ladizaine de mi rons.

Les bres standards monomodes aujourd'hui employées sont les SMF-28. Elles sont

monomodespourdes longueursd'ondessupérieuresà900nm.Depuis unedizained'année,

de nouvelles bres dites à ristaux photoniques, ou en ore bres mi rostru turées, sont

développées. Dans es bres, la gaine est stru turée par des ylindres d'air de rayon

mi rométriqueautourdu ÷urquipeutêtreensili e,voirmême onstituéd'airoud'autres

matériaux. La stru ture de la gaine induit un indi e de réfra tion plus faible que elui

du ÷ur, permettant le guidage de la lumière [3, 4℄. Ces bres permettent de disposer

de guides d'onde monomodes sur la quasi-totalité du spe tre optique, de l'ultraviolet à

l'infrarouge.

Dans une bremonomode,le hampéle trique omplexe de l'ondeéle tromagnétique

s'é ritsous laforme

F (x, y)A(z)e

−(jω

0

t−β(ω

0

)z)

~u

,ave

F (x, y)

,larépartitiontransverse du hamp dans le mode de la bre et

A(z)

l'enveloppe lentement variable suivant l'axe de propagationdelalumière.Danslasuite,nous onsidérerons que

F (x, y)

est onstantesur lesfenêtres de longueurs d'ondes onsidérées.

1.1.2 Eets linéaires

Lorsqu'un signal se propage dans une bre optique monomode, les diérentes

om-posantes du hamps éle trique subissent diérentes variationsliées à la fois au matériau

et au guide d'onde. Nous passons en revue es prin ipaux phénomènes qui limitent la

transmission du signal sans dégradation.

1.1.2.1 Absorption

Toute propagation dans un matériau induit des pertes de l'intensité lumineuse. Ces

d'ab-1.4

1.6

0.8

0.6

1.0

1.2

0.1

0.5

10

1

5

Longueur d'onde (µm)

Attén

uation

(dB/km)

Diffusion Rayleigh

Pic d’absorption

des ions

OH-Absorption

par la silice

Fig. 1.2 Atténuation spe trale typiqued'une bre SMF.

sorption

Γ

tel que:

P

out

= P

in

e

−ΓL

(1.4)

ave

P

in

, la puissan e en entrée et

P

out

la puissan e en sortie de la bre de longueur

L

. On dénit aussi le oe ient d'absorption

α

dB

en dB/km, qui est elui donné par le onstru teur, tel que :

α

dB

=

P

out

dB

− P

dB

in

L

(en km)

≃ 4, 4341Γ (Γ

en km

−1

₎

(1.5)

On dénit une longueur de bre ee tivepour prendre en omptel'absorption [5℄:

L

eff

=

1 − exp (−ΓL)

Γ

(1.6)

Lespremières bresoptiques possédaientdes pertestrop importantes pour envisager une

ommuni ationlongue distan e àl'aide de la lumière.Dès lesannées1960 ependant, on

ompritque es pertes étaient prin ipalement liées aux impuretés dans lasili e, et qu'en

améliorantlepro édédefabri ation,ilseraitpossibled'atteindreuneabsorptioninférieure

à 20dB/km autour de 1550nm. Ce seuil fût atteint dans les années 70 et des re her hes

omplémentaires permirent de se rappro her de lalimitethéorique de l'absorption par la

sili e.Cetteabsorption intrinsèqueest liéeàladiusion Rayleigh.Lagure 1.2montre le

prold'absorptiond'unebre onventionnellede type SMF-28en fon tionde lalongueur

d'onde. Cette absorption est très pro he de la limite de diusion Rayleigh et permet

d'envisager une fenêtre de transmission transparente entre 1300nm et 1600nm (soit

50THz). C'estla fenêtreutilisée aujourd'huipourles télé ommuni ations.Le pi observé

autour de 1390nm orrespond à une absorption des ions

OH

−

. De ré ents pro édés de

fabri ation,permettent de réduire e pi à des valeurspro hes de l'absorption théorique.

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Longueur d'onde (nm)

Disp

ersion (p

s/km/nm)

Disp

ersion de la silice

λ

₀

DSF

SMF

PCF

Fig. 1.3  Courbe de dispersion pour une bre standard (SMF), à dispersion dé alée

(DSF) et une bre mi rostru turée (PCF).

1.1.2.2 Dispersion hromatique

Dans la sili e, l'indi e de réfra tion dépend de la longueur d'onde. En onséquen e,

ha une des omposantes spe trales d'un signal se propage à une vitesse diérente le

long de la bre. Il en résulte un étalement temporel du signal. Ce phénomène est la

dispersion hromatique. Dans les bres optiques, la géométrie du guide ontribue aussi

à la dispersion totale. Ainsi, les bres onventionnelles SMF (voir gure 1.3) ont un

prol de dispersionassez pro he de elle de lasili e. On onstate que ettedispersion est

nulleautour de

1, 3µm

.En réalisantun prold'indi e du ÷ur parti ulier,il est possible d'obtenirdesbresàdispersiondé alée(DSF)qui ombinentunefaibleabsorptionetune

faible dispersion dans la fenêtre de télé ommuni ations autour de

1, 5µm

[2, 5℄. Enn, les bres PCF permettent une grande exibilité du prol de dispersion, et notamment

la possibilité de dé aler la dispersion nulle à une longueur d'onde désirée [4, 6℄. Cette

propriété est intéressante dans le ontexte des FOPAs, ar, omme nous le verrons plus

loin,unedispersionfaiblepermetd'obtenirunelargebandedegain.Considéronsunsignal

entré autourd'unepulsation

ω

0

.Ledéveloppement en sériede Taylorde la onstantede propagation

β(ω)

s'é rit:

β(ω) = β(ω

0

) +

∞

X

k=1

β

k

k!

(ω − ω

0

)

k

(1.7)

β

k

sont les dérivées

k

ième

de la onstante de propagation en

ω

0

. Dans la pratique, pour des signauxde télé ommuni ations dontlalargeurspe traleest faibledevantlapulsation

entrale, le développement jusqu'à l'ordre 4 sut pour rendre ompte des phénomènes

physiquesobservés. Cesdérivées sontaussireliéesàlavitessedegroupe

v

g

,ave

β

1

= 1/v

g

et

β

2

= −

1

v

2

g

dv

g

dω

. Cette dernière expression montre la dépendan e de la vitesse de groupe à lapulsation.

β

2

est appeléladispersion de la vitesse de groupe (GVD)et s'exprime en

s

2

_m

−1

dispersion

D

quiest dire tement relié àla longueur d'onde :

D =

dβ

1

dλ

= −

2πc

λ

2

β

2

(1.8)

D

s'exprime en ps/km/nm (voir gure 1.3). Lorsque

D

est négatif (

β

2

> 0

), on est en régime dit de dispersion normal, tandis que lorsque

D

est positif (

β

2

< 0

), le régime de dispersionest ditanormal.Auvoisinagede la dispersionnulle, on exprimeaussi lapente

de dispersion

D

S

en fon tion de

β

3

:

D

S

(λ) =

dD

dλ

≃

 2πc

λ

2



2

β

3

(1.9) 1.1.2.3 Biréfringen e

Dans la pratique, le rayon du ÷ur des bres n'est jamais parfaitement homogène.

De plus, la bre est toujours soumise à des ontraintes mé aniques même faibles[5℄. De

e fait, l'indi e de réfra tion dière suivant la dire tiontransverse du hamp. On dénit

alorsun axerapided'indi e

n

x

etunaxelentorthogonald'indi e

n

y

.Labiréfringen e

B

m

dénit alors ladiéren e d'indi eentre l'axe rapideet l'axelent :

B

m

= |n

x

− n

y

|

(1.10)

Danslesbres onventionnellesSMF ouDSF,

B

m

est de l'ordrede

10

−6

.Commeilexiste

des u tuations longitudinales des propriétés géométriques et/ou des ontraintes

mé a-niques de la bre, la biréfringen e n'est jamais onstante. Une onde éle tromagnétique

voit ainsi sa polarisation u tuer aléatoirement tout au long de sa propagation dans la

bre.

Demanièreanalogueàladispersion hromatique,ladiéren edevitessedegroupesur

ha un des axesinduit un dé alage temporel entre lesdeux omposantes de polarisation.

Ce dé alage varie aussi aléatoirement le long de la bre. La dispersion des modes de

polarisation(PMD) rend omptedu dé alage moyennéesur lalongueur de bre. Elleest

de l'ordre de

0, 1 − 1ps/

p(km)

dans laplupart des bres.

Dans lasuite de e manus ript,sauf mention expli ite, nous ne tiendrons pas ompte

des eets de la biréfringen e. Nous ferons toujours l'hypothèse que les polarisations des

ondes en intera tion sont parallèles, et nous négligerons la PMD. Autrement dit, nous

laisserons de té le ara tère ve toriel du hamp et ne onsidérerons que des hamps

s alaires.Cette approximationreste valable par rapportaux longueurs de bre que nous

1.1.3 Eets non linéaires

Les équations de Maxwell dé rivent l'intera tion de l'onde éle tromagnétique ave le

matériau dans lequel elui- i se propage. Ces équations montrent que le hamp

éle tro-magnétique induit une polarisation de la matière. On peut en dériver une équation de

propagation quirelie ette polarisationinduite ave le hamp éle trique :

∇

2

E =

1

c

2

∂

2

_E

∂t

2

+ µ

0

∂

2

_P

∂t

2

(1.11)

ave

µ

0

laperméabilitéduvide.Rappelonsquenoussommesdansl'approximations alaire des hamps. Pour résoudre ette équation, il est né essaire de onnaître la relation entre

la polarisation

P

et le hamp

E

. Tant que l'intensité de l'onde in identeest faible, ette relationestproportionnelle.Onestenrégimelinéaire.Cependant,àdefortesintensités,la

polarisationinduite réé des dépla ementsde nuages d'éle trons, d'atomes oude densité

de matièreà l'intérieur de la bre. La polarisationinduite est alors non linéaire.Elle est

alors responsable de la réation de nouvelles harmoniques du hamp éle trique. On peut

é rirelarelationentre lapolarisationinduitedans lamatièreetle hamp éle triquede la

manièresuivante :

P = ǫ

0

χ

(1)

E + χ

(2)

E

2

+ χ

(3)

E

3

+ ...

(1.12) La sus eptibilité linéaire

χ

(1)

représente les eets linéairessubis par l'onde tels la

réfra -tion

n =

p1 + Re(χ

(1)

₎

et l'atténuation

Γ =

ω

c×n

Im(χ

(1)

)

. La sili e étant un matériau entrosymétrique, la sus eptibilité non linéaire d'ordre 2 (

χ

(2)

) s'annule dans les bres

optiques. Lasus eptibilité d'ordre 3 (

χ

(3)

) est responsable des eets Brillouin,Raman et

Kerr que nous développerons par lasuite.

1.1.3.1 Eet Brillouin

Lapropagationd'uneondelumineusedansunebreoptiqueprovoquepar

éle trostri -tion des vibrationslo alesdu milieu, générant ainsi une onde a oustique. Ce phénomène

d'intera tion a ousto-optique est l'eet Brillouin. Il s'a ompagne de la rétrodiusion

d'uneonde optique,larétrodiusionBrillouin,dé aléedu tébasses fréquen es(Stokes)

de l'onde in idente ex itatri e par la fréquen e

∆ν

B

de l'onde a oustique. Ce dé alage Brillouin est d'environ

10GHz

dans les bres optiques de sili e. Pour une onde quasi- ontinue d'intensité susamment élevée, l'eet Brillouinest distribué le long de labre,

provoquantalorsl'ampli ationexponentielledelarétrodiusionBrillouin[7,5℄.Onparle

alors de rétrodiusion Brillouin stimulée(SBS), qui peut provoquer une déplétion

quasi-totalede lapompedanslesampli ateursparamétriquesetréduireainsileure a ité de

manière importante. Le seuil Brillouin

P

seuil

B

dénit la puissan e de l'onde in idente en entrée de bre telle quela puissan e réé hie par la rétrodiusion Brillouinstimulée soit

égale à lapuissan e transmise en sortie de bre :

P

_B

seuil

=

21A

eff

g

B

L

eff

∆ν

P

⊗ ∆ν

F W HM

∆ν

int

F W HM

0

1

2

3

4

5

0

100

200

300

400

500

Longueur de fibre (km)

Puissance de seuil Brillouin (mW)

Fig. 1.4  Seuil Brillouin en fon tion de la longueur d'onde dans une bre DSF.

A

eff

=

60µm

2

,

g

B

= 3 × 10

−11

_m.W

−1

.

ave

A

eff

l'aire ee tive du mode transverse de la lumière.

g

B

est le oe ient du gain Brillouinlinéaire qui vaut environ

3 × 10

−11

_m.W

−1

dans une bre standard [5℄. Notons

que e oe ientprend intrinsèquement en omptelemoyennagedu gain Brillouin

intro-duit par la répartition de la puissan e sur les deux axes de polarisation due à la faible

biréfringen e de la bre.

∆ν

int

F W HM

est la largeur spe trale à mi-hauteur intrinsèque à la

rétrodiusion Brillouinquidépend dire tement de la durée de vie du phonon a oustique

(environ

50

MHz dans la sili e), tandis que

∆ν

F W HM

prend en ompte la variation du dé alage Brillouinlelongde labre,lorsque elle- iprésentedes inhomogénéïtés.Notons

quepour une bresusamment homogène, onpeut onsidérer es deux termeségaux. A

l'inverse, les inhomogénéïtés de la bre permettent d'augmenter le seuil Brillouin.

∆ν

P

est la largeur spe trale de l'onde in idente.

∆ν

P

⊗ ∆ν

F W HM

est la largeur àmi-hauteur de la onvolution entre le spe tre de pompe et le spe tre de la SBS. Ce terme montre

qu'ilest possibled'augmenterleseuil Brillouinen étendant lespe trede l'ondein idente,

par modulation d'amplitude ou de phase. La gure 1.4 montre, dans le as d'une bre

DSFhomogène d'aireee tivede

60µm

2

,lapuissan e de seuil Brillouinen fon tion de la

longueur de bre pour un signal mono hromatique. Comme nous le verrons plus loin, il

est né essaire d'utiliserdes puissan es de pompebien supérieures à e seuil pour réaliser

unampli ateurparamétrique.Ilest don né essaired'employerdeste hniquespour

aug-menter e seuil,soitenrendant lespe tre dugain Brillouininhomogènelelong delabre

[8,9, 10℄, soiten étendant le spe tre de la pompe[11, 12℄. Une autre appro he, en ore à

l'étude, onsiste à réer des bandes interdites phononiques pour annuler la propagation

de l'onde a oustique Brillouin[13℄.

1.1.3.2 Eet Raman

De manièreanalogue à l'eet Brillouin,la vibration molé ulaire dans la sili e induite

om-parables aux fréquen es optiques (de l'ordre de

100T Hz

dans la sili e). Ce phénomène s'a ompagne aussi de la diusion d'ondes optiques. La diusion Raman se fait dans les

deux sens de propagationde la bre. Ellea lieudu té Stokes de l'ondeex itatri e, sur

une bande spe traled'environ30 THz ave un pi à 13THz. On montre quela puissan e

de seuil Raman

P

seuil

B

s'é rit [5℄:

P

_R

seuil

=

16A

ef f

g

R

L

eff

(1.14)

ave

g

R

le oe ientdu gain Ramanqui vaut environ

1 × 10

−13

_m.W

−1

[5℄. Lapuissan e

seuil est généralement au delà de elle né essaire dans les ampli ateurs paramétriques.

L'eet Raman permet d'obtenir une bande de gain du té Stokes et une bande

d'atté-nuation anti-symétrique du té anti-Stokes. Ces ara téristiquessont exploitées pour la

réalisationd'ampli ateurs optiques. De larges bandes de gain ont ainsi été démontrées,

en ombinantune ouplusieurspompes[14℄. Il est aussi possible de ombiner le gain

Ra-manetlemélangeàquatreondespourréaliserdesampli ateursoudes onvertisseurs de

longueurd'ondeàtrès largebande[15,16℄.Cependant,lapartieréellede lasus eptibilité

nonlinéaireliéeauRamanpeut venir perturberl'a ordde phasedanslesFOPAsde très

large bande et dégrader le gain [17℄. Notons enn que la ontribution Raman provoque

une augmentation du bruit dans les ampli ateursparamétriques [18, 19℄.

1.1.3.3 Eet Kerr optique

L'eet Kerr optique est un phénomène non linéaire quasi-instantané qui induit une

modulation de l'indi e de réfra tion proportionnelle à la puissan e inje tée dans le

mi-lieu. Le oe ientde proportionnalité est appeléindi e de réfra tionnon linéaire

n

2

. On montre :

n

2

=

3

8n

Re(χ

(3)

nl

) (m

2

.W

−1

)

(1.15) où

χ

(3)

nl

est la ontribution

χ

(3)

qui provient de la déformationdes nuages d'éle trons des

atomes.L'indi e vu par l'onde in identevaut alors un indi e Kerr :

n

Kerr

= n + n

2

I

(1.16)

ave I l'intensité de l'onde in idente. Bien que

n

2

soit relativement faible dans la sili e (de l'ordre de

10

−20

_m

2

_W

−1

), la grande longueur d'intera tion, ainsi que la très faible

aire ee tive

A

eff

des bres optiques monomodes permet néanmoins d'exalterl'eet Kerr optique.On rend omptede e ara tère par le oe ientnon linéaire

γ

qui s'exprimeen fon tion des propriétés opto-géométriques de la bre [5℄:

γ =

2πn

2

λA

eff

(1.17)

L'eet Kerr est responsable de phénomènes non linéaires omme le mélange à 4 ondes,

l'automodulation de phase, la modulation de phase roisée. Le mélange à 4 ondes est

1.1.4 Modélisation de la propagation dans une bre optique

Pourrendre omptedu omportementdesampli ateursparamétriques,ilestessentiel

de pouvoir modéliser la propagation d'une onde dans une bre optique en prenant en

ompte les eets non linéaires et l'eet Kerr en parti ulier. Dans ette partie, les outils

né essaires à ettemodélisationsont évoqués. Ils permettent de dé rire le omportement

d'ondes o-propagatives. On supposera don notamment que la rétrodiusion Brillouin

et/ou Raman est négligeable.

1.1.4.1 Equation non linéaire de S hrödinger

On suppose que touteslesondes sont o-polariséesen entrée de labre ampli atri e

etonnégligetouteetdebiréfringen e.On onsidère don l'enveloppelentementvariable

omme s alaire. La propagation des ondes le long d'une bre est dé rite par l'équation

non linéaire de S hrödinger, qu'on peut é rire dans notre as sous la forme[5℄ :

∂A

∂z

= −

Γ

2

A + j

(

₄

X

k=2

j

k

β

k

k!

∂

k

_A

∂τ

k

+ γ|A|

2

A

)

(1.18)

A

représente l'enveloppe lentement variable de l'amplitude des ondes en intera tion le long de la bre, autour de la pulsation

ω

P

. Le référentiel hoisi est en translation à la vitesse de groupe de l'onde pompe

1/β

1

. Comme nous le verrons plus loin, dans le as des ampli ateursparamétriques,lalongueur d'onde entraledes ondesenintera tionest

hoisietrèspro he delalongueurd'ondede dispersionnulle(ZDW)delabre.Pour ette

raison, an de prendre en ompte de façon réaliste la dispersion lors de la propagation

danslabre,ilest né essairede onnaîtrelesordressu essifs

β

2

,

β

3

(pentede dispersion) et

β

4

( ourbure de dispersion).

Lederniertermeàdroitedel'équationreprésentel'eetKerr.Cetermeestresponsable

de lagénération de nouvelles harmoniques oufréquen es. Pour prendre en ompte l'eet

Raman, il onviendra aussi de modier e dernierterme en [5℄ :

jγ





(1 − ρ)|A|

2

+ ρ

τ

Z

−∞

χ

R

(τ − t

′

)|A|

2

dt

′





A

χ

R

(τ )

est la réponse retardée de l'eet Raman dans la sili e [20℄.

ρ

rend ompte de la ontributionde

χ

R

(τ )

à l'eet Kerr, et vaut 0,18 dans le as des bres en sili e. L'équa-tion (1.18) néglige l'eet de la biréfringen e. De nombreuses référen es traitent de es

problèmes [3,21, 22℄.

En parti ulier,du faitde la PMD, des ondes o-polariséesen entrée de bre sont

sou-misesàun oe ientnonlinéaireégalà

8

9

ème

e oe ient orrespond généralement au

γ

mesuré expérimentalement.Il a aussi été dé-montré que la PMD a un impa t sur la bande de gain dans le as des FOPAs à deux

pompes[23℄.

1.1.4.2 La méthode de Fourier itérative

Pourprendre en omptelesphénomènes omplexesquiontlieulorsde lapropagation

tels le bruit,l'allure temporelle et spe traledes ondes, la déplétion de la pompe,et ..., il

est né essaired'avoirre oursàdes simulationsnumériques. L'équation(1.18)estdon de

laforme

∂A

∂z

= ( ˜

D + ˜

N )A

.

D

˜

estun opérateurdiérentielquirend omptede ladispersion etdel'absorptiondelabre(

−

α

2

+j

4

P

k=2

j

k β

k

k!

∂

k

∂τ

k

),tandisque

N

˜

estl'opérateurnonlinéaire (

jγ|A|

2

).Lasolutionde etteéquationest

A(z + ∆z) = A(z)e

( ˜

D+ ˜

N )∆z

.Numériquement,il

est plus aisé d'appliquer séparément l'opérateur

e

˜

N

dans l'espa edire tet l'opérateur

e

˜

D

dans l'espa edes fréquen es. Laméthode de Fourier itérativerepose sur lefait d'é rire:

e

( ˜

D+ ˜

N )∆z

_{= e}

D

˜

∆z

₂

_e

N ∆z

˜

_e

D

˜

∆z

₂

(1.19)

Celarevientdon àdé omposerlabreensegments

∆z

.Onappliquealorssu essivement l'opérateurdiérentielsur une portion

∆z

2

dans l'espa edes fréquen es,puis, après trans-formée de Fourier, l'opérateur non linéaire sur une portion

∆z

dans l'espa e dire t, et à nouveau l'opérateurdiérentielsur

∆z

2

dansl'espa edes fréquen essuiteàlatransformée de Fourier inverse (voir gure 1.5). On montre que l'erreur induite par la

dé omposi-…

dz/2

dz

z

…

dz/2

dz/2

dz

dz

z

Fig.1.5 S héma de prin ipede laméthode de Fourieritérative

tion (1.19) est en

o∆z

3

. Cette méthode est parti ulièrement adaptée aux problèmes de

propagation dans un guide et permet une résolution numérique plus rapide que les

mé-thodesàélémentsnis[5,24℄.Notonsque etteméthodeneprendpasen omptelesondes

ontra-propagatives. Ainsilarétrodiusion Brillouinstimulée,qui ommenous leverrons

dans le pro hain hapitre peut diminuer fortement les performan es d'un ampli ateur

1.1.5 État de l'art des bres unimodales

De nombreuses bres ave des propriétés diérentes sont aujourd'hui disponibles sur

lemar hé pour des appli ationsvariées. Letableau i-dessous ré apitulelespropriétés de

quelques bres onventionnelles.

Fibre SMF DSF NZ-DSF DCF HNLF

A

ef f

(µm

2

)

70 60 60 20

8 − 12

α (dB/km)

à (

1550nm

)

0, 2

0, 2

0, 2

0, 35

0, 56

λ

0

(µm)

1, 27 − 1, 30 1, 55 1, 5 − 1, 6

"ajusté"

1, 45 − 1, 58

D

S

(ps/nm

2

/km)

0, 07

0, 07

0, 07

0, 05

0, 04

γ(W

−1

_km

−1

₎

₂

₂

₂

₇

_{10 − 20}

La bre monomode standard (SMF, Single Mode Fiber) est la plus répandue. Les

premières SMF étaient à saut d'indi e, bien qu'aujourd'hui la plupart ontdes stru tures

d'indi es de ÷ur plus omplexes. Les bres monomodes à dispersion dé alée, omme

évoquées pré édemment, sont onçues pour disposer à la fois d'une dispersion faible et

d'unepertefaibledanslafenêtredetélé ommuni ationsautourde

1, 55µm

.Ilest outume de faire une distin tion entre DSF (Dispersion Shifted Fiber) et NZ-DSF (Non

Zero-DispersionShiftedFiber)pour désignerunebredontladispersionnulleestàexa tement

1550

nm (aux variationslongitudinalesprès) ouune bre dont ladispersionnullesesitue autour de ette longueur d'onde. Dans le but de ompenser la dispersion des SMF, il

existe aussi des bres à ompensation de dispersion (DCF, Dispersion Compensating

Fiber), possédant une forte dispersion normale dans le but de ompenser la dispersion

umuléedesimpulsionssepropageantdanslesréseauxdetélé ommuni ations[25℄.Enn,

dans lebutd'exalter leseets nonlinéairesdans lafenêtrede télé ommuni ations en vue

d'appli ations, on dispose aujourd'hui de bres dites hautement non linéaires (HNLF).

Elles se ara térisent par une absorption et une dispersion très faible dans la fenêtre de

télé ommuni ations. De plus, dotées d'un rayon de ÷ur plus petit que elui des DSFs,

elles atteignentdes oe ients non linéairesplusieurs foissupérieures à elles des DSFs.

Depuisunedizained'années,denouvellesbresditesà ristalphotoniquesont

dévelop-pées,possédantdetrèsforts oe ientsnonlinéaires.Ainsi,lesPCFspermettentd'ajuster

la dispersion nulle à la longueur d'onde désiréeet orent un

γ

supérieur à

15W

−1

_km

−1

.

Des bres fabriqués sur d'autres matériaux exhibent des oe ients non linéaires très

élevées. C'estle asdes bresau hal ogénure,oùles oe ientsdenon-linéaritépeuvent

atteindre plusieurs entaines de

W

−1

_km

−1

.

1.2 Les ampli ateurs paramétriques à bre optique

Dansun milieuKerrtelquelabreoptique,lebattemententre deuxoutroisondesde

mélange à 4 ondes. Ce mélange à 4 ondes s'a ompagne d'un transfert d'énergie entre

une ou deux ondes pompes et deux ondes signal et idler. Les ampli ateurs

pa-ramétriques sur bre optique (FOPAs) sebasent sur e transfert d'énergie permis par le

mélange à 4 ondes. Nous allons ainsi her her à rendre aussi e a e que possible le

mé-langeà4 ondesquipermet letransfertd'énergie d'uneoudeux ondespompesvers l'onde

signal que l'on her he à amplier[26℄.Constatons que ette ampli ationparamétrique

s'a ompagne de la réationd'une onde onjuguée, l'idler.

On montre que es pro essus orrespondent àl'annihilationde deux photons pompes

et à la réation d'un photon signal et d'un photon idler. Le mélange à 4 ondes vérie la

onservation de l'énergie. Lorsque les photons pompes sont de même fréquen e, il s'agit

d'unpro essusàunepompedégénérée,etlorsqu'ilssontdefréquen esdistin tes,onparle

d'un système non dégénéré. Nous allons montrer, dans ha un de es deux as (une ou

deux pompes), les onditions pour rendre e transfert e a e tout au long d'une bre

monomode uniforme. L'absorption de labre sera de plus négligée.

1.2.1 Ampli ateur paramétrique à une pompe

1.2.1.1 Mélange à quatre ondes dégénéré

L'ampli ateurparamétriqueleplussimpleàréaliserexpérimentalementestleFOPA

àunepompedégénérée.Ilest basésur unpro essusdemélangeà4ondesdégénéréfaisant

seulement intervenir une onde pompe à la pulsation

ω

P

, un signal à

ω

S

et un idler à

ω

I

. La loide onservation de l'énergienous permet d'é rire :

2ω

P

= ω

I

+ ω

S

(1.20)

Nous négligeons toute autre harmonique réée par un autre mélange à 4 ondes. Nous

supposons de plus l'é art spe tral entre le signal et la pompe faible devant la fréquen e

de lapompe.Ensupposant de plusla répartitionspe traletransverse indépendantede la

pulsation,nouspouvonsé rirel'enveloppelentementvariabledu hamptotal entrésur la

pulsation

ω

P

omme

A = A

I

e

−j((ω

I

−ω

P

)t−(β

I

−β

P

)z)

+A

P

+A

_S

−j((ω

S

−ω

P

)t−(β

S

−β

P

)z)

,ave

β

I

,

β

P

et

β

S

les onstantes de propagation de l'idler, de la pompe et du signal respe tivement. L'équationde S hrödinger nonlinéairedé ritalorslapropagationde Adans labre.Elle

onduitaux équations ouplées suivantes [5, 26℄ :

dA

P

dz

= iγ[(|A

P

|

2

_{+ 2|A}

S

|

2

+ 2|A

I

|

2

)A

P

+ 2A

∗

P

A

S

A

I

exp (i∆β

L

z)]

dA

S

dz

= iγ[(|A

S

|

2

_{+ 2|A}

P

|

2

+ 2|A

I

|

2

)A

S

+ A

∗

I

A

2

P

exp (−i∆β

L

z)]

dA

I

dz

= iγ[(|A

I

|

2

+ 2|A

S

|

2

+ 2|A

P

|

2

)A

I

+ A

∗

S

A

2

P

exp (−i∆β

L

z)]

(1.21)

ave

∆β

L

= β

S

+ β

I

− 2β

P

ledésa ordde phaselinéaire,et

A

P

,

A

S

et

A

I

lesamplitudes lentement variables respe tives des ondes pompe, signal et idler. Le premier terme du

ro het à droite de ha une des équations (1.21) orrespond à une modulationde phase

Remarque importante : Nous onsidérons i i qu'iln'y a pas de dé alage temporel

entre les enveloppes lentement variables (SVEs) de la pompe, du signal et de l'idler au

ours de la propagation. Cette hypothèse revient à négliger la diéren e de vitesse de

groupe entre la pompe,le signal etl'idler.

Nous allons maintenant, dans des as parti uliers, résoudre es équations et montrer

les onditions né essairespouravoiruntransferte a e delapompeausignaletàl'idler

onjugué.

1.2.1.2 Ampli ateur insensible à la phase

Dans un ampli ateur insensible à la phase, seules les ondes signal et pompe sont

présentes enentrée.Onsuppose quelapuissan edelapompe

P

est biensupérieureà elle dusignal

P

S

,sibienque

P

reste onstantelelongdelabreampli atri e(approximation de non déplétion de la pompe). Leséquations (1.21) seréé rivent :

dA

P

dz

= iγP A

P

dA

S

dz

= iγ[2P A

S

+ A

∗

I

A

2

P

exp (−i∆β

L

z)]

dA

I

dz

= iγ[2P A

I

+ A

∗

S

A

2

P

exp (−i∆β

L

z)]

Ces dernières équations traduisent le fait que l'eet Kerr est prin ipalement induit par

la puissan e de la pompe. Il provoque une automodulation de phase de la pompe. La

solution stationnaire de l'enveloppe de l'onde pompe s'é rit ainsi :

A

P

=

√

P exp (iγP )

. On en déduitalors pour lesignal et l'idler:

dA

S

dz

= iγ {2P A

S

+ A

∗

I

P exp (i[γP − ∆β

L

]z)}

dA

I

dz

= iγ {2P A

I

+ A

∗

S

P exp (i[γP − ∆β

L

]z)}

Lesondesidleretsignalsubissentunemodulationde phase roiséeinduitparlapuissan e

de l'onde pompe etun mélange à 4ondes provenant de l'intera tion entre l'onde pompe

et l'onde onjugué du signal oude l'idler. Remarquons quele déphasage introduit par la

pompe sur ha une des ondes signal et idler est

2γP

. Ce terme est appelé le déphasage non linéaire.On introduit une rotationde la phasedes ondessignal et idler de

∆β

2

− γP

.

Les nouvelles enveloppes lentement variables

A

′

S

= A

S

e

i(γP −

∆β

2

)z

et

A

′

I

= A

I

e

i(γP −

∆β

2

)z

vérient alors lesystème d'équations i-dessous :

dA

′

_S

dz

= i

κ

2

A

′

S

+ iγP A

′

∗

I

dA

′

I

dz

= i

κ

2

A

′

I

+ iγP A

′

∗

S

(1.22) ave :

κ = 2γP + ∆β

L

(1.23)

l'a ord de phase entre les ondes pompe, signal et idler.

κ

ontient la ontribution non linéaire et linéaire au déphasage global entre les ondes en intera tion. En ombinant es

deux relations, ontrouve queles solutionsgénérales de

A

S

s'é rivent sous laforme[26℄ :

A

S

= (ae

gz

+ be

−gz

)e

i(2γP −

κ

2

)z

ave :

g

2

= (γP )

2

_{− (}

κ

2

)

2

_.

(1.25)

Pour avoirdu gainsur lesignal,ilfautné essairementque

g

soitréel.

g

estalorsappeléle gain paramétriquelinéïque.Notons que ela impose

|κ| ≤ 2γP

.On ditquelesondes sont alors en quasi-a ord de phase.Pour un ampli ateur insensible àla phase,

A

S

(z = 0) =

√

P

S

e

iφ

S

(

φ

S

étant la phase de l'onde en entrée de bre)et

A

I

(z = 0) = 0

. On en déduit

a = b

∗

₌

√

_P

S

e

jφ

S

(1 + i

_2g

κ

)

.Legain paramétriquedu signal

|A

S

(z=L)|

2

|A

S

(z=0)|

2

en sortied'unebre

de longueur Ls'é rit alors :

G = 1 +

 γP

g

sinh(gL)



2

(1.26)

Notons quelaphasedu signalen entrée de labren'intervientpas dans ette expression.

Pour ette raison, l'ampli ateur est dit insensible à la phase et la ondition de

quasi-a ord de phase est né essaire et susante pour avoir du gain paramétrique. Insistons

bien que lorsque l'idler est présent en entrée de la bre, le gain paramétrique dépend

alors fortement des phases initialesdes ondes qui peuvent onduire à une atténuation du

signal [27℄. De plus, pour un grand gain d'ampli ationou une fortepuissan e du signal

d'entrée, l'approximation de non déplétion de la pompe ne tient plus. Ce as sera traité

aux hapitres3 et4.

Il est don possible de on evoir des ampli ateurs à large bande sous réserve

d'at-teindre un quasi-a ord de phase. Il onvient d'exprimer à e stade

∆β

L

en fon tion des ordres de dispersion àla pulsationpompe

ω

P

:

∆β

L

= 2

∞

X

k=1

β

2k

(2k)!

∆ω

2k

(1.27)

∆ω

est l'é arten fréquen e entre la pompeet lesignal,

β

2k

sont lesdérivées d'ordrepair de la onstante de propagation à la pulsationpompe. Rappelons qu'en pratique,la prise

en ompte de

β

2

et

β

4

est susante pour modéliser un phénomène de propagation [28℄. Ces deuxdernières équationsmontrentquelabandede gainest symétriqueparrapportà

lapulsation pompe, ar elledépend des puissan es paires de

∆ω

.De plus, en notant que la ondition de quasi-a ord de phase revient à

−4γP ≤ ∆β

L

≤ 0

, on omprend queplus

γ

ou

P

est grand, plus la bandedu FOPA sera élevé.

Par ailleurs, on observe aussi qu'en positionnant la pompe en dispersion très

légère-ment anormale (

β

2

< 0, β

2

∼ 0

), il est possible d'obtenir une bande de gain assez large. Une bande de gain typique est représentée sur la gure 1.6(a). On observe deux lobes

symétriques. Dans la région pro he de la pompe, on peut négliger

∆β

L

. Le gain est dit parabolique ets'é rit

G = 1 + (γP L)

2

. Lorsque l'a ord de phase est parfait (

κ = 0

) on dit que le gain est exponentiel et s'é rit

G = 1 + (sinh(γP L))

2

. L'évolution du

gain pour es deux régimes distin ts en fon tion de la longueur de bre est représenté

sur la gure 1.6(b). Le spe tre de gain large représenté sur la gure 1.6(a) orrespond

nulle

λ

0

de la bre. Si

λ

P

> λ

0

(régime de dispersion anormale ave la dispersion de vitesse de groupe

β

2

négativeet susamment forte), leterme de désa ord de phase non linéaire

γP

, toujourspositif,peut ompenserexa tement ledésa ord

∆β

L

,négatif, d'où l'a ordde phase parfait. Cependant lespe tre de gain serétré it rapidement aufuret à

mesure que

λ

P

s'éloignede

λ

0

.

−150

−100

−50

0

50

100

150

0

4

8

12

16

∆λ (nm)

Gain

(dB)

exponentiel (κ=0)

Pompe

parabolique (∆β

_L

~ 0)

(a)

0

20

40

60

80

100

0

10

20

30

40

longueur de fibre (m)

G

a

in

(é

chelle

linéa

ir

e)

κ=0

∆β

L

~ 0

(b)

Fig. 1.6  (a) Spe tre de gain typique d'un ampli ateur paramétrique ave

γ =

25W

−1

_km

−1

,

P = 1W

et

L = 100m

.

∆λ

est l'é art en fréquen e entre la pompe et

le signal.(b) Evolution du gain paramétrique en fon tion de lalongueur en régime

para-bolique(tirets) etexponentiel (trait ontinu).

En régime de dispersion normale,

λ

P

< λ

0

ave

β

2

positif et susamment grand, l'a ord de phase parfait n'est jamais atteint et on obtient juste un gain parabolique au

voisinageimmédiatde lapompe(spe trede gainensinus ardinaltrèsétroit entré sur la

pompe).Auvoisinageimmédiatde

λ

0

,pour

β

2

nul, 'estletermepaird'ordresupérieur

β

4

quirégit l'a ordde phase etdon leprolde gain. Delargesbandes degain, supérieures

à 100nm,ont été démontrés expérimentalement [29℄.

Cependant, onobserveque legain varie fortementsur ettebande. Plus pré isément,

les équations (1.23) et (1.27) montrent que l'a ord de phase est un polynme du

4

ème

degré en

∆ω

S

. Il possède au plus quatre ra ines deux à deux symétriques. Pour avoir annulation de l'a ord de phase en quatre ra ines distin tes, il faut

β

2

< 0

et

β

4

> 0

. Dans es onditions, en ajustant judi ieusement la position de la pompe(et don

β

2

), il est possible d'avoir deux bandes symétriques à

ω

P

de gain plat [30, 31℄. Cependant, le gain hute toujours fortement au voisinage de la pompe ou lorsque

κ

devient négatif, e qui onstitue une limite à la réalisation de grandes bandes passantes de gain plat. Une

appro he intéressante onsiste à on aténer plusieurs bres de dispersions diérentes.

La variation de la dispersion hange les onditions d'a ord de phase, permettant ainsi

d'aplanir le gain sur toute la bande. Il a été démontré numériquement qu'une bande

plate de 200nm ave moins de 0,2dB d'amplitudedes os illationsdu gain peut ainsi être

obtenue [32℄. Une autre appro he est d'utiliser deux pompes distin tes à la pla e d'une