Proposition d'exer i e de mé anique.
Legly érolest un uidetrès visqueux. Lavis ositéd'un uide orrespond àsa
fa ilité à réagir au mouvement. Un uide qui réagit moins vite qu'un se ond
est ditplusvisqueux. Ainsi,plusle uideestvisqueux, plusils'opposeraàune
déformationimposéeparunobjetenmouvementdans elui i.Par onséquent
la for ede frottement uide est d'autantplus forteque le uide est visqueux.
La norme de la for e de frottement exer ée par le gly érol sur la bille en
mouvement à la vitesse
||~v|| = v
est modélisée par|| ~
f || = −λv
aveλ = 0, 4
kg/s .Dansle asde etteexpérien e,onutiliseunebillesphériquedemasse
M = 0, 1
kg, de volumeV
bille
= 13mL.La bille est lâ hée sans vitesse initiale à une hauteur
h = 40cm
dans une éprouvette rempliede gly érol dont la massevolumique estρ
g
= 1, 26g/cm
3
.
Partie A : Présentation de la situation physique : modélisation.
1. Faire lebilan des for es quis'appliquent sur la billeen train de huter dans le gly érol.
2. Le mouvement est purement unidimensionnel.
Montrez que l'équation du mouvement du plomb dans le référentiel du laboratoire supposé
Galiléen s'é rit :
M
dv
dt
= (M − V
bille
× ρ
g
)g − λv
On appelle "régime transitoire", la période pendant laquelle la vitesse du plomb évolue.
Lorsque larégimetransitoirese termine, ommen e lerégimestationnairequidurejusqu'à e
que le plomb tou he lefond de l'éprouvette.
3.(a) Comments'é rit l'équationdiérentielle pendant le régimestationnaire?
(b) Exprimer alorsla vitesse en régimestationnaire en fon tion de
M
,V
bille
,λ
,ρ
g
etg
.Cette valeur de la vitesse est appelée "vitesse limite" etest notéev
lim
.( ) A l'aide des données de l'exer i e,donner en m/s ette vitesse limite.
Partie B : Traitement mathématiques de la deuxième loi de Newton.
I) Utilisation d'une suite
(V
n
)
.La résolution des équations diérentielles n'est pas au programme du ly ée.
Nous vous proposons don une résolution appro hée à l'aide de suites numériques réelles.
Pour ela,ondé nitlasuite
(V
n
)
ommelasuitedesvitessesatteintesparlabilleautempst = n×∆
t
. L'intervalle de temps∆
t
est su samment petit pour onfondre le taux d'a roissement et sa limite la dérivée.La deuxième loi de Newton s'é ritalors :
M
V
n+1
− V
n
∆
t
= (M − V
bille
× ρ
g
)g − λv
1. Donner
V
0
, valeur initialede lavitesse etpremierterme de lasuite(V
n
)
.2. Montrer quepour tout entier naturel
n
,V
n+1
= aV
n
+ b
oùa
etb
sont deux réels. Donner lesexpressions dea
et deb
en fon tiondeM
,V
bille
,λ
,ρ
g
,g
et∆
t
.Proposition d'exer i e de mé anique.
3. Pour toute la suite de l'exer i e, nous prendrons
∆
t
= 40
ms; e qui orrespond au temps entre deux images au inéma.(a) Donner lesunités des réels
a
etb
.(b) Montrer qu'ave les données de l'exer i e,
a = 0, 84
etb = 0, 0133
. II) Étude graphique de la suite(V
n
)
.A l'aide d'une al ulatri e oud'unlogi iel de géométrie dynamique, onje turer lesvariations de
lasuite
(V
n
)
ainsi quela valeur de salimite éventuelle. Expliquer votre démar he.III) Étude la suite
(V
n
)
à l'aide d'une suite auxiliaire(U
n
)
. On onsidère la suite(U
n
)
dé nie surN
parU
n
= V
n
− 0, 083125
.1. Montrer quela suite
(U
n
)
est une suite géométrique. Pré isersa raisonet son premierterme. 2. En déduirel'expression de(U
n
)
en fon tion den
puis elle(V
n
)
en fon tion den
.3. Quelle est lalimite de la suite
