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viscosite version suites

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Proposition d'exer i e de mé anique.

Legly érolest unuidetrès visqueux. Lavis ositéd'unuide orrespond àsa

fa ilité à réagir au mouvement. Un uide qui réagit moins vite qu'un se ond

est ditplusvisqueux. Ainsi,plusleuideestvisqueux, plusils'opposeraàune

déformationimposéeparunobjetenmouvementdans elui i.Par onséquent

la for ede frottementuide est d'autantplus forteque leuide est visqueux.

La norme de la for e de frottement exer ée par le gly érol sur la bille en

mouvement à la vitesse

||~v|| = v

est modélisée par

|| ~

f || = −λv

ave

λ = 0, 4

kg/s .

Dansle asde etteexpérien e,onutiliseunebillesphériquedemasse

M = 0, 1

kg, de volume

V

bille

= 13mL.

La bille est lâ hée sans vitesse initiale à une hauteur

h = 40cm

dans une éprouvette rempliede gly érol dont la massevolumique est

ρ

g

= 1, 26g/cm

3

.

Partie A : Présentation de la situation physique : modélisation.

1. Faire lebilan des for es quis'appliquent sur la billeen train de huter dans le gly érol.

2. Le mouvement est purement unidimensionnel.

Montrez que l'équation du mouvement du plomb dans le référentiel du laboratoire supposé

Galiléen s'é rit :

M

dv

dt

= (M − V

bille

× ρ

g

)g − λv

On appelle "régime transitoire", la période pendant laquelle la vitesse du plomb évolue.

Lorsque larégimetransitoirese termine, ommen e lerégimestationnairequidurejusqu'à e

que le plomb tou he lefond de l'éprouvette.

3.(a) Comments'é rit l'équationdiérentielle pendant le régimestationnaire?

(b) Exprimer alorsla vitesse en régimestationnaire en fon tion de

M

,

V

bille

,

λ

,

ρ

g

et

g

.Cette valeur de la vitesse est appelée "vitesse limite" etest notée

v

lim

.

( ) A l'aide des données de l'exer i e,donner en m/s ette vitesse limite.

Partie B : Traitement mathématiques de la deuxième loi de Newton.

I) Utilisation d'une suite

(V

n

)

.

La résolution des équations diérentielles n'est pas au programme du ly ée.

Nous vous proposons don une résolution appro hée à l'aide de suites numériques réelles.

Pour ela,ondénitlasuite

(V

n

)

ommelasuitedesvitessesatteintesparlabilleautemps

t = n×∆

t

. L'intervalle de temps

t

est susamment petit pour onfondre le taux d'a roissement et sa limite la dérivée.

La deuxième loi de Newton s'é ritalors :

M

V

n+1

− V

n

t

= (M − V

bille

× ρ

g

)g − λv

1. Donner

V

0

, valeur initialede lavitesse etpremierterme de lasuite

(V

n

)

.

2. Montrer quepour tout entier naturel

n

,

V

n+1

= aV

n

+ b

a

et

b

sont deux réels. Donner lesexpressions de

a

et de

b

en fon tionde

M

,

V

bille

,

λ

,

ρ

g

,

g

et

t

.

(2)

Proposition d'exer i e de mé anique.

3. Pour toute la suite de l'exer i e, nous prendrons

t

= 40

ms; e qui orrespond au temps entre deux images au inéma.

(a) Donner lesunités des réels

a

et

b

.

(b) Montrer qu'ave les données de l'exer i e,

a = 0, 84

et

b = 0, 0133

. II) Étude graphique de la suite

(V

n

)

.

A l'aide d'une al ulatri e oud'unlogi iel de géométrie dynamique, onje turer lesvariations de

lasuite

(V

n

)

ainsi quela valeur de salimite éventuelle. Expliquer votre démar he.

III) Étude la suite

(V

n

)

à l'aide d'une suite auxiliaire

(U

n

)

. On onsidère la suite

(U

n

)

dénie sur

N

par

U

n

= V

n

− 0, 083125

.

1. Montrer quela suite

(U

n

)

est une suite géométrique. Pré isersa raisonet son premierterme. 2. En déduirel'expression de

(U

n

)

en fon tion de

n

puis elle

(V

n

)

en fon tion de

n

.

3. Quelle est lalimite de la suite

(V

n

)

?

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