Un théorème no-go pour les théories supersymétriques pleinement unifiées brisées par un vide métastable

Un théorème no-go pour les théories

supersymétriques pleinement unifiées brisées par un

vide métastable

Un théorème no-go pour les théories

supersymétriques pleinement unifiées brisées par un

vide métastable

Mémoire

Jean-Samuel Leboeuf

Sous la direction de:

Résumé

Le modèle standard, bien qu’étant la théorie la plus complète et précise jamais conçue, mène toutefois à plusieurs problèmes et questions non résolues, tels le problème de la hiérarchie ou de l’origine de la masse des neutrinos. Parmi les solutions avancées, les plus populaires sont sans doute les théories de grande unification et l’ajout de la supersymétrie. L’inclusion simultanée de ces deux extensions du modèle standard semble d’ailleurs encouragée par l’unification des constantes de couplage. Toutefois, briser la supersymétrie constitue un obstacle de taille à la réalisation de modèles réalistes et nécessite donc l’introduction d’un secteur caché, découplé du modèle standard.

Le présent mémoire a pour objectif de tester une unification totale du secteur caché et du mo-dèle standard supersymétrique minimal unifié sous la bannière des théories supersymétriques

pleinement unifiées. Pour délimiter l’étude de tels modèles, deux hypothèses sont posées :

le mécanisme de brisure de supersymétrie du secteur caché est le mécanisme Intriligator-Seiberg-Shih et les brisures de symétrie jaugée surviennent par un mécanisme de Higgs avec un potentiel quartique. Un théorème no-go est par la suite démontré, stipulant qu’il est impos-sible d’avoir une théorie supersymétrique pleinement unifiée soumise à ces deux conditions.

Abstract

The Standard Model, while being the most complete and precise theory ever built, possesses many flaws for which several solutions exist. Among the most popular are the Grand Uni-fied Theories and supersymmetry. The introduction of both extensions simultaneously yields an even more elegant solution, since the coupling constants of the Minimal Supersymmet-ric Standard Model seems to converge into one unique point. However, the challenge that supersymmetry breaking represents is an obstacle to realistic model building and forces the need to break supersymmetry in a new sector, decoupled from the Minimal Supersymmetric Standard Model.

This memoir aims to resolve this problem by suggesting the complete unification of the de-coupled sector with the Minimal Supersymmetric Standard Model under the denomination

Fully Supersymmetric Grand Unified Theories. To begin the study of such models, two

as-sumptions are made: the supersymmetry breaking mechanism is the Intriligator-Seiberg-Shih mechanism, and the symmetry breaking mechanism is the Higgs mechanism with a quartic potential. Then, a no-go theorem is proved, showing that it is impossible to have a Fully Supersymmetric Grand Unified Theory for which these two conditions are satisfied.

Table des matières

Résumé iii

Abstract iv

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Liste des figures viii

Liste des listes ix

Remerciements xii

Introduction 1

1 Notions préliminaires de supersymétrie 6

1.1 Motivations à la supersymétrie . . . 6

1.2 Notions de supersymétrie . . . 11

1.3 Le modèle standard et son extension supersymétrique . . . 20

2 Théories de la grande unification 27

2.1 L’unification des constantes de couplage . . . 28

2.2 Le modèle SU(5) supersymétrique . . . 32

2.3 Autres modèles de grande unification . . . 40

3 Brisure dynamique de supersymétrie par un vide métastable 48

3.1 Les phases des théories de jauge. . . 49

3.2 La dynamique de la chromodynamique quantique supersymétrique . . . 52

3.3 Brisure de supersymétrie à la Intriligator, Seiberg et Shih . . . 72 4 Le théorème no-go pour une théorie de la grande unification

supersy-métrique brisée par un vide métastable 78

4.1 Mise en place du modèle . . . 79

4.2 Éléments préliminaires . . . 83

4.3 Le théorème no-go . . . 90

A Éléments d’algèbre de Lie simple 102

A.1 Notions de base . . . 102

A.2 Calcul du Casimir de représentations de An . . . 108

Liste des tableaux

1.1 Contenu en champs du modèle standard . . . 20

1.2 Contenu en superchamps du modèle standard supersymétrique minimal . . . . 23

2.1 Contenu en superchamps du modèle SU(5) supersymétrique minimal . . . 35

2.2 Contenu en superchamps du modèle SO(10) supersymétrique minimal . . . 42

3.1 Les différentes phases des théories de jauge . . . 49

3.2 Contenu en superchamps de la SQCD . . . 55

3.3 Contenu en opérateurs de la SQCD pour Nf < Nc . . . 58

3.4 Contenu en fermions de la SQCD pour Nf = Nc . . . 63

3.5 Les quatre coefficients d’anomalie A non nuls de la SQCD à Nf = Nc saveurs . 64 3.6 Contenu en superchamps de la SQCD duale de Seiberg. . . 66

3.7 Les coefficients d’anomalie A non nuls en SQCD duale . . . 68

4.1 Le Casimir de quelques représentations irréductibles de SU(n + 1) . . . 92

4.2 Le Casimir de quelques représentations irréductibles de SO(N) . . . 94

4.3 Motifs de brisure de symétrie provenant d’une VEV de représentations irréduc-tibles de SU(n + 1) et SO(N). . . 95

4.4 Règles de branchement pour les représentations irréductibles permises pour deux sous-groupes maximaux de SU(n + 1) . . . 96

4.5 Règles de branchement pour les représentations irréductibles permises pour trois sous-groupes maximaux de SO(N) . . . 97

Liste des figures

1.1 Corrections quantiques à une boucle à la masse du Higgs . . . 8

2.1 Évolution des constantes de couplage des trois groupes de jauge du modèle

standard. . . 31

3.1 Diagrammes de Feynman des corrections quantiques contribuant aux anomalies 54

3.2 Les trois comportements de la fonction β en SCQD . . . 70

3.3 Évolution de la constante de couplage en SQCD . . . 71

3.4 Phases de la SQCD à Nc couleurs et Nf saveurs. . . 72

3.5 Les régimes du modèle simple de brisure dynamique de supersymétrie en SQCD 73

3.6 Esquisse du potentiel présentant un minimum métastable à l’origine. . . 76

4.1 Esquisse de la dynamique de la théorie FSGUT avec un vide métastable brisant

Liste des listes

Some men see things as they are and say “why ?”

But I dream things that never were, and ask “why not ?”

Remerciements

Je tiens à remercier mon directeur de thèse Prof. Jean-François Fortin pour m’avoir guidé tout au long de ma maitrise et de la rédaction de ce mémoire, ainsi que pour m’avoir initié aux théories de la grande unification.

Je suis également reconnaissant à mes examinateurs Prof. Pierre Mathieu et Prof. Luc Marleau d’avoir gentiment accepté de corriger ce mémoire.

Merci à mon amour Anne-Sophie pour m’avoir supporté et encouragé, et particulièrement pour avoir lu et corrigé tout le mémoire. Je remercie mes parents et mes collègues sans lesquels ces dernières années auraient été bien moins agréables.

Je suis reconnaissant aux organismes subventionnaires CRSNG et FRQNT pour le support financier pendant les deux années de recherche qui ont mené à ce mémoire.

Introduction

Le modèle standard (SM1_{) de la physique est l’un des plus grands, sinon le plus grand, des}

accomplissements de la physique moderne. Il est le fruit d’un travail colossal, bâti brique par brique sur plusieurs décennies par une multitude de scientifiques en quête de vérité. Le SM propose un cadre pour expliquer la composition de la matière actuellement connue ainsi que toutes les forces à l’origine de leurs interactions, exceptée la gravité. Malgré son étonnante simplicité, il contient une richesse et une complexité incroyable lui permettant de donner la description la plus complète et précise de notre Univers jamais réalisée.

De manière plus explicite, le SM est une théorie quantique des champs particulière qui inclut seize champs chargés sous le groupe de jauge iconique SU(3)C×SU(2)L×U(1)Y. Quinze de ces

champs, séparés en trois « générations » de cinq champs, sont fermioniques et leurs excitations représentent les différentes facettes de la matière telle qu’elle est connue, tandis que le dernier constitue le fameux champs de Higgs, donnant une masse à tous les autres champs. Le groupe de jauge introduit trois forces, une pour chacun des sous-groupes. La partie SU(3)C génère

l’interaction forte, autrement appelée « force de couleur » ou encore « chromodynamique quantique » (QCD). D’un autre côté, l’électrodynamique quantique (QED) et l’interaction faible sont quant à elles unifiées sous le groupe SU(2)L× U(1)Y sous la dénomination de

« force électrofaible ». Plus précisément, la partie SU(2)L est référée en tant qu’« isospin

faible » et la partie U(1)Y constitue l’« hypercharge ».

Le formalisme des théories quantiques des champs appliqué au modèle standard a permis de produire des prédictions très précises, possédant des marques distinctives. En particulier, les corrections quantiques des boucles modifient les paramètres de la théorie souvent de façon non négligeable et permettent ainsi de tester efficacement la puissance du modèle standard. De plus, le flot du monoïde de renormalisation (aussi couramment appelé à tort groupe de

renormalisation) fait changer la valeur de ces mêmes paramètres selon l’échelle d’énergie à

laquelle les expériences sont menées. Ces effets notables ont été observés à une précision inégalée, en particulier dans les grandes expériences de collisionneur, tels au LEP dans les

1

Les sigles employés au cours du présent mémoire sont écrits selon la terminologie anglaise pour être conformes à la littérature du domaine et ainsi faciliter la lecture.

années 90 et récemment au LHC. Ce sont ces confirmations impressionnantes de la théorie qui ont fait le succès du SM.

Toutefois, il est bien connu des physiciens que le modèle standard n’est pas le fin mot de l’histoire. Plusieurs problèmes restent encore inexpliqués à ce jour. Le principal est sans doute la difficulté d’incorporer la gravité quantique à la théorie. Plusieurs tentatives ont été réalisées, avec des résultats plus ou moins fructueux. Les méthodes les plus naïves d’y arriver perdent toute prédictibilité ou contiennent des contradictions, tandis que les plus complexes, telles que la théorie des supercordes et la supergravité, bien que prometteuses, sont difficiles à tester et aucune ne semble se distinguer des autres.

De plus, les observations cosmologiques basées sur la relativité générale indiquent que l’Univers est composé à 95,1% d’énergie et de matière « sombres », différentes de celles qui composent le monde visible. Le modèle standard tel qu’il est présentement ne propose aucun candidat plausible pour cette portion inconnue de la physique. Cependant, cette observation laisse une grande liberté pour les théories qui viendraient le compléter. Cela a d’ailleurs mené à l’émergence d’une vaste variété de modèles à phénoménologies diverses visant à résoudre d’autres problèmes.

Un autre échec du SM, plus apparent, mais tout aussi profond, concerne les neutrinos. En effet, cette théorie n’explique pas l’origine de la masse des neutrinos ainsi qu’à leurs oscillations de saveurs, alors que ces phénomènes sont bel et bien observés. L’une des solutions les plus simples consiste à inclure un neutrino de chiralité droite, ce qui permettrait d’écrire un terme de masse. Ce neutrino est dit « stérile », car il ne serait soumis à aucune autre force que la gravité, contrairement aux autres champs connus. Cette propriété le rendrait quasiment invisible, car il n’interagirait qu’avec le neutrino gauche par l’intermédiaire du Higgs et il serait donc un candidat idéal pour la matière sombre.

Finalement, la dernière grande difficulté du SM vise une incohérence d’échelle, connue sous le nom du problème de la hiérarchie ou de la « naturalité » (naturalness). Cela concerne l’échelle d’énergie à laquelle l’interaction faible et la QED s’unifient, qui se situe autour de 102 _GeV. La seule autre échelle relative connue2_{, soit la masse de Planck, est environ de 10}19 _GeV. Ainsi, la différence entre les deux est de plusieurs ordres de grandeur. Cela n’est pas un problème en soi ; c’est plutôt des considérations quantiques qui soulèvent des interrogations. En effet, en supposant que le SM est complet, des corrections radiatives dépendantes de la masse de Planck augmenteraient de manière significative l’échelle d’énergie d’unification qui devrait être observée. Plusieurs techniques pour contenir cet excès ont été proposées, toutes impliquant des extensions au SM.

2

Il existe une autre échelle connue, soit l’énergie à laquelle la constante de couplage de la QCD diverge : ΛQCD∼ 10−1GeV. Cette échelle est générée dynamiquement de façon naturelle et sa petitesse est facilement

expliquée. Néanmoins, cette échelle n’est aucunement reliée au problème de la hiérarchie puisque le Higgs est non chargé sous SU (3)C.

Tous ces indices montrent d’abord et avant tout qu’il est nécessaire d’étendre le modèle stan-dard de la physique pour offrir des solutions à ces problèmes. Des avenues intéressantes ont été proposées au fil du temps, par exemple, les théories de la grande unification (GUT), inspirées de l’unification électrofaible, ont connus un grand succès sans toutefois s’être imposées. Le premier de ces modèles a été proposé en 1974 par Georgi et Glashow [1]. Il unifiait tout le SM sous le groupe de jauge unique SU(5), brisé par un Higgs vers SU(3)C × SU(2)L× U(1)Y.

Depuis, plusieurs variations ont émergé, unifiant le SM sous le groupe de jauge SO(10) ou

E6. Ces modèles ont plusieurs avantages ; ils fournissent une explication à la quantification

de la charge électrique et donnent une origine à la conservation des nombres baryoniques et leptoniques. De plus, ils donnent une masse de manière cohérente aux neutrinos et la matière y est unifiée sous un même multiplet. D’un autre côté, un inconvénient majeur de ces modèles non minimaux est la prédiction de la désintégration du proton, un phénomène jusqu’à présent non observé.

Alternativement, une autre solution très populaire est l’introduction de la supersymétrie dans le SM pour produire le modèle standard supersymétrique minimal (MSSM). La principale mo-tivation pour la supersymétrie est avant tout sa capacité à régler le problème de la hiérarchie de manière très élégante [2]. La supersymétrie semble prometteuse aussi parce qu’elle permet d’intégrer la gravité simplement en la jaugeant, ce qui donne la « supergravité ». De plus, plu-sieurs modèles exploitant cette symétrie proposent des solutions au problème de la matière sombre.

À la vue des problèmes réglés par ces deux extensions du SM, il est légitime de vouloir les combiner. Cela donne naissance aux « théories de la grande unification supersymétriques » (SGUT). Cette association d’idées est d’ailleurs confortée par l’observation que les constantes de couplage de SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y se recoupent presque parfaitement lorsque la

supersymétrie est incluse, suggérant fortement une unification de toutes les forces du SM. Toutefois, la supersymétrie souffre en elle-même d’une faille flagrante : elle n’est pas observée expérimentalement. Ainsi, si elle devait être présente, elle devrait être « brisée » (parfois aussi dite « cachée »). Briser la supersymétrie tout en conservant ses bénéfices n’est pas une tâche facile. En effet, les mécanismes classiques de brisure de supersymétrie spontanée de Fayet-Iliopoulos (1974) [3, 4] et de O’Raifeartaigh (1975) [5] incorporés directement au MSSM présentent tous le même problème : ils introduisent toujours des champs scalaires très légers. Si la supersymétrie était brisée par l’une de ces méthodes, ces particules auraient été découvertes depuis longtemps, ce qui n’est pas le cas.

Cette constatation mène à la conclusion qu’un mécanisme plus complexe doit être à l’œuvre. En réalité, toutes les solutions connues à ce problème supposent l’existence d’un secteur « ca-ché », avec des groupes de jauge et des champs complètement découplés du MSSM. Ce secteur caché briserait la supersymétrie, puis un autre mécanisme transférerait la brisure vers le

sec-teur visible, c.-à-d. le MSSM. Une variété de moyens peuvent servir à propager la brisure : la médiation de jauge, la médiation par anomalies, la médiation par interactions gravitionnelles, etc. [2] Cette technique permet efficacement de se débarasser des champs scalaires légers in-désirables. Bien que ces modèles soient alors phénoménologiquement réalistes, ils présentent deux grands défauts. D’abord, le secteur caché est complètement artificiel : aucune observa-tion expérimentale ne restreint son contenu. Les modèles sont alors souvent complexes et peu naturels, dans le but de facilement ajuster la brisure de supersymétrie transférée au MSSM. Ensuite, la théorie est « dé-unifiée » : le MSSM, unifié en tant que SGUT, est séparé du secteur caché. Il semblerait curieux de voir que les constantes de couplage du MSSM se recoupent en un seul point, mais qu’elles ne se recoupent pas avec les constantes de couplage du secteur caché.

C’est dans ce contexte qu’est introduit le concept de « théorie supersymétrique pleinement unifiée » (FSGUT pour Fully SGUT). Il s’agit d’une famille de modèles pour lesquels le secteur visible et le secteur caché sont unifiés à haute énergie. Ces théories constituent ainsi le thème de ce mémoire. Dans le but d’étudier la phénoménologie de tels modèles, le mémoire est restreint à une implantation particulière de ces théories. Ainsi, l’analyse se limite aux FSGUTs dont la supersymétrie est brisée par le mécanisme Intriligator-Seiberg-Shih (ISS). Le mécanisme ISS est une technique de brisure de la supersymétrie proposée récemment (2006) par Intriligator, Seiberg et Shih [6]. Elle consiste à briser la supersymétrie en se servant de la dynamique non perturbative des théories supersymétriques. Elle exploite un vide métastable, c.-à-d. un minimum local de la théorie qui n’est pas absolu, mais qui possède une demi-vie beaucoup plus longue que l’âge de l’Univers. Ainsi, les probabilités de passer d’un « faux » minimum non supersymétrique à un vrai minimum supersymétrique par effet tunnel sont extrêmement basses et cela rend donc envisageable d’intégrer ce mécanisme dans une FSGUT. Le principal avantage de cette méthode est sans aucun doute sa simplicité. En effet, comme c’est la dynamique qui brise la supersymétrie, il n’est pas nécessaire d’insérer artificiellement un potentiel complexe.

L’idée de développer une SGUT réaliste exploitant le mécanisme ISS avait été suggérée par plusieurs [2, 6, 7, 8]. Cependant, aucune tentative d’établir un modèle phénoménologique-ment viable de FSGUTs n’a été effectuée jusqu’à présent. Ainsi, le but original du projet était d’étudier le réalisme de tels modèles. Toutefois, après plusieurs essais infructueux, une conclu-sion malencontreuse s’est imposée : les conditions nécessaires pour que la théorie possède un minimum non supersymétrique métastable sont incompatibles avec le contenu du SM. Ce mémoire se veut donc une preuve de l’impossibilité d’utiliser le mécanisme ISS pour bâtir une FSGUT dans un contexte général. Ce résultat permet de motiver et de conduire la recherche future dans des directions différentes, par exemple vers d’autres mécanismes de brisure de supersymétrie ou vers des moyens de contourner ce théorème no-go.

La preuve est divisée comme suit. Le premier chapitre est un bref rappel sur la supersymétrie. Il motive plus en détails son introduction et présente le modèle standard ainsi que son ex-tension supersymétrique minimale et ses difficultés. Le second chapitre étudie les aspects des théories de grande unification. La convergence des constantes de couplage est présentée comme principale justification, puis le modèle SU(5) est largement couvert. Enfin, les modèles basés sur SO(10) et E6 sont rapidement vus. Le troisième chapitre traite du mécanisme de brisure de la supersymétrie par un vide métastable. La chromodynamique quantique supersymétrique y est développée non perturbativement, ce qui mène ensuite à la dualité électrique-magnétique de Seiberg, dans laquelle se trouve l’origine du vide métastable. Le quatrième chapitre conclut la preuve en établissant le cadre du théorème, puis en construisant des outils qui servent fi-nalement à éliminer toutes les possibilités d’une FSGUT brisant la supersymétrie à l’aide du mécanisme ISS.

Chapitre 1

Notions préliminaires de

supersymétrie

La supersymétrie est une symétrie très spéciale de certaines théories quantiques des champs. Elle consiste à associer à chaque particule une seconde dont le spin diffère par une demie. Ainsi, chaque champ du modèle standard se retrouve avec un « superpartenaire ». La supersymétrie survient lorsque, sous l’interchange des champs avec leur superpartenaire mutuel, la physique reste inchangée.

Le présent chapitre couvre rapidement les notions de supersymétrie nécessaires à la com-préhension de la preuve qui est au coeur de ce mémoire, mais aussi essentiels pour situer le contexte et la pertinence d’un tel théorème. Pour y arriver, les motifs historiques et actuels de l’utilisation de la supersymétrie sont d’abord brièvement présentés. Ensuite, les concepts de base de la supersymétrie sont revus pour instaurer les conventions du mémoire. Finalement, le modèle standard (SM) et son extension supersymétrique minimale sont survolés.

1.1

Motivations à la supersymétrie

La supersymétrie trouve sa pertinence dans plusieurs aspects de la théorie quantique des champs. Cette section expose l’intérêt d’utiliser cette symétrie. Une première partie retrace un bref historique de l’introduction de la supersymétrie. La seconde se tourne vers une explication détaillée plus actuelle, basée sur le problème de la hiérarchie. La présentation de ce problème est inspirée de celle de Martin [2] et de celle de Labelle [9].

1.1.1 Motifs historiques

Historiquement, la supersymétrie fut introduite pour diverses raisons, entre autres indépen-damment par Ramond, Neveu et Gervais [10, 11, 12] en 1971 afin d’obtenir une théorie « duale » physique possédant des fermions, modèle à l’origine de la théorie des cordes. D’un

autre côté, Golfand et Likhtman [13] (1971) sont parvenus à la supersymétrie à l’aide de considérations théoriques en tentant d’étendre la symétrie de Poincaré. Volkov et Akulov [14] (1973) ont quant à eux produit une supersymétrie en essayant d’expliquer la masse nulle du neutrino (ce n’est qu’ultérieurement que des travaux ont montré que les neutrinos devaient avoir une masse non-nulle en raison de leur oscillation) en tant que particule de Goldstone, donc à l’origine d’une symétrie brisée. Ce n’est qu’en 1974 que Wess et Zumino [15] ont pro-posé le premier modèle simple de théorie quantique des champs supersymétrique en quatre dimensions. De nos jours, la supersymétrie trouve d’abord et avant tout son intérêt dans sa résolution exceptionnellement élégante du problème de la hiérarchie. Comme il s’agit mainte-nant de sa motivation première, il vaut la peine de développer plus en détails la situation.

1.1.2 Le problème de la hiérarchie

Le problème de la hiérarchie, ou de la naturalité, prend racine dans les corrections quantiques à la masse du Higgs. Le modèle standard stipule que la matière est composée de trois générations de cinq champs de matière, qui sont des spineurs de Weyl de spin 1

2, tous sans termes de masse, couplés au groupe de jauge SU(3)C× SU(2)L× U(1)Y. En plus de ces champs est ajouté un

scalaire complexe de spin 0, le boson de Higgs. Cette particule est un doublet sous SU(2)L

avec hypercharge Y = 1 2, dénotée par φ = _φ 1 φ2 

. Elle interagit avec les autres particules de matière, ce qui leur donne une masse lorsque qu’elle acquiert une valeur moyenne dans le vide (VEV pour vacuum expectation value) non nulle. Le champ de Higgs obtient une VEV par l’intermédiaire d’interactions avec lui-même, décrite au moyen d’un potentiel renormalisable (c.-à-d. au plus d’ordre 4 en terme de dimensions), possiblement efficace, de la forme

V = −µ2φ†φ+ λh(φ†φ)2, (1.1)

avec µ2 _{et λ}

h des paramètres réels et positifs, nécessaires pour qu’il soit bien défini.

Ce potentiel possède des minimums à D

φ†φE ≡ v₂2 = _2λµ2

h en raison du terme quadratique

négatif. Pour pouvoir étudier la théorie perturbativement, il faut faire une expansion autour de ces minimums. La symétrie SU(2)L permet d’écrire sans perte de généralité le champ de

Higgs comme φ(x) = U(x)√1 2 0 v+ h(x) ! , (1.2)

où h(x) est le nouveau champ dynamique réel et U(x) est une matrice de transformation de jauge unitaire. Cette façon d’écrire le champ brise spontanément la symétrie SU(2)L× U(1)Y

vers U(1)QED. Après avoir introduit (1.2) dans le potentiel (1.1), le champ h acquiert une masse carrée positive m2

h = 2λhv2 ainsi qu’un couplage quartique avec lui-même donné par λh

4 h

4_{. La découverte en 2012 du boson de Higgs au LHC [16, 17, 18] a mené à une valeur} expérimentale de 125 GeV pour sa masse et une VEV d’environ 246 GeV, pour une constante

de couplage de λh = 0,126. Dans le SM, le Higgs est aussi couplé aux fermions en écrivant

des termes invariants de jauge tels que

Vint = λeELφeR+ h.c., EL= 

νL eL 

U†(x) (1.3)

pour les leptons et similairement pour les quarks. En substituant (1.2) dans cette équation, on obtient plutôt Vint= λe √ 2(v + h)(eLeR+ eReL) ≡ m2_e 2 ee+ λe √ 2hee, (1.4)

où les spineurs de Weyl gauches et droits ont été rassemblés sous un seul spineur de Dirac e. De manière systématique, tout fermion sous forme de spineur de Weyl interagissant avec le Higgs peut s’écrire comme un spineur de Dirac massif après la brisure de symétrie électrofaible (excepté le neutrino, qui reste sans masse et qui n’interagit pas avec h). Ainsi, les corrections au premier ordre à la masse du Higgs par des fermions peuvent être traitées en toute généralité en considérant seulement des interactions avec des fermions de Dirac. Le diagramme de Feynman associé à cette correction est présenté à la figure1.1apour un fermion de Dirac f quelconque.

h h

f

f

p+ k

p

(a) Correction quantique par un fermion de Dirac f.

h h

s

k

(b) Correction quantique par un scalaire s. Figure 1.1 – Corrections quantiques à une boucle à la masse du Higgs par un fermion de Dirac

f (à gauche) et par un champ scalaire s (à droite).

Si le fermion possède une masse mf et que λf est la constante de couplage entre lui et le

Higgs, alors la correction s’exprime comme

δfm2h= − iλ2_f 2 ∞ Z −∞ d4_k (2π)4 tr(/k + /p + mf)(/k + mf)  (k + p)2_{− m}2 f   k2_{− m}2 f  = − λ2_f 16π2(Λ 2_{+ · · · ). (1.5)}

Les points de suspension contiennent ici les autres contributions à la correction, négligeables devant la constante Λ, qui est une échelle d’énergie « seuil » (cutoff ) tendant techniquement vers l’infini. Elle est introduite afin de paramétriser la grave divergence quadratique de l’in-tégrale considérée. Physiquement, elle peut toutefois s’interpréter comme l’échelle d’énergie à partir de laquelle une nouvelle dynamique apparait et le SM n’est plus une bonne approxima-tion. De ce point de vue, elle indique que le SM n’est pas complet et nécessite une extension.

Par exemple, en supposant qu’il ne manque que la gravité à incorporer au SM, alors Λ de-vrait être de l’ordre de la masse de Planck mP ≈ 1019 GeV, énergie à laquelle les effets de

gravité quantique deviennent non négligeables. Cela impliquerait que la première correction quantique à la masse carrée du Higgs est environ 30 ordres de grandeur de plus que la valeur observée !

Dans cette situation, pour obtenir la masse expérimentale du Higgs, il serait nécessaire d’avoir

m2_h− δ_fm2_h '1252 GeV2. (1.6)

Cependant, pour que ce résultat se produise, il faudrait que les 30 premiers chiffres significatifs du paramètre de masse m2

h (bare mass) soient identiques à ceux de la correction δfm2h. Il est

difficilement imaginable que cette incroyable annulation survienne de manière accidentelle. En réalité, le problème est encore pire. Il n’est même pas suffisant que le paramètre de masse compense cette correction : il doit contre-balancer les corrections à tous les ordres, ainsi que pour tous les autres fermions de la théorie auquel le Higgs est couplé. L’intuition porte à croire que cela n’est tout simplement pas « naturel », d’où la dénomination alternative du problème de la naturalité.

Même en considérant qu’un nouveau secteur est ajouté au SM à une échelle plus basse, le problème reste entier. Par exemple, la plupart des théories de grande unification supposent que l’échelle d’énergie à laquelle la nouvelle physique apparait se situe aux alentours de 1016_GeV, dépassant encore largement le paramètre de masse du Higgs. Pour obtenir une masse non précisément ajustée, il semble légitime de demander que les corrections quantiques soient plus petites que la masse du Higgs elle-même. Dans ce cas, l’échelle d’énergie seuil devrait se situer entre 103 _{et 10}4 _{GeV. Toutefois, le LHC sonde déjà cet intervalle et n’a trouvé aucun indice} ne laissant croire à l’émergence de phénomènes inédits.

La masse du boson de Higgs reçoit aussi des corrections par son interaction avec lui-même. Bien que le SM ne contient pas d’autres champs scalaires que le Higgs, le cas général d’une interaction avec un champ scalaire s quelconque sera utile. Le diagramme de Feynman pour une interaction de type λs

4 h

2_s2 _{est présenté à la figure 1.1b. La correction est alors donnée} par δsm2h = i 2 −iλ_s 4 ∞ Z −∞ d4_k (2π)4 i (k2_{− m}2 s) = λs 4 · 16π2(Λ 2_{+ m}2 sln Λ ms + · · · ). (1.7)

Cette correction possède elle aussi une divergence quadratique en l’énergie seuil Λ, mais elle est de signe opposé à la correction fermionique à la masse du Higgs (1.5). Cela donne donc espoir de pouvoir compenser suffisamment les corrections dues aux fermions pour stabiliser l’échelle électrofaible. Toutefois, le SM n’offre pas de champs scalaires qui pourraient offrir ce type de solution au problème de la hiérarchie autre que le Higgs lui-même.

En postulant qu’il existe des champs scalaires inobservés pour l’instant en raison de leur grande masse ms, il y aurait la possibilité que les corrections s’annulent, rendant la valeur

de la VEV du Higgs mesurée plus plausible. Pour y arriver, il faut néanmoins que toutes les corrections quantiques s’annulent encore à un haut niveau de précision, et ce, à tous les ordres. Même en supposant que cela se produise, le problème des grandes corrections persiste. En effet, le second terme de la correction (1.7) est proportionnel à m2

slnmΛs. Le logarithme

contient fortement la divergence en Λ : même pour une échelle seuil de l’ordre de la masse de Planck, la correction sera au plus de l’ordre de O 10m2

s

. Par conséquent, non seulement la masse du Higgs reçoit des corrections divergentes provenant de tous les champs auxquels il se couple, mais en plus, il est sensible à la masse des champs les plus massifs de la théorie auxquels il est couplé. Des champs inobservés très massifs auraient une grande influence sur l’échelle électrofaible et rendraient inexplicables sa petitesse par rapport à l’échelle gravitationnelle. Pour limiter ces effets indésirables, il serait tentant de considérer une extension au SM non couplée au champ de Higgs. Déjà difficile à justifier mathématiquement, cette supposition est vouée à l’échec. Pour être détectable et avoir un réel effet dans l’Univers, ce nouveau secteur devrait être relié aux champs du SM par des interactions jaugées. Dans ce cas, les nouveaux champs seraient couplés seulement indirectement au Higgs, par des corrections quantiques à 2 boucles et plus. Cependant, ces corrections sont encore divergentes quadratiquement et logarithmiquement, ce qui ne fait qu’épaissir le problème de la hiérarchie.

Visiblement, la seule solution qui semble viable est que toutes les corrections quadratiques des fermions s’annulent par le biais de corrections attribuables à des champs scalaires. Une telle corrélation entre les termes de correction semble malgré tout grandement improbable si elle est pour survenir accidentellement. Cependant, il est connu de la théorie quantique des champs que des symétries entre les champs permettent de telles annulations et « protègent » certains paramètres des corrections quantiques. En conséquence, s’il existait une symétrie entre fermions et scalaires, telle que pour chaque correction fermionique avec constante λf, il

en existe une équivalente de signe opposé avec

λs

4 = λ2f (1.8)

due à un scalaire, alors les divergences quadratiques s’annuleraient parfaitement.

Cette symétrie entre fermions et bosons est appelée « supersymétrie ». En fait, lors de l’intro-duction de cette symétrie, l’exacte opposition entre les différentes corrections quadratiquement divergentes survient de manière inévitable, et ce, à tous les ordres et pour tous les champs. Il s’agit alors d’une manière inattendue, mais très attrayante, de justifier et de stabiliser l’échelle d’énergie si basse de l’interaction électrofaible.

La supersymétrie propose un formalisme très puissant, esthétique et prédictif dans le cadre de la physique des particules. En particulier, elle stipule que chaque champ connu du SM possède

un superpartenaire et permet l’insertion de la gravité quantique assez naturellement. Pour ces raisons, elle est considérée par plusieurs comme très prometteuse en tant qu’extension logique du SM. Toutefois, comme la supersymétrie n’est pas observée, si la nature est telle, il doit y avoir un mécanisme qui la brise, qui la fait disparaitre à partir d’une certaine échelle d’énergie plus haute que celle présentement investiguée par les grandes expériences. Effectivement, la correction logarithmique dans (1.7) met de grandes contraintes sur cette échelle. La masse des champs introduits par la supersymétrie, proportionnelle à l’échelle d’énergie de brisure de la supersymétrie, ne peut être trop grande par rapport à la masse du Higgs, auquel cas la supersymétrie ne serait plus suffisante pour régler le problème de la naturalité. Selon la précédente analyse, cette masse ne devrait pas excéder les 10 TeV.

Bien que dans ce contexte le LHC semble mettre à mal la supersymétrie, elle reste encore l’une des meilleures options pour expliquer la physique au-delà du SM. Même si la supersymétrie ne résout pas le problème de la hiérarchie, sa richesse et sa beauté la place parmi les théories les plus convaincantes et cohérentes de la physique moderne. Il est ainsi encore bien d’actualité d’étudier la supersymétrie et ses implications.

1.2

Notions de supersymétrie

Avant d’entrer dans le vif du sujet, il est nécessaire d’introduire les concepts de base sur les-quels ce mémoire s’appuie. Cette section traite donc très brièvement de la supersymétrie et met en place la notation utilisée. L’algèbre de la supersymétrie est revue, les concepts de su-perespace et de superchamps sont introduits, les lagrangiens supersymétriques sont construits dans ce contexte et finalement, certaines conséquences de la supersymétrie sont abordées. Les conventions choisies dans le texte suivent celles de Labelle [9]. Il est à noter que certains signes et facteurs varient par rapport à la convention assez répandue de Wess et Bagger [19].

1.2.1 L’algèbre supersymétrique

La supersymétrie est une symétrie spéciale des théories de champs quantiques. Elle consiste à ajouter un champ bosonique pour chaque champ fermionique, et inversement, à chaque boson est joint un fermion. Les nouveaux champs bosoniques prennent les mêmes noms que leurs contreparties fermioniques, auxquels sont ajoutés un préfixe « s- » signifiant « scalaire ». De manière similaire, les nouveaux fermions sont baptisés en ajoutant le suffixe « -ino » aux noms des champs bosoniques. Les champs de chacune des paires sont interreliés par une transformation de symétrie spinorielle. Ainsi, les générateurs de ladite transformation sont des spineurs de Weyl grassmanniens complexes, appelés supercharges et identifiés par Q et

Q, de chiralité gauche et droite respectivement. Ces générateurs s’insèrent dans l’algèbre de

commutation suivantes (les absentes impliquant Pµ étant nulles) : n Qα, Qβ o = 0 & n Qα, Qβ o = 0, n Qα, Qα˙ o = 2σµ α ˙αPµ, (1.9) h Qα, Mµν i = (σµν)αβQβ & h Qα˙, Mµν i = (σµν)α˙α˙Q ˙ α ,

avec σµ_{= (1, σ}i_{) et σ}µ_{= (1, −σ}i_{) les matrices de Pauli étendues et} σµν =

i

4(σµσν − σνσµ) & σµν = i

4(σµσν− σνσµ) .

Le caractère fermionique des supercharges leur permet ainsi de contourner le théorème no-go de Coleman-Mandula [20], qui stipule qu’il n’existe aucune extension « bosonique » à l’algèbre de Poincaré, c.-à-d. qu’aucun générateur n’ayant pas un commutateur nul avec les générateurs de Poincaré ne peut être ajouté.

Les relations (1.9) définissant l’algèbre de super-Poincaré ne constituent pas la seule exten-sion possible à l’algèbre de Poincaré. En effet, Haag, Lopuszanski et Sohnius [21] ont montré en 1975 qu’il était possible de créer de nouvelles configurations en incluant N supercharges différentes. Ces extensions proposent des prédictions riches par l’ajout de supersymétries supplémentaires qui imposent des contraintes rendant la théorie plus facile à résoudre ana-lytiquement. Toutefois, seule la supersymétrie N = 1 est intéressante du point de vue phé-noménologique. La principale raison est que, pour N ≥ 2, la théorie devient non chirale : les représentations des fermions sont strictement réelles, ce qui prévient la distinction entre spineurs de Weyl gauches et droits, nécessaire pour reproduire le SM. De plus, pour N > 4, la théorie admet des états sans masse de spin supérieur à 2, ce qui pose un problème puis-qu’il n’existe pas de lagrangien permettant de décrire de façon cohérente ces champs. C’est pourquoi, dans le contexte d’une grande unification du SM, le présent mémoire n’étudie que le cas de la supersymétrie N = 1.

1.2.2 Le superchamp chiral gauche

L’extension fermionique de l’algèbre de Poincaré mène naturellement à une extension de l’espace-temps, elle aussi fermionique. Ce nouveau « superespace » joint deux spineurs de Weyl (à 2 composantes) complexes θα et θ

˙

α

aux coordonnées de l’espace-temps xµ_{, où α, ˙α = 1, 2}

sont des indices spinoriels. Un point dans le superespace est alors noté z = (xµ_{, θ, θ). Les}

coordonnées θ et θ, comme les supercharges, sont des variables grassmanniennes et satisfont

θ1θ1 = θ2θ2 = θ ˙1

θ˙1 = θ˙2θ˙2 = 0 (ici ˙1 et ˙2 sont des indices). De plus, il est défini que θα _{≡ }αβ_θ

β, avec αβ le tenseur complètement antisymétrique, de même que θ

˙

α

≡ α ˙˙β_θ

˙

β.

Cela permet d’écrire le raccourci θ2 _{≡ θ}α_θ

α = αβθβθα = 2θ2θ1, et similairement pour θ,

Par conséquent, toute fonction scalaire de z peut être développée en série de Taylor finie autour de θ = 0 et θ = 0, telle que

S(z) = φ + θχ + θξ + θ2M+ θ2N + θσµθVµ+ θ2θλ+ θ

2

θρ+ θ2θ2D, (1.10)

où la dépendance en x est sous-entendue dans tous les termes et les différents facteurs nu-mériques provenant de l’expansion ont été omis par souci de clarté. Les composantes χ et ξ ainsi que ρ et λ sont des spineurs de Weyl grassmanniens de chiralité opposée, contractés de manière appropriée pour former des scalaires.

Il est utile d’énoncer les règles du calcul différentiel et intégral pour θ et θ. La dérivation est en tout point similaire au calcul standard (en prenant en compte le caractère grassmannien des dérivées) : ∂ ∂θαθ β _{≡ δ}β α & ∂ ∂θαθ 2 _{= 2θ} α. (1.11)

Les définitions sont analogues pour θ. D’un autre côté, le calcul intégral est lui complètement différent. En effet, il est plutôt identique au calcul différentiel :

Z

dθαθβ = δαβ & Z

dθα = 0. (1.12)

Pour intégrer sur les deux composantes de θ, l’élément d’intégration infinitésimal est noté d2_{θ ≡dθ1dθ2, ce qui permet d’écrire les relations simples}

Z

d2_θ=Z _d2_{θ θ}

α = 0 & Z

d2_{θ θ}2 _{= 2. (1.13)}

Pour obtenir une expression similaire pour θ, l’élément d’intégration est défini alternativement d2_{θ = dθ}˙2_dθ˙1_{. Il est alors aisé de vérifier que toutes ces relations tiennent encore lorsque θ} est remplacé par θ.

Bien que le concept de superespace ne soit pas nécessaire à la construction d’une théorie supersymétrique, son utilisation rend le formalisme très élégant et beaucoup moins lourd à traiter même s’il peut sembler quelque peu artificiel. Pour alléger la preuve, il est plus pratique d’adopter cet outil.

Dans le superespace, les champs dépendent de z et prennent donc la forme (1.10). De tels champs sont alors appelés des « superchamps ». Ainsi, un seul superchamp possède beaucoup plus de degrés de liberté qu’un seul champ dans l’espace-temps standard. Plus précisément, S serait équivalent à quatre champs scalaires (φ, M, N, D), quatre fermions de Weyl (χ, ξ,

ρ, λ) et un champ vectoriel (Vµ). En réalité, l’expression (1.10) correspond cependant à une

représentation réductible de l’algèbre de super-Poincaré. Des représentations irréductibles plus petites et plus pratiques pour bâtir des modèles viables peuvent être obtenues en imposant des contraintes sur S(z). Par exemple, en définissant les opérateurs différentiels

Dα ≡ ∂ ∂θα − i 2σ µ α ˙αθ ˙ α ∂µ & Dα˙ ≡ ∂ ∂θα˙ − i 2θασ µ α ˙α∂µ, (1.14)

il est alors possible de définir des champs C dits « chiraux » par LC : Dα˙C(z) = 0 =⇒ C(y, θ) = φ(y) + θχ(y) +

θ2

2F(y), (1.15) RC : DαC(z) = 0 =⇒ C(y, θ) = φ(y) + θχ(y) +

θ2

2F(y) (1.16)

avec yµ_{= x}µ₋ i

2θσ

µ_{θ et y}µ _{son conjugué complexe. Ici les abbréviations LC et RC signifient} left chiral et right chiral. Ils font référence à la présence d’une seule composante spinorielle

de chiralité gauche ou droite dans le développement du superchamp C. D’ailleurs, comme la conjugaison hermitienne intervertit la chiralité d’un superchamp chiral, il n’est nécessaire que de considérer le cas LC dans l’analyse à venir. Le développement d’un champ LC C(y, θ) autour de yµ_{= x}µ _{mène à la série finie}

C= φ(x) − i 2θσµθ∂µφ(x) − 1 16θ2θ 2 ∂2φ(x) + θχ(x) − i 2θσµθθ∂µχ(x) + θ2 2F(x). (1.17) Cette expansion est utile pour écrire des termes cinétiques dans le lagrangien.

Le superchamp chiral est l’extension supersymétrique naturelle aux fermions de Weyl du SM. Par conséquent, tout fermion de Weyl gauche (resp. droit) est promu au rang de superchamp chiral gauche (droit). Le fermion en question est donc associé à un superpartenaire scalaire complexe φ. De même, un champ scalaire dans l’espace-temps standard est élevé au titre de superchamp dans le superespace et son superpartenaire est le champ χ. Le superchamp LC est pourvu en plus d’un champ scalaire complexe F . Toutefois, ce champ, dit « auxiliaire », ne possède pas de degrés de liberté physiques. Ce groupe de trois champs forme un « super-multiplet ». L’ensemble de ces constituants est essentiel pour que l’algèbre de super-Poincaré ferme sans employer les équations du mouvement, contexte où le champ auxiliaire F trouve son utilité.

Cette identification permet en plus de donner une dimension (en unité unique d’énergie puisque c = ~ = 1) aux coordonnées θ et θ. En effet, il est connu de la théorie quantique des champs standard que le champ scalaire φ doit être de dimension 1, ce qui implique S est de dimension 1 aussi. D’un autre côté, les spineurs sont connus pour avoir une dimension de

3

2. Cela implique directement que θ et θ sont de dimension − 1

2 et que F est de dimension 2. De plus, les règles d’intégration (1.13) indiquent que les éléments infinitésimaux dθα et dθ

˙

α

doivent être de dimension 1 2.

Les lagrangiens supersymétriques s’écrivent aisément en termes de superchamp par rapport à la notation utilisant les champs standards seulement, ce qui est sans doute le principal avantage du formalisme du superespace. Le superespace ajoutant de nouveaux paramètres à l’espace, soit θ et θ, l’action doit être modifiée de telle sorte que ces coordonnées soient elles aussi intégrées. Les lagrangiens sont ainsi séparés en deux parties, l’une appelée le « potentiel de Kähler », contenant entre autres les termes cinétiques, l’autre nommée « superpotentiel », généralisation évidente du potentiel habituel introduisant les interactions.

Le potentiel de Kähler est caractérisé par sa non-holomorphie1 _{en θ. Pour cette raison, le}

lagrangien doit être intégré sur θ et θ. Cette opération est appelée « extraction du terme

D» (D-term), puisque seule la partie équivalente au champ D proportionnelle à θ2θ2 dans

(1.10) est conservée (à un facteur 1

4 près), conformément aux règles d’intégration (1.13). Il est intéressant de noter que le terme D de n’importe quelle fonction de superchamps consti-tue toujours une densité lagrangienne supersymétrique parce qu’elle transforme comme une dérivée totale sous une transformation supersymétrique. Le potentiel de Kähler le plus simple qu’il est possible d’écrire à l’aide de superchamps LC est de la forme K(C, C†_{) = C}†_{C. Le} lagrangien ayant un tel potentiel de Kähler s’exprime donc comme

L ⊃ Z d2_θd2_{θ C}†_{C ≡ C}†_C  D = ∂µφ †_∂µ_{φ+ iχσ}µ_∂ µχ+ F†F, (1.18) où la notation

_D indique de mettre à zéro tous les termes ne correspondant pas au terme D de

C†C, c.-à-d. qui ne sont pas proportionnels à θ2θ2. Le développement du terme D de C†Cest facile à obtenir à partir de l’expansion (1.17). Il correspond exactement aux termes cinétiques habituels des champs standards du supermultiplet. Une analyse dimensionnelle basée sur les considérations précédentes montre que la dimension de ce lagrangien est de 4, comme il se doit. Ainsi, la fonction C†_{C est l’unique potentiel de Kähler qu’il est possible de considérer} dans une théorie renormalisable (c.-à-d. dont les constantes de couplage sont de dimensions positives). Cela signifie que dans une théorie efficace2_{, seul ce potentiel de Kähler survit.}

Le superpotentiel, de manière opposée au potentiel de Kähler, est une fonction holomorphe quelconque des superchamps LC. Dans ce cas, il n’est nécessaire que d’intégrer sur θ (ou sur θ si l’on considère plutôt des superchamps RC). Cette partie du lagrangien prend donc la forme

L ⊃

Z

d2_{θ W(C) ≡ W(C)} 

F, (1.19)

De façon analogue au potentiel de Kähler, cette opération est référée en tant qu’« extraction du terme F » (F -term) puisqu’après l’intégration, il ne subsiste que la partie proportionnelle en θ2

2 de W. La notation

_F indique ainsi de ne conserver que les termes proportionnels à θ2

(ou θ2

dans le cas de superchamps RC). En particulier, cela implique que W C(y, θ)
  F = W C(y = x, θ)
  F. (1.20)

Le terme F du superpotentiel constitue toujours une densité lagrangienne supersymétrique. Cela peut facilement se voir en notant que tout produit ou addition de superchamps LC est aussi un superchamp LC et en sachant que le terme F d’un superchamp LC transforme comme une dérivée totale sous une transformation supersymétrique. Le superpotentiel étant une fonction holomorphe de superchamps LC, il est par conséquent lui-même un superchamp

1_{Bien que le terme « holomorphie » ne soit pas encore complètement reconnu par toute la communauté}

francophone comme un mot à part entière, il est ici employé afin d’être fidèle à l’expression anglaise holomorphy. En ce sens, il désigne l’ensemble des propriétés que possèdent les fonctions holomorphes.

2

LC et le résultat tient. Il est possible de comprendre ce résultat différemment en observant que la propriété d’holomorphie permet d’écrire

W(C)  F = Z d2_{θ W(C) =}Z _d2_θd2_{θ W(C)}θ 2 2 = W(C) θ2 2     _D . (1.21)

Cela établit clairement le lien entre les deux façons d’écrire des lagrangiens supersymétriques. Il est pertinent de noter que selon ces équations, la dimension d’un superpotentiel doit toujours être de 3. Ainsi, en imposant les contraintes de renormalisabilité du lagrangien, il est facile de trouver le superpotentiel le plus général contenant n superchamps LC. Il suffit d’écrire la liste complète de produits (invariants de jauge pour des superchamps chargés) de superchamps LC dont la dimension ne dépasse pas 3 :

W(C1, . . . , Cn) = mij

2 CiCj + yijk

6 CiCjCk.3 (1.22)

De plus, pour s’assurer que le lagrangien est en tout temps purement réel, le conjugué her-mitien du superpotentiel est toujours additionné. L’une des conséquences très importantes de la supersymétrie est que les champs faisant partie du même supermultiplet doivent avoir la même masse. La forme du superpotentiel (1.22) illustre bien le phénomène. Cela a de grands impacts dans l’élaboration de modèles réalistes, car aucune paire de champs fermion/boson de même masse n’a été observée pour l’instant. Il faut donc que la supersymétrie soit brisée par un moyen quelconque. D’un autre côté, le formalisme de superchamp montre clairement que les constantes d’interactions entre les fermions et les bosons sont intimement reliées, de telle manière que la condition (1.8) est toujours respectée et que les divergences quadratiques s’annulent. Il est donc important que la brisure de supersymétrie employée n’élimine pas cette relation tant désirée.

1.2.3 Le superchamp vectoriel

Le superchamp LC permet d’introduire les scalaires et les fermions dans la théorie, mais pas les interactions de jauge et leurs champs de jauge vectoriels associés. La contrainte à appliquer sur le superscalaire (1.10) pour extraire la partie vectorielle peut être dérivée en considérant une transformation de jauge sur un superchamp LC C telle que

C(y, θ) → e2igA(y,θ)C(y, θ) (1.23)

où A(y, θ) est un scalaire LC et correspond au paramètre de transformation de jauge. Ce choix est fait pour que le superchamp transformé soit encore un superchamp LC. Après une transformation, le potentiel de Kähler est modifié en

C†C → C†e−2igA†e2igAC. (1.24)

3

Des termes linéaires tels `iCi pourraient être introduits, mais ne modifient pas la dynamique, puisqu’ils

n’ajoutent pas d’interactions. De plus, les termes constants ne contribuent pas à l’action, car extraire leurs termes F les fait disparaitre.

Un superchamp scalaire V dans la représentation adjointe du groupe de jauge est alors intro-duit pour préserver l’invariance. La notation matricielle V = Va_Ta_{, avec T}a_{les générateurs du}

groupe de jauge dans la représentation du superchamp C, est sous-entendue pour simplifier l’analyse. Le potentiel de Kähler est remplacé par

C†e2gVC (1.25)

et la loi de transformation de V est définie par

e2gV → e2igA†e2gVe−2igA. (1.26)

Pour que le nouveau potentiel de Kähler (1.25) soit invariant de jauge, il faut en plus imposer une condition de réalité, soit

V†(z) = V(z). (1.27)

Ce superchamp prenant la place d’un boson de jauge, il est possible de choisir une jauge, dite de Wess-Zumino, qui permet d’éliminer certaines composantes de plus pour ne laisser que

V(z) = 1 2θσµθAµ(x) + 1 2√2(θ 2_{θλ(x) + θ}2_{θλ(x)) −} 1 8θ2θ 2 D(x). (1.28)

Ainsi, à chaque vecteur de jauge d’une théorie est associé un superpartenaire fermionique, soit un spineur de Weyl λ appelé « gaugino ». En outre, ce supermultiplet comporte lui aussi un champ auxiliaire D, un scalaire réel, dont le rôle est similaire au champ F . De manière analogue au « champ de force » Fµν associé à un champ de jauge Aµ, il est possible de définir

un champ de force Fα associé à ce champ vectoriel V par

Fα≡ D 2 e−2gVDαe2gV =⇒ F(y, θ) = √ 2λ − Dθ − Fµνσµνθ+ i √ 2θ 2_σµ_∂ µλ. (1.29)

Il est intéressant de noter que ce superchamp est un superchamp LC puisqu’il satisfait tri-vialement la condition Dα˙Fα = 0. Cependant, le superchamp C de (1.15) est un scalaire du

point de vue de l’algèbre de super-Poincaré tandis que Fα est un spineur de Weyl.

Le potentiel de Kähler modifié (1.25) introduit les interactions de jauge habituelles dans le lagrangien par rapport au potentiel de Kähler libre (1.18) :

L ⊃C†e2gVC  D = |Dµφ| 2_{+ iχσ}µ_D µχ+ F†F − gφ†TaφDa−( √ 2gλa_χTa_φ†_{+ h.c.), (1.30)} avec les indices de jauge proprement contractés de manière à former des invariants. La partie cinétique du lagrangien pour V s’obtient facilement à l’aide de F. Comme F est un super-champ LC, toute fonction de F est aussi LC, ce qui implique que le terme F de cette fonction fournit une densité lagrangienne valide. Il est facile de se convaincre que le seul invariant renormalisable qu’il est possible d’écrire est de la forme

L ⊃ Z d2_θ 1 4Fa αFαa≡ 1 4F2    F = 1 2D2+ iλσµ∂µλ −1₄FµνFµν, (1.31)

où sont reconnus les termes cinétiques standards pour un spineur et un vecteur. Il est à noter que cette quantité est réelle ; il est donc inutile de lui ajouter son conjugé hermitien. Finalement, il reste un dernier terme qui peut contribuer au lagrangien supersymétrique. Il s’agit du terme D du superchamp V, couramment appelé terme de Fayet-Illiopoulos, qui s’écrit simplement L ⊃ ξV  D = − ξ 2D, (1.32)

avec ξ un paramètre réel. Évidemment, tous les termes décrits ci-dessus ne peuvent prendre place dans le lagrangien que s’ils respectent les symétries de jauge. En particulier, le terme de Fayet-Illiopoulos ne peut s’écrire que si le superchamp V n’est chargé que sous un groupe abélien U(1), sans quoi il brise explicitement la symétrie.

1.2.4 Considérations en supersymétrie

Cette courte section discute de deux aspects de la supersymétrie. Les mécanismes de brisure spontanée de supersymétrie et les théorèmes de non-renormalisation y sont abordés.

La supersymétrie n’est pas observée dans notre monde. Par conséquent, elle doit être brisée spontanément. En particulier, si la supersymétrie est brisée, les supercharges Q et Q n’annihile pas le vide :

Q |0i 6= 0 & Q |0i 6= 0. (1.33)

Selon l’algèbre de superPoincaré (1.9), l’hamiltonien H = P0 est relié aux supercharges par la trace de leur anticommutateur. Cela implique que la supersymétrie est présente si la VEV de l’hamiltonien de la théorie est nulle, mais qu’elle est brisée pour

hHi= 1 4 D trn Qα, Qα˙ oE >0. (1.34)

Si l’invariance de Lorentz est préservée, alors cela se réduit à hV i > 0, où V est le potentiel scalaire de la théorie. Ce dernier est obtenu à partir des champs auxiliaires et est donné par

V =X C F_C†FC+ X V 1 2D2V, (1.35)

où les sommes s’étendent sur tous les superchamps chiraux C et vecteurs V de la théorie, avec

FC les terme F de C et DV le terme D de V. Les superchamps auxiliaires sont éliminés par les équations du mouvement et s’écrivent alors

F_C† = −∂W ∂φC &

D_Va = gX

C

φ†_CTaφC, (1.36)

avec W le superpotentiel et Ta _{les générateurs du groupe de jauge (pour lequel V médie les}

Il est facile de constater que la supersymétrie est intacte s’il existe une configuration de champs pour laquelle le potentiel est nul. La contrainte sur l’existence de la supersymétrie est donc que les termes F et D sont tous nuls au même point. Cette condition est appelée « condition d’annulation du terme F (ou D) » (F -flatness condition et D-flatness condition).

À l’inverse, si la condition d’annulation du terme F ne peut être satisfaite, la supersymétrie est brisée spontanément. Ce type de brisure de symétrie est appelé mécanisme de O’Raifeartaigh [5]. Il est possible de briser spontanément la supersymétrie aussi lorsqu’aucune configura-tion de champs ne permet l’annulaconfigura-tion du terme D. Toutefois, cela demande que D ne soit pas chargé sous une symétrie de jauge non abélienne (sans quoi il la briserait) et nécessite l’inclusion d’un terme du type (1.32). Cette méthode est référée en tant que mécanisme de Fayet-Iliopoulos [3,4].

Avant d’étudier le modèle standard et son extension supersymétrique, il convient de discuter des théorèmes de non-renormalisation, qui font la grande puissance de la supersymétrie. En effet, la supersymétrie offre un ensemble puissant d’outils qui permettent de contrôler les corrections quantiques. C’est d’ailleurs pour contrer les divergences quadratiques à la masse du Higgs (voir section1.1.2) qu’elle est introduite. Il existe plusieurs théorèmes, dits de « non-renormalisation », qui prouvent spécifiquement que certains paramètres de la théorie n’ont pas de corrections, ou que ces corrections sont finies et exactement calculables.

En particulier, Grisaru, Siegel et Roček ([22] et plusieurs de leurs travaux subséquents) ont montré à l’aide de la méthode des supergraphes que le superpotentiel ne reçoit aucune cor-rection jusqu’à trois boucles. Plus tard, Seiberg [23] a démontré grâce à l’holomorphie que le résultat était valide à tous les ordres perturbativement, mais que des considérations non per-turbatives peuvent nécessiter l’inclusion d’autres termes [24]. Ces corrections seront abordées à la section 3.2. Ainsi, le problème de la hiérarchie est bel et bien réglé grâce à la supersymé-trie (en autant que la masse des superpartenaires ne soit pas trop élevée). D’autres théorèmes intéressants ont été obtenus par Novikov, Shifman, Vainshtein et Zakharov [25,26,27,28,29] qui ont démontré à l’aide du calcul d’un instanton que les constantes de couplage et le terme

D étaient renormalisés à une boucle uniquement (l’instanton prenant en compte les

correc-tions radiatives), et que seul Z, le facteur de renormalisation de la fonction d’onde, reçoit des corrections à tous les ordres.

Ayant maintenant en main tous les éléments nécessaires à la construction de théories super-symétriques complètes, le modèle standard supersymétrique peut enfin être investigué.

1.3

Le modèle standard et son extension supersymétrique

1.3.1 Le modèle standard de la physique

Le modèle standard suppose l’existence de cinq champs fermioniques, des spineurs de Weyl à deux composantes : QL et EL de chiralité gauche et uR, dR et eR de chiralité droite. Ces

champs existent en trois différentes versions, appelées « générations » ou « familles ». Ils sont soumis à une interaction jaugée régie par le produit de groupes SU(3)C × SU(2)L× U(1)Y.

Seuls les quarks QL, uR et dr sont sensibles à la force de couleur SU(3)C médiée par les huit

vecteurs de jauge Ga

µ, alors que seuls les champs de chiralité gauche QL et EL interagissent

via la force gauche (left) SU(2)L (alias isospin faible) sous l’influence des trois bosons Wµa.

Tous ces champs possèdent une hypercharge y différente sous le groupe U(1)Y, force propagée

par l’unique boson de jauge Bµ. Les champs EL et eR sont rassemblés sous la dénomination

de leptons. La théorie stipule aussi l’existence d’un champ scalaire complexe, le boson de Higgs, uniquement chargé sous SU(2)L× U(1)Y. Toutes ces spécifications sont réunies dans

le tableau 1.1.

Tableau 1.1 – Les champs fondamentaux du modèle standard de la physique. Les cinq champs fermioniques viennent en trois générations (ou familles). La chiralité de chaque champ est déno-tée par un indice L ou R. Le champ φ est un scalaire qui correspond au champ de Higgs. Les représentations sous le groupe de Lorentz SO(1,3) sont données par leur spin alors que sous les groupes de jauges SU(3)Cet SU(2)L, elles sont données par leur dimension. Pour le groupe U(1),

elle correspond à leur hypercharge respective. Les trois derniers champs sont les champs de jauge, dans la représentation adjointe de chaque groupe.

Champ Groupes de symétrie

SO(1,3) SU(3)C SU(2)L U(1)Y QL (1₂,0) 3 2 1₆ uR (0,1₂) 3 1 2₃ dR (0,1₂) 3 1 −1₃ EL (1₂,0) 1 2 −1₂ eR (0,1₂) 1 1 −1 φ (0,0) 1 2 1₂ Bµ (1₂,1₂) 1 1 0 Wµ (1₂,1₂) 1 3 0 Gµ (1₂,1₂) 8 1 0

Le lagrangien complet du modèle standard prend la forme compacte suivante : L = −1 4  F_{I µν}a 2+ ΨiAi /DΨiA+ (Dµφ)†Dµφ −λij_eEi_Lφej_R+ λij_dQi_Lφd_Rj + λij_uφ†Qi_Luj_R+ h.c.+ µ2φ†φ − λh  φ†φ2, (1.37)

où I ∈ {SU(3)C, SU(2)L, U(1)Y} passe sur tous les groupes de jauge du SM et i , j = 1, 2, 3

sont des indices sur les générations. ΨA _{correspond à l’un des cinq champs fermioniques du}

SM du tableau 1.1, A étant un indice les parcourant. La première rangée de (1.37) contient les termes cinétiques, qui incluent les interactions de jauge par la dérivée covariante Dµ et le

champ de force Fa I µν, définis par Dµ≡ ∂µ− X I igI 

Aa_IµT_Ia, F_{I µν}a ≡ DµAaIν− DνAaIµ, (1.38)

où le vecteur de jauge Aa

Iµ est l’un des trois bosons Bµ, Wµaet Gaµ. Pour les spineurs de Weyl,

la notation de Feynman sur la dérivée /D signifie σµDµ si ΨA est de chiralité gauche, tandis

qu’elle signifie σµ_D

µ si ΨA est de chiralité droite.

La seconde rangée décrit toutes les autres interactions possibles par des termes renormalisables invariants. Il est à noter que le terme d’interaction entre les quarks QLet le champ de Higgs φ†

sous-entend que la contraction entre les deux doublets contient un facteur de Levi-Civita αβ

approprié pour former un invariant sous SU(2)L. Lorsque les paramètres µ2et λhsont positifs,

le champ de Higgs φ acquiert une VEV non-nulle qui brise la symétrie SU(2)L× U(1)Y vers U(1)QED, tel que discuté à la section1.1.2. Par le mécanisme de Higgs bien connu, cette VEV

donne une masse aux champs auxquels se couplent le Higgs, soient tous les fermions exceptés les neutrinos, ainsi qu’à trois combinaisons linéaires, formées des bosons de jauge Bµ et Wµa,

pour engendrer les vecteurs massifs Z0

µ et Wµ±. La symétrie qui subsiste prévient le vecteur

restant, le photon Aµ, d’acquérir une masse. Trois des quatre composantes indépendantes du

boson de Higgs correspondent aux bosons de Goldstone sans masse qui surviennent toujours en cas de brisure de symétrie. Ces derniers sont alors « mangés » par les bosons massifs Z0 et W± _{pour leur fournir un troisième état de polarisation longitudinale.}

1.3.2 Le modèle standard supersymétrique minimal (MSSM)

Plusieurs tentatives d’étendre la supersymétrie au modèle standard ont été réalisées au cours du temps. Les premières s’efforçaient de réunir les champs déjà connus du SM en supermul-tiplets. Par exemple, Fayet en 1975 [4] proposait une théorie de l’interaction électrofaible supersymétrique dans laquelle l’électron e± _{était la partie fermionique des bosons de jauge}

W_µ± et le neutrino était le superpartenaire sans masse du photon. D’autres suggéraient que

le lepton EL et le champ scalaire de Higgs fassent partie du même supermultiplet, hypothèse

basée sur le fait que les deux champs ont les mêmes nombres quantiques (à une conjugaison hermitienne près). Toutefois, ces modèles se sont soldés par des échecs en raison de leur désac-cord avec les générations de leptons ainsi que l’impossibilité d’appliquer un modèle semblable