T
HÈSES DE L
’
ENTRE
-
DEUX
-
GUERRES
G
EORGES
B
OULIGAND
Sur les fonctions de Green et de Neumann du cylindre
Thèses de l’entre-deux-guerres, 1914
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loS3.
THÈSES
PRESENTEESA LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS
POUR OBTKNIR
LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES M VTHÉMATIQUES,
PAU
M.
GEORGESBOULIGAND.
l
r* THÈSE. —
SUR LES FONCTIONS DE GREEN ET DE NEUMANN DUCYLINDRE.
2
eTHÈSE. —
PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ.S o u t e n u e s le j u i n 1914, d e v a n t la Commission d'examen.
MM PICARD, Président BOKEL, > Examinateurs. HADAMARD,PARIS,
GAUTHLER-V1LLARS ET C'% LMPRIMEURS-LIBRAIRtS
D E L ' E C O L E P O L Y T E C H N I Q U E , D U B U R E A U D E S L O N G I T U D E S ,Quai des Grands-Augustins, 55.
IIIIII 1111
H
U 952 030488 7
UNIVERSITÉ DE PARIS.
FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.
Doyen Doyen honoraire Professeurs honoraires. Professeurs. Professeurs adjoints.
MM.
P. APPELL, professeur. G. DARBOUX j Cil. WOLF. ( RIBAM. LIPPMANN . . . BOUTY B O U S S I N E S Q . PICARD YVLS DELAGE GASTON B O N N I E R . . . , DASTRE KOENIGS VELAIN C O U R S A T HALLER JOANNIS P. JANET WALLERANT ANDOYER PAINLEVE IIAUG IIOUSSAY II. LE CHATELIER.. GIBRIKL BERTRVND. M"1' P. CURIE CAULLERY C. CIIABRIÉ G. URBAIN EMILE BOREL MARCHES J E \ N PERRIN G PRUVOT MATRUCIIOT ABRAHAM CARTAN C L . GUICHARD . . . MOLLIARD N N . . . PUISEUX LEDUC MICHEL HÉROUARD LÉON BERTRAND. RKMY P E R R I E R . . . COTTON LESPIEAU GENTIL SAGNAC... PEREZ Secrétaire D. TOMBECK.Mécanique analytique et Mécanique céleste. Géométrie supérieure.
Physique. Physique.
Physique mathématique et Calcul des pro-babilités.
Anal\«e supéiieure et Algèbre supérieure. Zoologie, Anatomie, Physiologie compar. Botanique.
Physiologie.
Mécanique physique et expérimentale. Géographie physique.
Calcul diiïérentii'l et Calcul intégral. Chimie organique Chimie (Enseignement P. C. N.). Physique (Enseignement P. C. N . ) . Minéralogie. Asti onomie. Mécanique rationnelle. Géologie. Zoologie. Chimie. Chimie biologique. P h o q u e générale.
Zoologie (Evolution des êtres organisés). Chimie appliquée.
Chimie.
Théorie des fonctions. Aviation.
Chimie physique.
Zoologie, Anatomie, Physiologie compar* Botanique. .
Physique.
Calcul diiïéientiel et Calcul intégral. Mathématiques générales.
Ph)sioloj;ie végétale.
Application de l'Analyse à la Géomélrie. Histologie. Mécanique et Astronomie. Physique. Minéralogie. Zoologie. Géologie. Zoologie (Enseignement P. G. N . ) . Physique. Chimie. Pétrographie. Physique (Enseignement P . C. N . ) . Zoologie (Evolution des êtres o r g a n i s é s ) .
A LA MÉMOIRE DE MON PÈRE
M ^
CABINET DU DEPARTEMLNT
DES SCIENCES MATCLKATiOUIS
PREMIÈRE THÈSE.
SUR LES
FONCTIONS DE GREEN ET DE NEUMANN
DU CYLINDRE.
INTRODUCTION (1) .
1. N o u s considérerons u n c y l i n d r e d o n t la section d r o i t e , s u p -posée fermée, limite une aire s i m p l e m e n t c o n n e x e : soient 2 cette aire et L son p é r i m è t r e . P o u r plan x O j ' , nous p r e n d r o n s le p l a n d ' u n e section d r o i t e q u e l c o n q u e 20 1 el p o u r a \ e Oz, une p a r a l -lèle a u x génératrices*. Nous a p p e l l e r o n s Hz la section d r o i t e de
cote z.
Nous a p p e l l e r o n s demi-cylindre la portion de l'espace o c c u p é e par les points q u i sont i n t é r i e u r s au c y l i n d r e et se trouvent d ' u n certain côté crime section droite d o n n é e . T o u t e section d r o i t e E^ divisera le c y l i n d r e indéfini en deux d e m i c y l i n d r e s . Nous a p p e l -lerons (h+) celui qui est situé du côté des ; positifs, (h_) celui
q u i correspond aux ; négatifs. Mous désignerons par (/i, h') le c y l i n d r e droit limité aux sections SA et S*'.
Mous r e p r é s e n t e r o n s par des grandes lettres les points i n t é r i e u r s au c y l i n d r e , par les petites lettres correspondantes leurs p r o j e c -t i o n s sur le plan de la sec-tion ( 20) .
(1) Les résultats contenus dans ce travail ont été résumés dans deux Notes
publiées aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences (5 mai et 8 décem-bre 1913).
2. N o u s c o n s i d é r e r o n s les d e u x é q u a t i o n s a u x dérivées par-tielles
e P U d*U d*\J <•> - d F + ^ + - ^ = A U et
L ' é t u d e de ces é q u a t i o n s est a u j o u r d ' h u i fort avancée : le p l u s souvent on c h e r c h e à en d é t e r m i n e r u n e s o l u t i o n r é g u l i è r e dans u n certain d o m a i n e , connaissant, le long de la frontière de ce d o m a i n e , les \ a l e u r s de cette solution ou celles de sa dérivée n o r -m a l e .
La théorie de F r e d h o l m a permis d ' é t a b l i r la discussion c o m -p l è t e de ces -p r o b l è m e s dans le cas où le d o m a i n e considéré est r é g u l i e r et limité en tous sens. Les t r a \ a u x q u i ont trait à ces q u e s t i o n s sont trop n o m b r e u x p o u r q u e nous puissions songer à les é n u m é r e r (' * ) . Nous nous c o n t e n t e r o n s de r a p p e l e r q u e l q u e s résultats tout à fait classique*, mais d ' u n e i m p o r t a n c e capitale p o u r
la s u i t e . N o u s poserons R' = ( * - ? ) ' + ( 7 - 7 ) )2- + - ( * - £ ) * e t r i = ( * - Ç ) « + ( j r - , , ) 1 . U n e s o l u t i o n fondamentale de ( i ) sera V^R cos(v/=TS:R) e~ R s u i v a n t q u e À est positif ou négatif.
G o m m e solution fondamentale de (2), on p e u t p r e n d r e K ( ; v / X r ) ,
q u e l q u e soit le signe de X : cette fonction est solution de l ' é q u a
-(') Nous citerons seulement deu\ Mémoires de M. Picard, parus dans les Rendiconli di Palermo . Sur quelques applications de l'équation de Fredholm ( l. X \ [ [ ) et Sur la distribution de l'électricité avec la loi de JXeumann
(t. XXWIl) — Voir aussi comme Ouvrages didactiques • I'IUCIIFT et HIYWOOD,
L'équation de Fredholm et ses applications à la Physique mathématique. — GouusAr, Traité d'Analyse, t. III, cliap \XVII et WVII1.
tion différentielle
d2u i du .
- — -h - - i Xa = o.
dr2 r ar
Si Ton considère la fonction de Bessel J (ifor) qui est une autre
solution de la même équation, définie en tout point du plan, par
la série
J ( t / À r ) = i T- +
2* «22.42 22. 42. ^2
la fonction K est de la forme
K(*v/Xr) = H(i/X r ) + j ( t ^ r ) l o g i ,
la fonction II étant holomorphe. On démontre en outre qu'on a
(3) ^ = i f "K(«> v/X«+ fi
2) cosX(s - Ç ) rfX,
et cela en remarquant (pie le second membre est solution de
l'équation ( i ), lorsqu'on y suppose
il suffit alors de constater qu'on a bien une solution
fondamen-tale (le pôle était le point #, y , 3), qui s'annule à l'infini ainsi
que ses dérivées.
De la formule (3) on déduit immédiatement
(4) K ( I > V / X2- H K 0 = - f e-^cosl(z-^)d\.
Considérons l'intégrale
- / K ( t > / X2- | j i2) c o s X ( 3 —C)^X
en lui appliquant le raisonnement t'ait pour l'intégrale analogue
qui figure au second membre de (.{), nous voyons qu'elle
repré-sente une fonction de Ç, */), Ç qui s'annule à l'inliui ainsi que ses
dérivées, et que celte fonction est une solution fondamentale de
l'équation (1) lorsqu'on y suppose A = — u
2: tout ce que nous
cette i n t é g r a l e r e p r é s e n t e u n e fonction de la forme
cosfjL R -f- h sm JJLR R
(h étant une constante i n c o n n u e ) , c'est-à-dire u n e s o l u t i o n
fon-d a m e n t a l e fon-de ( i ) .
3 . Fonctions de Green et de Neuma/tn. — C o n s i d é r o n s u n v o l u m e (V) et un point P i n t é r i e u r à ce volume [s'il s'agit de l ' é q u a t i o n (i)] ou bien une aire ( ï ) et un p o i n t / ; i n t é r i e u r k cette aire [s'il s'agit de l'équation (2)] Pour le m o m e n t , nous supposons ces d o m a i n e s ( V ) ou (2) limités eu tous sens
La solution de n o t r e é q u a t i o n , qui de\ lent infinie au p o i n t considéré ( P ou p) c o m m e la s o l u t i o n fondamentale, et q u i s ' a n -n u l e sur la fro-ntière, s'appelle la fo-nctio-n de Giee/i . celle-ci est d o n c fonction de d e u x points du d o m a i n e , et n o u s la r e p r é s e n t e -r o n s pa-r l ' u n e des notations
G(M, P , A ) ou g(m,p\\)
suivant q u ' o n est dans l'espace ou dans le plan. O n d é m o n t r e q u ' e l l e est s y m é t r i q u e par r a p p o r t aux d e u x points dont elle d é -p e n d . U n e telle fonction existe toujours l o r s q u ' o n su-p-pose À ^ o .
Nous a p p e l l e r o n s de môme Jonction de jSeumann une solution q u i devient infinie au point d o n n é comme la s o l u t i o n f o n d a m e n -tale et d o n t la d é r i \ é c n o r m a l e s'annule le long de la frontière. N o u s r e p r é s e n t e r o n s une telle fonction par T u n e des notations
P(M, P, A) ou T( / / i , / , ; X )
U n e telle fonction est encore s y m é t r i q u e par r a p p o r t a u x d e u x points d o n t elle d é p e n d . / / importe de remarquer que la
défi-nitioti précédente, q u i est toujours \ a l a b l e p o u r A positif (ou A
p o s i t i f ) , cesse de l'être lorsqu'on donne à A ou K la valeur
zéro.
D a n s le cas de l ' é q u a t i o n de L a p l a c e , il faut en effet la m o d i fier, en s u p p o s a n t la dérivée n o r m a l e n o n plus n u l l e , mais c o n s -tante s u r la frontière ( c e t t e cons-tante étant — p o u r l'espace, - p p o u r le p l a n ) : p o u r a c h e v e r de d é t e r m i n e r la fonction de
N e u m a n n , on ajoute la c o n d i t i o n q u e la m o y e n n e de ses valeurs sur la frontière du d o m a i n e est u n e c o n s t a n t e , d ' a i l l e u r s a r b i -t r a i r e . O n conserve a i n s i , c o m m e l'a m o n -t r é M. H a d a m a r d (*), la p r o p r i é t é de s y m é t r i e . Nous r e p r é s e n t e r o n s cette fonction par l ' u n e des n o t a t i o n s
T(M, P) ou *((m,p).
Il résulte de la théorie de F r e d h o l m (pic les q u a t r e fonctions
G ( M , P ; V ) , / - ( / n , / * : X), T ( M , P ; A ) , T(#n, />; X)
sont des fonctions niéromorplies de A ou A. O n d é m o n t r e q u e tous leurs pôles sont simples cl c o r r e s p o n d e n t à des valeurs
réelles du paramètre : ces \ a l c u r s sont toutes négatives p o u r la
fonction de G r e e n . Pour la fonction de N e u m a n n , a u c u n e nTest p o s i t i v e .
Par c o n t r e , la valeur A = o (pu\= o) correspond à un pôle
de cette fonction.
O n d é m o n t r e facilement (2) q u ' o n a
(5) Y ( ™ , / > ; x) = y | + Y ' ( " I , / > ; X),
où y' est u n e fonction h o l o m o r p h e p a r r a p p o r t à X a u t o u r de la valeur X = o.
Dans le cas de l'espace, on aurait de même (6) r ( M , P ; A ) L ^ L + r ' ( M , P ; A), F ' étant h o l o m o r p b e en A p o u r A = o.
4. C o n s i d é r o n s la suite des pôles de la fonction g(m, p) X)
( a ) *2 a2 a2
à c h a c u n d ' e u x c o r r e s p o n d e n t une ou p l u s i e u r s fonctions fonda-m e n t a l e s , nulles sur le c o n t o u r . Nous r é p é t e r o n s c h a q u e t e r fonda-m e de la suite (a) autant de fois q u ' i l lui correspond de telles fonc-t i o n s . Enfin, nous s u p p o s e r o n s ces foncfonc-tions écrifonc-tes en u n e s u i fonc-t e orthogonale et normale
( ? ) ? i O ) i <p«('w), . . . , ««(no* •••;
(1) Propagation des ondes, Gliap. I. (2) SANILLEVICI, Thèse, p. 63.
o n a, e n t r e ces divers é l é m e n t s , les r e l a t i o n s
d2®„ à2yfl
y » m . . = ,
<~) l ff ?'(
w)?A("»)rfS«=o (*V*), / / cp
2(/n)rfS,„«i,
27ccp/(/?) = a2 / | yl(m)g(m,p)dZm,
oii g (m, p) est la fonction de G r c c n o r d i n a i r e . Cette fonction
é t a n t e s s e n t i e l l e m e n t positive, nous nous trouvons dans le cas d ' a p p l i c a t i o n du t h é o r è m e suivant, dû à M. Robert Jentzscb (*) :
« E t a n t d o n n é e une équation intégrale de la forme
*(P) = <?(P) - X f / % < > ) K(m, p)dLm,
d o n t le noyau K ( m , p) est positif, la constante c a r a c t é r i s t i q u e de m o i n d r e m o d u l e correspondant à ce novau est réelle, p o s i t i v e ; en o u t r e , c'est une racine simple de D ( X ) . Il lui correspond u n e seule fonction fondamentale q u i a le m ê m e signe dans toute l ' a i r e . »
A i n s i , dans le cas a c t u e l , les d e u x n o m b r e s aj et a2 sont cer-t a i n e m e n cer-t d i s cer-t i n c cer-t s . E n o u cer-t r e , la fonccer-tion o, (m) a même signe en tout point de l'aire ( I ) . Nous c o n v i e n d r o n s , ce q u i est é v i d e m -ment p e r m i s , q u e ce signe est le signe (-H).
Nous utiliserons eu o u t r e le t h é o r è m e suivant, d o n t la d é m o n s -tration r é s u l t e des travaux de MM. H i l b e r t et S c h i n i d t (2) :
Soit Y (m) une fonction définie en tout point de Vaire ( 2 ) , s annulant sur le contour (C) ef possédant en tout point de Ictire des dérivées du second ordre continues. Cette fonction est développable en une série absolument et uniformément
(1) Ueber Integralgleichungen mit positiver Kern {Journal de Crelle,
t. 141, fasc. \).
(2) FRLUILI et IIEVWOO», Léquation de Fredholm et ses applications, e l c , p. 108 et i 3 i .
convergente de fonctions de la suite (<p) :
+ 00
i = 1
la valeur du coefficient et sera donnée par
Ci=f £F(m)<
?i(m)dZ
m.
D e m ê m e , considérons la suite ((3) des pôles de la fonction
y(m,p;l)
(P)
o,
- p ? , - P2, ..., - p » , ...et soit
la suite o r t h o g o n a l e et normale des fonctions fondamentales cor-r e s p o n d a n t e s . T o u t e s ces fonctions o n t leucor-rs décor-rivées n o cor-r m a l e s n u l l e s sur le c o n t o u r . T o u t e fonction définie dans l'aire ( S ) ,
con-tinue en tout point de Vaire ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres et avant une dérivée normale nulle sur le
con-tour , sera encore d é v c l o p p a h l c par rapport a u x f o n d i o n s de la
suite (<|/) en une série absolument et uniformément
con-vergente.
5 . Le présent M é m o i r e est consacré à l ' é t u d e des fonctions de G r e e n et N eu ma un du c y l i n d r e indéfini, et de q u e l q u e s q u e s t i o n s q u i s'y r a t t a c h e n t .
Les p r o p o s i t i o n s q u e nous r e n c o n t r e r o n s p e u v e n t se classer en d e u x sortes :
i° Les unes sont négatives : du fait q u e le d o m a i n e considéré est infini, un certain n o m b r e des p r o p r i é t é s des fonctions G ( M , P ; A) et T( M, P ; A) cessent d'être vraies : ainsi nous ver-rons q u e ces fonctions ne sont p l u s m é r o m o r p h c s en A.
2° Les autres ont trait à des relations précises e n t r e ces fonc-tions et les é l é m e n t s c o r r e s p o n d a n t s de la section d r o i t e , et r é s u l t e n t d i r e c t e m e n t des p r o p r i é t é s g é o m é t r i q u e s é l é m e n t a i r e s du c y l i n d r e .
P o u r l ' é t u d e des p r e m i è r e s , j e me suis i n s p i r é de l ' e x e m p l e s i n g u l i e r d ' é q u a t i o n i n t é g r a l e , d o n n é par M. Picard (1) et désor-mais c l a s s i q u e .
P o u r les a u t r e s , j e dois citer le M é m o i r e de M. Paul Lévy (2) , q u i c o n t i e n t une r e l a t i o n fort i m p o r t a n t e e n t r e la fonction de G r e e n o r d i n a i r e d ' u n c y l i n d r e indéfini et celle de sa section d r o i t e . O n a
L ' o b j e t p r i n c i p a l d u p r é c é d e n t Mémoire est de m o n t r e r c o m -m e n t l'équation aux dérivées fonctionnelles de la fonction de G r e e n permet le calcul complet de cette fonction dans le cas d ' u n c y l i n d r e de r é v o l u t i o n indéfini : ce calcul se r a m è n e à l'intégration d ' u n e é q u a t i o n de R i c c a l i . M. Paul Lévy i n d i q u e aussi i n c i -d e m m e n t un fait important q u e nous g é n é r a l i s e r o n s ici :
La fonction de G r c c n o r d i n a i r e du c y l i n d r e de r é v o l u t i o n a u n e expression a s y m p t o l i q u e de la forme
A J(X/*)e->l^l,
r d é s i g n a n t la distance à l'axe du point £, YJ, £, et X la p l u s p e t i t e r a c i n e positive de l'équation
J(XcR.) = o (clR = rayon du cylindre).
L ' e x p r e s s i o n de la fonction de G r e e n d u c y l i n d r e de r é v o l u t i o n est d ' a i l l e u r s c o n n u e d e p u i s très l o n g t e m p s (3) (au moins
formel-l e m e n t ) sous forme d ' u n d é v e formel-l o p p e m e n t QII figurent formel-les fonctions de Bessel.
J'ai également tiré parti de la T h è s e de M. Vergne (4) : j e fais a l l u s i o n à la m é t h o d e fort élégante par laquelle l ' a u t e u r a résolu le p r o b l è m e des petites oscillations d ' u n lluidc parfait, u n i q u e m e n t soumis à l'action de son poids, et c o n t e n u dans un c v l i n d r e ver-tical infiniment profond. Le p r i n c i p e de celle m é t h o d e utilise u n
(1) PICARD, C.B. Acad. Se, i3 octobre 1910, et Annales de l'École Normale,
1911.
(Q) Paul LLVY, Sur la fonction de Green ordinaire du cylindre de
révolu-tion, etc (Bendiconti del Circolo mathemalico di Palermo, 2e semestre 1912).
(3) HEINE, Anwendungen der Kugelfunclionen, p. 186.
d é v e l o p p e m e n t p r o c é d a n t s u i v a n t les fonctions fondamentales de la section droite : nous verrons dans la suite tout le parti q u ' o n p e u t tirer de pareils d é v e l o p p e m e n t s .
6. Le C h a p i t r e I est réservé à l ' é t u d e du c y l i n d r e d r o i t : il est très facile de trouver c o m m e n t se prolonge a n a l y t i q u e m e n t , dans le c y l i n d r e indéfini, la fonction de G r e e n ou de N e u m a n n d ' u n c y l i n d r e l i m i t é . O n d é m o n t r e q u e la fonction ainsi prolongée est p é r i o d i q u e par rapport à la cote du point M, la période é t a n t d o u b l e de la h a u t e u r du c y l i n d r e . O n est d o n c conduit à r e p r é -s e n t e r cette fonction par un développement, de Kourier, dont le-s coefficients sont des fonctions de G r e e n de la section d r o i t e , relatives à l'équation (a), p o u r des valeurs de X q u i sont de la forme
rt27I2
H étant la h a u t e u r de n o t r e c y l i n d r e d r o i t . E n o u t r e , les dérivées, par r a p p o r t a Çde la fonction de G r e e n G ( M , P ; A) du c y l i n d r e droit, sont elles-mêmes représcntablcs par des d é v e l o p p e m e n t s de F o u r i e r , q u i se déduisent par dérivation terme à terme du déve-loppement p r é c é d e n t . O n en déduit très s i m p l e m e n t (pie, lorsque X a u g m e n t e indéfiniment par valeurs positives, les fonctions
g(m, p; X ) et y(//2, p ; X ) tendent vers zéro plus r a p i d e m e n t q u e
n ' i m p o r t e q u e l l e puissance de c-• Ce résultat n'est pas d'ailleurs a b s o l u m e n t n o u v e a u , mais la m é t h o d e p r é c é d e n t e en d o n n e une d é m o n s t r a t i o n tout à fait i n t u i t i v e .
Nous passons alors au c y l i n d r e indéfini : avant de définir les fonctions de G r e e n et de Mcumaun, il est nécessaire de r e c h e r -cher quelles conditions il convient d ' i m p o s e r à une solution de l'équation ( i ) p o u r eu assurer l ' u n i c i t é . La réponse à cette q u e s -tion nous est fournie par les d e u x proposi-tions suivantes :
i° Q u e l q u e soit A, si une solution de ( i ) s'annule sur le cy-l i n d r e et tend uniformément vers zéro q u a n d | £ | croît indéfini-m e n t (auquel cas nous dir.indéfini-ms quelle est régulière à Vinjini), elle est i d e n t i q u e m e n t n u l l e à l ' i n t é r i e u r du c y l i n d r e .
2° Si l'on a au sens strict A -f- a'j > o, toute s o l u t i o n de ( i ) q u i est bornée dans le c y l i n d r e et qui est nulle sur sa surface est n u l l e à l ' i n t é r i e u r .
P é t a n t u n p o i n t fixe i n t é r i e u r au c y l i n d r e , n o u s a p p e l l e r o n s d o n c fonction de Green une s o l u t i o n q u i d e v i e n t infinie en P c o m m e la s o l u t i o n fondamentale, q u i s ' a n n u l e sur le c y l i n d r e et q u i est r é g u l i è r e à l'infini.
O n d é m o n t r e alors a i s é m e n t le résultat suivant :
i° Si A + otj est positif, il y a u n e fonction de G r e e n d o n n é e p a r
G(M, P ; A) = - / g(m,p\ A + X2) cosX(Ç — z) d\.
2° S i A -h <*j est négatif ou n u l , il nyy a pas de fonction de
G r e e n .
O n o b t i e n t des résultats analogues p o u r la fonction de N e u -m a n n r ( M , P ; A ) ; sa définition est analogue à celle de la fonc-tion de G r e e n : il suffit de r e m p l a c e r la c o n d i t i o n G = o s u r le c y l i n d r e par la' c o n d i t i o n — = o. 11 ny a de fonction de N e u -m a n n q u e si A est e s s e n t i e l l e -m e n t positif.
Les fonctions G ( M , P ; A) et T ( M , P ; A) du c y l i n d r e indéfini (A étant tel q u ' e l l e s existent ) peuvent être considérées comme la l i m i t e vers l a q u e l l e t e n d e n t les fonctions de G r e e n et de N e u m a n n d ' u n c v l i n d r e droit ( p o u r la même valeur de A) lorsque les bases s'éloignent indéfiniment de part et d ' a u t r e .
Le C h a p i t r e 111 contient les d é v e l o p p e m e n t s des fonctions G ( M , P ; A ) et T ( M , P ; A) en séries de fonctions f o n d a m e n t a l e s ; ces séries ont l'avantage de fournir i m m é d i a t e m e n t l'expression a s y m p t o t i q u e de ces fonctions à l'infini : elles convergent unifor-m é unifor-m e n t dans toute section droite différente de celle d u p o i n t fixe P . L e u r examen fournit en outre une preuve du fait q u e ces fonctions G ( M , P ; A) et T ( M , P ; A) ne p e u v e n t être m é r o -m o r p h e s en A.
\ u C h a p i t r e I V , j ' a i é t u d i é les relations entre la fonction de G r e e n du c y l i n d r e et celle de sa section droite : l'une de ces rela-tions est d u e à M. P a u l L é v y . J'ai m o n t r é comment on p e u t en o b t e n i r une a u t r e de la forme
cette r e l a t i o n s ' a p p l i q u e à t o u t e s les é q u a t i o n s de la forme d2U d*U d2U A D / t XTT
•5? + 1 ^ + ^ = A R« ' i >u'
où R (£, vj) est u n e fonction positive dans toute la section d r o i t e : comme on le voit, elle ne fait i n t e r v e n i r q u e les valeurs de la fonction G q u i c o r r e s p o n d e n t à des points situés dans une m ê m e section d r o i t e .
De cette p r o p r i é t é se d é d u i t la r é s o l u t i o n d ' é q u a t i o n s fonction-nelles de forme s i m p l e , dont le noyau est la fonction G ( m , y ? ; A);
m et p désignant toujours d e u x points d ' u n e m ê m e section
droite 20.
A u C h a p i t r e V , j ' a i abordé la d i s c u s s i o n du p r o b l è m e de D i r i -chlct en essayant de m o n t r e r ce q u e le fait de c o n s i d é r e r u n d o m a i n e infini p e u t i n t r o d u i r e de n o u v e a u . Voici à cet égard les résultats q u e j ' a i o b t e n u s : suivant le signe de A - j - a * , on est a m e n é à se poser deux p r o b l è m e s différents :
i° Si A -f- a2 est > o, on peut é n o n c e r la q u e s t i o n sous u n e forme plus générale : « T r o u v e r une s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n ( i ) , r é g u l i è r e et b o r n é e à l ' i n t é r i e u r du c\-lindrc et p r e n a n t sur le c y l i n d r e des valeurs d o n n é e s , c o n t i n u e s et b o r n é e s . » J'ai m o n t r é q u e ce p r o b l è m e a u n e solution et une s e u l e .
2° L o r s q u e À - f aj est < o , j ' a i du me r e s t r e i n d r e à é t u d i e r la q u e s t i o n suivante : « Soit II ( s , z) une fonction d o n n é e s u r le c y l i n d r e ; on la suppose c o n t i n u e , t e n d a n t vers zéro lorsque \z\ croît indéfiniment et telle q u e son intégrale le long d ' u n e généra-trice soit a b s o l u m e n t et u n i f o r m é m e n t convergente : trouver u n e solution de ( i ) r é g u l i è r e dans le c y l i n d r e et r é g u l i è r e à l'infini, et p r e n a n t sur la surface les valeurs H (,ç, z). » Ce p r o b l è m e est en général i m p o s s i b l e , j ' a i d o n n é les conditions nécessaires et suffi-santes p o u r q u ' o n puisse le r é s o u d r e , en introduisant la n o t i o n de fonction de G r e e n g é n é r a l i s é e . Si A est compris e n t r e les d e u x n o m b r e s —c/J, et — a* + li ces conditions sont au n o m b r e <\eip. Si l'on s u p p r i m e dans l'énoncé p r é c é d e n t la c o n d i t i o n de r é g u l a r i t é à l'infini, le p r o b l è m e , d ' i m p o s s i b l e , devient i n d é t e r m i n é .
Enfin, dans un d e r n i e r C h a p i t r e , j ' a i consacré q u e l q u e s mots à la fonction de N e u m a n n o r d i n a i r e , q u i est bien e n t e n d u analogue a u x fonctions de G r e e n g é n é r a l i s é e s .
Q u ' i l me soit m a i n t e n a n t p e r m i s d ' e x p r i m e r à M . H a d a m a r d mes b i e n sincères r e m e r c î m c n t s ; non s e u l e m e n t , j ' a i toujours trouvé a u p r è s de lui l'accueil le plus cordial et les plus p r é c i e u x e n c o u r a g e m e n t s , mais c'est dans son œuvre (pie j ' a i puisé les idées d i r e c t r i c e s de mes propres r e c h e r c h e s .
C'est pour moi un plaisir non moins vif de r e m e r c i e r M. P i c a r d et M. Borcl dont j e suis aussi l'élève, et dont j ' a i éprouvé maintes fois l'extrême b i e n v e i l l a n c e . Je suis h e u r e u x de leur en t é m o i g n e r ici ma profonde r e c o n n a i s s a n c e .
CHAPITRE I.
L E C Y L I N D R E L I M I T É .
7 . N o u s a t t i r e r o n s d'abord l'attention s u r le fait suivant : Les fonctions de G r e e n et de iN eu ma nn d ' u n c y l i n d r e l i m i t é se p r o l o n g e n t a i s é m e n t dans le c x l i n d r c indéfini : les fonctions, a i n s i p r o l o n g é e s , sont p é r i o d i q u e s par rapport à la cote du p o i n t va-r i a b l e , et leuva-r péva-riode est d o u b l e de la h a u t e u va-r du c y l i n d va-r e .
P r e n o n s , par e x e m p l e , la fonction de G r e e n o r d i n a i r e G ( M , P ) relative au c x l i n d r c (A, h')\ considérons le c x l i n d r c (/i, ? h — h1),
s y m é t r i q u e du précédent par r a p p o r t au plan 2/^ et la fonction q u i p r e n d au point M' s y m é t r i q u e du point M par rapport à S^ la v a l e u r — GVM , P) : celle fonction est définie dans notre nouveau c y l i n d r e , et (die x prolonge G( M, P ) , car le long du plan 1^, elle s'annule tout comme G( M, P ) , et sa dérivée par rapport à Ç coïn-cide avec celle de GVM , P ) . Enfin, le long du c y l i n d r e , elle p r o -longe b i e n G ^ M , P ) , p u i s q u ' e l l e est n u l l e . La fonction de G r e e n du c y l i n d r e (A, h') est d o n c dès à présent définie dans le c y l i n d r e d o u b l e (2/1 — A', lé) : s u r les sections I2h_/t' et Ih elle s ' a n n u l e , et
en des points de ces sections situés sur une parallèle aux généra-t r i c e s , sa dérivée par rapporgénéra-t à ^ a la même valeur : c'esgénéra-t d i r e q u e si nous i m p r i m o n s au c x l i n d r c ('> li — A \ h') le g r o u p e de translations reeti lignes '> n (A'—A) ( p a r a l l è l e m e n t aux g é n é r a t r i c e s ) , n d é -signant un e n t i e r q u e l c o n q u e , nous réaliserons le p r o l o n g e m e n t a n n o n c é . Nous o b t i e n d r o n s bien une fonction p é r i o d i q u e de Ç, et sa p é r i o d e sera 2{hf— h).
c h a c u n des cylindres de h a u t e u r i(lé— h) q u e n o u s j u x t a p o s o n s a i n s i . E n d é s i g n a n t par P; le s y m é t r i q u e de P par r a p p o r t à S*,
dans le c y l i n d r e (2A — A', A'), sa partie s i n g u l i è r e sera 1 1
MP " ~ M F '
Ce r a i s o n n e m e n t s ' a p p l i q u e sans modification à G ( M , P ; A ) ( p o u r v u q u e A ne soit pas une constante c a r a c t é r i s t i q u e ) .
P o u r r ( M , P ; A ) , on procédera d ' u n e m a n i è r e tout à fait a n a -logue : toutefois, ici, pour o p é r e r le p r o l o n g e m e n t dans le cy-l i n d r e (A, 2 A — / / ' ) , icy-l faudra c o n s i d é r e r cy-la fonction qui p r e n d au p o i n t M' la valeur T ( M , P ; A) e l l e - m ê m e .
8 . Voici maintenant u n e c o n s é q u e n c e de celte p r o p o s i t i o n : Soit une parallèle aux g é n é r a t r i c e s , i n t é r i e u r e au c y l i n d r e , et ne passant pas par P : si le point M se trouve sur cette d r o i t e , nos fonctions G et F d é p e n d e n t seulement d c £ ; nous venons de voir q u ' e l l e s sont p é r i o d i q u e s . Piemarquoiis de |)lus (pie, q u e l q u e soit Ç0, elles sont développahles en série e n t i è r e a u t o u r de cette valeur. Il en résulte q u ' e l l e s satisfont aux conditions de Dirichlet; elles sont donc développahles en séries de F o u r i e r , dans un i n t e r -valle d ' a m p l i t u d e > ( A ' — h ) \ et ces séries seront uniformément
convergentes dans tout l'intervalle, p u i s q u e , n u l l e part, G ni V
n e p r é s e n t e n t de d i s c o n t i n u i t é (1).
Mais nous pouvons r é p é t e r i d e n t i q u e m e n t le m ê m e r a i s o n n e -ment pour une dérivée d'ordre q u e l c o n q u e , par r a p p o r t à Ç, de G ou de r : celle-ci sera e n c o r e d é v c l o p p a b l e en une série de F o u r i e r u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t e . De là r é s u l t e i m m é d i a t e m e n t ce fait :
Les développements en série tri gonomé trique de G ou T sont indéfiniment dé riva blés terme à terme.
9 . S u p p o s o n s , p o u r fixer les idées, A positif, soit
et c h e r c h o n s le d é v e l o p p e m e n t de G ( M , P ; f/.2). Il est clair q u e G
— 14 —
est une fonction impaire de Ç — h . Le développement cherché
sera donc de la forme
-4-ao
G(M, P; ^)=2*«(
w'
P: ^""(""feî)'
le coefficient ¢,, ayant pour expression
^ ( m , P; ^^jJL-^f G(M, P
; f JL
2) s i n ( A i 7 r | ^ A ) ^ ;
on vérifie fort aisément, par une difiérentiation sous le signe
somme et une double intégration par parties, que le coefficient $n
considéré comme fonction du point m est solution de l'équation
en outre, ¢,, s'annule lorsque le point m appartient au contour (C).
Pour achever de caractériser ¢,,, nous allons chercher quelle
singularité elle présente lorsque les points m et p tendent à se
confondre.
Or, dans le cylindre ^A, A'), on a
G(M, P; HL2) = ! 1 ^ - Û ( ] V 1 , P; p),
la fonction Q étant régulière en tout point M intérieur à ce
cylindre. La singularité de ¢,, nous sera donc fournie par
l'inté-grale
qui satisfait elle-même à l'équation ( 8 ) . Puisqu'elle ne dépend
que de r, elle est donc de la forme
c'est A qu'il nous faut connaître, et nous n'altérerons pas ce
coef-ficient en remplaçant dans l'intégrale précédente les limites h et A'
par —oo et -j- oo, car une telle transformation ne modifie cette
ramenés à
î—- / — sin ( rait-^7 r ) a Ç ;
transformons celte intégrale au moyen de la formule
""(""fcl) =
s
^"*fcri)
cos
(""S)
+ s i n
(
n w£ ^ )
Co
9( n , « £ = ^ ) ,
notre intégrale se décomposera en une somme de deux termes : le
premier reste fini même pour r = o, le second s'écrit
A'—A \ h'—hJJ_
m^ 2 + ( ^ ^ . ^ ) 2 \ A—A/
c'est-à-dire, en vertu de (4)?
en résumé, ¢,, est une solution de (8) qui s'annule sur le bord et
qui ne diffère de l'expression (9) que par une fonction holomorphe
en tout point m de (2).
On en conclut immédiatement
d'où le développement cherché
(10) G(M,P;A) = ^ 2
s i n( ' ^ r a )
X 5 i n(
r t ur a ) ^ [
w^
; A +( Â S î ) ï ]
;71 = 1
nous y avons, il est vrai, supposé A positif; si nous supposons A
négatif et différent d'une constante caractéristique, la
démonstra-tion précédente subsistera (*) et le développement (10) continuera
à être valable.
(1) En posant cette fois A = — jx2, il n'y aura qu'à changer dans le
raisonne-, . . raisonne-, e—PR COSULR
ment précèdent —=— en — — - . K R
10. Tl est d'ailleurs facile de déterminer a priori ces constantes caractéristiques. Désignons par — K2 l'une d'elles et p a r $ ( M ) une fonction fondamentale correspondante : cette fonction pourra se prolonger analytiquement dans tout le cylindre absolument par le même procédé que la fonction de Green elle-même : nous obtiendrons ainsi une fonction périodique de Ç, dont la période sera encore i{Ié — h). Celte fonction sera impaire par rapport à Ç — / i . Dans son développement en série de Fourier, le coeffi-cient de
sin
(^fc4)
sera donné par<P(^)=7^X'"
,I,($''
1'
0sin(
/l,tfe^)^
; donc <p satisfait à l'équationd2© d*o [TZO «2?r2 1
et comme o s'annule lorsque le point (£,v|) appartient au con-tour (C), nous en concluons :
. , 2 —2
i° Que K2 — —n—Vu est é<;al à l'un des nombres de la suite (a);
^ [h—h)*r x J
2° Que 3(ç,f4 ) est une fonction fondamentale correspondante de la section droite.
Réciproquement, soit vp(m) une fonction quelconque de la
suite (cp) : quel que soit l'entier n, la fonction
(p
/;(m)sin
(^IT.-^—JJsera une fonction fondamentale de notre cylindre droit et la constante caractéristique correspondante sera
Ainsi, toutes les constantes caractéristiques s'obtiendront en donnant à p et à n dans l'expression (i î) toutes les valeurs entières -possibles (1) : nous voyons qu'elles seront toutes inférieures au nombre — a".
Il nous est facile de vérifier m a i n t e n a n t q u e , si A n'est égal à a u c u n e de ces valeurs caractéristiques^ tous les termes de la série (10) ont des valeurs finies; en effet, s'il en est a i n s i , q u e l q u e soit l ' e n t i e r /*, le n o m b r e
/ l27 t2
A"*~ (h'—hY
n ' a p p a r t i e n t pas à la suite (a), et la série en q u e s t i o n ne p r é s e n t e r a pas de terme infini.
1 1 . P a r u n r a i s o n n e m e n t tout pareil a celui q u i n o u s a d o n n é le d é v e l o p p e m e n t (10) de G (M, P ; A), on trouve celui de T ( M , P ; A) :
(„> r(M,P;M=
7
^
T
[^^-
)
+
2
cos
(
n
* ifcî)
x cos
(
rt1t
î = £ ) ï (»./»!
A
+(¾)
-t-oo J
n a t u r e l l e m e n t , on doit s u p p o s e r q u e A n'est pas u n e constante caractéristique, et en particulier que A n'est pas nul. En posant p o u r l ' u n i f o r m i t é des notations
o = —PS, -J= = <Mm),
toutes les constantes c a r a c t é r i s t i q u e s seront de la forme
/ i27 t2
K -
(h' — h)*'ici, on devra d o n n e r k p et n toutes les valeurs entières possibles, zéro y c o m p r i s . Les fonctions fondamentales c o r r e s p o n d a n t e s seront de la forme
typ(m)cos(mz hl__lhJ.
12. Il est possible d ' é c r i r e , p o u r la fonction de N e u m a n n o r d i -naire F ( M , P ) , un d é v e l o p p e m e n t analogue à (12). Mais, p o u r cela, il est nécessaire de modifier un peu la définition de cette fonction, telle q u e nous l'avons d o n n é e dans l ' I n t r o d u c t i o n . Nous ne changerons q u e les c o n d i t i o n s à la frontière, et cela de la façon suivante :
— 18 —
Au lieu de supposer la dérivée normale de T constante sur toute
la surface, nous l'assujettirons à s'annuler sur les deux bases, et,
le long du cylindre lui-même, elle prendra la valeur
4TT
(h'-h)L'
pour achever de la déterminer et pour assurer la symétrie par
rapport aux: deux points M et P, nous ajouterons que la moyenne
des valeurs de V sur la surface latérale est une constante, d'ailleurs
arbitraire (
1) .
Le procédé de prolongement donné pour IV M, P ; A ) s'applique
sans modification à la fonction T(M, P) ainsi définie, du fait que
sa dérivée normale est nul h' sur les bases : par rapport à la cote Ç
du point M, celle fonction est donc périodique, la période étant
encore 2 (A'— A), et son développement s'écrira
r
(M , p
) s Bl ! ^ i P )
+2 v . ( » . P ) c o . ( »
wJ ^ * ) .
Le calcul des coefficients ^7,, s'efTectue par la méthode que nous
avons indiquée pour G (M, P ; A); on trouve facilement
( I 3 ) r(M
iP)-¥—j^ —^
c o s(
n* n ^ )
c o s( " * t t ^
/i = i
Remarque. — Dans le courant de la démonstration des
déve-loppements (12) et (i3) on rencontre les égalités
;rVÎ,P: \)dt = *i(m,p;A),
<•<> . .*
I J
%\(M,P)dÇ = i*
{(m,p),
qui fournissent une relation entre la fonction de Neumann du
cylindre et celle de sa section droite. M. Hadamard qui a signalé
(1) J'emprunte cette définition à M. Hadamard ( C . R. Acad. Se, t. GLVI,
cette relation ( ' ) a fait remarquer qu'elle est de même forme que
celle de M. Paul Lévy, citée au paragraphe 5 de l'Introduction, et
qui a trait à la fonction de Green du cylindre indéfini.
13. De la forme des développements ( m ) et (12) [ou ( i 3 ) ] , et
du fait qu'ils sont indéfiniment dérivables terme à terme, se dégage
immédiatement la proposition suivante :
En désignant par a //// nombre positif quelconque, les
produits
W-g{m,p\\) et l*i(m,p;\)
tendent vers zéro lorsque \ croît indéfiniment par valeurs
positives (on suppose les points m et p fixes).
Prenons par exemple le développement (10) : du moment qu'il
est indéfiniment dérivable terme à terme, il est nécessaire que le
produit
""'["'''"^(iRî]
(où k est un entier positif quelconque) tende vers zéro, puisque
ce produit est (au signe près) le coefficient du terme en
s
K'
l
*ra)
sin
('
l,t
ra)
dans la dérivée d'ordre 2A. 11 suffit de faire
/l27T2
A = o et X =
( A ' - A )2
pour obtenir la proposition annoncée, lorsque le nombre positif a
est entier : mais on voit immédiatement que, d'après sa nature
même, le théorème, s'il est vrai pour a entier, l'est pour a
quel-conque.
On fera une démonstration identique pour la fonction de
Neumann, en raisonnant sur le développement ( i 3 ) .
Remarque. — Ecrivons les fonctions g et y en mettant en
évi-( * ) Loc. cit.d e n c e le terme s i n g u l i e r ItLyiyjkry. g(m,p;\) = K(is/lr) — u>(/?i,/>; X), y(m,p; X) = K ( J / X r) — 73(771,/?; X); il résulte de l ' e x p r e s s i o n a s y i n p t o t i q u e ( * ) de la fonction K q u e le p r o d u i t X«K(*VXr)
tend l u i - m ê m e vers zéro lorsque \ croît indéfiniment par valeurs positives. D a n s ces c o n d i t i o n s , il eu sera d o n c de même de c h a c u n des p r o d u i t s
Xaw(m,jo; X) et Xa7n(m,/?; X).
14. Les résultats du paragraphe p r é c é d e n t nous seront très utiles dans la suite p o u r é t a b l i r l'existence des fonctions de G r e e n et de N e u m a n n du c y l i n d r e indéfini. Je dois dire toutefois q u ' i l s ne sont pas e n t i è r e m e n t n o u v e a u x : d e p u i s l o n g t e m p s , on c o n n a î t en effet la p r o p o s i t i o n suivante :
Les solutions de Véquation ( 2 ) , définies et régulières dans Vaire limitée par un contour (C) et satisfaisant au contour à une condition donnée (de Dirichlel ou N e u m a n n ) indépendante de\, tendent rapidement vers zéro en tout point intérieur à l'aire lorsque A augmente indéfiniment par valeurs positives.
E n ce q u i c o n c e r n e la solution de ( 2 ) q u i p r e n d sur ( C ) des valeurs d o n n é e s i n d é p e n d a n t e s de X, M. Hadamard a d o n n é (2) u n e p r e u v e très simple du fait précédent ."soient un point i n t é r i e u r à l'aire, 0 sa plus petite distance au c o n t o u r ( C ) , M la borne s u p é r i e u r e du m o d u l e des valeurs d o n n é e s sur ( C ) . Il a m o n t r é q u e la s o l u t i o n en ce point est m o i n d r e en valeur absolue q u e
M Jx*v/X 8)" (1) Le produit - /Tfi («e
v ^
tend vers 1 lorsque 0 augmente indéfiniment.
(2.) HADAMARD, Transactions of the American Mathematical Society, 1902,
Si donc S n'est pas nul, c'est-à-dire si le point n'est pas sur le
contour, cette valeur tend rapidement vers zéro: plus rapidement
que n'importe quelle puissance positive de c-- C'est ce qu'on voit
facilement en se reportant à l'expression asymptotique ( ' ) de la
fonction J.
Les considérations qui précèdent nous conduisent à un résultat
analogue et nous permet lent de démontrer la proposition suivante :
Soit v\(p) la solution d'un problème de Dirichlet ou de
Neumann relatif à l'équation ('*>-): si les données au contour
H ('s, X) répondent (à partir d'une certaine valeur positive de X)
à la condition
| H ( * , X ) | < A X P ,
où A et p sont deux constantes positives quelconques (
2) , le
produit
l*?\(p)
tend vers zéro lorsque X croît indéfiniment par valeurs
posi-tives et cela quel que soit le nombre positif a (le point p étant
strictement intérieur à l'aire donnée.
Pour le démontrer il suffit de remarquer que la solution sera
donnée par l'une ou l'autre des deux intégrales suivantes :
± f H(s,l)^(s,
P;\)ds ou - J - /
>H ( 5 , X )
ï( 5 ,
j D; X ) ^ ,
2
«Ac, «Ad
suivant qu'il s'agit du problème de Dirichlet ou de celui de
Neumann; celles-ci sont moindres en valeur absolue que
'01 «
or si le point p est strictement intérieur à l'aire, quels que soient
les nombres positifs a et (3, les produits
(1) Lorsque 9 croît indéfiniment, J («9) et ,—5 sont des infiniment grands
équivalents.
tendent vers zéro (•) lorsque X croit indéfiniment par valeurs
positives.
15. Il n'y a aucune difficulté à étendre les résultats précédents
a l'équation
â
2u d^u .
D.
t.
où R ( i , Tj) représente une fonction positive dans toute l'aire S
0.
Pour cela, nous considérerons encore notre cylindre (A, h') et la
fonction de Green de l'équation
d'U ^2U R / C , ^ U
<
l 6> ^
+^ + * ( ^ ) "3p = °>
on peut lui appliquer le même mode de prolongement qu'à la
la fonction de Green ordinaire et la développer comme elle en
une série de Fourier
-4- oo
^^n{ni,p)^n\^nTZjjZ^
n — \
avec
*.= râJ]*'
G
<
M
.
p
>'K
,nc
ï'=î)*
î
on vérifie aisément que <ï>„ satisfait à l'équation aux dérivées
partielles
-5jr
+-rfV
r= (F=^T*
R ( 5'
, l )*"
(1) Il y a une difficulté apparente pour le premier de ces produits, du fait
que ce n'est pas g lui-même qui intervient, mais -JL : elle est facile à lever; on
. dG , , „ t
remarque que, puisque/; est intérieur à 1 aire S,„ la quantité ^ (ou L» = tonc-tion de Gicen du c)hn<lrc h, h') est dé\cloppal)lc -.ur la surlace du c\lindre en une série tru;onoméiiique . celle ci coïncide avec celle qu'on obtiendrait si l'on dérivait directement terme à terme le développement (io), suivant la normale. En reprenant pour -r- le raisonnement fait pour G, on Irouve que, quel que soit le nombre positif a, le produit
et, comme précédemment, on trouve
7 1 = 1
en représentant par la notation
g(m,p;\R)la fonction de Green de l'équation ( i 3 ) (il est bien entendu que g
n'est pas une fonction, mais bien une fonctionnelle de R ) .
En reprenant tous les raisonnements indiqués précédemment,
nous démontrerons que, quel que soit le nombre positif a, les
produits
X«^(m,/i;XR)
lX«v(m,/»;XR)
tendent vers zéro lorsque X croit indéfiniment par valeurs
posi-tives, etc.
Il est à remarquer en outre que la méthode précédente conduit
k des résultats absolument analogues pour l'équation à n variables
indépendantes :
df? + ^ + - - - + ^ = ^
1^ - ' * » ) "
(^
on passera par l'intermédiaire de la fonction de Green de
l'équa-tion
pour un cylindre droit de l'espace à (/i + i) dimensions, ayant ses
génératrices parallèles k l'axe OÇ.
CHAPITRE II.
LE C Y L I N D R E I N D É F I N I .Théorèmes d'existence des fonctions de Green et de Neumann.
16. Pour faciliter l'exposition, nous rappellerons d'abord
quelques propositions (
1) qui nous seront utiles dans la suite :
LEMME
I. — Soit <p(X) une fonction continue dans
l'inter-valle (o, H-oc) et telle que le produit X
a<p(X) tende vers zéro
lorsque X croit indéfiniment, quel que soit le nombre positif a.
L'intégrale
f(z)=. I o(\) cosXzdX
J o
possède par rapport à z des dérivées de tous les ordres :
celles-ci se calculent par la règle ordinaire de dérivation sous le
signe somme. En outre, la fonction J\z) et toutes ses dérivées
tendent vers zéro lorsque z croît indéfiniment.
(Enoncé analogue en changeant cosX; en sinXc.)
LEMME
11. — Soit '}(X) une fonction continue dans
l'inter-valle (o, -f- oo) et satisfaisant (a partir d'une certaine valeur de X)
à l'inégalité
l+a)l<è'
où A est un nombre positif et a un nombre supérieur à i.
L'expression
lorsque p. croit indéfiniment, a pour limite l'intégrale
J 0
[On pourra prendre a fortiori pour fonction <J*(X) la fonction <p(X)
remplissant les conditions du lemme i.]
17. La recherche de toute fonction de Green est un cas
parti-culier du problème de Dirichlet, lequel consiste ici k déterminer
une solution de (i) connaissant les valeurs qu'elle prend sur notre
cylindre indéfini. On comprend immédiatement qu'une telle
donnée serait insuffisante pour d^uvcvïunicité de cette solution :
pour achever de déterminer celle-ci, il faut encore dire comment
elle se comporte à l'infini.
C'est ce qui nous apparaîtra clairement en résolvant la question
suivante :
A ayant une valeur donnée quelconque, trouver toutes les
solutions de (1) qui s'annulent sur le cylindre.
Soit \?(x,y,z) une telle solution : dans toute section droite,
elle remplit les conditions du théorème d'Hilberl-Schmidt (§ 4 ) .
Elle est donc rcpréscnlable sous la tonne
-+- oo
(F) F(x,y,z)=^c
l(z)o,(x
<y);
1=1
cette série est absolument convergente et, dans toute section
droite, elle converge uniformément. En outre, la fonction F, étant
analytique, admet par rapport à z des dérivées de tout ordre qui
sont nulles elles-mêmes sur le cylindre : on pourra donc les
développer en des séries analogues à la précédente. On aura par
exemple
ces séries successives s'obtiendront en dérivant terme k terme la
série ( F ) : ainsi, je dis qu'on a
en effet, nous avons
c\"(z)=JJ — (x,y,z)<?
t(x,y)dxdy,
Ci(*) = j (v(x,y,z)y
l(x,y)dxdy,
et la première intégrale est manifestement la dérivée de la seconde.
En outre, puisque F est solution de (i), on a
—
ô— - r _ — •
par suite, le premier membre est développable en une série de la
forme précédente, qui peut s'écrire
-4- oo
2^i(*)?i(*ir)
— 26 —
avec
4 ( * ) = Ac
f(*)-<S(*)5
mais, d'autre part,
donc les coefficients c/(s) vérifieront des équations différentielles (
1)
de la forme
(17) (A + a? )c
f(«) - c';(s) = o.
Si À + a^ est positif, cette équation s'intègre par des
expo-nentielles; si A-1-aj est négatif, ses solutions sont des sinus et des
cosinus.
Les solutions de l'équation (1) qui s'annulent sur le cylindre
seront donc des combinaisons linéaires, en nombre fini ou infini
de fonctions de l'une des formes suivantes :
<p/(/?i) . ( s/\-hOLfz) pour A + a 2 > o ,
?i(/w) . W— A — o.} z) pour A-+-a? < o.
Si l'on a A + a j > o, il n'y aura que des solutions de la
pre-mière forme.
Il est donc bien prouvé qu'une solution de (1) n'est pas
déter-minée lorsqu'on se borne k se donner les valeurs qu'elle prend
sur le cylindre. Par contre, je dis qu'elle le sera si l'on donne, en
outre, la manière dont elle se comporte a l'infini. C'est ce que
nous montre le théorème suivant :
Toute solution F (x, y, z) de l'équation (1) qui s'annule sur
le cylindre et qui tend unijormément vers zéro lorsque \z\
croît indéfiniment est identiquement nulle (
2) .
(1) On aurait pu écrire tette équation par dérivation directe; mais il importe
ici de montrer que celte opération est légitime.
(2) On voit que cet énoncé n'exige aucune hypothèse sur la façon dont se
En effet, F ( # , y , z) sera représentable par le développement ( F ) .
Le coefficient Ci(z) du terme général s'écrit
c
l(z)=j( F(x,y,z)y
l(x,y)dxdy,
c'est dire que la fonction c
t(z) tend vers zéro lorsque \z\ croît
indéfiniment, et comme clic doit cire choisie parmi les solutions
de l'équation (17), nous avons nécessairement, quel que soit
l'en-tier 1,
C,(z) = 0 C. Q. F . D .
Il importe de remarquer que cet énoncé est valable, quel que
soit A,
18. Nous dirons qu'une solution F (x,y, z) de (1) est
régu-lière et l'infini si elle tend uniformément vers zéro lorsque \z \
croit indéfi n imen t.
Le théorème précédent peut alors s'énoncer ainsi :
Une solution de (1), sans singularité et r intérieur du
cy-lindre et régulière à l'infini, ne peut s'annuler sur sa surface
sans s'annuler identiquement à l'intérieur.
19. De l'analyse précédente, on peut tirer d'autres conséquences.
Supposons que A -h a^ soit positif et que F (x, r , z) soit encore
une solution de (\) qui s'annule sur le cylindre (sans singularité
k l'intérieur). Je dis que si elle est bornée, elle est
identique-ment nulle. En effet, si elle est bornée, il en sera de même de
Ci(z), mais nous avons
c
t(z)= a
tc h ^ V -h a/*) -h b
tsh(\/Y^~xfz);
il est nécessaire qu'on ait, quel que soit 1,
* i = bt=. o ;
en particulier, nous avons le théorème suivant :
Si une fonction harmonique à l'intérieur d'un cylindre
s'annule sur sa surface et est bornée à l'intérieur, elle est
iden-tiquement nulle.
2 0 . T o u t e s les considérations p r é c é d e n t e s s ' é t e n d e n t a i s é m e n t au cas o ù , au lieu de s u p p o s e r c o n n u e s les valeurs de la fonction s u r le c y l i n d r e , on se d o n n e celles de sa dérivée n o r m a l e . E n p a r t i c u l i e r , on p e u t é n o n c e r , q u e l q u e soit A, le t h é o r è m e sui-vant :
Toute solution de ( 1 ), dépourvue de singularités ù l'intérieur du cylindre, régulière et l'infini, et dont la dérivée normale s'annule sur la suif ace, est identiquement nulle.
2 1 . Soit V un point fixe q u e l c o n q u e i n t é r i e u r au c v l i n d r e . La
fonction de (heen (î ( M , l*;A) est par définition une solution de l'équation (i ), qui devient infinie en V comme la solution fo n dam en ta le, q u i s a n n u le sur le c) ' lin dre et qui est / 'ég u Hère
à l'infini.
D'après ce qui p r é c è d e , il y a au plu» une fonction r é p o n d a n t k cet e n s e m b l e de c o n d i t i o n s .
Nous allons m o n t r e r (pie si l'on a, au sens strict, l'inégalité A + a J > o ,
cette fonction existe et a p o u r e x p r e s s i o n
(18) G(M, P ; V ) = - / g{m,p; A-t-X*)cosX(* — Ç)rfX;
on vérifie aisément q u e le second m e m b r e ( 1 8 ) satisfait k t o u t e s les conditions p r é c é d e n t e s en l'écrivant sous la forme (*) (cf. § 1 3 , R e m a r q u e ) :
. •. + *
(iZbis) - / K(ir \/\-+•!*) cos\(z — Qdk 7 1 « / - P O
>
u(m, p; A -H X2) cosX(* —- Ç) d\.
N o u s avons vu dans l ' I n t r o d u c t i o n (§ 2 ) q u e la p r e m i è r e de ces
(1) La formule (iS) ne donne, en apparence, la valeur de G que lorsque nos
deux points M et P ne sont pas sur une parallèle au\ génératrices, en réalité, elle continue à donner sa valeur dans ce cas il suffit d'écrire le second membre sous la forme (iS bis), la deuxième intégrale a un sens, quels que soient les deux points. Quant à la première, on peut la remplacer par sa valeur, facile à calculer.
intégrales r e p r é s e n t e toujours une s o l u t i o n fondamentale de ( i ) , q u i tend vers zéro k l'infini. D e p l u s , n o u s pouvons (§ 1 3 , R e -m a r q u e ) , dans l'énoncé du l e -m -m e I, choisir p o u r fonction © (X) la fonction (o (///, p ; X2 -f- A) ; ceci nous permet de voir q u e la seconde intégrale est une solution de (i ) qui est r é g u l i è r e k l'infini ( ' ) . Le second m e m b r e de ('18) r e p r é s e n t e bien une s o l u t i o n de (1), q u i est infinie eu P comme la solution fondamentale, qui est r é g u l i è r e k l'infini, et qui m inifcstcmcnt s'annule sur le c y l i n d r e : c'est la fonction de G r e e n c h e r c h é e .
T o u t ceci suppose vérifiée, au sens strict, l'inégalité A - h a ï > o ,
s i n o n l ' é l é m e n t de n o t r e intégrale d e v i e n d r a i t infini, et celle-ci divergerait.
2 2 . Nous allons m a i n t e n a n t m o n t r e r q u e si l'on suppose
A - f - a j ^ o ,
la fonction de Green n'existe pas ; autrement dit, il est impossible de trouver une fonction G ( M , P ; A) r é p o n d a n t k l ' e n s e m b l e des conditions p r é c é d e m m e n t i n d i q u é e s . Nous allons m o n t r e r , en elfet, q u ' e n admettant l'existence d u n e telle fonction, on est con-d u i t k une a b s u r con-d i t é .
A d m e t t o n s d o n c l'existence d ' u n e fonction de G r e e n G (AI, P ; A) relative au point P : par définition, c'e^t une s o l u t i o n de (1) q u i s'annule sur le cylindre et d e v i e n t infinie en P comme
MP
(') Le lemme I montre que l'intégrale
/ w ( m, p ; A + A2 ) c o s \ { z — Ç) d\
tend vers zéro quand Ç croît indéfiniment; Vuniformité de cette convergence par rapport au point m résulte du fait suivant : Quand l'expression
X*u> {m,p; \)
tend vers zéro (pour \ infini), sa convergence est uniforme par rapport au point m.
E n o u t r e , elle est r é g u l i è r e k l ' i n f i n i ; j e dis q u e sa dérivée par r a p p o r t k z sera, elle aussi, r é g u l i è r e k l'infini. E n effet, c o n s i d é -rons une section d r o i t e q u e l c o n q u e , située au-dessus du point P par e x e m p l e . N o t r e fonction de G r e e n est r e p r é s e n t a b l e par u n d é v e l o p p e m e n t de la forme
-4-00
20(09.(5,¾).
/ = 1
q u i est valable au-dessus de cette section d r o i t e ; les coefficients C/(C) vérifient des é q u a t i o n s telles q u e ( 1 7 ) . G o m m e G est r é g u -lière k l'infini, les c*(Ç) sont n é c e s s a i r e m e n t de la forme
Ci(Ç) = ate-Kl,
où les K/ sont des n o m b r e s positifs.
O r la dérivée par rapport k Ç de la fonction G sera e l l e - m ê m e r e p r é s e n t a b l e par un tel d é v e l o p p e m e n t , q u i s'obtiendra (§ 17) en dérivant le précédent terme k t e r m e . La q u a n t i t é — est d o n c bien
ré g u Hère à l'infin i.
Gela posé, considérons les d e u x fonctions
U = G(M, P ; A ) et V = ? 1( m ) c o s [ v / - A - af {z - Ç)]; ce sont d e u x solutions de (1). N o u s allons écrire q u ' o n a
La surface d ' i n t é g r a t i o n sera constituée : i° P a r une petite s p h è r e de c e n t r e P ;
20 Par la surface tôt île d ' u n cvdindre d r o i t , d o n t n o u s ferons e n s u i t e é l o i g n e r indéfiniment les base^ de part et d ' a u t r e .
G r â c e k la r e m a r q u e p r é c é d e n t e , les portions de l'intégrale rela-tives k ces bases tendent vers z é r o ; car \ et — sont e s s e n t i e l l e m e n t bornées et les q u a n t i t é s U et —- tendent vers zéro.
" s
La p o r t i o n de l'intégrale relative au cv lindre est n u l l e .
Il faudrait d o n c q u e la portion de l'intégrale relative a n o t r e petite s p h è r e de c e n t r e P e u t p o u r limite zéro. O r il est facile de
la calculer et de voir q u ' e l l e a p o u r l i m i t e - 4 * ? i ( P ) .
Nous arrivons k une a b s u r d i t é . D o n c la fonction de G r e e n n ' e x i s t e p a s .
Il est k r e m a r q u e r q u e ce r a i s o n n e m e n t subsiste p o u r A = — a j : il n ' y n donc pas n o n plus de fonction de G r e e n p o u r cette v a l e u r .
2 3 . P désignant toujours un point fixe i n t é r i e u r au c y l i n d r e , n o u s a p p e l l e r o n s fonction de NeumannT ( M , P ; A) u n e s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n ( i ) q u i devient infinie en P c o m m e la solution fon-d a m e n t a l e , q u i a sa fon-dérivée n o r m a l e n u l l e sur le c y l i n fon-d r e et q u i est r é g u l i è r e k l'infini. E n raisonnant c o m m e nous venons de le faire p o u r la fonction de G r e e n , nous verrons (pic la fonction de
Neu-mann n'existe que si A est positif et non nul [ i l faut, en effet,
r e m p l a c e r le n o m b r e — a j , p r e m i e r terme de la suite ( a ) , par le n o m b r e o, p r e m i e r terme de la suite (fî)]. Dans cette h y p o -thèse, clic a pour x p r e s s i o n
(19) r ( M , P ; A ) = . f Y( m , / ï ; A - H X « ) c o 8 X ( * - C ) d X ;
cette formule se d é m o n t r e c o m m e ( 1 8 ) .
2 4 . La q u e s t i o n d ' e x i s t e n c e de nos fonctions de G r e e n et de N e u m a n n est d o n c m a i n t e n a n t c o m p l è t e m e n t r é s o l u e . Q u a n d ces fonctions e x i s t e n t , elles nous sont d o n n é e s par les formules (18) et ( 1 9 ) . Gomme on pouvait s'j a t t e n d r e , elles ne d é p e n d e n t des cotes z et Ç de nos deux points M et P q u e par leur différence z— Ç, et, en o u t r e , sur cc^ formules, la s y m é t r i e par r a p p o r t aux p o i n t s M et P apparaît i m m é d i a t e m e n t .
Montrons enfin (pie ces expressions ( 1 8 ) ou ( 1 9 ) fournissent u n e vérification très s i m p l e du fait suivant :
Soit un cylindre droit (h, //') dont les sections limites S^ et S ^ s'éloignent indéfiniment de part et d'aul/e. La fonction de
Green (ou de N e u m a n n ) de ce cylindre a une limite qui est la fonction de Green (ou de N e u m a n n ) du cylindre indéfini.
Bien e n t e n d u , on suppose r e m p l i e , au sens s t r i c t , l'inégalité A - + - a î > o ,
en s u p p o s a n t , par e x e m p l e , q u ' i l s'agisse de la fonction de G r e e n ( i l faudrait la r e m p l a c e r par A > o s'il s'agissait de la fonction de N e u m a n n ) . P l a ç o n s - n o u s dans cette h y p o t h è s e . Q u e l q u e soit le c y l i n d r e droit c o n s i d é r é , A n'est j a m a i s une constante caractéris-t i q u e ( § 10) ecaractéris-t nous p o u r r o n s écrire (§ 9 )
G,*,*.,(M,P;A)
=
/7=7r2
s,n("*/?=*)
x uu\
nitT^h)
g[
m'P'
A +(7T=7#
// — 1
en réservant la notation G(h,h') p o u r r e p r é s e n t e r la fonction de G r e e n de notre c y l i n d r e d r o i t ; le second m e m b r e p e u t e n c o r e s'écrire l /1=1 V> / Ç + z — ih\ f k n*iz* 1 /i = 1 S e r v o n s - n o u s du l e m m e II en p r e n a n t f i = """" y <KX) = g(m,p\ A + X2)cosX(ï — Z ) \
n o u s voyons q u e le p r e m i e r de nos d e u x termes a p o u r l i m i t e l ' i n -tégrale
- / é>(m*p] A-h X2)cosX(Ç — «)^/X; * J-»
c'est p r é c i s é m e n t la fonction de G r e e n G ( M , P ; A) du c y l i n d r e indéfini.
Il ne nous reste d o n c q u ' à m o n t r e r q u e zéro est la l i m i t e d u second t e r m e : p o u r cela, il suffit de vérifier q u ' à tout n o m b r e p o s i t i f s , on p e u t faire c o r r e s p o n d r e un n o m b r e A tel q u e les i n é -galités
