Lancer d’un solide sur un plan incliné
Samuel Rochetin
Jeudi 3 mai 2018
Exercice. Un solide de masse m est lancé à la vitesse v0 suivant une ligne
de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle α ∈ i0;π 2 h
par rapport à l’horizontale. Il monte d’un point A à un point B, puis redescend en A. On considère qu’il n’est soumis à aucune force de frottement. Exprimer l := AB. Solution. Dans le référentiel terrestre, considéré galiléen vu la durée de l’expé-rience, le système {solide} est soumis à deux forces conservatives, le poids et la réaction du plan incliné, donc l’énergie mécanique du système se conserve. L’énergie potentielle du système est l’énergie potentielle de pesanteur. Fixons l’origine des potentiels et des altitudes en A et orientons l’axe vers le haut.
EmA= EmB ⇐⇒ EcA+ EpA= EcB+ EpB ⇐⇒ EcA+ EppA= EcB+ EppB ⇐⇒ 1 2mv 2 0+ 0 = 0 + mgzB vB= 0 ⇐⇒ 1 2v 2 0= gl sin α zB= l sin α et m 6= 0 ⇐⇒ l = v 2 0
2g sin α sin α 6= 0 sur i 0;π 2 h et g 6= 0 Interprétation physique :
— le résultat ne dépend pas de la masse du système car nous avons négligé les frottements ;
— la fonction sinus croît sur i0;π 2 h
donc l décroît avec α. Intuitivement, plus le plan est incliné, moins le solide va loin ;
— 1er cas limite : plan horizontal. Si α tend vers 0, alors l tend vers +∞ car v06= 0. Le solide poursuit sa trajectoire rectiligne indéfiniment dans
le sens de A vers B, conformément à la première loi de Newton ; — 2e cas limite : plan vertical. Si α tend vers π
2, alors v0 tend vers √
2gl. L’énergie mécanique se conserve donc v0 est aussi la vitesse du solide
lorsqu’il repasse en A. Nous retrouvons l’expression de la vitesse de chute libre depuis B sans vitesse initiale.
