ÉTUDE-RAPPORT
à propos du
CONCOURS DES E.N.IAM.
DE 1951
M A T H E M A T I Q U E S
L'étude qu'on va lire s'adresse surtout aux professeurs enseignant dansles classes de préparation aux E.X.I.A.M. Son auteur l'a écrite avant même que fussent centralisés à Paris les résultats d'ensemble du dernier concours. Nos lecteurs peuvent, maintenant, disposer du rapport officiel où ces résultats sont analysés en détail. Nous avons pensé que les spécialistes trouveraient quelque intérêt à rapprocher l'opinion spontanée
de l'un d'eux avec les conclusions du jury. — N.D.L.R.
Concours.
Sujets. — Classement.
Le concours est le b a n c d'épreuve des élèves. Mais il est aussi, et nous le m o n t r e r o n s , celui des sujets proposés. Il ne sera question que des par-ties scientifiques et plus p r é c i s é m e n t mathé-matiques, mais certaines des r e m a r q u e s et conclu-sions que nous énonceron s v a u d r o n t p r o b a b l e m e n t p o u r les autres disciplines.
Bien entend u ce qui suit n'est pas tant une critique q u ' u n e tentative f r a g m e n t a i r e vers la solution d'une question dont nous savons tout le c a r a c t è r e épineux.
I. — LE CLASSEMENT IDEAL PAR UNE EPREUVE ECRITE
Au f o n d , un problème, une épreuve de concours, a p o u r objet de classer les c a n d i d a t s eu égard à la matière envisagée. E c a r t o n s a priori l'égalité absolue entre deux copies; si le sujet p r o p o s é a rempl i de m a n i è r e p a r f a i t e sa f o n c t i o n de classement il suit que p o u r 1 500 devoirs non
« La critique est aisée... »
nuls on peut échelonner la cotation, p a r unités, de 0 (exclu) à 1 500 (inclus). Nous aurons là le classement à « r é p a r t i t i o n u n i f o r m e » utilisant à plein l'échelle 0-1 500 et à densité constante.
Nombre de devoirs "i . i ' I i i !
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i i Nohe 1 2 3 4 - 1 5 0 0On s'en doute, c'est un idéal inaccessible. D'une p a r t les notes s'échelonneront au mieux de 0 à 20, et, en « s t r u c t u r e f i n e » , p a r quanta de 1/2 p o i n t et dont il se trouvera des devoirs de même valeur chiffrée et p o u r t a n t non équivalente. D'autre p a r t le jugement qui p r é c è d e l'attribution 51
d'une note est soumis à des influences nom-breuses, non plus quantitatives, et qui fonl qu'une différence de plusieurs quanta n'est pas rare avec la noie idéale (disons absolument exacte). Néan-moins, les compensations aidant nous obtiendrons encore un classement à répartition uniform e sur l'intervalle (0-20) et que nous pourrons résumer par un graphique en tuyau d'orgue, la hauteur du tuyau de base (n — 1, n) étant proportionnelle au nombre N (:r) de candidats ayant obtenu la
note x (n 1 < x n).
N
H
I I !
I I
R3 o 1 2 3 4 19 20 Un tel diagramme de répartition est perturbé aux deux extrémités. D'abord par l'inévitable proportion de candidats non sérieux, de fumistes, qui encombrent tous les concours; prélevés sur les moins bons, ils vont (réflexe de légitime défense chez le correcteur) p r o d u i r e une accumulation au voisinage de zéro; il en résulte un abaissement de la courbe, au-dessous de l'ordonnée moyenne, pour des notes basses (n < 4 par exemple), ce f|iii fournit le dessin ci-dessous (I).notoire cnlraîne un fléchissement brusque du diagramme (II). La qualité du classement n'en «si pas sensiblement affectée.
II. — L'EPREUVE MISE A L'EPREUVE Admettons alors les principes ci-dessus qui sont sinon inattaquables, au moins raisonnables, et faisons porter la statistique sur un nombre élevé de devoirs, corrigés par un seul (c'est le cas
du concours des E.N.I.A.M.). Nous verrons si l'épreuve remplit efficacement son rôle ou si elle est « une épreuve pour rien », une de ces épreuves d'où le candidat revient écœuré, anéanti, dans lesquelles le travail de l'année se reflète bien mal, et qui est susceptible d'apporter, dans la liste d'admission, d'étranges convulsions, de para-doxaux renversements.
Comparés à la courbe théorique II, les dia-grammes ci-dessous permettent de porter un ju-gement sur le sujet proposé :
T. Sujet trop difficile dès le début. T r o p d'éliminés. Le nul et l'honnête ne sont pas dépar-tagés. Une « é p r e u v e pour r i e n » .
II. (Pour mémoire.) Epreuve trop facile. Des éléments indésirables peuvent se glisser au détri-ment des bons qui ne tirent aucun profit de leur supériorité.
III. Répartition « e n c l o c h e » . La plus commu-nément réalisée avec un maximum d'abeisse
M
I
bi!
O A 2 3 420
n
0 1 2 3 4 2 o Ensuite, par le choix des sujets eux-mêmes :le souci de prévoir, dans le concours, l'émergence de quelque élément d'élite fera que sur ia fin (mais seulement alors) une question de difficulté
variable (I et II représentant des cas extrêmes). Trop souvent on croit que c'est la meilleure répartition. En fait on ne saurait traiter, quoi qu'on dise, les devoirs de concours au même
N
20
titre que les erreurs accidentelles. L'étude pré-cédente montre que l'accumulation détruit l'effi-cacité de classement et cela d'autant plus que le maximum est plus aigu.
IV. L'épreuve comporte une question-clé vers m cotation 10. Une telle répartition, brutale, ne connaît que très bons et médiocres. Préférable au III, elle a l'inconvénient de n'utiliser que deux plages d'amplitude totale insuffisante.
III. — LE CONCOURS DES E.N.I.A.M., 1951 MATHEMATIQUES
Il est donc possible, d'après ce qui précède, de porter un jugement objectif a posteriori, sut-une épreuve, par celui qui en possède les résultats chiffrés. Le concours des Arts avec ses f 500 can-didats est favorable à l'application d'une telle méthode statistique et permet donc de mesurer l'adaptation des sujets proposés à la fonction distributive qui devrait être la leur. Mais là notre rôle disparaît; celui de l'Administration, déten-trice des notes, commence et nous ne pouvons, à défaut de diagramme, qu'émettre un jugement subjectif, donc critiquable, bien qu'honnête, sur les épreuves de cette année. Un tel jugement n'est nullement influencé par les résultats cle l'admissibilité, non publiés à l'heure où sont écrites ces lignes. Il résume et synthétise des conversations avec des candidats, (les professeurs chargés de la préparation, suivies de l'étude attentive des sujets eux-mêmes.
Une caractéristicpie essentielle domine sur toutes les compositions de mathématiques de ces dernières années (1950 et 1951, par exemple) : elles sont démesurément longues. Qu'il s'agisse
d'algèbre ou de géométrie, chaque fois un soup-çon, une inquiétude apparaissent : en supposant comme la solution dans ses grandes lignes, quel temps serait nécessaire pour rédiger correctement la solution, entendons avec l'étude des cas particuliers, des réciproques, des dégénéres-cences, etc., le tracé correct des diagrammes, des figures de géométrie ? Toutes choses que nous exigeons à longueur d'année cle nos élèves. Fau-dra-t-il que nos horloges, à l'imitation cle celles des univers relativistes, se mettent à retarder pour que le candidat arrive jusqu'au bout ? Ou doit-il sacrifier la pureté du détail, la rigueur du rai-sonnement à la rapidité ? Veut-on cle la qualité
ou de la quantité ? De la précision, de la netteté ou un survol rapide et superficiel ? Plus simple-ment veut-on écraser le candidat sous un déluge cle questions torturées et sybillines ? Toutes ces hypothèses, probablement injustifiées, ne peuvent pourtant pas manquer d'être émises à la simple inspection des sujets cle 1951.
Il n'est pas dans notre propos d'en fournir une solution, même sommaire, et nous renvoyons
pour.cela à la Revue de mathématiques élémen-taires par exemple. Limitons-nous à une simple
analyse causale et critique.
Le premier problème d'algèbre (A) tire son prétexte du théorème cle Dupin concernant la propriété bien connue de la courbe des centres cle carène; la tangente en un cle ses points est parallèle à la ligne cle flottaison correspondante. En l'occurrence le « c o r p s flottant» (!) avait une section rectangulaire. Autour cle cette idée simple et élégante gravitaient d'autres questions; mais, alors que les questions Ai, As, A4 sont parfaitement
adaptées au niveau du cours, permettent une véri-fication des calculs, la question A, qui en est indépendante (l'énoncé l'indique, et cela est à son crédit) présente de sérieuses difficultés de calcul sans possibilité de vérification simple.
Ainsi A» apparaît mal placée. Plus grave, elle a tendance à égarer le candidat par un libellé équivoque : ce point B, qui ne dépend que de A et g, semble donc indépendant de C; et, s'il n'ob-serve pas que dès lors le point C se trouve déter-miné, lui aussi, p a r la donnée A et g, comment le candidat qui aura trouvé l'équation b = f (a) limitera-t-il le lieu par la condition c > 0 ?
Le problème cle trigonométrie (T) à partir d'un polygone convexe « semi-régulier » propose des calculs d'angles, une résolution de système trigonométrique classique, le tout permettant une vérification rapide et un contrôle graphique, d'ailleurs demandés : un calcul A'extrema de-mandé in fine est lui aussi contrôlable.
Bien gradué, bien charpenté, cet excellent pro-blème n'a qu'un défaut, celui d'être le deuxième problème et nous savons combien les candidats sont dociles sur l'ordre « imposé ».
Ce reproche ne s'applique pas à la géométrie dont l'épreuve d'espace (E), placée en tête, parce que plus facile, ne peut que satisfaire tous ceux 53
qui pr épa ren t des candida ts, Par des moy en s à leur portée, elle fait retrouver et très progr es si-verne n tJe contour ap par en t horizontal d'un cer -tain P.H. L'étude, gui d ée,"d e la figure sous son double aspect grap h iq ue et géomé tri q ue 'couvre un nombre suffisa n t de parties du programm e. Pro blè m e bien'conçu .
Sur le problème de géomé t r ie plan e (P) von t por te r nos plus viole n tes critiques.
Il
est pourtant' ce qu' on peut ap pele r .un «beau probl èm e ». Fai re ét u di er élérne nta ire me n t les propriét és tangentiell es de I'h yp oc y cl oïd e à trois r ebrous-seme nts à partir de la défin ition de Crémoüa pour concl ure super beme n t par t'hyp ocycl oï de de Ste i ne r, voilà de quoi remplir d'aise le taupi n le plus' réfrac ta i re à la géomé t r ie. Las! nos élè ves ne sont pas des taupins : ils ignorent I'hyp oc y cl or d e à trois rebrou ssem en t s et 'ne sau -rai ent dans le bourbier des angles et des arcs retro uve r le fil d'o.r qui gu idera it leur s pas 1A pein e remis d'une f'amil'le de droites M, Mo de l'esp ace, les voici .en proi e à UNe autre famille, du plan cette fois , per dus dans les subtilités des angles or ien tés et les em bûches rites réciproqu es. Com me n t, dans la fièvre des minu t es brèves, ap rès avoi r travers é le problème E, commen t , pourraient-ils surmonter le red outable obst acl e <le P ? A lui seu l, panait-il, pour des gen s aver tis, il dem an d ait, réd action com p rise, lar gem ent trois heures. Non 1 ce problèm e' est un' très bel exer-cice de syn th èse et de révision en mathém atiqu es supé r-ie ures, il ser a d'une fructueu se fr éq ue n
-tatio n lors de l'étude des ang les orien tés. Nous cr oyon s fermement qu'il n'est pas un .p r oblème des Arts ... 011 alors, com me 'nous le di sions plus
hau t, on invite les candidats à l'à-p eu-p r ès et
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J'escamotage,il dern anu att, redaction com p r ise, largem ent trois heures. Non 1 ce problèm e' est un' tr ès bel exer
-cice de syn th èse et de révis ion en mathém atiqu es supé r-ie ures, il sera d'une fructueu se f réquen-tatio n lors de l'étude des ang les orientés. Nous croy on s fermement qu'il n'est pas un .p r oblème des Ar t s... 011 alors, com me 'nous le di sions plus
hau t, on invite les candi da ts à l'à-p eu-p r ès et
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l'esc am ot ag.e.IV. - CON CLUSION S
Ai ns i , su r les quatre problèmes destinés à meubler six heu r es de travail , il nous ap par aî t que deu x seule me n t son t adap té s à la capacité des can didat s; la qualité du class em ent avait tout à gagner à la sup p res si on cie(Ao) et de (P).Encore une fois ces cr iti q ues n' ôt ent rien au mérite tech-nique des pr oblèmes et ne se réfèrent sim p le
-ment qu' au but poursuit: un clas sement effica ce. Par aille ur s nous mettons une fois de plus l'ac cent su r la disti nction à faire en t re un beau prob lè me desynthès e et unproblè me de eon co urs ; leurs'fonctio ns son t différen t es. Le premier vise à résumer, à présen t er S!'lUS un jour nouveau
quantité de résultat s; le secon d veut (ou doit) classer des gens. Il ne peut ne pas y avo i r inco m -patibilité ent re ces deux points de vue ; tro p sou
-ven t c'est pou r ta n t ce qui ar r ive. Et qu'on ne sc méprenn e pas SNI' la portée de cette rem arqu e.
Les problèm es que nou s don n ons à nos élèves~
Jetem p simp arti, ils serviro nt ens uite d' assi se"de ' tr emp li n pour des dév el op p ements magi strau x. Rien de tel pour le prob lè me de conco urs, don t le rôl e cesse dès qu'est retirée la cop ie .
Ne di ssimulons pas la difficult é que présent e l'él aboration d'un pr obl ème rép ond ant aux con d i-ti on s optima: niv eau général,' progr essivité, a m-pli t u de des matières couvertes , lon gu eur, etc. Les criti q ues qui, chaque an née, se,r etr ouv ent dans les revues spécia lisées touch an t les suje ts de ba c eu des gra n des école s indiquent bien qu'il n'y a pas de méthode infaillible. Il sem ble pourta n t que nombr e des causes profond es qui cont r i buent à dén aturer les épreuves, la méconn ai ssan ce du niv eau des élèves et le souci d'origin alitétienn ent une pla ce de choix. On veut sortir des sentiers battus, ou soi-disa nt tel s, on veu t mett re su r pied du'ncuv eau (?) de l'i néd it (1) pour que les vieux can did ats ne tiren t pas pro fit ou av ant age de leurs années de red oublem ent, pou r que l'intell i-gence vive des jeun es ne soit pas hand i cap ée par manqu e de mat ériel devant les cervelles plein es de leurs aînés . Et alors on va puiser dans l' en sei-gne me nt d'o r dre Il
+
1 une théorie qu'on adapte, vaille que vaille , pou r un concours à l'ord r e JI; le résultat'est bi en con n u : c'est la catastrop he, le plus souven t, et M. Cagnac l'a maintes fois sig na lé. En l' occurren c e, le problè me P est un exe m p le frap p a n t, cep end ant que le problème E échap pe à ce 't rav ers. Sans voul oi r dema nder des «questio n s bateau » , dites classiques, il y en a bien assez qu'un élève de di x-huit ans doit savoir, croit savoir , et ne sau ra pourta nt jamais en tièreme n t. Tr op facilement le spécialiste pre n d pour sen tie r battu la pist e lon gu e et ténue qu'il parcourt chaque an née avec de nou v eaux élèves; mai s le pa ys age qui luiest familier,dontilcon naît charrue Dierre. ur end DOUYles néonh vt es l'a sn ecj exe m p le frapp ant, cepe n dan t que le proble me E échap pe à ce 't rav ers. Sans vouloir dema n der des «questio ns bat eau » , dites classiques, il y en a bien assez qu'un élève de dix-h u it ans doit savoir, croi t savoir , et ne saura pourta n t jamais en tièreme n t. Trop facilement le spécialiste pre nd pour sen tie r battu la pist e lon gu e et ténue qu'il par court chaque an née avec de nou v eaux élèves ; mai s le paysage qu i luiest familier,dontilcon naît chaque pierre, pr end pour les néoph ytes l'asp ect _ d'un -som bre défilé semé d' emb ûch es.V. - SUGGESTIONS
«La cr iti que est aisée... », les difficultés gr-an des.
En som me, les Centres de préparati on aux E.N.LA.M. son t des fournisseurs, et celles-ci son t leurs clients. Le con c on rs est le point de jonction des prot agonist es et il y a tout intérêt à obte n ir un filtr age optimum. Nous cr oyo ns avoir montré qu'Il.Ie sera ave c des ép r euves adaptées aux can -didats. Déj à passablement saturés par un pro-gr a mme d'allur e ency clopédiq ue , ceu x-ci ne p eu-vent que difficilement sup po r te r un accroisseme nt de char ge. Il faut donc que les constructeurs de problèmes s'a da p te nt à leur niveau plutôt que de tenter,' par d'illu soires ép re uv es, une élévati on factice du,concour s qui ne résout rie n , ne tr omp e person ne, en reb ute beaucoup. Sur un progr amm e
motions (dont beaucoup enseignent m a i n t e n a nt aux Arts) le soin de r é p o n d r e.
Si nous voulons « coller au plus près » avec le niveau moyen du candidat, si nous ne voulons pas imposer aux professeurs des E.N.I.A.M. un effort de dédoublement p o u r pénétrer l'esprit de l'enseignement des T. M. qu'ils n'ont p a r f o i s jamais assumé, et qui est p a r nature différent de celui des Arts et Métiers, nous devrons nous adresser à ceux qui connaissent le mieux ces candidats : leurs maîtres. Suivant, en cela, la méthode employée au baccalauréat, des sujets de concours A.M. seront proposés, sur demande, par quelques Centres, d'ailleurs variables selon l'année. P a r m i ces sujets, fixant ainsi un niveau acceptable, l'administration, le correcteur f u t u r font un choix et des modifications de détail qui leur semblent opportunes, le problème n'en res-tant pas moins ce qu'il doit être : accessible a la majorité. En dernier ressort le diagramme statistique dira s'il en était ainsi. Quant à la m a n i è r e de choisir une épreuve, de la bâtir, de la
juger u priori, il semble que la formule magique n'est pas encore trouvée; sait-on jamais, au sur-plus, quelles épouvantables complications le can-didat affolé n'ira-t-il pas découvrir sous la question d ' a p p a r e n c e la plus anodine ?
VI. — EPILOGUE
Quoi qu'il en soit, aurons-nous atteint le classement idéal, la perfection ? Assurément pas, et il serait vain de l'espérer. Mais peut-être y aura-t-il ainsi moins de bons éléments qui reste-r o n t à la poreste-rte tandis que des médiocreste-res se faufi-leraient à la faveur du désastre général. Et ces quelques suggestions", à la suite de beaucoup de critiques, ne sont encore qu'une faible lueur dans la pénible r e c h e r c h e du mieux; car nous savons tous fort bien que : « ... l'art est difficile. »
André MARTY,
Professeur agrégé à l'E.N.P. de Taries.
R E C T I F I C A T I O N
L'article paru clans le n" 3 sous le titre « Impressions de visite» annonçait, paye 10, la publication éche-lonnée des conférences prononcées lors de la Joumee pédagogique A l'Exposition internationale du Bois. En fait, cette publication a eu lieu dans ce me me n» .1
