Algèbre générale (complément pour 5/2)
Les exercices notés d’un obèle † sont de « grands classiques ».
Exercice 1 Soit a ∈ C∗et n ∈ N, n > 2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que les solutions de 1 + iz
1 − iz n
= ansoient toutes réelles. Exercice 2 †
Soit m et n dans N∗. Déterminer un polynôme unitaire P ∈ C[X] de degré maximal tel que P divise Xn−1 et Xm−1. Exercice 3 †
Déterminer les polynômes non constants P ∈ C[X] tels que P0divise P. Exercice 4
a) Montrer l’existence et l’unicité d’une famille de polynômes (Bn)n>0telle que pour tout n ∈ N, Xn= Bn(X)− Bn(X −1)
et Bn(0) = 0.
b) Vérifier que pour tout n > 1, B0n(X) = B
0
n(0) + nBn−1(X).
Exercice 5 Soient A, B, C ∈ C[X] tels que A + B = C. On suppose que A, B et C n’ont aucune racine commune et que l’un de ces trois polynômes est de degré strictement positif. On pose D = A0B − AB0.
a) Soit z une racine de ABC de multiplicité n. Montrer que z est racine de D de multiplicité au moins égale à n − 1. On note µ le nombre de racines distinctes de ABC.
b) Montrer que µ > deg A + deg B + deg C − deg D. c) Montrer que µ > maxdeg A, deg B, deg C. Exercice 6 † Soit n ∈ N∗, a0∈ R ∗ +et a1, . . . , an−1∈ R+. On pose P = Xn− n−1 X k=0 akXk.
a) Montrer que P possède une unique racine dans R∗+, que l’on note ρ. b) Soit z une racine complexe de P. Montrer que |z| 6 ρ.
c) Montrer que ρ 6 max(1, a0+ a1+ · · · + an−1).
d) Montrer que ρ 6 1 + max 06k6n−1ak.
Exercice 7
a) Soit n ∈ N. Montrer l’existence d’un unique polynôme Rntel que pour tout x ∈ R
∗ on ait Rn x +1 x = xn+ 1 xn.
b) Donner une expression de Rn(n’utilisant pas de relation de récurrence).
Exercice 8 Soit P ∈ R[X] un polynôme réel tel que pour tout x ∈ R, P(x) > 0. Montrer l’existence de deux polynômes rééls A et B tels que P = A2+ B2.
