Record Number:
Author, Monographic:
Bobée, B.//Morin, G.
Author Role:
Title, Monographic:
Extension de la loi Pearson III : le cas de l'asymétrie négative
Translated Title:
Reprint Status:
Edition:
Author, Subsidiary:
Author Role:
Place of Publication:
Québec
Publisher Name:
INRS-Eau
Date of Publication:
1972
Original Publication Date:
Volume Identification:
Extent of Work:
18
Packaging Method:
pages et 2 annexes
Series Editor:
Series Editor Role:
Series Title:
INRS-Eau, Rapport de recherche
Series Volume ID: 5
Location/URL:
ISBN:
2-89146-004-9
Notes:
Rapport annuel 1971-1972
Abstract:
15.00$
Call Number:
R000005
INRS-Eau
Université du Québec
C.P. 7500, Sainte-Foy
Québec G1V 4C7
RAPPORT SCIENTIFIQUE No 5
1972
Rapport rédigé pour
INRS-Eau
Extension de la loi Pearson
III:
le cas de l'asymétrie négative
par
SOMMAIRE
Extension de la loi Pearson III:
le cas de l'asymétrie négative.
Il est possible de définir une forme dérivée de la loi Pearson III
à
asy~
métrie négative. Les relations entre ces deux formes et entre leurs
sta~
tistiques d'ordre sont établies.
Les fonctions de distribution des statistiques d'ordre pour les deux
for~
mes sont calculées et tabulées.
Mots~clés:
Pearson III, asymétrie négative, statistiques d'ordre.
Bobée, B. et G. Morin. Extension de la loi Pearson III: le cas de
l'asy-métrie négative. Québec, INRS-Eau, 1972. Rapport technique no 5. 18 p. 2
annexes.
ABSTRACT
Extent of the Pearson III 1aw:
the case of negative skewness.
It is possible to define a derîved form of Pearson III 1aw with negative
skewness. The relations between the se two forms and between theirs order
statistics are estab1ished.
The distribution functions of the order statistics for the two forms are
ca1cu1ated.
Key words: Pearson III, negative skewness, order stat;stîcs.
Bobée, B. et G. Morin. Extension de la loi Pearson III: le cas de
l'asy~
métrie négative. Québec, INRS-Eau, 1972. Rapporttèchnîgueno 5. 18 p. 2
annexes.
TABLE DES MATIERES
Introduction
1.
Forme standardisée de la loi Pearson III
et ses caractéristiques
1.1
1.2
Fonction densité de probabilité
Fonction caractéristique
2.
Fonction standardisée de la loi Pearson III
à
asymétrie négative
3.
4.
2.1
Fonction densité de probabilité et
fonction cumulée
2.2
Relations entre les fonctions caractéristiques;
moments
Statistiques d'ordre
3.1
Généralités
3.2
Relation entre distributions cumulées des
événements ordonnés pour les
2
formes de loi
3.3
Construction graphique
Résultats
Annexe A:
Tables des statistiques d'ordre
Annexe B:
Programme de calcul
PAGE
1
1
3
4
5
6
8
8
9
11
14
Al
Bl
LISTE DES SYMBOLES
Cs
f
fa
F
Fa
h (Y
k
)
ha (Yk)
H (z, k)
Ha (z, k)
k
N
r
s
t
Yk
z
À
Coefficient d'asymétrie.
Densité de probabilité de Pearson III standardisée
à
asymétrie positive.
Densité de probabilité de Pearson III standardisée
à
asymétrie négative.
Fonction de distribution cumulée de Pearson III
stan-dardisée
à
asymétrie positive.
Fonction de distribution cumulée de Pearson III
stan-dardisée
à
asymétrie négative.
Densité de probabilité de la statistique d'ordre k de
Pearson III standardisée
à
asymétrie positive.
Densité de probabilité de la statistique d'ordre k de
Pearson III standardisée
à
asymétrie négative.
Fonction de distribution cumulée de la statistique d'ordre
k de Pearson III standardisée
à
asymétrie positive.
Fonction de distribution cumulée de la statistique d'ordre
k de Pearson III standardisée
à
asymétrie négative.
Rang des valeurs d'un échantillon.
Taille de l'échantillon.
Ordre des moments.
Paramètre de la fonction caractéristique.
Variable standardisée.
Statistique d'ordre k.
Variable de H et Ha'
Liste des symboles
(Suite}
llr
ll'
r
Moment centré d'ordre r.
r~oment
non centré d'ordre r.
Fonction caractéristique de Pearson
III
standardisée
à
asymétrie positive.
Fonction caractéristique de Pearson
III
standardisée
INTRODUCTION
La loi Pearson III est utilisée dans de nombreux domaines
et particulièrement en hydrologie. Cette loi peut prendre différentes
for-mes qui sont caractérisées par un coefficient d1asymétrie positif.
Cepen-dant il est possible de construire une forme dérivée de la loi Pearson III
qui elle a un coefficient d1asymétrie négatif.
L10bjet de ce travail est de montrer les relations entre
ses deux formes de loi pour leurs différentes caractéristiques. De plus,
les fonctions de distribution cumulées des statistiques d10rdre k sont
déterminées pour la loi Pearson III standardisée et pour la forme dérivée
a
coefficient d1asymétrie négatif et sont représentées en tableaux et
gra-phiques.
1.
FORME STANDARDISEE DE LA LOI PEARSON III
ET SES CARACTERISTIQUES
La table
1
donne les différentes formes de la loi Pearson III ainsi
que leurs caractéristiques. Cependant, nous nous intéressons ici
plus particulièrement
à
la forme standardisée (moyenne nulle,
variance
1),
toutes les autres formes sly ramènent.
f ( t)
=
Ke -
-v;t
(t
+
~)
À -
l
e-
À CV).)À
avec K
=
r{À)
(1)
À
>
0
Loi
Fonction, densité de probabilité
Caractéristiques
Moyenne
Variance
Coefficient (Cs)
~
0
2
d'asymétrie
Pearson III
À
-a(x-m) (x-m)À-l dx
m
~x
<
00À
À
2
/l[A
a
-
e
_+
m
-(3 paramètres)
r(À)
o
<
a
a
2
0<1.
a
Gamma
a
À
-au
uÀ- l du
o
~u
<
00À
À
2
/-yr--
e
-
-(2 paramètres)
r(À)
a
>
0
a
2
À
>
0
a
Gamma
1
-v
vÀ-l dv
o
<
v <
00À
À
2
/l.{À
-
e
À
>
0
(l paramètre)
r(À)
Forme
stan-K
e
-
Àt (t t-{î)À-l dt
-~<t<oo
2
/l{À
dardisée
e- À CV).,)À
À
>
0
0
1
K
=
r(À)
3
-L'intervalle de variation est
-~ ~ t
<
+
00Cette fonction ne
obtenu pour t
=
possède un mode que si
l
À
>
l, et le mode est
---~
Cette forme dépend du seul paramètre À qui est directement relié
au coefficient d'asymétrie, puisque Cs
=
Le coefficient d'asymétrie est le même pour toutes les formes de
loi considérées et il est toujours positif.
La fonction caractéristique
<P
(s) est définie par
1'00
<P
Cs}
=
l
e
ist
fCt} dt
=V;.
en effectuant le changement u
=
t
t~,
<P
(s) s'écrit
00
<p
(5)
=
K e -i s -...[).. e +À
J:
eU (is
-~)
u
À-l d
u
En intégrant et en remplaçant
K
par sa valeur en fonction de À
il vient:
<p
Cs}
=
e-iS~
(1
_~)
À
4
-Dans le développement en série de
~
(s), le coefficient de (is)r
donne le moment non centré d'ordre r, 11 ' .
r
En limitant le développement
à
l'ordre 3 on a:
~
(s)
=
l
- -
-2
2
1S
. 3
6-v-->.
+
---r!
La moyenne 111 est donc nulle et les moments centrés sont égaux
aux moments non centrés.
On a
11
2
=
var (t)
=
l
Le coefficient d'asymétrie est:
=
2.
FONCTION STANDARDISEE DE LA LOI PEARSON III
A ASYMETRIE NEGATIVE
Pour simplifier les notations nous mettons l'indice (a) pour la
fonction
à
asymétrie négative.
fonction cumulée
Considérons la fonction fa (t) définie par:
Jfa (t)
=
+
f (-t)
1
avec -
00<
t
<
1{)..
• f (t) est une fonction densité de probabilité
p~isque
a
f"'!:
fa
(t
l
dt • 1
· f (t) et f (t) sont des courbes représentatives
a
symétrique par rapport
à
l'axe des ordonnées.
5
-· Etablissons les relations entre les distributions cumulées
F et Fa
Fa (x)
=
Pr
(t ~
x)
=
loo
x
fa (t) dt
F
(x)
=~_~
f (t) dt
on peut écrire, puisque fa (t)
=
f (-t)
f (-t)
dt
=
l -
J-v>-
r
-x
f (u) du
6
-Donc:
Fa (x)
=
l - F (-x)
(4 )
- Cette relation permet de déterminer directement la probabilité
au non-dépassement d'une loi Pearson III
à
asymétrie négative,
à
partir des tables de la loi Pearson III
à
asymétrie positive.
- De même si on cherche Xo tel que Fa (xo)
=
P, on cherche
dans la table Pearson III
à
asymétrie positive Xl
tel que
F (Xl)
=
l - P et l 'on a Xo
= -
Xl.
2.2
Relations entre les fonctions
On a
{,+oo
cf> (s)
=
=V;
e
ist
f (t) dt
cf>a (s)
1~
e
ist
f
a
(t) dt
En utilisant la relation (3) et en faisant le changement u
= -
t
dans cf>a il vient:
J;
oo
cf>a (s)
=
-
À
e-
isu
f (u) du
=
cf> (-s)
Donc:
cf>a
(5) •
cf>
(-5)
(5)
7-<Pa (s)
e is-v;.
:
-(, +
~r
(6)
Or
peut en déduire les relations entre les moments des 2
distri-butions~
puisqu'ici les lois sont standardisées, les moments centrés
et non centrés sont les mêmes. La relation générale entre les moments
s'écrit:
(l)
Plus particulièrement la loi
à
asymétrie négative a:
-
une moyenne nulle;
-
une variance unité;
-
un coefficient d'asymétrie
La loi définie par fa Ct) peut donc bien être considérée comme
une forme dérivée avec un coefficient d'asymétrie négatif de la
loi Pearson III.
Remarque
On peut montrer que lorsque les 2 lois ne sont pas standardisées les
relations entre leurs moments sont:
- moments non centrés:
- moments centrés par rapport
8
-3.
STATISTIQUES D'ORDRE
3. l
Généra lités
Considérons un échantillon de N observations
xl' x
2' ---
x
n
'
par ordre chronologique, il est possible de classer ces valeurs
par ordre croissant, et l 'on obtient la série ordonnée:
Yl est la plus petite valeur
Y
n
est la plus grande valeur
On suppose que l'échantillon considéré est tiré d'une population
dont:
-
la densité de probabilité est f (x);
-
la fonction de distribution cumulée est F (x).
Kendall (1963) a montré que la fonction densité de probabilité de
l'événement ordonné
Y
k
est:
h ( )
N!
[F (Y
k
')] k-l
Yk
=
(k-l)
!
(N-k)!
C'est la densité que l'on obtiendrait si l 'on avait une infinité
de réalisations Y
k
de la variable aléatoire
Y
k
•
3,2
9
-1~:!~!!:~~:~~~:~!~~Q~~~~~~~~~~~~:~~~~~~~:~
de loi
1
- - - 1On considère deux échantililons de taille N tirés de la loi Pearson
III
standardisée
à
aSymét~ie
positive Cf, F) et la loi
standardi-sée
à
asymétrie négative ICfa' Fa}, les deux coefficients
d'asymé-trie étant opposés
[(CsJla
= -
Cs] ,
1
On désigne par
Xk 1
'évé~ement
d'ordre
k
relatif
à
la loi f et
1
par
Y
k
celui relatif
à
lia loi fa'
1Soient
h (X k)
et
ha
~Vk)
les densités de probabilité
de
Xk
et
V k;
i1
H (z, k)
et
HJ (z, k)
les fonctions de
dis-1
tribution cumulée de
X
k
et
V
k
,
On peut écrire:
_ _
N_!
-+-1 -
[F (X
k
)] k-1 [1 - F
(X
k
)] N-k f
(X
k
)
(k-l)
!
(N-k)!
.
1 1(8)
ha
(V
k
)
=
(k-l)
N!
!
(N-k)!
[F (V )]k-1 [1 - F (V )]N-k f
a
k
a
k
a
(V)
k
(9)
1z
H
(z,
k)
=
Pr [X k
~ ~)]
=f
h (X k) dX
k
(10)
J=r;
10
-Ha (z, k) •
Pr
[y
~
(z]
=
f
(11 )
1
En remplaçant dans (9) 'a (Y k) et fa (Yk) dlaprès les relations
(4)
et
(3)
puis report1nt dans (11) et faisant le changement de
variable u=-Xk,ona:1
1
1 .
+00
N~I
I[l
_F(u~k-1
[F(u)]N-kf(u) du
( k -
1)
!
1(N - k)
~
-z
1
Ha (z, k)
=
1
ou encore:
-z
Ha
(z,
k)
=
1 -
---+-!
_N_~
- - I f
[1 -
F(U)] k-1 [FCu}] N-k feu) du
(k 1)
(N-k}._~
Donc:
Ha
(z,
k)
=
1 - H
1-z,
N-k
+
1)
1
Cette formule est Symétriiue en k et N-k+1.
(12)
1
Cette relation permet de qéterminer les distributions cumulées des
événements ordonnés Y
k
Ik
=
1, N) de la loi Pearson
III
à
asymé-trie négative lorsqu Ion c nnaît les distributions cumulées des
évé-nements ordonnés X
k
(k
1, N) de la loi Pearson
III
classique
à
asymétrie positive.
(Li
N est le même pour les 2 lois, tandis
que les Cs sont opposés)
11
-Supposons tracées, pour un C
>
0
fixé et un N donné, l'ensemble
s
des courbes H (z, k) pour k
=
l, --- N et examinons comment
gra-phiquement on déduit l'ensemble des courbes Ha (z, k) pour le même
N et le Cs opposé.
Pour k fixé soit les points
{:: (zo'
k)
{H
(-zo'
N-ktl)
A
B
-z
0
D'après (12) on a:
Ha (zo' k)
+
H (-zo' N-k+l)
=
l
donc les points A et B sont symétriques par rapport
à
0 (.5; 0).
Si on connaît la distribution cumulée de X
N
-
ktl
on peut en déduire
par symétrie par rapport au point 0, la distribution cumulée de
Y
k
. En faisant varier k de 1
à
N on déduira l'ensemble des
distributions de Y
k
de celles de X
k
. (voir figures 1 et 2,
pour Cs
=
+1,
Cs
= -
1).
Lorsque le coefficient d'asymétrie devient nul, les distributions
f et fa deviennent égales et tendent vers la loi normale, la
relation (12) s'écrit alors:
2
-1
-2
,l
1 •• _-- .. -i
1 1 O,ulj .
1 _
. 1,
. Probobilité
1---
f·
1 l!
dépassement
au
12
-FIGURE
. .
d'ordre
Statistique
.•
m
star.dardlsee
Loi Pearson
~-+---=_.I
Cs
=
1.0
i
!
i
\
, 'J,J13
Z Variable standardisée
Probabilité ou non
dépassement
-5
1 -_·_-'---t -".__
:L
-6
"
,
P,~obabililé
ou dépassement
14
-H
(z,
k)
=
1 - H
(-z,
N-k+l)
où encore:
H
(z,
N-k+l)
=
1 - H
(-z,
k)
Pour construire ces courbes (fig. 3) il suffit alors de faire
va-rier k de 1
à
N si N est pair
2
de 1
à
2N
+
1
si N est impair
2
Les autres courbes se déduisent par symétrie par rapport au point
o
(.5, 0).
4.
RESULTATS
Pour chaque C
>
0
s
envisagé les valeurs
Cs • (0, 1.8) avec un pas de .1 nous avons
N
=
11,21,41,61,81,101. A chaque
cou-ple Cs' N correspond une série de courbes lorsque k varie. Les
calculs ont été effectués pour
;t ," -- f' :..o', ~ ,\..,': > +~'
f 'J', .~ •
15
-Probabilité au non dépassement
, \ 5 ? l ,'0; n.,! 01 t\r:S (' 'r , , 1 i . '
-'1'--;
_.~-... ""
~._. "'-~-,'--~-T--r-~- ----~--1. : i
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14
~
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j -
i
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-
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1-
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FIGURE
3
-
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r
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!T-'\i
J.~
['C
~=ti·;~:r:o::d;:ndardiséel
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L~'I~'':';T~
. " "
'j',-r:J'.
IL~::-:'1
3~~)=dtf~-1~1-;;'!' rL~~t.'
l
'--r-'
i
:.:.:..+-
'1--';-
Cs
=
O.
(Loi no.rmale)
._'
-'
.~
-'-:F,t=t:':':~I~=:'-'-:--=~'
' f
r
N
=
I O I - - L : : . . . : . : : :
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· · ' - i · ; , . _ - - .~dt~~c;+[~!~ri :tX~-I· ··.·I-·l···H·~~-cl·:I;~lu:i=~
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1
t
tJI.;
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l'-T--==;
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~-~-i
r=F':
.
-,=-~t=~~:;+_L-'--+---t--~4=·I-.-~-W.
-;
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. . 1 : ' , 'I! '
1l
I i i
l ,
"
:::":--=L~_b_jL'1-'
L
.l-.
+:
l i
1 __
::J_·=---I_
-4
,!. Probabilité au dépassement
16
-on obtient ainsi: 11 courbes pour chaque couple (Cs' N) et en
particulier les valeurs extrèmes k
=
l et k
=
N et la valeur
médiane.
Les résultats sont présentés sous forme de tables, (Annexe A),
pour chaque couple (N, Cs), la table donne pour un k fixé et
pour une probabilité au non dépassement connue la valeur de la
varia-ble standardisée.
Les tables correspondant aux coefficients d'asymétrie négatif
Cs
= -
0, - 1.8 avec un pas de .1 sont déduites des tables
a
coefficent d'asymétrie positif. (cf 3.3).
Le programme de calcul CINT (Annexe B) permet le calcul des
va-leurs des variables standardisées pour d'autres vava-leurs de Cs' N, k.
Nous avons tracé les courbes de statistiques d'ordre uniquement pour
les cas Cs
=
0, Cs·
+
l, Cs· - 1. (Fig. 1,2,3).
CONCLUSION
Ce travail montre qu'il est possible de dériver les
proprié-tés d'une loi Pearson III
à
coefficient d'asymétrie négatif, on obtient ainsi
de nouvelles formes de la loi Pearson III qui peuvent rendre compte de
résul-tats expérimentaux.
17
-De plus, la connaissance des distributions cumulées des
statistiques d'ordre pour la loi Pearson III standardisée
à
asymétrie
po-sitive et sa forme dérivée
à
asymétrie négative est intéressante pour
1 'étude des événements ordonnés d'un échantillon et plus particulièrement
pour les valeurs extrèmes et la valeur médiane.
REMERCIEMENTS
Les auteurs tiennent
à
remercier Messieurs André Parent et
Jean-Marie Beaulieu pour leur assistance technique ainsi que Mademoiselle
Danielle Plante pour le travail de secrétariat tout au long de cette étude.
18
-REFERENCE BIBLIOGRAPHIQUE
KENDALL, M. et STUART, A.
(1963)
The Advanced Theory of Statistics V.1
ch. 14, Charles Griffin, London.
ANNEXE A
TABLE DES STATISTIQUES D'ORDRE:
Cs
=
±
(0; 1.8)
avec un pas de . l
N
=
11, 21, 41, 61, 81, 101
k
=
i(N~Ol)
+
l
avec i
=
0,
l,
10
Ces tables donnent la valeur de la statistique d'ordre k de la
loi Pearson III standardisée pour une probabilité au non
dépasse-ment fixée P
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