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Malika Remaki
To cite this version:
Malika Remaki.
Méthodes numériques pour les équations de Maxwell instationnaires en milieu
pour l'obtention du dipl^ome de
DOCTEUR
DE L'
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET
CHAUSS EES
Specialite
Mathematiques Appliquees
presentee par: Malika Remaki Sujet de la these: M ETHODES NUM
ERIQUES POUR LES
EQUATIONS DE MAXWELL
INSTATIONNAIRES EN MILIEU
H ET EROG ENE
Soutenue le 08decembre 1999 devantle jury compose de: Directeur de these: Loula Fezoui
President: Frederic Poupaud
Rapporteurs: Thierry Gallouet Olivier Pironneau
Examinateurs: Armel De La Bourdonnaye Isabelle Terrasse
etson devouement sans egal.
A ma mere
poursesencouragements et son aection.
Et enn,a tous mes freres etsoeurs.
Je tiens tout d'abord a exprimer mes plus chaleureux remerciements amadame Loula Fezoui qui m'a propose ce sujetde these et m'a accompagnetout aulong de sa realisation avec beacoup d'int^eret etde disponibilite.
Jevoudraisegalement remercier monsieur Armel de la Bourdonnaye de m'avoir ac-ceuillidanssonprojet,etpourtouteslesdiscussionsconstructivessurl'electromagnetisme.
Jetiens apresenter toutema gratitude a monsieurFrederic Poupaudpour son aide scientique. Je voudrais aussi remercier Natahlie Olivier-Glinsky pour ses conseils tresconstructifs aussi bien sur le plan scientique qu'humain.
Je remercie Serge Piperno d'avoir repondu a mes questions avec beaucoup de dis-ponibiliteet de gentillesse.
Je remercie monsieur Olivier Pironneau et monsieur Thierry Gallouet d'avoir ac-cepte la lourde t^ache d'^etre les rapporteurs, et je remercie egalement les autres membres du jury.
Jevoudraisegalementremercier mafamille, quimalgrel'eloignementgeographique, m'a toujours apporte son soutien.
Je tiens egalement a exprimer toute mon amitie a toute l'equipe du CERMICS (anciens et nouveaux), sans oublier labande du tennis et des soirees bowling.
naires en milieuheterogene
Resume
Lapremierepartiedecetravailestconsacreealademonstrationd'untheoremed'existence etd'unicite de la solution du systeme de Maxwell dans le cas general, ou les coeÆcients sont destenseurssymetriques denispositifs,qui dependent d'unefacon non reguliere de lavariabled'espace.Danscesconditions, lemilieudepropagationpourrait^etreaussibien isotrope qu'anistrope.Danslasecondepartie,nousnoussommesinteressesal'etudeetau developpementde plusieursmethodesnumeriquesdansun domaineisotropeou les coeÆ-cients peuvent ^etre discontinus;nous avons etudi e deuxmethodes de typevolumes nis, une basee sur un calcul de ux decentres, et l'autre basee sur un calcul de ux centres. Nousavonsegalement adapte unemethode d'elements nisdite Galerkin Discontinue, et ennunemethode hybridevolumesnis/ dierencesniesavec uneetudede stabilite de cette derniere. Pour desraisons geometriques, nous avons chosi les elements du maillage commevolumesd'integration. Denombreusesvalidationsetcomparaisonsnumeriquesont montrequeces methodessontbienadapteesau casheterogene. Neanmoins,il sembleque lamethode volumes nisavec uxcentresetunediscretisation temporellede type saute-mouton est la plus optimale en terme de compromis entre la qualite des resultats et le co^ut en tempsde calcul.
Motscles: electromagnetisme-existence-unicite-volumesnis-GalerkinDiscontinue - hybride - stabilite.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|-Title: NumericalMethods forSolving Maxwell's Equations in Heterogeneous Media
Abstract
The rst part of this work is devoted to the derivation of the existence and uniqueness of the solution of Maxwell's system when the parmeability and the permittivity matrix belong to L
1
are symetric, positive denite. In the second part, we develop and study several numerical methods for Maxwell's system in isotropic and heterogeneous media; we developed two types of nite volume methods, the rst one is based on an upwind schemeinspacediscretization,andthesecondoneisbasedonacentered uxformula.We have also extend a nite element method called Discontinuous Galerkin method to solve our problem, and lastly we construct a hybrid nite volume / nite dierence scheme and a stability analysis ispresented. Several numericalexperimentsand comparisons are performed,andwededucethatthesemethodsarewellsuitedforsolvingMaxwell'ssystem
and leapfrog scheme for timediscretization seems to be themost appropriatemethodto obtain thebetter compromisebetweenthequalityof thesolution and theCPU time. key words: electromagnetism- existence - uniqueness - nite volumes - Discontinuous Galerkin - hybrid- stability.
Table des matieres
1 Introduction generale 11
2 Aspects mathematiquesdes equations de Maxwell 17
2.1 Le systeme deMaxwell . . . 18
2.2 Existence etunicite des solutionsdusysteme de Maxwell pourdes milieux heterogenes non reguliers . . . 19
2.2.1 Introduction . . . 19
2.2.2 Problemesauxlimites etresultats . . . 20
2.2.3 Theoreme d'existenceetd'unicite. . . 26
2.2.4 Remarque . . . 33
2.2.5 Conclusion . . . 35
2.3 Milieu isotrope . . . 35
2.3.1 Formulationconservativeet hyperbolicite . . . 35
2.3.2 Unites etadimensionnement. . . 36
3 Comparaison de deux methodes de volumes nis en milieu homogene 39 3.1 Introduction. . . 40
3.1.1 Ondeselectromagnetiquesen deux dimensionsd'espace . . . 41
3.2 Approximationnumerique . . . 42
3.2.1 Presentation desdeux methodesde volumes nis . . . 42
3.2.2 Formulationfaibleet ux decentre d'ordreun . . . 44
3.2.3 Schemasd'ordre superieur . . . 46
3.2.4 Traitement desconditions auxlimites . . . 49
3.2.5 Integration en temps . . . 52
3.3 Experiences numeriques . . . 53
3.3.1 Evolutiond'un mode dansunecavite carree . . . 53
3.5 Annexe1 . . . 64
3.5.1 Cas scalaire . . . 64
3.5.2 Cas dessystemes . . . 67
4 Un schema volumes nis decentre en milieuheterogene 71 4.1 Introduction . . . 72
4.2 Approximationnumerique . . . 73
4.2.1 Le schema de Godunov d'ordreun . . . 73
4.2.2 Les schemasd'ordresuperieur . . . 75
4.3 Deux methodesde calculdu gradient . . . 76
4.4 Resultatsnumeriques. . . 80
4.4.1 Simulation d'unpulse . . . 80
4.4.2 La diraction d'onde surun materiau rev^etu . . . 82
4.4.3 Le courant sourcesurfacique . . . 84
4.5 Conclusion . . . 88
4.6 Annexe2 . . . 89
5 La methode Galerkin Discontinue 91 5.1 Introduction. . . 92
5.2 Le probleme aetudier . . . 93
5.3 Approximationnumerique . . . 94
5.3.1 Discretisation en espace . . . 94
5.3.2 Approximationen temps. . . 98
5.3.3 Stabilite duschema . . . 98
5.4 Experiences numeriques . . . 98
5.4.1 Propagation d'ondes dansunmilieuhomogene . . . 98
5.4.2 Propagation d'ondes dansunmilieuheterogene . . . 104
5.5 ComparaisondelamethodeGalerkinDiscontinuavecunemethodevolumes nis . . . 108
5.5.1 Comparaisondes deuxmethodes . . . 108
5.5.2 Le bilan d'energie . . . 112
5.6 Conclusion . . . 117
6 Unnouveauschema volumesnispourlaresolutiondusystemede Max-well 119 6.1 Introduction. . . 120
6.2.2 Analyse du schema numerique . . . 122
6.3 Experiences numeriques . . . 131
6.3.1 Evolutiond'un mode deresonance . . . 132
6.3.2 Un guide d'onde . . . 135
6.3.3 Propagation d'un pulse . . . 137
6.3.4 Un probleme de diraction . . . 137
6.3.5 Comparaison avec uneautremethode volumes nis . . . 139
6.3.6 Comparaison avec unemethodede dierences nies . . . 139
6.3.7 Analyse de ladivergence . . . 140
6.4 Conclusion . . . 144
7 Un schema hybride volumes nis/ dierences nies 145 7.1 Introduction. . . 146
7.2 Descriptiondes schemasutilises danslecouplage . . . 147
7.2.1 Le schemaaux dierencesnies . . . 148
7.3 Constructiond'un schema hybride danslecas monodimensionnel . . . 149
7.3.1 Denition desdeuxschemas. . . 149
7.3.2 Le schemade Yee (Dierences Finies) . . . 150
7.3.3 Valeur duchamp al'interface . . . 150
7.3.4 Le schema volumes nis. . . 150
7.3.5 Conditions aux limites . . . 151
7.4 Le schema hybride . . . 151
7.5 Stabilite dumodelehybridedansle casmonodimensionnel . . . 152
7.5.1 Proposition . . . 152
7.5.2 Denition d'uneenergie surtoutle domaine . . . 152
7.5.3 Variation de l'energie totale . . . 154
7.6 Le modelehybridedansle castridimensionnel . . . 155
7.6.1 Schema de Yee danslecas 3-D . . . 156
7.6.2 Schema volumes nis danslecas3-D . . . 158
7.6.3 Valeur duchamp al'interface danslecas 3-D . . . 159
7.7 Experiences numeriques . . . 165
7.8 Conclusion . . . 168
Chapitre 1
surfacedel'eau.Parlasuite,cettenotions'estegalementappliqueead'autresphenomenes physiques, tel que le son, les ondes de compression et d'oscillation comme les ondes sis-miques,etl'exemplequinousinteresseiciestceluidelapropagationdesondeselectromagnetiques comme la lumiere dans un milieu qui n'est pas necessairement le vide. La modelisation mathematiquedecesphenomenesaconnuuneevolutionimportantedepuislesrepresentations geometriques de Christiaan Huygens dans son traite de la lumiere (1690), jusqu'aux equationsauxderivees partielles de Maxwell (1873), ce modelea rajoute ladimensionen tempsparrapportases predecesseurs.
L'electromagnetisme porte sur la notion de champ electromagnetique qui est denie a l'aide de deux vecteurs E et B appeles respectivement champ electrique et induction magnetique.Ainsi, la force (dite force de Lorentz) qui s'exerce sur unecharge q, de vi-tessevest donnee par
!
F =q(E+vB).
La propagation du champ electrique dans un materiau tel qu'un dielectrique est ca-racterisee par la creation d'un autre champ qui vient s'ajouter au champ applique au depart. On dit que le milieuse polarise. Ce champ est appele polarisation du milieu, on lenoteparP. Onintroduit unnouveau champ D appele ledeplacement electrique deni par: D=" 0 E+P; ou la quantite " 0
est appelee la permittivite du vide. Dans le casde presence de charges electriques, de densite volumique , on a la loi dite de Gauss suivante: "
o
divE =. On distinguedeuxdistributions de charges,l'uneexterieure etl'autre interieure:
= ex
+ in
:
Dans le cas de neutralite globale, on a la propriete suivante: divP = in
, ce qui nous donneunerelation entrele deplacementelectrique etlachargeexterieure:
divD= ex
:
La loi de conservation de la charge est donnee par: @ @t = divJ, et en particulier @ ex @t = divJ ex . Ou J (respectivement J ex
) represente le courant electrique (courant electriqueexterieur) dumilieu.Lesmilieuxditslineairessont caracterisesparunerelation lineaire entre lapolarisation volumique Petle champ electrique E; P="
0
E.Ou , appele susceptibilite dielectrique, ne dependpas deE.
objets ainsi consideres sont de l'ordre de grandeur des longueurs d'onde. Nous devons considerer divers points essentiels dans la resolution du systeme de Maxwell, dont la re-cherche de schemas robustes qui permettent d'obtenir des solutions tres precises, et qui tiennent compte de la geometrie du domaine de calcul qui pourrait ^etre tres complexe. Nous avons egalement a tenir compte des conditions de saut des champs a travers les interfaces des materiaux composant le milieu, et le traitement des courants electriques. Pourresoudre numeriquement lesysteme dans cesconditions, nous proposons dierentes methodes numeriques; des methodesvolumes nis,une methode d'elements nis, etune methode hybridevolumes nis/dierences nies.L'avantage de ces methodesest leur ca-pacite a tenircomptedespoints cites ci-dessus.
Methodes numeriques pour l'electromagnetisme
Nous resumons ici les dierentes methodes numeriques utilisees dans la litterature pour resoudre les equations de Maxwell. Nous distinguons tout d'abord deux types de problemes:les problemes temporelsou le temps est considere comme unevariable, c'est ce qu'on appelle les problemes d'evolution ou transitoires,et les problemes en frequence, ouletempsn'intervient queparl'intermediaire delafrequencedelasource(donccomme parametre),ainsilasolutionrechercheeestenfonctiondesvariablesenespaceetperiodique en temps,ce sont dessolutionsharmoniquesentemps.Lamodelisationmathematiquede ces deux types de problemes est tresdierente, et le passaged'un modele a l'autre n'est pas toujoursfacile a justier, notamment dans le cas ou les coeÆcients sont discontinus. Par consequent on distingue deux familles de methodes numeriques adaptees a chaque modele:
Methodes numeriques pour les problemes frequentiels:
Nous avons parmi les methodes numeriques pour les problemes en frequence, des methodes de decomposition de domaine,ou l'idee de base est de decomposer le domaine de calculen sous-domainesdisjoints, et de resoudredessous problemessurchacunde ces sous-domaines. La jonction entre les interfaces des sous-domaines se fait d'une maniere iterative. Cesmethodes permettent de resoudre par exemple l'equation de Helmholtz en milieuheterogene [4].
Nousavonsegalement unemethodede typeequationsintegrales quiapourbutd'etendre les equations integrales classiques qui ont ete developpees pour resoudre des problemes de diraction par des obstacles re echissants au cas d'obstacles absorbants. Ceci se fait
diraction est presque creuse dansle sens ou certains termesde lamatrice sont elimines carils sont negligeables parrapportauxautres [35 ].
Methodes numeriques pour les problemes temporels:
Il existedanslalitterature desmethodesd'elements nisd'ordreeleve avec condensa-tiondemasse.Cesmethodessontadapteesauxproblemesoulerapportentrel'objetetudie etlalongueurd'ondeesttresgrand[34 ].Nousavonsegalement lamethodeauxdierences niesdeveloppee parK.S.Yee [83 ], quiest basee sur unschema decale en tempset en es-pace. Cette derniere a l'avantage d'^etre peu co^uteuse etfacile a implementer, neanmoins elle presentede serieuses limitesquant ason applicationa desgeometries complexes.
Parmi les methodestemporelles qui nous interessent ici, nous avons les methodes de vo-lumesnis.L'attrait principalde cesdernieres pourresoudrenumeriquement unsysteme conservatif est leur grande tolerance vis-a-vis de la regularite du maillage et/ou des pa-rametresdecalcul(discontinuitedescoeÆcientset/oudelasolution).Apriori,lemaillage pourrait ^etre quelconque:de typeelement ni conformeou non, mono-element (maillage triangulaireen2-Dparexemple)oumulti-elements(maillagehybrideavec destriangleset desquadrangles).Desresultatsencourageantsontete obtenusdepuisl'introductiondeces methodes au calcul numerique en electromagnetisme [76 , 19 ]. Cependant la denition du volume de contr^ole la plus utilisee est le polygone centre au noeud, ce qui rend l'independance de lamethode vis-a-vis du maillage toute relative. En particulier, le cal-cul des gradients (qui est parfois necessaire pour monter en precision) devient lourd et co^uteux dans le cas de maillages hybrides et la methode n'est plus adaptee (m^eme sans calcul de gradients) dans le cas de systemes lineaires a coeÆcients discontinus (cas des equationsde Maxwellenmilieulineaire heterogene). Unautrechoixde volumesnisaete presente par J.Durlofsky, S.Osher et B.Engquist [41 ] dans le cadre de la dynamique des uides.Cechoixaetemotiveparunemeilleurepriseencomptedesconditionsauxlimites. Nous avons adopte ce choix pourresoudre lesequations de Maxwell. Nous nous sommes interessesa deuxtypesde methodesde volumes nis,l'unebasee sur unschema decentre en espace, et une discretisation de type Runge-Kutta en temps (ce qui permet d'obte-nir desschemas d'ordreeleve). Cette methode permet de tenircompte desconditions de transmissionentredeuxmilieuxdierentsenpassant parunschema deGodunovpourles calculs de uxnumeriques, et de bien traiter les problemes avec des sources de courants surfaciques (lineiques dans lecas bidimensionnel).Nouspouvonsegalement appliquerun bon procede pour le calcul des gradients sans alterer la robustesse de la methode dans
et un schema de type saute-mouton en temps, son avantage est son co^ut relativement faible compare aux autres methodes volumes nis, et ce schema respecte egalement la nature heterogene du probleme. Une autre methode qu'on appelle methode de Galerkin Discontinue nousparait bien adaptee a la resolution du systeme de Maxwell dans le cas heterogene. Cette methode a ete developpee en particulier pourla mecanique des uides [32 ] par B.Cockburn et C.W.Shu, et nous l'avons adapte au systeme de Maxwell [71 ]. C'est une methode d'elements nis qui est basee sur un choix de bases locales qui nous permetd'obtenirunematricedemasselocalefacileainverser(sanspasserpardesprocedes numeriques). Le caractere local de la methode donne lieu a un calcul de ux numerique entreleselementsd'integration oules fonctionsde basessont denies.Pource faire,nous avonsutilise un solveur deRiemann exact.
Parmi les methodes les plus recentes se trouvent les methodes hybrides. Ce sont des schemas qui combinent deux methodes an d'avoir un rapport qualite/prix interessant. Nousetudionsicilesmethodesquicombinentdesschemasvolumesnisetdesschemasaux dierences. Ceci permet de resoudrele probleme danslapartie complexede la geometrie avec unemethode volumes nis,etdanslapartie laplus reguliere avec unemethode aux dierences niesen l'occurence le schema de Yee [83 ]. Des methodes de ce type ont ete developpees recemment (voir [84 ] et [85 ] par exemple).En general, tousces schemas font appelaunegrille dualepourlapartienon structuree ce quicomplique laconstructionde maillages entroisdimensions. Nousproposonsd'utiliser iciunemethodede typevolumes nis ou tous les champs sont calcules aux m^emes points. Cette formulation nous parait mieuxadapteepourresoudredesproblemesdansdesmilieuxheterogenes touten relaxant lacontrainte surlemaillage.Nousutilisons pourladiscretisation spatialedes uxcentres qui nous permettent d'obtenirun schema peu diusif. La discretisation en temps est ob-tenue parun schema saute-mouton.
Le plande cette these est organise comme suit:
Dans le deuxieme chapitre, on presente les equations de Maxwell, ainsi que la formu-lationconservative de cette derniere. Ondetailleegalement les aspectsmathematiquesde cesequations, dont unedemonstrationde l'existence etde l'unicite de lasolution dansle casgeneral. Cette demonstrationest basee sur letheoreme de Hille-Yosida.
Auchapitretrois,nouspresentonsunecomparaisonqualitativeetquantitative entredeux methodesdevolumesnis,danslevide.Ladierence entrecesdeuxmethodesresidedans le choix du volume de contr^ole, ou le volume d'integration. On verra que ce choix est
notrechoix pourunemethodevolumesnisoutouslesdegresdelibertesontlocalisesaux centres des elements du maillage, on appelera cette methode, la methode volumes nis centres-elements. Nouspresentonsegalementdesresultatssurlaconvergencedesschemas volumes nisobtenusparplusieursauteurs dont [43 ], [80 ],[51 ], et[65 ].
Dans le chapitre quatre, on presente l'extension de la methode volumes nis centr es-elements au cas heterogene, nous appliquons un schema en espace qui tient compte du caractere heterogene du milieu, etune formulationspecique du calculdu gradient de la solution parvolumede contr^ole, an d'obtenirunschemad'ordreeleve.
Le chapitre cinq expose une methode d'elements nis dite Galerkin Discontinue, pour la resolution du systeme de Maxwell dans le cas heterogene. Cette methode a la ca-racteristique d'^etre locale, etceci gr^ace a un choix de base locale. Lessolutions obtenues sont discontinues en espace, etrespectent les conditions de saut.Nous comparonsles so-lutions obtenues parcette methode etcelles obtenues parune methode volumes nis,du pointde vue qualitatif etquantitatif.
Danslesixiemechapitre,nouspresentonsunenouvelleformulationdelamethodevolumes nisbasee surun calculde uxcentreset unschemasaute-mouton pourladiscretisation en temps. Cette methode est facile a implementer et semble la mieux adaptee pour un couplageavec unemethode auxdierences nies.
Leseptieme chapitre estconsacrea l'etuded'un schemahybridevolumes nis/dierences niescombinant leschema volumes nis cite au chapitre sixet leschema de Yee [83].Ce schemapresentel'avantage d'^etrepeuco^uteux,etpermetderesoudredesproblemesavec desgeometries complexes.
Chapitre 2
Aspects mathematiques des
equations de Maxwell
Ce chapitre est une version plus etendue d'une note au C.R.A.S realisee en collaboration avec Frederic Poupaud
1
et intitulee \Exis-tence et unicite des solutions du systemede Maxwell pour des milieux heterogenes non reguliers".
Lapropagationd'ondeselectromagnetiquesendomainetemporelestgouverneeparles equationsde Maxwell qui s'ecrivent:
8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : @B @t + rot(E) =0; @D @t rot(H) = j; div(D) =; div(B) =0; (2.1)
ou B et H designent respectivement l'induction et le champ magnetiques et D et E, le deplacement et lechampelectriques. Lesdensitesde charge etde courant j sont reliees parlaloi de conservation:
@ @t
+ div(j) =0:
Cetteloisededuitaisement de(2.1),en prenantladivergencede ladeuxiemeequation et en lacombinant avec latroisieme.
Lois constitutives
Les inductions et les champs sont relies par des lois constitutives qui s'ecrivent pour desmilieux lineaires:
8 > > > > > < > > > > > : B i = j=3 X j=1 ij H j ; D i = j=3 X j=1 " ij E j ; (2.2) ou D i
et Bi representents les composantes du champ electromagnetique. " = (" ij
) et =( ) sontdes matrices33 deniespositives.
2.2 Existence et unicite des solutions du systeme
de Maxwell pour des milieux heterogenes non
reguliers
2.2.1 Introduction
Laplupartdesproblemesdelaphysiquemathematiquesontmodelisespardesequations auxderiveespartielles. Parexempleles phenomeneselectromagnetiques sont regis parles equations (ou le systeme) de Maxwell. Le modele le plus general est celui ou les coef-cients du systeme, qui representent les indices du milieu de la propagation de l'onde electromagnetique,sontdestenseurssymetriquesquidependentd'unefacon nonreguliere delavariabled'espace.Nousproposonsdedemontrerl'existenceetl'unicite delasolution decesysteme,enconsiderantdeuxtypesdeconditionsauxlimites,lapremiereestdetype metallique (cas de metal parfait), et la deuxieme est de type absorbant pour modeliser le bord inni. Nous sommes amenes a etudier les proprietes d'un operateur dierentiel dontnousnousservironspourappliqueruntheoreme d'existenceetd'unicitede solutions de problemes d'evolution (theoreme de Hille-Yosida [14]). Le systeme de Maxwell peut s'ecrire souslaformed'un probleme d'evolution du premierordre:
dU dt
+AU =0:
Dufaitquelestenseurssont symetriques etbornes,l'operateur Apresentedesproprietes de monotonie (on peutegalement dire que A est accretif), il est de plus maximal. Nous verronsen detailladenitiondecesproprietesetleurinter^etdanslademonstration.Nous nous interessons au cas general qui nous permet de considerer la propagation des ondes dansun milieuqui peut^etre aussibienisotrope qu'anisotrope.Lesconditionsauxlimites considerees sont une condition metallique et unecondition absorbante, cette derniere est uneapproximation duchamp al'inni. Danslecas oules coeÆcients sont reguliers, nous disposonsdeplusieursresultatsd'existenceetd'unicitede solutionsdesproblemes hyper-boliques.NouspouvonscitericilestravauxdeH.BarucqetB.Hanouzet[2 ]concernantles problemesd'electromagnetismedupremierordreetdusecondordre.Nousavonsegalement lesresultatsd'existenceetd'unicitepourlessystemesdeFriedrickssymetrisables[7]. L'uni-cite des solutions des systemes hyperboliqueslineaires a coeÆcients non reguliers est un probleme diÆcile et largement ouvert. Dans le cas le plus simple, celui d'une equation du premier ordre, on dispose de la theorie des solutions renormalisees de R. Diperna et P.L.Lions[40 ].Elle requiertquelescoeÆcientsappartiennent al'espace deSobolev W
1;1
(plusprecisement verient uneborne Lipshitzienne parau dessus) on a aussi unebonne theorie (voir [67 ]),gr^aceaux caracteristiques de Filippov [45 ].Enn, uneetude pratique-mentexhaustiveducas1Dsetrouvedans[12 ] avec unetheorie desolutionsendualite.La complexite de lasituation pouruneequation laisse peu d'espoir de traiter le cas general dessystemes.
Il existe cependant des exceptions notables.Il est alorstres classique d'avoir existence et unicite de lasolution de l'equation de l'acoustiqueou desondes:
(x) @ 2 @t 2 u div c(x):ru=0; (2.3)
pourleproblemedeCauchyquandlescoeÆcientsetcsontuniquementbornesetminores par des constantes positives [7 ]. Remarquons que cette equation peut se mettre sous la formed'unsystemedu premierordre.
L'objectif dece travail est de montrer quele systeme de Maxwell
@ @t B+rot(" 1 (x)D)=0 ; t>0;x2IR 3 @ @t D rot( 1 (x)B)=0; t>0;x2IR 3 (2.4)
estessentiellementdem^emenaturepourdesmatricesdepermittivite"(x)etdepermeabilite (x)symetriquesdeniespositivesmajorees et minorees. Ilest important de noterque le systeme de Maxwell est une version vectorielle de (2.3), mais ne peut pas se ramener a uneequation dusecond ordre.
2.2.2 Problemes aux limites et resultats
Soit un ouvert nonnecessairement borne deIR 3
declasse C 2
et defrontiere bornee = 1 [ 2 , ou 1 et 2
sont deux ouverts disjoints de . On note n(x) la normale exterieure en x2 .Oncherche dessolutions
B,D2C 0 ([0;+1[;(L 2 ()) 3 )de (2.4)qui verient B(0;x)=B 0 (x); D(0;x)=D 0 (x) pp x2: (2.5) n(x)^(" 1 D(t;x))=0; t>0;x2 1 (2.6)
(Condition deconducteur parfait).
n(x)^(" 1 D(t;x))+Zn(x)^(n(x)^( 1 B(t;x)))=0; t>0;x2 2 (2.7)
Hypotheses
On supposeque 2
est lafrontiere delimitant localement un milieu homogeneet iso-trope ( et " sont des constantes dans le voisinage de
2
). Par consequent, l'impedance Z =
q :"
1
est un scalaireconstant au voisinage de 2
.On faitl'hypothese queles ma-trices"et2(L
1 ())
33
sont symetriquesdeniespositivespourpresque toutx2et que
9 >0; >0;
IdId IdId ppx2:
(2.8)
Cesinegalites sont considerees danslesens suivant:
8:jj 2 : jj 2 : 8:jj 2 :jj 2 :
Les inductions et les champs sont relies par des lois constitutives qui sont donnees pour desmilieuxlineairesetanisotropesparlesequations (2.2).Avantdedenirprecisementce qu'onentendparsolution duproblemeconstitue desequations(2.4), (2.5), (2.6),et(2.7) etnote (M)danslasuite, rappelons ladenition dutheoreme de Hille-Yosida concernant l'existenceetl'unicite desolutionsdesproblemesd'evolution, etquelquesresultatssurles tracesdes fonctionsH(rot ;).
2.2.2.1 Denitions
SoitHunespacedeHilbert,etunoperateurA:D(A)H !Hlineairenon-borne. . Onditque A estmonotone si:
(Av;v)0 8v2D(A)
A estmaximalmonotone side plus,on a: 8f 2H; 9U 2D(A) telque:
U +AU =f: . SoitA :D(A )H 0 !H 0
l'adjoint de A,on a larelation suivante:
(v;Au) H 0 ;H =(A v;u) H 0 ;H ;8u2D(A) ; 8v2D(A ) : 0
Lemme 1
A est maximal monotone si seulement si A est ferme, D(A) est dense, A et l'adjoint de A note A
sont monotones.
Danslesouci d'^etrecomplet,nousdonnonslademonstrationdu lemmequiest laissee en exercicedans[14 ].
Demonstration du lemme 1
Montronsd'abordl'implication:
a)A maximalmonotone ) Aferme,D(A) dense,A et A
monotones.
Soitunesuiteu n
2D(A)quiconvergeversu2H,etAu n
convergeversf dansH.Ilfaut montrerque(u;f)appartientaugraphedeA.Notonsd'abordquelenoyauN(I+A)=f0g. En eet pour u 2 D(A) telle que u+Au= 0, on deduit en la multipliant par u, et en tenantcomptedelamonotoniedeA,queu=0.parailleurs,nousavonsu
n +Au
n
!u+f dansH, etgr^ace aufait queI+A est bijectif, nouspouvonsecrire:
u n =(I+A) 1 (u n +Au n )!(I+A) 1 (u+f):
Onobtient parpassagea lalimite:
u=(I+A) 1
(u+f):
Cequi impliqueque u2D(A) et Au=f,etparconsequent A est ferme. Pour montrer que D(A) est dense dans H, il suÆt de voir que pour toute fonction f 2 H telle que <f;u>=0 8u2D(A) ,alors f =0.En eet, ilexiste v2D(A) telque v+Av=f,et nousavons en particulier <f;v >=0 ce qui implique<v;v >+<Av;v >=0, et gr^ace
ala monotoniede l'operateur A,on obtient v=0 ce qui donnef =0.Il restea montrer que A
est monotone;soit v 2D(A
). CommeA est monotone maximal, l'application: (I+A) est bijective de D(A) sur H pour tout > 0 (pour la preuve, voir H. Brezis [14 ]). La resolvante J =(I+A) 1 verie: lim !0 J v=v; 8v 2H: Posons u =J v 2D(A) ,on a: <A v;v >=lim !0 <A v;J v>= lim !0 <A v;u >: = lim !0 <v;Au >: = lim !0 <(I+A)u ;Au >: = lim <u ;Au >+lim<Au ;Au > 0;
carA estmonotone,et >0.Celaprouve lamonotoniede A
.
Montronsmaintenant l'implication suivante: b)A ferme,D(A) dense,A etA
monotones ) Amaximalmonotone.
Il suÆt de montrer que l'image R(I+A) = H. Montrons d'abord que R(I+A) est dense dansH. Soit g2Htel que<g;f >=0 8f 2R(I+A), montronsque g=0.Ceci impliqueque8u2D(A) ,
<g;u+Au>=0 ;
etdonc
<g;Au>=< g;u>;
ce qui impliqueque g2D(A
) etA
g= g.CommeA
estmonotone,nous avons:
kgk 2
=<g;g >=<g; A
g>0 :
Nousobtenonsainsig=0,cequiprouve ladensite deR(I+A)dansH. Soitmaintenant f 2H, 9f n =u n +Au n 2R(I+A); u n 2D(A) ; f n !f dans H: Onobtient alors: 8n;m; ku n u m k 2 +<A(u n u m );u n u m >=<f n f m ;u n u m >:
Celaimpliquegr^acea lamonotoniedeA:
ku n u m kkf n f m k: u n
donc estunesuite de cauchy,etpar consequent Au n
=f n
u n
est aussiunesuitede cauchy.
CommeA estferme,onobtient:
u n !u2D(A) ; Au n !Au;
ce qui nousdonne:
f =lim n f n =lim n (u n +Au n )=u+Au 2R(I+A) :
2.2.2.2 Rappels
Theoreme de Hille-Yosida
Soit A un operateur maximal monotone dans un espace de Hilbert H. Alors pour tout U
0
2D(A), il existe une unique fonction U2C 1 ([0;+1);H)\C 0 ([0;+1);D(A)), solution de: 8 > < > : dU dt +AU =0 sur[0;+1); U(X;0)=U 0 X 2D(A); (2.9) De plus on a: jU(t)jjU 0 j 8t0; j dU dt (t)jjAU 0 j; 8t0:
(Pourlapreuvede ce theoreme voir parexemple[14 ]). Denissonsles espaces deHilbert suivants:
H(rot;) = n v2L 2 () 3 ;rotv 2L 2 () 3 o : TH s ( )= n v2(H s ( )) 3 ;v:n=0 o ;s2IR
n etant la normale exterieure a . TH s
( ) est ainsi l'ensemble des champs de vecteurs tangents sur ayant laregularite H
s ( ).
Rappels sur les traces
Soit un ouvert connexe, de frontiere lipschitzienne. Il existe une application trace tangentielle
T
continue de H(rot;) dans TH 1 2
( ), qui prolonge l'application de[C
1 ()]
3
:'!' (':n)nj .Il existeegalementuneapplicationtrace
deH(rot ;) dans TH
1 2
( ), qui prolonge l'application de [C 1
()] 3
: ' ! '^nj , mais il est connu que ces applications ne sont pas surjectives. Pour obtenir un resultat de surjectivite, on introduit les espacesoptimauxsuivants:
H 1 2 rot ( )= n v2TH 1 2 ( );rot v 2H 1 2 ( ) o : H 1 2 div ( )= n v2TH 1 2 ( );div v2H 1 2 ( ) o :
ou div et rot denissent respectivement la divergence surfaciqueet le rotationnel tan-gentieldenispar:
rot v=rot(~v:~n)j ;
ou v~ etn~ sont desprolongements du champ v et de la normale n respectivement denis dansun voisinage de . H 1 2 rot ( ) etH 1 2 div
( ) sont desespaces de Hilbert, eton ale resultat dedualite suivant:
H 1 2 rot ( )=(H 1 2 div ( )) 0 =TH 1 2 ( )+r (H 1 2 ( )): H 1 2 div ( )=(H 1 2 rot ( )) 0 =TH 1 2 ( )+ ! rot (H 1 2 ( )): !
rot et r sont des operateurs dierentiels operant sur les champs de distributions tan-gentes a , continus respectivement de TH
1 2 dans H 1 2 et de H 1 2 dans TH 1 2 . Pour la preuve voir[63 ]. Nousavonsainsi letheoreme de trace suivant:
Theoreme 1-
T
se prolonge de facon unique en un operateur lineaire continu et
surjectif de H(rot;) dans H 1 2 rot ( ). 2-
se prolonge de facon unique en un operateur lineaire continu et
surjectif de H(rot;) dans H 1 2 div
( ). 3- on a la formule de Green suivante:
8q;v 2H(rot;); Z vrotq Z qrotv = < (q); T (v)> H 1 2 div ;H 1 2 rot ;
Nous introduisons l'operateur de Laplace-Beltrami scalaire deni sur une fonction u par:
u=div r u= rot ! rot u:
Ainsique l'operateur deLaplace-Beltrami vectoriel deni surun champ tangent:
v=r div v !
rot rot v; (2.10)
ou !
rot u estdonne par:
!
rot u=r u^n;
Remarque
Toutchampdevecteurvtangentaunesurface peuts'ecriredanslabasedesvecteurs propresde vectoriel sous laformesuivante:
v(x)= j=N X j=1 j ! u j + i=1 X i=0 i r Y i + i ! rot Y i ; ou Y i
sont les fonctions propres de l'operateur scalaire. ! rotY i ,r Y i ,et ! u j sont les vecteurspropres de vectoriel.
(Pourplus dedetails voir [63],[1 ], [5 ],et[61]).
Lemme 2 (H. Baruq et B. Hanouzet [2 ])
Soit un champ de vecteur v appartenanta l'espace H 1 2 div ( )\H 1 2 rot ( ) alors v 2TH 1 2
( ), et on a le produit de dualite suivant:
<v;v > H 1 2 div ;H 1 2 rot = Z jvj 2 d : Demonstration du lemme 2
Nousdeduisonsdufaitquev2H 1 2 div ( )\H 1 2 rot
( ),quel'operateurdeLaplace-Beltrami vectoriel deni parl'equation (2.10) verie:
v2H 3 2 ( ) ; etdoncv2H 1 2
( ).Commev:n=0,on deduit nalement que v2TH 1 2 ( ). Celapermet d'ecrire: <v;v > H 1 2 div ;H 1 2 rot = Z jvj 2 d :
2.2.3 Theoreme d'existence et d'unicite
Onva travailler avec l'espace de HilbertH=(L 2 ()) 6 .Soit l'espace: V= ( (u;v)2H;( 1 u;" 1 v)2[H(rot ;)] 2 ; T (" 1 v)=0sur 1 ; (" 1 v) Z T ( 1 u)=0sur 2 ) : (2.11)
Theoreme
Le systeme (M) admet une unique solution dans C 1 ([0;+1);H)\C 0 ([0;+1);V) pour tout (B 0 ;D 0 )2V. De plus si div B 0 = div D 0
=0, on a pour tout t0, div B(t;:)=div D(t;:)=0.
LepointdiÆciledanscetypedeproblemeestl'unicite.L'existencedesolutions'obtient paruneregularisationstandard descoeÆcientsetun passagealalimite. Pourdemontrer l'unicite,ondoitjustierdesintegrationsparpartiesquipermettentd'obtenirune conser-vation de l'energie. Cette justication est basee sur une regularisation cette fois de la solution. A partirde la,plusieurs techniques de demonstrationsont possibles. On choisit ici uneapproche detypeHille-Yosida [[14 ], [86 ]].
Demonstration
Les matrices et"etant symetriquesdenispositives, on peutalors denir ( p ) 1 et( p ") 1
.Introduisonsmaintenantles variablessuivantes:
b=( p ) 1 B; et d=( p ") 1 D:
Le systemede Maxwell s'ecrit enfonctionde b etd comme suit: 8 > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > : @b @t + ( p ) 1 rot(( p ") 1 d) =0; @d @t ( p ") 1 rot(( p ) 1 b) =0; b(0;:)=b 0 (:)=( p ) 1 B 0 (:); d(0;:)=d 0 (:)=( p " ) 1 D 0 (:): (2.12)
Cesysteme peutsemettre sousla forme(2.9). Onnote
Q= 8 > > > : b d 9 > > > ; :
Onobtient l'equation suivante:
8 > > < > > : dQ dt + ~ AQ=0; Q(0;x)=Q =(b ;d ); x2: (2.13)
Avec: ~ AQ= 8 > > > > > > > > : ( p ) 1 rot(( p " ) 1 d) ( p " ) 1 rot(( p ) 1 b) 9 > > > > > > > > ; ;
etles conditionsauxlimites s'ecrivent de lamanieresuivante: 8 > < > : n(x)^(( p " ) 1 d(t;x))=0; t>0;x2 1 ; n(x)^(( p " ) 1 d(t;x))+Zn(x)^(n(x)^(( p ) 1 b(t;x)))=0; t>0;x2 2 : (2.14) Onnoteraencorepar(M)leproblemeaveclesnouvellesvariables(equations2.13,et2.14).
Introduisonsl'operateur non borne Adeni surHde domaine
D(A)= ( Q=(b;d )2H;( p ) 1 b;( p " ) 1 d)2[H(rot ;)] 2 ; T (( p ") 1 d)=0sur 1 ; (( p " ) 1 d) Z T (( p ) 1 b)=0sur 2 ) : Telque: A(Q)=A(b;d )= t (( p ) 1 rot( p " ) 1 d; ( p ") 1 rot( p ) 1 b): (2.15)
Onest ramene a demontrer que A est maximalmonotone. Pour cela il suÆtde montrer queAestferme,D(A)densedansH,etqueAetA
(adjoint deA)sont monotones(voir lemme1).
L'operateur A est monotone
PourQ=(b,d) 2D(A) , nousavons:
<AQ;Q>= Z b:[( p ) 1 rot( p " ) 1 d] d:[( p " ) 1 rot( p ) 1 b];
Du fait que Z est une constante au voisinage de 2
et gr^ace au theoreme de traces cite precedemment, nous deduisons en tenant compte du fait que les tenseurs " et sont symetriquesetdoncautoadjoints, la formulation suivante:
<AQ;Q>= Z ( p " ) 1 d:rot ( p ) 1 b Z ( p ") 1 d:rot( p " ) 1 b +<(n^( p ") 1 d);( p ) 1 b> H 1 2 div ( );H 1 2 rot ( ) : <AQ;Q>= <Zn^(n^(( p ) 1 b));( p ) 1 b> H 1 2 ( 2 );H 1 2 ( 2 ) :
= Z <n^(( p ) 1 b);(( p ) 1 b)^n> H 1 2 div ( 2 );H 1 2 rot ( 2 ) : =Z <n^(( p ) 1 b);n^(( p ) 1 b)> H 1 2 div ( 2 );H 1 2 rot ( 2 ) : Gr^acea lacondition: (( p " ) 1 d) Z T (( p ) 1 b)=0 sur 2 ,on deduit que n^(( p ) 1 b)2H 1 2 div ( 2 )\H 1 2 rot ( 2
). D'ou,en appliquant lelemme2a v=n^(( p ) 1 b),on obtient: <AQ;Q>=Z(n^(( p ) 1 b);n^(( p ) 1 b)) (L 2 ( 2 )) 3 : <AQ;Q>=Zkn^(( p ) 1 b)k 2 (L 2 ( 2 )) 3 0 )8Q2D(A) <AQ;Q> 0:
Ce qui montre que A est monotone.Il restea montrer que A estferme, D(A) est dense dansHet quel'adjoint A
de A estmonotone.
1) A est ferme:
Soit unesuite(u n
=(b n
;d n
))dansD(A) telle que:
u n !u=(b;d) dansH etAu n !f =(f 1 ;f 2 ) dansH.
Il reste a montrer que (u;f) appartient au graphe de A. Du fait que les matrices " et sont majoreesetminorees, on deduit que:
(( p ) 1 b n ;( p " ) 1 d n )!(( p ) 1 b;( p ") 1 d) dansH, et que rot(( p " ) 1 d n )! p f 1 , et rot(( p ) 1 b n )! p " f 2 :
Cecietant vraiau sensdes distributionset parunicite de lalimite, on deduit que
f 1 =( p ) 1 rot(( p ") 1 d) et f 2 = ( p ") 1 rot(( p ) 1 b):
Cequi prouve que
rot(( p ") 1 d)2L 2 () 3 ; et que p 1 2 3
Ainsi, ( p " ) 1 d n et( p ) 1 b n
convergent respectivement vers ( p ") 1 d et ( p ) 1 b dans H(rot;).
Nousavonsparailleurs
n^(( p " ) 1 d n )=0sur 1 ,et n^( p ") 1 d n j 2 +Zn^(n^(( p ) 1 b n j 2 ))=0. Comme T et
sont desoperateurs continusde H(rot;) dans respectivement H 1 2 rot ( ) etH 1 2 div
( ),nous obtenonsapres passagea lalimite:
8 > < > : n^(( p " ) 1 d)=0 sur 1 ; n^( p ") 1 dj 2 +Zn^(n^(( p ) 1 bj 2 ))=0:
Ceciimpliquequeu2D(A) etquenalement
f =Au:
Aest doncun operateurferme.
2) D(A) est dense dans H:
C'est le point cle de la demonstration. Notons D() l'espace des fonctions C 1
a supportcompact dans. ID()=[D()]
6
estdense dans H.Cependant ID() n'estpas inclusdansD(A). neanmoins,nousavons:
8(b;d)2ID(); lasuite (b k ;d k )=( p ( k ( p 1 b)); p " ( k ( p " 1 d)))2D(A) ; ou k
estunesuiteregularisante. Lasuite( p ( k ( p 1 b)); p " ( k ( p " 1 d)))tendvers (b,d) pour la norme H et ceci gr^ace au fait que les tenseurs " et sont bornes. Ainsi, nousdeduisons quepourtoutefonction deH, nouspouvonsl'approcherparunesuitede ID(),qu'onpeutapprocher asontour parunesuitede D(A) pourlanormeH. Cequi prouvela densite de D(A) dansH.
3) A est monotone: L'operateur A :D(A
)H !Hest l'adjoint de A denipar:
Ona immediatement D(A )W = n Q=(b;d)2H;( p ) 1 d;( p ") 1 b)2[H(rot;)] 2 o : (2.17)
En eet,larelation (2.16) estveriee en particulierpour:
Q=(0; p "u); avecu2[D()] 3 ;ona : <AQ;Q >= Z ( p ) 1 b :rot u: (2.18)
Nouspouvons reecrire (2.18) pouru2[D()] 3
de lamanieresuivante:
<AQ;Q >=<rot( p ) 1 b ;u>: Comme j<AQ;Q >jkA Q kkQkkA Q kkuk (L 2 ()) 3; on endeduit que ( p ) 1 b 2H(rot;):
Avec le m^eme raisonnement enchoisissant cette fois-ci:
Q=(( p u;0); avecu2[D()] 3 ; on obtient: ( p ") 1 d 2H(rot;): Cequi montre(2.17).
integration parparties: (AQ;Q )= Z ( p ") 1 d:rot( p ) 1 b ( p ) 1 b:rot( p ") 1 d +<n^(( p ") 1 d);( p ) 1 b n^(( p ) 1 b);( p " ) 1 d > H 1 2 div ( );H 1 2 rot ( ) : (AQ;Q )= Z ( p ) 1 b:rot ( p ") 1 d ( p ") 1 d:rot( p ) 1 b <n^(( p ) 1 b);( p ") 1 d > H 1 2 div ( 1);H 1 2 rot ( 1 ) +<n^(( p ") 1 d);( p ) 1 b > H 1 2 div ( 2 );H 1 2 rot ( 2 ) <n^(( p ) 1 b);( p ") 1 d > H 1 2 div ( 2 );H 1 2 rot ( 2 ) : (AQ;Q )= Z ( p ) 1 b:rot ( p ") 1 d ( p ") 1 d:rot( p ) 1 b +< T (( p ) 1 b);n^( p ") 1 d > H 1 2 rot ( 1 );H 1 2 div ( 1 ) +< T (( p ) 1 b); Zn^(n^( p ) 1 b )> H 1 2 div ( 2);H 1 2 rot ( 2 ) +< T (( p ) 1 b);n^(( p " ) 1 d )> H 1 2 rot ( 2 );H 1 2 div ( 2 ) :
Onen deduit d'abordque
A (Q )= t (( p ) 1 rot( p ") 1 d ( p ") 1 rot( p ) 1 b );
Ona parconsequent:
< T (( p ) 1 b);n^( p ") 1 d > H 1 2 rot ( 1 );H 1 2 div ( 1 ) +< T (( p ) 1 b); Zn^(n^( p ) 1 b )> H 1 2 div ( 2 );H 1 2 rot ( 2 ) +< T (( p ) 1 b);n^(( p " ) 1 d )> H 1 2 rot ( 2);H 1 2 div ( 2 ) =0 (2.19) Rappelonsque 1 et 2
sontdeuxouvertsdisjointsde .Soitu unelementquelconquede H
1 2 (
1
); parsurjectivite de l'application trace,il existe u 2H(rot;) avec T
Onpeuttoujourssupposerqueu s'annulesurun voisinagede 2
.Onverieaisement que (
p
u;0)2D(A) et(2.19) devient:
<u ;n^( p " ) 1 d > H 1 2 rot ( 1 );H 1 2 div ( 1 ) =0: (2.20) Onen deduit quen^( p ") 1 d =0 sur 1 .
Soit maintenant u un element quelconque de TH 1 2 ( 2 )H 1 2 rot ( 2 ).Il existe u2H(rot;) avec T
(u)=u .CommeZ estscalaire(carparhypothese,lesmilieuxsont
homogenes au voisinage de 2 ), on a Z T (u) 2 TH 1 2 ( 2 ) H 1 2 div ( 2
). Par consequent il existe v 2 H(rot;) avec
(v) = Z T
(u) et on peut toujours supposer que u et v s'annulent au voisinage de 1 .Ona alors( p u; p "v)2D(A)et (2.19) devient: <u ; (( p " ) 1 d )+Z T (( p ) 1 b )> H 1 2 ( 2 );H 1 2 ( 2 ) =0: (2.21) Onen deduit que (( p " ) 1 d )+Z T (( p ) 1 b )=0 dansH 1 2 ( 2 ). Le domainede denition de l'operateur adjoint A
veriedonc: D(A )X= ( Q=(b;d )2H;( p ) 1 b;( p " ) 1 d)2[H(rot ;)] 2 ; T (( p ") 1 d)=0sur 1 ; (( p " ) 1 d)+Z T (( p ) 1 b)=0sur 2 ) :
Onverieaisement qu'ona l'egalite D(A
)=X.En eet, soit Q=(b;d) unelement de X,on a: A (Q)= t (( p ) 1 rot( p ") 1 d ( p ") 1 rot( p ) 1 b)2H:
Cequi montreque Q2D(A
),etparconsequent XD(A
). Il en resulteque pourQ=(b,d) 2D(A
) <A Q;Q>=Zkn^(( p ) 1 b)k 2 (L 2 ( 2 )) 3 0:
D'ou la monotonie de l'operateur A
. Ce qui implique que l'operateur A est monotone maximal. Les conditions du theoreme de Hille-Yosida etant veriees, nous deduisons l'existence et l'unicite de la solution du systeme de Maxwell (M) dans un milieu non regulier au sens oules indices dumilieu sont desmatricesa coeÆcients non reguliers.
2.2.4 Remarque
An d'obtenir des solutions a divergence nulle, il suÆt de prendre des conditions initiales adivergencenulle.Onpeutconstater quesion appliquait l'operateurdivergence auxequations (2.4),on obtiendrait:
8 > > > > < > > > > : @ @t divB=0 ; @ divD=0;
ausens desdistributions. Doncil suÆtde prendre: 8 > < > : divB(0;:)=0; divD(0;:)=0; dansD 0
() (espace desdistributions),pouravoir: 8 > < > : divB(t;:)=0 8t2[0;+1); divD(t;:)=0 8t2[0;+1); dansD 0 () pourtoutt. Commentaire
I) Regularite par rapport a la condition initiale
Supposons que u 0 = (b 0 ;d 0
) n'est pas dans D(A), mais seulement dans H, alors il existe unesuite(u
0n
)2D(A) quiconverge dansH versu 0
. Considerons leprobleme suivant:
8 > > < > > : du n dt +Au n =0; u n (0)=u 0n : (2.22)
D'apes le theoreme de Hille-Yosida, il existe une solution u n
a ce probleme telle que u n 2C 1 ([0;+1);H)\C 0 ([0;+1);D(A)),et que: ku n (t) u m (t)kku 0n u 0m k;8n;m; 8t0:
Cequiimpliquequelasuiteu n
(t)convergeuniformementversunelimiteu(t)sur[0;+1[ etque u2C
0
([0;+1;H[), mais rien n'assureque u(t) 2D(A) .Par contre u(t) est une solution faibleduprobleme(2.13).
II) Le systeme de Maxwell avec second membre
Sion considere lesysteme de Maxwell avec secondmembre: 8 > > < > > : dQ dt +AQ=f; Q(0;x)=Q =(b ;d ); x2; (2.23)
ouQetA sontceuxquenousavonsconsiderestoutaulongdecechapitreaveclesm^emes conditionsaux limites(metallique etabsorbante), alors
1) Sif2C 1
([0,T]; H),leproblemeprecedent admetunesolution unique Q2C
1
([0,T]; H)\C 0
([0,T]; D(A)), etelle estdonnee par:
Q(t)=S A (t)Q 0 + Z t 0 S A (t s)f(s)ds; (2.24) ou S A
est lesemi-groupe continu de contraction engendre parA. 2) Simaintenanton supposefjustedansL
2
(0, T;H),alorslasolution donneepar(2.24) est une solution faible de notre probleme. Voir par exemple [50 ], [64 ], [78 ], et [14]en ce qui concernelaregularite dessolutions desproblemesd'evolution.
2.2.5 Conclusion
Nousavonsmontredanscechapitrequesion imposaitalacondition initiale(B 0 ;D 0 ) d'^etre dans(L 2 ) 6 telleque ( 1 B 0 ;" 1 D 0 ) appartient a[H(rot ;)] 2
,lesysteme de Max-well considere avec des conditions aux limites mixtes; une condition metallique et une conditionde typeabsorbant,admettaituneuniquesolution L
2
enespace et C 1
entemps, etcecidansdesmilieuxmaterielsquelconques.Nousavonsutiliselecaracteremonotoneet maximaldel'operateurdierentieldusystemeecritsousformed'unproblemed'evolution du premier ordre pour demontrer ce resultat. Nous avons egalement vu que du fait que les conditions de divergence sont redondantes, ilsuÆt de prendredes conditionsinitiales
a divergence nulle pourobtenirdes solutionsa divergence nulle.
2.3 Milieu isotrope
Les milieux isotropes sont caracterises par le fait que les coeÆcients du milieu de propagationsontdesfonctions scalairesquidependenteventuellementde lavariable d'es-pace.NousdonnonsiciquelquescaracteristiquesdusystemedeMaxwellquandledomaine considere est lineaire etisotrope:
2.3.1 Formulation conservative et hyperbolicite
Le systeme de Maxwell peuts'ecrire sous laformesuivante:
avec: Q= 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : B x B y B z D x D y D z 9 > > > > > > > > > = > > > > > > > > > ; ; F 1 (Q)= 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : 0 D z =" D y =" 0 B z = B y = 9 > > > > > > > > > = > > > > > > > > > ; ; F 2 (Q)= 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : D z =" 0 D x =" B z = 0 B x = 9 > > > > > > > > > = > > > > > > > > > ; ; F 3 (Q)= 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : D y =" D x =" 0 B y = B x = 0 9 > > > > > > > > > = > > > > > > > > > ; ;
soit sousformecondensee:
Q t + ! r:IF(Q)= J ; (2.26) avec IF(Q)= t (F 1 (Q);F 2 (Q); F 3 (Q)) .
Cette formulationconservative s'exprime doncen fonction de l'induction magnetique B=B(x;t)etdudeplacementelectriqueD=D(x;t).Onnote"="(x;y;z)lapermittivite dumilieuet=(x;y;z)lapermeabilite magnetique.Lesysteme(2.26) esthyperbolique. Eneet, considerons lacombinaison lineaire de uxsuivante:
F(Q;)=:IF(Q); ou = t ( 1 ; 2 ; 3
) est un vecteur non nul quelconque de IR 3 . La matrice jacobienne A denie par: A(Q;)=:IF 0 (Q)= 1 A 1 + 2 A 2 + 3 A 3 ; (A i ) i=1;:::;3 = @ @Q F i (Q);
estdiagonalisable pourtoutvecteur non nulde IR 3
etpourtout vecteurQde IR 6
. Sestroisvaleurs propresreelles de multiplicite doublesont donneespar:
1 = ckk ; 2 = ckk ; 3 = 0 ; (2.27) ouc= 1 p "
designelavitessedelalumieredanslemilieudepropagation.Cesproprietes
dusystemedeMaxwellsontalabasedecertainsschemasdecentres(exempledemethodes volumes nisa uxdecentres).
2.3.2 Unites et adimensionnement
Rappelons ici les unites desquantites physiquesque nousmanipulonsdansce travail, nous avons les champs electromagnetiques, E dont l'unite est en Volts/metre (V=m), et
dielectrique " et la permeabilite magnetique , fonctions dependantes de la variable en espace peuvent s'ecrirede lamanieresuivante:
8 > < > : "=" 0 " r ; = 0 r ; ou " r et r
sont des valeurs adimensionnelles relatives du milieu (ce sont les quantites qui seront considerees tout au long de cette these). Quant aux valeurs "
0 et
0 , elles representent les indicesdu videetsont donneespar:
8 > < > : " 0 =8:85418781710 9 F=m (Farads/metre); 0 =410 7 H=m (Henrys/metre):
La vitessede lalumiere danslevideest donnee par:
c 0 = 1 p " 0 0 =2:9979245810 8 m=s (metres/seconde):
Nousconsiderons les changementsde variablessuivants: 8 > > > > > > < > > > > > > : ~ H=Z 0 H; ~ j=Z 0 j; =c 0 t; avec =Z 0 = p " 1
.Lesnouvellesquantitess'exprimentalors dansles unitessuivantes:
? en metre(m): ?E et ~ H en Volts/metre (V=m): ?" r et r
sont sans dimension:
Le systemede Maxwell s'ecrit avec lesnouvellesvariablesde lamanieresuivante: 8 > > > < > > > : r @ ~ H @ + rot(E) =0; " r @E rot( ~ H) = ~ j:
Pour simplierlesecritures,on notera danslasuite: 8 > > > > > > < > > > > > > : H= ~ H: j= ~ j: "=" r : = r : t=: Onnotera egalement: 8 > < > : B= r ~ H: D=" r E: Remarque
Nousne considerons pourtouteslesapproximationsnumeriquesdanslasuitedecette these quedesmateriaux isotropes.
Chapitre 3
Comparaison de deux methodes de
volumes nis en milieu homogene
Ce chapitre a fait l'objet d'un rapport INRIA (N o
3166) realise avec Jean Pierre Cioni.
3.1 Introduction
Il est maintenant devenu relativement classique de considerer les equations de Max-wellinstationnairesentantquesystemeconservatifhyperbolique[20 ,59 ,76 ].L'utilisation de volumes nis pourla resolution numerique est alors naturelleet permetd'obtenir des schemasexplicitesentempsycomprispourdesmaillages nonstructuresdetypeelements nis.Deplus,desschemasnumeriquesprecisalafoisentempsetenespaceainsiqu'adaptes
a divers dispositifs etmateriaux peuvent ^etre construits, en gardant le caractere conser-vatifdu systeme.
La methode des volumes nis est basee sur une partition du domaine de calcul en volumes(cellulesd'integration). Lechoixdutypedevolumesde contr^olen'estpasunique en maillage non structure et l'on peut en distinguer classiquement au moins deux: les volumes nis centres aux noeuds du maillage (notes centres-noeuds et constitues de po-lygones oupolyedrescentresauxnoeuds) etlesvolumes nis centres auxelements (notes centres-elements et qui sont les elements du maillage initial). La formulation centr es-noeudspourla resolution desequations de Maxwell aete validee pourde nombreux dis-positifs [20 , 21 , 23 , 24 ]. D'autre part, des resultats theoriques ont ete etablis en ce qui concernelaprecisionet lastabilite desschemasnumeriquesemployes[36,37 ].
L'inter^etdudeveloppementd'uneformulationcentree auxelementsestessentiellement d'ordre geometrique, puisqu'elle permet de considerer beaucoup plus naturellement (en comparaisonaveclaformulationcentres-noeuds)descouchesdemateriauxdierentsoudes surfacesmetalliquesparexemple.Lesapplicationsdecette formulation(centres-elements) ont ete developpees en electromagnetisme par ([11 ], et [25 ] par exemple) ou les schemas employes sont respectivement d'ordre deux et trois en temps. Dans ce chapitre, nous proposons des schemas d'ordre eleve a lafois en temps et en espace pour la formulation centres-elements. D'autre part, l'originalite de ce travail consiste en des comparaisons d'ordrequalitatif et quantitatif des deuxformulations centres-elements et centres-noeuds surunensembled'applicationsnumeriquesbidimensionnelles.Eneet,lesdeuxapproches n'ont pasanotre connaissanceete reellement confrontees.Bien quelesdierencesdoivent s'accro^tre avec la complexite des dispositifs etudies, nous avons axe nos comparaisons autourd'applicationsassezsimplesandetesterlesschemasd'ordreeleveetlesconditions
3.1.1 Ondes electromagnetiques en deux dimensions
d'es-pace
Nous considerons ici desmilieux isotropeset homogenes ou lesindices "etsont des constantes.Endeuxdimensionsd'espace,lesequationsdeMaxwellpeuvent^etredecouplees endeuxsystemesdetroisequationsanaloguesassociesauxondestransversesmagnetiques (TM) et aux ondes transverses electriques (TE) [47]. Nous avons choisi ici la direction suivant l'axe O
z
comme direction privilegiee et le champ electromagnetique ne depend quedesdeux variablesd'espace xety.Lapolarisation del'ondeprecisealorsladirection deschampsde vecteurs.
Pour les ondes transverses magnetiques TM z (H:z = 0), on a B = t (B x ;B y ;0) et D = t (0;0;D z
) en coordonnees cartesiennes. Seules les composantes non nulles des deplacementselectriqueetmagnetiquesont considerees. La formulationconservative bidi-mensionnelleen champtotal et associee aux ondestransversesmagnetiquess'ecrit:
Q t + ! r:IF(Q) = 0; (3.1) avec: IF(Q)=(F(Q);G(Q)): Q = t (Q 1 ;Q 2 ;Q 3 ) = t (B x ;B y ;D z ) ; F(Q) = 8 > < > : 0 Q 3 =" Q 2 = 9 > = > ; ; G(Q) = 8 > < > : Q 3 =" 0 Q 1 = 9 > = > ; :
Pourlesondes transverseselectriques TE z
(E:z = 0), lesysteme conservatif gardela m^emeformequecelleducasTM
z
,seuleladenitionduvecteurQchange(voirannexe2). Nous nous interesserons donc par la suite uniquement au cas transverse magnetique et l'on renvoie le lecteur a l'annexe (4.6.1) pour la forme explicite du systeme associe a la polarisationTE.LecaracterehyperboliquedessystemesdeMaxwellbidimensionnelsTM et TE se montre de la m^eme facon que pour le systeme de Maxwell tridimensionnel. D'autre part,lamatricejacobienne pourle systeme TM devient:
A = 0 B B @ 0 0 2 =" 0 0 1 =" 2 = 1 = 0 1 C C A : (3.2)
Lesvaleurspropres,aunombredetroisetdistinctes,restentidentiquesacellesdusysteme complet(cf.Eq.(2.27)).Dorenavant,nousnousrestreindronsauxproblemes
bidimension-3.2 Approximation numerique
3.2.1 Presentation des deux methodes de volumes nis
Le systeme de Maxwell en regime transitoire que nous etudions ici est lineaire, hy-perbolique etconservatifen lavariable Q. Cecijustie l'approximation numerique basee surdes schemasdecentres que nousavons choisie ici, parfaitement adaptes etdeveloppes
a l'origine pour la resolution numerique des systemes hyperboliques et conservatifs. Le choix des volumes nis est en particulier dicte par la possibilite d'obtenir des schemas conservatifs explicites, y compris pour des maillages tridimensionnels non structures de typeelementsnis[20 ].Ilestegalement possiblededenirdesschemasd'ordreelevepour ce type de methode [36 , 37 ]. L'idee de base de ces methodes est de diviser le domaine spatial considere en cellules appelees volumes nis etde former les equations discretes a partirdelaformulationfaibledusystemedeloisdeconservation,ecritepourchaquecellule.
A partird'unm^ememaillage bidimensionnelde typeelements nistriangulaires, plu-sieurs choix sont alors possibles pour la denition des cellules, tout en gardant le m^eme typede schemas numeriquespourlaresolution desequations.
Une methode de volumes nis (que l'on notera centres-noeuds par la suite) a ete developpee pour des volumes de contr^oles constitues de polygones centres autour des noeuds du maillage en dimension deux (gure 3.1) passant par les barycentres des tri-angles et les milieux des ar^etes, et de polyedres en dimension trois. Cette approche a notamment ete validee en dimensionsdeux et trois d'espace pourles equations de Max-well [20 , 21 ,22 , 23 ].
Une autre possibilite est de prendre comme volumes de contr^ole les elements du maillage, plus precisement des triangles pour le cas bidimensionnel considere (g. 3.2). Lesvolumes nis sont alors dits centres aux elements et nousreferencerons dansla suite parcentres-elements cettedeuxiemeapproche,quiaete proposeeinitialement par Durlof-sky,Osher etEngquistpourlesequationsd'advection etdeBurgers [41 ].
I
C
C
G1
G2
i
i
j
j
Fig. 3.1 { Cellule d'integration C i
(methode centres-noeuds).
T
G
x
T
G
i
i
j
j
Remarque 3.2.1 L'interface entredeux cellules pour la methode centres-noeuds estune reunion de deux segments [I;IG1] et [I;IG2](cf. g. 3.1). En revanche, pour la methode centres-elements, les interfaces entre deux triangles (ou cellules) sont dessegments de la triangulation (g. 3.2).
Lespartiesrelativesauxschemasnumeriquessonttressimilairespourlesdeuxmethodes. Nousavonsdoncchoiside presenterici lamethodecentres-elements en mettant envaleur ses particularites et dierences par rapport a la methode centres-noeuds ainsi que les dierentschoixpossiblesinherentsacette secondeapproche(encequiconcerneles condi-tionsaux limites etle calcul des gradients par exemple).Nous renvoyons d'autre part le lecteur a [20, 19 ] pour plus de details concernant la methode de volumes nis centr es-noeuds.
3.2.2 Formulation faible et ux decentre d'ordre un
Formulation faible
Soit unediscretisation par elements nis P1 du domaine de calcul bidimensionnel
donnee par: = nt [ i=1 T i ,ouT i
est un triangle et ntlenombred'elements.
Uneformulationfaibleestobtenueenintegrant lesysteme (3.1)surchaquevolumede contr^ole ou triangle T
i
en prenant comme fonction test les fonctions caracteristiques des cellules. En supposant la derivee partielle Q
t
constante en espace sur T i
, on obtient en utilisant uneformulede Green, l'equation pourchaque triangle dumaillage:
Aire(T i )(Q t ) i + Z @T i IF(Q):d=0; (3.3)
ou est lanormale unitaire exterieure a @T i
.
Le terme integral dans l'equation (3.3) peutalors ^etre decompose en unesommede ux internesetde termesde bord:
Aire(T i )(Q t ) i + 3 X j=1 ij +termesde bord=0 ; (3.4) ou ij
estuneapproximationque nousallonsdenirdu uxinterne Z
@T\@T
Flux decentre d'ordre un
Nous allons maintenant presenter lamaniere dont nous discretisons les ux internes. Ceterme integral est evaluecomme suit:
ij = c IF(Q h ) : ; ou = t ( 1 ; 2 ) = Z @T i \@T j d et c IF(Q h
) est une valeur approchee de IF(Q h ) le long de l'interface @T i \@T j
. Nous nous sommes ainsi ramenes a l'evaluation de ux dans la directiondelanormaleetdoncaunproblememonodimensionnel.Onintroduitalorsune fonction de ux numerique dependant des deux etats Q
i = Q h (T i ) et Q j = Q h (T j ) de partetd'autre de l'interface@T
i \@T j : ij = (Q i ;Q j ) : Denition 3.2.1 Soient IF = t
(F(Q);G(Q)) et A denis respectivement par (3.1) et (3.2).
Le ux numerique estdit decentre s'il verie:
(u;v ) = IF(u) + IF(v ) 2 1 2 jAj(v u) + O(jv uj 2 ) ;
pour deux etats voisins u etv . La matricejAjest deniedans l'Annexe 2 (Annexe 4.6.2).
Ceci est uneextension directe de la denition du schema decentre monodimensionnelde Lax, Harten et Van Leer (cf. [57 , 44]) que nous avons appliquee au systeme de Maxwell en deuxdimensionsd'espace.
Remarque 3.2.2 Danslecaspresent,lesystemeetudieestlineaireacoeÆcientsconstants et la matricejacobienne A nedepend pas des variables u et v . Le termeen O(jv uj
2 ) est donc nul.
Il resulte de la linearite du systeme de Maxwell et du fait que les coeÆcients sont constants que tous les ux decentres d'un schema lineaire d'ordre un sont identiques; il n'y a donc pas de choix parmi les schemas decentres pour resoudre numeriquement les equationsde Maxwell en milieuhomogene. Ils sereduisent tousen fait a un schema ICR (Isaacson-Courant-Rees)vectoriel. Ontrouveradansl'annexe(4.6.2) le ux
ij
Remarque 3.2.3 Les schemas d'ordre un etant identiques en milieu homogene, on peut doncutiliserindieremmentunsolveurdeRiemannexactouladenition(3.2.1)pour cal-culerles uxinternes.Enrevanche,seulunsolveurdeRiemannexactpermetdeconstruire leschema adequaten milieuheterogene
1
veriant les conditions de saut descomposantes tangentielles [24 , 46 ].
Remarque 3.2.4 Ceschemad'ordreunestsimilairepourlesmethodescentres-noeuds et centres-elementsmais les ux sontechanges atravers desinterfacesdecellulesdierentes (cf. gures 3.1 et 3.2).
Cesschemasconservatifs ne sont que d'ordre unen espace etnous allons maintenant decrire comment obtenir des schemas d'ordre superieur a partir de la fonction de ux numerique .
3.2.3 Schemas d'ordre superieur
Nous construisonsmaintenant un schema d'ordreeleve en espace en utilisant l'exten-sionde lamethodeMUSCL(Monotonic UpwindSchemesforConservation Laws)deVan Leerauxelements nis[44 , 79 ].
Une maniere d'obtenir un schema d'ordre superieur est d'augmenter le degre de l'in-terpolationdansunecellule etd'evaluer les uxa l'aidedevaleursextrapolees Q
ij etQ ji al'interface@T i \@T j
.Cetteextensionnecessitel'evaluationdugradientdelasolutionsur chaque cellule. On notera que l'obtention de schemas d'ordre superieur est assez directe par cette methode puisque seule une modication des arguments de la fonction est a realiser parrapportau uxd'ordreun. Lafonction de uxd'ordresuperieurs'ecrit:
8 > > > > < > > > > : ij = (Q ij ;Q ji ) ; Q ij =Q i + ! rQ T i (G i ): ! G i G ij ; Q ji =Q j + ! rQ T j (G j ): ! G j G ij ; (3.5) ou G i et G j
sont les centres de gravite des triangles T i et T j , et G ij le point milieu de l'ar^ete @T i \@T j .
Pourdesraisonsdeprecisionetdestabilite[38 ],nouscalculonsenfaitlesnouvelles va-leursauxinterfacesdescellulesenintroduisantunparametrededecentrageet lesschemas resultants sont connussous lenom de-schemas.
Cesvaleursinterpoleessontcalculees de lamaniere suivante: 8 > > < > > : Q ij =Q i + 1 2 f(1 2)(Q j Q i )+4 ! rQ Ti (G i ): ! G i G ij g Q ji =Q j 1 2 f(1 2)(Q j Q i )+4 ! rQ T j (G j ): ! G j G ij g ; 2 (0;1) ; (3.6) ou ! rQ T i
estun gradient de lasolution surletriangle T i
quireste encorea denir. Finalement, nous prenons =
1 3
comme parametre de decentrage an d'obtenir un schema d'ordre trois en espace dans le cas de maillages structures qui minimise la dis-persion numerique. L'ordre trois de ce schema a notamment ete montre pour le systeme de Maxwell bidimensionnel[36 ], dans le cadre de la methode centres-noeuds et en utili-santdesgradientsquisontdesmoyennesdegradientsdeGalerkinauxnoeudsdumaillage.
Dans la deuxieme approche centres-elements, nous proposons pour la denition des gradients deuxmethodesde calcul quenoustestons etcomparonsnumeriquement.
3.2.3.1 Calcul des gradientspar une moyenne des gradientsde Galerkin aux noeuds
Nous proposons ici d'utiliserles fonctions lineairessur chaquetriangle dumaillage. Il nous faut cependant denir dans un premier temps des valeurs aux noeuds du maillage puisquenousnedisposonsquedevaleursconstantespartrianglesaveclamethodecentr es-elements.
Les valeurs aux noeuds sont calculees a l'aide d'une moyenne ponderee par les aires destriangles: Q(S i )= 1 X j;Si2Tj Aire(T j ) X j;Si2Tj Aire(T j ) Qj T j ; ou fS i
;i=1;nsg est l'ensemble desnoeuds du maillageet Qj T
j
la valeur constante de la solution au barycentre delacellule T
j .
Apartirdel'interpolationlineairesurlestriangles,onobtientalorslesgradients !
rQ T
i constantspartriangle:
! rQ T i = 3 X k=1 Q(S k i ) t ! rp k i : (3.7) ou S k i
(k = 1;3), sont les trois sommets du triangle T i
et p k i
(k = 1;3), les fonctions de base lineaires associees aux trois points, denies localement sur T
i
. Cette denition des gradientsaete utiliseeenparticulierdans[59 ].Commecettedenitionutiliselesgradients de Galerkin denis a partir des valeurs de la solution aux noeuds, on referencera par la
3.2.3.2 Calcul des gradients par interpolation lineaire sur un maillage dual
Lapremiereapprocheproposeepourlecalculdesgradientsdelasolutionsurlescellules triangulairescomportecependant quelquesinconvenients.La formule(3.7) realise eneet unemoyennefaisant intervenir de nombreusesvaleursautour de lacellule consideree. On se retrouve confronte notamment a des problemes de denition des champs aux noeuds dumaillageen milieuheterogene, oucertainescomposantesdeschampssont discontinues
atravers lesar^etes.
On cherche donc, a partir de valeurs donnees aux barycentres destriangles, a denir des gradients faisant intervenir uniquement les valeurs adjacentes a une cellule donnee. Nous avons repris ici une idee de Durlofsky, Osher et Engquist [41 ] qui proposent un schema d'ordre deux en maillage triangulaire. Dans cette etude, nous avons adapte au systeme de Maxwell bidimensionnelet au -schema cette idee initialement proposee pour l'equation d'advection lineaire etl'equation de Burgers. Nous allonsmaintenant rappeler brievement ladenition desgradients proposes.
Trois interpolations lineaires associees a des triangles peuvent ^etre denies sur T i
= (ABC).Lestrois candidatssontreperessurla gure(3.3) parL
1 ,L 2 et L 3 .
A
C
B
i
L
L
L
1
3
2
T
3
T
T
2
1
i
i
i
2
1
3
Fig. 3.3 { Interpolations possibles sur (ABC).
Les gradients sur le triangle L 1
= (ii 1
i 2
) sont alors calcules classiquement a partir de l'interpolation lineaire:
! rQ L 1 =Qj T i t ! rp i 1 (x) + 2 X k=1 Qj T k t ! rp k 1 (x); ou p k
est la fonction de base lineaire denie localement sur le triangle L 1
noeudi k (la fonction p i 1
etant associee au noeudi). On obtient des formules tout a fait analogues pourles triangles L
2 etL
3
avec unepermutation circulairede l'indice k. On proposedoncde calculer legradient surletriangle T
i
= (ABC) commesuit:
! rQ T i = 1 3 X j=1 Aire(L j ) 3 X j=1 Aire(L j ) ! rQ L j ; ou fL j
, j = 1;3g est l'ensemble des trois candidats possibles (cf. g 3.3). Nous avons supposedanscettesectionquelestroispointsconstituantschaquetriangle L
j
ne sontpas alignes.CommecettedenitionutiliselesgradientsdeGalerkindenisapartirdesvaleurs delasolutionauxbarycentresdestriangles,onreferenceraparlasuitecettedenitionpar (GB).
3.2.4 Traitement des conditions aux limites
Pour imposer les conditions aux limites dans un probleme en electromagnetisme (et en particulier de diraction), il est classique de distinguer la frontiere de l'objet
b et la frontierearticielle
1
delimitant ledomaine decalcul. On utilisesurlafrontiere articielle
1
desconditionsabsorbantes an de minimiser l'eet des ondes parasites dues a la troncature du domaine de propagation. En particu-lier,nousavonsutiliseicisur
1
laconditiond'ordreundeSilver-Muller(voir[42]et[62]).
Pourun objetmetallique parfaitement conducteur, onimpose sur b
lacondition (en terme de champ electrique total ici): n ^ E = 0. La bonne prise en compte de cette conditon aux limites est essentielle pourl'obtention de solutions de qualite. L'utilisation dans la methode centres-noeuds de cellules centrees aux noeuds nous amene a tronquer les cellules du bord delimitant le domaine de calcul puisque des noeuds sont places sur le bord du domaine (g. 3.4). Nous sommes donc amenes a resoudre des equations aux derivees partielles sur dessemi-ouverts etce defautgeometrique nousentraine afaire un traitementqui n'estpas naturelavec l'utilisationde volumes nis etd'echanges de ux.
Enrevanche,dansl'approchecentres-elementsdesvolumesnis,lam^emedemarcheque pourlespointsinternes(echangede uxettechniquesdedecentrage)peut^etredeveloppee pour ce type de conditions aux limites. Les cellules internes et au bord sont en eet identiques (g. 3.5).
Nousproposonsdoncpourlamethodecentres-elementsdecalculerles uxassociesala conditionauxlimites n^ E = 0parl'intermediaire d'un\demi-probleme deRiemann", nommeainsi puisquel'etat au-delade lafrontiere n'estpasconnu.