Etude de convergence a-priori d'une méthode Galerkin Discontinue en maillage hybride et non-conforme pour résoudre les équations de Maxwell instationnaires

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Discontinue en maillage hybride et non-conforme pour

résoudre les équations de Maxwell instationnaires

Clement Durochat, Claire Scheid

To cite this version:

Clement Durochat, Claire Scheid. Etude de convergence a-priori d’une méthode Galerkin Discontinue

en maillage hybride et non-conforme pour résoudre les équations de Maxwell instationnaires. [Rapport

de recherche] RR-7933, INRIA. 2012. �hal-00688374�

0249-6399 ISRN INRIA/RR--7933--FR+ENG

RESEARCH

REPORT

N° 7933

Avril 2012

Étude de convergence

a-priori d’une méthode

Galerkin Discontinue en

maillage hybride et

non-conforme pour

résoudre les équations de

Maxwell instationnaires

RESEARCH CENTRE

SOPHIA ANTIPOLIS – MÉDITERRANÉE

2004 route des Lucioles - BP 93

non-conforme pour r´esoudre les ´equations de

Maxwell instationnaires

Cl´ement Durochat

∗

, Claire Scheid

†

´

Equipes-Projets Nachos

Rapport de recherche n° 7933 — Avril 2012 — 38 pages

R´esum´e : Nous nous int´eressons ici `a une m´ethode Garlerkin Discontinue en Domaine Temporel (GDDT) pour la r´esolution num´erique du syst`eme des ´equations de Maxwell instationnaires. Cette m´ethode est for-mul´ee sur des maillages hybrides et non-conformes combinant une triangulation non-structur´ee pour la discr´etisation des objets de formes irr´eguli`eres avec une quadrangulation structur´ee (compos´ee d’´el´ements orthogonaux de grandes tailles) pour le reste du domaine de calcul. Au sein de chaque ´el´ement, le champ ´electromagn´etique est approxim´e pour une interpolation nodale d’ordre arbitrairement ´elev´e, on utilise un flux centr´e pour les int´egrales de surfaces et un sch´ema saute-mouton d’ordre 2 pour l’int´egration en temps des ´equations semi-discr´etis´ees associ´ees. Le principal but est d’am´eliorer la flexibilit´e et l’efficacit´e de la m´ethode GDDT. Nous formulons les sch´emas de discr´etisation en 3D, nous exposons la preuve d´etaill´ee de l’analyse math´ematique de convergence a-priori en 3D. Enfin, la performance et la convergence num´erique sont d´emontr´ees pour diff´erents cas tests en 2D.

Mots-cl´es : M´ethode Galerkin Discontinue, ´equations de Maxwell instationnaires, analyse de convergence a-priori, maillages non-conformes, m´ethodes hybrides, maillages multi-´el´ements

∗_{Clement.Durochat@inria.fr} †_{Claire.SCHEID@unice.fr}

Galerkin Time-Domain method on hybrid meshes for solving the

Maxwell equations

Abstract: We are interested in a multi-element Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD) method for the numerical resolution of the system of unsteady Maxwell equations. This method is formulated on hybrid and non-conforming meshes combining an unstructured triangulation for the discretization of the irregularly shaped objects with a structured (with orthogonal and large size elements) quadrangulation for the rest of the computational domain. Within each element, the electromagnetic field components are approximated by a high order nodal polynomial, using a centered flux for the surface integrals and a second order Leap-Frog scheme for the time integration of the associated semi-discrete equations. The main objective is to enhance the flexibility and the efficiency of DGTD methods. We formulate the 3D discretization scheme, we expose the complete proof of the a-priori convergence mathematical analysis in 3D. Finally, the numerical performance and convergence is demonstrated for test problems in 2D.

Key-words: Discontinuous Galerkin method, unsteady Maxwell equations, a-priori convergence analysis, non-conforming meshes, hybrid methods, multi-element meshes

Table des mati`eres

Introduction 4

1 Le probl`eme de Maxwell continu 5

2 Discr´etisation du probl`eme en espace et en temps 6

2.1 Discr´etisation en espace par une m´ethode GDDT-PpQk . . . 6

2.1.1 Formulation faible . . . 6

2.1.2 Equations semi-discr´etis´ees pour les cellules t´etra´edriques . . . 9

2.1.3 Equations semi-discr´etis´ees pour les cellules hexa´edriques . . . 11

2.2 Discr´etisation en temps par un sch´ema saute-mouton d’ordre 2 . . . 12

3 Etude de convergence th´eorique 13 3.1 Propositions, lemmes, hypoth`eses et notations . . . 14

3.2 Convergence du probl`eme semi-discret . . . 19

3.3 Convergence du probl`eme totalement discret . . . 28

4 Etude num´erique 2D 30 4.1 Mode(1, 1) dans une cavit´e m´etallique carr´ee . . . 31

4.1.1 Test de performance . . . 31

4.1.2 Test de convergence num´erique . . . 32

4.2 Diffraction d’une onde plane par un cercle m´etallique . . . 34

5 Conclusion 37

Introduction

De nos jours, diff´erentes strat´egies de mod´elisation existent pour la simulation num´erique de la propagation des ondes ´electromagn´etiques. Malgr´e de grandes avanc´ees dans les m´ethodes num´eriques, capables de traiter avec pr´ecision et de mani`ere flexible des g´eom´etries complexes par des maillages non-structur´es (et ´eventuellement non-conformes), la m´ethode DFDT (Diff´erences Finies en Domaine Temporel) [24, 27] est toujours l’approche pro´eminente pour la mod´elisation de probl`emes d’´electromagn´etisme num´erique r´ealistes en domaine temporel, grˆace en particulier `a la facilit´e d’impl´ementation et aux faibles temps de calcul. Dans la m´ethode DFDT, le domaine de calcul entier est discr´etis´e par un maillage structur´e (Cart´esien), simplifiant ainsi le processus de discr´etisation mais repr´esentant aussi la principale limitation de cette m´ethode lorsque des objets `a g´eom´etrie complexe entrent en jeu. Les m´ethodes d’´el´ements finis nodales classiques sont connues pour g´en´erer des modes parasites faussant les simulations num´eriques. Les ´el´ements finis d’arˆetes [16, 17] ont ´et´e d´evelopp´es notamment pour s’affranchir de ces probl`emes mais sont p´enalis´es par la complexit´e de mise en oeuvre et les coˆuts des cal-culs. Les m´ethodes de volumes finis en maillages non-structur´es [20] sont plus flexibles vis-`a-vis de la prise en compte des h´et´erog´en´eit´es du milieu de propagation et de formes g´eom´etriques irr´eguli`eres, mais sont n´eanmoins de pr´ecision limit´ee. Par ailleurs, ces dix derni`eres ann´ees ont vu un int´eret croissant pour des m´ethodes appel´ees GDDT (Galerkin Discontinue en Domaine Temporel). Grˆace `a l’utilisation d’espaces ´el´ements finis disconti-nus, les m´ethodes GDDT peuvent facilement ˆetre trait´ees avec des ´el´ements de diff´erents types et formes, de plus aucune continuit´e n’est impos´ee aux interfaces entre les ´el´ements et le degr´e du polynˆome d’interpolation peut aussi varier localement, permettant ainsi d’offrir une grande flexibilit´e dans la conception des maillages (qui peuvent ˆetre irr´eguliers, non-conformes, etc.). Les m´ethodes GDDT ont ´et´e d´ev´elopp´ees sur des maillages quadrangulaires (cas 2D) ou hexa´edriques (cas 3D) [2, 15], aussi bien que sur des maillages triangulaires ou t´etra´edriques [6, 7, 9, 12]. Ces m´ethodes ont aujourd’hui atteint une certaine maturit´e (leur permettant de s’adap-ter `a des contextes de mod´elisations de plus en plus complexes, comme [4, 13, 18, 23] entre autres) et ont r´eussi `a s’int´egrer dans plusieurs communaut´es scientifiques et technologiques. Nous pouvons aussi relever que cette m´ethode a ´et´e pour la premiere fois choisie pour un logiciel commercial comme alternative en domaine tem-porel d’un outil bien connu de simulation d’ondes ´electromagn´etiques [22]. Dans tous les travaux mentionn´es pr´ec´edemment sur les m´ethodes GDDT, le premier ordre (ou formulation mixte) des ´equations de Maxwell insta-tionnaires est consid´er´e. `A travers chaque ´el´ement le champ ´electromagn´etiques est approxim´e par un polynˆome d’interpolation nodal d’ordre arbitraire.

Par la suite, plusieurs essais ont ´et´e r´ealis´es pour d´evelopper et combiner des m´ethodes en domaine temporel sur des maillages structur´es avec des formulations GDDT sur des maillages non-structur´es. Une strat´egie de bas ordre allant dans ce sens est pr´esent´ee dans [8] sous la forme d’une combinaison de DFDT avec VFDT (Volumes Finis en Domaine Temporel, qui peut ˆetre vue comme le plus bas ordre de la m´ethode GDDT). Une hybridation de DFDT avec GDDT est d´ecrite dans [10] pour des probl`emes 2D. Le principal objectif est de mod´eliser avec pr´ecision les d´etails g´eom´etriques d’objets courbes, tout en maintenant la simplicit´e et la rapidit´e de DFDT pour le reste du domaine de calcul. Ces strat´egies reposent sur un sch´ema coupl´e simple, une couche interm´ediaire d’´el´ements quadrangulaires est introduite entre la grille Cart´esienne (de la m´ethode DFDT) et le maillage triangulaire (de la m´ethode GDDT). A l’int´erieur de cette couche, DFDT est alors consid´er´e comme un cas particulier (plus pr´ecis´ement d’ordre 0) de GDDT et vice versa. Un flux centr´e est choisi pour la m´ethode GDDT et les deux m´ethodes utilisent un sch´ema saute-mouton d’ordre 2 pour la discr´etisation en temps. Dans un esprit similaire, des m´ethodes hybrides EFDT (El´ements Finis en Domaine Temporel)-DFDT ont ´et´e propos´ees comme par exemple dans [11, 25, 26]. Une hybridation d’ordre ´elev´e a r´ecemment ´et´e ´etudi´ee dans [3] qui combine une m´ethode d’´el´ements finis spectraux sur un maillage quadrangulaire avec une m´ethode GDDT sur un maillage triangulaire. Le couplage des deux m´ethodes est obtenu en utlisant un flux num´erique d´ecentr´e sur la fronti`ere interne (c’est-`a-dire entre les maillages triangulaires et quadrangulaires). Dans les deux m´ethodes, un sch´ema Runge-Kutta d’ordre 4 est choisi pour l’int´egration en temps. La pr´ecision de cette m´ethode hybride EFDT-GDDT est clairement d´emontr´ee pour des probl`emes en 2D mais il ne figure pas de comparaison avec des

maillages compl`etement triangulaires. Enfin, une autre approche, moins g´en´erale, est propos´ee dans [21]. Il s’agit d’un sch´ema combinant une m´ethode VFDT avec la technique d’int´egration finie ; un seul type de maillage est utilis´e (Cart´esien) et cette hybridation vise `a am´eliorer les propri´et´es de dispersion le long d’une direction. Nous sommes concern´es ici par la possibilit´e d’avoir un seul sch´ema de discr´etisation, i.e. une m´ethode Galerkin Discontinue, pour am´eliorer l’efficacit´e de la simulation en utilisant des maillages hybrides et non-conformes. Ces derniers sont compos´es d’´el´ements hexa´edriques (quadrangulaires en 2D) orthogonaux pour la discr´etisation des zones r´eguli`eres (partie structur´ee) et d’´el´ements t´etra´edriques (triangulaires en 2D) pour la discr´etisation d’objets de formes irr´eguli`eres (partie non-structur´ee) du domaine de calcul. Ce rapport est organis´e de la fac¸on suivante : la section 1 pr´esente le probl`eme aux conditions limites et initiales `a r´esoudre ; la section 2 expose la formulation GDDT-PpQksur des maillages multi-´el´ements en 3D. Dans la section 3 nous pr´esentons la preuve compl`ete de l’analyse de convergence th´eorique de la m´ethode DGTD-PpQken 3D, aboutissant `a un estimateur d’erreur a-priori prenant en compte la nature hybride du maillage. Enfin, la section 4 est destin´ee `a montrer la performance num´erique de la m´ethode pour deux sc`enarios de propagation en 2D.

1 Le probl`eme de Maxwell continu

Soit Ω un ouvert, born´e et r´egulier de R3de fronti`ere∂ Ω. Le syst`eme des ´equations de Maxwell tridimension-nelles est donn´e par :

(

ε∂tE − rot(H) = −z0σ E,

µ∂tH + rot(E) = 0, (1)

o`u E(x,t)_{≡ (E}x(x,t), Ey(x,t), Ez(x,t))T et H(x,t)_{≡ (H}x(x,t), Hy(x,t), Hz(x,t))Td´esignent respectivement les champs ´electrique et magn´etique (avec x= (x1, x2, x3)T) ;ε≡ ε(x), µ ≡ µ(x) et σ ≡ σ(x) sont respectivement

les permittivit´e ´electrique, perm´eabilit´e magn´etique et conductivit´e ´electrique. Les ´equations(1) ont ´et´e redimen-sionn´ees etε et µ d´efinissent des quantit´es relatives (z0=

p

µ0/ε0est l’imp´edance du vide). Notre objectif est

de r´esoudre le syst`eme(1) sur Ω de fronti`ere ∂ Ω = ∂ Ωa_{∪ ∂ Ω}m<sub>, en le compl`etant par les conditions aux limites</sub> suivantes (pour les conditions initiales, se reporter en d´ebut de section 3), o`u n d´esigne la normale sortante `a∂ Ω :

• sur∂ Ωm_{: n}

× E = 0, qui est appel´ee condition aux limites m´etallique ; • sur∂ Ωa_{: F(E, H) = F(E}

inc, Hinc) o`u F(X, Y) = n× X − zn × (Y × n), avec z =

p

µ/ε et (Einc, Hinc) un

champ incident donn´e. Cette condition est dite absorbante, ou plus pr´ecis´ement condition de Silver-M¨uller qui est une approximation du premier ordre de la condition aux limites absorbante exacte. Le bord∂ Ωa_, sur lequelle cette condition est appliqu´ee, repr´esente une troncature artificielle du domaine de calcul. Ce probl`eme admet alors une unique solution dans un certain espace fonctionnel, pr´ecis´e dans la section 3. On r´e´ecrit le syst`eme(1) sous une forme condens´ee, appel´ee aussi forme pseudo-conservative :

Q(∂t_{W) + ∇ · F(W) = J,} (2) o`u : Q=  εI3×3 03×3 03×3 µI3×3  , W =  _E H  et J=     −z0σ E 0 0 0    , et : ∇_{· F(W) = ∂x} 1(F1(W)) + ∂x2(F2(W)) + ∂x3(F3(W)) ∈ R 6_,

avec : F1(W) =  03×3 N1 −N1 03×3  W = (0, H3,−H2, 0,−E3, E2)T ∈ R6, F2(W) =  03×3 N2 −N2 03×3  W = (−H3, 0, H1, E3, 0,−E1)T ∈ R6, F3(W) =  03×3 N3 −N3 03×3  W = (H2,−H1, 0,−E2, E1, 0)T ∈ R6,

et N1, N2, N3sont les matrices (anti-sym´etriques) donn´ees par :

N1=   0 0 0 0 0 1 0 _{−1 0}   , N2=   0 0 ₋₁ 0 0 0 1 0 0   , N3=   0 1 0 −1 0 0 0 0 0  . Enfin, on supposeσ = 0.

2 Discr´etisation du probl`eme en espace et en temps

2.1 Discr´etisation en espace par une m´ethode GDDT-P

p

Q

k

2.1.1 Formulation faible

Le domaine Ω est suppos´e discr´etis´e par Ωh=SN

i=1ci= ThSQh, o`u les ci d´esignent des cellules qui sont des t´etra`edres (_{∈ T}h) ou des hexa`edres (<sub>∈ Q</sub>h) en 3D (des triangles ou des quadrangles en 2D). Dans le cas 2D, le maillage obtenu peut ˆetre conforme, ou non-conforme (cf [6, 7]) i.e. comportant des noeuds flottants sur une face commune `a deux ´el´ements de diff´erents types. D’autre part en 3D, pour obtenir un maillage hybride conforme, il faut faire appel `a des ´el´ements interm´ediaires (car les faces des t´etra`edres sont des triangles alors que celles des hexa`edres sont des quadrangles), prismes ou pyramides, ce qui complique notablement le processus de construction du maillage. Dans le cadre d’une m´ethode de discr´etisation Galerkin Discontinue, il n’est pas n´ecessaire d’imposer une telle conformit´e. Dans la pr´esente ´etude, nous consid´erons des maillages hybrides et non-conformes, tout en nous limitant `a un certain type de non-conformit´e sch´ematis´e sur la FIG. 1. Autrement dit, on se limitera au cas o`u, sur une face hybride, l’ensemble des faces triangulaires (issues des t´etra`edres) co¨ıncide avec la face quadrangulaire de l’hexa`edre voisin.

q1 q2 t1 t2 t1 q2 t2

FIG. 1 – Gauche : Type nonconformit´e consid´er´ee en 3D, entre un hexa`edre (q2) et deux t´etra`edres (t1 et t2) -Droite : Vue 2D d’une face hybride non-conforme entre l’hexa`edre q2 et les deux t´etra`edres t1 et t2

Pour la pr´esentation des sch´emas de discr´etisation, nous allons consid´erer uniquement des fronti`eres m´etalliques (i.e.∂ Ωa_{= ∅). On note ~ψ = (ψ}

1, ψ2, ψ3, ψ4, ψ5, ψ6)T∈ R6une fonction test vectorielle. En appliquant le produit

scalaire (euclidien, not´e_{h. , .i) par ~ψ au syst`eme (2) et en int´egrant sur c}i, nous obtenons : Z ci Q(∂tW) , ~ψdx+ Z ci _∇ · F(W) , ~ψdx= 0. (3)

Soit Pp[ci] l’espace des fonctions polynomiales de degr´e au plus p sur ci_{∈ T}h(par exemple, les polynˆomes P2

en 2D sont de la formeα0+ α1x1+ α2x2+ α3x1x2+ α4x21+ α5x22), muni de la base localeφi= (ϕi1, ϕi2,··· ,ϕidi)

T

avec dile nombre de degr´es de libert´e pour le t´etra`edre ci. Soit Qk[ci] l’espace des fonctions polynomiales de degr´e au plus k par rapport chaque variable s´epar´ement sur ci_{∈ Q}h(par exemple, les polynˆomes Q2en 2D sont de la

formeγ0+ γ1x1+ γ2x2+ γ3x1x2+ γ4x21+ γ5x22+ γ6x21x2+ γ7x1x22), muni de la base localeθi= (ϑi1, ϑi2,··· ,ϑibi)

T

avec bile nombre de degr´es de libert´e pour l’hexa`edre ci. Les degr´es de libert´e locaux sont not´es Wil∈ R6_et

Wi∈ R6d´efinira la restriction de la solution approch´ee `a la cellule ci(i.e. Wi= Wh ci). Ainsi, nous avons :

• Si ci∈ Th : Wi(x) = di

∑

l=1 Wilϕil(x) =      di

∑

l=1 Eilϕil(x) di

∑

l=1 Hilϕil(x)     =  _E i(x) Hi(x) 

; et Pp[ci] = Vect ϕi1, . . . , ϕidi

. (4) • Si ci_{∈ Qh}: Wi(x) = bi

∑

l=1 Wilϑil(x) =      bi

∑

l=1 Eilϑil(x) bi

∑

l=1 Hilϑil(x)     =  _Ei(x) Hi(x) 

; et Qk[ci] = Vect ϑi1, . . . , ϑibi

. (5)

Nous cherchons alors une solution approch´ee Whdans l’espace d’approximation global V_h6, d´efini par :

Vh= ( vh∈ L2(Ω)      ∀ci∈ Th, vh ci∈ Pp[ci] ∀ci∈ Qh, vh ci∈ Qk[ci] ) . (6)

Maintenant, notons ai j= ci∩ cjla face commune entre ciet cjetVi={ j|ci∩ cj6= ∅} l’ensemble des ´el´ements voisins de ci. On introduit ´egalement la notation ˘ni jqui est le vecteur normal unitaire `a ai jsortant dirig´e de civers

cjet ˘ni j= ( ˘n1i j, ˘ni j2, ˘n3i j)T∈ R3. Puisqu’aucune forme de continuit´e n’est assur´ee d’un ´el´ement `a un autre pour le champ de vecteurs Wh, un traitement particulier doit ˆetre introduit pour l’´evaluation des int´egrales de bord sur la face ai j. Dans le contexte des m´ethodes volumes finis, on parle de flux num´erique. Nous utilisons ici un flux num´erique bas´e sur un sch´ema centr´e :

W_{h ai j}=

W_{i ai j}+ W_{j a}

i j

2 .

Pour le traitement num´erique des conditions aux limites i.e. pour les interfaces ai jlocalis´ees sur la discr´etisation de∂ Ωm_{, nous consid´erons c}

june cellule fictive et nous ´etablissons :

Sur ai j_{∈ ∂ Ω}m: Wj=  −I3×3 03×3 03×3 I3×3  Wi, i.e. :  _E j Hj  =  −Ei Hi  ; donc : Wh ai j=     0 0 0 H_{j a} i j    .

Nous distinguerons par la suite deux cas diff´erents :

• Cas (A) : ci_{∈ Th}. ciest un t´etra`edre et les cellules voisines `a cisont des t´etra`edres ou des hexa`edres. Une face de l’´el´ement fini ci, est alors soit une face fronti`ere m´etallique de t´etra`edre (_{∈ T}i

m), soit une face interne commune `a deux t´etra`edres (_{∈ T}i

d), soit une face interne commune `a un t´etra`edre et un hexa`edre, dite hybride (_{∈ H}i

d). Autrement dit, pour j∈ Vion a cj∈ Th S_Q h, et donc ai j_{∈ H}i d S_Ti d S_Ti m. En injectant Wi dans (3), en utilisant une double int´egration par partie ainsi que les diff´erentes particularit´es de la m´ethode Galerkin Discontinue (flux num´erique, conditions aux limites, etc.), nous obtenons la formulation faible sp´ecifique aux cellules t´etra´edriques suivante :

2Qi Z ci h∂tWi, ~ψidx + Z ci * 3

∑

k=1 ∂x_kNk_W i, ~ψ + − 3

∑

k=1 D ∂x_k~ψ , _Nk_W i E! dx+

∑

ai j∈Tdi Z ai j Mi jWj, ~ψdσ +

∑

ai j∈Tmi Z ai j hSimWi, ~ψ_{idσ +}

_∑

ai j∈Hdi Z ai j Mi jWj, ~ψdσ = 0, (7) avec : • Qi=  εiI3×3 03×3 03×3 µiI3×3 

, o`u εietµisont des valeurs constantes sur ci, • Nk₌  03×3 Nk −Nk 03×3  , • _Mi j= 3

∑

k=1 ˘ nk_{i jN}k=  03×3 N˘i j − ˘Ni j 03×3  , o`u ˘Ni j= 3

∑

k=1 ˘ nk_{i j}Nk=   0 n˘3_{i j − ˘n}2_{i j} − ˘n3 i j 0 n˘1i j ˘ n2_{i j − ˘n}1_{i j} 0  , • _Sim=  03×3 N˘im ˘ Nim 03×3  . Remarques :

• Dans chaque terme Wi∈ Pp[ci] (resp. Wj∈ Pp[cj]), except´e dans la somme sur Hdio`u Wj∈ Qk[cj]. • ∀X ∈ R3_{, on a ˘Ni jX = X × ˘ni j. De plus, ˘ni j=−˘njiet donc ˘N}

i j=− ˘Nji.

• Les matrices Nket ˘Ni jsont de taille 3× 3 et sont anti-sym´etriques ; les matrices NketMi jsont de taille 6_{× 6 et sont sym´etriques ; et S}imest une matrice 6× 6 anti-sym´etrique.

• Cas (B) : ci∈ Qh. ciest un hexa`edre et les cellules voisines sont des hexa`edres ou des t´etra`edres. Une face de l’´el´ement fini ci, est alors soit une face fronti`ere m´etallique d’hexa`edre (∈ Qi

m), soit une face interne commune `a deux hexa`edres (∈ Qi

d), soit une face interne commune `a un hexa`edre et un t´etra`edre, dite hybride (_{∈ H}i

d). Autrement dit, pour j∈ Vion a cj∈ Th S_Q h, et donc ai j∈ Hdi S_Qi d S_Qi m. En injectant Whdans(3), en utilisant une double int´egration par partie et les diff´erentes particularit´es de la m´ethode Galerkin Discontinue, nous obtenons la formulation faible sp´ecifique aux cellules hexa´edriques suivante :

2Qi Z ci h∂tWi, ~ψ_{idx +} Z ci * 3

∑

k=1 ∂x_kNk_{Wi, ~ψ} + − 3

∑

k=1 D ∂x_k~ψ , _Nk_WiE ! dx+

∑

ai j∈Qi_d Z ai j Mi jWj, ~ψ  dσ +

_∑

ai j∈Qim Z ai j hSimWi, ~ψidσ +

∑

ai j∈H_di Z ai j Mi jWj, ~ψ  dσ = 0. (8)

Remarque : ici, dans chaque terme Wi∈ Qk[ci] (resp. Wj∈ Qk[cj]), except´e dans la somme sur Hdio`u Wj∈ Pp[cj].

2.1.2 Equations semi-discr´etis´ees pour les cellules t´etra´edriques

A partir de maintenant, on suppose diidentique pour tous les t´etra`edres ci. On introduit les notations suivantes :

Φ_i= Z ci φiφT i dx, Φ xk i = Z ci 

φi ∂x_kφi
T_{− ∂}xkφi

φT i  dx, Φi j= Z ai j φiφT jdσ et ϒi j= Z ai j φiθT jdσ , o`u :

• φiest un vecteur colonne de Rdi _etφT

i (resp.φTj) est un vecteur ligne de Rdi (resp. de Rdj ). • θT

j est un vecteur ligne de Rbj.

• Φiest une matrice di_{× d}isym´etrique d´efinie positive et Φxikune matrice di× dianti-sym´etrique. • Φi jest une matrice di× di(dj= di) sym´etrique positive.

• ϒi jest une matrice rectangulaire de taille di× bj. L’ordre des indices (i puis j) est `a respecter. Posons Ei et Hiqui d´esignent les vecteurs de R3di _{des degr´es de libert´e locaux E}

il et Hil (qui sont chacun des vecteurs de R3_{) pour l= 1, . . . , di, associ´es au t´etra`edre ci(notation sp´ecifique aux t´etra`edres). Posons eE}

jet eHj qui d´esignent les vecteurs de R3bj _{des degr´es de libert´e locaux Ejl et Hjlpour l= 1, . . . , bj, associ´es `a l’hexa`edre} cj(notation sp´ecifique aux hexa`edres) :

Ei=    Ei1 .. . Eidi   , Hi=    Hi1 .. . Hidi    ; et eEj=    Ej1 .. . Ejbj   , eHj=    Hj1 .. . Hjbj   . (9)

On introduit enfin les 6difonctions de base vectorielles ~ϕi1, . . . ,~ϕi(6di)qui sont des vecteurs de R

6_{, compos´es des}

fonctions de base scalairesϕi1, . . . , ϕidi de Pp[ci] (pour difonctions de base scalaires, on a 6difonctions de base

vectorielles associ´ees) et de la forme :

~ϕi1 =         ϕi1 0 0 0 0 0         , ~ϕi2 =         0 ϕi1 0 0 0 0         , . . . , ~ϕi6 =         0 0 0 0 0 ϕi1         , ~ϕi7 =         ϕi2 0 0 0 0 0         , ~ϕi8 =         0 ϕi2 0 0 0 0         , . . . , ~ϕi12 =         0 0 0 0 0 ϕi2         , .. . ... ... ~ϕi(6di−5) =         ϕidi 0 0 0 0 0         , ~ϕi(6di−4) =         0 ϕid_i 0 0 0 0         , . . . , ~ϕi(6di) =         0 0 0 0 0 ϕid_i         .

Afin d’obtenir les 6di´equations semi-discr´etis´ees, on effectue plusieurs remplacements dans la formulation faible (7). Dans les int´egrales sur ciet sur ai jpour ai j_{∈ Td}iet ai j_{∈ Tm}i, on remplace Wi(resp. Wj) par son expression (cf(4)) dans la base φi (resp.φj) de Pp[ci] (resp. Pp[cj]) ; en revanche pour le terme de somme sur Hi

d on remplace Wjpar son expression (cf(5)) dans la base θjde Qk[cj]. Enfin, on remplace ~ψ par ~ϕilpour l= 1, . . . , 6di. Proposons ainsi une expression du syst`eme de 6di´equations associ´e `a la formulation hybride dans le cas (A) :

∀ci∈ Th:              2_Xε,i dEi dt + 3

∑

k=1 Xxk i Hi+

∑

ai j∈Tdi Xi jHj+

_∑

ai j∈Tmi XimHi+

_∑

ai j∈Hdi Ai jHje = 0, 2_Xµ,i dHi dt − 3

∑

k=1X xk i Ei−

∑

ai j∈Tdi Xi jEj+

∑

ai j∈Tmi XimEi−

∑

ai j∈Hdi Ai jeEj = 0, (10) avec :                                                                                                                  Xε,i =     

(Φi)11(εiI3×3) (Φi)12(εiI3×3) ··· (Φi)1di(εiI3×3)

(Φi)21(εiI3×3) (Φi)22(εiI3×3) ··· (Φi)2di(εiI3×3)

..

. ... ...

(Φi)d_i1(εiI3×3) (Φi)di2(εiI3×3) ··· (Φi)didi(εiI3×3)

    , Xµ,i =     

(Φi)11(µiI3×3) (Φi)12(µiI3×3) ··· (Φi)1di(µiI3×3)

(Φi)21(µiI3×3) (Φi)22(µiI3×3) ··· (Φi)2di(µiI3×3)

..

. ... ...

(Φi)di1(µiI3×3) (Φi)di2(µiI3×3) ··· (Φi)didi(µiI3×3)

    , Xxk i =      (Φxk i )11Nk (Φxik)12Nk ··· (Φxik)1diNk (Φxk i )21Nk (Φxik)22Nk ··· (Φxik)2diNk .. . ... ... (Φxk i )di1Nk (Φ xk i )di2Nk ··· (Φ xk i )didiNk     , Xi j =      (Φi j)11N˘i j (Φi j)12N˘i j ··· (Φi j)1diN˘i j (Φi j)21N˘i j (Φi j)22N˘i j ··· (Φi j)2diN˘i j .. . ... ... (Φi j)di1N˘i j (Φi j)di2N˘i j ··· (Φi j)didiN˘i j     , Xim =      (Φi j)11N˘im (Φi j)12N˘im ··· (Φi j)1diN˘im (Φi j)21N˘im (Φi j)22N˘im ··· (Φi j)2diN˘im .. . ... ...

(Φi j)di1N˘im (Φi j)di2N˘im ··· (Φi j)didiN˘im

    , Ai j =      (ϒi j)11N˘i j (ϒi j)12N˘i j ··· (ϒi j)1bjN˘i j (ϒi j)21N˘i j (ϒi j)22N˘i j ··· (ϒi j)2bjN˘i j .. . ... ...

(ϒi j)di1N˘i j (ϒi j)di2N˘i j ··· (ϒi j)dibjN˘i j

    .

Xε,ietXµ,isont des matrices sym´etriques d´efinies positives,Xixkest une matrice sym´etrique,Xi jetXimsont des matrices anti-sym´etriques. Toutes sont de taille 3di×3disaufAi jqui est une matrice rectangulaire (correspondant aux interfaces hybrides) de taille 3di_×3bj( eHjet eEj´etant des vecteurs de R3bj,Ai jHejetAi jEejsont des vecteurs de R3di _{ce qui correspond bien au nombre d’´equations du syst`eme).}

2.1.3 Equations semi-discr´etis´ees pour les cellules hexa´edriques

Nous faisons ici la mˆeme hypoth`ese que sur les t´etra`edres, on suppose biidentique pour tous les hexa`edres ci. On introduit les notations suivantes :

Θ_i= Z ci θiθT i dx, Θ xk i = Z ci 

θi ∂x_kθi
T_{− ∂}xkθi

θT i  dx, Θi j= Z ai j θiθT jdσ , et on rappelle que : ϒT ji= Z ai j θiφT jdσ , o`u :

• θiest un vecteur colonne de Rbi _etθT

i (resp.θTj) est un vecteur ligne de Rbi (resp. de Rbj ) ;φTj est un vecteur ligne de Rdj_.

• Θiest une matrice sym´etrique d´efinie positive, Θxk

i une matrice anti-sym´etrique et Θi june matrice sym´etrique positive, toutes trois de taille bi_{× b}i(bj= bi).

• ϒT_jiest une matrice rectangulaire de taille bi_{× d}j. L’ordre des indices ( j puis i) est `a respecter.

Nous rappelons les notations eEiet eHide vecteurs de degr´es de libert´e locaux sp´ecifiques aux hexa`edres ; et Ejet Hjpour ceux sp´ecifiques aux t´etra`edres. On introduit aussi les 6bifonctions de base vectorielles ~ϑi1, . . . , ~ϑi(6bi)

qui sont des vecteurs de R6, compos´es des fonctions de base scalairesϑi1, . . . , ϑibide Qk[ci] (pour bifonctions de

base scalaires, on a 6bifonctions de base vectorielles associ´ees) et de la forme : ~

ϑi1 = ϑi1, 0, 0, 0, 0, 0
T, . . . , ~ϑi6 = 0, 0, 0, 0, 0, ϑi1
T,

.. . ... ~ ϑi(6bi−5) = ϑibi, 0, 0, 0, 0, 0
T , . . . , ~ϑi(6bi) = 0, 0, 0, 0, 0, ϑibi
T .

Pour obtenir le syst`eme de 6bi ´equations semi-discr´etis´ees, on effectue plusieurs remplacements dans la formu-lation faible(8). Dans les int´egrales sur ciet sur ai jpour ai j_{∈ Q}i

det ai j∈ Qim, on remplace Wi(resp. Wj) par son expression (cf(5)) dans la base θi(resp.θj) de Qk[ci] (resp. Qk[cj]) ; en revanche pour le terme de somme sur H_dion remplace Wjpar son expression (cf(4)) dans la base φjde Pp[cj]. Enfin, on remplace ~ψ par ~ϑilpour

l= 1, . . . , 6bi. Proposons ainsi une expression du syst`eme de 6bi´equations associ´e `a la formulation hybride dans le cas (B) : ∀ci∈ Qh:              2_Wε,i d eEi dt + 3

∑

k=1W xk i Hei+

∑

ai j∈Qid Wi jHej+

∑

ai j∈Qim WimHei+

∑

ai j∈Hdi Bi jHj= 0, 2_Wµ,i d eHi dt − 3

∑

k=1 Wxk i Eie −

∑

ai j∈Qid Wi jeEj+

∑

ai j∈Qim WimEie −

∑

ai j∈Hdi Bi jEj = 0. (11)

avec :                                                                                                                          Wε,i =     

(Θi)11(εiI3×3) (Θi)12(εiI3×3) ··· (Θi)1bi(εiI3×3)

(Θi)21(εiI3×3) (Θi)22(εiI3×3) ··· (Θi)2bi(εiI3×3)

..

. ... ...

(Θi)bi1(εiI3×3) (Θi)bi2(εiI3×3) ··· (Θi)bibi(εiI3×3)

    , Wµ,i =     

(Θi)11(µiI3×3) (Θi)12(µiI3×3) ··· (Θi)1bi(µiI3×3)

(Θi)21(µiI3×3) (Θi)22(µiI3×3) ··· (Θi)2bi(µiI3×3)

..

. ... ...

(Θi)bi1(µiI3×3) (Θi)bi2(µiI3×3) ··· (Θi)bibi(µiI3×3)

    , Wxk i =      (Θxk i )11Nk (Θxik)12Nk ··· (Θxik)1biNk (Θxk i )21Nk (Θxik)22Nk ··· (Θxik)2biNk .. . ... ... (Θxk i )bi1Nk (Θ xk i )bi2Nk ··· (Θ xk i )bibiNk     , Wi j =      (Θi j)11N˘i j (Θi j)12N˘i j ··· (Θi j)1biN˘i j (Θi j)21N˘i j (Θi j)22N˘i j ··· (Θi j)2biN˘i j .. . ... ... (Θi j)b_i1N˘i j (Θi j)bi2N˘i j ··· (Θi j)bibiN˘i j     , Wim =      (Θi j)11N˘im (Θi j)12N˘im ··· (Θi j)1biN˘im (Θi j)21N˘im (Θi j)22N˘im ··· (Θi j)2biN˘im .. . ... ... (Θi j)b_i1N˘im (Θi j)bi2N˘im ··· (Θi j)bibiN˘im     , Bi j =           ϒT ji  11 ˘ Ni j  ϒT ji  12 ˘ Ni j ···  ϒT ji  1dj ˘ Ni j  ϒT ji  21 ˘ Ni j  ϒT ji  22 ˘ Ni j ···  ϒT ji  2dj ˘ Ni j .. . ... ...  ϒT ji  bi1 ˘ Ni j  ϒT ji  bi2 ˘ Ni j ···  ϒT ji  bidj ˘ Ni j          .

Wε,i etWµ,i sont des matrices sym´etriques d´efinies positives, Wixk est une matrice sym´etrique, Wi j et Wim sont des matrices anti-sym´etriques. Toutes sont de taille 3bi_{× 3b}i sauf Bi j qui est une matrice rectangulaire (correspondant aux interfaces hybrides) de taille 3bi_{× 3d}j. On peut enfin remarquer que_BT

ji=Ai j.

2.2 Discr´etisation en temps par un sch´ema saute-mouton d’ordre 2

Le choix de la discr´etisation en temps est une ´etape cl´e pour l’efficacit´e globale d’une m´ethode num´erique, nous allons utiliser ici des sch´emas explicites, dont le principal avantage est la facilit´e de mise en œuvre. Des syst`emes (10) et (11) de la m´ethode GDDT-PpQk qui sont d´esormais des syst`emes d’´equations diff´erentielles ordinaires (EDO) locaux, on en d´eduit les deux sch´emas saute-mouton (Leap-Frog) du second ordre, o`u le champ ´electrique et le champ magn´etique sont ´evalu´es sur une grille en temps d´ecal´ee. On note ∆t> 0 le pas de temps global pour

• Cas (A) :        Hn+1 2 i = H n−1 2 i + ∆t 2  Xµ,i−1An_E,i, En+1 i = E n i+ ∆t 2 [Xε,i] −1_An+1₂ H,i , (12) avec :              An E,i = 3

∑

k=1 Xxk i E n i+

∑

ai j∈Tdi Xi jEn j−

∑

ai j∈Tmi XimEn i+

∑

ai j∈Hdi Ai jeEn j, An+12 H,i = − 3

∑

k=1 Xxk i H n+1 2 i −

∑

ai j∈Tdi Xi jHn+12 j −

∑

ai j∈Tmi XimHn+12 i −

∑

ai j∈Hdi Ai jHe n+1 2 j . • Cas (B) :        e Hn+1 2 i = He n−1 2 i + ∆t 2  Wµ,i−1Bn_E,i, e En+1 i = Eeni + ∆t 2 [Wε,i] −1_Bn+1₂ H,i , (13) avec :              Bn E,i = 3

∑

k=1 Wxk i Ee n i+

∑

ai j∈Qid Wi jeEn j−

∑

ai j∈Qim WimEen i+

∑

ai j∈Hdi Bi jEn j, Bn+12 H,i = − 3

∑

k=1 Wxk i He n+1 2 i −

∑

ai j∈Qid Wi jHe n+1 2 j −

∑

ai j∈Qmi WimHe n+1 2 i −

∑

ai j∈Hdi Bi jHn+12 j .

La condition initiale du sch´ema(12)_{− (13) est en H}12

i (resp. eH 1 2 i) et E 0 i (resp. eE0i).

3 Etude de convergence th´eorique

Nous proc´edons maintenant `a l’analyse math´ematique de la m´ethode GDDT-PpQk. La stabilit´e de celle-ci ´etant prouv´ee dans [5] (amenant `a une condition suffisante de type CFL), nous nous int´eressons `a pr´esent `a la conver-gence en h de ce sch´ema afin de d´egager un estimateur d’erreur a-priori [9] (ou encore [19, 14]). Pour ´etudier cette convergence, commenc¸ons tout d’abord par bien resituer le probl`eme(1). On rappelle que (1) (cf [9]) admet une unique solution (exacte) W dans l’espace fonctionnel suivant :

W ∈ C1_{([0,tf], (L}2_(Ω))6₎\

C0_([0,t

f], (H(rot, Ω))6), (14) pour toute condition initiale W0∈ (H(rot,Ω))6satisfaisant les conditions aux limites d´ecrites dans la section 1.

De plus, on associe ainsi aux formulations faibles(7) et (8) (d’inconnue Wh(t)) la condition initiale : Wh(0) =

Ph(W0) o`u Ph:(L2(Ω))6→ V<sub>h</sub>6d´esigne le projecteur orthogonal sur V<sub>h</sub>6selon le produit scalaire(L2(Ω))6(dans un abus de notation, nous utiliserons ´egalement Phquand n´ecessaire pour la projection orthogonale sur V<sub>h</sub>3). Nous faisons maintenant plusieurs hypoth`eses et introduisons quelques notations.

3.1 Propositions, lemmes, hypoth`eses et notations

Dans ce qui suit, hc_i d´esigne le diam`etre de la cellule (t´etra`edre ou hexa`edre) ci. On consid`ere une famille de grilles non-structur´ees(Ch)_h(hybrides et non-conformes), o`u h est le param`etre de maillage de chaque grille, d´efini par h= max

ci∈Ch

hci. Les maillages Ch sont suppos´es compatibles avec la fronti`ere du domaine∂ Ω, i.e. le

volume discr´etis´e Ωh=Sci∈Chciest ´egal `a Ω.

On suppose que ces grilles non-strucutr´ees Chsont uniform´ement ”shape regular” : il existe une constanteη > 0 telle que :

∀h, ∀ci∈ Ch, hci



ρci ≤ η, (15)

o`uρc<sub>i</sub> est le diam`etre de la plus grande boule incluse dans l’´el´ement fini ci. On suppose ´egalement la suivante ”inverse assumption” : il existe une constanteγ > 0 (ind´ependante de h) telle que :

∀h, ∀ci∈ Ch, ∀ j ∈ Vi, hci



hcj ≤ γ. (16)

Nous faisons de plus l’hypoth`ese que les coefficients ´electromagn´etiquesε et µ sont uniform´ement born´es et constants par morceaux, on note Ωjles sous-domaines de Ω o`uε et µ sont constants.

On introduit ensuite les espace de Sobolev morcel´es PHs+1(Ω) =_{{v | ∀ j,v}Ω_j ∈ Hs+1(Ωj)} munis de la norme

kvkPHs+1_(Ω)=  ∑_jkvΩjk 2 s+1,Ωj 1/2

, o`u_k.ks+1,Ωj d´esigne la norme H

s+1_{standard sur Ωj.}

Enfin, nous pr´esentons les trois formes bilin´eaires suivantes (que nous utiliserons dans toute cette analyse de convergence) : m(T, T′) = 2 Z Ω QT, T′dx, a(T, T′) = Z Ω * 3

∑

k=1 ∂h xkN k_{T , T}′ + − 3

∑

k=1 ∂h xkT ′_,Nk_T ! dx, b(T, T′) = Z F_d {V} ,qU′y−{U} , JV′K−{V′} , JUK+_{U′_{} , JVK}
dσ + Z F_m U , ˘n × V′_{+V , ˘n × U}′
_{dσ ,} avec : • T=  _U V  ∈ R6_{et T}′₌  _U′ V′ 

∈ R6_{(et U, V, U}′_{et V}′_{appartiennent chacun `a R}3_).

• JUhKi j=U_{j a}

i j− Ui ai j



× ˘ni jet{Uh}i j=

Ui ai j+ Uj a_{i j}

2 sont respectivement le saut et le flux de Uhsur la face ai j.

• Fd d´esigne l’ensemble de toutes les faces internes et Fm l’ensemble de toutes les faces m´etalliques du maillage.

• (∂h

xkT)ci= ∂xk(Tci) pour k = 1, 2, 3.

Maintenant, en r´ealisant la somme de (7) sur chaque ci_{∈ T}h et de (8) sur chaque ci∈ Qh, on obtient que la solution discr`ete Wh_{∈ Vh}6satisfait :

m(∂tWh, T′_{) + a(Wh, T}′_{) + b(Wh, T}′_{) = 0, ∀T}′_{∈ V}6

h. (17)

On montre alors dans la Proposition 1 que la m´ethode GDDT-PpQ_kest consistante avec le syst`eme (1) : Proposition 1. Soit W la solution exacte de (1) (et satisfaisant (14)), on a :

m(∂tW,T′) + a(W, T′) + b(W, T′) = 0, _∀T′_{∈ Vh}6. (18)

D´emonstration. Dans un premier temps, regardons m(∂tW,T′) :

m(∂tW,T′) = 2 N

∑

i=1 Z ci Q∂tW , T′ _dx. Deuxi`emement, on s’int´eresse `a b(W, T′) : b(W, T′) = Z F_d {H} , qU′y_{−{E} , JV}′_K−{V′_{} , JEK+{U}′_{} , JHK
dσ +} Z F_m E , ˘n × V′_{+H , ˘n × U}′
_dσ =

∑

ai j∈Fd Z ai j  D {H}i j , qU′y_{i j}E−D{E}i j, JV′Ki jE− D {V′}i j, JEKi j E +D_{U′_}i j, JHKi j E  dσ +

∑

ai j∈Fm Z ai j _E ci , ˘ni j× V′i  +Hci , ˘ni j× U′i 
dσ .

Du fait que les composantes E et H appartiennent `a H(rot, Ω), leurs traces tangentielles sont continues. Autrement dit, sur ai j_{∈ F}d, on a : Eci× ˘ni j= Ecj× ˘ni jet Hci× ˘ni j= Hcj× ˘ni jet donc :

• JEKi j= JHKi j= 0.

• {H}i j× ˘ni j= H× ˘ni jet{E}i j× ˘ni j= E× ˘ni j

Par ailleurs, toujours dans l’int´egrale pour ai j_{∈ F}d, on remarque les ´egalit´es suivantes (propri´et´es du produit mixte) :

• D{H}i j , JU′Ki jE=D{H}i j× ˘ni j, U′_i− U′

j E • D{E}i j , JV′Ki jE=D{E}i j× ˘ni j, V′_i− V′

j E Enfin, dans l’int´egrale sur ai j_{∈ F}m, on a :

• Eci , ˘ni j× V′i  =Eci× ˘ni j, V′i  =_{E × ˘n}i j, V′i  • Hci , ˘ni j× U′i  =Hci× ˘ni j, U′i  =H × ˘ni j, U′_i

Ainsi, nous arrivons `a la forme de b(W, T′_{) suivante :} b(W, T′) =

_∑

ai j∈Fd Z ai j H × ˘ni j, U′i− U′j  −E × ˘ni j, V′i− V′j 
dσ +

∑

ai j∈Fm Z ai j E × ˘ni j, V′i  +H × ˘ni j, U′i 
dσ .

Pour finir, on traite a(W, T′) :

a(W, T′) = Z Ω * ₃

∑

k=1 ∂h xkN k_{W , T}′ + dx₋ Z Ω 3

∑

k=1 D ∂h xkT ′_{, N}k_WE_dx = N

∑

i=1 Z ci * 3

∑

k=1 ∂x_kNk_{W , T}′ + dx₋ N

∑

i=1 Z ci 3

∑

k=1 D ∂x_kT′_{, N}k_WE_dx.

En utilisant la formule d’int´egration par partie ci-dessous : Z ci 3

∑

k=1 ∂x_kT′_{, N}k_Wdx= − Z ci * 3

∑

k=1 ∂x_kNk_{W , T}′ + dx+ Z ∂ ci 3

∑

k=1 _T′ , ˘nk Nk_W_{dσ ,}

on obtient, en posant F_di l’ensemble de toutes les faces internes de la cellule ciet F_mi l’ensemble de toutes ses faces m´etalliques : a(W, T′) = 2 N

∑

i=1 Z ci * 3

∑

k=1 ∂x_kNk_{W , T}′ + dx₋ N

∑

i=1 Z ∂ ci 3

∑

k=1 _T′ , ˘nkNk_W_dσ = 2 N

∑

i=1 Z ci ∇_{· F(W) , T}′dx₋ N

∑

i=1

∑

j∈V_i Z ai j 3

∑

k=1 _T′ , ˘nk i j  Nk_W_dσ = 2 N

∑

i=1 Z ci ∇_{· F(W) , T}′dx₋ N

∑

i=1

∑

j∈V_i Z ai j * ₃

∑

k=1 ˘ nk i jNk_{W , T}′ + dσ = 2 N

∑

i=1 Z ci ∇_{· F(W) , T}′dx₋ N

∑

i=1

∑

j∈V_i Z ai j Mi jW , T′_dσ = 2 N

∑

i=1 Z ci _∇ · F(W) , T′dx₋ N

∑

i=1

∑

ai j∈Fdi Z ai j Mi jW , T′_dσ−

_∑

N i=1

∑

ai j∈Fmi Z ai j Mi jW , T′_{dσ ,}

et finalement : a(W, T′) = 2 N

∑

i=1 Z ci ∇_{· F(W) , T}′dx₋ N

∑

i=1

∑

ai j∈Fdi Z ai j _H ci× ˘ni j, U′i  −Eci× ˘ni j, V′i 
dσ₋ N

∑

i=1

∑

ai j∈Fmi Z ai j _H ci× ˘ni j, U′i  −Eci× ˘ni j, V′i 
dσ .

On r´ealise `a pr´esent la somme sur toutes les faces internes et sur toutes les faces m´etalliques, a(W, T′) devient alors : a(W, T′) = 2 N

∑

i=1 Z ci ∇_{· F(W) , T}′dx₋

∑

ai j∈Fd Z ai j _H ci× ˘ni j, U′i  −Eci× ˘ni j, V′i  + _H cj× ˘nji, U′j  −Ecj× ˘nji, V′j   dσ−

∑

ai j∈Fm Z ai j _H ci× ˘ni j, U′i  −Eci× ˘ni j, V′i 
dσ = 2 N

∑

i=1 Z ci _∇ · F(W) , T′dx₋

∑

ai j∈Fd Z ai j H × ˘ni j, U′i− U′j  −E × ˘ni j, V′i− V′j 
dσ₋

∑

ai j∈Fm Z ai j H × ˘ni j, U′i  −E × ˘ni j, V′i 
dσ .

On arrive donc `a la somme des trois formes m(∂tW,T′), a(W, T′) et b(W, T′) suivante :

m(∂tW,T′) + a(W, T′) + b(W, T′) = 2 N

∑

i=1 Z ci Q(∂tW) , T′dx+ 2 N

∑

i=1 Z ci _∇ · F(W) , T′dx+ 2

∑

ai j∈Fm Z ai j E × ˘ni j, V′i  dσ .

Or, si on prend T′la fonction test vectorielle dans(3) et que l’on somme pour chaque ci_{∈ Ω}h, cela implique que :

2 N

∑

i=1 Z ci Q(∂tW) , T′_{dx+ 2}

_∑

N i=1 Z ci _∇ · F(W) , T′dx= 0,

et en appliquant pour finir la condition aux limites sur le bord m´etallique∂ Ωm_{, qui nous est donn´ee par : E× ˘n = 0,} on obtient ainsi :

m(∂tW,T′_{) + a(W, T}′_{) + b(W, T}′_{) = 0, ∀T}′_{∈ V}6

Dans la suite, nous nous servirons du lemme de stabilit´e suivant : Lemme 1. Pour tout T′_{∈ V}6

h, on a :

a(T′, T′) + b(T′, T′) = 0. (19)

D´emonstration. On constate pour a(T′_{, T}′_{) que :}

a(T′, T′) = Z Ω * 3

∑

k=1 ∂h xkNkT ′_{, T}′ + dx₋ Z Ω 3

∑

k=1 ∂h xkT ′_,Nk_T′_dx = Z Ω 3

∑

k=1 ∂xhkN k_T′_{, T}′_dx−Z Ω 3

∑

k=1 ∂xhkT ′_{, N}k_T′_dx = Z Ω 3

∑

k=1 Nk_∂h xkT ′_{, T}′_dx−Z Ω 3

∑

k=1 ∂h xkT ′_,Nk_T′_dx = Z Ω 3

∑

k=1 ∂h xkT ′_,_NkT_T′_dx−Z Ω 3

∑

k=1 ∂h xkT ′_{, N}k_T′_dx = Z Ω 3

∑

k=1 ∂h xkT ′_,Nk_T′_dx−Z Ω 3

∑

k=1 ∂h xkT ′_{, N}k_T′_dx = 0. De mˆeme pour b(T′, T′) : b(T′, T′) = Z F_d _V′ , qU′y_−{U′_{} , JV}′K−{V′} , JU′K+_{U′_{} , JV}′K
dσ + Z F_{m U′} , ˘n_{× V}′+V′_{, ˘n× U}′
_dσ = Z F_{m U′} , ˘n_{× V}′₋U′_{, ˘n× V}′
_{dσ = 0.} On a donc : a(T′, T′) + b(T′, T′) = 0, _∀T′_{∈ V}6 h. Remarque : on peut montrer de fac¸on similaire que a et b sont anti-sym´etriques.

Ceci implique, en remplac¸ant dans(17), T′par Wh∈ V6

h la solution approch´ee :

m(∂tWh, Wh) = 0. On d´efinit l’´energie semi-discr`ete par : Eh(t) =1

2m(Wh, Wh). Elle est constante car

d

Nous terminons cette sous-section en rappelant deux r´esultats d´ej`a connus dans les m´ethodes d’´el´ements finis, o`u |.|r,ci d´esigne la semi-norme standard H

r_{sur ciet}

k.k0,∂ ci la norme standard L

2_{sur∂ ci:}

Lemme 2. (cf [1]) Soit τi∈ Th(resp. qi∈ Qh) et u∈ Hs+1(τi) (resp. u∈ Hs+1(qi)) pour s≥ 0. Soit Π un

op´erateur lin´eaire de Hs+1(τi) (resp. Hs+1_{(qi)) dans Pp[τi] (resp. Qk[qi]) tel que Π(u) = u, pour tout u∈ Pp[τi]}

(resp. Qk[qi]). Alors, on a :

|Π(u) − u|r,τi ≤ C h min{s,p}+1−r τi kuks+1,τi, r = 0, 1, (20) kΠ(u) − uk0,∂ τi ≤ C h min{s,p}+1/2 τi kuks+1,τi, (21) et respectivement : |Π(u) − u|r,qi ≤ C h min{s,k}+1−r qi kuks+1,qi, r = 0, 1, (22) kΠ(u) − uk0,∂ qi ≤ C h min{s,k}+1/2 qi kuks+1,qi, (23) o`u C est une constante strictement positive d´ependant uniquement de p (resp. k), s et du param`etre de r´egularit´e du maillageη.

Lemme 3. (cf [1]) Pour tout v ∈ Pp[τi] (resp. v∈ Qk[qi]) on a : kvk0,∂ τi ≤ ˆC h −1/2 τi kvk0,τi, (24) kvk1,τi ≤ ˆC h −1 τi kvk0,τi, (25) et respectivement : kvk0,∂ qi ≤ ˆC h −1/2 qi kvk0,qi, (26) kvk1,qi ≤ ˆC h −1 qi kvk0,qi, (27)

o`u ˆC est une constante strictement positive d´ependant uniquement de p (resp. k), s et du param`etre de r´egularit´e du maillageη.

3.2 Convergence du probl`eme semi-discret

Th´eor`eme 1. Soit (Ch)hune famille de maillages non-structur´es (hybrides et non-conformes) satisfaisant(15)

et(16). Soit ε et µ uniform´ement born´es et constants par morceaux. Vhest donn´e par(6).

Soit W la solution exacte de(1) v´erifiant (14) et appartenant de plus `aC0_{([0,tf], (PH}s+1_(Ω))6_{) pour s≥ 0, soit}

Wh∈ C1([0,tf],V_h6) la solution semi-discr`ete satisfaisant (7)-(8) (et W et Whsatisfont les conditions initiales

´enonc´ees en d´ebut de cette section). Soit ξh= max n hminτ {s,p}, hminq {s,k} o avec hτ= max τi∈Th (hτi) et hq= max qi∈Qh (hqi), alors il existe une contante C> 0 (utilis´ee de fac¸on g´en´erique dans toute cette ´etude) ind´ependante de h telle

que :

max t∈[0,tf]

(kPh(W(t))− Wh(t)k0,Ω) ≤ CξhtfkWkC0_([0,t

D´emonstration. Notons w(t) = W(t)_{− W}h(t) =  E(t) − Eh(t) H(t) − Hh(t)  =  e(t) h(t)  l’erreur au temps t_{∈ [0,t}f] et ζ la valeur minimale de ε et µ. Notons ´egalement EP_h(t) = 1

2m(Ph(w(t)), Ph(w(t)), ainsi : EPh(t) = Z Ω D QPh(w(t)) , Ph(w(t))Edx _{≥ ζ} Z Ω D Ph(w(t)) , Ph(w(t))Edx, et : ζ Z Ω D P_h(w(t)) , Ph(w(t)) E dx = ζ Z Ω  D P_h(e(t)) , Ph(e(t)) E +DP_h(h(t)) , Ph(h(t)) E  dx = ζ kPh(e(t))k2 0,Ω+kPh(h(t))k20,Ω
. (29) Donc : EPh(t) ≥ ζ kPh(e(t))k 2 0,Ω+kPh(h(t))k20,Ω
(30) En tenant compte des conditions initiales discr`etes on a EP_h(0) = 0, et pour t_{∈ [0,t}f] :

EPh(t) = Z t 0 d dςEPh(ς ) dς = 1 2 Z t 0 d dςm(Ph(w(ς )), Ph(w(ς ))) dς = Z t 0 m(∂ςPh(w(ς )), Ph(w(ς ))) dς ,

du fait que Ph(w(t))∈ Vh6on a aussi a(Ph(w(t)), Ph(w(t))) + b(Ph(w(t)), Ph(w(t))) = 0, et donc :

EPh(t) = Z t

0

m(∂ςPh(w(ς )), Ph(w(ς ))) + a(Ph(w(ς )), Ph(w(ς ))) + b(Ph(w(ς )), Ph(w(ς )))
dς . (31)

D’autre part, si on soustrait(17) `a (18) en prenant T′= Ph(w(t)), la bilin´earit´e de m, a et b nous donne :

m(∂t_{W(t) − ∂}tWh(t), Ph(w(t))) + a (W(t)_{− W}h(t), Ph(w(t))) + b (W(t)_{− W}h(t), Ph(w(t))) = 0. (32) On remarque dans(31) que (Phlin´eaire et Wh_{∈ Vh}6) : Ph(w(t)) = Ph(W(t)_{− W}h(t)) = Ph(W(t))_{− W}h(t), d’o`u :

EPh(t) = Z t 0 m(∂ςPh(W(ς ))− ∂ςWh(ς )), Ph(w(ς ))) + a(Ph(W(ς ))_{− W}h(ς ), Ph(w(ς ))) + b(Ph(W(ς ))_{− W}h(ς ), Ph(w(ς )))
dς (33)

En int´egrant alors(32) sur [0,t] et en soustrayant `a (33), on obtient (en utilisant la bilin´earit´e de m, a et b) : EPh(t) = Z t 0 m(∂ςPh(W(ς ))− ∂ςW(ς),Ph(w(ς ))) + a(Ph(W(ς ))_{− W(ς),P}h(w(ς ))) + b(Ph(W(ς ))_{− W(ς),P}h(w(ς )))
dς Donc (cf(30)) : ζ _kPh(e(t))_k2 0,Ω+kPh(h(t))k20,Ω
≤ Z t 0 m(∂ςPh(W(ς ))− ∂ςW(ς)),Ph(w(ς ))) + a(Ph(W(ς ))_{− W(ς),P}h(w(ς ))) + b(Ph(W(ς ))− W(ς),Ph(w(ς )))
dς

De plus, Ph´etant lin´eaire, ind´ependant du temps et d´efini de fac¸on unique, on trouve : m(∂ςPh(W(ς ))− ∂ςW(ς),Ph(w(ς ))) = m(Ph(∂ςW(ς)) − ∂ςW(ς),Ph(w(ς ))) = 2 Z Ω D QPh(∂ςW(ς)) − ∂ςW(ς), Ph(w(ς )) E dx = 2 Z Ω D Ph(∂ςW(ς)) − ∂ςW(ς) , QTPh(w(ς )) E dx.

Or, Phest le projecteur orthogonal de(L2(Ω))6dans le sous-espace vectoriel Vh6, du fait que∂ςW(ς) ∈ (L2(Ω))6, que Ph(∂ςW(ς)) ∈ Vh6soit son projet´e orthogonal et que QTPh(w(ς ))∈ Vh6(ε et µ constants sur chaque ci), on a par d´efinition (th´eor`eme de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel) :

m(∂ςPh(W(ς ))− ∂ςW(ς),Ph(w(ς ))) = 0, ainsi : ζ _kPh(e(t))k2 0,Ω+kPh(h(t))k20,Ω
≤ Z t 0 a(Ph(W(ς ))− W(ς),Ph(w(ς ))) + b(Ph(W(ς ))_{− W(ς),P}h(w(ς )))
dς . (34)

Nous nous int´eressons `a pr´esent aux deux termes restant dans cette int´egrale sur[0,t]. A partir de maintenant, nous omettons la variable temporelle afin d’all´eger la notation et nous notonsτiles t´etra`edres et qiles hexa`edres. Commenc¸ons par a(Ph(W(ς ))− W(ς),Ph(w(ς ))) :

a(Ph(W)_{− W,P}h(w)) = Z Ω * 3

∑

k=1 ∂h xkN k_[Ph(W) − W] , Ph(w) + − 3

∑

k=1 ∂h xkPh(w) ,N k_[Ph(W) − W] ! dx = Z Ω * 3

∑

k=1 ∂h xkN k_[P h(W)− W] , Ph(w) + − 3

∑

k=1 * Ph(W)_{− W ,}_NkT_∂h xkPh(w) | {z } ∈ V6 h +! dx = Z Ω * 3

∑

k=1 ∂h xkN k_[Ph(W) − W] , Ph(w) + dx = Nτ

∑

i=1 Z τi * 3

∑

k=1 ∂x_kNk_[Ph(W) − W] , Ph(w) + dx+ Nq

∑

i=1 Z qi * 3

∑

k=1 ∂x_kNk[Ph(W)_{− W] , P}h(w) + dx.

Ensuite, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz nous donne : a(Ph(W)_{− W,P}h(w)) _≤  a(Ph(W)_{− W,P}h(w)) ≤ Nτ

∑

i=1 3

∑

k=1 ∂xkN k_[Ph(W) − W] _0,τ i kPh(w)k0,τi+ Nq

∑

i=1 3

∑

k=1 ∂xkN k_[Ph(W) − W] _0,q i kPh(w)k0,qi. (35)

On pose u(x,t)≡ Ph(W(x,t))− W(x,t) ∈ R6_{, d’o`u :}

3

∑

k=1 ∂x_kNk_{u 0,τ} i =         ∂x₃u5− ∂x2u6 ∂x₁u6− ∂x3u4 ∂x2u4− ∂x1u5 ∂x2u3− ∂x3u2 ∂x3u1− ∂x1u3 ∂x1u2− ∂x2u1         _0,τ i ≤ ∂x3u5 _0,τ i+k∂x2u6k0,τi+k∂x1u6k0,τi+ ∂x3u4 _0,τ i+ k∂x2u4k0,τi+k∂x1u5k0,τi+k∂x2u3k0,τi+ ∂x₃u2 _0,τ i+ ∂x₃u1 _0,τ i+k∂x1u3k0,τi+k∂x1u2k0,τi+k∂x2u1k0,τi,

or, pour chaque ul (l= 1, . . . , 6), on a : ∂x_kul _0,τ

i ≤ k∇ulk0,τi pour k= 1, 2, 3. De plus, la d´efinition de la

semi-norme H1_{(τi) ´etant|ul|}

1,τi=k∇ulk0,τi, on obtient en utlisant l’in´egalit´e(20) (avec r = 1) du Lemme 2 :

3

∑

k=1 ∂x_kNk_{u 0,τ} i ≤ 2 6

∑

l=1 |ul|1,τi = 2 6

∑

l=1 |(Ph(W)− W)l|1,τi ≤ 2 6

∑

j=1 Chmin_τi {s,p}_k(W)lks+1,τ i = 2Chminτi {s,p}  kExks+1,τi+ Ey _s+1,τ i+kEzks+1,τi+ kHxks_+1,τi+ Hy s+1,τi+kHzks+1,τi  ≤ 2Chminτi {s,p}  3_kEks+1,τ i+ 3kHks+1,τi  ≤ Chminτi {s,p}  kEks+1,τi+kHks+1,τi  .

On applique maintenant l’in´egalit´e :_{|m + n| ≤}p2m2_{+ 2n}2_{, ∀m,n ∈ R `a kEks}

+1,τi etkHks+1,τi (tous deux

posi-tifs) : 3

∑

k=1 ∂x_kNk_[Ph(W) − W] _0,τ i ≤ Chminτi {s,p}  kEks+1,τi+kHks+1,τi  ≤ Chminτi {s,p}  2_kEk2_s+1,τi+ 2_kHk2_s+1,τi 1 2 ≤ Chminτi {s,p}  kEk2 s+1,τi+kHk 2 s+1,τi 1 2

Egalement, on remarque que (cf(29)) que :kPh(w)k0,τi = kPh(e)k

2 0,τi+kPh(h)k 2 0,τi
1 2 . Ainsi, en adoptant un raisonnement similaire sur qi(on utilise notamment l’in´egalit´e(22) du Lemme 2), l’in´egalit´e (35) devient :

a(Ph(W)_{− W,P}h(w)) _≤ Nτ

∑

i=1 Chmin_τi {s,p}_kEk2_s+1,τ i+kHk 2 s+1,τi 1 2 kPh(e)_k2_0,τi+_kPh(h)_k2_0,τi
1 2₊ Nq

∑

i=1 Chminqi {s,k}  kEk2s+1,qi+kHk 2 s+1,qi 1 2 kPh(e)_k2_0,qi+_kPh(h)_k2_0,qi
1 2_.

Enfin, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz donne :

Nτ

∑

i=1  kEk2s+1,τi+kHk 2 s+1,τi 1 2 · kPh(e)_k2 0,τi+kPh(h)k 2 0,τi
1 2 ≤ Nτ

∑

i=1  kEk2s+1,τi+kHk 2 s+1,τi !12 · Nτ

∑

i=1 kPh(e)_k2 0,τi+kPh(h)k 2 0,τi
! 1 2 ,

la notation ”_{·” d´esigne quand n´ecessaire (et dans cette d´emonstration) la multiplication (classique). En appliquant} cette mˆeme in´egalit´e `a la somme sur les hexa`edres et ayant utilis´e hτ, hqetξh(se reporter au Th´eor`eme 1 pour leurs d´efinitions), on obtient ainsi :

a(Ph(W)_{− W,P}h(w)) _{≤ Ch}minτ {s,p}  kEk2PHs+1₍T_h)+kHk 2 PHs+1₍T_h) 1 2 kPh(e)_k2_0,T_h+kPh(h)k2_0,T_h
1 2₊ Chminq {s,k}  kEk2PHs+1₍Q_h)+kHk 2 PHs+1₍Q_h) 1 2 kPh(e)k2 0,Q_h+kPh(h)k20,Q_h
1 2 ≤ CξhkEk2PHs+1_(Ω)+kHk2_PHs+1_(Ω) 1 2 kPh(e)k2 0,Ω+kPh(h)k20,Ω
1 2_. (36)

Maintenant, on regarde le terme b(Ph(W(ς ))_{− W(ς),P}h(w(ς )) dans (34) : b(Ph(W)− W,Ph(w)) ≤  b(Ph(W)− W,Ph(w)) ≤

∑

ai j∈Fd   Z ai j D {Ph(H)− H}i j , JPh(e)Ki jEdσ    +     Z ai j D {Ph(E)_{− E}}i j, JPh(h)Ki j E dσ    +     Z ai j D {Ph(h)_}i j, JPh(E)− EKi j E dσ    +     Z ai j D {Ph(e)}i j, JPh(H)− HKi j E dσ      +

∑

ai j∈Fm    Z ai j D [Ph(E)_{− E]c} i, ˘ni j× Ph(h)ci E dσ    +     Z ai j D [Ph(H)− H]ci , ˘ni j× Ph(e)ci E dσ      . (37)

Dans la somme sur les faces internes (i.e. ai j_{∈ F}d), ai j peut ˆetre une face hybride, dans ce cas on consid`ere (arbitrairement) le t´etra`edreτiet l’hexa`edre qj. On se sert `a nouveau l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, ainsi que des in´egalit´es(21) et (23) du lemme (2), et (24) et (26) du lemme (3) :

    Z ai j D {Ph(H)_{− H}i j} , JPh(e)Ki jEdσ     ≤ [Ph(H)_{− H]τ} i+ [Ph(H)− H] qj 2 _0,a i j · Ph(e)_{qj− P}h(e)_τi_{× ˘n}i j _0,a i j ≤  [Ph(H)− H] τi _0,a i j + _[Ph(H)− H] qj _0,a i j  ·  Ph(e)_τi 0,ai j + _Ph(e)_qj 0,ai j  ≤  Chmin{s,p}+ 1 2 τi kHks+1,τi+Ch min{s,k}+1 2 qj kHks+1,qj  ·  Ch− 1 2 τi kPh(e)k0,τi+Ch −1 2 qj kPh(e)k0,qj  ≤ C · max  hmin{s,p}+ 1 2 τi , h min{s,k}+1 2 qj  · max  h− 1 2 τi , h −1 2 qj  ·  kHks+1,τi+kHks+1,qj  ·kPh(e)k0,τi+kPh(e)k0,qj  .