Astérosismologie des étoiles ZZ Ceti

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Astérosismologie des étoiles ZZ Ceti

David Pech

To cite this version:

David Pech. Astérosismologie des étoiles ZZ Ceti. domain_other. Université Paul Sabatier - Toulouse

III, 2005. Français. �tel-00010095�

UFR Physique Chimie Automatique

THÈSE

pourobtenirlegradede

DOCTEUR DE L'UNIVERSITE TOULOUSE III

Dis ipline: ASTROPHYSIQUE présentéeet soutenuepar:

David PECH

le14 juin2005

Titre:

hAstérosismologie des étoiles ZZ Ceti

Dire teurde thèse:

Gérard VAUCLAIR

JURY

Pr REME Henri, Président

Dr BAGLIN Annie, Rapporteur

Dr MICHEL Eri , Rapporteur

Dr BERTHOMIEU Gabrielle,Examinateur

UFR Physique Chimie Automatique

THÈSE

pourobtenirlegradede

DOCTEUR DE L'UNIVERSITE TOULOUSE III

Dis ipline : ASTROPHYSIQUE

présentéeetsoutenuepar:

David PECH

le14 juin2005

Titre :

Astérosismologie des étoiles ZZ Ceti

Dire teur de thèse:

Gérard VAUCLAIR

JURY

Pr REME Henri, Président

Dr BAGLIN Annie, Rapporteur

Dr MICHEL Eri , Rapporteur

Dr BERTHOMIEU Gabrielle,Examinateur

Pr FONTAINE Gilles, Examinateur

Titre : Astérosismologie desétoiles ZZCeti

Dire teur de thèse : GérardVAUCLAIR

Lieu et date de soutenan e : Observatoire de Midi-Pyrénées 14 juin2005

Résumé :

Cettethèse montre omment l'astérosismologie, baséesurl'observation et lamodélisation, peut rendre ompte de la stru ture interne d'une étoile naine blan he DAV,notamment omment il est possible de déduire la masse de son enveloppe d'hydrogène résiduel. Nous avons étudié 2 ZZCeti : HL Tau 76 (bord rouge de la bande d'instabilité) et G185-32 (bord bleu). La modé-lisation indique que es 2 étoiles possèdent une enveloppe d'hydrogène de masse sensiblement identique:M(H)=2:0(0:3)10

4 M

?

.Celasuggèreraitunepossible onstan edelamassede etteenveloppepourl'ensembledesétoilesDAetpar làmêmed'éventuellesimpli ationspour la osmo hronologieet lesmé anismesdel'évolution stellaire.Parailleurs, ettethèseillustre om-ment lamodélisationpermet derévéler ertaines ara téristiquesphysiques omme unerotation de l'étoile non-uniforme, un ouplage non-linéaire au sein d'un triplet de modes résonants, une intéra tion entre lespulsations et la onve tion.

Asteroseismology of ZZ Ceti stars. Abstra tin Englishon last page.

Mots- lés

bande d'instabilité - onve tion - osmo hronologie - ouplage non-linéaire - DAV - évolution stellaire-G185-32-HLTau76-modesdepulsation-modélisation-naineblan he-os illations non radiales - paramètres stru turels - rotation non-uniforme - rotational splitting - stru ture interne- ZZ Ceti

Dis ipline : Astrophysique

U.F.R. : Physique Chimie Automatique

Laboratoire : Observatoire Midi-Pyrénées 14,avenue Edouard Belin 31400 Toulouse FRANCE

Introdu tion 9

1 Os illations non-radiales dans les étoiles variables 13

1.1 Généralitéssurles étoiles variables . . . 13

1.1.1 Dénition d'uneétoilevariable . . . 13

1.1.2 Présentation desprin ipales lasses d'étoiles variables . . . 13

1.1.3 E hellesde temps importantes . . . 16

1.2 Considérationsthéoriques fondamentales . . . 17

1.2.1 Equations de onservation . . . 17

1.2.2 Le hamp de gravité . . . 18

1.2.3 Traitement adiabatique ou non-adiabatique du problème des pulsations stellaires . . . 19

1.3 Propriétés despulsations non-radiales . . . 21

1.3.1 Perturbationsen termesd'harmoniques sphériques . . . 21

1.3.2 Relationde dispersionet fréquen esremarquables. . . 22

1.3.3 Conditionsde propagationd'un modeet diagramme-diagnosti . . . 22

1.3.4 Des ription desmodesp, g et f . . . 23

1.4 Mé anismesd'ex itation et d'amortissement desmodes . . . 23

1.4.1 Stabilité de l'étoilefa eauxpulsations stellaires. . . 23

1.4.2 le-mé anisme . . . 24

1.4.3 le-mé anisme . . . 24

1.5 Inuen esdiversessur lesmodesde pulsation . . . 25

1.5.1 Rlede larotationet des hamps magnétiques . . . 25

1.5.2 Rlede la onve tion . . . 26

1.6 Rleet enjeux del'astérosismologie . . . 26

1.6.1 Dénition del'astérosismologie . . . 26

1.6.2 Lesprin ipaux outils del'astérosismologie . . . 27

1.6.3 Con lusion . . . 34

1.7 Traitement mathématique du problèmedespulsations non-radiales . . . 35

1.7.1 Linéarisation deséquations fondamentales . . . 35

1.7.2 Problème des onditionslimites . . . 36

1.7.3 La résolution du système d'équations diérentielles linéarisées omme un problèmede valeurspropres . . . 36

1.7.4 Choixde laversion delathéorie de lalongueur demélange pour le al ul despulsations . . . 36

2.1 Considérationsthéoriquesgénérales . . . 39

2.1.1 Intérêt du al ul del'énergie inétique . . . 39

2.1.2 Inuen esrespe tivesdes2dis ontinuités himiquessurleprolde l'éner-gie inétiquedesmodes . . . 41

2.1.3 Eets desautres paramètres surleprol des ourbesde l'énergie inétique 43 2.1.4 Composantesradialey 1 et tangentielley 2 delafon tionpropredesmodes. Régions deformation desmodesde pulsation . . . 44

2.2 Elaboration duprogramme de al ul de l'énergie inétiquedesmodes depulsation 48 2.2.1 Introdu tion. . . 48

2.2.2 Illustrations du al ul de l'énergie inétique pour divers modèles aux pa-ramètres stellairesvariés . . . 49

3 Etude de la ZZ Ceti HL Tau 76 59 3.1 Introdu tion . . . 59

3.2 Données observationnelles . . . 59

3.3 Modélisationde HL Tau 76 . . . 61

3.3.1 Elaboration de modèles statiqueset algorithmede séle tion . . . 61

3.3.2 Elaboration de lagrillede modèles spé iques àHL Tau 76 . . . 63

3.4 Cara téristiques dumodèle représentant HL Tau 76. . . 68

3.4.1 Cara téristiques stru turelles . . . 68

3.4.2 Spe tre du modèle: modesde degrés `=1et `=2 . . . 68

3.5 Comparaisondesmodesobservéset al ulés.Identi ation despériodesobservées 70 3.5.1 Comparaisondesperiod spa ings théoriqueset observés . . . 70

3.5.2 Multipletsinduitspar l'eet du rotational splitting . . . 70

3.5.3 Asso ierles modesobservéset les modes al ulés . . . 71

3.6 Dis ussion . . . 72

3.6.1 Qualité del'ajustement entre lesmodesobservéset al ulés . . . 72

3.6.2 Désa ords entre analyses observationnelle et théorique. . . 75

3.7 Con lusion. . . 76

4 Etude de la ZZ Ceti G 185-32 81 4.1 Introdu tion . . . 81

4.1.1 Présentation deG185-32 . . . 81

4.1.2 Stratégieemployée pour modéliser G185-32 . . . 82

4.2 Données observationnelles . . . 84

4.3 Détermination dumeilleur modèlepour représenter G185-32 . . . 85

4.3.1 Inuen ese ondaire de lavariation de la T eff surle spe tre de pulsation desmodèles . . . 85

4.3.2 Détermination desmodèles-solutions dansleplan logq(H) vs.M ? . . . . 86 4.3.3 Détermination pré isede M ? etde q(H). Etude dela T eff . . . 87

4.3.4 Cara téristiques dumodèle représentant G185-32 . . . 88

4.4 Etude durotational splitting relatifà G185-32 . . . 92

4.4.1 Evaluation durotational splitting àpartir du spe trede G185-32 . . . 92

4.4.2 Cal uldu rotational splitting . . . 93

4.4.3 Valeur retenuepour lefrequen y shift desmodesdedegré `=2. Identi a-tionde ertainsmodeset étudede lavitessede rotationde G185-32 . . . 93

4.6.1 Résultats issusde lamodélisation . . . 96

4.6.2 Désa ords surledegré `desmodesdu spe tre deG 185-32 . . . 98

4.6.3 L'énigmatiquemodede période 141.9s . . . 99

4.7 Con lusion. . . 102

4.7.1 Modélisationde G185-32 . . . 103

4.7.2 Estimationde l'eet durotational splitting surles modesde G185-32 . . 103

4.7.3 Dis ussion . . . 103

5 Con lusion 105 5.1 Bilan . . . 105

5.2 HL Tau 76et G 185-32. . . 106

5.3 Perspe tives . . . 108

A Asteroseismologi al onstraints on the stru ture of the ZZ Ceti star HL Tau 76 113 A.1 Introdu tion . . . 114

A.2 Observational ba kground . . . 116

A.3 Modeling strategy . . . 116

A.4 Identifying HL Tau 76 pulsationmodes. . . 121

A.4.1 Featuring thebestmodel . . . 121

A.4.2 Predi ted andobserved spe tra. Periods identi ation. . . 122

A.4.3 Dis ussion . . . 123

A.5 Con lusion. . . 126

B The ZZCetistarG185-32:anewinsightbasedonasteroseismology131 B.1 Introdu tion . . . 132

B.2 Observational ba kground . . . 132

B.3 Modeling strategy . . . 133

B.3.1 A referen emode . . . 133

B.3.2 Determining potential solutions in the logq(H)vs M ? plane . . . 133 B.3.3 Fine determination ofM ? andq(H). Estimationof T eff . . . 134

B.3.4 Featuring thebesttting model forG 185-32 . . . 135

B.4 Preliminarystudy of the observed modesofG 185-32 . . . 135

B.4.1 First identi ation ofthe modes . . . 135

B.4.2 Linear ombinations or trueresonan es? . . . 136

B.5 Thestellar rotation rateand itssignature on the pulsationmodes . . . 136

B.5.1 Evaluationof the rotational splittingee t onthe observedmodes . . . . 136

B.5.2 Stellar rotationrateand further remarks . . . 138

B.5.3 Complete identi ation of the observed modesof G185-32 . . . 139

B.6 Dis ussion . . . 139

B.6.1 Onthe determination ofthe spheri aldegree of the modes . . . 139

B.6.2 Thepe uliar141.9 s mode . . . 142

B.7 Con lusive remarks . . . 143

Bibliographie 145

L'étude astérosismologique des naines blan hes variables permet, en prin ipe, dedéterminer ungrandnombre deparamètres fondamentauxde esétoiles :leurmasse totale,la massedeleur enveloppe résiduelled'hydrogène et/ou d'hélium,selonqu'il s'agitdenainesblan hesdetype DA ou DB, leur période de rotation, leur luminosité, leur rayon, leur distan e, leur taux de refroi-dissement ...

Les étoiles naines blan hes, sous bien des aspe ts, o upent une pla e entrale enAstrophysique et plus spé ialement dans l'étude de la matière stellaire. Sa hant que plusde 97% des étoiles de notre Galaxie a hèvent leur évolution omme naines blan hes, il est manifeste que l'étude de la stru ture internede e typed'étoilesprésenteunintérêtessentielpourvaliderleshypothèsessous ja entes à la théorie de l'évolution stellaire et à ses prédi tions. Par ailleurs, entant que phase ultimedel'évolutiondesétoiles demasseinférieureouégaleà 8M

,elles onstituentunevieille populationstellaire, les naines blan hesles plus froides étantles plus an iennes.

Du fait que leur distribution de masse montre une très faible dispersion autour d'une valeur moyennede 0.6M

,la séquen e de refroidissement des nainesblan hes présente également une faible dispersion dans lediagramme H-R.

Utiliserles nainesblan hes pour daterle disque gala tique est envisagé depuis une dizaine d'an-nées. Les séquen es de refroidissement des naines blan hes dans plusieurs amasglobulaires ont été observées par leHubble Spa e Teles ope. L'avènementdes grands téles opes, enparti ulier le VLT, permet d'envisagerla déte tion des naines blan hes jusqu'àla magnitude limite marquant la ndelaséquen e derefroidissementainsique l'observationdes nainesblan hesvariables dans es amasglobulaires.

Laprobable dé ouverte des premiersmembresde la populationde nainesblan hes duhalo gala -tique en ourage l'utilisationde la séquen e derefroidissement omme indi ateur indépendant de l'âge de es populations.

Enoutre, onsuspe te égalementque esnainesblan hesduhalogala tiquepourraientreprésenter une fra tion signi ative de la masse baryonique manquante dans la (les) galaxie(s).

Notonsaussiquelessystèmesd'étoilesdoubles ontenantsoitdeuxnainesblan hessoitunenaine blan he et une sous naine haude de type B sont a tuellement onsidérés omme les meilleurs andidats de pré urseurs de supernovae de type Ia (SNIa), utilisées omme étalons de distan e osmologique.

Tout e i montre lairement que les populations de naines blan hes orent un intérêt onsi-dérable pour divers domaines del'Astrophysique allant del'évolution stellaire à la osmologie. L'étude des naines blan hes variables o upant les trois bandes d'instabilité que l'on trouve le long de la séquen e de refroidissement pour les PG1159 variables, les DBV et les DAV, devrait permettre de mesurer le taux de refroidissement dans trois fenêtres le long de ette séquen e, dans trois domaines detempérature ee tive diérents :entre 140 kKet80 kKpour les PG1159

L'ajustement des modèles évolutifs de naines blan hes ave la fon tion de luminosité permet de déterminerl'âge dela populationdont lesnainesblan hesreprésentent lestade d'évolutionnal. Ce point de vue théoriqueest ependant di ile à mettre en oeuvre. Deux di ultés prin ipales limitent jusqu'à présent la pré ision des âges ainsi déterminés : l'in ertitude sur la masse d'hy-drogène ontenuedansles ou hesextérieures desnainesblan hesDA(80%desnainesblan hes) etd'hélium ontenuedanslesnainesblan hesDB(20%restant)etl'in ertitudesurlades ription dela phase de ristallisationdu noyau de arbone et d'oxygène.

L'astérosismologie devrait, enprin ipe, permettre l'évaluation pré ise de la quantitéd'hydrogène (respe tivement d'hélium) résidueldes DA(respe tivement DB).Cependant,la réalisation de et obje tif né essite l'identi ation des modes depulsation de manière nonambiguë et la déte tion d'un nombre susant de es modes dans les spe tres des naines blan hesvariables observées. Elle né essite parallèlement la onstru tion d'un grand nombre de modèles de naines blan hes et le al ul de leurs périodes de pulsation, an de les onfronter aux observations. Beau oup de travail resteàa omplir,tant surleplandel'a quisitiondedonnéesobservationnelles(re her he de nouvelles naines blan hes variables, étude astérosismologique des naines blan hes variables onnues à partir de ampagnes d'observation photométriquesmultisites) que dans ledomainede la modélisation.

Cettethèse s'estins ritedans la ontinuitédestravauxmenésauLaboratoire d'Astrophysiquede Toulouse. Elle a onstitué un travail de modélisation théorique et d'interprétation des données observationnelles.

L'étude des étoiles ZZ Ceti (DAV) a été favorisée : en eet, les ZZ Ceti onstituent la lasse d'étoilesnainesblan hesvariables laplusévoluée etla pluspeuplée (environ 70étoilesDAV sont onnues à e jour) bien qu'elles se répartissent sur une bande d'instabilité très restreinte (T

eff ompriseentre 11000Ket12500K environ).Cesétoiles sontsoumisesàunfortgradientde gra-vitéetpossèdent ainsiune omposition himique stratiée :un oeur dégénéré de arbonepur(ou un oeur mixte dégénéré de arbone et d'oxygène), surmonté d'une ou he d'hélium, elle-même re ouverte d'uneenveloppe d'hydrogène.

Labanded'instabilitédesZZCetisemble représenter unevraiebanded'instabilitéen e sensque haque étoileDA qui atteint ette bande d'instabilité sur sa séquen e de refroidissement devient variable (en eet au une étoile DA non variable n'a été pour le moment déte tée au sein de la bande d'instabilité des ZZ Ceti); la pureté de ette bande d'instabilité est toutefois soumise à ontroverse a tuellement.Cela implique que la stru ture stellaire qui peut être déduite de l'asté-rosismologiepourlesZZCetiestvalablepourl'ensembledesnainesblan hesdela lasse desDA.

Nous avons fait usage de programmes de al ul de modèles statiques de naines blan hes et de al ul depulsationsnon radialesadiabatiques. Nousavonsamélioré le ode demodélisationdéjà existantdans leLaboratoire (envériantsonparamétrage,enmettantàjoursestablesd'opa ité, enluiajoutantdes options omme le al uldel'énergie inétiquedesmodesdepulsation)etnous l'avons asso iéà un algorithme de séle tion de meilleur modèle reposant sur une loi du 

2 . L'élaboration des modèles et le al ul de leurs modes de pulsation ont suggéré d'interpréter les observations en omparant les périodes observées à elles issues des modèles. Cette omparaison apermisde ontraindre dans l'espa e des paramètres lemeilleurmodèlepouvantdé rire la naine blan he variable onsidérée et, en parti ulier, de déterminer la masse de son enveloppe d'hydro-gène résiduel.

et G 185-32) à l'aide des modes de degrés `=1 et `=2 al ulés pour le modèle retenu pour les représenter a permis d'attribuerune valeur à leurdegré `,à leur ordre radial k età leur nombre azimuthal m.

Les seules données observationnelles ne permettant pas de lever l'indétermination sur la réalité de ertaines périodes(vrai modeou ombinaisonlinéaire demodesparents), etteidenti ationa également mis enéviden e la présen e de faux modes dans le spe tre observé de es étoiles ainsi que la présen e devraies résonan es.

Demême,l'interprétationde esidenti ationsdemodes(notammentenprenant en ompte l'er-reur relative qui on erne l'identi ation individuelle de haque mode) a permis de formuler des hypothèses pour justier ertaines parti ularités propres à es 2 étoiles; parexemple HL Tau 76 pourrait être éventuellement ae tée par une rotation non-uniforme et, ompte-tenu de sa T

eff qui la situe sur lebord rougede la bande d'instabilité des ZZ Ceti,domainedetempérature pour lequella onve tionjoue unrlede plusenplusprépondérant, sonspe tre pourraitêtreune illus-tration de l'a tion perturbatri e que la onve tion opère sur le omportement idéal des modes de pulsation; de la même façon la parti ularité prin ipale du spe tre de G 185-32 (période de 141.9sd'amplitudeatypique)pourraits'expliquerparunphénomènedevraierésonan equi ae -teraitl'amplitudedumodeobservé, lesmodes de e triplet résonantpourraient enoutre subirdes ouplages non-linéaires résultant du phénomène defrequen y lo k ou du régime intermédiaire. An de poursuivre l'étude de e mode énigmatique et ainsi être enmesure devalider ette toute dernière hypothèse, ilseraitné essaire d'élaborerun odede al uldepulsationsnonadiabatique, qui permettrait d'évaluer le taux de roissan e  des modes impliqués dans e triplet résonant puisdevérierque elui- i satisfaitlesrelationsqui ara térisent lefrequen ylo ketlerégime intermédiaire.

Enn,la masse d'hydrogène résidueldérivée de la modélisationest approximativementidentique pour es 2 étoiles. Ce résultat in iterait à modéliser d'autres étoiles ZZ Ceti pour déduire en parti ulierla masse deleur enveloppe d'hydrogène.

Si esmodélisationsfuturesretrouventlavaleurestiméepourlamassedesenveloppesdeHLTau76 etG185-32, elasous-entendraitquedeuxétoilesDAdemêmetempérature ee tive(etdemême masse totale)auraient approximativement lemême âge (l'in ertitude sur leur âge étantprop or-tionnelleà la dispersion sur la valeur de la masse de l'enveloppe d'hydrogène) et légitimerait la mise en oeuvre des te hniques de datation par la osmo hronologie.

Un tel résultat impliquerait également des ontraintes supplémentaires pour la ompréhension des mé anismesdel'évolutionstellaire quifor entdesprogéniteursdemasse initialetrèsvariable (pouvant allerdemoinsde1M

àenviron 8M 

)àsedépouillerdeleurhydrogène pourdevenir des naines blan hes possédant une fra tion massique d'hydrogène plusou moins standard.

Os illations non-radiales dans les étoiles

variables

1.1 Généralités sur les étoiles variables

1.1.1 Dénition d'une étoile variable

Avant d'aborderle formalismedespulsations stellaireset del'astérosismologie, ilest souhai-table depré iser toutd'abord e queleterme étoile variable sous-entend.

Des étoiles variables sont des étoiles au sein desquelles il existe des mouvements dynamiques de grande envergure et généralement périodiques. Ces mouvements ont pour eet de modier les propriétés physiques de l'étoileau ours du temps. La manifestation laplus simple de telles perturbationsestlapulsation purement radialeoù l'étoile onservesasymétrie sphérique. La ara téristique d'une étoile variable la plus évidente et la plus simple à déte ter est sa va-riation périodique de luminosité apparente : preuve en est quelagrande majorité de es étoiles sont dé ouvertes grâ e aux variations de leur ourbe de lumière. D'autres observables peuvent également révéler lavariabilitéd'une étoile: lavitesseradiale, letype spe tral, et ...

Lespulsations radiales sont onnueset étudiées depuis près d'un siè le : lesfondements mathé-matiquesvisant à expliquer e phénomène par desexpansions y liques de l'étoileontété posés par Shapley (1914) [78℄ puispar Eddington (1918)[36 ℄.

Onren ontreégalement desétoiles variables quisontlesiègedepulsations nonradiales.Ils'agit là d'os illations stellaires plus générales en e sens que le dépla ement d'un élément de masse donné dans l'étoile peut s'ee tuer dans n'importe quelle dire tion et n'est don plus assujetti à os iller suivant l'axe radial. De e fait, la théorie des os illations non radiales est plus om-plexe, plus générale que elle des pulsations radiales mais également beau oup plus puissante pour expliquer les mé anismes des pulsations stellaires. C'est sur e dernier type d'os illations querepose notreétude.

1.1.2 Présentation des prin ipales lasses d'étoiles variables

Lesétoiles variables peuvent se diviseren deuxprin ipales atégories, le ritère de diéren-tiation provenant du ara tère radial ounon radial despulsations.

Il serait horsde propos dedresser i i une liste exhaustive desdiérentesétoiles variables. Nous soulignons justeles prin ipales atégories, à titreillustratif.

Dans ette atégorie d'étoiles variables,on ren ontre lesCéphéides. Cetteappelationgénéraleenglobe :

 les Céphéides  lassiques.

Cesétoilesjouentunrleimportanten osmologie arellesserventà ontraindrelesé helles de distan edel'Universgrâ eà larelation empiriquequirelieleurpériodeet leur lumino-sité : log ( L L  )=1:15log d +2:47 où  d

désigne la période des pulsations radiales de l'étoile (exprimée en jours) et L 

la luminosité solaire.Ces Céphéides sont desgéantes jaunesou dessupergéantes. Du fait de leur très forte luminosité (allant de 300 L

à 26 000 L 

), elles sont observables à de très longues distan es : on adéte té leur présen edansenviron30 galaxiesexternes.

Les périodesdesCéphéides lassiquessont presquetoutes omprises dansunintervalle de temps allant de 1 à 50 jour(s). Toutefois quelques unes présentent des périodes pouvant atteindre 100 voire 200 jours. Plus de 700 Céphéides sont onnues a tuellement dans la Galaxie et ellesseretrouvent toutes dansle plangala tique.

 les Céphéides à battement ouà double-mode.

Ces étoiles n'ont au une des ara téristiques physiques des Céphéides lassiques. Elles onstituent un faible nombre d'étoiles (on en onnaît à peine plus d'unedizaine) dont les ourbesde lumièresontapériodiques.Toutefois, es ourbesde lumièrepeuvent se dé om-poser essentiellement en deux variations périodiques pour haque étoile. Ces deux modes intéragissent entre euxet produisent desbattements. Ces ourbesde lumière périodiques, lorsqu'onlesajoute,redonnentla ourbedelumièrenonpériodiqueee tivementobservée. Leur période varie entre1 et 7jour(s).

 les Céphéides naines dont lapériode ara téristique est omprise entre 1et 3 heure(s).

Anoterégalement lesétoilesRRLyraeparmilesétoilesàpulsationsradiales.Cesontdesétoiles de populationIIet ellespossèdent despériodes ara téristiquesde l'ordre de1h 30mnà 1jour.

Etoiles à pulsations non-radiales

Pour illustrer ette atégorie d'étoiles variables, nous pouvons ommen er par évoquer le Soleil, étoile de la Séquen e Prin ipale de type G. De par sa proximité, le Soleil est étudié et onnu ave grande pré ision. Onlui onnaît des millions de modes de pulsation, en parti ulier lespulsationsde période5minutes. Cesos illationsà5minutessontdespulsationsnon-radiales appeléesmodesp(quenousdénironsplusloin).Lesos illationssolairesontétédé ouvertes par Evans &Mi hard (1962)[37℄ [38℄ puispar Leighton,Noyes &Simon(1962) [65℄.

Nous pouvons aussi iter les étoiles GW Vir ou étoiles PG 1159 variables dont le prototype, PG 1159-035, a été dé ouvert en 1979. Ces étoiles se ara térisent par une gravité de surfa e allant delogg=6 pour les moinsévoluées àlogg=8 pour les plus an iennes.Les GWVir,ou en oreDOV,sontdesétoiles pré-naines blan hespuisqueles plusvieillesrejoignent laSéquen e de Refroidissement des Naines Blan hes alors que d'autres sont en ore au stade de noyau de NébuleusePlanétaire.

riables detempérature ee tive voisinede 25 kKdont l'enveloppe est onstituée d'hélium pur.

Nous terminons ave les ZZCeti ou étoiles DAV, 'est-à-dire ave les naines blan hesvariables (de température ee tive omprise entre11 kKet12.5kK)dont l'enveloppeestformée d'hydro-gène pur.Lapremière étoileDA variable(HLTau76,étudiée dansle adrede ettethèse) aété dé ouverteen 1968 par Landolt[62 ℄.Ces étoiles o upent unebande d'instabilitétrès restreinte et leurs périodesde pulsation sontgénéralement omprises entre 75 set 1200s.

IlfautsignalerquelesZZCeti onstituentla lassed'étoilesvariableslapluspeuplée(environ70 étoilesDAVsontre enséesà ejour),toutaumoinsdanslaportiondelaGalaxiequereprésente levoisinagesolaire.Ellessemblentsurpasser ennombre toutes lesautresétoiles variablesparun fa teur onsidérable, peut-être supérieur à100.

C'est surles ZZCetiqu'a porté letravail réalisé dans ettethèse. Dans le as desnaines et des sous-nainesvariables,laT

eff

desétoiles à pulsations non-radiales variede11kK(pourlesZZCeti)àaumoins170kK(pourlesNoyauxdeNébuleusePlanétaire). Lespériodesdepulsation de esétoiles sont leplussouvent omprisesentre2 et 20minutes. La Fig.1.1présente les prin ipales lasses d'étoilesvariables danslediagramme H-R.

Dans e paragraphe, nous présentons sommairement quelques é helles de temps parti uliè-rement utiles pour l'étude des pulsations stellaires. Ces é helles de temps ara téristiques nous permettent de justier les approximations faites dans le traitement physique et mathématique du problème des os illations d'étoiles variables, en autorisant notamment des simpli ations avantageuses.

La période des pulsations

L'é helle de temps laplus fondamentale dansle adredespulsations stellairesest naturelle-ment lapériode dumode fondamental despulsations,que nousdénoteronsou P par lasuite. Cettepériodepeut,dansle adredesos illationsradiales,s'obtenirfa ilementgrâ eàlarelation période-densité moyenne : ( )

1=2

= ste.

Pour les os illations non-radiales, les périodes  ne vérient pas ette relation simple. D'une manière générale, les pulsations de tout type d'étoilesvariables ont despériodes fondamentales quis'ins rivent dansun intervalle aussilarge que: 3 se 1000 jrs:

Le temps de hute libre

Le temps de hute libre, en ore appelé temps dynamique et généralement noté t ff

, est le temps ara téristique asso ié à un eondrement gravitationnel de l'étoile. C'est en ore la du-rée né essaire à l'étoile pour retrouver son équilibre hydrostatique lorsqu'une perturbation de pressionluiafaitquitter etétatd'équilibre.Une estimationde etemps de hute libremèneà:

t ff

(G) 1=2

oùG représente la onstante gravitationnelle.

Le temps de hute libre est dumême ordre de grandeur quelapériode P. Par exemple, pour le Soleil, t

ff

estvoisind'une heure.

Le temps de Kelvin

Le temps de Kelvin (t k

)représente ladurée né essaireà une étoile pour retrouver son équi-libre thermique lorsqu'une perturbation l'a amenée à le quitter. Il est don étroitement relié à l'équilibrequis'établitentrel'énergie rééeau oeurdel'étoileparlesréa tionsthermonu léaires et elle que l'étoile dissipe au niveau de sa surfa e par radiation, tant photonique que neutri-nique.

Si E th

est l'énergie thermique interne totale de l'étoile et L sa luminosité alors, en première approximation, t k E th =L

L'évo ation du temps de Kelvin peut sembler inutile dans le adre de l'étude des périodes des étoiles variables. Toutefoisson intérêt se manifeste lorsqu'on envisage l'amortissement ou l'am-pli ation des pulsations ( e qui sera dis uté plus loin) soit, de manière équivalente, lorsqu'on travaillesurl'hypothèsed'adiabati ité :lerapportt

ff =t

k

permetdesavoirsil'hypothèse d'adia-bati ité estjustiéeou non.

L'intérêt du temps nu léaire pourl'étude desos illationsstellairesn'est qu'indire t. Defaçonassezsimpliée,onpeutdirequeletempsnu léaire(t

nu l

)représenteladuréené essaire pour voir les propriétés stru turelles d'une étoile se modier suite à son évolution nu léaire ( hangements dans sa omposition himique interne dus aux réa tions thermonu léaires). Une estimation dutemps nu léaire donne:

t nu l 10 10 M=M  L=L  (ans) où M  et L 

expriment respe tivement lamasseet laluminosité solaires. Numériquement et d'unefaçon générale, on observeque t

nu l 10 3 t k .

Cettedernière valeurindique qu'ilest légitimed'admettre quel'étoileest statique(sastru ture interneestgée)etde omposition himiqueinvariantedurantl'intervalledetemps orrespondant àunepulsationstellaire.Cette onsidérations'avèretrèsutilepourlasimpli ationdeséquations de l'hydrodynamiquequi traduisent l'évolution desos illationset quenous abordons àprésent.

1.2 Considérations théoriques fondamentales

Après avoir évoqué quelques généralités sur les étoiles variables et les pulsations stellaires, nous allons maintenant aborder deux points essentiels dans la théorie des os illations non-radiales : les équations qui gouvernent es pulsations ainsique l'hypothèse d'adiabati ité et les simpli ations,maisaussiles restri tions,que elle- iimposequant au traitement du problème. Ces deuxaspe ts fondamentaux sont la léde voûtedetout travail de modélisationportant sur les pulsations non-radiales.

1.2.1 Equations de onservation

Comme la majorité des phénomènes physiques, les pulsations stellaires sont régies par des loisde onservation, qu'il s'agisse de la onservation de la masse, de laquantité de mouvement ou en orede l'énergie.

Conservation de la masse

Laloi de onservationde lamasses'exprime souslaforme de l'équationde ontinuité 1

: 

t

+r:(v )=0 (1.1)

où  représente lamassevolumique.

Conservation de la quantité de mouvement

Ce prin ipe de onservation traduit essentiellement la deuxième loi de Newton appliquée à un uide. Cetteloisedénit omme :

(v ) t

+r:(vv+P)=f (1.2) 1

Cetteéquation restevalable y omprispour uneétoilesoumiseà unventstellaire (phénomènedeperte de masse)puisquelesvariationslo alesdedensitéduesauxuxentrantousortantinduisentune onservationlo ale delamasse.Enoutre,letauxdepertedemasseestgénéralementnégligeable(parexemple,pourleSoleil,ilest del'ordrede10

14

trique,vestlavitesseduuideetf estlasommeve torielledesfor esextérieuresappliquéesau uidepar unité demasse.

Conservation de l'énergie

La onservation de l'énergie peut s'exprimer de trois façons diérentes : onservation de l'énergie mé anique ou onservation de l'énergie thermique ou enn onservation de l'énergie mé anique et thermique.

L'équationquitraduitla onservationdel'énergiemé aniquepeuts'obteniràpartirdel'équation (1.2) en é rivant ette dernièresous forme eulérienne puisen divisant par  et enn en formant leproduits alaire desdeux membres de l'équationave v. Ilen résulte :

d dt ( 1 2 v 2 )= 1  v :(r:P)+f:v (1.3)

Cette équation (1.3) souligne que le taux d'a roissement de l'énergie inétique (par unité de masse) est égal au taux ave lequel le gradient de pression et les for es extérieures produisent leurtravail (parunité de masse).

La onservation de l'énergie totale (mé anique et interne) dé oule de l'équation pré édente, en rajoutant les termesrelatifs à l'énergie interne :

siE désigne l'énergie interne (ou thermique)et dq/dt letauxnet degainou deperte de haleur au ours dumouvement dela parti uleuide, il vient alors :

d dt ( 1 2 v 2 +E)= 1  (r:P: v )+f:v+ dq dt (1.4)

La onservationdel'énergieinterne,quantàelle,provientdu1 o

prin ipedelathermodynamique et peut sedéduire immédiatement de l'équation (1.4) :

dE dt = 1  (r:P: v )+ dq dt (1.5)

Dans es équations apparaît laquantité dq/dt, letaux net de gainou de perte de haleur.Pour al uler e taux,il sut d'é rireque :

dq dt = 1  r:F

oùdésigne letauxde produ tion d'énergienu léaire et Fleuxde haleur total émergent.

1.2.2 Le hamp de gravité L'équation de Poisson

A elles seules, les équations de ontinuité sont insusantes pour assurer une résolution uni-voque du système d'équations diérentielles qu'elles forment. Une équation supplémentaire est né essaire. Pour ela, nous onsidérons que la seule for e extérieure appliquée aux parti ules uidesélémentaires enmouvement estlagravitépropre del'étoile. Lagravitésemanifeste don dansleséquationspré édentesparlebiaisdelafor ef. Par onséquent,nousdevons al ulerf à partir dupotentiel gravitationnel (r;t),qui àsontours'obtient d'aprèsl'équationdePoisson:

r 2

f(r;t)= r (r;t) (1.7)

Il estintéressant de noterque:

 ompte-tenude e quipré ède,lafor e f peut êtrerempla ée parg,l'a élération gravita-tionnelle

 l'équationdePoissonpeut êtreexprimée omme deuxéquations diérentiellesdu1 o

ordre et non plus omme une seule équation diérentielle du 2

o

ordre, esdeux équations étant respe tivement l'équation (1.7)et r:f = 4G.

L'approximation de Cowling

Comme ela sera expli ité par la suite, la résolution du système formé par les équations diérentielles pré édentes passepar leurlinéarisationau premierordre. Cetteméthode de linéa-risation onsiste àintroduire despetites perturbations des grandeurs ( onsidérées à l'équilibre) qui interviennent dans les équations. Néanmoins, pour ne pas alourdir inutilement les al uls, il estintéressant de négliger ertaines de espetitesperturbations. Enparti ulier, on peut sans problème ignorer

0

qui estlaperturbation dupotentiel gravitationnel . Cetteapproximationsejustiequalitativement parlefaitque

0

estenpremièreapproximation une moyenne sur la totalité de l'étoile des eets du potentiel gravitationnel en haque point de l'étoile et et eet de moyenne tend à neutraliser les u tuations lo ales du potentiel gravi-tationnel. Cowling (1941) [26 ℄ proposa de négliger

0

. Cette simpli ation est don dénommée approximation de Cowling. Nous utiliserons l'approximation de Cowling dans la suite de notre travail.

1.2.3 Traitementadiabatiqueou non-adiabatiquedu problèmedespulsations stellaires

Comme nous venons de le montrer ave l'approximation de Cowling, il est parfois possible de poser des onditions simpli atri es qui, sans altérer l'exa titude des résultats obtenus a posteriori,permettentd'allégerletraitementmathématiqueduproblèmedesos illations.Dansla lignée de ette simpli ation,nouspouvonsévoquer l'hypothèse del'adiabati ité despulsations.

Conséquen es de l'adiabati ité des pulsations

Considérer qu'une os illation est adiabatique revient à supposer que les éléments de masse os illantsn'é hangent au une haleurave leurenvironnement :au oursd'uneos illation,iln'y a don ni gainni perte de haleur par esmasses élémentaires.

Cettehypothèsed'os illationsadiabatiquesestpeuréalistemaiselle onduit,dansbiendes as,à unebonnedes riptiondynamiquedes ara téristiquesdesétoilesvariablesréelles.Enparti ulier, ellefournit desvaleurstrèspré isespourlespériodesdespulsationsetdesrésultatsrelativement ables pourl'amplitude relative d'unepulsation dansl'intérieur del'étoile.

L'adiabati ité d'unepulsation setraduit mathématiquement par lanullité du taux de variation dq=dt, equi onduitàlasuppressionde etermedansleséquations(1.4)et(1.5)etàl'obtention de l'égalité:

 1 

Si une os illation est onsidérée omme parfaitement adiabatique, iln'est pas possible d'ob-tenir dire tement desinformationssur le omportement thermique del'étoile.

Par exemple,iln'estpasenvisageablede déterminerave pré ision ommentlaluminositéd'une étoile variable va évoluer au ours des pulsations ar ette variation résulte d'un eet non-adiabatique. L'hypothèse d'adiabati ité ne peut fournir au une indi ation quant à l'existen e réelledesmodesde pulsation,elle ne véhi uleau une information surlastabilitédel'étoile fa e auxpulsations.La raison enestquetoute petite os illation supposéeinitialement présente dans l'étoile va onserver la même amplitude au ours du temps (puisque l'hypothèse d'adiabati ité impliqueque lesystème soit parfaitement onservatifen l'absen e d'eets dissipatifs tels que la vis osité).

Critère d'adiabati ité

Avant d'a epter une ondition simpli atri e omme l'hypothèse d'adiabati ité, il faut au-paravant s'assurer que ette hypothèse est légitime et qu'elle ne perturbe passigni ativement l'exa titude des al uls qu'elleimplique.

Pour en testerlapertinen e, on peut utiliser un ritèresimple, quiestlerapport entre letemps dynamique(t

ff

)et letemps deKelvin (t k

) déniplus haut :

 si t ff

=t k

!0alors on peut onsidérer lapulsation adiabatique

 si t ff

=t k

! 1 alors lapulsation est fortement non-adiabatique et l'hypothèse d'adiabati- ité doit êtrepros rite absolument.

Ces deux armations se omprennent fa ilement lorsqu'on revient à la dénition même de t ff et de t

k

, quiexpriment en quelque sorte destemps de ré upération de l'étoilefa e àdes per-turbations respe tivement dynamiqueset thermiques.

Sil'étoileretrouve sonéquilibrehydrostatiquebienplusrapidement quesonéquilibrethermique ( as oùt

ff =t

k

! 0) suite à laperturbation qu'engendre lapulsation alors ette dernière n'aura pas pu produire un é hange de haleur entre le milieu environnant et les masses élémentaires os illantes; de e faitl'adiabati ité de l'os illation estvériée.

Par ontresi lasituation estinversée et quel'étoile retrouve sonéquilibrethermique bienavant son équilibre dynamique ( as où t

ff =t

k

! 1) après la perturbation ausée par la pulsation, alorsuneintéra tionaura pusurvenirentrelesmassesélémentairesos illantesetleur environne-ment :un é hange de haleur (perteougain) estdon possible.Dans e dernier as,l'hypothèse d'adiabati ité n'estabsolument pasjustiéeet lemilieuestnon-adiabatique : ilestlesièged'un éventuelé hange de haleur entre lesmasses élémentaires os illanteset leur environnement.

Régions fortement adiabatiques et fortement non-adiabatiques  Approximation quasi-adiabatique et zone de dis ontinuité

L'utilisation du ritère d'adiabati ité montre que laplus grande partie d'une étoile variable peut être onsidérée omme lesiège de pulsations adiabatiques. Cependant,et pluspré isément dansle asd'étoilesnaines blan hesvariables,ilexistetoutefoisdeuxex eptionsnotoiresà ette règle où l'hypothèse d'adiabati ité ne doitsurtout passe faire : ils'agit des ou hes extérieures de l'enveloppe de l'étoile (où le t

ff

lo al peut devenir très supérieur au t k

lo al) d'une part et des oquillesde fusion de l'hélium d'autre part ar es régionsinternes de l'étoile sont le siège

de produ tion d'énergienu léaire etde e fait :> 

rF.

L'intérieur d'une étoile, ex eption faite des He BS ( oquilles d'hélium en fusion nu léaire), est souvent onsidéré omme quasi-adiabatique. Les propriétés d'un milieu quasi-adiabatique sont telles que: ÆT=T =( 3 1) Æ=et queÆL r =L r (ÆL r =L r ) ad ave 3 1=( dlnT dln ) ad ; L r =4r 2

F représente la luminositéintérieure à rayon rdonné.

Mathématiquement, laquasi-adiabati ité autoriseune appro he del'intégrale dutravail en opé-rant une simpli ation sur les fon tions propres, e qui onduit à une estimation du taux de roissan e des modes (). Or, dans les ou hes extérieures non-adiabatiques, la variation de luminosité est gelée 'est-à-dire que ÆL

r =L

r

 ste et ne peut absolument pas être mise en relation ave la variation de luminosité quasi-adiabatique de l'intérieur stellaire. Il existe par onséquent une zone de transition entre les deux régions : intérieur quasi-adiabatique et ex-térieur non-adiabatique, région intermédiaire que l'on représente omme une ou he de faible épaisseur approximativement situéesous l'enveloppe de l'étoiled'aprèslarelation :

< V T TR >(
m) TR L 1 où T TR

désigne latempérature danslazone de transition.

Le numérateur du membre de gau he de l'équation pré édente est à peu près égal à l'énergie interne totaledes ou hesdel'étoiledemasse(
m)

TR

=M m TR

qui reposent sur ette zone de transition; L est la luminosité à l'équilibre de l'étoile et  lapériode du mode onsidéré. T et

V

sont respe tivement les valeurs lo ales de la température et de la haleur spé ique par unité de masse à volume onstant, toutes deux prises pour l'état d'équilibre de l'étoile. Ainsi, ette zone de transition dénit leniveau au-dessus duquel l'énergie interne totale de la portion de l'étoile onsidérée est du même ordre de grandeur que l'énergie totale rayonnée par l'étoile pendant une période de pulsation.

1.3 Propriétés des pulsations non-radiales

1.3.1 Perturbations en termes d'harmoniques sphériques

Dansletraitementdespulsations stellairesnon-radiales,on faitl'hypothèse de linéarité (hy-pothèse de superposition des solutions) qui onsiste à admettre que haque variable perturbée estunemanifestation d'unmodenormal d'os illationpuisàtraiter e modenormal omme si 'était leseul àsemanifesterdans l'étoile.

On onsidèreenoutreque emodeestleproduitd'unefon tionderseulparunefon tion dépen-dantseulementdesangleset .Onadmetennque ettedernièrefon tion estproportionnelle à uneharmonique sphériqueY

m `

(;) quiprend en ompte lastru ture horizontale du mode. L'harmonique sphérique Y

m `

(;)sedénit grâ eà unpolynme deLegendre sousla forme: Y m ` (;)=( 1) m C(`;m)P m ` ( os) exp(im)

Le degré de l'harmonique sphérique est ` et il ne peut prendre que des valeurs naturelles, zéro in lus:`=0;1;2;et .Pour haquevaleurdudegré`,ilexiste(2`+1)valeurspossiblespourm : m= `; `+1;:::;` 1;`.Onappellem lenombre(oul'indexharmoniquesphérique)azimuthal. Al'aide d'harmoniquessphériques, lesperturbationsélémentairesd'unequel onque grandeurA s'expriment souslaforme :

ÆA(r;;;t)=ÆA(r)Y m `

(;)exp (it) en supposant une dépendan e temporelle enexp(it).

En faisant l'approximation de Cowling dans les équations fondamentales qui dé rivent les pulsations stellaireset en adoptant leformalismepré édent,ilest possible d'établirune relation dedispersionpourlesmodesdepulsationdel'étoilevariable,ensupposantquelafon tionradiale évoquée i-dessusest proportionnelleà exp(ikr).

Le al ul mèneà l'équationsuivante,qui dénitk r

, lenombre d'onde radial :

k 2 r = 1  2 2 s ( 2 N 2 )( 2 S 2 ` ) (1.8)

Cetteéquation (1.8)met en éviden eplusieurs grandeurs remarquables :

 la fréquen ede lapulsation:   la vitesseduson: 2 s = 1 P 

, ave l'index adiabatique 1

=(dlnP=dln) ad

 la fréquen ede Brunt-Väisälä(ou fréquen e depoussée d'Ar himède) : N,telleque:

N 2 =( dln dr 1 1 : dlnP dr )g

Cette fréquen e orrespond à la fréquen e d'os illation d'un élément de uide lorsque la gravitéestlafor ederappeletreprésentelafréquen ed'os illationdesmassesélémentaires autour deleurpositiond'équilibre danslesrégionsstables vis-à-visdela onve tion.Dans lesrégions onve tives, la fréquen ede Brunt-Väisäläest imaginaire.

 la fréquen ede Lamb (oufréquen e a oustique): S ` , telleque : S 2 ` = `(`+1): 1 P r 2 

La fréquen e de Lamb traduit lafréquen elo alede l'os illation lorsque lapression est la for ede rappel. Elle estpar onséquent proportionnelle à lavitesseduson.

1.3.3 Conditions de propagation d'un mode et diagramme-diagnosti La relation (1.8) montre qu'un mode est os illatoire ( 'est-à-dire que k

r

est réel) seulement lorsque sa fréquen e d'os illation est simultanément soit supérieure soit inférieure à S

`

et à N (le1

o

as orrespondaux modesde pressionet le2 o

asauxmodesde gravité). Si S

`

<  < N ou bien N <  < S `

, le mode est alors évanes ent ( 'est-à-dire que k r

est imaginaire)etsonamplitudediminueexponentiellementau oursdesapropagationdanslazone d'évanes en e.

De façon générale, la fréquen ede Lamb est semblable d'une étoile à une autre (on a toujours S

`

/1=roù r exprime lerayon partielde l'étoile, entreson entre et lepoint onsidéré). Par ontre, lafréquen e deBrunt-Väisälä n'apasde omportement universel.

Son prol en fon tion du rayon partiel de l'étoile dière (parfois onsidérablement) entre deux étoiles et même ausein d'unemême étoile priseà desstadesévolutifs diérents.

Ande onnaîtrele omportementd'unmodede fréquen edonnée (modeos illatoireou évanes- ent)au ours desapropagationdansl'étoile, ilpeut être intéressant dedresser un diagramme-diagnosti . On réalise un diagramme-diagnosti en traçant sur un même graphe les fréquen es

`

de séparer les régions évanes entes desrégions os illatoires et ainsi de onnaître pré isément le omportement d'un mode defréquen e donnée.

1.3.4 Des ription des modes p, g et f

 les modes p, aussi appelés modes de pression ou modes a oustiques, ont une fréquen e d'os illation >max(S

` ;N).

Ces modes se propagent dans l'enveloppe super ielle de l'étoile. Ils sont essentiellement radiaux et se ara térisent par desvariations eulériennes de pression et de densité relati-vement importantespendant laduréed'uneos illation.Lafréquen ede esmodesdépend de l'ordreradial k de tellesorte que: lim

k!1 

k !1.

 les modes g, également dénommés modes de gravité, ont une fréquen e d'os illation telle que  < min(S

`

;N). Au sein des étoiles ZZ Ceti, ils se propagent dans les ou hes ex-térieures de l'étoile ar, dans le noyau dégénéré, lafréquen e de Brunt-Väisälä dé roît et tend à s'annuler . Ce sont desmodesprin ipalement transverseset ils se manifestent par desvariations eulériennesdepression et dedensitérelativement faiblesau oursdes os il-lations.Lafréquen edesmodesgestfon tiondel'ordreradialk desorteque lim

k!1 

k !0.

 Le mode f ou en ore le pseudo mode Kelvin. Il s'agit du mode d'ordre radial k =0, sauf pour ledegrésphérique `=1pour lequelil orrespond àl'ordreradial k =1( as duSoleil, par exemple). C'estle mode non-radialdont les ara téristiquesserappro hent le plusde elles d'un mode purement radial. Sa fréquen e d'os illation a une valeur omprise entre elledesmodesp et g de plusbasdegré sphérique.

1.4 Mé anismes d'ex itation et d'amortissement des modes

Après avoir présenté les ara téristiques fondamentales desmodes d'os illation non-radiale, nousallonsmaintenantévoquerlesdeuxmé anismesprin ipauxquisontresponsablesde es pul-sationsstellaires.Ils'agitdu-mé anismeetdu-mé anisme.Mais,auparavant,ilfautintroduire un ritèrede stabilitéde l'étoile par rapport àd'éventuelles pulsations.

1.4.1 Stabilité de l'étoile fa e aux pulsations stellaires

Dansune étoile,l'énergie s'éva ueengénéral librement et almement grâ eaugradient ther-miquequis'établitdu entreverslasurfa e mêmesidepetitesperturbationsaléatoiresviennent o asionnellement ontrarier lauidité de e ux.

L'équilibre persiste aussi longtemps que es perturbations (nées de deux for es de rappel : la pressionou lagravité) s'estompent rapidement, leuramortissement étant provoquépar des phé-nomènes dissipatifs omme les pertes radiatives, l'intéra tion ave la onve tion, et .

Ces eets non-adiabatiques s'opposent e a ement au mouvement des masses élémentaires os- illantes ainsiqu'à la ompression(ou à l'expansion) lo aledu milieu.

Desgrandeursthermodynamiquestellesquelesdérivéesdelatempératureetdel'opa itéae tent l'équilibre lo al. En général, si la matière stellaire est omprimée, sa température augmente lorsque son opa ité diminue. Une température plus élevée a roît la quantité de rayonnement qui doits'éva uerdanslamatièreenvironnante, alors qu'uneopa ité diminuée réduit l'e a ité ave laquellelerayonnement estabsorbé parl'environnement desmasses os illantes.

ouplée à une perte de haleur implique que dutravail est apportéà la masseélémentaire pen-dant l'expansion.De e fait, toute petite perturbation initiale sera rapidement amortie, haque masseos illante élémentaire ayant besoin de re evoirdu travaildansle as ontraire.

Le fait qu'une région perde de la haleur lorsqu'elle est omprimée et en gagne lorsqu'elle se dilate onstitue un ritère fondamental de stabilité.

Lorsque la situation inverse se présente et que du travail est fourni par les élements de masse lors dela ompressionet de l'expansion,desperturbationsinnitésimales peuvent alors prendre naissan e,s'amplier et sepropager pour produire les variations lumineuses observées àla sur-fa edesétoiles variables.

L'étudedelastabilitéd'unmodedepulsationdonnéestendénitiveunbilanénergétiqueglobal opéré surl'ensemblede la avitéde propagationpourun mode stationnaire.

1.4.2 le -mé anisme

Une perturbation de luminosité dans l'étoile (par exemple due à la présen e d'une oquille d'hélium en fusion nu léaire) modie lo alement la température. Cette modi ation perturbe le taux de produ tion d'énergie nu léaire  et ainsi engendre une instabilité dansl'étoile (selon le pro essus évoqué i-dessus). C'est le -mé anisme. Celui- i est identique pour les pulsations radiales et non-radiales, à ladiéren e près que les eets du -mé anisme sont peu importants pour lespulsations radiales danslamesureoù l'amplitudede esos illationsestbienplus faible dansl'intérieurde l'étoile quedanssonenveloppe.

1.4.3 le -mé anisme

Si l'opa ité () augmente sous l'eet de la ompression, le ux de haleur est alors piégé plus e a ement autour d'une masseélémentaire os illante et don du travail est ommuniqué à l'environnement de ette masse. Par onséquent les régions de l'étoile où e phénomène se réalise sont en mesure de déstabiliser elle- i. Ce moyen d'ex iter les pulsations onstitue le -mé anisme.

Une région de l'étoile pourra ex iter une pulsation au moyen de e mé anisme si la dérivée de sonopa ité satisfaitlarelation :

d dr ( T +   3 1 )>0 (1.9) ave  T =( ln lnT )  et   =( ln ln ) T

( estl'opa ité,exprimée en m 2

=g)

L'équation (1.9) est d'autant mieux satisfaite dans une étoile qu'un élément himique (hélium, hydrogène,et )estpartiellementionisé.Enparti ulier,

T

augmente généralement danslapartie laplus haude(laplusinterne)d'unezoned'ionisationpartielleetdiminuedanssapartielaplus froide(la plusextérieure).

Ainsi,l'intérieurd'unezone d'ionisationpeut ex iterune pulsationalorsquel'extérieurde ette mêmezonepeutau ontrairel'amortir.L'optimisationdu-mé anisme onstituele -mé anisme. Physiquement, le -mé anisme traduit la onversiond'unefra tiondu travailde la ompression enionisationplus avan éede l'espè e himique onsidérée.Cephénomène a tendan eà ompri-merdavantage lesparti ules élémentaires, e quifavorisel'instabilité.

La libération de ette énergie d'ionisation pendant l'expansion stimule à son tour la perturba-tion. Puisqu'elles surviennent simultanément, les instabilités résultant des eetsde l'opa ité et de l'ionisationsont appelées mé anisme.

 les eets d'amortissement ou d'ex itation des pulsations stellaires sont lairement non-adiabatiquespuisqu'ilsreposent suruné hange(gainouperte)de haleurentrelesmasses os illantes et leur milieu environnant. Ces eetsne peuvent don pasêtre pris en ompte dansune modélisationadiabatique despulsations d'étoiles variables

 l'instabilitéglobaled'unmodedepulsationsemanifesteseulementlorsqueletravailproduit par les zones d'ex itation dépasse elui ee tué par les régions d'amortissement que la pulsationren ontresurun y le ompletd'os illation.Dans e asdegure,leuxd'énergie thermiquepeutgénéreruntravailmé anique, etravailétantensuite onvertienpulsations observablesà lasurfa e de l'étoilevariable.

1.5 Inuen es diverses sur les modes de pulsation

1.5.1 Rle de la rotation et des hamps magnétiques

La rotation

In lurelarotation danslamodélisationd'une étoilevariable omplique sensiblement le pro-blèmedespulsationsnon-radialesdel'étoile.Les ompli ationsinduitesparlarotationdé oulent pourlaplupartdelanon-sphéri itédel'étoile,quirésulteàsontourdelafor e entrifuge.Ainsi, les éléments de masse dansune étoileà lafois variable et en rotation sont soumis,au ours de leurs os illations, à deux for es supplémentaires, en plus des for es habituelles : la for e en-trifuge et la for e de Coriolis. On fait généralement l'hypothèse d'adiabati ité lorsqu'on étudie l'inuen ede larotationstellairesurlespulsations eton onsidèreaussil'eetdelarotationsur les modes de pulsation dans le adre de l'approximation d'une rotation faible. De nombreuses étudesontétéentreprises(Ledoux,1945[63℄;Cowling&Newing,1949[27℄;Ledoux&Walraven, 1958 [64 ℄; Chandrasekhar, 1972 [21 ℄) et ont toutes aboutià la on lusion quela rotationa une a tion stabilisatri e surles pulsations stellaires.

La rotationapar ailleursunea tion importanteet intéressante surlesmodesde pulsation puis-qu'ellelèveladégéneres en equiae telenombreazimuthalmdesharmoniquessphériques.En eet, l'index harmonique sphérique m n'apparaît jamais dansles équations des os illations des étoilessphériquesstatiques. De e fait,lesfréquen espropres desos illationsnon-radialesde es étoiles sont (2`+1) foisdégénérées pour haque mode.Dans une étoile enrotation, ette dégé-néres en e est entièrement levée : l'unique fréquen epropre orrespondant à une valeur donnée de `dansuneétoile sansrotationsedivise en(2`+1) sous-niveauxqui orrespondent ha un à m= `; `+1;:::;` 1; `.

Cettedémultipli ation desfréquen es estsymétrique(pour unerotationfaible)autourde la fré-quen e orrespondant à m = 0 (qui est équivalente à l'unique fréquen e qui se manifeste pour uneétoilesansrotation) etladiéren edefréquen eentredessous-niveauxsu essifsaugmente ave la vitessede rotationde l'étoile ( ette division estquelque peu omparable par analogieà l'eet Zeemanen physique quantique).

L'expression analytique desfréquen es démultipliées par larotation peut s'é rire :  = 0

+ 0 où

0

désigne lafréquen edel'unique mode obtenuen l'absen ede rotationstellaireet  0

est le terme dû àla rotationtel que: 

0

= m(1 C).La grandeurC dépend delastru ture de l'étoile variable et despropriétés deses os illationsadiabatiques. En règle générale,0C1. L'expression exa te de C a été obtenue par Ledoux et Walraven (1958) [64℄ dans le adre de

C= R R 0 r 2 dr[2ab+b 2 ℄ R R 0 r 2 dr[a 2 +`(`+1)b 2 ℄

oùareprésente ledépla ement élémentaire dansladire tion radialeet bledépla ement élémen-tairedansladire tiontangentielle.Il estintéressant denoterque,pourlesmodesg ( 'est-à-dire pour les modesdont la omposante devitesse verti ale estnégligeable devant la omposante de vitessehorizontale),ja(r)j<<jb(r)j. Il enrésulte quepour detels modes:C 1=[`(`+1)℄

2 .

Les hamps magnétiques

Desélémentsde masseélémentaire dansdesétoilesave hampmagnétiquesont sujetsàdes for es éle tromagnétiques, enplus desfor es habituelles.

Ilsembleraitquelaprésen ed'un hampmagnétiquenelèvequepartiellementladégénéres en e surlenombre azimuthalm ( ontrairement à larotationquiee tueune levée totale dela dégé-néres en e).

Eneet,desos illationsnon-radialesave m6=0 orrespondent àdesondesprogressives azimu-thalesdontladire tiondudépla ementdépenddusignede m.Sousl'inuen edelarotation, la dire tion de propagation de l'onde est soit prograde soit rétrograde et ainsile signe de m a un eetphysique.Dansle asd'un hampmagnétique, sil'étoilenon-variableestàsymétrieaxiale, iln'yaau unedistin tionvéritable entre+met m, 'est-à-direqueseulelavaleurabsolue jmj importe. La levée de ladégénéres en e n'est don quepartielle.

1.5.2 Rle de la onve tion

Lorsqu'on onsidèreleseetsdela onve tion surlesétoiles variables,onenvisageen général deux aspe ts de ette intéra tion. Le premier porte sur la stru ture statique de l'étoile et le se ond on erne l'inuen e de la onve tion surles pulsations elles-mêmes.

Lepremiereet setraiteenprin ipeen utilisant lathéoriedelalongueurde mélange( equiest dis utéà lande e Chapitre).

Onadmet que 'est, entre autres hoses, la onve tion présente dansl'enveloppe de l'étoile qui délimitelebordrouged'unebanded'instabilité(BakeretKippenhahn,1965[1℄).Unefaiblezone onve tive seraitsusante pourmettre unterme auxos illationssurlebordrouge d'unebande d'instabilité (Deupree, 1977 [32℄). L'étude des eets de la onve tion sur les pulsations est en oursde développement (Goldrei h& Wu, 1999 [44 ℄[45 ℄ &2001 [93 ℄).

1.6 Rle et enjeux de l'astérosismologie

1.6.1 Dénition de l'astérosismologie

L'astérosismologie représente unoutil d'investigationpar sondage desintérieurs stellaires. C'est une te hnique qui repose surl'étude des modesd'os illation radiale ou non-radiale. Dans ettethèse,nousnousintéressonstoutparti ulièrement auxpulsationsnon-radialesdesZZCeti. Enpratique,l'utilisationdelasismologie stellairepasseparladéte tionetlamesuredes ara té-ristiquesdesmodespropresd'os illationdesétoiles.Onutilise leurspropriétés pour omprendre lastru ture del'intérieur desétoiles quien sont lesiège.

2

Cerésultatn'estpasspé iqueauxnainesblan hesvariablesdela lassedesZZCetimaispourtouteétoile variable quipulseselondesmodesg.

de la géophysique et de l'héliosismologie (astérosismologie qui étudie le Soleil). Cette théorie s'appuiesurlamé aniqueetlathermodynamiqueetpermet,enprin ipe,dedéduirelastru ture del'étoileeninterprétant sonspe tredefréquen e.Cetteméthodeestparailleursl'uniquefaçon de onnaîtrelastru ture interne desétoiles.

1.6.2 Les prin ipaux outils de l'astérosismologie

Danslesparagraphesquisuivent,nousprésentonsles prin ipaleste hniquesmisesenoeuvre par l'astérosismologieainsi quelesinformations qu'ellesnousapportent surladétermination de lamasse totale de l'étoile, surla massede sonenveloppe externe, son tauxde ontra tion et sa vitessede rotation, et .

L'espa ement de période des modes g et la masse totale de l'étoile variable

Les périodes d'un mode g de degré sphérique ` donné augmentent régulièrement lorsque l'ordreradialk roît.Laraison enestquelafor ederappelestproportionnelleàlamassetotale dépla ée et que ette masse diminue lorsque l'ordre radial augmente. Une for e de rappel plus faible implique unepériode pluslongue (Cox, 1980 [30 ℄).

Dans le as de modes g d'ordre radial k très élevé, on peut onsidérer que la longueur d'onde radialequantiquedumodeesttrèsinférieureauxdiérentesé hellesdedistan esurlesquellesles grandeursphysiquessigni ativesvarientlorsd'un y ledepulsation.Ilestdon possibledefaire uneapproximationasymptotiquequi onduitàunerelationsimpletraduisantlespériodesdes modesg onsidérés : P k ' P 0 p `(`+1) (k+) k >>` (1.10)

L'équation (1.10)faitintervenirP k

(lapériodedumodeg d'ordreradial k élevé onsidéré)et P 0 est une onstante qui estfon tion de lastru tureglobale de l'étoile variable.

Kawaler (1987) [53℄ a montré que ette onstante dépend essentiellement de la masse totale de l'étoile(P

0 /M

?

).Enn,la onstante supplémentaire est onsidérée omme faibleet savaleur exa tedépend des onditions limiteset don de lastru ture interne de l'étoile.

Cetteéquationmontrequelesmodesdepulsationdedegré` onstantet d'ordresradiauxélevés doivent présenter despériodes onsé utivesidentiquement espa éesentreelles.

Ces modesdoivent former uneséquen e quirepose surunespa ement depériodefondamental
P = P

0 =

p

`(`+1) .

Lorsqu'on parvient à identier etespa ement depériode (
P) danslaTransformée de Fourier (en périodes) de la ourbe delumière d'une étoilevariable, onle ompare à elui fourni par des modèles pour retrouver la stru ture interne de l'étoile. En parti ulier,
P renseigne ave une bonnepré ision sur lamassetotale de l'étoilevariablesondée.

Le piégeage des modes et la masse de l'enveloppe externe de l'étoile

Dans le as idéal d'une étoile homogène ayant une omposition himique uniforme, les pé-riodesde modesg d'ordresradiauxélevésdoiventprésenterunespa ement depériodes onstant entreelles. Or, les naines blan hesont une omposition himique stratiée,ave un oeur dégé-néréde arbone(ouéventuellement deC+O),etdes ou hesexternes omposées d'héliumet/ou d'hydrogène. Cettevision quelquepeu globalepeutêtre pré isée:ilyalesDAave un oeurde C/O, une ou he d'Heet une enveloppesuper ielled'H; les DBave lamême stru ture mais dépourvuesd'Het lesPG1159 quipossèdentun oeur C/Oet uneenveloppe He+C+O(+N

asymptotiquen'estplusrespe téeauniveau deszonesdetransitionpuisquelepoidsmolé ulaire moyen  hange plus rapidement que la fon tion d'onde d'ordre k le plus élevé (phénomène de  gradient).Parailleurs, esfortesvariationsdela omposition himiquedel'étoileinduisent desgradients, également onséquents, dans ladensité de l'étoile, e qui a pour eet d'entraîner lo alement des hangementsrapidesdansles fréquen es ara téristiquesN etS

` .

Ces variations auniveau desfréquen es de Lamb et de Brunt-Väisälä sont à l'origined'un phé-nomène appelé piégeage des modes. En eet, l'amplitude de la fon tion propre des modes qui présentent des noeuds au niveau deszones de transition himique de l'étoile post-AGB est for-tement réduite en-deçà de ettezone dedis ontinuité ar lemode seréé hit essentiellement et seule unefaible fra tionde sonamplitude esttransmise en-deçàde lazone de dis ontinuité. Les modes orrespondants sont qualiés de modes piégés (dans l'enveloppe externe, au-dessus delazone de dis ontinuité himique)et leurpériodeestdiérente de ellequ'ilsdevraientavoir dansle adrede l'approximation asymptotiqued'aprèsl'équation (1.10).

Lesmodesquisuivent unmode piégéprésentent desnoeudsquisesituent au-delà delazone de dis ontinuité et leurpériodeserappro he de l'expressionanalytique de l'équation(1.10). Ce y le de va et vient autour de l'espa ement de période moyen est onnu sous le nom de trapping y le (Brassard et al., 1992 [13 ℄; Bradley, 1994 [9℄). Le trapping y le dépend de la profondeurde lazone de transitiondela omposition himique responsable dupiégeage.Plus la dis ontinuité estprofonde dansl'étoile,plus ourtest le y lede piégeage.

La modélisation nouspermet de lo aliser l'empla ement de la zone de dis ontinuité et don de onnaîtreave pré ision l'épaisseur (don lamasse) des ou hesexternes del'étoile.

Winget et al. (1981) [87 ℄ ont suggéré quele piégeage des modespourraitfournir un mé anisme natureldeséle tionpourlesmodesdesétoilesZZCetietque edernierpourraitêtreresponsable de la séle tion d'un faible nombre de pulsations parmi l'ensemble des modes g potentiellement observables.Ilsremarquèrent quequelquesmodesde naines blan hes(stratiées himiquement) résonent ave l'épaisseur de la ou he d'hydrogène, e qui a pour eet de réé hir l'énergie de l'onde de l'os illation orrespondante au niveau de l'interfa e H/He : es modes se retrouvent don piégés danslane ou heextérieured'hydrogène.Lesmodespiégésontenoutrelestauxde roissan eles plusélevés, e qui supposeque e sont eux quiont laplusforte probabilité d'être observésà lasurfa e desnaines blan hesvariables.

Toutefois,lefaitquelesmodesdeplusgrandeamplitudeobservésne orrespondentpas né essai-rement àdesmodespiégés ( equisevérieparlamodélisationetle al ul del'énergie inétique pour les modesdu modèle retenu; e qui sera expli ité par la suite), e mé anisme deséle tion nesemblepasuniversel; ilya denombreux ontre-exemples omme RXJ2117+3412(Noyaude NébuleusePlanétaire Variable)

Lesmodespiégés se ara térisent aussipar desespa ementsplus ourts par rapportauxmodes voisinsdansune séquen e demodes dedegré ` onstantet d'ordresk roissants.

L'espa ementdepériodes
P enfon tion deP estundiagnosti importantpourlepiégeagedes modes, lesminima de
P traduisant dire tement lesmodes piégés.

Enoutre,l'espa ementdepériodeentremodespiégésdépenddire tementdelaposition, ausein de l'étoile, de l'interfa e H/He (et par onséquent de l'épaisseur de la ou he d'H). Plus ette ou he est min e, plus et espa ement de période entre modes piégés est important (Brassard et al., 1991) [12℄. En résumé, Brassard et al. (1991) [12℄ ont démontré que, toutes hoses étant égalespar ailleurs, l'espa ement de périodeentre modespiégés s'a roîtlorsque :

 la massetotale de l'étoilediminue laT eff

de l'étoilediminue

Pourrendre omptephysiquementduphénomènedepiégeagedesmodes,ilfauttoutd'abord onsidérer lafréquen ede Brunt-Väisälä expriméesouslaforme suivante :

N 2 = g 2  P  T  P (r ad r+B) ave B = 1  T ( lnP lnY ) ;T :( dlnY dlnP

) oùY désigne l'abondan ed'hélium enfra tionde masse.

B traduit la ontribution du gradient de la omposition himique dans l'expression de la fré-quen e de Brunt-Väisälä.

Danslesétoilesnainesblan hes,B!0etnedevientvéritablementnon-négligeablequ'auniveau des interfa es H/He et He/C. Ce terme B a pour eet de modier brusquement l'aspe t de logN 2 =f[log (1 M(r) M ?

℄.Cetterapidemodi ationestàl'originedespropriétésdeltrage etde séle tion desmodes; unezone onve tive introduit unpuits alors qu'unedis ontinuité himique entraîne unpi dansleprolde N

2 .

En on lusion,lephénomène de piégeage desmodespeut s'opérer dèslors queN 2

varie rapide-ment dansle as d'unezone onve tive ou d'uneinterfa e himique par exemple.

En outre, un mode piégé est moins amorti qu'un mode ordinaire pusique l'amortissement in-tervient dans le oeur des naines blan hes 'est-à-dire dans des régions où l'amplitude de leur fon tion propre est sensiblement diminuée par rapport à elle des autres modes. Ce i renfor e en ore l'eet de séle tion et suggère à nouveau que les modes observés à la surfa e des étoiles variablesseraient préférentiellement desmodes piégés.

Parailleurs,lorsquelamassed'hydrogèned'uneZZCetiaugmente,l'étoileperdprogressivement sonaptitude à séle tionner les modes piégés ar ladiéren e d'énergie inétiqueentre les dié-rentsmodesdiminue ( equisera exposéen détailau Chapitre 2).

Aussi,si lespe trede périoded'uneZZCetimet enéviden e laprésen ede modespiégés,ilest probable quel'étoile ne possède pasune ou he d'H épaisse.

Cara térisation des modes piégés selon leformalisme de Dziembowski :

En termes de variables de Dziembowski (1971) [34 ℄, l'énergie inétique d'un mode dépend dela omposantey

1

(qui traduitlesdépla ementsdansladire tion radiale)etde la omposante y

2

(qui mesure les dépla ements transverses) de la fon tion propre du mode. Dans les naines blan hes, le dépla ement total est largement dominé par les dépla ements horizontaux, e qui implique que l'énergie inétique d'un mode est essentiellement gouvernée par le omportement dey

2

. Pourunmodèledonnéet pour unevaleurde`xée,lesnoeudsdey 1

et dey 2

sedépla ent vers lasurfa e del'étoile lorsquel'ordre radial k augmente.

En outre, un noeud donné de y 1

sesitue toujours au-dessus du noeud de y 2

qui lui orrespond. Cela nous permet de dénir une ondition depiégeage d'un mode : "pour un mode donné, si la omposante radiale (y

1

) de la fon tion propre présente un noeud juste au-dessus de l'interfa e H/He et,qu'aumême instant,lenoeud dela omposante tangentielle(y

2

)dela fon tionpropre quilui orrespond sesitue justeau-dessous de ettemême interfa e,on peutalors onsidérer que le mode est piégé dans la ou he d'hydrogène." (Brassardet al.,1991 [12℄).

Modes piégés et énergie inétique :

qui aune in iden e sur sonénergie inétique, qui s'exprime omme : E = 1 2  2 V jÆrj 2 dV où  désigne lafréquen e propre, V levolumetotal,  ladensitéet Ær ledépla ement lagrangien. Brassard et al. (1991) [12℄ ont montré qu'un mode piégé peut être déte té grâ e à la valeur de sonénergie inétique.

En eet, lors d'une représentation graphique du period spa ing
P, les minima lo aux de la ourbe
P vs. P qui orrespondent à des minima lo aux de la valeur de l'énergie inétique traduisent que le mode orrespondant est un mode piégé.

Nousillustrons ettepropriété à l'aidede deuxexemples. NousavonsmodéliséuneZZCetidemasseM

? =0:55M  ave M(H)=M ? =10 10 ,T eff =11430K et M(He)=M ? = 10 4

. Nousavons al ulé ses modesde pulsation adiabatiques dedegré sphé-rique`=1puis `=2.Lades riptiondusous-programmede al ul desos illationsadiabatiques sera exposée dans le Chapitre 3. Nous avons ensuite évalué l'énergie inétique orrespondant à ha un desesmodesdepulsationpuisnousavonsreprésentégraphiquement E vs.P et
P vs. P pour haque valeur de `.

Lesmodes depulsation sont exprimés danslaTable 1-1pour ledegré sphérique `=1et dans la Table 1-2pour ledegré `=2; lespériodesétant arrondiesà lase onde près.

La Fig.1.2 représente l'énergie inétiquedesmodes en fon tion de leurpériode respe tive pour ledegré sphérique `=1, laFig. 1.4pour le degré`=2; la Fig.1.3 traduit la variation du period spa ing en fon tion de lapériode desmodes pour le degré sphérique `=1 et la Fig. 1.5pour le degré`=2.

Table1-1.Périodeseténergie inétiqueasso iéedesmodesdedegré`=1pourun mo-dèledemasseM ? =0:55M  ave M(H)=M ? =10 10 ,M(He)=M ? =10 4 etT eff =11430K k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P(s) 393 445 507 588 649 704 742 811 866 917 1011 1075 1133
P(s) 69 52 62 81 61 55 38 69 55 51 94 64 58 logE in 46.8 45.6 45.0 44.5 43.3 42.5 42.0 42.9 42.9 43.0 42.9 42.6 42.5 k 16 17 18 19 20 21 P(s) 1219 1276 1340 1384 1444 1515
P(s) 86 57 64 44 60 71 logE in 41.9 41.2 40.8 41.3 41.6 41.5

Table1-2.Périodeseténergie inétiqueasso iéedesmodesdedegré`=2pourun mo-dèledemasseM ? =0:55M  ave M(H)=M ? =10 10 ,M(He)=M ? =10 4 etT eff =11430K k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P(s) 132 190 249 279 305 350 383 409 429 477 511 545 586
P(s) 58 59 30 26 45 33 26 20 48 34 34 41 logE in 47.7 46.8 45.4 45.1 44.8 43.8 42.8 42.0 41.6 42.4 42.4 42.9 42.5

P (s) 628 659 706 738 775 806 839 876 914 961 985 1034 1062
P(s) 41 31 47 32 37 31 33 37 38 47 24 49 28 logE in 42.1 42.3 41.4 40.8 40.4 41.0 41.3 41.1 41.4 41.2 40.9 40.4 40.3 k 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 P (s) 1098 1135 1169 1227 1262 1300 1330 1369 1405 1432 1474 1512
P(s) 36 37 34 58 35 38 30 39 36 27 42 38 logE in 40.7 41.0 41.2 41.1 41.2 41.3 40.6 40.5 40.8 41.0 41.3 41.1

La omparaison des minima lo aux montre que lespe tre de période des pulsations du modèle présente des modes piégés, tant pour le degré sphérique ` = 1 que pour le degré ` = 2; par exemplelemodededegré`=1etd'ordrek=9depériode742set d'énergie inétiquelogE

=42.0 ouen orelemodededegré`=2etd'ordrek=9depériode429setd'énergie inétiquelogE

=41.6. Nousreviendronssur epointimportantqu'estl'énergie inétiquedesmodesdansleChapitre2.

Le rotational splitting et la vitesse de rotation de l'étoile

Commenousl'avonsévoqué, larotation lève ladégénéres en e quiae tel'index azimuthal m de l'harmonique sphérique Y

m `

en permettant à des modes d'un même multiplet, asso iés à desvaleursdemnonidentiques,deprésenterdesfréquen es diérentes.La rotationproduitune séparation ne desfréquen es d'os illations d'un multiplet omparable à la stru ture ne de

Fig.1.2Energie inétiquevs. Période (pourlesmodes dedegré `=1) pourun modèle demasse M ? =0:55M  ave M(H)=M ? =10 10 , M(He)=M ? =10 4 etT eff =11430 K