INEGALITES DE MARKOV SINGULIERES ET APPROXIMATION DES FONCTIONS HOLOMORPHES DE LA CLASSE M

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HOLOMORPHES DE LA CLASSE M

Laurent Gendre

To cite this version:

Laurent Gendre. INEGALITES DE MARKOV SINGULIERES ET APPROXIMATION DES

FONCTIONS HOLOMORPHES DE LA CLASSE M. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier

-Toulouse III, 2005. Français. �tel-00010810v3�

Thèse

présentée en vu de l'obtention du

Do torat de l'Université Toulouse III Paul Sabatier

Spé ialité : Mathématiques pures

par

Laurent GENDRE

Inégalités de Markov singulières

et

Approximation des fon tions

holomorphes de la lasse M

Soutenue le 2 juin2005 devant leJury omposé de :

T.Bloom Professeur, Université de Toronto Rapporteur

A.Cumenge Professeur, Université Toulouse III Examinateur

T.V.Nguyen Professeur, Université Toulouse III Examinateur

W.Ple±niak Professeur, Université de Cra ovie Rapporteur

V.Thilliez Professeur, Université LilleI Rapporteur

A.Zeriahi Professeur, Université Toulouse III Dire teur

LaboratoireE.Pi ard,UMR 5580,UFR MIG, Université PaulSabatier

À Anael, Laela et Isabelle

Résumé

Dans la première partie, nous démontrons des inégalités de Markov pour les

ourbes algébriques singulières de R N

. Nousdonnons une signi ation géométrique

àl'exposantdeMarkovenmontrantqu'ilestreliéàlamultipli itédelasingularitéde

la ourbe omplexiéedansC N

viauneparamétrisationdePuiseux enlasingularité

réelle de la ourbe omplexiée.

Dansladeuxièmepartie,nousdémontronsunthéorèmed'approximationdetype

Bernsteinpourles lassesdefon tionsholomorphesdetypeCarlemanintermédiaires

entre lesfon tions holomorphes et les fon tions indéniment diérentiables sur des

lasses de ompa ts de C N

vériant une ondition géométrique onvenable liée à

lafon tion de Green.Pour démontrer e résultat,nous donnons une représentation

intégralesur les ompa tss-H onvexesdeC N

desfon tionsdeA 1

(K)viaunnoyau

adéquat,nous appro hons e noyaupar lesnoyauxà poids de type Henkin-Ramirez

Cette Thèse a été réalisée sous la dire tion du Professeur Ahmed Zeriahi, je le

remer ie haleureusement pour l'intérêt qu'il a su onstamment porter à mon

tra-vail ainsi quesa grandedisponibilité,sa patien e et ses en ouragements.Je luisuis

sin èrement re onnaissant pour toute la onan e qu'ilm'a témoignée pendant es

années an de me permettre d'a hever e travail.

Jesuisvivementre onnaissantauProfesseurPle±niakd'avoira epté d'être

rap-porteur de ette thèse. Je le remer ie pour toutes les remarques qui ont permis

d'é lair ir mes idées et pour les entretienstrès instru tifs qu'ilm'a a ordés.

Je remer ie haleureusement leProfesseur Thilliezde s'être intéresséà mon

tra-vail et d'avoir a epté d'être rapporteur de ette thèse. J'ai été très sensible à ses

remarques et à ses suggestions bibliographiques qui ont pré isé la teneur de mes

résultatset de mes idées sur e sujet.

Je remer ieleProfesseur Bloompourl'intérêt qu'ilaporté àmathèseetde son

engagement à être rapporteur.

Lesprofesseurs AnneCumenge etNguyen Than Vanontété mes enseignants, je

lesremer ie d'avoir a epté d'être membre de mon Jury.

Jeremer ieleProfesseurBelghitipoursoninvitationàl'UniversitédeKenitraen

juillet 2004 et pour toutes les dis ussions mathématiqueset haleureuses que nous

0.1 Introdu tion . . . 12

1 Inégalités de Markov tangentielles lo ales sur les ourbes

algé-briques singulières de R n 15 1.1 Énon édu Théorème . . . 17 1.2 Préliminaires . . . 19 1.2.1 Sous-ensembles algébriquesde R n . . . 19 1.2.2 Critèred'algébri ité. . . 19

1.2.3 Multipli itéd'un point dans lessous-ensembles analytiques . . 20

1.2.4 Paramétrisationde Puiseux pour une ourbe analytique

om-plexe . . . 21

1.2.5 Fon tionde Green ave pleà l'inni, inégalitéde

Bernstein-Walsh et ompa t (HCP)de C n

. . . 24

1.2.6 Critèrede Sadullaev . . . 26

1.3 Continuité de Hölder de la fon tionextrémale dans le sous-ensemble

algébrique ~

A . . . 26

1.3.1 ProlongementdelaparamétrisationdePuiseuxpourles ourbes

algébriques omplexes . . . 27

1.4 Estimationde la fon tionextrémale . . . 35

1.4.1 Métriquedesgéodésiqueset ontinuitédeHölderdansle

sous-ensemble algébrique ~

A . . . 40

2 Approximation des fon tions holomorphes de la lasse M 53

2.1 Dénitions . . . 55

2.1.1 L' espa edes fon tionsde Whitney E 1 (K) . . . 55

2.1.2 L'espa e des fon tionsde A 1 (K) . . . 56

2.1.3 Les lasses de fon tionsH M (K) . . . 56

2.1.4 Lespoids asso iés à M(t) . . . 58

2.2 Théorème de prolongement lissedes fon tions de H M (K) . . . 61

2.2.1 Démonstration du théorème 4 . . . 61

2.3 Géométrie des ompa ts ausens du pluripotentiel . . . 68

2.3.1 La fon tionde Greenave ple àl'inni . . . 68

2.3.2 Compa ts vériant lapropriété (HCP) . . . 70

2.3.3 Compa ts de C N vériant la ondition (SL) . . . 70

2.4 Approximation des fon tionsde H(K) . . . 71

2.4.1 Notations . . . 71

2.4.2 Noyauà poids d'Henkin-Ramirez dans C N+M . . . 72

2.4.3 Polynmes de meilleure approximation sur un ompa t poly-nmialement onvexe de C N . . . 73

2.5 Approximation des fon tionsde A 1 (K) . . . 80

2.5.1 Constru tiondes se tionsde Cau hy-Leray . . . 82

2.5.2 Noyaureprésentant pour les fon tions de A 1 (K) . . . 86 2.5.3 LajaugeR ()del'ensembleO( A 2 s ;)pourleslignesdeniveaux de V K . . . 88

2.6 Démonstrationdu Théorème 5 . . . 90

2.7 Approximation des fon tionsde H M (K) . . . 96 2.7.1 Constru tionde lasuite (Æ n ) n2N . . . 96

2.7.2 Premièreapproximationdans les lignes de niveaux L A;n . . . . 102

2.8 Démonstrationdu théorème 7 . . . 107

0.1 Introdu tion

Danslesarti lesdeL.BOS,P.MILMAN,N.LEVENBERGetB.A.TAYLOR([5℄)

et M. BARAN etW. PLESNIAK ([3℄),il est montré que l'exposantde Markov est

au moins égal à 1 sur les surfa es algébriques de R n

, lisses C 1

, sans bord et

om-pa tes.Pour y parvenir, lesauteursutilisentessentiellement des outils de lathéorie

du pluripotentiel omplexe. Enrevan he dans l'arti leR. C. FEFFERMANet

NA-RASIMHAN([10℄), ilest démontré qu'ilexiste de telles inégalitésave un exposant

de Markov valant2dansdes ompa ts, ne ontenant pasde pointssinguliers,in lus

dans des sous-ensembles algébriques de C n

, et e i par des te hniques non triviales

de géométrie analytique. Bien sûr, on ne pourra pas iter toutes les parutions et

les auteursayant ontribuéà l'essor de e sujet vula densité de résultats. Ce i dit,

donnons une listenon exhaustive des résultats intéressants et fondamentaux de e

domaine qui permettra de erner l'ensemble :([16℄), ([17℄), ([1℄), ([2℄), ([5℄), ([7℄),

([8℄) et ([22℄).

Nous démontrons l'existen e d'inégalités de Markov lo ales tangentielles sur les

ourbes algébriquessingulières de R n

. Nous interprétons de l'exposant de Markov,

en montrantqu'ilestminoréparun invariantgéométrique.Pour ela,nousutilisons

des outils de géométrie analytique et des résultats de la théorie du pluripotentiel

omplexe, an d'aaiblir la notion (HCP) pour la fon tion de Green ave ple à

l'inni.

L'idée d'approximationquantitativedes fon tionsC 1

etK-analytiques (K est le

orps des réels ou des omplexes) dans les ompa ts de K N

par des polynmes est

à l'origineillustrée par les travauxde BERNSTEIN. Plus pré isément, es derniers

ara térisentlesfon tionsC 1

etanalytiquesréellesdéniesdanslesintervallesde R

parleurdistan eauxpolynmes.Ces théorèmesontétégénéralisésparBAOUENDI

etGOULAOUIC([1℄),dans le asdes fon tionsC 1

etR-analytiquessur desouverts

de R N

exponentiellede leur distan e auxpolynmes. Ilfaut pré iserquedans lesrésultats

ités pré édemment, les inégalités de Markov jouent un rle essentiel dans les

dé-monstrations. Un théorème de BERNSTEIN, pour les fon tions holomorphes dans

les ompa ts polynmialement onvexes et L-réguliers (régulier au sens de Leja)

de C N

, a été démontré par SICIAK ([15℄), 'est la fon tion extremale de SICIAK

qui ontrle la roissan e des polynmes. C'est en quelque sorte l'apparition de la

théorie du pluripotentiel dans la résolution de e genre de problèmes, bien que le

lien entre la fon tion extrémale de SICIAK et la fon tion de Green ave ple à

l'inni sera mis en éviden e un peu plus tard par ZAHARJUTA ([21℄). Ce type de

résultatd'approximationaété généralisépar ZERIAHI([22℄)pour des ompa ts

L-réguliersdanslesvariétésalgébriquesanesd'interse tion omplètede C N

.Dansle

as des fon tions C 1

,PAWŠUKI etPLE‘NIAK ([10℄)vont introduireune nouvelle

lasse de ompa ts ontenant les ritèresgéométriques énon és par BAOUENDI et

GOULAOUIC, les ompa ts à pointes polynmiales appelés ompa ts (UPC). Ils

prouventun théorèmed'approximationdetypeBERNSTEINpourlesfon tionsC 1

dans les ompa ts (UPC), e i àgrandrenfort de lafon tion extrémalede SICIAK

qui, dans les (UPC), vérie une propriété de type Hölder, nommée la ondition

(HCP) par les auteurs. D'ailleurs les ompa ts (UPC) vérient les inégalités de

Markov, point ru ial dans le as C 1

, étant donnée que les estimations de Cau hy

sur lesdérivées ne sont pastoujours valides. Unthéorème d'approximationpour les

jets C 1

de la lasse de Carleman fortement non quasi-analytiques sur de ompa ts

de R N

a été démontré par PLE‘NIAK dans ([12℄).

Unequestionnaturellesepose :qu'enest-ilpourles lassesdefon tions

intermé-diairessituéesentrelesfon tionsholomorphesetlesfon tionsC 1

dansles ompa ts

deC N

?Dansl'arti le([23℄)surlesinégalitésdeMarkovetledéveloppementen série

de polynmes orthogonaux des fon tions C 1

(K) et A 1

(K), ZERIAHI introduit la

propriété de BERNSTEIN-JACKSON, notée (BJ) pour l'espa e A 1

(K). Il donne

et généraux.

Dans notre travail,nous étendons la propriété (BJ) à ertaines lasses de

om-pa ts s-H onvexes de C N

, e i dans le Théorème 5 page 80. Et par ailleurs, nous

généralisons le théorème de BERNSTEIN à un grand nombre de lasses

intermé-diaires dans le Théorème 7 page 96, telles que les lasses de fon tions holomorphes

Gevrey aubord, et ....

A notre onnaissan e, seuls les auteurs BAOUENDI et GOULAOUIC, pour le as

parti ulier des lasses de Gevrey et PLE‘NIAK, pour la lasse des jets de

Carle-man fortement non quasi-analytiques, tout e i dans le as réel, ont démontré un

Inégalités de Markov tangentielles

lo ales sur les ourbes algébriques

singulières de R

1.1 Énon é du Théorème

Nousadopteronsl'identi ationsuivanteC n R n iR n ,l'ensembleR n est don

unR-sous -espa eve torieldeC n

.Par onséquent,nous onsidérons, anoniquement,

R[x 1 ;:::;x n ℄ omme sous-espa e de C[z 1 ;::: ;z n ℄. Si E est un sous-ensemble de C n

et a un point de E, on dira que v est un

ve teurtangenten a de E,s'ilexiste unesuite (a i

) j2N

depointde E etune suitede

réelsstri tementpositifs( j

) j2N

tellesquev =lim j!+1  j (a a j ).Nousappellerons

l'ensembledesve teurstangentsdeEenale netangentendeEenaetlenoterons

C(E;a).Notons quepourtout v 2C(E;a)et tout 2R + 

ona
v 2C(E;a);les

ve teurs tangentsunitaires de C(E;a) ont un sens.

Pour tout sous-ensemble K  C n

, nous noterons la norme uniforme sur K

ainsi : k:k K

.

Nous appellerons mor eau de ourbe algébrique ou ourbe algébrique, tout

sous-ensembleanalytique onnexe etirrédu tibled'une ourbealgébrique.Nous

onvien-drons de la notationsuivante: C i =C i f0gsous-espa e de C i C n i .Enn pour

tout sous-ensemble algébrique A de R n

, nous noterons respe tivement l'ensemble

des pointssingulierset réguliersde A par A sing

etA reg

.

Théorème 1 Soit A un mor eau de ourbe algébrique de R n . Pour tout x 0 dans A, il existe C 1 ;C 2 et " 0

des onstantes stri tement positives, dépendant de x 0

et

lo alement majorées telles que (8"2[0;" 0 [); (8p2R[x 1 ;::: ;x n ℄) : 1. six 0 2A sing , jD v p(x 0 )j6C 1  C 2 (deg(p)) 2 "  k kpk A\B(x 0 ;" k ) ;

où k est la multipli ité omplexe du point singulier x 0

dans ~

A et v un ve teur

unitaire dans C(A;x 0

).

jD v p(x 0 )j6C 1  C 2 deg(p) "  kpk A\B(x0;") ;

où v est un ve teur unitaire de l'espa e tangent T x0 A reg . 3. six 0 2AnA sing ; jD v p(x 0 )j6C 1  C 2 deg(p) "  2 kpk A\B(x 0 ;") ;

où v est un ve teur unitaire de l'espa e tangent T x

0 A

reg .

Corollaire 1 Soit A une ourbe algébrique, ompa te, lo alement irrédu tible et

sans singularitéau bord deR n

, alorsA admetdes inégalités deMarkov tangentielles

lo ales.Il existedon C 1

;C 2

et" 0

des onstantesabsoluesstri tementpositives telles

que : 8"2[0;" 0 [; 8x 0 2A; 8p2R[x 1 ;::: ;x n ℄; jD v p(x 0 )j6C 1  C 2 (deg (p)) 2 "  k kpk A\B(x0;" k ) ;

où k estla multipli ité omplexe du point x 0

etv un ve teurunitaire dans C(A;x 0

).

Dansl'assertion2. duThéorème1,nous retrouvonslerésultaténon é parF

eer-manetNarasimhandans([10℄),pourle asd'une ourbealgébrique.Leshypothèses

du Théorème 1 englobent, bien sûr, les ourbes algébriques lisses sans bord. Nous

en déduisons le Corollairesuivant qui est démontré dans un adre plus généralpar

Bos, Milman, Levenberg etTaylor([5℄).

Corollaire 2 Soit A une ourbe algébrique C 1

, ompa te lisse et sans bord de

R n

, alors A admet des inégalités de Markov tangentielles lo ales d'exposant 1.

Au-trement dit, il existe C 1

;C 2

et " 0

des onstantes positives absolues telles que :

(8"2[0;" 0 [); (8x 0 2A); (8p2R[x 1 ;::: ;x n ℄), jD v p(x 0 )j6C 1  C 2 deg(p) "  kpk A\B(x 0 ;") ;

où v est un ve teur unitaire de l'espa e tangent T x

1.2 Préliminaires

1.2.1 Sous-ensembles algébriques de R n

Si S est une partie de K n (n>2)(K=R ou C), on noteraque I K (S):=fp2K[x 1 ;:::;x n ℄:pj S =0g; est un idéalde K n

ayantun nombre nide générateur (K[x 1

;::: ;x n

℄est un anneau

Noetherien).Si P est une partie non vide de K[x 1 ;:::;x n ℄,on é rira lo P =fx2K n :8p2P; p(x)=0g le lo us de P.

Les sous-ensembles algébriques de K n

sont lesparties A de K n telles que: lo I K (A)=A: En gardant l'identi ation C n  R n iR n

, nous onsidérerons, pour tout

sous-ensemble algébrique A de R n

le omplexié de A omme étant le plus petit

sous-ensemble algébrique omplexe de C n ontenant A. On le notera ~ A, ainsi que, ~ A reg et ~ A sing

lessous-ensembles, respe tifs, singulierset réguliersde ~ A. On notera que : I C ( ~ A)=I R (A) R C etA= ~ A\R n

.Pourplusdepré isions,ilfautseréféreraulivrede Narasimhan([15℄,

Page 91).

Un sous-ensemble A de R n

est une ourbe algébrique, s'il existe des polynmes

p 1 ;:::;p s dans R[x 1 ;::: ;x n ℄, (s 2 N ? ), tels que : A = fx 2 R n : p 1 (x) =


= p s (x)=0get dim R A =1. 1.2.2 Critère d'algébri ité

Le ritère d'algébri ité de Rudin sera utile dans la démonstrationdu Théorème

Théorème 2 Soit X un sous-ensemble analytique de C n

(n 2 N ?

) de dimension

pure p. Alors X est algébrique si et seulement s'il existe C et s deux onstantes

stri tement positives et un hangement de oordonnées unitaire tels que :

(8z =(z 0 ;z 00 )2X); jz 0 0 j6C(1+jz 0 j s ) où z 0 =(z 1 ;::: ;z p )et z 0 0 =(z p+1 ;::: ;z n )

Nous verrons dans le Lemme 2 page 27 que nous hoisirons un hangement de

oordonnées unitaire bien spé ique et que e hoix est ru ial dans l'obtention

de nos estimations. En eet, nous aurons besoin que le sous-espa e R n

de C n

soit

stable par e hangement de oordonnées. En fait, hoisir un ne, omme dans le

Théorème i-dessus, 'esttrouverune proje tion proje tionpropre globale.Ce iest

énon é par laProposition i-après.

Proposition 1 Soit ~ A un sous-ensemble algébrique de C n de dimension pure p. Si la proje tion  : ~ A !C p

est propre alors on a :

~ Af( 0 ; 00 )2C n :j 00 j6C(1+j 0 j s )g: Ave  0 =( 1 ;::: ; p )et 00 =( p+1 ;:::; n );

où C et s sont des onstantes réelles stri tement positives dépendant seulement de

~ A.

Nous nous bornerons juste à énon er la Proposition 1dont la démonstrationgure

dans ([13℄, Proposition1, Page 389).

1.2.3 Multipli ité d'un point dans les sous-ensembles

analy-tiques

Lamultipli itéd'unpointdansun sous-ensemblealgébrique omplexede

dimen-sion pure p est donné par l'expression suivante :

8a2 ~ A;  a ( ~ A):=minf a ( L j ~ ):L2Gr C (n;n p)g;

oùGr C

(n;n p) est laGrassmanienne dans C n

et  L

est la proje tion orthogonale

dénie par  L : C n 'LL ? ! L ? . On a toujours  a ( ~ A) > 1, pour tout a 2 ~ A. Lamultipli ité omplexe  a ( ~

A)n'est autre quele nombre de Lelong du ourant [ ~ A℄

en a; 'est don un invariantpar biholomorphisme, f ([9℄, Proposition2, Page 120

et Page 190).

1.2.4 Paramétrisation de Puiseux pour une ourbe

analy-tique omplexe

Construisons la paramétrisationde Puiseux pour les ourbes analytiques de C n

en adaptant la démonstrationde ([9℄, Page 67).

Dans ette partie A est un sous-ensemble analytique de R n

de dimension pure 1,

lo alement irrédu tibleet ~

A lesous-ensemblealgébrique omplexiéde A dans C n , tel que 0 2 A sing (don 0 2 ~ A sing ); la proje tion  : ~ A \U ! U 0  C 1 (U = U 0 U 0 0 C C n 1

un polydisque) est propre.

Pour toute fon tion holomorphe f au voisinage d'un point a de C, nous noterons

ord a

f l'ordre d'annulationde f en a :.

Pour toute suite d'entiers 0 6 l 1 <


< l r 6 k 1, où k 2 N ? et r 2 N ? tel que

16r6k,nous noterons l'ensemble:

R <r> = [ 16j6r h 0;e i 2l j k i :

Proposition 2 Sous les hypothèses et lesnotations dé rites i-dessus, il existeune

paramétrisation de Puiseux ':D(0;1) ! ~

A\U dénie dans un voisinage ouvert

du disque unité fermé D(0;1) de C 1

vériant les assertions i-dessous.

  '(z) =( z k ; 2 (z);:::; n (z)); (8z 2 D(0;1)), où k = 0 ( ~ A), les j sont

holomorphesdans D(0;1) ave ord 0 j

>k et 2C une onstante dépendant

de '.

  Il existe des entiers 0 6 l 1 <


<l r + A 6 k 1 (resp. 06 l 0 1 <


< l 0 r A 6 k 1), où r +

U, ayant 0 omme extrémité, au-dessusde [0;1℄D(0;1)(resp. au dessus de [ 1;0℄D(0;1)), de sorte que 'j R <r + A > (resp.'j R <r A > ) paramétrise A\U \f(z 1 ;:::;z n )2C n :<e(z 1 )2[0;1℄g (resp: A\U \ f(z 1 ;::: ;z n )2C n :<e(z 1 )2[ 1;0℄g): -Preuve : ~

A est de dimension omplexe 1, ~ A

sing

est un ensemble dis ret. Don il

existe un polydisque U = U 0 U 00  C C n 1 tel que  < 1> (0)\ ~ A\U = f0g,

où  est la proje tion. Nous avons supposé que le sous-ensemble algébrique A est

lo alement irrédu tible; il s'ensuit don que le omplexié ~

A est lo alement

irré-du tible, e i d'après ([15℄, Proposition 2,page 92). Laproje tion j U

est supposée

propre,d'aprèsle Théorèmede stru ture des sous-ensembles analytiques omplexes

( ~

A\U;;U 0

)est unl-revêtementholomorpheramié.Fixonsun pointa2A\U tel

que a 1 2 R où a 1 = (a). Soit : [0;r 1 [! ~ A le relèvement du segment [0;r 1 [ C 1

passant par a dans A (i.e 9t 0 2 [0;r 1 [; (t 0 ) = a; 8t 2 [0;r 1 [; Æ (t) = t). Ce

relèvementexiste ar ( ~

A\U;;U 0

)estun l-revêtementholomorpheramié.Comme

~

A \ U est irrédu tible ~

A \ U n f0g est onnexe. Ce i nous permet de dire que

r = < 1> (fz 2 C :jz 1 j=rg)\ ~ A; 8r 2 [0;r 1

[; est une ourbe de Jordan fermée.

Don le triplet ( r

;;jz 1

j = r) est un l-revêtement. On peut ainsi onstruire une

unique paramétrisation r :[0;2[! r tellequeÆ r (t)=re ikt ,ave r (0)= (r): Dénissons don : (z):=  (z) r 1  1 k ; ( r (t))=  r r 1  1 k e it :

La fon tion  est holomorphe et inje tive sur ( ~

A\U)nf0g. Don d'aprèsle

Théo-rèmede prolongementde Riemanndes fon tionsholomorphessur lessingularités,la

fon tionz :D(0;1)! ~

A\U,telleque 7!z()estune inje tionholomorphe.Ainsi

nous obtenons une paramétrisation de Puiseux pour 0 2 ~ A

sing

. Comme le point a

n'estpasdans(A sing ),onadon  a 0 ;::: ;a k 1 = < 1> (fa 1 g)\ ~ A\U,enprenant par exemple a =a 0

. D'après la onstru tion de la fon tion z(), nous pouvons

or-donner lespoints(a l

) , de sorte que(a l )2[0;e i 2il k ℄; 8l 2f0;::: ;k 1g.

Dénissons lesensembles i-dessous : E <k> := [ 06l 6k 1 h 0;e i 2l k i : et R <k> la partiede E <k> telle que R <r + A > := [ 16j6r + A h 0;e i 2l j k i ; (1.1) où r + A

est le nombre de bran hes, ayant pour extrémité 0, dans A\U et [0;e i

2l j k

℄

est un segment paramétrisant une bran he de A\U au-dessus du segment [0;1℄.

Bien sûr, l'entier naturel r + A

ne peut dépasser k et est toujours plus grand que 1.

Ainsi'j R <r + A >

paramétriseanalytiquementla partiede la ourbe réelleA au-dessus

du segment [0;1℄.Pour lesbran hes de A\U au-dessus de [ 1;0℄,onseramèneau

as des bran hes au-dessus de [0;1℄par une rotation d'angle. 

Si v est un ve teur tangent dans C(A;0), toutes les bran hes d'extrémité 0 de

la ourbe A\U sont paramétrisées lo alement en 0 par 'j R <r + A > ou'j R <r A > . Don

pour le ve teur tangent v, il orrespondra une bran he de A\U, à laquelle il est

tangent,etdon un segmentde R <r + A > etR <r A > ,du type[0;e i 2l k ℄ paramétrisantla

ditebran hepar 'j  0;e i 2l k  .Biensûr, lagéométrie deR <r + A > etde R <r A > dépendent

de la naturede lasingularité de la ourbealgébrique réelle A.

Lemme 1 Soit ~

A une ourbe algébrique de C n irrédu tible et a 2 ~ A sing . Si k est

l'exposant de la paramétrisation de Puiseux, alors k est aussi la multipli ité de la

singularité omplexe de ~ A en a.

-Preuve :Dénissons le produit s alaire usuel dans C n : 8(u;v) 2 (C n ) 2 ave u = (u 1 ;:::;u n )et v =(v 1 ;::: ;v n ) (ujv):= j=n X j=1 u j v j : SoientL 2Gr C (n 1;n); u2L ? et v 2 ;


;v n

2L telque (u;v 2

;::: ;v n

) soit une

base C-orthonormée. On a bien :

Cu ?  ? M Cv j ! =C n ;

onen déduitdon que : 8z2C n ;  L (z)=(zju)u;  L :LL ? !L ? :

On peut supposer, sans perdre de généralité, que a=0. Soit la paramétrisationde

Puiseux de ~ A en 0, z()=(  k ; 2 ();::: ; n ()),où les j

sont holomorphes dans

D(0;1) telles que ord 0

( j

) > k; 8j 2 f2;::: ;ng. Dans ([9℄, Lemme 1, Page 107),

nous avons l'égalité suivante:

ord 0 ( L Æz())= 0 ( L j ~ A ): En identiantCu à C, ona Æz()=  k u 1 + j=n X j=2 j ()u j ! u; 8L2Gr C (n 1;n):

On déduit trivialementque  0

( ~

A)=k:

1.2.5 Fon tion deGreenave ple àl'inni,inégalité de

Bernstein-Walsh et ompa t (HCP) de C n

Soit E un sous-ensemblede C n

, onnotera la lasse de Lelong,L E

(C n

), quel'on

dénira omme i-dessous :

L E (C n ):=fu2PSH(C n ):uj E 60; 9 u 2R; u6 u +log(1+jzj)g; oùjzj:=max 16j6n jz j j,ave z =(z 1 ;::: ;z n ).

La fon tionde Green ave ple lal'inni asso iée au ompa t E est dénieainsi :

V E (z):=supfu(z):u2L E (C n )g; (8z 2C n ):

Il est possible de réduire l'ensemble L E

(C n

) pour dénir V E

, si l'on suppose que E

est ompa t. En eet, si

L + (C n ):=fu2PSH(C n ): uj E =0; 9 u 2R; u6 u +log(1+jzj)g;

ona V E (z):=sup  u(z):u2L + E (C n )\C 1 (C n ) ; (8z 2C n ):

Onappelleralarégulariséesupérieuredelafon tionV E

lapluspetitefon tion

semi- ontinue supérieurement majorant V E

. On la note V ? E

et on la dénit omme

i-dessous : V ? E (z):= limsup !z;2C n V E (); (8z 2C n ):

Si E est non pluripolaire (i.e. 8u 2 PSH(C n ); E 6 u < 1> ( 1)) la fon tion V ? E 2 PSH(C n

). Nous avons le théorème approximation de V E dû à Si iak et Za-harjuta ([21℄). V E =log( E ) (1.2) où  E (z):=sup n jp(z)j 1 deg (p) :p2C[z 1 ;::: ;z n ℄; kpk E 61; deg(p)>1 o ; (8z 2C n ); où k
k E

est la norme uniforme sur le ompa t E. A partir de l' égalité (1.2), nous

déduisons trivialement l'inégalitéde Bernstein-Walsh :

jp(z)j6kpk E e (deg(p)V E (z)) ; 8p2C[z 1 ;:::;z n ℄; (8z 2C n ): (1.3)

On trouvera plus de pré isions sur lesdémonstrations des propriétés de la fon tion

de Green ave pleà l'innidans ([12℄).

SiE est un ompa t de C n

,non pluripolaire,nous dirons que E vérie la propriété

(HCP) (Hölder Continuity Property), s'il existe Æ 0

; C;  > 0 des onstantes ne

dépendant quede E telles que:

(8Æ 2[0;Æ 0 ℄); (8z 2C n ; d(z;E)6Æ) =)V E (z)6CÆ  (dmétrique Eu lidienne):

Siun ompa tvérielapropriété(HCP),lafon tionV E

est ontinue; e iimplique

queE\B(a;") vérielapropriété(HCP).Nousé rironsplus simplementqueE est

(HCP)ouE estlo alement (HCP).Parfois,parabusdelanguage,nouspré iserons

lavaleurde la onstante enparlant(HCP)d'exposantoud'ordre ,s'iln'yapas

de onfusions possibles.

Il fautnoter,qu'ave l'inégalitéde Benstein-Walsh(1.3) etlesinégalitésde Cau hy,

les ompa ts (HCP) admettent des Inégalités de Markov.

Cette notion(HCP)a été introduitepar Ple±niak et Pawªu ki dans l'arti le ([17℄).

1.2.6 Critère de Sadullaev

EnonçonslethéorèmedeSaduallaevquiestune ara térisationdessous-ensemble

algébriques omplexe de C N

.

Théorème 3 (Critère de Sadullaev) Si ~

Aestunsous-ensembleanalytique onnexe

de C n

, alors lafon tion de Green ave pleàl'innieV K

est lo alement bornée dans

~

A si et seulement si ~

A est algébrique.

-Preuve : .f.la démonstrationde ([18℄,page 497, Théorème 2.2). 

1.3 Continuité de Hölder de la fon tion extrémale

dans le sous-ensemble algébrique ~ A

Dans ette partie, nous allons aaiblirla notion (HCP) pour les ourbes

algé-briques de R n

(n > 2) en la restreignant au sous-ensemble algébrique omplexié.

Pour e faire, nous introduirons la métrique des géodésiques dans la ourbe

om-plexiée et nous verrons, modulo une ertaine ompatibilité pour ette métrique,

que ette notion (HCP) impliquera en ore l'existen e d'inégalités de Markov

tan-gentielles.

Endénitive,ilnesera pasné essairedemontrerlapropriété(HCP)dansC n

1.3.1 Prolongement de la paramétrisation de Puiseux pour

les ourbes algébriques omplexes

Pour obtenir le prolongement de la paramétrisationde Puiseux onstruite dans

la Proposition 2 page 21, il est né essaire de onstruire une proje tion globale  :

~ A!C 1 propre. Proposition 3 Soient G=G 0 G 00 , où G 0 etG 00

sontdeux sous-ensemblesouverts

respe tifs de C p et C m (m+p = n), et  : (z 0 ;z 0 0 ) 7! z 0

une proje tion. Soit ~ A un

sous-ensemble analytique de G tel que  : ~

A ! G 0

soit une appli ation propre,

alors ~ A 0 =( ~

A) est un sous-ensemble analytique de G 0 et le nombre de pré-images  1 (fz 0 g); (z 0 2G 0

) est lo alementni dans G 0 . Si, de plus, G=C n , G 0 =C p et ~ A

est un sous-ensemble algébrique de C n , alors ~ A 0 =( ~

A) est aussi un sous-ensemble

algébrique de C p

.

On trouvera la démonstrationde la proposition3 dans le livre de Chirka([9℄, Ÿ3.2,

page 29).

Lemme 2 Soit A un sous-ensemble algébrique de R n de dimension 1 et ~ A son omplexiédansC n tel queA= ~ A\R n

, alorsil existel une transformationunitaire

de C n telle que l(R n )=R n et  :l( ~ A) !C 1 soit propre. -Preuve : On inje te C n dans P n (C), H 0

sera l'hyperplan à l'inni identié à

P n 1 (C) dans P n (C), de sorte que P n (C) = P n 1 (C) [C n

. La ourbe A est

algé-briquedansR n

,don ilexistedes polynmesp 1 ;::: ;p s dansR[x 1 ;::: ;x n ℄(s2N ? ), tels que : A=fx2R n :p 1 (x)=


=p s (x)=0g: Si d j

est le degré du polynme p j

, pour tout j dans f1;::: ;sg, nous avons alors la

dé omposition suivantepour tous lespolynmes p j : p j (x)=h j (x)+q j (x); (8j 2f1;::: ;sg); où les h j

sont des polynmes homogènes dans R[x 1 ;:::;x n ℄ de degré d j et les q j

sous-ensemble algébriqueproje tif V, déni omme i-dessous : V :=f[z℄2P n 1 (C):h 1 (z)=


=h s (z)=0g; où V H 0 ; H 0 =P n 1 (C):

Le sous-ensemble algébrique proje tif V est bien déni puisque les h j

sont des

po-lynmes homogènes et V est propre, ar les h j

ne sont pas tous nuls. Maintenant

identionsGr C (n;1)et P n 1 (C). Soit L:= n ~ L2Gr C (n;1): ~ L ~ A o ;

il est évidentde voir que L est un fermé d'intérieurvide dans Gr C (n;1). Posons : M:=Gr C (n;1)nL;

ils'ensuitqueMestunouvertpartoutdensedansGr C (n;1).Dénissonsl'ensemble suivant: B:= n ~ L2Gr C (n;1):9v n 2R n ; kv n k 2 =1; ~ L=Cv n ; [v n ℄62V o :

De toute éviden e B 6= ;, ar deg (h j

) = deg(p j

) implique que V est au plus une

hypersurfa e. Supposons maintenant que B 6 M. Don il existe ~

L dans B tel que

~ L62 M. Il s'ensuit que ~ L ~ A. Choisissons v n dans R n tel que ~ L=Cv n , puisque ~ L

est dans B,et posons L=Rv n . Nousavons : L ~ L ~ A=)LA: Don (82R); p 1 (v n )=


=p s (v n )=0; soiten ore (8>0); 1 d 1 p 1 (v n )=


= 1 d s p s (v n )=0:

Si !1, ela nous donne : h 1 (v n )=


=h s (v n )=0;

e qui veut dire que [v n

℄ est dans V, or ette dernière assertion ontredit

l'hypo-thèse que ~

L est dans B. En on lusion B M. Soient, maintenant, les polynmes

homogénéisés des p j

dénis omme i-dessous :

p ? j (z 0 ;::: ;z n ):=z dj 0 p j  z 1 z 0 ;::: ; z n z 0  ; (8j 2f1;::: ;sg): Les p ? j

sont des polynmes homogènes de C[z 0 ;


;z n ℄. Considérons ~ ~ A la variété proje tivede P n

(C) dénie omme i-dessous :

~ ~ A:=f[z℄2P n (C) :p ? 1 (z)=


= p ? s (z)=0g:

Etant donné que pour tout j dans f1;:::;sg, on a p j = p ? j j C n , il s'ensuit que ~ A = C n \ ~ ~ A. Comme ~ ~

A est fermée, nous en déduisons su essivement les

in lu-sions suivantes : ~ A ~ ~ A et ~ An ~ A ~ ~ A : De plus ~ ~ A\H 0 =V, par onséquent ~ A\H 0  V, et ~ A\H 0 =;. Ave l'in lusion i-dessous : ~ A ~ A ~ ~ A; ona ~ A ~ A\C n  ~ ~ A\C n = ~ A; don ~ A= ~ A\C n = ~ ~ A\C n : Montrons que ~ An ~ AV. On a ~ A= ~ A\(H 0 [C n )=  ~ A\H 0  [  ~ A\C n  =  ~ A\H 0  [ ~ A; omme ~ A=  ~ An ~ A  [ ~

A, ondéduit l'égalité i-dessous :  ~ An ~ A  [ ~ A=  ~ A\H  [ ~ A (3 )

Choisissons [z℄2 ~ An ~ A, ona[z℄62 ~ A. Del'égalité (3 1 ),ondéduit que[z℄2 ~ A\H 0 , soit ~ A n ~ A  ~ A\ H 0

. L'in lusion voulue est démontrée, sa hant que nous avons

~ A\H 0 V,d'où : ~ An ~ AV H 0 : Choisissonsmaintenant ~

LdansB.Nousavons ~ L6 ~ AetL6A.Ils'ensuitque ~ L\ ~ A

est unesous-ensemblealgébriqueproprede ~

L.Comme ~

Lest de dimension omplexe

1 et ~ A algébrique, ~ L \ ~

A est ni, don L \A aussi. Construisons maintenant la

transformation unitairel. Choisissons v n dans R n telque kv n k 2 =1 et Cv n = ~ L ( ~ L

est dans B).Rappelons que C n

est muni du produit s alaire i-dessous :

(zj):= j=n X j=1 z j  j ; (8z; 2C n ); où z = (z 1 ;::: ;z n );  = ( 1 ;::: ; n

). Construisons par le pro édé

d'orthonorma-lisation de Gram-S hmidt une base R-orthogonale dans L ?

R

. Nommons ette base

(v 1 ;::: ;v n 1 ).Le système (v 1 ;::: ;v n 1

) est C-libre. Nousavons don

dim C Ve t C (v 1 ;::: ;v n 1 )=n 1: Il s'ensuit que: Ve t C (v 1 ;::: ;v n 1 )= ~ L ? C telque ~ L ~ L ? C =C n : On a  ~ An ~ A  \ ~ LV \  a+ ~ L  =;; (8a2 ~ A ); ar V est un sous-ensemble de H 0 et [v n

℄ n'appartient pas à V. Cette dernière

assertionmontre que la proje tion i-dessous :

 ~ L : ~ A ! ~ L ? C (3 2 ) est propre. D'aprèsla onstru tionde ~ Let ~ L ?

,ilexistedon uneuniquetransformationunitaire

de C n notée l 1 telle que: (l (v )je )=Æ ; (8j; k 2f1;::: ;ng);

ave Æ i;j

symbolede Krone ker, où

l 1 (R n )=R n :

On déduit de e quipré ède, 'est-à-dire (3 2

),que laproje tion :

 1 : l 1 ( ~ A) ! C n 1 (z 0 ;z n ) 7 ! z 0

est propre.Notons maintenant ~ A 1

= ~

A. D'après laProposition3page 27, 1 (l( ~ A 1 ))

estalgébriquedansC n 1

.Construisonsparré urren edes endantelasuite( i ;l i ; ~ A i ),

pour tout i2f2;::: ;n 1g,telle que :

 i :l i ( ~ A i ) !C n i ; ~ A i = i 1  l i 1 ( ~ A i 1 )  ; 8i2f2;::: ;n 1g; où i

estuneproje tionpropretelleque i (R n i )=R n i 1 , ~ A i est unsous-ensemble algébriqueetl i

estdansO(C;n i), l'ensembledestransformationsunitairesdeC n i et l i (R n i )=R n i

. Nousavons lesin lusionssuivantes :

j i : O(C;i) ! O(C;i+1) l n i+1 7 ! l n i+1 id C (i+1) ; 8i2f2;::: ;n 1g; oùC (i) est lesous-espa e f0 C i 1gC de C n

. Il s'ensuitque si l'on pose ~ l=(l n 1  id C (3) )Æ


Æ(l 2 id C (n) )Æl 1 , ~

l est dans O(C;n), telle que ~ l(R n )=R n . Si l'on pose  = n Æ


Æ 1 , où n :l n 1 ( ~ A n 1 ) !C 1

est la proje tion propre hoisie omme

 1

pour le sous-ensemblealgébrique ~ A n 1 .On adon :  : l( ~ A) ! C 1 (z 1 ;::: ;z n ) 7 ! z 1

est propre ar toutes les proje tions  i

le sont, don  et l vérient les onditions

requises du lemme. 

Proposition 4 Supposons A une ourbe algébrique de R n

, lo alement irrédu tible,

telle que 0 2 ~

21. Modulo un hangement de oordonnées unitaire dans C n

, laissant A dans R n

,

il existe une appli ation holomorphe dénie dans 0

ouvert de C partout dense,

ave D(0;1) 0 , telle que j D(0;1) = et j (z)j6C(1+jzj sk ); (8z 2 0 );

où Cet s sont des onstantes réelles stri tement positives ne dépendant quede ~ A.

-Preuve : On peut don hoisir, d'après le Lemme 2 page 27, un hangement de

oordonnées unitaire et une proje tion  : ~ A ! C 1 ; ( 1 ;:::; n ) =  1 ; propre telle que (R n ) =R. Comme ~

A est algébrique, d'aprèsla Proposition 1 page 20, il

existe deux onstantes réelles stri tementpositivesC;s telles que :

(j 2 j 2 +


+j n j 2 ) 1 2 6C(1+j 1 j s ): (1.4)

La proje tion  est propre et ~

A est algébrique de dimension omplexe 1, don il

existe  1

C 1

un sous-ensemble ni ontenant 0( ar 02 ~ A sing ) de sorte que :  : ~ An < 1> ( 1 ) !C n 1

soitun r-revêtement holomorphe (r2N ? ),ave 8z 1 2C n 1 ; ard   < 1> (z 1 )\ ~ A  =r:

Don pour tout z 1 2 C 1 n 1 , il existe de V z 1 ;j , (8j 2 f1;:::;rg) des ouverts de ~ An < 1> ( 1 )etW z 1 2V C 1 (z 1 )(voisinageouvertdez 1 deC 1 )ave  z 1 ;j desfon tions holomorphesdans W z 1 ; (8j 2f1;::: ;rg):  z 1 ;j : W z 1 ! V z 1 ;j  7 ! (; z1;j ()): Posons = C 1

n
, où
est un ensemble ni de demi-droites de C 1

ayant pour

originetous les pointsde  1

, ontenant en parti ulier [0;+1[,rendantainsi

sim-plement onnexe 1

.EnappliquantleThéorèmedelamonodromie,ilexiste 1

;::: ; r

des fon tions holomorphes dans telles que :

(8z 1 2); (9W z1 2V C 1 (z 1 )); (8j 2f1;::: ;rg);  j j Wz 1 = z1;j : 1

Comme la proje tion  : ~ A ! C

1

est propre, alors il existe U un voisinage ouvert

de 0 dans C n , où U =U 0 U 0 0 C C n 1

telque laproje tion :

j U : ~ A\U ! U 0 ( 1 ;::: ; n ) 7 !  1

soituneappli ationpropreetvérie < 1>

(0)\ ~

A\U =f0g, ettedernièreassertion

est possible ar  1

est un sous-ensembledis ret de C 1

. Lesous-ensemblealgébrique

~

A\U est irrédu tible, ar la ourbe algébrique réelle A est supposée lo alement

irrédu tible f. ([15℄, Proposition 2, Page 92). D'après le théorème de stru ture

lo ale des sous-ensembles analytiques, il existe  2  C 1 ( 2   1

) ni tel que

 : ( ~ A \ U)n  < 1> ( 2 ) ! C 1 n  2

soit un k-revêtement holomorphe ramié

(k 2N ?

). Construisons laparamétrisationde Puiseux asso iée à lasingularité 0 de

~

A à partir de la proje tion j U

omme dans laProposition 2page 21. Notons ette

paramétrisation:

'(z)=( z k

; (z)); (8z 2D(0;1));

Considérons lesse teurs suivants :

S j :=  z 2D 0 (0;1): 2j k <arg (z)6 2(j+1) k  ; (8j 2f0;:::;k 1g); oùk = 0 ( ~ A) et D 0 (0;1)=D(0;1)nf0g.

Posons les hangementsde oordonnées lo ales suivantes :

 j : D 0 (0;1) ! S j  7 ! (  ) 1 k : Les fon tions j

sont holomorphesdans D 0 (0;1).Posons : S 0 j =S j n
j ;
j := j (
) et j := j (); ona l'in lusionsuivante j S 0 j

etd'après leThéorème de l'image ouverte, j

est

ouvert. Il est lair que S 0 j paramétrise par  j dans D(0;1)n
 D 0 (0;1). Don la

On en déduit l'existen e d'un  i j , tel que Æ j = i j

sur D(0;1)n
. Commepar

onstru tion lafon tion  i

j

est holomorphedans  D(0;1)n
, don la fon tion

se prolongesur l'ouvert j en unefon tion j holomorphedans j .De l'inégalité (1.4) ondéduit que : j j (z)j6 j (1+jzj ) sk ; (8z 2 j ); (8j 2f0;:::;k 1g):

Commeles prolongées j

oïn identsur j

\D(0;1)ave ,alors d'après le

Théo-rème du prolongement analytique, seprolongesur l'ouvert 0 déni par : 0 = [ 16j6k 1 j :

Soit saprolongée, ellevérie don :

8z 2 0 ; j (z)j6 (1+jzj sk ); ave 0 =C 1 :

Dansle orollairesuivant,nousdémontrons,uneversionglobaleduthéorèmedes

fon tions impli ites.

Corollaire 3 Soient A une ourbe algébrique réelle de R n lo alement irrédu tible et x 0 dans ~ A reg

xé. Modulo un hangement de oordonnées unitaire laissant A

dans R n

, il existe une paramétrisation holomorphe '(z) = ( z; (z)), telle que ' :

D(0;1)! ~

A\U, où U ='(D(0;1)) et '([ 1;1℄) =A\U. Cette paramétrisation

se prolonge dans un ouvert de C partout dense,telle que:

j (z)j6 (1+jzj s

); (8z2);

où et s sont des onstantes réelles stri tement positives dépendant uniquement de

la ourbe A.

-Preuve : D'après le Lemme 2 page 27, il existe un hangement de oordonnées

unitairelaissant Adans R n

, telque laproje tion,

 : ~ A ! C 1 (z 1 ;::: ;z n ) 7 ! z 1 ;

soit propre.Sans perdre de généralité, onpeut supposer que x 0

=0 et 02 A reg

. Il

existe  un sous-ensemble, forméde pointsisolés, in lus dans C, telque

: ~ An

< 1>

() !C n;

soitun r-revêtement ramié.Enopérant de lamême manièrequ'àla Proposition4

du page 31, ilexiste un ouvert de C partoutdense et simplement onnexe etdes

fon tions j

(j 2f1;:::;rg)holomorphesdanstelle que = j

j D(0;1)

.Commela

proje tionestpropreetquela ourbe ~

Aestalgébrique,ona,d'aprèslaProposition

1 page 20,ona l'estimation suivante :

j (z)j6 (1+jzj s

); (8z 2);

d'où le Corollairesouhaité. 

1.4 Estimation de la fon tion extrémale

Nous allons estimerla fon tion de Green ave pleà l'innisur un voisinagede

la ourbealgébrique réelle.

Nous onviendrons, dans e qui suit,queleshypothèsessur la ourbealgébrique

A sont les mêmes que dans la Proposition 4 page 31 et que la paramétrisation de

Puiseux ' onstruite identiquement à la Proposition 2 page 21, don prolongeable

omme dans laProposition 4.

Proposition 5 Soit A une ourbe algébrique de R n

lo alement irrédu tible, modulo

un hangement de oordonnées unitaire laissant A dans R n

, il existe des onstantes

réelles 1 ; 2 ;" 0 et  1

stri tement positives dépendant uniquement de ', où " 0

< 1

,

V A\B(0; 1" k ) Æ'(z)6 2 V "R <r + A > (z);  resp. V A\B(0; 1" k ) Æ'(z)6 2 V "R <r A > (z);  (1.5) ave R <r + A > = [ 16j6r + A h 0;e 2ik j  k i ; 0  resp. R <r A > = [ 16j6r A  0;e 2ik 0 j  k  ; 1 A oùk = 0 ( ~ A),r + A (resp.r A

)estlenombrede omposantes onnexesdeA\B(0; 1 " k )\ f(z 1 ;::: ;z n )2C n :<e(z 1

)>0g (resp. le nombre de omposantes onnexes de A\

B(0; 1 " k )\f(z 1 ;::: ;z n )2C n :<e(z 1 )<0g ). Les ensembles R <r + A > et 0 6 k 1 <


<k r + A 6k (resp. R <r A > et 06k 0 1 <


<k 0 r A

6k) sont onstruits omme dans

la Proposition 2 page 21.

-Preuve :Montronsl'estimation(1.5) pourR <r

+ A >

seulement,ladémonstrationest

identiquepour R <r

A >

.Notons la paramétrisationde Puiseux :

'(z)=( z k ; 2 (z)::: ; n (z)); (8z2D(0;1));

omme dans la Proposition2 page 21. Soit " 0

2℄ 0;1[, il existe une onstante réelle

1 >0,dépendantde etdes l ,telleque'(D(0;"))B(0; 1 " k

),pour tout" dans

℄0;" 0

[.

Notons lesin lusions suivantes : (8"2℄0;" 0 [), '(R <r + A > )A; '("R <r + A > )A\'(D(0;"))A\B(0; 1 " k ): (1.6)

Ce qui nous donne :

L A\B(0; 1 " k ) (C n )L A\'(D(0;")) (C n )L '("R <r + A > ) (C n ):

Nous allons dire tement majorer la fon tion V

A\B(0; 1" k

)

. D'après la Proposition 4

page31,lafon tion'seprolongeholomorphiquementdansl'ouvert de C partout

dense, telle que:

max j j (z)j6C 1+   z k   s
; (8z2): (3)

Montrons que A \ B(0; 1

" k

) n'est pas pluripolaire dans ~

A, pour ela étudions

'("R <r + A > ). Soit lesegment L ;" =e 2i k
[ ;"℄tel que0<<" et L ;" "R <r + A > . NotonsD(0;1) 0 =D(0;1)nf0g,pardénitionde 'ona:' 0 (z)6=0; (8z 2D(0;1) 0 ).

Quitte à prendre  plus pro he de ", d'après le Théorème des fon tions impli ites,

onpeut supposer qu'ilexiste un ouvert ~ U de telque : 'j ~ U : ~ U ! ~

V soitun biholomorphisme,ave L ;"  ~ U D(0;1) 0 ; où ~ V = '( ~ U)  ~ A. Supposons que K ;" = '(L ;"

) soit pluripolaire dans ~ V, don , il existe u2 PSH( ~ V),telle que u 6 1 etuj K ;"

= 1. Il s'ensuit que uÆ' est

sousharmonique dans ~ U telle que uÆ'6 1 et uÆ'j L;" = 1. On on lut que L ;"

est polaire, e qui est une ontradi tion étantdonnéque L ;"

est un ontinude

C. Par onséquent, '(L ;"

) n'est pas pluripolaire dans ~ A . Comme L ;"  "R <r + A > , on arme que '("R <r + A >

) n'est pas pluripolaire dans ~ A, don A\B(0; 1 " k ) n'est

pas pluripolairedans ~ A.

D'après le ritèredeSadullaev,V A\B(0; 1 " k ) estdans L 1 l o ( ~ A), ar ~ Aestalgébrique

.f. ([18℄, Page 497, Théorème 2.2) et don d'après ([18℄,Page 501, Proposition 3.4)

il existe une onstante réelleC A;" >0 telle que : V A\B(0; 1 " k ) (z)6C A;" +log(1+jzj ); (8z 2 ~ A): Soit u2L A\B(0; 1 " k ) (C n )) : uÆ'(z)6C ';A;" +kslog(1+jzj); (8z 2); (33)

oùle réel ks est elui de l'estimation(3) i-avant.

Soientune onstanteréelledans℄" 0

;1[etH 

lafon tiondénie omme i-dessous:

H  (z):=ks
log +  jzj   ; (8z 2C); (82℄" 0 ;1[); où x + :=max(0;x); (8x2R): La fon tion H 

i-1. H  (z)=0; 8z 2D(0;); (82℄" 0 ;1[). 2. H  (z)> ks
log; (8z 2C nD(0;1)); (82℄ " 0 ;1[). 3. H  (z) 6  +ks
log(1 +jzj); (8z 2 C), où 

est une onstante réelle

stri tement positive.

Lesassertions1.,2.et3.sontimmédiatesàmontrer.Maintenant,nousallonsprouver

que l'on peut hoisir dans ℄" 0 ;1[de sorte que : H  (z)>uÆ'(z); (8u2L A\B(0; 1 " k ) (C n )); (8z 2nD(0;1)): (333)

Pour elaminorons


(z) :=H 

(z) uÆ'(z)dansnD(0;1),pourlemomentest

xédans℄" 0

;1[.Enréorganisantlestermesetl'estimation(33), onalaminoration

suivante:
 (z)> ks
log() C ';A;" ks
log(2); (8z 2nD(0;1)): Si< 1 2 e C ';A;" sk ,onabien
 (z)>0; (8z 2nD(0;1)).Quitteàdiminuer" 0 >0, on peut hoisir  1 dans ℄" 0 ;1[\ i 0; 1 2 e C ';A;" sk h , tel que
 1

(z) >0 pour tout z dans

nD(0;1).

Comme D(0;1) est dans l'ouvert , e i d'après la Proposition 4 page 31 et que

l'estimation (333) est valide pour = 1 ,on a limsup !z;2 uÆ'()6H  1 (z); (8z2);

don d'après([12℄, Corollaire2.9.14, page 69), lafon tion :

W  1 (z)= 8 < : max(uÆ'(z);H  1 (z)); z 2 H 1 (z); z 2C n

est bien dénie et sous-harmonique dans C. De plus 1 ks W  1 2 L "R <r + A > (C n ) et W  1 j D(0;1)

= uÆ', e i d'après les propriétés de H 

1

, énon ées plus haut, 1. et

3.. Il s'ensuit que uÆ'(z)6W  (z)6ksV "R <k >(z); (8z 2D(0; 1 )):

Nous on luons don uÆ'(z)6ksV "R <r + A > (z); (8z 2D(0; 1 )); (8u2L A\B(0; 1 " k ) (C n )): 

Pour ne pas alourdir la démonstration de la Proposition 5, nous n'avons pas

détaillél'hypothèseoùlamultipli iték prendlavaleur1.Rappelonsquenousavons

supposé que0 est un pointde A sing

,don né essairement lamultipli iték du point

0estsupérieurouégalà2.Ce idit, l'obtentiondel'estimation(1.5),pourlespoints

non singuliersde A, ne dière pas quantaux te hniques de démonstrationutilisées,

il fautseulement substituer la Proposition 4 page 31au Corollaire3page 34. C'est

pourquoi, il ne nous semblepas né essaire de démontrer le orollairesuivant.

Corollaire 4 Soit A une ourbe algébrique lo alement irrédu tible de R n

, telle que

0 2 A reg

. Modulo un hangement de oordonnées unitaires laissant A dans R n

, ils

existent des onstantes " 0

, , 1

et 2

réelles stri tement positives dépendant de la

paramétrisation '(z)=( z; (z)) du Corollaire 3 page 34, telles que

 si02A reg nA, (8"2[0;" 0 [); (8z 2D(0;)); V A\B(0; 1 ") Æ'(z)6 2 V [ ";"℄ (z) (1.7)  si02A reg \A, (8"2[0;" 0 [); (8z2D(0;)); V A\B(0; 1") Æ'(z)6 2 V [0;"℄ (z): (1.8)

Lemme 3 Soient b un nombre omplexe appartenant à "I, jbj 6=" (I =[ 1;1℄

C) et r stri tement positif tel que r<" jbj. Alors :

sup D(b;r) V "I 6 log(1+r); où =max n 1; 2 dist(b;"I) o :

-Preuve : Sans perdre de généralité, on peut supposer b stri tement positif. Pour

démontrer le lemme i-dessus il sut d'estimer sup D(0;r) V I 0 où I 0 = [2b ";"℄. On a : sup V I 0 =log 0  ir " b + s  ir " b  2 1 1 A :

Nous rappelons que la fon tion de Green ave ple a l'inni sur le segment [ 1;1℄

dans C est onnue :

V [ 1;1℄ (z)=log +   z+ p z 2 1    ; (8z2C):  Lemme 4 La fon tion V [ 1;1℄

vérie la propriété de ontinuité de Hölder ave un

exposant 1 2 , 'est-à-dire : (8Æ 2[0;1℄)(8z 2C; dist([ 1;1℄;z)6Æ)=)V [ 1;1℄ (z)6CÆ 1 2 (HCP)

où C est une onstante réelle stri tement positive.

-Preuve :Nousne donneronsla démonstrationquipourra être trouvée dans ([16℄)

oudans lelivrede M.Klimek ([12℄). 

1.4.1 Métrique des géodésiques et ontinuité de Hölder dans

le sous-ensemble algébrique ~ A

Dénissonslamétriquedesgéodésiquesdans ~

A.Considéronsl'ensemble S [0;1℄

;4

des subdivisions de l'intervalle[0;1℄muni de la relationd'ordre suivante :

(8;  2S [0;1℄

); ( 4)() (lasubdivision  est moins ne que ):

Maintenant, si est une fon tion de [0;1℄ dans ~

A et  est une subdivision dans

S [0;1℄ , nous dénirons V  ( ) de la sorte : V  ( ):= j=p 1 X j=0 k (t j+1 ) (t j )k 2 ;  =(t 0 ;:::;t p ); (82S [0;1℄ ); oùkzk 2 :=( P j=n j=1 jz j j 2 ) 1 2 ; (8z 2C n

). Dénissons le sous-ensemble des fon tions à

variation bornée i-dessous :

CVB (1;2) ([0;1℄; ~ A):= ( 2C 0 ([0;1℄; ~ A): (0)= 1 ; (1)= 2 ; sup 2S [0;1℄ V  ( )<+1 ) ; où C 0 ([0;1℄; ~

A) est l'ensemble des fon tions ontinues de [0;1℄ dans ~

A. On peut

dénir, désormais,une métriquedans ~ A de ette manière, d( ; ):=inf n V( ): 2CVB (1;2) ([0;1℄; ~ A) o ; (8 ;  2 ~ A);

où V( ):=sup  V  ( ):2S [0;1℄ :

Il est lair qued(
;
) dénitbien une métrique dans ~ A.

Lemme 5 SoitA une ourbealgébriquede R n

lo alementirrédu tibleet  0

un point

xé dans A; On onsidère l'espa e métrique ( ~

A ;d), où d(
;
) est la métrique des

géodésiques dans ~

A et '(z) = ( z k

; (z)) la paramétrisation de Puiseux de la

Pro-position 2 page 21, telle que ':D(0;1)!U; '(0)= 0 et U  ~ A ouvert.   Si  0 dans ~ A reg , il existe 1 et 2

des onstantes réelles stri tement positives

ne dépendant que de ' telles que,

1 j^z 1 ^ z 2 j6d('(z^ 1 );'(^z 2 ))6 2 j^z 1 ^ z 2 j; (8^z 1 ;z^ 2 2D(0;1)): (1.9)   Si  0 est dans ~ A sing

, on peut rétré ir le voisinage U de  0 de sorte que ~ A sing \U =f 0 g tel que, 1 j^z 1 j k 6d('(0);'(^z 1 ))6 2 j^z 1 j k ; (8^z 1 2D(0;1)); (1.10)

où k est la multipli ité omplexe du point singulier  0

de ~ A.

-Preuve : Commençons par démontrer (1.9). Soient  0 2 ~ A reg et ': D(0;1)! U

la paramétrisation de Puiseux. Fixons z^ 1

et z^ 2

dans D(0;1). Choisissons dans

CVB ('(^z 1 );'(^z 2 )) ([0;1℄; ~ A) et  2 S [0;1℄ , telle que  = (t 0 ;::: ;t p ). Sans perdre de

généralité, on peut supposer que  0 = 0. Posons  k = (t k ); 8k 2 f0;:::;pg.

Comme'est surje tive,il existe z 0

;:::;z p

dans D(0;1)tels quez 0 =z^ 1 ,z p =z^ 2 et  k ='(z k

); 8k 2f0;::: ;pg. Nousavons l'égalitésuivante:

 k+1  k ='(z k+1 ) '(z k )= Z 1 0 d dt '(tz k+1 +(1 t)z k )dt: D'où k (t k+1 ) (t k )k 2 =jz k+1 z k j Z 1 0 ' 0 (tz k+1 +(1 t)z k )dt

et don k (t k+1 ) (t k )k 2 =jz k+1 z k j j=n X j=1     Z 1 0 ' 0 j (tz k+1 +(1 t)z k )dt     2 ! 1 2 ; oùles' j

sontlesfon tions omposantes de'.Étantdonnéque 0

n'estpasun point

singulier,il existe une onstante stri tementpositive 1

dépendant de 'telle que :

j=n X j=1     Z 1 0 ' 0 j (tz k+1 +(1 t)z k )dt     2 ! 1 2 > 1 : Don ona V  ( )> 1 jz p z 0 j= 1 j^z 2 ^ z 1 j; 8 2S [0;1℄ ; 8 2CVB ('(^z 1 );'(^z 2 )) ([0;1℄; ~ A): Il en résulte que d('(z^ 1 );'(^z 2 ))> 1 j^z 1 ^ z 2 j:

Pour l'autre inégalité , il sut de voir que par dénition de la métrique d(
;
),

ona d('(^z 1 );'(z^ 2 ))6 Z 1 0 d dt '(t^z 1 +(1 t)z^ 2 ) 2 dt6 2 j^z 1 ^ z 2 j; ar  0

est un pointrégulier de ~

A, d'où l'inégalité(1.9).

Montrons maintenant l'estimation (1.10). Supposons que  0 est dans ~ A sing . On peutprendre 0

=0sansperdreengénéralité.LaparamétrisationdePuiseuxs'é rit:

'(z)=( z k ; 2 (z);::: ; n (z));

où les fon tion l

sont holomorphes dans D(0;1) telles que ord 0

( l

) > k.Pour

fa- iliter la le turedes al uls nous noterons k l (0) l'ordre de ord 0 ( j ). Rappelons que nous avons U \ ~ A sing =f0g.

Nousallons ommen er par montrer qu'ilexiste  dans ℄0;1[ telque,

k'(z)k 2 > ' jzj k ; 8z 2D(0;);

Les fon tions omposantes l

sont holomorphes dans D(0;1),on peut don les

dé-velopper en série : l (z)= 1 X j=k(0) 1 j!  j z j l (0)z k ;

En fa torisantpar z k

l (0)

et en appliquant les inégalitéstriangulaires,onobtient:

j l (z)j>   z k l (0)   0  1 k l (0)!      k l (0) z k l (0) l (0)           1 X j=k l (0)+1  j z j l (0)z j       1 A ; (8z 2D(0;1)): (3)

Ave les inégalitésde Cau hy :       1 X j=k l (0)+1  j z j l (0)z j       6 1 X j=k l (0)+1  j k l (0) k l k D(0;1) ; (8z2D(0;));

oùla onstante est dans l'intervalle℄0;1[, onobtient l'estimation i-dessous :       1 X j=k l (0)+1  j z j l (0)z j       6k l k D(0;1)  1  :

Simaintenant,nous faisons tendre!0lemembrede gau he tend àson tourvers

0,il existe don  l 2℄0;1[,telque       1 X j=k l (0)+1  j z j l (0)z j       6 1 2k l (0)!      k l (0) z k l (0) l (0)     ; (8z 2D(0; l )); (33) sa hant  k l (0) z k l (0) l (0)6=0, ar k l (0) =ord 0 ( l

). Enintroduisant (33)dans (3), nous

obtenons l'inégalitésuivante:

j l (z)j>jzj k l (0) 1 2k l (0)!      k l (0) z k l (0) l (0)     ; (8l 2f1;::: ;ng); (8z2D(0; l ));

Si l'on pose =min 16l 6n ( l ), ils'ensuit q j z k j 2 +j 2 (z)j 2 +


+j n (z)j 2 > jzj k ; 8z 2D(0;): (1.11) Fixons z^ 1

dans D(0;1),soit un heminde CVB

(0;'(^z1)) ([0;1℄; ~ A). Choisissons = (t 0 ;::: ;t p

)unesubdivisiondansS [0;1℄

.D'aprèsla onstru tiondelaparamétrisation

de Puiseux, dans laproposition 2page 21,ilexiste z 0

;:::;z p

dans D(0;1),tels que

'(z j

)= (t j

), pour tout j dans f0;::: ;pgave jz j j<jz j+1 j etz p =z^ 1 . V  ( )= j=p 1 X k'(z j+1 ) '(z j )k 2 :

On peut trouver une subdivision  0

de S [0;1℄

plus ne que  de sorte que z 1

soit

dans D(0;).Don d'aprèsl'estimation (1.11) ona

V  0 ( )> jz 1 j k + j=p 1 X j=1 k'(z j+1 ) '(z j )k 2 ; (1.12) repensant que z 0 =0.

Il nous reste à minorerles termesde lasomme (1.12).Nous avons,

'(z j+1 ) '(z j )= Z 1 0 d dt '(tz j+1 +(1 t)z j )dt; (8j 2f1;::: ;p 1g); d'où k'(z j+1 ) '(z j )k 2 =jz j+1 z j j l =n X l =1     Z 1 0 ' 0 l (tz j+1 +(1 t)z j )dt     2 ! 1 2 ; oùles ' l

sontles fon tions omposantes de ', don

k'(z j+1 ) '(z j )k 2 >jz j+1 z j j     Z 1 0 k(tz j+1 +(1 t)z j ) k 1 dt     : En on lusion, k'(z j+1 ) '(z j )k 2 >   (z j+1 ) k (z j ) k   > jz j+1 j k jz j j k ; 8j 2f1;::: ;p 1g; ar jz j j<jz j+1

j; 8j 2f0;:::;p 1g. Enreportant l'inégalité i-dessus dans

l'esti-mation (1.12),on obtient V  0 ( )>min( ;1)jz p j k =min( ;1)j^z 1 j k :

L'inégalité i-dessus est en orevraie pour tout  2S [0;1℄ ; < 0 ; d'où V( )>min( ;1)j^z 1 j k :

Nouspouvons on lure

d(0;'(z^ 1 ))> 1 j^z 1 j k ; 1 =min( ;1):

En e qui on erne l'autreinégalité, ilsut de remarquer que nous avons,

d(0;'(^z 1 ))6 Z 1 0 d dt '(t^z 1 ) dt;

et e i par la onstru tion même de la métrique d. Par un al ul similaire aux

pré édents, nous déduisons que Z 1 0 d dt '(t^z 1 ) 2 dt6 2 j^z 1 j k ; où 2

est une onstante ne dépendant que de '. 

Nous allonsdémontrer maintenant quelafon tion extrémaleV A\B(x 0 ; 1 " k ) vérie la propriété (HCP) dans ~

A, muni de la métrique des géodésiques dénie dans e

paragraphe.

Proposition 6 Soit A une ourbe algébrique de R n

lo alement irrédu tible muni

de la métrique des géodésiques d(
;
) dans ~

A. Alors, la fon tion extrémale vérie

la prin ipe de ontinuité de Hölder lo ale dans ~

A, pour la métrique d(
;
). Plus

pré isément : (9" 0 ;  0 2℄0;1[) dépendant de x 0 , tels que(8"2℄0;" 0 [); (82℄0; 0 [) :  Six 0 2A sing ; V A\B(x0; 1" k ) ()6C(x 0 ) 1 2k ; (8 2B ~ A (x 0 ;" k )); (1.13)

où k est la multipli ité omplexe du point singulier x 0 dans ~ A.  Six 0 2A reg \A; V A\B(x 0 ; 1 ") ()6C(x 0 ) 1 2 ; (8 2B ~ A (x 0 ;")): (1.14)  Six 0 2A reg nA; V A\B(x 0 ; 1 ") ()6C(x 0 ); (8 2B ~ A (x 0 ;")): (1.15) Ave B ~ A (x 0 ;r) := n  2 ~ A:d(x 0 ;)<r o

, r est un réel stri tement positif et

C(x 0

) une onstante stri tement positive lo alement supérieurement majorée.

x 0

= 0. D'après la Proposition 5 page 35, modulo un hangement de oordonnées

unitaire,ilexiste des onstantes , " 0

et 1

,réelles, stri tementpositivesdépendant

seulementde laparamétrisationde Puiseux' onstruitedans laProposition2page

21, ave 0<"<" 0 <<1. SoitdansB ~ A (x 0 ;" k

),d'aprèsle(1:13)duLemme5page41,l'inégalitésuivante

est vériée, j^zj k 6 " k  1 ; où '(^z)=:

D'aprèsle(1.5)delaProposition5page35,ona:(8"2℄0;" 0 ℄),(82 n 2k  j  k :j 2f1;:::;r  A g o ), V A\B(0;~ 1 " k ) Æ'(z)6~ 2 V "R <r  A >(z)6~ 2 V "I (e i z); (8z 2D(0;)) ( 1 ); où 2f+; g et 0<" 0 <. Choisissons 0< 0 < 1 de sorte que : (8 2℄0; 0 ℄)=)(  1 < k ); don  j^zj "  k <  1 < k : Ave l'inégalité( 1

)etleLemme3page 39, ar ona hoisit  0 desorte que  0 1 <1, nous déduisons : V A\B(0;e 1" k ) ()6e 2 V I  e i ^ z "  6C 1 2k :

Pour démontrer (1.14) la te hnique de démonstration est identique, en eet soit

 2 B ~ A

(0;"), don il existe z^ 2 D(0;1) tel que '(z)^ = . D'après le (1.9) du

Lemme 5 page 41, ona d(0;)> 1 j^zj, d'où j^zj 6 " 1

. On on lutave le Lemme 4

page 40,on a: V A\B(0;e 1 ") ()6e 2 V "I (^z)6C 1 2 :

L'estimation (1.15)est identique à démontrer. 

Lemme 6 Soit ' : D(0;r) ! C n

une appli ation holomorphe dénie dans le

disque ouvert D(0;r) de C (r > 0) telle que '(0) = 0. Notons ' = (' 1 ;::: ;' n ) et k = min 16j6n (ord 0 (' j

)). Alors il existe un réel stri tement positif r 0

qui dépend

uniquement de l'appli ation ', tel que : (8p 2 R[x 1 ;:::;x n ℄); (8r 2℄0;r 0 [); (8z 2 D(0; r 0 2 )),    z (pÆ')(z)   r P 16j6n   ' 0 j (z)   2 6  Z 2 0 d   z+ r 2 e i   k 1  kpÆ'k D(0;r 0 ) r : (1.16)

-Preuve :Lesfon tions omposantes de 'sedéveloppent en série entière ar 'est

holomorphe,don : 8l 2f1;::: ;ng, ' l ()= X k l 6j a l ;j  j ; k l =ord 0 (' l ); k l >1 Commea l ;k l

6=0 pour z assez pro he de 0, ilexiste r l 2℄0;1[tel que: j' l ()j> ';l jj k l 1 ; 8 2D(0;r l ); d'où k' 0 ()k 2 > ' jj k 1 ; 82D(0;r 0 ); r 0 = min 16l 6n (r l ); k = min 16j6n (k l ): Majorons   1 z k 1  z (pÆ ')  

. Il est aisé de voir que la singularité en 0 est arti ielle.

Don 1 z k 1  z

(pÆ') est holomorphedans D(0;r 0

).Nous pouvons appliquer

su essi-vement la formule intégrale de Cau hy à 1 z

k 1  z

(pÆ'), an d'obtenir les inégalités

voulues. 1 z k 1  z (pÆ ')(z)= 1 2i Z C(z; r 2 ) 1  k 1 1 2i Z C(; r 2 ) pÆ'() ( ) 2 d d  z = 1 2i Z 2 0 1 (z+ r 2 e i 2 ) k 1 1 2i Z 2 0 pÆ'(z + r 2 e i 2 + r 2 e i 1 ) r 2 e i 1 d 1 d 2 ; 8r2℄0;r 0 [; 8z 2D(0; r 2 ): D'où     1 z k 1  z pÆ'(z)     6  Z 2 0 1   z+ r e i   k 1 kpÆ'k D(z;r0) r d;

8r2℄0;r 0 [; 8z 2D(0; r 2 ): D'où l'estimation(1.16). 

Commençons par démontrer 1: du Théorème 1.

-Preuve : Sans perdre de généralité, nous pouvons supposer que x 0

= 0 et que

02A sing

.

Soit p un polynme dans R[x 1

;::: ;x n

℄ xé. Si v 2 C(A;0) est un ve teur tangent

unitaire,alorslabran he deAtangenteàv estparamétriséepar'j R <r + A > ou'j R <r A >

(' paramétrisation de Puiseux), e i d'après la Proposition 2 de la page 21. On

peut don hoisir l un entier dans f0;:::;k 1g, tel que le segment [0;e i 2l k ℄  R <r + A > [R <r A > et 'j [0;e i 2l k ℄

paramétrisela bran he de A à laquelle le ve teur v est

tangent. Pour des ommodités d'é riture et de al uls, nous ne hangerons rien au

résultat voulu, si nous transformons le segment [0;e i

2l k

℄ en [0;1℄, par une rotation

dansC d'angle 2l 

k

(bienévidemmentC estorientédanslesensdire t).L'ensemble

R <r + A > [R <r A >

n'est en rien modiépar ette rotation.

D'après l'inégalité(1.16) du Lemme 6,on a:

jD v p(0)j 6 r k kpÆ'k D(0;r) ; (8r2℄0;r 0 ℄); (1.17) la onstanter 0

estréellestri tementpositivenedépendantquede'.D'aprèsle(1.13)

de la Proposition6 page 45,il existe  0 ;" 0 >0tels que: (8 2 ~ A); d(;0)6" k , V A\B(x 0 ; 1 " k ) ()6C(x 0 ) 1 2k ( 1 )

Quitte àdiminuer lavaleurde  0

,on peut don é rire :

jD v p(0)j6 (") k kpÆ'k D(0;") ; (8 2℄0; 0 [); (8"2℄0;" 0 [): Estimons kpÆ'k D(0;")

,ave le(10) du Lemme 5page 41 quenous obtenons

l'esti-mation i-dessous, kpÆ'k D(0;") 6kpk B ~ (0; 2 (") k ) ; (8 2℄0; 0 [); (8"2℄0;" 0 [); (1.18)

( ar '(D(0;"))B ~ A (0; 2 (") k )). jD v p(0)j6 (") k kpk B ~ A (0; 2 (") k ) ; (82℄0; 0 [); (8"2℄0;" 0 [);

ave l'inégalitéde Bernstein-Walsh :

jD v p(0)j6 (") k kpk A\B(0; 1" k )

exp deg(p) sup B ~ A (0; 2(") k ) V A\B(0; 1 " k ) ! :

En utilisantla propriété (HCP)de la fon tion de Green ( 1 ),on obtient : (82℄0; 0 [); (8"2℄0;" 0 [); jD v p(0)j6 (") k kpk A\B(0; 1 " k ) exp  C 3 deg(p)( k ) 1 2k  ; d'où jD v p(0)j6 (") k kpk A\B(0; 1 " k ) exp  C 3 deg(p) 1 2  : En posant = ~ C (degp) 2 , ave 0< ~ C < 0 jD v p(0)j6 e C 3
p ~ C ~ C(deg (p)) 2 " ! k kpk A\B(0; 1" k ) :

Le 1. du Théorème 1 page 17est don montré.

Pour démontrer 2. et 3. du Théorème 1, la démonstration est te hniquement

identique, seulement il faut utiliser le (1:14) et (1:15) de la Proposition 6, le (1.9)

du Lemme 5 page 5et leLemme 4 page 40. 

Un exemple intéressant a été démontré par Bos, Milman, Levenberg et Taylor

([7℄) d'inégalités de Markov tangentielles sur ertaines ourbes algébriques de R 2

.

Ils montrent que l'exposant k est optimum sur les ourbes de type :

=f(t p

;t q

):t2[0;1℄g;

où p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux, tels que p < q. Pour des

inégalitésglobales,ils montrent quek ne peut être plus petit que p. Or et entier k

est aussi la multipli ité omplexe du point (0;0) de la ourbe algébrique

don lo alementontun exposant de Markov aumoinségal à1oup.LeThéorème1

onfortel'idéequelamultipli itédespointsd'une ourbealgébriquejoueunrlesur

l'exposant de Markov, onpeut même penser que les points singuliersd'une ourbe

algébriqueréelle se omportent ommeun bord, e qui expliquerait l'apparitiondu

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Approximation des fon tions

2.1 Dénitions

2.1.1 L' espa e des fon tions de Whitney E 1

(K)

Soit K est un sous-ensemble ompa t de C N

, onsidéré omme sous-ensemble

de R 2N

et C 0

(K) l'espa e des fon tions ontinues dans K. Dénissons brièvement

l'espa edes jets C 1

de Whitney omme i-dessous :

E 1 (K):= n F =(F  ) 2N 2N :F  2C 0 (K);(82N 2N ); kFk k K <+1; (8k2N) o ; oùles k
k k K

sont lessemi-normes de Whitney dénies omme i-dessous :

kFk k K =jFj k K +sup ( (R k x F)  (y) jx yj k jj :x; y 2K; x6=y;  2N 2N ; j j6k ) ; ave j j:= 1 +


+ N et (R k x F)  (y)= X jj6k jj 1 ! F + (x)(y x)  ; (8x;y2K) et jFj k K =sup  jF  (x)j:x2K; 2N 2 N ; j j 6k ;

Notons et dénissons l'espa edes fon tions C 1

dans le ompa t K ainsi :

C 1 (K):=  fj K :f 2C 1 (R 2N ) :

De manièretriviale, si K est déterminant 1 , alors C 1 (K) s'inje te dans E 1 (K) par l'opérateur linéaire J(f) := (D  f) 2N

2N. Le théorème de Whitney .f. ([20℄, Page

77, Théorème 3.1.) nous arme qu'à tout jet (F  ) 2N 2N dans E 1 (K), il existe une fon tion f dans C 1 (R 2N ) telle que J(f)=(F  ) 2N 2N.

Danslasuite,nousnoteronspourtoutélémentf deE 1 (K)la -ième omposante D  f,pourdansN 2N .ToutélémentdeE 1

(K)estaussiappeléfon tiondeWhitney

de lasse C 1

, nous utiliserons ouramment ette dernière terminologie. 1 Sifj =0alors,82N 2N ; D  f =0dansK.

2.1.2 L'espa e des fon tions de A 1 (K) Si K est un ompa t C 1 -déterminant de C N

, nous dénirons l'espa e A 1 (K) ainsi : A 1 (K):=  f 2E 1 (K):  fj K

est plat sur K

;

nous entendons par  f est plat, D  z D   z  z j fj K =0; (8j 2f1;:::;Ng); (8 ;  2N N ); (8j 2f1;::: ;Ng) où D  z :=  jj z  1 1 ;:::;z  N N et D   z :=  jj z 1 1 ;:::;z  N N ; où j j:= 1 +


+ N :

2.1.3 Les lasses de fon tions H M

(K)

Soit m(t) une fon tion réelleà valeur réelle, vériant lesassertions i-dessous :

  Lafon tion m(t) est dans C 1 (R + ).   Lesfon tions m(t), m 0 (t)et m 00

(t) sontstri tement positives.

  lim t!1

m(t)=+1.

  Il existe Æ >0 telque m 00

(t)6Æ, pour tout t 0.

Dans tout e qui suit, nous adopterons lanotation suivante:

M(t)=e m(t)

; (8t2R +

):

Soit K un ompa t onnexe de C N

tel que 

K 6= ;, ainsi on dénit la lasse de

fon tions suivantes : H M (K):= n f 2H(  K)\E 1 (K):9 >0; 9>0; sup z2K jD  z f(z)j  jj M(j  j); 8 2N N  ; oùH( 

K)estl'espa edes lassesdefon tionsholomorphesdansl'ouvert  KetE

1 (K)

est l'espa e des fon tions de lasse C 1