L24 [V2-VàC] – Proportionnalité et linéarité

9

Proportionnalité et linéarité

24

Prérequis les quatre opérations, repérage, vecteurs Références [72], [73], [74], [75]

24.1

Situation de proportionnalité

24.1.1 Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition 24.1 Dire que deux grandeurs sont proportionnelles revient à dire que les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre, appelé coefficient de pro-portionnalité

Exemple 24.2 On achète des pommes à la pesée, à2 e le kilogramme. Dans le tableau ci-dessous, les prix payés obtenus en multipliant les quantités par le même nombre :2.

Le prix payé est proportionnel à la quantité de pommes achetées. Ce tableau est appelé tableau de proportionnalité.

Quantité en kg 1 1,5 2 2,3

Prix payé en e 2 3 4 4,6 ×2



Proposition 24.3 On peut également reconnaître un tableau de proportionnalité si les deux lignes d’une même colonne sont obtenues en multipliant par un même nombre les deux lignes d’une autre colonne.

Quantité en kg 1 1,5 2 2,3 Prix payé en e 2 3 4 4,6

×4₃

24.1.2 Compléter un tableau de proportionnalité : la quatrième proportionnelle

Définition 24.4 Un tableau de proportionnalité étant donné, si l’on connaît trois des nombres de deux colonnes du tableau alors on peut déterminer le quatrième. Ce quatrième nombre est alors appelé quatrième proportionnelle.

Exemple 24.5 Un morceau de tissu de3 mètres de long est vendu 25 e. Comment calculer le prix

de7 mètres de ce même tissu ? 

Longueur 3 m 7 m Prix 25 e x e On veut savoir tout d’abord quel est le prix au mètre du tissu.

Longueur 3 m 1 m 7 m Prix 25 e 25

3 e x e

÷3 ×7

Pour1 mètre de tissu, on paie 3 fois moins cher qu’avec 3 mètres, donc on paie 25

3 soit environ

8, 33 e.

Pour7 mètres de tissu, on paie 7 fois plus cher qu’avec 1 mètre, donc on paie25

3 × 7 = 1753 e

soit environ58, 33 e.

Dv

On développe deux autres méthodes pour parvenir à nos fins. 1. 7 mètres est égal à 7

3 de3 mètres. Le prix pour 7 mètres est donc égal aux 73 du prix pour

3 mètres.

Longueur 3 m 7 m Prix 25 e x e

×7₃

7

3 × 25 = 1753 . Donc le prix de7 mètres de tissu est égal à environ 58, 33 e.

2. Longueur 3 m 7 m Prix 25 e ? e × 25 3 25 est égal à 25 3 de3. 25 3 ×7 = 1753 .

Or 175₃ ≈ 58, 33 donc le prix de 7 mètres de tissu est égal à environ 58, 33 e.

Conséquence 24.6— Le produit en croix.

Nb. de baguettes 5 x

24.1 Situation de proportionnalité 11

Le coefficient de proportionnalité est égal à 4,25₅ . Mais il est aussi égal à 2,55_x . Donc : 4, 25

5 = 2, 55x

4, 25 × x = 5 × 2, 55

x= 5 × 2, 55

4, 25 = 3. 24.1.3 Exemples de situations de proportionnalité

Les pourcentages

Définition 24.7 Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité, il est égal au coefficient de proportionnalité de la situation dont le dénominateur vaut100.

Exemple 24.8 Une usine fabrique du chocolat noir. Leurs tablettes de 250 g contiennent 180 g de cacao. Quel est le pourcentage de cacao dans la tablette ? 

Dv Chocolat en g 250 100 Cacao en g 180 x × 18 25 180 250 = x 100

donc x= 72. Dans une tablette de chocolat noir, il y a donc 72 g de cacao sur 100 g de chocolat donc il y a72% de cacao dans le chocolat noir.

Les échelles

Un élève souhaite dessiner son bureau sur lequel il travaille, mais il souhaite respecter les propor-tions. Les dimensions réelles du bureau doivent donc être proportionnelles aux dimensions du bureau dessiné.

Proposition 24.9 Le coefficient de proportionnalité par lequel il faut multiplier les dimensions réelles pour obtenir les dimensions mesurées sur le plan, exprimées dans la même unité, est appelée échelle du plan.

Notation : Si1 cm sur le plan représente 300 m en réalité alors l’échelle est 1 : 30000. Théorème de Thalès

Théorème 24.10 Soit deux droites d et d0_{sécantes en un point A ; B et M deux points de d distinct}

de A et C et N deux points de d0_{distinct de A (A, B et M alignés dans le même ordre que A, C et}

N). Alors :

(BC)//(MN) ⇔ AM_AB = AN

AC = M N

Dv •Démonstration — A B C M N D F I _J

On considère les triangles AMN et BNA. On a :2A(AMN) = AM · NI et 2A(BNA) =

AB· IN donc on a :

AM AB = A

(AMN) A(BNA).

De plus,2A(AMN) = AN · MJ et 2A(CMA) = AC · MJ donc

AN AC = A

(AMN) A(CMA).

Maintenant, montrons que A(BNA) = A(CMA). Ceci revient à montrer que A(MF B) = A(CF N) : (MN) et (BC) sont parallèles donc on en déduire que A(BNM) = A(CMN) : même base et même hauteur. Or :

A(BNM) = A(BMF ) + A(F MN) et A(CMN) = A(CF N) + A(F MN), ce qui démontre l’égalité.

Ainsi, comme A(BNA) = A(CMA), on a alors :

AM AB = A (AMN) A(BNA) = A (AMN) A(CMA) = AN AC.

Montrons maintenant la deuxième égalité en considérant le parallélogramme MNCD : d’après ce que l’on vient de démontrer, en se plaçant dans le triangle ABC, on a BM

BA = BD BC, d’où : BA− MA BA = BC− DC BC ⇔ AM AB = DC BC = M N BC

car MNCD est un parallélogramme. On a ainsi démontré l’implication directe. Réciproque : elle utilise le sens direct.

Soit le point E de d tel que(NE) est parallèle à (BC), alors A, E et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C et donc on peut appliquer le sens direct :

AE AB = AN AC = AM AB

24.2 Représentation graphique 13

d’après l’hypothèse. Donc : AE AB =

AM

AB d’où AE= AM, les points étant tous alignés dans le

même ordre, il vient que E = M donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles. •

24.2

Représentation graphique

Exemple 24.11

Nombre de SMS 1 2 5 8 10

Prix payé en e 0, 15 0, 30 0, 75 1, 20 1, 50

Le graphique suivant représente le prix payé en fonction du nombre de SMS envoyé :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 0 A B C D E 

Propriété 24.12 Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les points de la représentation gra-phique des valeurs d’une grandeur en fonction des valeurs de l’autre grandeur sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

24.3

Proportionnalité et fonctions linéaires

Exemple 24.13 Reprenons l’exemples des SMS.

Nombre de SMS 1 2 5 8 10

Prix payé en e 0, 15 0, 30 0, 75 1, 20 1, 50 ×0.15

Le coefficient de proportionnalité vaut0, 15 donc si on envoie x SMS, le prix à payer f(x) en fonction du nombre x de SMS envoyés sera de f(x) = 0, 15 × x. 

Définition 24.14 On se donne un réel a. Le processus qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre

axest appelé fonction linéaire de coefficient directeur a.

Si on appelle cette fonction f, on note alors f: x 7→ ax.

Le nombre f(x) = ax est l’image de x par la fonction f et le nombre x est l’antécédent de f(x) par la fonction f.

Propriété 24.15 La représentation graphique d’une fonction linéaire f de coefficient directeur a est une droite passant par l’origine du repère et par le point(1, a).

Réciproquement, toute droite passant par l’origine est la représentation graphique d’une fonction linéaire.

Dv

•Démonstration —On considère le cas où a >0.

f(0) = 0 et f(1) = a donc la courbe passe bien par ces deux points. Soit x un réel non

nul, considérons alors les points O(0; 0), A(1; a), A0_{(1; 0), B(x, y), B}0_{(x; 0) sont tels que B} appartienne à la droite passant par O et par A.

Les droites(AA0_{) et (BB}0_{) sont parallèles donc on peut appliquer le théorème de Thalès dans} le triangle OBB0_{. On a :} OA0

OB0 = OBOA. Les triangles OAA0et OBB0sont rectangles donc on

peut appliquer Pythagore pour déterminer les longueurs OA et OB :

OB2= OB02+ BB02= x2+ y2 OA2= OA02+ AA02= 1 + a2. D’où : OA0 OB0 = 1 x= OA OB = s 1 + a2 x2+ y2 ⇔ 1 x2 = 1 + a2 x2+ y2 ⇔ x2(1 + a2) = x2+ y2⇔ y2= x2a2_{⇔ y = ax}

car si y= −ax, les points O, A et B ne seraient pas alignés. •

Propriété 24.16 Si deux grandeurs sont proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité a, alors l’une est fonction linéaire de l’autre et le coefficient de proportionnalité a de la situation de proportionnalité est égal au coefficient directeur de la fonction linéaire associée.

Réciproquement à toute fonction linéaire correspond une situation de proportionnalité.

24.4

Proportionnalité et fonctions affines

Exemple 24.17 Un abonnement de téléphone coûte10 e et avec cet abonnement, on peut payer 100 SMS.

Si on envoie plus de100 SMS, le coût du SMS supplémentaire est de 0, 15 e.

Nb de SMS supplémentaires 1 2 5 8 10

Prix payé en e 10, 15 10, 30 10, 75 11, 20 11, 50



On ne se trouve donc plus dans une situation de proportionnalité car pour1 SMS supplémentaire, on paie10, 15 e et pour 2 SMS, on paie 10, 30 e. Or, 10, 30 6= 2 × 10, 15.

24.4 Proportionnalité et fonctions affines 15 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 0 A C D B E

On remarque cependant que les points sont toujours alignés sur une droite ne passant pas par l’origine.

Exprimons le prix payé f(x) en fonction du nombre x de SMS supplémentaires envoyés : l’abon-nement coûte 10 euros auquel on doit rajouter le nombre de SMS supplémentaires envoyé multiplié par le prix d’un SMS :

f(x) = 0, 15 × x + 10.

Définition 24.18 Soient a et b deux réels. Le processus qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre ax+ b est appelé fonction affine.

Si on appelle cette fonction f, on note alors f : x 7→ ax + b.

Le nombre f(x) = ax + b est l’image de x par la fonction f et le nombre x est l’antécédent de

f(x) par la fonction f.

Propriété 24.19 L’image de0 par f est b, b est alors appelé ordonnée à l’origine de la fonction affine

f.

aest le coefficient directeur de la fonction affine f.

Propriété 24.20 La représentation graphique d’une fonction affine f: x 7→ ax + b est une droite D passant par le point(0, b) et parallèle à la représentation graphique de la fonction g : x 7→ ax.

Une équation de D est y= ax + b.

Réciproquement, toute droite du plan est la représentation graphique d’une fonction affine.

Dv

•Démonstration —Pour montrer que la courbe représentation d’une fonction affine est une droite, on fait la même preuve que pour les fonction linéaires non pas en considérant la droite

y= 0 mais la droite parallèle à celle-ci et d’équation y = b.

On montre maintenant le parallélisme entre une droite représentation une fonction linéaire et une droite représentant une fonction affine et non linéaire. Si les droites n’étaient pas

paral-lèles, il existerait un point A appartenant à df et à dgdonc ses coordonnées seraient(x, ax)

et(x, ax + b) donc b = 0 impossible. Donc les droites sont parallèles. •

Propriété 24.21 Soit f: x 7→ ax + b une fonction affine. Il y a proportionnalité entre les accroisse-ments de f(x) et les accroisseaccroisse-ments de x.

Dv

•Démonstration —

f(x) − f(y) = ax + b − (ay + b) = a(x − y).

•

Exemple 24.22 f Si on reprend l’exemple des SMS, on a f(x) = 0, 15 × x + 10 et on a le tableau suivant :

Nombre de SMS supplémentaire x 1 2 5 8 10 Prix payé en e 10, 15 10, 30 10, 75 11, 20 11, 50 À partir de ce tableau, on peut remplir celui-ci :

Acc. de x 2 − 1 = 1 5 − 2 = 3 10 − 8 = 2

Acc. de f(x) 10, 3 − 10, 15 = 0, 15 10, 75 − 10, 3 = 0, 45 11, 5 − 11, 2 = 0, 3 ×0.15 On a alors le coefficient de proportionnalité qui est égal à a. 

24.5

Applications

24.5.1 Application 1

Le PIB d’un payé est passé de6700 à 7500 milliards de dollars U.S., puis a augmenté de 8%, puis est passé de l’indice100 à l’indice 103, puis a augmenté de 457 milliards de dollars.

Calculer chacune de ces évolutions par un coefficient multiplication, et calculer le PIB final de ce pays.

En déduire le pourcentage global d’évolution.

24.5.2 Application 2 : construction à la règle et au compas 1. Étant donné une longueur a, construire 3₅a.

2. Étant donné trois longueurs a, b et c, construire la longueur d telle que a b = dc.

3. Étant donné deux longueurs a et b, construire la longueur c telle que a c = cb.

24.5 Applications 17 Dv 1. AC = a AB= 3₅a A _C D E F G H B 2. AD= a AC= b AE = c AB= d A B C D E

3. Soit ABC un triangle quelconque et soit H le point d’intersection de la hauteur issue de

Aavec(BC), alors on a 2A(ABC) = AB · AC = BC · AH, d’où : AB_{· BC = BC · AH ⇔ AB}2_{· AC}2= BC2_{· AH}2 ⇔ (BH2+ AH2)(HC2+ AH2) = (BH + CH)2· AH2 ⇔ · ⇔ BH2· HC2+ AH4 = 2AH2· BH · CH ⇔ BH2· HC2+ AH4− 2AH2· BH · CH = 0 ⇔ (BH · CH − AH2)2= 0 ⇔ BH · CH = AH2. Or si a

c = cb alors ab= c2. Supposons a > b, il suffit donc de construire un segment[AB]

de longueur a, un point H ∈ [AB] tel que AH = b. Ensuite, on trace le cercle de diamètre [AB] et de tracer la droite perpendiculaire à (AB) passant par H pour créer un point C sur le cercle tel que ABC rectangle en C, la longueur CH sera alors égal à c.

AB= a AH= b CH = c A B H I C

24.5.3 Application 3 : Agrandissement, réduction

Propriété 24.23 Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport k, les longueurs sont mul-tipliées par k, les aires par k2, les volumes par k3.

Exemple 24.24 Des ingénieurs ont construit une maquette au1 : 5000 d’un bassin de retenue. La maquette mesure1, 60 m de long et contient 5 L d’eau. La surface du lac artificiel est 80 dm2_{. Quelle}

sera, en km, la longueur du futur lac artificiel ? Quelle sera en km2sa surface ? Quel sera, en million

de m3, le volume d’eau contenu dans le lac ? 

Définition 24.25 On se place dans le plan muni du repère(O, #»ı, #»). Soit H et M deux points du plan et k un réel non nul. La transformation qui envoie le point M sur le point M0_{tel queHM}# »0 _{= kHM}# »

est appelée homothétie de centre H et de rapport k. 24.5.4 Application 4 : π

Définition 24.26 On définit le nombre π comme étant le rapport du périmètre de tout cercle divisé par son diamètre.

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