Construction de méthodes de volumes finis tridimensionnelles sans solveur de Riemann pour les systèmes hyperboliques non-linéaires



      


 


  
    



   

 




 

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U

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A

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3

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y

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Xi

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ρvw

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ρ

2

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2

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C

p

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c

2

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c

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M >> 1

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M << 1

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M

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WiWrok WoWiWhXk irgi kg hX

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Γ

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Γ

∞

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Ω

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B

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E

∪Γ

S

∪Γ

∞

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k

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f = f (x) : R

_{→ R}

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∀λ ∈

R

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f (λx) = λf (x)

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R

n

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F (U) : R

n

_{→ R}

n

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F (λU) = λF (U)

∀λ ∈ R

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F

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F

j ok

F

= (F,G,H)

t

U = (ρ,ρu,ρv,ρw,ρE)

= (ρ,m,n,l,o)

F = (m,

m

2

ρ

+ p,

mn

ρ

,

ml

ρ

,

om

ρ

+

pm

ρ

)

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_{− 1)(o −}

1

2

(

m

2

ρ

+

n

2

ρ

+

l

2

ρ

))

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∀λ ∈ R

t

p(λU) = p(((λρ,λm,λn,λl,λo)))

= (γ

_{− 1)(λo −}

1

2

(

λ

2

_m

2

λρ

+

λ

2

_n

2

λρ

+

λ

2

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2

λρ

))

= λ(γ

_{− 1)(o −}

1

2

(

m

2

ρ

+

n

2

ρ

+

l

2

ρ

))

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«WoiXooi¢ rg

F

¢ h Xg V X Xki kWshXt

F (λU) = (λm,

λ

2

_m

2

λρ

+ λp,

λ

2

_mn

λρ

,

λ

2

_ml

λρ

,

λ

2

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λρ

+

λ

2

_pm

λρ

)

= λ(m,

m

2

ρ

+ p,

mn

ρ

,

ml

ρ

,

om

ρ

+

pm

ρ

)

= λF (U)



l XiiX rW U i U XsXi j ž U fWX hXk U šgiWrok krgk goX T rsX oro frokX V iW V X šgW kX giWhWk U X j ok hXk fhfghk ogs U WšgXk f hX r j gWi j Xk siWfXk pfr› —WXooXk krgk T rsX oro frokX V iW V X Xki —Xgfrg srWok fr?iXg˜ šgX krgk T rsX frokX V iW V Xœ Xk U šgiWrok j ž °ghX Xo ¯ j WsXokWrok j žXkfX frsriXoi  V hXgk rXkœ žr—iXoiWro j X fXk V hXgk rXk¢šgrWšgX U h U sXoiWX¢ j XsXgX goX i­fmX T kiW› j WXgkXœ ¬o hr¨WfWXh j X fhfgh kqs—rhWšgX  V WXoi ¤ h —rooX  U rokX Xo šgXhšgXk kXfro j Xkœ Xk V hXgk rXk kroi r—iXogXk ¤ iW j X h siWfX ffi U WkiWšgX rg go V XfiXg —WiWX

n

_{∈ R}

3

t

λ

1

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· n − c,

λ

2,3,4

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· n,

λ

5

(n) = v

· n + c

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—WXo rk U œ l Xk fro j

WiWrok Úiroi —Xgfrg hgk oigXhhXk hrkšgX orgk —r›

j Xrok hX r—hnsX j X §WXsooœ rk j g iWiXsXoi j Xk fro j WiWrok g˜ hWsWiXk ogs U WšgXk Wh q  go hWXo UV W j

Xoi XoiX X˜irhiWro j Xk V W—hXk jU Xo j oiXk j ok hX j rsWoX j X fhfgh Xi kW¨oX j Xk V hXgk rXk j g kqkinsXœ ªXorok

n

_{∈ R}

3

rWoioi V Xk hžWoi U WXg j g j rsWoX

Ω

t ÌÊËÀÈÂ ÆÍÐÂÀÆÏÊÁÍÂ t

n

Xi

v

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v

_{· n ≥ 0}

Xi

v

_{· n ≥ c}

0

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1

< λ

2

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3

= λ

4

< λ

5

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Ω

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v

_{· n > 0}

Xi

v

_{· n < c}

λ

1

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2

= λ

3

= λ

4

< λ

5

úݜ Yœü Ú h T gi j rof WsrkX  fro j WiWrokœ ÔÏÀËÁ ÆÍÐÂÀÆÏÊÁÍ t

v

_{· n < 0}

Xi

|v · n| > c

λ

1

< λ

2

= λ

3

= λ

4

< λ

5

≤ 0

úݜ Yœ ü ŸgfgoX fro j WiWro ¤ WsrkXœ ÔÏÀËÁ ÆÍ ÆÏÊÁÍ t

v

_{· n < 0}

Xi

|v · n| < c

λ

1

< λ

2

= λ

3

= λ

4

≤ 0 ≤ λ

5

úݜ Yœ ü j

ÂÃ ÛÃ

ÎÜ¢¶µß¡·ß ãÍ ¤¡ß ¶´¸¤µ¢´¡

žX˜WkiXofX j

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C

∞

0 6Ç 61 œ – rof¢ hžX˜WkiXofX j X krhgiWrok g kXok 2 fhkkWšgX3 oX kžr—kX V X šgX ink XsXoiœ ªrg U h¨W h fhkkX j Xk krhgiWrok  j sWkkW—hXk¢ Wh orgk T gi frokW jU X h T r› sghiWro T W—hX j g r—hnsX úݜݜ Yüœ Ú oigWiW V XsXoi¢ orgk hhrok jU ™oW fX šgžXki goX krhgiWro T

W—hX g r—hnsX úݜݜYü Xo h frokigWkoi ¤ iW j X srfXg˜ j X krhgiWrok fhkkWšgXk k U  U k  go XokXs—hX ™oW j X j WkfroiWogWi U kœ  V hXg úmgiXgü j

g kgi XoiX fXk krhgiWrok kX goX šgoiWi U

—WXo jU

™oWXœ

ØÈÊÁËÁÏÊ 

L

∞

_loc

(X,Y ) =

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L

∞

_{(C,Y )}

<

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X

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u

0

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∞

loc

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L

∞

_loc

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d

_{× R}

+

)

n

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U(x,t)

∈ D ⊂ R

n

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Z

_∞

0

Z

R

d

{U ·

∂φ

∂t

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· ∇φ}dxdt +

Z

R

d

U

0

(x)

· φ(x,0)dx = 0

úݜ¯œÝü

∀φ ∈ C

1

0

(R

d

× R

+

)

n

ØÈÊÁËÁÏÊ  ‚ … Œˆ‡Œ' ²ˆ'

U

'Œ ) ƒ'  & Ž ŒŒ'

C

1

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π

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(x,t)

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π

Ÿ

U

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π

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U

_±

(x,t) = lim

δ→0,δ>0

U((x,t)

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n

π

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1

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2

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t

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n,n

t

)

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π

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(x,t)

¬ ÖÅÈÏÀÉ  ‡+ )

U

: R

d

_{× [0,∞) → D ⊂ R}

n

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C

1

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U

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R

d

_{× (0, + ∞) ⇔}

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U

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U

_{∈ C}

1

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π

Ÿ

U

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+

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−

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t

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+

)

− F(u

−

))

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n

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U



_t

+

_{∇ · F(U}



) = ∆U



, ( > 0)

úݜ¯œ¯ü  V Xf frssX r—hnsX j X l gfmq sr j W™ U

U



(x,0) = U



0

(x)

→ U

0

(x)

œ ®o X› sšgX šgX hrkšgX



→ 0

+

ro Xirs—X kg hX sr j nhX mqX—rhWšgXœ – rof¢ Wh oX T

gikkX —roX¤fmXfmXgoX krhgiWro goWšgX kokprgiXgoX giX froiWoiX

¤ h T rsghiWro T W—hX U orof U X Xo úݜ¯œÝüœ ÂÃáà â´â㤸̵¢´¡ ã̵ä¹ã̵¢Ë¤ß 㤠·´¡·ßåµ ãÍß¡µâ´å¢ß ªrg rg V rW j WkiWo¨gX Xi U

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U

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U(U)

Xi

F

j

(U)

j X

R

n

j ok

R

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U

t

(U) +

∇ · F(U) = 0

úݜ  œÝü  V Xf

F = (F

1

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F

d

)

Xi

U

0

(U)A

j

(U) =

F

j

0

(U)

úݜ  œ Yü r4

F

j

0

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∇

U

F

j

(U)

Xi

U

0

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∇

U

U

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Ω

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R

n

Ÿ ˆ…' ( ‡… ) +‡…  ‡… ’ ' › '

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Ω

_{→ R}

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F

j

:

R

n

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U

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U

kkrfW U

X ¤ go kqkinsX ro Xgi giWhWkX go fmo¨XsXoi j X V › W—hXkœ ¡W fX fmo¨XsXoi j X V W—hX kqs U iWkX úݜݜÝü¢ ro Xgi hrk sroiX šgžWh  j sXi goX XoirWX kiWfiXsXoi fro V X˜Xœ ÖÅÈÏÀÉ  ˆ‡Œ‡…Œ ²ˆ' ­ž ¬ ž ¬ ž® Ž ƒ‰' )) ' ˆ…' '… ) *‡+'

U

­ Ž’ '  ˆ ›  ‡*‹ *'Œ‡…ƒ Ž … ) Œ

F

j

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{U



_}



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||U



_||

L

∞

_(R

d

_×[0,∞+)

)

≤ C

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® ´ ®

U



_→



→0

U

 ¬  ¬ ƒ Ž …Œ

R

d

_{× [0,T )}

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U

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U

t

(U) +

∇ · F(U) ≤ 0

úݜ  œ  ü Ž ˆ Œ'…Œ ƒ'Œ ƒ+Œ ) *+ ´ ˆ ) +‡…Œ Œˆ*

R

d

_{× (0, + ∞)}

Ú

h Xki sWoiXooi rkkW—hX j

X jU

™oW fX šgžXki goX krhgiWro XoirWšgX j X úݜݜ Yüœ ØÈÊÁËÁÏÊ  Ô …' Œ‡&ˆ ) +‡… (Ž + ´ &' ƒ' ­ž ¬ ž ¬ ”® 'Œ ) ˆ…' Œ‡&ˆ ) +‡… '… ) *‡+²ˆ' Œ+

U

Œ Ž) +Œ (Ž + )

∀ U

ƒ' ­ž ¬è¬ ”® ' )

∀φ ∈ C

1

0

⊂ R

d

× [0,∞)

Ÿ

Z

∞

0

Z

R

d

(

U(U)

∂φ

∂t

+

F(U) · ∇φ)dxdt +

Z

R

d

U

0

φ(x,0)dx

≥ 0

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U

Ç

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+

)

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−

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t

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− F(U

−

))

· ¯

n

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Wi šgžgoX krhgiWro XoirWšgX j X úݜݜYü krWi goWšgX rg j Xk kqkinsXk j X

n > 1

U šgiWrok Xo

d

≥ 1

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U

kX Xshf U 

u

üœ ÖÅÈÏÀÉ  ­ í *ˆÝë‡ ’ ® ˆ‡Œ‡…Œ ²ˆ'

u

0

∈ L

∞

(R

d

)

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u

_{∈ L}

∞

_(R

d

_{×(0,T ))}

¬ ˜ ' )) ' Œ‡&ˆ ) +‡… Œ Ž) +Œ (Ž + ) ‡ˆ*

T

_{≥ 0}

||u(·,t)||

L

∞

≤ ||u

₀

||

_L

∞

­ ¬  ¬ ® úݜ  œ ü