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Submitted on 17 Jan 2011
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Éléments finis d’ordre élevé pour maillages hybrides - Application à la résolution de systèmes hyperboliques
linéaires en régimes harmonique et temporel
Morgane Bergot
To cite this version:
Morgane Bergot. Éléments finis d’ordre élevé pour maillages hybrides - Application à la résolution de systèmes hyperboliques linéaires en régimes harmonique et temporel. Modélisation et simulation.
Université Paris Dauphine - Paris IX, 2010. Français. �NNT : 2010PA090032�. �tel-00556823�
N
○
attribuéparlabibliothèque
THÈSE
présentéeà
UNIVERSITÉ PARIS DAUPHINE
pourobtenirletitrede
DOCTEURENSCIENCES
Spéialité
Mathématiquesappliquées
soutenuepar
Morgane BERGOT
le22novembre2010
Titre
Éléments nis d'ordre élevé pour maillages hybrides
Appliation à la résolution de systèmes hyperboliques linéaires en
régimes harmonique et temporel
Direteurdethèse:GaryCOHEN
Jury
Rapporteurs: Mme Christine BERNARDI
Mme Nilima NIGAM
Suragants: M. Patrik CIARLET
M. Gary COHEN
M. Mar DURUFLÉ
M. Xavier FERRIÈRES
L'Universitén'entenddonnerauune approbation,niimprobationauxopinionsémisesdansles thèses:es
opinionsdoiventêtreonsidéréesommepropresàleurs auteurs.
Jetienstoutd'abordàremeriermondireteurdethèse,GaryCohen,quiestàl'originedeetravail.Jereste
admirativedevantsestalentsdepersuasion quionm'ontpermis d'obtenirun onanemententrel'INRIAetle
CEA-Gramat.Nosrapportsayantétésouventplusquetendus,jetiensnéanmoinsàleremerierpoursapatiene
etsabienveillane.
MarDuruéadirigél'essentieldemathèse,notammentlapartielaplusnumérique.Sonaide etsonsoutien
ont étéprimordiale, etetravail n'auraitpas pu aboutirsans ses interventions. J'ai travaillé sursonredoutable
ode, Montjoie, et je ne le remerierais jamais assez de m'avoir rendu possible son utilisation en eetuant sa
maintenaneetsonévolutionjouraprèsjouràhaquefoisquej'enavaisbesoin.Jeleremerieennpoursonaide
etsesremarqueslors delarédation,etpourlareleturepatienteetpréisequ'ilafaite deemanusrit.
Je tiens aussi àremerier Nilima Nigamd'avoir aepté d'êtrerapporteur deette thèseen français. Ses re-
marques onernant la partie la plus théorique m'ont grandement aidée pour adopter une plus grande rigueur
mathématiquedanslesproblèmesd'estimationd'erreur.
JeremeriehaleureusementXavierFerrièrespoursabonnehumeuretsestalentsdediplomate.
Jesuis grée àChristineBernardid'avoirbien voulurapportermathèse,etàGabriel Turiniid'avoiraepté
defaire partiedemonjury.
MeriégalementàPatrikCiarletd'avoiraeptéd'êtreprésidentdemonjury,meriaussisesenouragements
etsesonseils,etsareleturedemonpremierartile.
Mes remeriements vont aussi à tous les membresatuels etaniens du projet POems :la bonne ambiane
qu'ilsdéveloppent ausein du bâtiment13et, plusgénéralement, pour labonne ambiane detravail quirègne à
l'INRIA.JeremeriepluspartiulièrementPatrikJolypoursesonseilsavisésendiplomatieetsesremarqueslors
delapréparationdemasoutenane.MeribiensûràtouslesdotorantsdePOems:Adrienpoursoninroyable
gestion de l'administration informatiquedu projet, Bérangère pour ses disussions philosophiques et les sorties
ulturelles danslaapitale, Juliettepourm'avoir initiéeauhant, Alexandrepour m'avoirsupportéeommeo-
bureaupendant3ans,Sébastienpoursonenthousiasmeetsabonnehumeur,Julienpoursarigueuretsapréision
mathématique,Soniapoursonsoutienetsesonseils,Aliénorpournosrigoladesdanslanavette,etbiensûrtous
lesstagiairesetpost-doquisontpassésdansleprojet.
Jen'oubliepasnotreassistane,Nathalie.Meripoursadisponibilitéetsoneaité,lesdisussionsquenous
avonspuavoiretpoursabonnehumeur.
Je nis ette page par un grand meri à mafamille, mon père pour m'avoir montré un jour la poésie des
mathématiques,mamèrepourm'avoirenouragéedansettevoiequ'ellen'ajamaispuomprendre,etàmesamis
pourtouteslesjoies qu'ilm'aétédonnédevivrependantestroisans.
Introdution 13
I Rappelsthéoriques 17
1 Équationset formulations variationnelles 19
1.1 Espaesfontionnelsetnotations . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Systèmeshyperboliqueslinéairesenrégimetemporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Dénitionduproblème . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Approximationspatiale. . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2.1 Formulationvariationnelle . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2.2 Disrétisation . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Disrétisationtemporelle. . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Appliationsauxéquations . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4.1 Équationdesondesaoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4.2 Équations deMaxwell .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Systèmeshyperboliqueslinéairesenrégimeharmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Dénitionduproblème . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Approximationspatiale. . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2.1 Formulationvariationnelle . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2.2 Disrétisation . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Résolutiondusystèmelinéaire .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4 Appliationsauxéquations . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4.1 ÉquationdeHelmholtz . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4.2 Équations deMaxwell .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II Élémentsnis pourune formulation ontinue 29 2 Éléments nisd'ordre arbitrairement élevé 31 2.1 Dénitiondeséléments . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Élémentdroit . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Élémentourbeisoparamétrique . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Espaed'approximationd'ordre
r
. . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.1 Espaed'approximationoptimalsurl'élémentderéférene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Espaed'approximationoptimalsurleubeunité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Degrésdelibertéetfontionsdebase. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 Élémentsnisnodaux . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1.1 Loalisationdesdegrésdeliberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1.2 Fontionsdebase . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Élémentsnishiérarhiques . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Formuledequadratureetestimationsd'erreur 53
3.1 Intégrationparformuledequadrature .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.1 Introdution . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.2 Intégrationexate . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.3 Formuledequadrature . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Estimationd'erreurabstraite. . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Présentationduproblème . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 LemmedeStrang . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.3 Erreurd'interpolation . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.4 Erreurdequadrature . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4.1 Matrie demasse. . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4.2 Matrie derigidité . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.4.3 Estimationglobaledel'erreurdequadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.5 Estimationglobale . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Étudenumériquedes éléments ontinus 67 4.1 Analysededispersion . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1 Rappelsthéoriques . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.2 Résultatsnumériques . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Étudedestabilité . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.1 ConditionCFL. . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.2 Résultatsnumériques . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Convergene. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 ÉquationdeHelmholtzsurunone-sphère . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Remarquesgénérales. . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Comparaisonentrediérentesméthodes 79 5.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Élémentspyramidauxdanslalittérature. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.1 Élémentsnodauxàbaserationnelle . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.2 Pyramidesdéoupéesentétraèdres.. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.3 Éléments
hp
. . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3 Comparaisond'élémentspyramidaux . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.1 Comparaisonthéorique. . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.2 Comparaisonnumérique . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Comparaisonnodal/hiérarhique . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4.1 Introdution . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4.2 Eaitéduproduitmatrie-veteur .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4.3 Conditionnementdesmatries .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
III Élémentsnis orthogonauxpourune formulation disontinue 91 6 Éléments nisorthogonaux d'ordre arbitrairementélevé 93 6.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Fontionsdebaseorthogonales . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1 Basepourélémentsnonanes .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.2 Basepourélémentsanes . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Construtiondelamatriedemasse . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.1 Hexaèdresetélémentsanes . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.2 Algorithmerapidepourlespyramides .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.3 Algorithmerapidepourlesprismes . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Produit matrie-veteur rapide 101 7.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.2 Méthodegénérale. . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Caluldesintégrales . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3.1 Intégralesdevolume . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
