Propriétés électriques de l'InP in type p

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PROPRIETES ELECTRIQUES DE L'InP DE TYPE

p

Thèse présentée à la faculté d'études supérieures

et de recherche dans le cadre de l'obtention du diplôme de maîtrise en sciences.

par Boukhalfa Belache Département de physique Université McGill 3600 rue University Montréa l. Québec H3A 2T8 Novembre 1989 (c)Boukhalfa Belache

RESUME

Des couches minces crlstaillnes de Phosphure d'Indium de type p. obtenues par MOCVD et falblement dopées au Zn et au Mg. sont étudlées par des mesures d'effet Hall et de spectroscople de masse des lons secondalres (SIMS). Les echantliions dopés au Zn montrent une dIstribution uniforme de la concentratlon en fonctlon de la profondeur. Ceux dopés au Mg montrent par contre des gradIents de concentratIon. avec une dIffuSIon Importante dans le substrat. Un ulodèle de transport électrlque. tenant compte des dIvers mécanIsmes de dIffusIon présents dans les semIcon~~cteurs. aInSI que des transItIons lnter et Intra-bandes. inhérentes à la structure de la bande de valence de l'InP. a été developpé pour chacun des cas precédents. Les théories ont donné un excellent

accord avec l'expérIence. Les échantliions unlformes. dopes au Zn. ont de plus faIt l'objet d'une étude détaIllée en régIme de conductIon par sauts. Cette étude a montré comment un excellent accord quantItatif peut être atteint entre la théorIe et l'expérlence tant en régIme de conductIon par sauts de portée varlable que sur les plus proches VOISIns. La saturatIon de ce dernIer mecanIsme a pu être mise en eVldence. et un modéle théorIque lUI a été applIqué. Il a aussl été montré qu'une pOSSIble InterprétatIon des

résultats sur la base de la présence d'une bande interdIte

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1 ABSTRACT

Indium Phosphlde epItactlc layers grown by MOCVD and 11ghtly doped with Zn and Mg (p-typel have been studled by Hall effect measurements and secondary Ion mass spectroscopy

(SIMS). The Zn-doped samples showed a uniform dIstribution of the acceptor concentratIon as a functlon of depth. On the contrary, the Mg doped samples showed strong Mg

concentration gradIents, wIth substantlal diffusIon into the substrate. An electrlcal transport model. accountlng for the varlous scatterlng mechanlsms present ln semlconductors and

for intra- and Inter-band tranSItIons 11nked to the valence band structure of InP. has been developed for each of the preVIous cases. These-models provlded_excellent agreement wlth experlment. The unlfo!'mly Zn-doped samples have. HI additIon. been used for a deta!led study of hopplng

conduction. It has been shown how an excellent quantItatIve agreement can be reached between theory and experlment both ln the variable range hopplng regime and ln the nearesc

nelghbor hopping reglme. The saturatIon of the latter reglme has been observed, and a model has been found ln qualItatIve agreement wIth lt. We have aiso shown that an InterpretatIon of the low temperature data on the basls of the presence of a Coulomb gap ln the Impurlty band denslty of states 19 not

(

(

REMERCIEMENTS

Ce travail a été effectué au département de physique de l'université McGill. avec le groupe d~s semiconducteurs. Nous tenons à remercier:

-Dr. M. Benzaquen pour avoir dirigé ce travail et pour l'intérêt constant qu'il y a porté.

-Prof. D. Walsh pour de fructueuses suggestions. et pour son soutien fInancIer au travers une subvention du ministère de

l'éducation et de la science du Québec.

-Dr. C. Blaauw, de BNR (Bell Northern Research. Ottawa), pour la fabricatIon des échantIllons étudiés et pour les mesures 51MS qu'il nous a communiquées.

-Dr. K. Mazuruk pour des conseils et suggestIons appréciés. -P. Weissfloch pour son aide et sa contribution au système d'acquIsItion de données utilIsé dans ce travail.

Nous exprimons enfin notre reconnaissance au Ministère de l'Enseignement Supérieur d'Algérie pour son soutien

.~.

-RESUME ABSTRACT REMERCIEMENTS INTRODUCTION r.HAPITRE 1

TABLE DES MATIERES

DISPOSITIF EXPERIMENTAL

1-1 CroIssance des couches mInces

1-2 PréparatIon des échant1lions ... . 1-3 DISpoSItif de mesures

CHAPITRE II

MECANISMES DE TRANSPORT

11-1 ProprIétés générales de l'InP 11-1-1 Structure de bande 11-1-2 Paramètres phySIques

11-2 Modèles de transport dIsponIbles 11-3 ApproXImatIon du temps de relaxatIon 11-4 MécanIsmes de dIffusIon . . . .

11-4-1 Les phonons acoustIques

l 11 li l 1 6 7 8 9 16 17 17 18 20 21 26 27 II-4-2 Les Impuretés IonIsées .. , .. '" 29 11--4-3 Les phonons pIezo-électrlques . . . 31 II-4-4 Les Impuretés neutres . . . 32 11-4-5 Les phonons optIques polaIres . . . 33 11-4-6 Les phonons optlques non polaires

11-5 ConditIons de validIté . . . .. 11-6 La conductIon dans ~a bande d'impuretes ... .

'34 35 37

(

11-6-1 Les transItions de Anderson et de Mott

11-6-2 Mécanlsmes de conductIon CHAP l TRE l II

ANALYSE DES RESULTATS A HAUTE TEMPERATURE

37 39

46

111-1 PrésentatIon des résultats.. ... ... 47

I11-2 Détermlnatlon du contenu d'impuretés... 52

1II-3 Analyse des résultats . . . 53

II1-4 ConclusIon CHAPITRE IV

ANALYSE DES RESULTATS A BASSE TEMPERATURE

79

81

1V-l PrésentatIon des résultats... 82 IV-2 Analyse des résul tats .. . . . . . . . . . . . 85 IV-3· Conc 1 us Ion

CONCLUSION GENERALE ANNEXES

ANNEXE A:

ExpressIons des fonctIons Intervenant dans

106 108

les temps de relaxatIon des trous . . . 114 ANNEXE B:

Calcul du rayon d'écran . . . 116 REFERENCES . . . ... 11 7 LISTE DES FIGURES . . . 122 LISTE DES TABLES . . . 125

(

INTRODUCTION

La technologIe des composants électroniques est actuellement basée sur le SilICIum. Cependant.

l' électronIque moderne eXIge de nouve Il es perfc.rmances dans le domaIne des hitutes fréquences. du faIble bruit et des applicatIons de l'optoélectronIque. Les semIconducteurs

III-V. dont l'InP et l' AsGa. sont de bons candidats pour 1 es atteIndre. La nature directe de leurs bandes en fait des matérIaux utIles pour l'optIque du faIt de l'absence de phonons assocIés aux transItIons. Pour certaines

applIcatIons en technologIe des composants, l 'TnP s'avère même plus prometteur que l'AsGa. Il est en effet plus adapté aux applIcations hors équIlibre. Il permet, d'autre part.

l'obtentIon de couches épItàxiques très pures. avec un bon contrôle de la crOIssance. Ce procédé peut être normalIsé à

une échelle IndustrIelle et est favorable à la réalisation de CIrcuIts Intégrés. L'InP est partIculIèrement Important pour les structures laser émettant. avec de faIbles pertes. dans les fenêtres des fibres optIques de 8101.

De nos Jours, un Intérêt particulier est accordé à des

composants avancés comme les transIstors bIpolaIres

a

hétéroJonctlons (HBT). les lasers et les détecteurs. Les JonctIons p-n sont à la base de la fabrIcatIon de ces

composants. ce qUI définIt le besoIn d'un dopant de type p pour les couches épItaxiques d'InP. Ce dopant devrait avoir un coeffIcIent de dIffusIon faIble, une haute solubilité

dans l'InP et du pOInt de vue de l'incorporation durant la crOIssance. une bonne source dopante. ParmI plusIeurs

candidat~ (Zn. Mg. Cd. etc.). le Zn a été généralement ChOISl. L'amélIoratIon des couches épltaxlques Impose une caractérIsatIon rIgoureuse des couches obtenues, alors qu'un manque de résultats expérImentaux et d'études fonda~~ntales sur l'InP de type p se faIt actuellement fortement sentIr.

D'un pOInt de vue fondamental, et partIculIèrement

a

très basse température. peu d'études précIses ont été rapportées sur 13 conductIon par porteurs locallsés dans

l'InP de type p. CecI est dO, d'une part. aux très hautes résIstIVItés des échantIllons purs, et, d'autre part, aux dIffIcultés rencontrées dans la fabrlcatlon de contacts

llnéalres. Des mesures quantitatIves sont donc nécessaIres afin de dégager des conclusIons sur la nature des mécanIsmes de conductIon présents et de faire des comparaI30ns avec les modèles théorIques eXIstants. La forme et la largeur de la

bande d'impuretés. et la pOSSIble présence d'un gap de Coulomb dans la densIté d'états, demeurent encore des questIons non déflnltlvement résolues.

Le travnJI que nous allons présenter porte sur l'étude de couches mInces épltaxlques de type p obtenues par MOCVD et faIblement dopées. Des mesures d'effet Hall sont

effectuées pour deux dopants dlfférents (Zn et Mg) et des profIls de spectroscopIe de masse des Ions secondalres

(SIMS) sont présentés pour tous les échantliions. Pour des températures de 30 ~ 300 K. un modèle d~ transport électrIque

approprlé a été développé pour déterminer les concentr~tlons

des accepteurs et des donneurs réSIduels. Le calcul de la moblllté tlent compte de multlples mécanIsmes de dIffusion, aInsl que des transltIons Interbandes et lntrabandes. Ce modèle révèle que tous les atomes de Zn sont électrIquement actIfs. La valeur du facteur de Hall, Importdnte pour la détermInatIon préCIse du contenu d'Impuretés dans les

semIconducteurs, a été consIdérée. Une valeur de 1 pour ce dernler facteur apparalt raIsonnable pour de falbles

concantratlons du dopant. Pour des nIveaux de dopage plus elevés, ce facteur deVIent 1nférIeur à 1, ce qUl peut condUIre à une surestlmation de la concentratlon des

accepteurs. Lel non unI forml té des échant lIions dOpés au Mg nous a conduIts b utlilser un modè-le tel"\ânt compte des gradlents de concentratIon du dopant. Ce modèle nous a permlS de d€'termIner l'actlvlté électrIque du Mg et la concentratlon des donneurs réslduels dans la couche épItaxlque

A basse température. la bande d'lmpuretés domIne la conductIon par le blals de plusIeurs mécanlsmes dépendant du dopage et de la compensatIon. Dans ce cas, notre approche consIste à ajuster lee théorles dIsponIbles aux résultats expérlmentaux. En vue des dlfficultés rencontrées quant à

1 'évaluatlon des paramètres correspondant à ces théorles, nous avons rlgoureusement considéré les dépendances en T des pré facteurs des expreSSlons de la conductIVIté. Aux plus

(

_{basses températures, tous les échantIllons montrent la}

conduction

par sauts de portee varIable de

Mott. A plue

haute température, ce régIme est SUIVI par la conductIon par

sauts entre plus pro~hes VOlSlns. Nous avons étudIé, pour la premIére fOlS. la saturatIon de ce dernler régIme dans l'InP de type p. Une théorIe proposée par Shklovskll et Yanchev a été trouvée en accord qualItatif avec l'expérience. La

posSIbIlité d'une Interprétation des résultats sur la base de l'eXIstence du gap de C0ulomb dans la denSIté d'états. pour des dopages assez élevés. a été r~Jetéé.

Le premIer chapItre est aInSI consacré a la descriptIon du dISpOSItIf expérImental et

a

la préparatIon des

échantIllons. Au chapItre II. nous passerons en revue les proprIétés gén~rales de l'InP de type p et les mécanIsmes de transport aSSOCIés dans la bande de valence et dans la bande d'Impuretéb. Le chapItre III présente deux modèles de

transport électrIque et l'analyse des résultats a haute température. L'analyse des résultats à basse température.

pour les échantIllons dopés au Zn. fera l'objet du chapltre IV. Nous termInerons l'exposé par une conclUSlon generale au chapitre V.

CHAPITRE l

DISPOSITIF EXPERIMENTAL

i

(

'-1-1 CROISSANCE DES COUCHES MINCES:

Les échantillons ont été obtenus par MOCVD (épitaxie en phase vapeur par composés organo-métalliques) dans une

cellule de réaction horizontale déjà décrite"L. Des substrats semi-isolants d'InP •. d'orientation crIstallographique (100).

ont été utilisés pour la croissance de toutes les couches. Ces substrats sont dopés au fer, à un niveau se sltuant

entre 3 10'6 et 1017 cm-3 d'après le f abr i cant. Le procédé de croissance est basé sur une réactIon chimique entre le

trIméthyl-indium et la phosphine en présence d'hydrogène. à

pression réduite de 75 Torr et à environ 625°C. SUIvant les équations:

2 In(CH_{3 )3} + 3 Hl --~) 2 In + 6

CH4-2 In + 2 PH₃ ~ 2 InP + 3 Hl

( 1.1) ( 1. 2)

Les dopants ont été lncorporés au cours de la croissance en utilisant respectivement le dIéthyl-zlnc et le bis-méthyl-cyclopentadiényl-magnéslum pour l'InP:Zn et l'InP:Mg. Le dopant (Zn) remplace l'Indium dans l'équation (1.1) selon la réaction:

CI.3) Ces deux impuretés sont acceptrices dans l'InP du falt de

leur configuration électronlque externe (2 électrons s). Principalement. ellesse substituent aux atomes d'lndium. de configuration électronique plus proche.

La technique de croissance brièvement décrite Cl-dessus présente des avantages sur d'autres procédés. Ces avantages

.

, ~ , ~' 1

~.

_t

(

peuvent se résumer comme suit:

i- Les réactions ont lieu à relativement basse température et le contrOle des débits gazeux se fait. avec précision. d'une façon externe.

il- Son fonctionnement à basse pression évite les dangers de fuite de gaz toxiques.

lii- Le système peut être utilisé à une échelle industrielle et permet de produire des couches minces de la plus haute qualité. avec des taux de dépositIon très bien contrôlés sur une surface relativement large.

Les mesures de spectroscopIe de masse des ions secondaIres (SIMS) ont été réalisées à l'aide d'une

microsonde ionique de type Cameca IMS4f. Le bombardement

s'est effectué en utilisant des ions prImaires de Cs+ avec la détection de 1"CsZn+ et 157CsMg+ pour tIrer respectivement les concentratIons de Zn et de Mg. La calibration des niveaux de détectIon s'est faIte sur la base de standards de Zn et Mg

implantés. La profondeur a été obtenue par des mesures de profilométrie de surface dans les cratères.

1-2 PREPARATION DES ECHANTILLONS:

L'étape la plus importante dans la préparatIon des échantillons est la réalisatIon des contacts, peu aisés à

obtenir dans le cas d'un matériau de type p. DIvers essais d'évaporatIon de Zn pur se sont d'abord montrés Infructueux. BIen que le Zn ait pu être déposé. le recuit des

t

~

,t_ ...

-échantillons provoquait systématiquement l'apparition d'éclats de Zn, provenant des contacts. sur la surface des échantillons. Ceci les rendait lnutllisables pour des

mesures. La déposition des contacts s'est flnalement falte par l'évaporation sous vide d'une mince couche d'un aillage Au-Zn (95-5%) suivie d'un recuIt thermique de cinq mlnutes à

o

500 C. Le recuit. sous atmosphère lnerte, provoque la

diffusion du zinc et de l'or dans la couche épltaxique tout en évitant l'oxydatlon de celle-cl. Cecl fait disparaître la b~~~ière de potentiel existant entre le semIconducteur et le métal. La linéarité des caractérIstlques 1-V de ces

contacts. sous champ électrique faible. a été vérIfiée pour tous les échantillons et sur toute la gamme de températures considérée (1.4. 300 K). Les échantIllons présentant des contacts non linéaires ont été reJetés. Des mesures de résistivité. pour dlfférents couples de contacts. montrent une excellente uniformIté horizontale de ces couches. Le sablage des échantliions conduit à la forme déflnltlve de la

figure I-1. A partir de ces contacts. on a soudé,avec une pate à base d'argent. des fils d'or qui relient

l'échantillon au circuit de mesures.

1-3 DISPOSITIF DE MESURES:

Des mesures d'effet Hall ont été réalIsées en fonctlon de la température de 1.4 à 300 K en utilisant une structure de pont conducteur (fIg I-1) . Le schéma général du

(~

(~

~"""~

T

_(w)-~~~ largeur

J,

,

(t) ~ \)-lm épaisseur

Figure I-1: Forme déflnitive des échantillons. (structure de pont conducteur)

refroidlssement,pompage,N~,He,etc ...

i

Il

connexions unlt~ d'acquisltlon courant du thermomètre de données source ~

__

~~

__

~~~~====~ chau!fante(HT)

I/I--~cryostat source de courant

Keithley 225 1: ... 1 '-'fi .... -t Ordinateur (IBM PC XT) C L--_ _ échanti lIon magnétlque Figure I-2:

Schéma gén~ral du dispositif expérimente: 1 .

~

dISpositIf expérImental est représenté sur la fIgure I-2. Des précautIons partIculIères ont été prIses concernant les contacts thermIques. l'IsolatIon électrIque et la précIsIon des mesures. L'échantIllon est collé par un coté. pour

mInimIser les contraIntes. à une plaque de saphIr qUI est à la fOls un très bon conducteur thermlque et un lsolant

électrique à basse température. Cette plaque est à son tour fIxée à un épaIS plateau de CUIvre. recouvert d'un melange pâteux de graIsse à VIde et de poudre de CU1vre destIné à assurer un bon contact thermIque. Des tIges creuses d'acler. contenant les dIvers fIls de lIaIson (cable mlcromlnlature

bllnd~). servent de support au plateau. Un thermometre cryogénlque carbone-verre. SOIgneusement calIbre. est _ emboutI dans la masse du plateau. C.:-IUI-Cl permet une

resolutl0n de ).01 K lUX plus basses temp~raturps ~t n'e~t

pas affecte par le-champ magnetlque. qUI a été fIX~. pOUl les mesures d 9ffe~ Hail.

a

une valeur relatlvem~~t faIble de 8 KG. L'ensemble precédent est plonge dans un cryos:at SItUé entre les poles d'un électro-aImant permettant

d'atteIndre une lnductlon magn~tlque de 13 KG. L' lnfluence du substrat sur nos mesures est largement dIscutée ~u chapItre

III. Elle depend du dopant par sa dlffuslon dans le

substrat. Nous avons utlilse une source de courant de type Kelthiey 225 capable de délIvrer un courant de 0.1 nA s~able

à 2 %. Nous avons ChOISl de laIsser augmenter la température naturellement. sans chauffer. mlnlmlsant aInSI les gradIents de température entre l'échantIllon et le plateau de ruivre.

•

.. _•

(

Au dessous de 4.2 K. ceCI s'est faIt par augmentatIon de la preSSIon de vapeur d'hélIum lIqUIde OU superfluide. De 4.2 ~

78 K. l'évaporatIon de l'hélIum à presslon atmosphérIque entralne une augmentatlon lente de la température. au cours de laquelle des mesures ont été effectuées. De 78 à 300 K. le contrôle de la température s'est effectue par chauffage du plateau de CUlvre en faIble contact thermIque avec l'azote

llqulde. De plus. nous avons falt sublr a tous nos

échantliions un cycle thermIque (de 1.4 à 300 K) avant de reallser nos mesures Nous avons en effet constaté que les mesures ne sont parfaItement reproductlbles qu'à partIr du deUXlème cycle thermlque. Le premler cycle s~mble provoquer une stabllIsatlon des proprl~tés électrlques du crlstal II~e _~robablemenf à des contralntes.

Pour mHllTlIISel:- les effets thel'nh)magnét l'lues et :'es

effets des champs pardsltes. les resultats sont-moyennes sur deux dl rect Ions OppOSÉ'E'S du champ illagnét 1 que. Cee 1 Imp·)Se

champ magn~tlque nul. Ce dernler cycle permet de tlrer

dlrectement la resistlvité et d'évlter dee e:reurs dûes aux

effets de la magnetoréslstance. Celle-cl est obtenue a

partIr de la geométrle de l'échantliion et des voltages lus par la relatIon:

~ .. V_x t w / (1 1) _(fi.cm) (! .4)

où l est le courant d'eXCItation en A. 1. t et w sont respectIvement la longueur. l'épaIsseur et la largeur de

(

_..

-

f1gure I-1.

Le voltage de Hall a été prIs comme une moyenne. et est donné par l'express1on:

V~

=

(v: -

V~

)/2 = (V; -

V~

)/2 (I. 5)

où les signes + et - IndIquent les deux d1rect1ons du champ magnetIque. En pratIque. les deux dernIers termes de (I.5)

ne sont pas exactement 1dent1ques

a

cause des défauts de non-ulllft.':Irmlte de l'échantIllon et: de la positIon. JamaIS parfaIte. des contacts. Dans le cas où la dIfférence entre

ces deux termes a dépassé 5%. l 'échantIllon ~ ête reJete. Pour des d,fférences InférI€m'eS a cette valeul. la mc'yennE' des deux t armes est pl" 1se cIJmme V ....

La mobil1té de Hall et la concentratIon des porteurs sont l'espectiveml?nt_donnees par: P V H 11 t Vx wB) l B/(V H t q)

Pour m~lntenIr des condItIons de champs électrIque et magnetIque faibles. nous avons utIlIse des ~ourants

t 1. f.)

(:.7)

d ' exe I ta tIan d')nnant des V,) 1 tages ln f É-l leurs

a

100 mV et Urtl? inductlon magnétIque de 8 KG

Les très hautes l'és lat l v l tés des couches épI ta:oques E't

le besoin d'une haute résolutIon nous ont condult

a

utIlIser un système d'acquIsItIon de donnaes automatlse ~ haute

résolution ayant une Impédance d'entrée très élevee 3 . L'électronIque de ce système permet

a

l'ordinateur de

(

sImplIfIant aInSI sa programmatIon. L'Interface électronIque est schématIsée en fIgure I-3. Elle est conçue pour

mInImIser les temps de réponse élevés dûs aux grandes

réslstances des échantliions et ~ux capacItés parasItes des cables. Un commutateur électronIque. commandé par

l'ordlnatéur. branche ~ucceSSIvement un con~ertlsseur

analogue/dIgItal

a

16 bIts sur les quatre combInaIsons de voltages possIbles. Chaque voltage est une moyenne sur 250

lectures. mIse en m~mOIre actIve avec la température C01respondante. Celle-Cl est obtenue en temps réel par

utIlIsatIon de l,~ table de Callbl'atl':ln du thel-momètre. Tous 1 es pari1rlle t l'es de l' experl ence (c,'jurants, vol t 3ges .

température. etc .. ) sont vIsualIsés a l'écran. Le systeme permet la lecture de voltages avec ~ne I~pédance d'e~tree

superleme a 1014 Ohms et dt)nne jusq,..I'à 5 Chlffl'es

-31gnlfl~atlfs de r~solutlon. Le taux de varIatIon de la temperature a tO~Jours ête maIntenu faIble devant le temps

...

-

hautes impédances faibles impédances

,. "', r'

H-~

,--- --- - -i-

-1- - - -

---~-

- - -

---1

1 1 1 1 10 tampons très 1

~

haute impédance

l

1 d'entrée 1 t 1

r

l

sélection du: 1 ~ multiplexeur multIplexeurl 1 et ~ 1

1

~ amp I l f l ca teur r- : r - - - , 1 r ordInateur , 1

IBM PC

l, contrôle de la 1 , i\ J 1 1 conversion L... ____ .... - - - : l " ito 1 1 r--~v~~_~ r 1 1 convertisseur interface 1

1 A/D 16 bits parallèle 1

1 ~ ~ 1

l

~ r' 1 l

'v

1 t 1 1 M" '"

0('"

'Ii ~-A 1 " lcroprocesseur interface r 1 6809 " :" ~ ~ " il" V" sér l e i 1 1 1 1

,

1 7 'Ii 7 1 r 1 1 mémoire 2K mémoIre 4K 1 : (RAM) . (ROM) . : , 1 1 1

L ___________ --- -- -- ... -- --- --- -- --- _.- - -

..! Figure 1-3:

- - --~

-.

t

CHAPITRE II MECANISMES DE TRANSPORT

(

-

11-1 PROPRIETES GENERALES DE L'lnP:

11-1-1 Structure de bande:

La structure de bande de l'InP+ est représentée sur la figure 11-1. Le maximum de la bande de valence se trouve au centre de la premIère zone de BrIllouln. On dIstIngue deux bandes de trous (J=3/2, J-1/2), dégénérées à k-Q,

correspondant respectIvement aux trous lourds (hh) et aux trous 1 égers (1 h) .

E., -::.

1. 42 t!. V

H.

!

 '::,

O·13~V

(1

1

1)

r

(1

(0)

FIgure 11-1: Structure de bande de l'InP.

La fIgure 11-1 montre l'exIstence d'une troisIème bande de valence (sh) provenant du couplage spIn-orbIte. et séparée des deux bandes précédentes d'une énergIe

Ll.

L'effet de cette bande sera néglIgé. ce qUI Impose de ne pas se placer à très

haute température (KBT«

6 ).

Les surfaces d'énergIe constante (une pour chaque type de trous) sont sphérIques et les

(

énergIe (échelle vers le bas pour les trous), des correctIons d'anIsotropIe et de non paraboliclté sont nécessaIres. Pour un matériau donné, ces correctIons sont d'autant plus importantes que ~ est faIble"'". L' InP présente une sItuatlon intermédIalre entre l'AsGa (Ô c 0.341 eV) et le

GaP ( Â - 0.078 eV).

11-1-2 Paramètres physiques:

Les paramètres physIques que nous avons utilisés sont présentés dans la table II.1. La majorité de ces grandeurs sont blen établIes et sont généralement admIses dans la

lIttérature. Une attentIon partICUlIère a été accordée à la masse des trous lourds et aux potentlel~ de déformatlon acoustlque. Des mesures de résonancp cyclotron 5 donn~nt une masse effectlve relatIve de 0.62 pour les trous lourds. Cependant. d'autres mesures expérimentales indépendantes

(.

donnent une valeur supérleure à celle-cl. Nous avons

flnalement admls les valeurs de Wlley4, basées sur un calcul de Lawaetz7. Les dIfférents paramètres sont lndiqués dans la

table II.1. On a adopté les notations suivantes: m, masse effectlve des trous légers

mz

masse effectlve des trous lourds

~~ denslté volumlque de masse

E~ constante dIélectrIque basse fréquence E~ constante dIélectrlque haute fréquence Cl vltesse longItudInale du son

-

---m1 (u.a) [ * ] 0.089 Db (u.a) [ * ] 0.85

fm.

(g/cm:!!:) [ * ] 4.787

E.

1i [* ] 12.35

tQg

[ * ]

09.52 CL.. (cm/s)

[ * ]

5.028 10~ CT (cm/s)

[ * ]

3.022 10:5 a (eV)

[ * ]

2.90 b (eV)

[ * ]

1.55 ENPO (eV/cm)

[ * ]

7.15 10R Top ( K)

[ * ]

498 p", _{[**] 0.013}

---Table II.1: Paramètres physiques de l'InP.

*

**

Référence à Wiley4 Référence à Rode\6

(

a potentiel de déformation acoustique longItudinal b potentiel de déformation acoustique transverse

E_NPO potentiel de déformatIon des phonons non polaires

Top température de Debye des phonons optIques

Pz coeffIcient piézo-électrique (sans dimensions)

1I-2 MODELES DE TRANSPORT DISPONIBLES:

Les premiers modèles de transport dans la bande de

valence sont apparus pour analyser les résultats obtenus sur le Ge et le Si de type p. Le résumé de la sItuatIon jusqu'en 1975 est donné dans la référence 4. Ces modèles sont divISés en deux catégories selon les méthodes utilIsées pour la

résolution des deux équations couplées de Bolt~mann

auquel les conduisent les deux types de trous des composés

III-V. Du faIt des complications inhérentes aux bandes de valence. même les modèles numériques (dIts exacts)

comprennent des approximatlons 8 et ne gardent pas un sens phYSIque claIr aux résultets. Les modèles phénoménologIques. dont l'approxImatIon du temps de relaxatIon. exposée au

paragraphe 11-3. sont commodes pour Interpréter les

résultats. avec certaines précautions. Ainsi. nous avons utilISé cette d~rnIère apprOxImatIon pour évaluer la

mobIlIté. Nous avons tenu compte des transitions Intrabandes et interbandes aInSI que de la symétrie des fonctions d'onde des trous. Kranzer 9 a montré que cette approximation

...

-le cas de la diffusion sur -les phonons optiques polaires. Ce modèle a été déjà appliqué à l'évaluation du contenu en

Impuretés actIves dans le Si de type plO. En plus de la diffusion sur les phonons acoustiques longItudinaux et

transverses, les impuretés ionIsées, les phonons optiques non polaIres, nous avons consIdéré la diffuslun sur les phonons optiques polaires et sur les phono~s

plézo-électriques.

II-3 APPROXIMATION DU TEMPS DE RELAXATION:

La présence de deux bandes couplées nécesslte

l'introduction de deux fonctions de dIstrIbution des trous. Celles-ci sont de la forme ll :

J:i

(~)

:

~OlE)

+

:fi

L~)

---'

.

ft

[1ê) :: -

ftJ

tE)

Rl (

E.

).t:>

_{( I I . l )}

f~tE)est la fonctlon de distrlbution a l'équIlIbre dépendant

~.

de l' énergle E.

1t

est le vecteur d' onde et

R'(f:)

la perturbatIon de la fonctIon de dIstribution à sa valeur d'éqUIlIbre.

A l'état statlonnalre, l'équatlon de Boltzmann pour une bande i s'écrIt:

~)

+

') \: t:

cl

F~

)

_ 0

d

~

c. (I1.2)

où le premIer terme représente la varIatIon de la fonctIon de distrIbutIon sous l'effet des champs extérIeurs. Le

(

1

i

~'

_,

(

et est appelé l'intégrale de collision, En présence d'un

.-., ~

champ électrIque E~ et d'un champ magnétique H dans un milieu homogène on a Il (en un l tés CGS):

(IL3)

où q est la charge électronique, c la vitesse de la lumière.

~ ---+

~. la vitesse des porteurs et ~ l'opérateur gradient dans l'espace des Impulslons,

L'intégrale de collislon est donnée par" :

_

~ ~ ~ (~C ~) ~

W

il

(~~ ~)

d

lit,

(~\\)

}c:\,..t.

- J

~,(~,)

W

Ji

(t\

~)

d

lit, )

(IL4) ~~

W_{i ,} (k,K') sont les probabllités de transitIon d'un état d~

~

~

vecteur d'onde K dans la bande 1 à un état de vecteur d'onde

~

k' dans la bande j , On dlstingue les transitions intrabandes (l-J) et les transitIons interbandes (l+J),

Pour des bandes Isotroplques ~t parabollques.

(IL5)

et dans le cas d'un mécanisme élastique. les probabilItés de transition peuvent être écrites sous la forme:

( I I . 6)

où ~ désigne la distribution de Dirac et

B

l'angle que font

~ - )

les vecteurs K et k',

-que le système d'équations pour

R/

est de la forme ,\ (CGS) :

l i

~

+

1-

L

H

X

ft,

(E)1

=

KIl'

c. "" \.

.-+. ~.

_ R

l

( E ). -t R t (

e. )

~c:(E) -r;.:~ tE) <II.7)

~ et 1;,. dépendent de l' énerq_ le et sont respectIvement les

I:)è.i. ~a

temps de relaxation intrabande et Interbande.

\

-G.:i(~\ (

.1

"M~ )~h

'12.

f

-:::.

y

E

S~~ (t)

e)

(1-

Ces

e)

dsz.

_'+

où

JSl

est l'élément différentiel de l'angle sollde.

(lI.8)

Ces expressions (préfacteurs des intégrales) montrent que l'inverse du temps de relaxatlon Intrabande varl€' en

pUissance de ml (ou m~) alors que l'inverse du temps de relaxatIon Interbande varie en pUIssance du rapport m~/mt.

Ceci lndIque que les transItIons interbandes sont

signifIcatIves pour les trous légers et negilgeables pour les trous lourds. Ces dernIers ont tendance à effectuer des

transitIons intrabandes.

La mobilIté de conductIon des trous dans chaque bande est donnée parlO:

<II.9)

{

=

~ lt~L

~..

L-

--t. 1.\.. ~

,

(11.10)

~ varIe sur les mécanismes de diffusion présents dans le matériau considéré.

La mobIlité totale est obtenue en moyennant les mobilités des trous lourds et légers par rapport

a

leur concentrations respecti~es:

-

~

);Lb, ...

~

.Ab!

-

_P.

-+

P2.

(II.1l)

Dans le cas partIculier où les deux bandes sont découpl~eB.

le terme de relaxation interbande dIsparaIt et 1/~~=O. On retrouve l'expression classIque:

(11.12)

La grandeur plus directement accessible

a

l'experience est la mobilité de Hall. Elle est reliée à la mobilité de

conductIon précédente par:

(II.13) 'Z ... est le facteur de Hall.

La mobIlité de Hall pour chaque bande, sous champ magnétique faible, est donnée par 10:

DO

( >/1 1 l~)

l

E:

~i':

(El

V

exp

(-E /

ke.T)

dE

(11.14)

Gi.:

l

E)

10L

~x.p

( -

E /

K.T)

JE:

~l.

=

_CII.IS)

les autres grandeurs sont dej~ défInIes cl-haut,

La connaIssance du facteur de Hall dans (11.13) est très importante dan8 la caracterIsation et la determlnatlon précise du contenu d'Impuretes. Ce facteur dépend des mécanlsmes de diffl.tslon, Comrue en faIt, lee eut'faceô

d'énergie constante ne sont pas parfaItement sphériques. on Introduit un facteur de Hall total de la fOrTue:

-Zr

=

(11.16)

011 'l/of est obt enu en l'erup 1 aqant (1 l ,9) et (1 l, 14) dans

(11.13), et ~4 un facteur d'anisotropIe des surfaces d'énergIe constante. Allgaler l1 _{a donné une explicatlon phYSIque ~}

l'origine de ce second facteur. ~~ est toujours supérIeur ou égal à 1. alors que

Zc:\.

est Inférleur ou égal ~ 1. Le facteur de Hall total peut donc être supérIeur, Inférleur ~u égal à

1 selon les contributlons des deux facteurs de Hall partlels.

L'approximatlon que nous venons de VOIr est valIde sous quelques conditions concernant les mécanismes de diffUSIon et les champs extérIeurs applIqués. En effet, l'énergIe des trous doit être conservee au cours de la tranSItIon. ce qUI impose l'élasticIté des mécanIsmes en qllestlon. De plus. la variation de la fonctlon de distrlbutlon dOIt être petlte devant celle-ci. L'énergie acqulse sous l'effet des champs

l

1

f

(

(

<de l'ordre de

K&T).

De cette façon. les conditions de champs faibles sont satisfaites et les proprIétés électrIques ne dépendent pas de la grandeur des champs applIqués.

11-4 MECANISMES DE DIFFUSION:

Sous l'effet d'un champ extérIeur. les porteurs de

charge sont accélérés. Les divers mécanismes de colllslon du système établIssent un régime stationnaire en faIsant perdre

à ces porteurs une partIe de leur énergie. Dans ce qUI suit. nous allons rappeler la nature de ces mécanismes. les

probabIlItés de transItIon assocIées et les temps de

relaxation correspondants. Dépendant de la température et de . la pureté du matérIau. l'Importance relative de ces

dlfférents processus varIe. A mOIns qu'autrement SpéCIfIé.

-tous les résultats sUIvants seront exprImés en unltés MKSA. Dans toutes les expreSSIons. l'IndIce 1 correspond aux trous

lé'gers.

Les probabIlItés de transition d'un état de vecteur

~ -+

d'onde k dans la bande 1 vers un état k'dans la bande j

~

-cont Iennent un terme G.~ (k. k') qu"\ est une fonet Ion caractérlstlque du recouvrement des fonctions d'onde assocIées aux porteurs respectIvement avant et après la dIffusIon. Pour les trous de symétrIe mIxte P et S. cette

fonctIon dépend de l'énergIe et de l'angle de dIffusIon. Wil eyl3 a montré que pour les composés III-V possédant une

--

...

fonction ne dépend pratIquement pas de l'énergie malS

uniquement de l'angle de di ffusion ( e ) . Elle est donnée par:

G.

_iL

L

~J

1(')

=

GriL

(e) ::

t (

1

+

3

c.os2.

e )

(11.17)

.

:1

Les probabilites de transition sont alors de la forme:

W.:~

(-C,

~,)

":

Sià

Cr,

~,) ~

(

Ei(~)

-.

f.J(t'))

S':i

(r,

~I)

=

Xii

(k,

k')

~i~ (r,~')

(11.18)

11-4-1 Les phonons acoustIques:

Les vIbratIons acoustIques des atomes du réseau créent un potentJel perturbateur local dit 'de déformatIon'. Ce potentIel indult un déplacement du bord supérieur de la bande de valence. Dans le cas de l'1nP de type p. les

phonons longItudInaux et transverses contribuent tous deux à

la dIffuSIon. La diffuSIon sur les phonons longItudInaux est cependant plus Importante. CeCI néceSSIte donc

l'introductIon de deux valeurs a et b correspondant

respectiv~ment aux potentIels de déformatIon longItudInal et transvere. Les probabIlItés de tranSItIon correspondantes

sont celles établies par Bir et al" à partir de la théorIe du potentiel de déformatIon:

i- Phonons longItudinaux:

s~t\

'E',

t;', \

=

Al!.)

~ ~ ~

...

H)~

of-

i

b'

J -

i

b

Cose ( ;

:t/1.)-+

' (

_{Le signe d'en haut correspond aux trous légers.}

Pour i

+

j , on a:

s~i)

("ft)

~,)~

AtJ.

J

!

s\nae~ ett_~~

...

~;

[

~ (~'2.

- \)

+

+

l

(""_1 ... \

)1

3 ( 1-

'ml

1

W\z.)1.

b

2.

l

't hl1. T

IJ

+

If- ~., •

!

_(11.20)

AlL)

=

11' k& T_

i

C~

fW\

e

est 1 1 ang le que font l es vecteurs )( et

1t

1 •

~ partIr des équatIons (11.8, 19 et 20), nous avons déduIt les temps de relaxatIon sUIvants:

\

-

_'bIlL

1

-~;

1 '~IL ., .... L .,~ 1

-

-

1;:(,

"

1

-

-

_&:L CI

[ G,

[~) + ( hl 1 ) -a" /2..

FI

",,2- (-n,)

J

r

~(1\,)

-+(~)

}/"-

Gtl')t)j

1 L- ... Mt.

.

)

71.-

b

<I1.21)

Les fonct Ions G ("1). FI ('ft). F2. ('1.) et H (1I.) sont données en

~nne:<e A.

11- Phonons transverses: 2

S~:) (~r,):: ~

7T Ka T

b

S;h2.e

...

5~~)cr

i"

::.!

Ti

Ka

T

b'l.

[1_1

~i't\1.91

\+(1_

~)11

a.&f)l

'J

'

.1 2

t

~

c.:

fi \.

~2.

l"

J

l

-+

~

_(I1.23)

Les temps de relaxatIon sont:

1

-fT [

!

r~

_-t-

! ( , -

_1fS-{

_{P) ) ]}

-'b,T

~ \

=

~

T [

t

p

~

(1 -

4's- (

f) )

+

t

J

-

'l:T

U D

112.

2 J

-t,. (

~~)

(1 -

~.!)

4'40 (

f)

-

=

~,r 0

,

_r~

_..L

- T

_'G-;~

7:"1 1 K p>

T

l:, 2. ",}/2.

E

'1:.

_p

_"1.::. ?n,

-

_?;:l"

-

:>

-(i'rrt

4

e

_Cl

_"''2.

Il '" T ( II 24)

Les expressIons des fc,nctIons ce4-(~) et

Cf"

(r) sont reportées

en Annexe A.

Dans ce modèle. les temps de relaxatIon Intrabandes des trous legers (IndIce 1) sont légerement plus faibles que

ceux des trous lourds. Pour b = O. on retrouve les expressIons bIen connues de Costato et RegIanl'+ qUI ont neglIgé la

contrIbution des phonons acoustIques transverses.

11-4-2 Les Impuretés IonIsees:

A basse température. l'Importance de cette composante de la mobIlité. par rapport aux autres contrIbutIons.

s'accroît. Les trous sont dIffusés par un potentIel coulombien écranté de la forme:

(II.25)

où fsest la constante diélectrique statique et }lIe rayon d'écran évalué en Annexe B. Pour ce mécanisme élastIque. nous avons utilisé les probabIlités de transitlon établies par BIr et al Il :

7r

= -

_1..

(11.26)

N% étant la concentration des centres ionIsés.

Le calcul des probabll ités de transItion est basé sur l ' approximat ion de Born qui cons i ste à supposer que

l'énergIe de la partIcule IncIdente est grande devant le potentIel dIffuseur. A suffisamment basse température,

l'énergie des particules incIdentes devIent comparable à

l'énergIe moyenne du potentIel dIffuseur, ce qUI en principe lnvallde l'utilIsation de l'approximatIon de Born. D'autre part, pour pouvoir consldérer des collIsIons sur des centres indIVIduels, le rayon d'écran des potentIels des impuretés doit être faIble par rapport à leur séparatIon moyenne. Dans

le cas contraire, la partlcule subIt les effets

perturba teurs de plus leurs centres s imul tanément et des correctIons de diffusIon multIple sont nécessaires. Le problème de la diffusion multIple a été traité par Moore '5

l

correction à apporter à la mobilité étalt d'envlron 30 %

-

Cependant cette théorie n'est pas applicable à notre cas pour les températures considérées. du falt du falble nIveau de dopage de nos échantllions.

Les temps de relaxatlon correspondant à la diffusion sur les impuretés Ionisées sont:

-1

-~/

.; _{1 ~t 'ln,}

- -

-

~

,

::

~I~

1;~} trl2. ~.

-

₁

_1-

*'1.

l

-If "nt.: ')C.. Z E-l

'l-

t N

_{z E. -} 3/2.

-

_6ot·

-

-l ,

rr

V2

~ f:~

171.?L

(II.27) Les fonct Ions I,

4'".

et ~ sont données en Annexe A.

1I-4-3 Les phonons plézo-électrlques:

L'effet pIézo-électri<i·.:e, présent dans les

semIconducteurs n'ayant pas de symétrie d'lnverslon. est dû

à la déformation du nuage électronIque des atomes

indIVIduels. Le champ électrIque IndUlt par les vibratlons acoustiques provoque un potentIel perturbateur. à l 'orlgine des phonons pIézo-électrlques qui domInent la dIffusion à basse température dans les semIconducteurs composés de haute

(

(

pureté. Les probabIlItés de transition associées ~ ce processus sont données pari':

~ij

(

7:,

f'i )

Iii!

_1(:/2

(I I. 28)

~ est un coefflcient pIézo-électrique sans dimensIons. A partIr des équatlons (II.8 et 28). nous avons déduIt les temps de relaxatIon suivants:

"

y~

]

'

::; -L

(.2.

m,)

~

[1

+

~

(

?!! )

~

(f) ~P

?:.,P

,

trr,

,

--

_?;.r

-D _01.29)

Les fonct i ons

cr.

et

Cf

_{1 sont reportées en Annexe A.}

II-4-4 Les Impuretés neutres:

La dIffusIon sur les Impuretés neutres est importante dans les semIconducteurs de haute pureté à basse

température. Elle se faIt au travers d'un potentiel de polarIsation Induit sur l'Impureté par la partlcule

(chargée) IncIdente. Ce potentIel est en l / r3 et a un faible rayon d'actIon. Pour les électrons dans la bande de

conductIon. ErgInsoy a donné un temps de relaxatIon Indépendant de l'énergie:

1..

G'

-Sa

lT"

~o fs ~l

NN

"r\ a.

1-'"

(1I.30) NU est 1 a concentr'at 10n des centres diffuseurs neutres.

Le problème de la diffus10n des trous par des centres neutres est très compl1quél7 et sa vérificat10n expér1mentale l'est encore plus. L'on pourraIt s'attendre à des temps de relaxation de la forme (11.30) pondérés par une fonctIon des masses des trous lourds et légers a1nS1 que par la

contr1bution de l'intégrale de recouvrement. Dans notre étude. nous serons amenés à négliger ce mécan1sme qUI est apparu Insignifiant, du fa1t de la pureté de nos

échant1llons.

11-4-5 Les phonons optiques polaires:

Les phonons optiques long1tudinaux 1ndulsent une onde de polarisatIon électrIque. Cette onde de polar1satlon donne naissance à un mécanIsme de diffusion inélastIque. Une façon de le tralter dans le cadre de l'approxlmat1on du temps de relaxatlon consiste à négliger les termes de collls1on de retour des états

1,

vers j(. D'après Kranzer', cette

approximation introduit une lncertltude de l'ordre de 5%. Les probabilit~s de transltion sont données par

avec et

( N,

+

f

:t

-1:

J

G,ij (

~

1{', )

/ 1t _

1/t/J.

01.31) OI.32) (II. 33)

(

(

Le sIgne du haut correspond à l'émission dans le cas où

t

>1< 8 T"p .

Es

et

foc

dés ignent respect i vement 1 a constante dIélectrIque statIque et haute fréquence. Top est la température de Debye des phonons polaIres.

Dans ces condItIons, les temps de relaxatIon sont:

oc 0 (II. 34)

(II. 35)

(II.36)

et

)

Les fonct Ions

c,~

et

4;

sont reportées en Annexe A.

1I-4-6 Les phonons optIques non polaires:

Dans le cas d'un matérIau de type p. les trous (à

symétrIe mIxte P et 5) InteragIssent avec les phonons optIques par un potentIel de déformatIon non polaire. Ce dernIer Induit un déplac~ment du bord supérIeur de la bande de valence. Les probabilItés de transitIon assocIées sont données par 10 :

X

_V

~

_{L' ,}

r

r.

f,

~

G··

_i

(l'.

_'

1;, ,

₎

(I1.37)

EN~ est le potentiel de déformation des phonons optIques. Dans ce modèle, la dIffusion est isotrope et les temps de

-relaxation des deux bandes sont ég~ux.

1

-

~ 1

-,,=0 ~, 1 ~2.

=

;fN~

L(

"'11-

d

~

f

)1/

E :;.

ka Ter o .,._

-L

_

'Yi:

e-N~

['3/2.

~ 12. ] . ?;:NPO -

*:1.

Po hl, -t- W1z. " "t .". .... 1< f!. 7;,. 11-5 CONDITIONS DE VALIDITE: (II. 38)

Les résultats établ1s précédemment sont valables dans le cas où les champs extér1eurs appliqués sont falbles. Les effets de ces champs (électr1que et magnet1quelsur la

fonct1on de distribut10n des porteurs ont eté considérés comme des pet1tes perturbat10ns à sa valeur d'équll1bre

(éqn II.11. L'énergle fourn1e au système. par les champs

appllqu~s. est suppos~e être totalement absorbée par les mécan1smes de dlffus10n en questIon en une seule coillsion. Sl les champs sont suff1samment forts. l'energ1e ne peut être diss1pée sans de multIples coll1slons. ce qUI altère fortement les fonct1ons de dlstr1bution des porteurs et des phonons. Dans ce cas. l 'approxlmat1on du temps de relaxatlon n'est plus valable. Il est donc très 1mportant de connaître

l'ordre de grandeur des llmites supérIeures des champs applIqués. Pour cela. nous allons ut1llser l'approxlmat1on de la masse effective. tout en supposant que la fonction de dlstribution à l'équllibre est légèrement perturbée.

Considérons un trou de masse m et de charge q. Sous

....

l'lnfluence d'un champ électr1que appllqué E~. 11 acqulert une vitesse:

(

(

(II.39)

S1 L désIgne le libre parcours moyen du trou et t •. Vo

respectIvement le temps et la vitesse Juste avant une autre collISIon, la vitesse moyenne est donnée par:

<v)

=

J:..

~o

(II.40)

et d'autre part nous avons:

<

~

1

o::...!..

~ ~D

'\1

cl

~

'=

~

( to) _

l:., 0

"-v.

-2- (11.41)

Les équations (II.39) (II.40) et (I I. 41> donnent:

2.

'1-

Elit L

<11> -.:.

(11.42)

SOUS l'effet du champ appliqué. le trou aquiert une énergie cinétIque:

,

~ _ ln

.2. (1 1.43)

qUI peut s'écrIre avec CII.42):

(II.44)

on obtIent alors:

~

=

If E., ( 11. 45)

1-L

La condltlon de transport en champ électrique faIble est:

Ee.

«

k~

T

(11.46)

c'est à dlre:

if ksT

E

_A

«

(

II . 47)

'fL

Si l'on néglIge les interactions avec les phonons. Lest relIé à la densité d'impuretés N par la relation

approximatIve suivante:

L

N

-1/3 CII.48)

ce qUI nous donne pour T =

la

K et N =

la"

cnr'3 un champ

llmlte Ea de 747 Vcm-1 •

-la condition de transport en champ faible est gouvernée par le libre parcours moyen L assocIé à ce mécanlsme.

La condition de transport en champ magnétIque faible est donnée par:

( I I . 49)

Dans nos mesures, les vo ltages ont été maIntenus au dessous de 100 mV et le champ magnétIque a été fixé à 8 KG, ce qUI

nous place dans les condItions de champs électrique P.t

magnétique falbles.

11-6 CONDUCTION DANS LA BANDE D'IMPURETES:

11-6-1 Les transitIons de Anderson et de Mott:

A basse température, la bande d'Impuretés dominp. la conductIon. Anderson lB a étudié les effets du désordre de la distrIbution des impuretes sur les fonctIons d'onde des

porteurs. Selon son étude, les fluctuatIons spatIales du potentiel, dQes ~ la distributIon aléatOIre des Impuretés. Introduisent des pUIts de potentIel pouvant localIser les porteurs. Si ces fluctuatIons devIennent suffisamment

importantes. tous les SItes agIssent comme des pUItS. ce qUI donne une bande d'états totalement localIsés. CecI

correspond à une transItIon (dIte de Anderson) qUI se

manIfeste pour une valeur crItIque du désordre. Le crItère de Anderson pour une telle transitIon est:

~

E éehA."'r

<.

f).

E

c:J':!.cn.J,u. (11.50)

(

1

"

J

(

complétement satlsfait. le désordre fait toujours appara1tre des états localisés aux queues de la bande. Ainsi. une

tranS1tlOn métal-Isolant apparalt quand le nIveau de FermI passe des états étendus aux états localisés. Cecl peut se produire par varIation de dopage, ou par applicatIon de dIverses forces ext~rleures (champ magnétique, contraIntes, voltage, etc.).

Pour des concentrations suffIsamment élevées du dopant, Mott 19 a montré qu'une transItIon (dIte de Mott) d'une phase

Isolante à une phase métallIque apparalt. Une augmentatIon suffisante du nombre de porteurs lIbres ~crante les

potentIels des Impuretés et les fonctions d'onde des porteurs liés s'étendent et se recouvrent. Le crltère de Mott pour une telle transItIon est:

o 'I!'

le. 'lo (II.51)

où ~ est la valeur crltlque de la concentratlon des porteurs lIbres et aD le rayon de Bohr de l'lmpureté consIdérée. Dans le cas de l'InP de type p. l'énergie

d'ionlsatlon des Impuretés acceptrlces non profondes est de l'ordre de 40 meV et la transitIon de Mott se produit au voisInage de 10'9cm-3.

FrltzscheLo a suggéré de remplacer Pc dans (II.51) par la concentratIon critIque des accepteurs. Cette derniere devralt dépendre de la compensatIon, l'une augmentant avec

l'autre. D'autre part. les travaux de Fukuyama 2.1 Tuüntrr:-nt la

néceSSIte d'utilIser une statistIque nouvelle pour les porteurs dans la bande d'impuretés. du fait de leur

...

corrélation, particulièrement au vOlsinage de la transition de Mott. La statIstique de Fermi-Dirac, gén~ralement

utilisée, n'est pas strictement applIcable.

En considérant l'énergie coulomblenne de répulsIon de deux porteurs sItués sur 1 a même Impureté. Hubbard 1.2. a montré

que cette Interaction donne naissance à une seconde bande séparée de la premIère par une énergIe U (flg.II-2-1). SI BI désigne la largeur de la premlere bande, la tranSItIon

métal-semiconducteur peut être vue comme un recouvrement des deux bandes. l'une contenant des porteurs et l'autre etant vIde. CeCI est lIé au faIt que les états de la deUXIème bande ne sont pas ou sont mOIns localises. du faIt d'une énergie de lIaison plus faIble. AInSI, SI U>Bi les états sont locallsés et le matérIau est Isolant. par contre la

conditIon U<Bi donne un métal.

La transItion de Anderson est causee par le désordre des lmpuretés. expllquée par un seul électron Isolé se déplaçant dans le potentlel du système. Celle de Matt est dUe à

l'lnteractIon électron-électron. Dans un système non Idéal, les deux effets sont présents slmultanément.

II-6-2 Mécanlsmes de conductIon:

A basse température. la conductIon a lIeu par porteurs locallsés dans la bande d'impuretés. Dans ce qUI sUlt, nous rappellerons les différents mécanlsmes associés selon

l'InterprétatIon de Frltzschel~. La conductlvlté dans la phase non métallIque a la forme générale suivante:

(

,<

1 1 1 1 1

,

,

Bi

1 &'"h<;Q'.fi.' 1 El 1

-

-

-

-

-

-

-,-

-

---1 1 1

Figure 11-2-1: Bandes de Hubbard pour une faible compensation. Les états hachurés sont

loca 1 isés.

E

'Ii

--

...

--

- (.l/ka' - El

l "' ..

T

-t C"

e

T C~ e.

(II.52)

où le premier terme représente l'excitatIon ~ la bande de valence à plus haute température. Le second terme (dit

intermédiaire), est l'excItatIon à la bande supérieure de Hubbard à des concentratIons IntermédiaIres (fIg.II-2-1l. Le

troisième terme est le terme èe conduction par sauts

thermiquement actIvés entre plus proches VOISIns. Ce dernIer mécanisme impose la présence de compensatIon afIn qu'il y

ait des SItes d'impuretés non occupés. L'expression complète du troIsième terme dans (11.52) est~~:

(II .53)

avec:

,..., _ fJ. -1 'l'!> -0·&5 'Il

'3 -

IJ~T~ao . (NA' a _{o )} exp[-~/(N~ (II. 54)

et:

T'3 = 0.61 Tb (II .55)

Tb est la température correspondant à l'énergie de

l'interactIon de Coulomb à une distance égale à la dIstance moyenne entre les Impuretés maJOritaIres. Elle est donnée par (C. G . S) :

Tl> = (47Ti'3) "3 q2..

NI

3 / (Ka

f

₁) (Il.56)

où NA est la concentratIon des Impuretés majoritaIres. e~ une constante et ~ ==1.73. Cet te valeur de 0( est bIen connue.t~ pour

les impuretés à fonctIons d'onde Isotropes.

Dans l'équation (11.53). la varIation en T du facteur pré-exponentiel est généralement négligée, ce qui est

,(

{

1

où T~»T. Avec cette condition. les mesures expérimentales disponibles sont en bon accord avec la théorie SI l'on tient compte de la variatIon de la constante dIélectrIque avec la concentratIon dds porteursl~. L'équation (11.53) devient alors:

(lI.57)

A plus basse température. et pour des concentrations au dessous de la transItion métal-isolant, Mott 1C3 ..

t'

a montré qu'un autre terme de conduction par sauts de portée varIable

s'ajoute à conductivIté de l'équation (11.52). La différence en énergIe entre impuretés dépend du désordre. Quand Test suf f 1 s,:tmment grande. l es porteurs peuvent sauter sur 1 es plus proches VOISIns. SI la différence en énergie entre plus proches VOISIns est plus grande que KST, ce mécanIsme n'est plus possIble. Les porteurs parcourent alors des dIstances plus grandes pour trouver des SItes tels que AE<KaT. La contrIbutIon de ce mécanisme à la conductIvIté, pour une

densIté d'états constante Do au VOIsInage du nIveau de FermI, est dE~ la formel' (lOI de Mott):

6.

=

rr

T-I/.lexP[-CTo/T)S] avec: To = 49/ (K&DO a~ ) a -

'fi /

V

2 ml E' s=1/4 CII.58) (11.59) (11.60)

où ao est le rayon de Bohr de l'impureté et ml la masse des trous légers. Les trous lourds ont été négligés dU au

recouvrement faible de leurs fonctions d'onde!~.

grandes dlstances entre un porteur et l'lmpureté qU'lI

laisse derrIère lUl. Efros et Shklovskll1 +ont prévu une bande Interdite (dIte gap de Coulomb) dans la denslté d'états des impuretés au vOIslnage du nIveau de Ferml E_{F .} Sur la base de cette interactlon. Ils ont obtenu une conductIvIté de la

forme:

s=1/2 (I1.61) avec:

(I1.621

CD est relIée à la densIté d'états gCEl au vOIsInage de EF

par-t

S :

(II.63) Où E déslgne l'énergie.

Si le potentiel mentIonné ci-dessus n'est pas écranté.

l'exIstence du gdp de Coulomb est p~sslblel+. Le comportement régI-par l'equatlon (11.611 a été observé pour quelques

échantIllons à dopage relatIvement eleve. ~aIs sItues au

~S" 18

dessous de la transItlon metal-Isolant ) Cependant. 1 a 'Jrande

~5 ~~

majorité des résultats expérImentaux' soutIent la lU1 de Matt. bIen que dans la plupart des cas. les valeurs de To extraites expérImentalement aIent éte trouvées beaucoup trop faIbles.

Malgré le travaIl consIdérable effectué réremment sur

les matérIaux de type nl~J30. des dIfficultéS de détermlnatlon de la pUlssance s dans l'expreSSIon de la conductlvlté

perslstent. La présence posslble d'un gap de Coulomb demeure encore une questlon non déflnltlvement résolue. La varlatlon

en T des facteurs pré-exponentiels dans les équations (11.58

et 61) a été généralement néglIgée dans l'analyse des

résultats expérlmentauxL~3~ Mansfield~~ a montré que pour To»T. ceCI n'affecte pas la puissance s mais donne des valeurs To

plus faibles que celles prévues par la théorie.

L'utilIsation des expreSSIons complètes pour la conductivité apparait donc nécessaIre. De plus. quand To est voisin de ou

InférIeur à T. les facteurs pré-exponentIels des équations

(11.58 et 61) domInent la dépendance en T de ~. Dans ce dernIer cas. s ne peut être détermInée d'une façon précise même SI l'on tIent compte de ces préfacteurs. CeCI invalIde une partIe des résultats expérImentaux dIsponIbles dans la

littérature.

Des mesures préCIses reliées à la conductIon par sauts dans les semIconducteurs de type p sont relatIvement rares.

Les premIers travaux de Fritzsche et Lark-Horow1tz3l,32sur le Ge de type p ont mIS en éVIdence la conductIon par sauts entr~ plus proches VOISIns. Dans le même matériau. Shllrrak et

NIkulln2~ ont trouvé que la conductIvIté de leur échantillon pur obéIt à la 101 de Mott (11.58) alors que celle de leur

échantIllon le plus dopé montre un comportement consistant avec l'équatIon (11.61). Les mesures rapportées par

Kuznetsov et al~g dans le cas de l'lnP dopé au Mn. sur la conductIon d'impuretés. sont en excellent accord avec

l'équation (11.58) et les valeurs de T₃ obtenues sont très proches des prédictions théoriques. De plus. la loi de Mott est vérIfiée de 4 à 39 K avec T_D »T et une varIation de ~ de

sept décades. Les valeurs de T_o extraites sont aussi en excellent accord avec la théorIe de Mott.

Une des caractéristiques Importantes des mesures présentées par FrItzsche~1 sur le Ge est la tendance à la

formatIon d'un plat~au dans la conductivité de certaIns échantIllons en fonction de la température (fIg.II-2-2), Ceci apparait dans la gamme de T comprIse entre la

conduction par sauts entre plus proches VOISIns ~t

l'excItation des trous à la bande de valence. Ce phénomène a été attrIbué. sans modèle quantItatIf, à la saturatIon d~ la conductlon par sauts. Il est étudIé en detall au chapItre IV.

CHAPITRE III

ANALYSE DES RESULTATS A HAUTE TEMPERATURE