Simulation temporelle des ondes longues atmosphériques

_.1.

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1

1 1

1

,

1

Simulation Temporelle des Ondes Lo,nguc's Atmosphtriq~es

par

Jean-Guy Drsmarais

\.

Thèse soumise à la "Faculty'of Graduate Studies and Research" comme partie des exigences requises Jour l!obtention de la maîtrise ès Sciences. " li Département de Météorologie ". Université McGi11 Montréal, Québec. 1978 Mai 1977

,1

, , ( ! .

/

" " " , J

1 •

,.

-RESUME

•

Un modèle linéarisé sur un plan

's

appliqué aux

latitu-de~

_..,

moyennes est utilisé pour

E~udier

certaines

erre~rs

dues

à

,un manque de

ré~olution

verticale. Des perturbations quasi-géos-trophiques et soumises

à

un refroidissement newton-ien sont

super-(.1 1

posées, ~\ un Etat de base 'sans ~radient thermique vertical aya~t

un certain profilide vents zonaux. L'erreur de prévision rés~l­

tant d'une simulation inexacte des ondes

Planét~ires

induites par la t~pogTaphie sera examinée.

évaluée en

, L-'influence des saisons sur l" err~r de, prévision est

1. '

employant des profils verticaux du vent de base'repré-sentatifs 4e chaque saison, sauf l'Eté. - 1

1

\..

,\ - - '

En génêral, les résultats Jndiquent qu'une résolution verticale insuffisante te~d, pour une pré,visio'n à brève Ech'éance" à faire rétrogresser les ondes Planétaires\forcées. Cette

_.

rétro~'

f

gression est due

à

la prépondérance d'un mode exter~e; cependant, pour des privisions

~

plus

lo~gue éch~anceJ

certains modes inter-nels deviennent beaucoup plus significatifs d~ns l'erreur de prévi-sibn que lè mode exterrte.

i

o

- ' r

l '

,

.

• -<

ÀBSTRACT

In ihis study, a linearized middle l~titude B-plane. 1

-used to examine s'opte errors

d~~

__

t~_,1~n" ins~~1i~ienf

v,er-tical resolution. Quasi-geostroph~c perturbations ~~bject to newtonian cooling are superimposed upon a vertically isothermal ba'?ic state having a realfstic zonal wind prof'ile. The fo\recast

.1

,

error resul ting frorn' a poor model,ing of topographically f'Orced plaI'tletary wave will be 'stud,ied.

influences on the ; . "(' r 1

.

{, / ' fore(tast

~or

1 wil) be eva -luated

se~sona\l

by.using vertical wind profiles ~epre~entative of each

Generaliy, results show

;

r

(

that àn insufficient vertical _r resolution leads, for a short-term forecast, ta a retrogression

~ ,

of forced planetary waves caused by an extèrnal mode; howe~er,

• • 1

-~

for longer term forécasts, sorne ~ternal modes become far more significan't "in the error behaviéur than th.e e~ternal mode.

'" / ' ~ \ I~ 1 1

l

1

.

1

!

/ { i i i / 0 . ' 0 o

" --r

1-,

.

1

,1\ -

.

REMERCIEMENTS

Je voudrai~ exprimer ma profonde reconnaissance au Dr . . Jacques Derome pour m'avoir suggéré le sujet de cette étude et

pour les\ innombrables CQns&u's et suggest j ons

~

m,: ont permis mener

a

bien ce projet. 1 ) ~

de

'!)o ,

Je remercie également M. E. Kirkwood POUti~'~voir permfs d'utiliser ses

sul t'a t s '. a in s i q ri e M.

pro~rammes, ainsi que certainr de ses ré-S. J. Lambert\pour les discussions

cons-\

tructives que hous avons tenues ensemble.

\\

On ne peut pas~er sous silence la contribution de tout

",

le peùple canadie{l, et plus::particul'ièreIllent celle du Service de l'Environnement Atmosphérique canadien ,qui a permis la réali-sakion de ce.pr6jet en

m'oc~royant

un congé d'études tout en me supportant financièrement.

J~ tiens

à

remercier'tout spécialement mon épouse, Claire, qui a dactylograph~é le manuscrit et qui m'a apporté

'1

tout le soutien, les encouragements et le réconfort requis à

la réalisation de ce-proje~.

Il

iv

,.

-1'

".

- <-,1

..

1

•

'"

TABLE DES MATIERES

.

_•

RESUME _ii

ABSTRACT _iii

RE ME R CIE ME NT S _iv

LISTE DES FIGURES vii

LISTE DES TABLEAUX _x

LISTE DES SYMBOLES xi

1

\

CHAPITRE 1 Introduction 1

CHAPITRE 2 _LeJModè1e Î • 13

2.1 Eq ations du Modèle 13

2.2 Formulation

_'.

15

2 ;'3 _{Notion de Structure d'Erreur , 2S}

2.4 _{Présentation Graphique 29}

dHA~ITRE

3 Hiver

.

32

3.1 Hypothèses _". 32

!

j

3.2· Structures Propres ciu Modère a

,

?

6 ni veaux 40'

,

3.3 Etats Statiionnaires 49

3.4 Structures Verticales d'Erreur

de Prévision 49

3.5 Décomposition de

•

r

Erreur en Modes 5S .

17'

,)

CHAPITRE 4 Influence des Saisons 68

'"

<--' 4.1 Printemps '.'

1 1

68 4.1.1 Résolution Verticale et Vitesses

6J

-tie . Phase

4.1. 2 Structures Propres du Modèle a

,

d

6 niveaux 72

4.1. 3 Etat·s Stationnaires 75 .\

4.1. 4 Structure~s Verticales d'Erreur ( .. , , .1

} (

.

\

•

,de ~révision -' 79

4.1. 5 DécompQsition de l'ErreulJ' ,en 1 Modes 83

4.2' Automne 91 • 1

\

4.2.1 Etats Stationnaires t49l

·v

t '

:J

,

" ) 1 i :

l '

,)

( '" 'II' ! i

1

4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 CHAPITRE 5 APPEN~CE A -APPENDI CE ,B

\

. -BIBLIOGRAPHIE

~

1

1

~t~~ctures p~~~res

da'Modêle à

/·6

n 1 V e a tix

Structures Verticales d'Erreur de Prévision

Dêcomposition en Modes de l'Erreur

"

de Prêvision Etê

Conclusion

Signification physique de la contribu-tion de chaque mode à l"erreur totale Instabilité

J~roc1ine

et vitesses

de phase \ vi 9S -102 106 ? 109 113 116 131

•

,a -

"

Figure 2.1' ,j ({

LISTE DES FIGURES'

Rc~résen~ation schématique de

l'atmos-phere en coordonnées de p~ession

Page

17

. 3.1 a) Distribution ver~ica1e des vents zo-naux en hiver, 3.3 3.4

3.5

3.6 3.7 3.8 4.1 ~\ 4.2

bl

Distribution 0erticale ,des coeffici-'cnts de refrlMdissement newtonien,' Modes propres d~ modêle d'hiver i 6 ni-veaux sans refroidissement newtonien Modes propres du modèle d'hiver à 6 ni-veaux avec refroidissement newtonien

33

42 47 Etats stationnaires de la fonction de

cou-rant induite par la topographie

à

101, 21,

Il et 6 niveaux 50

Structures d'erreur de prévision

lu

modê1e à

a) 6 niveaux b) Il niveaux c) 21 niveaux

en hiver 51

d) Erreur après 96 heures avec les modèles

à 6, Il et 21 n ive aux. 56

Décomposi~ion en modes de l'erreur tirée du modèle à 6 n~veaux à a) 100 b) 500

c) 800 mb.

Id. 3.6, mais tirée du modèle à Il niveaux Id. 3.6, mais tirée du modèle à 21 niveaux Distribution verticale des vents ~onaux au printemps

Mode; propres du modèle de printemps à 6

niveaux avec refroidissement newtonien

..

1 60 64 65 ' 69 73 4.3 Etats stationnaires de la fonction de

cou-rant indu'i te par la topographie à: 101, 21,

Il et 6 ni veaux.

4.4

4.5

,

Structures d'erreur de prévision du modèle'

à a) 6 niveaux h) Il nfveaux c) 21

ni veaux au pr,intemps. 80

Erreur après 96 heures tirée des modèles

à,6, Il et 21 niveaux. vii 184 -'

ft

\

'~. _,'. ,.

,-1

...

c

,

Il

)

t

1

J

1

e

Figure 4.6 4.7 4'.8

Décomposition en modes de l'erreur tirée du .f modèle à 6 niveaux' à a) 100 b)

S-Oo

Page

c) 800 mb 1 86

Id~ 4.6, mais tirée du modèle à Il niveaux

..

Id. 4.6, mais tirée du modèle à 21 niveaux 88

4.9 Distribution verticale des vents zonaux en

automne 92 4.10 4.11 4.13 4.14 . 4.15 4.16 4.17

"

1 2 3 4

Et~ts s~atiohnairés de la fonction de cou-rant induite par la topographie

à

101, 21, Il et 6 niveaux.

Modes propres du modèle d'automne à 6 ni-veaux avec refroidissement newtonien.

"

Structures d'erreur de prévis{on du modê-le à a) 6 b) Il c) 21 niveaux, en automne

Erreur après 96 heures avec les modèles

à

6, Il et 21 niveaux.

1

Décomposition en modes de l'erreur tirée du modèle à 6 niveaux à ,a) 100 b) 500

c) 800 mb.

93 '

96

101

103 Id. 4'.14,. mais tirée du modèle à ,11 niveaux 104

Id.

4.14,

ma1S ~irée du modèle

àlZ1

niveaux lPS

\

Distribution ver't.:(cale des yents zonaux

en été \....--. 108

Distribution verticall.du

ve~t ~onal

moyen utilisé pour l'étude deJ:instabilité

barocline én hiver . 119

Vite~sesO

de

déPlâè~~t

des modes propres

en fonction du nombre d'onde en hiver

a) 6 niveaux b) Il niveaux 120 Temps de croissance expo~entielle du mode

amplifié .en fonction du nombre d'onde (6,

Il et 21 niveaux) en hiver 124 Id. 3, mais en automne avec les modèles

à

Il et 21 niveaux. 125 viii'

f .

...

1

" !

(

o·

~-

-

..

-Figure 1

)

li 5 6 Page 1 .

Distribution vertical~ des vents zonaux d'é-té utilisée pour l'_étude de l'instabilid'é-té

liaroclinè. ' , 127

Vi telsses . de di§placernent des .modl:(s p~opres en fonctIon du nombre d'onde (6

et"

I l niveaux) -~-1 T ix < 128

.'

"

.

1

Il

1 l"

" - r

(

1

_• f

1

~ J

t

! r

1

~ \ , \ 1

o

-

..

Tableau

\

,

,..-;' 3.1 3.2 3.4 4-: 1 4.2 4. 3 , _, f

LISTE DES" TABLEAUX

Vitesses de phase et temps de crois~ance exp~nentielle des modes propres de

l'at-mosphère libre en hiver (6, 11 et 21 niv.) 37 Vitesses de phase dès modes proprfs avec

li:'

20 m / s e t a::: 0 \ 39

Vitesses de phase et temps de croissan~e exponentielle des modes propres de l'at-mosphère du modèle à 6 niveaux utilisant le profil 'de vent ,d'hiver, avec et sans

refroidissement newt~nien. ₄₁ CoeffIcients de pondération a. du

modè-le à 6 niveaux en hiver J 58 Vitesses de phase et temps de croissance

exponentIelle des modes propres de

l'at-- mosphère libre au printemps (6,11 et 21 niv)70

_..

~o~ ff~ci

ent s de

p~ndé,ra

tioTI\\ a' .. du

modè-. a 6 nI veaux au pnmodè-.-hempsmodè-. Il J 8S

'.

Vitesses ~e phase et temps de croissance exponentielle des modes propres de

l'at-mosphèr~ libre en automne (6, I l et 21 niv) 98

•

!

\

i '

.

-1 1 " , " 1

r

.\

(

\

o

c f g h g 'H k l L .\l

-x Ly

-

, P R t T -u u'

-v' --+

v

x y z Ci 8 , ,

LI,STE DES SYMBOLES

vitesse de phase (cr partie r~elle, ci partie imaginaire) paramètre de Coriolis

I? 0

accélération due à l~ gravité

~

hauteur de la t6pographie _..J' --' haùteur d'échelle de .. 2}atmosphère

nombre d'onde dans ,la direction est-ouest

.

nombre d'onde dans la dlrectton nord-sud longueur d'onde est-ouest

longueur d'onde nord-sud pression

1

constante des gaz ~our 1'air sec

temps r,

température Kel~in

tT,

T~ état fte base, T' perturbation) 1

vent' zonal de -Q'?~~ _~ ____ /

coqposante est-ouest du vent (perturbation) composante ~ord-sud d'u vent (perturbation) composante non-divergente du 'vent horizontal coordonnée pointant vers l'est

coordonnée pqintant ver~ le nord hauteur

coefficient de refroi~issement n~wtonien '

..

4-taux de changement du paramètre de Coriolis par rapport à la distance dans la direction nord-sud

t tourbillon relBtif

ct'

tourbillon de la yerturbation)

e

température poten~ielle

P - d·densité

Cp

état de base, pl perturbation)

xi

l ' -

T.

-

"

~

(

K a <P 1/1

\

~.

w .>.." "

o

,

rapport ~ la constante d~s gaz CR) sur la chaleur SpéCI-fique-de l'air sec

stabilité statique

géopotentiel C~ état' de base, <P' perturbation)

fonction de courant C~ état de base, 1/1' p~rturbation; $ mode propre)

vélocité verticale en coordonnées de pression

\

xii 1. \ ---'~-.. .& , 1 1 •

\

\,

--

\ \

,

~} , " ,1

-

...

, \

-1-CHAPITRE 1

Il est bien ,adnus que les modèles utilisés pour slmuler

.

. . . '

l'atmosphère ne sont pas sans faille; par exempl,e, en ce qui concerne le~ ,dèle,s, de prévision numérique" une lImitatIon à ·la prévlsion doit être envisagée due, paF exemple, à la marge

d'Inexacti~ude

inhérenfe aux champs

ini~iaux,

une

paramétrisati~n

plus ~u moins complète des processus physiques réglssant

l'atmos-,

~ère ou aux app~~~imations numériques utilisées pour solutionner le système ~n u~ temps raisonnable. Chacun des items précédents constltue une source d'erreurs possible du produit final. Il faut bIen se rendre \com~te que toute modifIcation de la formulation

"

numérlque d'un modèle déjà existant doit' être précédée d'u!1e ex.!..

~érimentatiOrî détalllée pour déterminer si cette mOdif,icatlon

. aJDél~q.,e sensilblement 1 les performances du modèle.. Souvent,

ce-l I ; } , ,

pen~ant, il es~ diffIcile d'établir des relations de cause à effet

dû

k>

la non-linéarité 'des équations utilisées ou à la complexité

\

.

du mQd~le lui-même. C'est pourquoi il est préférable d'étudier'

,

d'abord l'importance d'un facteur à l'aide d'un modèle plus simple, quitte ~ utiliser plus tard un modèle plus raffiné.

Un simple regard à une carte de lignes isohypses à n'importe quel ~iveau de pression "ne laisse planer aucun do~te

•

sur la nature ondulatoire de ce champ. On y retrouve, en fait, toute une série d'ondes aux caractérist~ques différentes, tant , .par leur amp1i tude que par l~ur 'longueur

q'

0rdeS. Si on cons

i-, - r

'0

- (1'

-2- '

~

dère l'évolution dans le temps de ce champ, on remarque que

\

certaines déplacent

de ces ondes sont stationnaires alors que d'autres se

à des

vitesse~

dIfférentes et, par ie fait même,

• b

le résultat observé n'est autre que le patron d'ifiterférence, produit par, une superpositIon d'ondes. De plus, certaines de ces ondes se développent alors que d'autres tendent à disparaître,

!

dépendan~ des conditIons synoptiques dans la région de l'onde.,

Il est ,évident qu'une prévision de ce champ devra, pour

\

être exacte, en arrIver à prévoir le déplacement ainsi que le

déve-loppemen~ de chacune dfs ondes consIdérées. Cependant, à chacune

àe_s ondes üorrespond une certaine quantité d' éner gie qui dépend, •

entre àutres, de l'amplitude de l'onde.! Plus grande est l'amp1i-tude, plus grande. aussi est l'énergIe. qui

_.

y est associée.' Si la

'

prévision d'une onde de faiBle amplitude s'avère fausse lorsqu'on la compare

a~ec

le champ

~éel

au temps valide de prévision, il est tout probable que les conséquences de cette prévision inexacte n'auront pas é'té ca tast rophiques, l'énergie impl iquée étant re-lativement faible. Cependant, il en va tout autrement avec une onde de grande amplitude; si unv-modèle

préd~t,

PF

exemple, un dé"-placement rapide et qu'en réalité l'onde bouge à peine, cette

,

erreur peut avoir des conséquences désastreu~es car l'~nergie

considéré~ y est, cette fois, très imp~rtante. Par conséquent, il est prim~rdial ~u:un modèl~ pUi~se prévoir correctement les ondes de grande amplitude.

Dans l'atmosphère, des ondes planétaires peuvent

"

- r

-

...

l-~

~ i , , è

(

1

t

, 1

-3-être induites soit par la topographie (comme les Rocheuses), soit par des ekfets diabatiques de chauffage ou de refroidisse-ment. Ces ondes induites peuvent se propager jusque dans les tras hautes couches de l'atmosphêre. Elles sont des ondes de

grande amplitude et, en plus, leur déplacement horizontal est nul, , car elles sont produites pa~ une source stationnâire: Une

éner-gie~lmportante est donc associée à ces ondes, et il e~t par

conséquent essenti~l qu'un modèle pujsse les simuler correcte-ment. Un modèle qui déplacerait ce type dfoo~des produirait des

interactions entre des ondes plus courtes.ei ces onde)

planéta1-res

totale~e~t irroné~s.

En conséquence, le comportement des

modèles de prévision envers ces gndes fixes doit être sérieu-sement étudié en fonçtion des 'divers paramètres pouvan~ affecter lbs

pe~formances

de ces mêmes modèles.

Par exemple, Charney et Drazin (1961) ainsi que Eliassen et Palm é196l) ont conclu

qU'~

des perturbations adia-batiqyes de faible amplitude superposées à un cour~nt de base constan t peuvent\ propager de, l'énergie dans la verticale

seule-\ 1

ment si le vent zonal est d'ouest relativement à la vitesse de phase; et inférieur ,à une vitesse critique. Autrement dit, il y a propagation verticale d'énergie seulement si O<u-c<u

é, où

U

est le vent zonal, c est la vitesse de phase et u est une vites-. c

se critique. L'inclusion du cisaillement vertical dans le vent zonal permet le~ échanges

l'état de base co~e, par

d'înergie entre la'perturbation es_ exemple, le développemen.t d'une

per-I turbation par le processus d'instabilité barocline.

, - r

- '1'

.1

.'

,

(:

:-1 1 ~ ; , l' , , "

"

, ~ " ), /

o

1

-4-Llndzen et autres (1968) ont étudié, de leur côté, les Implications d'un toit rigide dans u~ modèle numérique sou-mis

à,diffé~entes

contraintes. La condition à la limite

supé-~ieure dp/dt=O à une hauteur finie a été

_..

impo~ée dans un modèle

l inéa ire à d'i ffé re'nces fin i es d'ose i 11a t ions lIbres et f,orcées, superposées à un état de base isotherme èt non visqueux. En com-parant les résultats à ceux obtenus

à

l'aide d'un modèle sans toit rigide, ils ont trouvé que ~es réflexions fausses dues à

\

la condition à la limite contribuaient à 'une rep~ésentation

1

inadé~uate des structures d'~ndes. 1

1 1

Il

e~t

bien connu que des ondes

plané~aires

peuvent

-être induites par la topographie des surfaces terrestres et

éga-l'

!

lement par chauffage ou refroidissement diabatique dans la basse j

troposphère. De plus, ces 0rdes peuvent se propager ]u$que dans la stratosphère ou même plu~ hatit et y être amorties\~ar dis-sipation, ou bien être réfléchies par une couche de vents d'est

r ... 1 ' - "

.pu de forts vents d'ouest. Ce"pendant, .cés ondes" fOorcées peuvent

1 •

être incorrectement simulées dans un modèle à f~ible résolution, !

car un tel modèle implique un ensemble de données qui peut être

,

,

très peu représenta,tif de ;t'l' atmosphè,re réelle. Par exemple, un modèle à 3 niveaux sera absolu~~ in~ensi~le à un cou!ant jet stratosphérique pour la simpl~ raison que ce mod~le n'au~a aucun

,

niveau dans')la stratosph~re (~conditîon, bien entendu, que ce soit un modèle en coordonnées de pr>ession

à

espacement vertical constant).

1

donner qbe

Dû

à

-ce manque 0 d'

informat~\ons,

le

m~d~~.r

des'structures ~ui seront peut-être très

/

, \

ne pourra loin de

1

..

/

/

/

t,t,

o

-5-la réalité.

1

De plusa, le problème de la résolution verticale est ,_

-intimement lié à celui de la condition à la limite supérieure condition

w=o

à p~o

(d~/dt=O à p=O). Dans l'atmosph~re,~ la

est

san~ slgnif~cation

Ph/siqUe parce qu'ute

perturb~tion

se

propageant vers le haut ne pe~t jamais atLeindre le niveau z=

00;

cependant, dans un modèle à différences finies, les ondes peu-vent attelndre la 1imit1 supérieure et être réfléchies ve~s le bas, altérant ainsi sensiblement la structure des ondes dans la 'tr,qposphère. Même si la limite supérieure est placée à 'p=O, les ondesupropagées verticalement peuvent, en un temps fini,

a~tein-dre le niveau supéri~ur et dONner lieu à une réflexion qui n'est

.

'"

pas conforme aux observations. Kirkwood (1976), par exempl~, a montré que ~ 'condition dp/dt=O à p=o dans un modèle à dif-férences

.finies~

en p se tT.dui t n+ériquement

pt

ùn

t~it

,rigide 'non pas à p=O, mais à un nivéau. inférieur. 1 Cette réflexion

non-conforme à la réalité interfère donc avec les ondes présentes à

un niv-eau inférieur, et peut détruire la structure verticale réelle de l'onde. l'

)

" Kirkwood (1976) a util~sé des profils de vents de base

zonaux réalistes, typiques de chacune des saisons, pour étudier les effets d~ la réso~uti~n verticale sur la simulation des

1 0 '

~ondes stationnaires forcées par la topographie. Afin de cal:"

,

culer la structure de' l'onde zonal e numéro 1', il a ut 3.. 1 isé un système stationnaire quas,i-géostrophique et linéarisé sur ûn

\) \ Cè j ' L&Ga

f

1 1

\

1

1

\l

(

..

-6-plan 13 aux lati~ud~s moyennes, tout en posant comme condition à la limite supérIeurb w=dp/dt=O à p=O. En l'absence de pro.ces~sus

d'intcr-, .'

action non-linéaires, les pr6cessug'dissipatifs dans l'atmosph~-re ont été paramétrisés à l'aitle du rèfroidissement newtonien (Dick-_inson 1969, M~tsuno 1970, Simmons 1974). Dickin~on -(1969) a montré

que l'inclusion de cette forme d'amortissement radi~tif est de Piu

l ,

d'importance en hiver, mais rédult fortement l'amplitude des ondes planétaires en automne et au printemps. De plus, en ce qui concerne les profIlS de vent qui réfléchfssent ou piègent les ondes forcées se propageant vers le haut, Simmons démontre que le refroidissement

~~ :-r'~~~tonien

est nécessaire pour que l ' onde

cal~u~ée exhi'b-~-J~'les:_pro­

priétés correctes de transport 'de chaleur 'gens ible.

; ',' 1

Les I{~.~ tats, obtenus par Kirkwood démontrent sans

équi-~':i ~.. '"

voque qU'U~~ résolution verticale ins~ffisante peut, mener à des structures d'ondes stationnaires totalement différent~s ~es structu-res véritables. On peut souligner qu'il existe deux phénomènes déter~

1

minant la structure verticale de l'onde stationnaire; le premier est une réflexion de l'onde forcée par une ~ouche de forts vents d'ouest, et

te

phénom~ne

eit

de

p~ime

importance en hiver (il est donc essen-tiel que le modèle ait des niveaux dans cette région). Pour les

sai-, 0 sons ot l'on ne retrouve pas de ces vents f~rts, le phénomène impor-tant est la dissipation dè l'onde. pâ"r refro,;idissjment n'ewtonien

don~

,

-l'inclusion devieni essentielle. De forts coefficients de

ref~oidis-.

.

sement dans la très haute a~sphère o~t pour conséquence d'amortir fortemertt l'amplitude de l'onde au voisinage du sommet du modèle, de ~orte que l'onde réfléchie en est une de faible amp}itude et que

,

son' interférence avec les ondes

à

~n niveau inférieur ne détruit pa$ la structure ·de l'oride stationnaire réelle.

,-- ". ' .. , ' , 1 1 1

..

o

-7-Kirkwood a réalisé que lés solutions statlonnaire~'

obtenues avec le modèle à 101 niveaux dans la verticale corres-pondaient à peu près parfaitement à celles obtenues à l'aide d'un modèle-à 200 niveaux utilisant une condition de radiation à

~~ limite supérieure (donc, ex~luant toute réflexion· au sommet

\ \

du modèle). De plus, la structure calculée

~ar

ce modèle à

ha~te

résolution corresponêiait bien à la structure observée de -l'onde zonale numéro '1 (la seule étudiée) en hiver, d'où on pe\Wit con-clure que l'état stationnaire du modèle à 101 Qiveaux était représentatIf de l'atmosphère réelle.

o '.

,.'

,,'Eh fait', si on considère les structures obtenue's par Kirkwood· en utilisant un profil de vents typiques de l'hiver, on se rend compte que

IfS

ondes stationnaires issues du modèle à 51, 31 et 21 niveaux, subissent des mOdifIcations systématiques, ,quoi-que quantitativem nt faibles, par rapport au modèle'de référence

.

-• ll'Ii

à 101 niveaux. Cependant, la solution des modèles à Il et 6 ni-

_.

,

, ' . . ....

veaux ne ressemble que tres peu a li solution de référence.

\

, \

,f

Même si une réduction de la résolufion verticale implique, à tou-te fin pratique; l'application du t'oit rigide numériqu'e à un niveau de plus en!plus

bas~

ce. factfur

seu~

ne peut expliquer la

ttans i t ion rapide et plutôt brusque e,nt re' les sol ut ions obtenues avec 21 et . . niveaux': ,-Cependant, rédui re la résolution

verti-" '

cale revient à réduire 1a~~auteur du niveau de calcul le plus

~evé; Q~, le pr~fi1 d'hjver comporte un fort courant jet st

ra-"

tosphérique; si la résolution est suffisamment faible, le modèle

'i. ;' i

.\

1

1

!

- 'Ir ,{i!j;

()

, -1 1 -8~

.' , Ignorera l' eXIS tenc-e de ces vent s réfl ecteurs. ,J 1 s! .ensu i t que

~~:ride

forcée ne

;er~

pas

su~etle ~

une réflexion partielle

in-tern\e.

~i-~-'."~rapa'gera

plutôt l'énergie jusqu'au sommet du modèle

••

où e 11 e s e ra' réf 1 é chi e. De plu s , l ' 0 n dei n du i te n' est pîa s ,s u jet t e ~ la même dls::4llpation' dans ~es hauts J.l·iyeaux avec les modèles

,

~ ~aute et ~ faible résolutIon, c~r les coefficients 'de

refroi-il

disse~ent newtonien utilisés sont fonctions de l'altitude. Ces deux raisons ex.pliquent le comportément très différent des ondes obtenues en variant la résolution verticale~

l'

On serait porté ~ croire que cette réflexion au sommet empêche à coup sûr une représentation adéquate de l'onde

~ta-,

tionnaire .. Il n'en va pas toujours ainsi; si le toit rigide effec-'

,/J

tif

correspondan~

4

la résolution verticale utilIsée se sit,ue

1

'aulriiveau de la couche de vents réflecteï~~' la structure issué 1 du modèle pourrait être très acceptable, même si le niveau de '

"

calcul le plu~'~levé se trouve ,ou~ cette couche (ou, si on veUt, même si le modèle en ignore la présence). 'Même si la physique du modèle est incomplète, les résultats quantitatifs montreront probablement peu de différences entre une réflexion due ~ des vènts forts et une réflexion due au sommet du modèle.

•

Nakamura (1~76) est arrivé ~ des conclusions â peu près semblaITles. Le modele employé ~tilisait également l'appro-xima t ion

'~uas

i- géostrophique sur un 1 pl,an

é

appl

i~ué

aux lat i tudes moyennef' Une ~es différences importantes entre les 'modèles de Nakamura et Kirkwood ~~side dans l'utilisation, par le premie~,

"""

•

(

- ". -i \ f I l , l \

"

"

-9-de points -9-de grille inégalement espacés dans la stratosph~re et

"

la troposph~re: la résolution n'est donc pas-la même dans ces deux

couches atmosphériques; elle ne varie cependant pas à l'inté-,rieur d'une même couche.-Essentiellement, cependant, il conclut

qu'une résolution i~suffisante est une des causes d'une struc-ture d'onde erronée, et qu'uné représentation adéquate des ondes

.. 1

planétaIres forcées requiert un certain nombre minimum-de niveaux.

Nous avons vu pourq.uQj. l'état stationnaire obtenu d'un modèle

à

faible résolution peut-être considérablement différent

, • >

de l'état stati~nnaire de l'atmosph~re. Si un~ prévision numé-rIque est faite à l'aide d'un mo~èle à faible résolution, mais

\

utilisant de véritables données résultaht d'observations dans

~ --'

l'atmosPhèiJ]~ qu'arrivera-t-,il? Les ondes planétaires induites

, "

dans les Das-ses -couches de là troposphère d"èvraient demeurer stationnaires, car el1.es sont dues à d~s sou"rces fixes. Si on considère l'atmosphère comme un système énergétique dans lequel

..

une certaine quantit& d'énergie est associée à une onde quel-conque, il est' évident que l'atmosphère réelle sera telle qu'une certaine portion de l'énergi~ totale sera conten~e dans les

-ondes planétaires forcées. Cependant, dans un modèle à faible

~ 1 •

solution, l'état stationnaire sera plus ou moins différent de l'éta't.stattonnaire réel, ,ce qui fait que ~e m~dèle fera une répartition différente de l'énergie disponible. Dû à cette

ré-..

partition différente, l'onde stationnaire dans l'atmosphère ne ré-br

sera pas, en fait, totalement stationnaire dans le modèle: une'

~

partie de l'onde se déplacera,

al:~s

que l'autre partïe

ser~

fixe

et . fofmeta l' ét.at stationnaire du modèle. lPar

co~séquent,

l'état

- J

1

) , , ( - 1 ~

1

r

"'.1.

" - 1

- y

-10-stationnaire réel sera d~compos~en état stationnaire du modè-le à faible~résolution, plus une partie transitoire dont le dé-placement dans le temps constituera une "erreurt l _{de prévision.}

Tout probablement, les véritables modèles utilisés en prévision

(

numérique font face~à ce type de problèmes.

) .

•

Au lieu d'expérimenter sur un m9dèle complexe utilisé de façon opérationnelle, nous avons choisi un modèle prognos-tique plus simple, à savoir un mOdèle quasi-géo5trophique liné-arisé sur un ~lqn 6 appliqué aux latitudes moyennés. Nous se-rons spécialement~préoccupés par l'influence de la résolution verticale sur les structu~es d'erreurs. Ce choix du modèle nous

~mpêche évidem~ent d'utiliser des données réelles observées. Utiliser de telles données initiales ferait apparaître non

seu-lement des erreurs dues à la résolu~ion verticale, mais

égale-i 1

ment des erreurs syst~matiques ,dues à un modèle trop siJ~ple pour simuler l'atmosphère, et ce, peu importe le nombre de niveaux. Cette dérn'ière cause d' er-reur doit 'être éliminée. pou) ce faire, _{, ,} nous utiliserons .simplement comme données initiales la solution stationnaire du modèle à 101 niveaux, et nous considéreron$ cette solution comme l'état stationnaire réel de l"atmosphère.

1

Pour étudier l'erreur de prévision, le s\stème libre dépendant dû temps sera tout d' abor'd ramené à un_ sy,~tème d' équa-tions aux valeurs propres; la' solution de ce systèm~ donnera

\

les valeurs 'propres (vi tes ses de phase) ainsi que les .modes

,

propres de propagation de l'atmosphère libre dans

le

mo~èle:

. JO" .

1

\

1

(

,0

-

..

-

\

'

-11-\

'--' \ p

Si le modèle,~o~porte N niveaux, N vitesses de phase c9~plexes

seront possibles et à chacune sera as-sociée un mo'de piopre dont '1

la structureoverticale sera donnée par une valeur sur chacun des N niveaux.

, ~ \ l "

Par la suite, l'état statibnnaire du 'modèle de réfé-rence (la solution du modèle à 101 niveaux de Kir~wood) est

"

calculée, aInsi que, l'état stationnaire du modéle à faible féso-lution. (modèle de

Ki~N

niveaux~

'.L'état

st~iiOJ1naire r~

l sera alors décomposé en é~at stationnai~e d~ m?d~fe à faible résolution plus une certaine combinaison linéair

_y

des mode& pro-pres du système)libre. Chacun1des.modes

se-dé~l~~e ve~s

l'est Cou vers l'ouest) à la vitesse c , et se développ,e _{. r _ ) ,}

,bu

s' amort i t _" à un taux d'autant plus rapide que la va}eur absolu~ de c· est grande,

, cl ' . \

Cr et Ci étant resp'ectivement les parties réelle èt imaginaire

de la vitesse de pha,se oc. Comme nous le

mont~'er"ons

plus

loin~\

'\

l

,

1 •

c. n,'est rien d'autre qu'un~ mesure dul taux ôe crOIssance ou

" ~l _ '(p

d' amort"is sement du mode cons idéré. L' évol ution, comb inée des modes

transitoi~es constitue l'erreur, puisqu'en réalité les ond~s

sta-•

•

tionnai~es due~

à

la tbpographie doivent demeurer stationnaires, l '

et tout déplacement ~e ces ondes dO à une simulation incorrecte de l'état stationnair~ fausse~a dans un~ certaine mesure la·pr~-vision.

'.

Ce type d'études a également été l '.ob j et d'ès recherches de Nakamura (1976); avec un modèle similaire à celui précédemment

J

li

1

(,n

- r

-(

1 ~ ~ J 1 I.

r

f

l

, 0

o

-

\

-12-dçcrit, cc'dernier dans le temps da s " " . numérique de l'erreuI:. La méthode ma~ricielle possède certains avantages, notamment l'ab-sence d'erreurs de 't Tonca ture dans le temps, écond,mie de temps

~

d'ordinateur, malS' surtout la possibilité de décomposer l'errèur en modes distincts et, par le fait même, l'importance relative

.

."

o "J ... " *'. (j ,

d~s divers modes responsables de la" structure' cl' erreur p,eut être <

détermInée. De plus, le's vitesses de phase tTouvées grâ,ce à la

fprmu1atio~ du modèle rendent possible une étude de l'instabili-té barocline.

Les principales' expériences seront réalisée's en

utili-.\} G , \

sant un prpfH moyen dIe vents zonaux typiq~es de\ l~ lati tude

_consld~Tée, ainsi' que des .coefficients de refroidissyment tirés:, \

ep ~artie, des résultats présent@s par Dic~inson (1969) ~ Les

résolut'ions utiliséeJ dans le modèle

seron~-n\Spectivement

\

Q, Il et 21 ni veaux également répartis entre" la, pressj,on à la surface (ps=lOOO ~bJ et le 'niveau ~=O. La sensibilité des résul-tats au vent de base zonal ser'a étudiée en va~iant les profils

:verti~aux du vent.· o - >

\

" '

\

Co

\

, ; " • Q

..

'1 ,~

,,--

Tl

(.

.

,

•

a

o

- '1' ,J'

-13-\

' ' CHAPITRE 2 LE MODELE 2.1 Equations du Modèle.

'.' Un système quasi-géostrophique sur un plan B a été ) utilISé pour étudier certaines erreurs dues au manque de résolu~

tion verticale"'dans un modèle prognostique simp1e. Les équations.

qua~i-géostrophiques du t~urbillon et de la thermodynamique appli-guées a , un plan 8 prennent la forme

at,;

V·

~ (t,;+ f) :fi> dW - + > dp at (2 .1) , , a aw V·~ a1jJ aw _a~ -at(ap) + - +

tù

ap ap~

\

,.

(2. ?)

où: il

Y

est la partie non-divergente dU_",vent horizontal à

\1

composante~ u et v orienté~s resp~ctivement vers l'est

et le nO,!q.

ii) ~ est le tourbill\n relatif

"'iii) 1jJ est la fonction de courant; on peut la relier au géo-potentiel en utilisant la relation de gêostrophisme

,

iv) f est le tourbillon planétaire;, par les hypothè-ses

:in-, .."..

..

hérentes au modere, f est toujours considéré comme une !

cons,tante f o , 'sauf lorsque différentiée par rapp,ort à

o 0

y./

,

y, où aiors le terme df/dy est posé égal à une constante

B

'.

\

\

(

o

-

...

-\

-14-vi) a est la

s~abi1ité

statique de l'atmosphère=-l! (ln e);

~

tir

a est fonctIon de la pression uniquement.

vii) a est le coefficient de refroidissement newtonien,

égale-\

press

il}fl

UniqUe~rt;

i t sert à

para-d'énergie dues ~u refroidissement ment fonction de la

métriser les pertes

Etat de Base

Afin de simp1ifiér sensiblement les calculs nécessaires " \

à la résolution du mod~le, nous nous devons de faire les

hypo-,

1 <

thèses appropriées, tout en prenant garde de retenir un certain

/

ré~l~~me dans l'expérience

a

effec~uer. Nous supposerons d'abord qu'u/ne perturbation quasi-géostrpphique de fa\ble amplitude est supërpDsêe à un état de base dont la structure thermique est de forme Tb = T(p) T T

D\ (y ,p); T(p) est une température au

n~veau

ase '

de pression p et obtenue en faisant une moyenne globale autour

Il

du 'globe. Dans nOtre modèle, T est considérée comme une "constante, et non

~omme

une 'fonctaon de

~.

T

D est une déviation par rap- \

1 -,

port

a

la 'moyenne , et permet un gradient nord-sud de température. Dans ce cas, la stabilité\statique prend ,la forme.o(p)=oo(ps/p)2,

,\A

OÙ Oo=RKT/p 2 , 00 étant la stabilité statique

à

p = 1000 mb et

: s , s ,

f

étant la température de l'atmosphère de base (T_D n'intervient pas dans l'expression de 0

0 car T+TD~" T). Nous supp~serons également

que le courant moyen varie avec la pres~1on seulem~nt, de sorte que

Ü -u(p)= -d~/ay et

vaO;

ce qui revient à supposer un gradient

de température dans la direction nord-sud uniquement. Substitua~t·

\

Il

. \

\

0,

. . . _ . . - - - " . . . - - - . , '1"

-15-

\

.

'les hypoth~~es ci-haut dans (2.1) et (2.2) et négligeant les

pro-~- duits de perturbations, les êquitions linéaris6es du tou~billon et de la thermodynamique deviennent alors:

1

a

ôljJ'

-atCap- )

B aljJ'= fo aw' +

ax

'âp

du

-dp (2.3) ,

a1jJ'

- Ct--ôp Puisque seules l~s structures verticales nous intér~ssent, nous

(2.4)

allons supposer une dépendance approyriée en x et y pour la fo~c­ tlon de courant et la vélocitê verticale. Si pn définit k com~e

le nombre d'onde selon l'axe x (k=2n/L ) _x et 1 comme le' nombre .d'onde selon l'axe y (l=21T/Ly) , ,on pose.

,

tJ;'(x,y,p,t)= 'V(p,t) e _. ikx cos ly , w' (x,y,p,t)= n(p,t) eikx cos ly

\

...

(2.5a) (2.5b)

C~ qui, apr~s substitution dans (2.3) et (2.4), donne:

2.2 Formulation.

_/

ikl3'l' = fo ôn

rp

ik dü 'l' + Op (2.6) 00 (p Ip) 2r4 = -Ct d'Y ~ s ap (2.7)

Les équations (2.6) et (2.7) constituent le système

à

résoudre. Ces équations seront

'transfor6êe~

de

faç~~ à

compos6r un syst~me d' équa tions algébriques ferm@ sur une maille vertie'ale

, - 1

(

ï

-

"

-16-à N points. Les dérivées verticales seront approximées par des différences finies centrées du deuxième ordre. Un schéma de ~a

1

maille utilisée est représenté ~ la Fig. (2.1): Il va de soit

que t~us les paramètres nécessaires aux calculs devront être

.,..

spécifiés aux pOInts de maille appropriés avant que le système ne puisse être résolu.

L'élimination' de.r~ vélocité verticale du système d'éô

quations et l'emploi des différences finies ep remplacement des

r

u 'dér i vées verticales permettent de subs t i tuer

..

à, C 2.6) et oC 2.7) l'équation suivante: (2.8) et où: ° ( )p'

-

1 { C

) I

P1"!6P l1p (2.9a)

.-rr

P 1 {

(

_)!pT!6P -t

-

ï _(2.9b)

(2.9a) êtant simplement la définition d'une différence finie

\ "

centrée du deuxième ordre et (2.9b), une interpolation verticale du deuxième ordre.

La solution de l'équation (2.8) requie'rtb l'application

des conditions aux limites supérieure et inférteure.

La

condi~ion

à la limi te supérieure w...dp/dt ... û à p=O peut être incorporée di-rectement au système en appliquant l'équation (2.8) au ,niveau j=l;

Ir .:.! :r - .. :::: r .... l

1

î

• i

i

" - r

-

...

(

4

o

j=312 j=2 j=5/2 j=3

\

j=N -17-w=O '1'

---1---,'1'2

II

---_._--

---p=O Niveau de calcul supér'ieur p=6p ~5/2 ---~~--- p=2~p

___________ :2 __________________ _

\\

-~---~:~---~-,

\

w

---..;;.?-'---./----

p=p =10'pO mb {\ \ ;'i; ~'; , \ \ ... ,

F,ig. \2.1 Représentation schéma tique de l'atmosphère avec un modè-le à coordonnées de pression; le vent u eSt,défini su~ les niveaux entiers; cr et a sortt définis sut les niveaux fractiotriâires;

, /~ 6.p'""'1000/N. . V , \

.

,

,

! j i ~

'1

1

".

-18-de plus, dével'oppant le membre -18-de droite -18-de (2.8) à l'aide de

(2.~a) et (~.9~) et, tenant comptf du fait que w(p=O)=O, on

tient aprè~ réarrangement:

0.-p 3/2 ( ~ + i kil 1 + a 3'/2) 1J'2' - {p

3

/2 (

a

+ at

at

+ (llp)2À _{-2 K2("}

a

+ 31;\ 2 fa a _o p2 S lkC R)}'I!l

=

0

\.

41» •

,

ob-(2.10)

Par contre, à la-limite infé,rieu,re (P=Ps) ' on suppo- ,~ sera que la vélocité verticale (en z) est due

exclusiv~me~t

à

u-ne contrainte topographique:

+

+ + ,

w=dz/dt=V ·'Vh 1

s g

où Vs est le vent à ps=IOOO Faisant le développement de w=dz/dt

=

az at ,\ , a _P=Ps mb, et hg dz/dt, on + waz ap (2.1f)

est la hauteur du terrain. obtient + +

lt

= V ·'Vh _{s -} (2.12) g + + '+

où VH°'V'z=O, puisque V_H (composante horizontale du vent total)' est géostrophique. L'utilisation de l'é~u~tion hydrostatique et la linéarisation des fermes donne ~omme condition à la limite

'"

w' _s (2.13)

La

formulation de cette contlainte

exi~e l~ con~aissance

de .;; cette

vale~~

de la fonction de courait sera obtenue simpiement en extrapolant linéairement en coordonnées de pression

à

partir de

,- r

-

..

i ' Ill...

•

"

1

~~ et ~~-l' De PlUS, le terme

oo

_SM est indêpencl~nt du temps~ et reprês~nte la vêlocftê verticAle (en coordonnées

la

~op~graphie.

Encore i\i, nous supposerons une

priée en x et y pour ce ;terme, qui est posé,égal -9 -2-1

la valeur de D a êté fixée à 10 Nm s et ce,

p) induite pur dépendance

appro-'D

ikx

a e cos ly; pour toutes les expériences effectuées. Cependant, il faut bien se rendre compte que.,

dan~

l'atmosphère, il en va tout autremen.tJ car les

pa:p.a-·'~

mètres

i)pliq~és

comme le vent et la densité de l'air varient

"

, d'une saison à 11\' autre. Par conséquent, pour être réal istes, les

-

Il

q

-1 •

résultats obtenus devront être corrigés en tenant compte ,de' ces variations.

Pour incorporer la condit"on à la limite inférieure au modèle, considérons l'é ation (2.3) appliquée au niveau n=N, et

- \ "

substitbQns les dif renc~s finies'aux dérivées verticales:

+ + (00 ' _s - W N' - ï 1) (2.14) Appliquant (2.4) au niveau N-~ pour w', isolant ooN~! et

subs-tituant dans (2.14), on trouve, en uti1i~qnt une dêpendance ,en

"k el

1

cos Iy pour

~':

l

\~

+ UNik + ) dt f_o 2 _{PN '} 2 - } + _ o,N -

l }

'l' N - I

l ' -

r

...

o

-

"

-20-(2.15) ,

où ~s a été remplacé par son extrapolation linéaire de'~N et

\0<

~N-l:

o. Par conséquent, le sysi~me total

A

résoudre est formé des équa-tions (2.10) four ,le nivea~

1;

de (2.8) pour tout niveau diffé-rent de-l et

~,

et de (2.1'5) pour le niveau N; 'afin de rendre (2.8)

JIUS

utilisable. on! peut la

développ~r

et l'appliquer

au niveau j =n (n~l, n""N) 1

1.

if

n

.!

(adt'"

ikUn\-+ a_n+

0

'f _{n+l - {ifn}

+!

(aa

t -+,ikun+l ... an+

0

"

.

+

~

(

a

+ iku \ + a." 1) + (llp)2 À - 2K2

(d

+

iku ) }

P n -

!,

TI \

n\-l n -1

at

n - i k CR ~ n \ 1 ( _Ô + iku' + a. 1

at

n n-ï

\

If'

) n-l

o

(2.Ba)

(2'. Ba)" (2.10) et (2.15) forment un système d'équations dif-férentielles linéaires non-homogènes. La théorie relative

A

ce ,type d'équations est bien connue: si l'on trouve une so~ution

au système non-homogène ainsi qu'une solution au système hOmogèn~,

alors la somme des deux est la solution totale du-système non-homogène.

>

r'

A cause de la forme de l~.~ontraint~ topographique qui est indépendante du temps,~on peut tenter une solution indépen-_, dante'du temps $(p); la substitution da~ les équations t2.l0),

(2.8a) et (2.1\5) 'doinne:

/

1·

₁

1

•

,

(

-

..

\ c " 1

,0

-

2).s

-2 -2 2 - * - 2

À (llp) p. ,(U.+Cl. ,)ijj. l+{-u.K +B

J-ï J J-ï J- J

'.

2 - 2 21 - * 2 - 2 2 - . *.

-À (llp) PJ'-21(uJ'-l+aJ'_21)}~j+ À (Ap) p·.d u

.+

Cl ... ,)ijj. 1 = 0

J .2 J J î Ji' 1 ~ 1 pour j= 2,3, ... N-2, N-l

l

(2.l6b) -f Di

k~p

(2.1qc) * avec Cl=: a/ik.

₁

On peut noter ici que les équations (2.16) forment le système _,

'

résolu par Kirkwood, et la solution rêsu1tante est l'ét~t sta-tionnaire'du modèle à N ~iveaufï

~

\

.

Quant

à

la solution dépendante du temps de l'équation homogène, deux possibilités de solution peuvent être envisagées. 'La première ~st l'utilisation d'un processus d'~ntégration·numé­

rique dans le temps. Cette première possibilité a été abandonnée

_..

au profit de la seconde, ~ui consiste

à

rechercher une solution de type fermé; pour ce

~aire,

le système fjrmé de (2. 8a), (2.10) et (2.15) sera ramené

à

un système d'équations aux valeurs propres dont la résolution donnéra les vitesses~de phase ~t.1es modes

'\)

propres du système libre. Cette méthode possède des ~vantages

j

certains, notamment l'absence d'erreurs de troncature dans le

\

" -- r··

... '- t" -~ ' .. ~ '".... ..

'2:

\:-,\,>,' -

..

-l '

1 1 -

22-temps, économie de temps de calcul ef, comm~nous le verrons plus

. 1 \ f ' •

tard, possibilité de décompo5er'l'erreur en une ~ombinaison de

J

mo'des prop.res. Pdur faire usage ~'une te~le formulation, nou.s nous devons de poser une hypothèse supplémentaire, à savoir que

, f ~ -ikct ,\

la solution dependante du temps est de orme W(p) e , QU

.

c est une vitesse

d,

phase complexe. Substituant dans {2.~a),

tZ.IO) et (2 .. 15), on obtient: , 1 2 -2 2 - - ,.. + (t.p) À K (c-u_l-4:CR) }W l

=

0 (2.l7a) " 2 - * /<, 2, - * 1 2 - *

p. 1 Cc-u.-a.. dw· 1 - {p. , Cc-u. l-a.·~',) +p. , Cc-u. l-a.· ,)

J+2 " J J+2 J+ J+2 J-+ ) ... 2. ']-2 J-

J-2-, 2 - 2 '2 - A 2 -

*

ft

+ (t.p) À K Cc-uj+C_R) }Wj + Pj_! (c-u j -a_{j _!)'Wj_l,} ~:O (2.17b)

j= 2,3, . . . N-2,N-l.

f

En réalité, nous avons quelqu~ peu simplifié l'écriture. Sup-/<, 'k

poser une solution IjJCp)e-1 ct n'est pas t'out

à

fait complet, car il se trouve que plus d'une combinaison de IjJCp) et c satisfont le système ~'équations. Chacun des groupes .(p) et c tr0uvés

satis-,

.

fai t l' équa tion différent ielle 1 inéaire hOIJlogène, et, sion dê,':" note par l'indice "j" _un de ces groupements,

~lors

;; (p) e':' ikcj t

,

.

.

est·une solution particulière. La_solution

,

total~ de l'~quation

.

-

.

" -, r

1 { . 1 ~\ \{~J " .. ..-\ "" -23-N A homogène ~st de forme

I,e.ljJ.

(p)

f=l J J

constantes, et la solution totale alors s'écrire:

-ikc.t ,

e J , ou les a. sont des

J

du système non-homogène peut

1jJ'(xJ,p,t)

=

~(p)

e ' cos ly ikx ₊

~

L. a· ;, ( ) ik (x-c . 'f'J' p e ] t)

j=l J

cos ly (Z.18)

Le système (2.17) peut être transformé en un système

d'équatio~s aUî valeurs propres à c~Îdition de former un ensem-b~e de matrices appropriées. Si on définit les matrices

tri-A

diagonales P et D, ainsi que le vecteur solution ~ de la façon ci-après, on obtient l~ systèmè aux valeurs propres recherché:

b_l -f 0 _IjJl 1 ₍₀₎ -dZ _{b Z} - f _{Z I/JZ} D ₌ ~= {O) -dN- 1 bN- 1 -fN- 1 I/JN-l A 0 -d' _N b_N I/J N où: ,

.

1

il,

• 1 . , j J 1

.

\

\

,

1

\

ï

P=

o

-24-Dans ~e cas de la matrice P, rappelons que seuls les éléments

.

(J,j-l), (j,j) et (j,j+l) sont non-nuls.' Tenant compte de ce fait,

on peut écrire P sous forme simplifiée de la façon suivante:

2 2 -2 Z -P3/Z-(6p) À K , , \ 2 PN- 3/2 ( 1 2 ' Z -2 PN _-2

1'"

O.5fo I1pp _S À ( ( 1

1

o

2 P S/ 2

Dans ce· cas, le systèm~ (2.17) écrit sous forme matricielle lse

..

,

resume a

cPIf· - D'Y

=

0

ou

clf

=

Elf avec (2.19)

Ce systèm

_y

d'équations aux valeurs propres peut être

o

résolu ~umériqueme,nt et donner les valeurs propres (vitesses de phase) elt \ l~s états'",propres du système 1 ibre.

\ .

'

.

.,.

-

\

\ _{1 ....} 1 .\ , , 1 1

\

}

1

\ ' 1

1

~ .:

(

III 1 0

-

..

-1 • j' -/ 'b

-25-Pour fins ae comparaison entre les 'divers états propre~l ch~que vecteur solution a été normalisé de la façon suivante:

" à' chaque vitesse de phase trouvée correspond un mode

.

propre'~ ,

"'-dont les composantes W. forment la solution au niveau de calcul

. J .

" o

"j"; chaque W. est un nombre complexe, et donc de fOFme

J 1

-1jJ.

=

x· + iy .. Le processus de normalisation appliqué au vecteur

J J J \ , ) . \

solution. fai t en sorte que le module du vectetH devient uni tai re, et ce, pour ch)icUy des modes; autrement dit, 1jJ.= ex.,

y.)

est

~ J ] J \

.

remplacé 'par

où

2.3 NOtion. de Structure d'Erreur

Kirkwood (1976) a démontré que, dans le cas des ondes planétaires forcées, la structure vertic~le de l'onde stationnai~ re dépendait très fortement de la résolution verticale utIlisée. Si une prévision est faite à l'aide d'un modèle à faibl~

résolu-tion, mais utilisant 'lesdonnées de la solution de, référence .comme données à t=û, que se passéra-t-il?~Puisque les ondes planétaires d'origine top.ographique' sont stationna ires, elles' devraient

éga-o

lement le demeurer dans le-mod~le; cependant, puisque l'état' stationnaire de _- r~férence est différent de

_.

lt~tat stationnaire du mJdêle à fàible résolution, il est possible

q~~

des ondes se

,

1

1. '\ -

T

o /) c '

\

\#~ " , \ \

()

-26-" '

déplacent, ce qui n'est pas conforme\ à la réalité. Ce faux dé-placement constituera l'erreur de la prévision. . '

Poyr étudier ce problème spécifique, nous avons tout

r

d'abord~solutlonné le modèle statiorinaire-de Kirkwood à' ha~te et à faible résolution. Le modèle à 101 niveaux (haute

résolutio~)

prodUIsait une solution statl~nnaire cortesPo~dant_bi~n à la structure ~éelle. On peut dès lors considérer cette solution

, 0

stationnair~ de r~fére~ce comme la somme d'une solution non-homo-"gène (obtenue pa~ le mod~}e stationnaire de faible résolution à

\

\ ,

N niveaux) et d'une solution homogène formée par une combinaison

..

'linéaire des états propres du système dépendant du nemps. Puisqua seules les structures verticales no~s intéfessent, nous ne con-sidérerons pas la dépendance horizontale de la solution; l'équa-tion (2.18) a un , niveau "p" au ,temps t=O s'écrit donc:

0

N D

tJi' (p) = iJ!(p)

₊

I

a.\jJ.(p) ~,.

t2.2~\~

. 1 J J où: J= ~ 0

tJi' est la solution stati,onnaire de référence produite par modèle a

,

101 ni veaux.

iJ! e-st la solution du. modèle stationnaire a , N

.

ni veaux. a. sont ~es coefficients de pondération des états propres;

J

jusqu'à maintenant, ce sont de~ inconnues qu'il nous

1

faudra déterminer.

1"

tJi·

J sont les états propres du système

'-" f:r

\\

.

" r

°r.~t

le ~

J

f

! /1

r

(

~ 'lJ

..

;-~ ~ '\ \

J

-27- ... ~W· 0' ~

Si le systeme est , appliqué

à_

chaque niveau, _{on 'peut alors écrire} "-j

,

(2.20) sous la forme matricielle:

-Z = BA \(Z.21) \

,

ou '0 ). '" A. ljJ'

-

i1J 1 ljJ1l ljJ21 I/J_{Nl ·} al 1 A ljJ'

-

_{i1J2 ~ 1/J} 12 I/JZ2 l/f_{NZ a 2 ,} 2

\

z=

B= A,

"

.

:... r- A ljJ'

-

i1J

N

1/J1N ljJZN ·I/JNN aN N ~

.

\

\

et où la riota,tion ljJ •• signifie simplement- l'état propre "j" J1

au ni veau de pres sion :'i". De cettè équation, on peut t i r.er 1 es coefficients a. qui, jusqu'à un certain point, sont une mesure,

J

de l'importance relative de chacun des modes; multipliant (2.21) à gauche Ea~ l'inverse de'B)'on obtient comme matrice-des

coef-~

ficients a.:

J

(2.22)

Il a été vu précédemment que la 'soluti~n stationnaire \

\

o de référence pouvait ê~e décomposée en un état stationnaire d'un J'

.

modèle à faible résolution, plus une partie transitoire. Ce~te

dernière est formée d'une combinaison linéaire de modes propres,

o ~

chacun évoluant selon sa vitesse de phase c.; puisque l'onde

. ' J '

stationnaire induite par topographie est fixe, tout déplacement

.

\

-\

,

1\ -

r \

\

\

o

\' - 28-

_.

_\

, \

d'ondes constituera une erreur produite par le modèle; l'évolu-tioD de cette partie transitoire fOFmcr~ l'err9ur dé la

prévi-\

-sion, et la cause de cette\erreut est due exclusivement à\ une' simulation incorrecte d'une onde planétaire forcée par un modèle utilisant une trop faible résoluLion verticale. I l est évident que l'erreur sera une fonction du temps, ainsi que d~ niveau de

pres-, "

s i.pn con s idé ré .

D'une façon plus simple, on peut définir l'erreur de

\prévis~ion

'ER

p,ar ,la différence des champs prévus par les modèles

à haute et à faible résolutions, à'un temps "t" quelconque.

OublIant l~ dépendance en, y, on obtient, en utilisant l'équation,

(2.18): \

\

\

ER(x.jp,t) ;;: 1jJ' (x,P,t)faible - 1/J'(x,P,t)haute

Cons idérant que, 1 a prévis ion ~ haute ré s'ol ution es t

indépen-dante du temps '(par 2.18 'et 2.20), et utilisant (2.18) pOfr

déve-J (.

lapper ·le,s deux termes

impli~u~s

dans'

ER:t~p,t),

on

ob~ierit~

ER (x, p, t). =

~

a.

~.

Cp) 'ieik (x-C'j t) 1 j=l J J t

~

A ik(x-c.t) 1 l. a.1/J.(p).e J

t-o

1=1 J J '

-~

/ A i k (x - c .·t) 1

=

"1. a . ljJ • Cp) e J t -j =1 _{, ,} J J

!

a.tIJ.èp) e· ikx (2.23) j=l ],,] o

Evidemment, l'erreur ?e prévis ion est _ nul\e au temps ini tiaL On peut également remaTquer qu~ plus 1/JJ e~ ~ sont semblables •. plus

l '

l'erreur sera !petite; ~ la limite, si tIJ'= ~ ( ce qui est le cas pour le modèle à 101 niveaux), on obt~ent alprs que tous le~

aj

dans (2.20) sont nuls, et la prévision sera une prévision parfaite,

\ \ \

\

1 ()

-

,

~ _, " t: ,l

(

,1

\,

-

..

-- -

29-\

Q

~n tout temps (l'erreur

ER

sera identiquement nulle).

---

---2.4 Présentation Graphique

x,:,y et p

, 1 On a ~J:l que le'S modes propres. ont une dépendance ~\n

· ' , , , A ikx A , .

de forme ~(p)e cos ly, où ~ est une fonction complexe.

L' u~l1isation des nombres. complexes simplifiait sensiblement l'écn-tUFe des équations,

mal~

il- faut bien se

rapJe1e~

que seule la

~parJle

réelle de la solution' a une signification physique, et elle seule sera utilisée. Ignorant la

~éPend}nc~

en y, on obtient

\

pour Ja fo~ction de courant:

=

1

~

(p) 1· cos (kx-8 (pD) .

~,

6ù

A A 1 1 ~ (p) 1 :: {{ Re (~( Ii)}2

+

A 1 {Im(~Cp)f }2 et

e

Cp) Q (2.?4)

\

_ tan- l

-ImC~(p))

Re (~Cp))

La

position de la ctê~e est déterminée ~ar la relati~n kx= 8 (p), et de / dp pos ~ ti~f"Ï.mpl ~que une pente vers l 'ouest, lors-que l'on considère la st~geture

à

partir du sol. Ces structures calculées 'aux points de maille o~t été interpolées aux niveau~

de pressio~ intermédiaires,"et sont ~résentées ~~us forme de courbes liss~s d'amplitude et de phase. Ces courbes s'étendent

,'pu ni ve~u de calcul le plus élevé au "niveau le ~lus bas, 'mais la ,1

, \

coordonn',ée "verticala z (au lieu de p) a été utilisée. La

trans-, e i ~

format ion de l'un à 1" autre se 0 fait par la rela tiol'l, z= -H ln

CP

/ps)