Modèle scalaire des ondes lumineuses
Objectifs: Décrire et savoir utiliser la notion de vibration scalaire.
Interpréter les conditions d’interférences.
Table des matières
I Les sources lumineuse, modèle d’émission 2
I.1 Les différentes sources et leurs spectres . . . 2
I.2 Modèle du train d’onde . . . 3
I.3 Modèle de la vibration scalaire . . . 6
II Propagation de la vibration lumineuse 7 II.1 Retard de phase dû à la propagation . . . 7
II.2 Onde sphérique et onde plane . . . 9
II.2.a Onde sphérique . . . 9
II.2.b Onde plane . . . 10
II.3 Théorème de Malus, effet des lentilles minces . . . 11
II.4 Chemin optique . . . 13
III Superposition et observation d’ondes lumineuses 16 III.1 Récepteur de lumière . . . 16
III.2 Superposition d’ondes incohérentes . . . 17
III.3 Superposition d’ondes cohérentes . . . 17
I Les sources lumineuse, modèle d’émission
I.1 Les différentes sources et leurs spectres
L’émission de lumière visible tire son origine des transitions d’électrons entre les différents niveaux d’énergie au sein des atomes. En fonction de la façon dont ces atomes ont été excités on peut distinguer plusieurs sources lumineuses facilement discernable par leursspectre.
Ces spectres peuvent-être obtenus grâce à un système optique constitué d’un prisme par exemple.
Sources spectrales :
Unelampe spectraleest constituée d’une ampoule contenant un gaz monoatomique : lampe à vapeur de mercure, lampe à vapeur de sodium par exemple. Une décharge électrique permet d’exciter les atomes présent
dans l’ampoule. Lors de cette excitation les électrons vont changer d’orbitales atomiques, des couches les plus basses vers les plus hautes en énergie.
Un atome excité n’est pas stable, il va donc spontanément se désexcité. Les électrons vont retourner dans leur niveau d’énergie initial. Lors de cette désexcitation les électrons "cascadent" de couche en couche en émettant des photons de fréquence :
ν= ∆E h
avec ∆E la différence d’énergie entre les niveaux occupés par un électron.
Propriété:
Le spectre d’une telle source est appelé : spectre de raies. On observe une nombre finie de raies lumineuses de longueur d’onde dans le videλ0= c
ν. Ces raies ne sont pas infiniment fines mais possède un élargissement spectrale ∆λou ∆ν appelélargeur de raie.
Sources de lumière blanche :
Le filament d’une ampoule traversé par un courant électrique va voir sa température augmentée (effet Joule). Le filament peut- être considéré comme un corps noir qui suit la loi de Wien : λmax.T = 2,898.10−3K.m
il émet une lumière dont lespectre est continue:lumière blanche, mais dont la longueur d’onde d’intensité maximale est donnée par la loi du déplacement de Wien. C’est le cas pour la lumière émise par le Soleil et les autres étoiles par exemple.
Il faut connaitre les ordres de grandeurs des limites de ce spectre, ainsi quelques ordres de grandeur pour une partie des "couleurs" :
λ0( nm) <400 450 500 550 590 630 >750
ν(1014.Hz) >7,5 7 6 5,5 5,1 4,8 <4 Couleur ultra violet violet bleu vert jaune orangé rouge infra rouge
Source LASER :
Un LASER permet l’émission d’une raie de lumière unique, beaucoup plus fine que les raies d’une lampe spectrale. Le principe est toujours celui de l’émission de lumière par les atomes, mais le processus est une émission stimulée de ces derniers. C’est ce qui permet d’obtenir un faisceau lumineux unidirectionnel. Les atomes émetteurs sont placés dans une cavité optique résonnante ce qui permet l’émission d’une unique longueur d’onde.
I.2 Modèle du train d’onde
Les atomes constituant la matière ne peuvent pas émettre de la lumière de façon
continue et permanente. On comprend qu’une fois qu’un atome est désexcité il n’émet plus de lumière. Il n’aura alors émis une onde que le temps de la transition des électrons des orbitales atomiques de haute énergie vers les orbitales de basse énergie.
L’onde émise de fréquenceν =∆E
h débute à une datet0 et finie à une date ultérieurt0+τc.
De plus on sait aussi que la lumière est émise par quantum d’énergie appelé photon. On adopte alors un modèle d’émission appelémodèle du paquet d’ondes.
Propriété:
Les atomes émettent la lumière sous forme de paquet d’onde suc- cessifs. Ce modèle est cohérent avec la fait que les atomes ne peuvent émettre une onde de façon permanente.
Ils émettent alors une succession de paquets d’onde, tous d’amplitude maximum différente, et de façonaléatoire. C’est à dire que la durée entre l’émission deux paquets d’onde est aléatoire.
Afin de simplifier les raisonnements et sans enlever de généralités on adoptera dans la suite du cours le modèle appelémodèle du train d’onde. On retiendra alors que la lumière est émise par trains d’onde successifs. L’amplitude d’un train d’onde est constante sur toute la durée du train d’onde et on peut repérer de façon plus nette le début et la fin d’un train d’onde.
Propriété:
On considèrera que les atomes émettent la lumière sous forme detrain d’onde. Un atome va subir un très grand nombre d’excitation et de désexcitation successives. Alors chaque atome émet une succession de trains d’onde d’amplitude identique, la durée entre l’émission de deux trains d’onde est aléatoire et leur phase à l’origine est également aléa- toire. On notelc leur longueur etτc leur durée.
M
r lc
Comme l’émission lumineuse se propage sous forme d’onde, alors il y adouble périodicité. La représentation temporelle est équivalente à la représentation spa- tiale de l’onde.
Imaginons qu’on place sur le chemin d’un train d’onde, en un pointM, un détec- teur capable de mesurer les oscillations lumineuses. On trace ensuite l’amplitude mesurée par le détecteur au pointM en fonction du temps.
Notons t0 la date à laquelle le train d’onde arrive au pointM, alors il quitte le point M à la datet0+lc
c avec c la vitesse de propagation du train d’onde.
Amplitude
temps Amplitude
distance M
lc
Définition:
On appelletemps de cohérencenotéτc la durée d’un train d’onde.
On appelle longueur de cohérencenotéelc, la longueur spatiale d’un train d’onde. Alors on a la relation :
lc= c τc
Dans le modèle des trains d’onde on remarque
alors qu’on peut considérer une onde progres-
sive de durée limité à τc ou de longueur
lc.
Propagation_paquet.py
De façon générale nous avons vu en électrocinétique une relation simple entre la forme d’une onde et son spectre. Il suffit de calculer la transformée de Fourier du signal. Mais auparavant nous devons revoir un certains nombres de considérations.
Le spectre en fréquence d’une onde purement sinusoïdale est une harmonique unique à la fréquence de l’onde. En terme op- tique il s’agit d’une unique raie de fréquence ν et de largeur spectrale ∆ν = 0, c’est à dire que cette raie est infiniment fine.
Il est alors légitime de se demander quel est le spectre d’un train d’onde ? On procède de la même façon, il faut calculer la transformée de Fourier d’un train d’onde.
T
On remarque une relation forte entre le temps de cohérence des trains d’onde et la largeur ∆ν spectrale du spectre. On peut en dé- duire plusieurs conclusions :
i-Plus un train d’onde est long, ou dure longtemps, plus le spectre de la source est une raie fine de largeur ∆ν faible, centrée surν0= 1
T avecT période de l’onde lumineuse.
ii-Un spectre parfaitement monochromatique n’existe pas. En effet même pour un LASER l’onde émise n’est pas une fonction harmonique mais un train d’onde.
Cependant ce train d’onde possède une longueur plus grande qu’une source de lumière blanche dont le spectre est plus étendu en fréquence :
∆νLASER<<∆νlumière blanche
Propriété:
La lumière est émise par train d’onde de durée limite, appeléetemps de cohérenceet notéτc. Plus le temps de cohérence est long plus le spectre de la source est étroit. On admet la relation suivante :
∆ν.τc = 1
Comme il existe une relation entre longueur d’onde et fréquence d’une onde on peut déterminer une relation simi- laire entreτc et ∆λ.
Considérons une raie de fréquenceν0et de largeur ∆νtelle que ∆ν ν0. Alorsνmax=ν0+∆ν
2 etνmin=ν0−∆ν 2 . Ainsi :
λmax= c νmin
λmin= c νmax
En calculant séparément chacune de ces longueurs d’onde :λmax= c ν0−∆ν
2
= c
ν0.
1− ∆ν 2.ν0
. Un développement limité à l’ordre 1 en ∆ν
ν0
donne :
λmax= c ν0
1 + ∆ν
2ν0
De façon similaire on trouve :λmin= c ν0
1−∆ν
2ν0
, soit finalement :
∆λ= c∆ν ν02
Or on sait que : ∆ν = 1 τc
et donc : ∆λ= c ν02.τc
finalement :
τc = λ20 c∆λ
Propriété:
Il existe une relation entre la largeur spectrale en longueur d’onde ∆λ et le temps de cohérence d’une source lumineuse :
τc = λ20 c∆λ
Plus une raie est "fine" ∆λpetit, plus son temps de cohérence est long.
On retiendra les ordres de grandeurs suivant :
Source λ0m(nm) ∆λ(nm) ∆ν (Hz) τc (s) Lc
Lumière blanche 575 350 3.1014 3.10−15 0,9µm
lampe à mercure 546,1 1,0 1.1012 10−12 0,3mm lampe étalon auKr86 605 1,2.10−3 109 10−9 30cm
laser He-Ne stabilité 632,8 10−6 7,5.105 1,3.10−6 400m Remarque :
Le modèle du train d’onde est un modèle très simplifié d’émission de l’onde lumineuse. Il permet d’interpréter grâce à un modèle unique les trois types de spectre décrit plus haut, avec des trains d’onde de plus ou moins longue longueur de cohérence.
I.3 Modèle de la vibration scalaire
La lumière est une onde électromagnétique décrite par un champ−→
E(M, t),−→ B(M, t)
, c’est donc un champ vecto- riel dont les propriétés peuvent être déduites des équations de Maxwell. Notamment les lois de Snell-Descartes etc...
La direction du champ électrique −→
E(M, t) est appeléedirection de polarisation oupolarisation de l’onde, c’est une caractéristique que nous étudierons dans le cours sur la propagation des ondes électromagnétiques.
La description des phénomènes optiques à partir des équations de Maxwell peut devenir très complexe, c’est pour cela que nous faisonsl’approximation de la grandeur scalaire.
Définition:
On appelle vibration lumineuse la grandeur notée s(M, t) champ scalaire proportionnel aux composantes du champ électrique (projection du champ électrique dans une direction), permettant de décrire la propagation de l’onde lumineuse dans le cadre del’approximation de la grandeur scalaire. C’est une onde dont l’amplitude est en V.m−1.
Remarques :
i-La vibration lumineuse, ou vibration scalaire, hérite ses caractéristiques du champ électrique−→
E(M, t). On peut lui appliquer le théorème de superposition. Pour deux sources lumineuses S1 et S2, émettant les vibrationss1(M, t) et s2(M, t), l’onde résultante enM est : s(M, t) =s1(M, t) +s2(M, t).
ii-Cette grandeur vibrante respecte aussi l’équation de propagation de d’Alembert :
∆s(M, t)− 1 v2
∂2s
∂t2(M, t) = 0
S
Propriété:
La vibration lumineuse se propage dans un milieu homogène, isotrope, linéaire et transparent le long des rayons lumineux, à la vitessev= c
n avecnl’indice de réfraction du milieu. Dans le cas d’une vibration lumineusemonochromatique elle s’exprime en un pointM de l’espace :
s(M, t) =s0(M) cos (ω.t−ϕ(M)) avecϕ(M) la phase spatiale de la vibration lumineuse.
Remarques :
i- Comme les équations décrivant l’évolution de la vibration lumineuse sont li- néaires, on peut utiliser une notation complexe pour modéliser cette vibration. On exprime alors :
s(M, t) =s0(M)ej(ω.t−ϕ(M))=s0(M).ejω.t alors :s0(M) =s0(M)ejϕ(M)).
ii-Comme cette vibration se propage le long des rayons lumineux, il faut savoir utiliser les propriétés de construction des rayons lumineux en optique géométrique pour représenter la propagation de l’onde lumineuse.
Dans toute la suite nous travaillerons avec cette grandeur vibrante sans rappeler que la lumière se propage sous forme de train d’onde. Il faut bien garder cette considération à l’esprit. L’expression que nous donnerons de la grandeur vibrante se faisant pendant un temps de cohérence avec une phase à l’origine aléatoire.
Définition:
On appellerayon lumineuxles lignes de champ du vecteur de Poynting−→
R. Un rayon lumineux représente alors la direction et le sens de la propagation de la puissance surfacique rayonnée par une source lumineuse.
II Propagation de la vibration lumineuse
II.1 Retard de phase dû à la propagation
Définition:
On appelle milieu :linéaire, homogène, isotrope et transparent(LHIT) un milieu pour lequel : i-l’indice de réfraction nest indépendant de l’amplitude lumineusemilieu linéaire;
ii-l’indice de réfraction est le même en tout point du milieu : milieu homogène;
iii-l’indice de réfraction est identique quel que soit l’angle d’incidence :milieu isotrope; iv-l’indice de réfraction est un réel pur :milieu transparent.
Considérons une onde lumineuse se propageant dans un milieu LHIT d’indice optiquenle long d’un rayon lumineux issu d’une sourceS.
S
M
N Cette onde se propage alors à la vitessev = c
n, avec c la célérité de la lumière dans le vide. On adopte le modèle de la vibration scalaire. En un pointM du rayon lumineux on peut donc décrire cette onde par la fonction :
s(M, t) =s0(M) cos (ω.t−ϕ(M))
On cherche à exprimer la phase spatiale ϕ(N) en un point N du même rayon lumineux, qui sera atteint par la vibration à une date ultérieure notéetM N. L’onde se trouve en M à la date t0 et en N à la date t1 = t0+tM N. Comme l’amplitude de l’onde peut dépendre de la distance à la source (onde sphérique) on écrit :
s(N, t1) =α.s(M, t0)
avecαun coefficient permettant de compenser cette atténuation géométrique. Alors en reprenant nos notations on a : s(N, t1) = α.s(M, t1−tM N)
s0(N) cos (ω.t1−ϕ(N)) = α.s0(M).cos (ω(t1−tM N)−ϕ(M))
Comme par définition :s0(N) =α.s0(M) on peut écrire : ω.t1−ϕ(N) = ω.(t1−tM N)−ϕ(M). Ce qui finalement donne :
ϕ(N) =ϕ(M) +ω.tM N
La vitesse de propagation de cette onde étantvdonne :tM N =M N
v et en utilisant la définition de l’indice optique du milieu :
tM N = n.M N c Propriété:
On appelle phased’une onde, l’argument de la fonction cos : Φ(M, t) =ω.t−ϕ(M). Elle se décompose en une phase spatiale:ϕ(M) et unephase temporelle:ω.t.
Au cours de la propagation d’une onde dans un milieu LHIT laphase spatialede l’onde est modifiée. Pour deux pointsM etN d’un même rayon lumineux on trouve :
ϕ(N) =ϕ(M) +n.ω
c.M N =ϕ(M) +−→ k .−−→
M N
Le termen.ω
c.M N est appeléretard de phase dû à la propagation.
Définition:
On appelle vecteur d’ondeun vecteur noté −→
k qui indique le sens et la direction de propagation de l’onde. Son module est donné par :
k−→
kk=n.ω
c =n.2π.ν
c =n.2π λ0 avecλ0 lalongueur d’onde dans le vide
II.2 Onde sphérique et onde plane
II.2.a Onde sphérique
Considérons un point S source d’une onde lumineuse monochromatique.
L’émission lumineuse d’un tel point est isotrope. Les rayons lumineux is- sus deSn’ont pas de direction privilégié. En coordonnées sphériques ils sont dirigés par le vecteur−→er.
Définition:
On appelle surface d’ondeoufront d’onde, relative à une source lu- mineuse S, l’ensemble des points M tel qu’à toute date t, s(M, t) soit uniforme.
En reprenant l’expression s(M, t) = s0
SMcos(ω.t−ϕ(M)) on remarque qu’il s’agit des surfaces telles queϕ(M) =cte.
Une source ponctuelle émet un ensemble de train d’onde dans toute les di- rections de l’espace. L’expression de la grandeur vibrante monochromatique dans cette configuration est :
s(M, t) = s0
SMcos
ω.t−−→ k .−−→
SM−ϕ(S)
Définition:
On appelleonde sphériquel’onde émise par une source ponctuelle dans un milieu LHIT.
1.les rayons lumineux sont des droites concourantes au point sourceS.
2.les surfaces d’onde sont des sphères centrées sur S.
Dans le cas d’une ondemonochromatiquela vibration scalaire s’écrit : s(M, t) = s0
SMcos
ω.t−−→ k .−−→
SM−ϕ(S)
Remarques :
i-La phase de l’onde est l’argument du cosinus : Φ =ω.t−−→ k .−−→
SM−ϕ(S). Celle-ci s’exprime en fonction de : a-la phase à l’origineϕ(S)grandeur aléatoiredans le modèle des trains d’onde.
b-la phase spatialeϕ(M) =−→ k .−−→
SM+ϕ(S). Le vecteur−→
k étant le vecteur d’onde. Il dirige les rayons lumineux, et donne le sens et la direction de propagation de l’onde.
Propriété:
Le vecteur d’onde−→
k dirige les rayons lumineux. Il permet de définir la direction et le sens de propagation de l’onde.
Dans le cas d’une onde sphérique, il s’exprime : −→
k =k−→er avec−→er le vecteur de la base sphérique centrée sur la sourceS. On retiendra également que dans le vide :
k−→
k0k= 2π λ0
et que dans un milieu d’indicen:k−→
kk=n.k−→ k0k.
ii- La décroissance de l’amplitude de l’onde en 1
r traduit la conservation de l’énergie lumineuse. On montrera que la puissance lumineuse surfacique est proportionnelle às2(M, t). Alors si la source S émet une puissance lumineuse en moyenne constante
s2(M, t).4π.SM2
doit également être une constante. Ceci n’est vrai en valeur moyenne que si l’amplitude de l’onde décroit comme 1
r.
II.2.b Onde plane
Considérons maintenant qu’on observe une onde lumineuse à grande distance de la source :
approximation de l'onde plane
Localement les surfaces d’onde peuvent-être assimilées à des plans, les plans tangents aux surfaces sphériques. On remarque également que les rayons lumineux sont parallèles entres eux.
Ce qui nous amène à la définition suivante : Définition:
On appelle onde plane, une onde ayant l’une des caracté- ristique suivant :
1. les surface d’onde sont des plans parallèles entre eux ap- pelés plans d’onde.
2. les rayons lumineux issus de la source sont des droites parallèles entres elles.
Concrètement ces ondes peuvent être réalisées de différentes fa- çon :
i-la source lumineuse est situé à l’infini, c’est-à-dire à une dis- tance très grande devant la taille des instruments d’optique uti- lisés. Exemple des ondes reçue depuis les étoiles ou le soleil.
ii-la source ponctuelle est dans le plan focal objet d’une lentille convergente. Elle joue le rôle d’un collimateur. Cette source est donc vue après la lentille comme étant à l’infini.
Dans le cas d’une onde plane il est nécessaire de pouvoir trouver une autre expression de la phase spatiale de l’onde. En effet comme la source S est "rejetée" à l’infini cela n’aurait pas de sens d’utiliser la distanceSM. On peut en revanche exprimer la phase en un pointM quelconque en fonction de la phase en un pointOpoint de référence.
M H
O
Considérons une source ponctuelle situé à−∞, deux pointsH etM sur un même rayon lumineux etO sur un même plan de phase que H.
Ainsi par définition :ϕ(H) =ϕ(O). Et avec ce que nous avons déjà développé : ϕ(M) =−→
k .−−→
SM+ϕ(S) et ϕ(O) =−→ k .−→
SO+ϕ(S) En remplaçant l’expression deϕ(S) dans une des deux expressions :
ϕ(M) =−→ k .−−→
SM−−→ k .−→
SO+ϕ(O) La relation de Chasles donne : ϕ(M) = −→
k .−−→ SH +−→
k−−→
HM −−→ k .−→
SO+ϕ(O). Mais commeϕ(H) =ϕ(O) on peut déduire :
−
→k .−−→
SH+ϕ(S) = −→ k .−→
SO+ϕ(S)
−
→k .−−→
SH = −→
k .−→
SO
Et finalement comme−→ k .−−→
HM =−→ k .−−→
OM :
ϕ(M) =−→ k .−−→
OM +ϕ(O)
Propriété:
La vibration scalaire décrivant la propagation d’une onde plane progressive monochromatique s’exprime à partir d’un point de référenceOà distance fini d’un point M d’observation :
s(M, t) =s0cos
ω.t−−→ k .−−→
OM−ϕ(O)
L’amplitudes0 d’une onde plane est une constante. Cela signifie qu’on néglige la variation de l’amplitude depuis la sourceS face à la variation du cosinus.
II.3 Théorème de Malus, effet des lentilles minces
Propriété:
Théorème de Malus.
Après un nombre identique quelconque de réflexions ou de réfractions, les rayons lumineux issus d’une même source S sont orthogonaux aux surfaces d’onde.
Remarque :
Ce théorème est fondamental. Il permet de faire le lien entre l’optique géométrique et l’optique ondulatoire. Il permet à partir des constructions d’optique géométrique de connaitre la forme des surfaces d’onde (front d’onde) et donc de pouvoir déterminerl’ensemble des points qui possède la même phase.
On peut également déduire du théorème de Malus la transformation des surfaces d’onde par les systèmes optiques tels que : les miroirs, les lentilles minces etc...
I1 I2 I3 I4 I5
A
B A'
B'
Considérons une onde plane progressive monochromatique in- cidente sur un miroir plan. On note Ii les points d’inci- dence des rayons lumineux considérés. Soient A et B deux points sur un même plan de phase de l’onde incidente et A0 et B0 sur un même plan de phase de l’onde réflé- chie.
Remarque 1 : l’onde réfléchie est également une onde plane. Les surfaces d’onde de l’onde réfléchie sont des plans. En effet la source lumineuse étant à l’infini, son image par un miroir plan est à l’infini.
Remarque 2 : ϕ(A) =ϕ(B) etϕ(A0) =ϕ(B0).
En notant−→ ki et−→
krles vecteurs d’onde des ondes incidente et réfléchie respectivement, la relation du retard de phase dû à la propagation donne :
ϕ(I1) =ϕ(A) +−→ ki.−−→
AI1 ϕ(A0) =ϕ(I1) +−→ kr.−−→
I1A0+π
On admet que par réflexion sur un miroir plan l’onde subie un déphasage supplémentaire deπ. Alros : ϕ(A0) =ϕ(A) +−→
ki.−−→
AI1+−→ kr.−−→
I1A0+π La réflexion ne modifiant pas la longueur d’onde on a : k−→
kik=k−→
krk=ket finalement : ϕ(A0) =ϕ(A) +k.(AI1+I1A0) +π
En procédant de même avec les pointsB et B0 on trouve : ϕ(B0) =ϕ(B) +k.(BI1+I1B0) +π. Et comme par définition : ϕ(A0)−ϕ(A) = ϕ(B0)−ϕ(B), on remarque que le déphasage induit par la propagation de l’onde, entre deux plans d’onde identiques, ne dépend pas du rayon lumineux choisi.
k.(AI1+I1A0) =k.(BI1+I1B0)
F F'
S A
B A'
B' O
O'' O'
Considérons un point sourceSsitué dans le plan focal image d’une lentille convergente. Cette source émet une onde sphé- rique, les rayons lumineux sont émis de façon isotrope autour de la sourceS.
Après la lentille les rayons lumineux sont parallèle entre eux, incliné d’un angle α par rapport à l’axe optique, en relation avec la distance entre S et l’axe optique.
Une lentille transforme donc une onde sphérique dont la source est dans le plan focal en une onde plane.
CommeA et B sont sur une même surface d’onde etA0 et B0 sur un même plan de phaseϕ(A) =ϕ(B) etϕ(A0) =ϕ(B0).
On retrouve que le déphasage entre deux surfaces d’onde issues d’une source uniqueSne dépend pas du rayon choisi : ϕ(A0)−ϕ(A) =ϕ(B0)−ϕ(B).
F F
S' O
Le principe de retour inverse de la lumière nous assure qu’une lentille mince convergente transforme une onde plane en onde sphérique dont la source "imaginaire" serait le point en lequel convergent les ondes sphériques après la lentille.
F F'
S' S O
Propriété:
SoitS une source lumineuse dont les rayons traversent un système optique quelconque etstigmatique.
La différence de phase entre deux surfaces d’onde issues deS est indépendante du rayon lumineux choisi.
La différence de phase est continue pour : i-une réfraction.
ii-une réflexion sur un dioptre, où l’onde incidente se propage dans le milieu d’indice le plus faible.
La différence de phase subie une discontinuité supplémentaire deπpour :
i-une réflexion sur un dioptre où l’onde incidente se propage dans le milieu le moins réfringent.
ii-une réflexion sur un métal (miroir).
iii-la passage par un point de convergence.
II.4 Chemin optique
Le théorème de Malus permet de prévoir les transformations des surfaces d’ondes par un système optique et ainsi d’identifier les points en phases sur différents rayons lumineux issus d’une source unique.
En exploitant le théorème de Malus on doit pouvoir quantifier le déphasage introduit, entre différents rayons, au cours de leur propagation.
On sait pour le moment exprimer le déphasage entre deux points d’un même rayon lumineux. Cependant ce calcul : ϕ(N)−ϕ(M) = ω.tM N = −→
k .−−→
M N, fait intervenir la durée du trajet entre M et N. Connaissant les principes de construction géométriques des rayons lumineux, on introduit la notion dechemin optique, permettant les calculs de déphasage s’appuyant sur les tracés géométriques des rayons lumineux.
M
N
O
Soit un rayon lumineux se propagent dans un milieu quelconque. On note M, N et Otrois point du même rayon lumineux.
Définition:
On appellechemin optiqueentre deux pointsM etN d’un même rayon lumi- neux, noté (M N) la distance qu’aurait parcouru la lumière dans le vide pendant la duréetM N mis par la lumière pour aller deM versN dans un milieu d’indice n.
(M N) =c.tM N
Précédemment nous avons déjà déterminé cette durée dans un milieu LHIT tM N = M N
v et commev= c
n nous obtenons : (M N) =c.n.M N
c =n.M N
Soit un point O du même rayon lumineux après le point N alors comme : tM O=tM N+tN O: la durée mis par l’onde lumineuse pour parcourir la distanceM Oest égale à la sommes des durées mises pour parcourirM N etN O. Alors :
(M O) = (M N) + (N O).
Propriété:
Le calcul du chemin optique entre deux pointsM et Od’un même rayon lumineux peut se calculer par la somme des chemins optiques entreM et O.
Dans toute la suite du cours nous nous limiterons à des milieux LHIT unique, ou un ensemble de milieu LHIT formant des strates.
Propriété:
Soit un rayon lumineux se propageant dans un milieu LHIT, le chemin optique entre deux points M et N d’un même rayon lumineux s’exprime :
(M N) =n.M N
I1
I4
S
M
n1
Considérons un milieu stratifié constitué de 5 milieux d’in- dice respectifsn1,n2,n3,n4 etn5. On trace le trajet suivi par la lumière en respectant les lois de Snell-Descartes. La durée du trajet suivit par la lumière entreS dans le milieu 1 etM dans le milieu 5 est :
tSM =tSI1+tI1I2+tI2I3+tI3I4+tI4M
En multipliant cette égalité par ccélérité de la lumière dans le vide on obtient la relation entre les chemin optique :
(SM) = (SI1) + (I1I2) + (I2I3) + (I3I4) + (I4M) Et finalement :
(SM) =n1.SI1+n2I1I2+n3I2I3+n4.I3I4+n5.I4M Propriété:
Le chemin optique calculé le long d’un rayon lumineux subissant une succession de réfraction aux interfaces entre différents milieu LHIT s’exprime comme la somme des chemin optique suivi par la lumière dans les différents milieux :
(SM) =X
i
ni(SM)i
Si la stratification du milieu se fait sur des échelles de distance très petites devant la taille totale du milieu on peut faire l’hypothèse que l’indice optique du milieu évolue continument de point en point. On note n(P) l’indice optique en un pointP du milieu.
Propriété:
Le chemin optique entre deux pointsS et M d’un même rayon lumineux dans un milieu quelconque s’exprime : (SM) =
ˆ M S
n(P).dl
Dans toute la suite du cours nous considérerons que l’indice optique du milieu n’évolue pas de façon continu. Nous travaillerons dans un milieu LHIT.
La relation du retard de phase dû à la propagationpermet d’obtenir une relation fondamentale en optique ondulatoire. Cette relation établi le lien entre le déphasage entre deux points ∆ϕet le chemin optique.
ϕ(N) = ϕ(M) +ω cn.M N ϕ(N)−ϕ(M) = 2π
λ0
(M N) Propriété:
Relation fondamentale:
Le déphasage ∆ϕentre deux pointM etN d’un même rayon lumineux, dû à la propagation, s’exprime en fonction du chemin optique :
∆ϕ= 2π λ0
(M N)
Cette relation fondamentale permet de traduire un certain nombre de propriété vu précédemment sur la phase spa- tiale de la grandeur vibrante en terme de chemin optique, ce qui est beaucoup plus efficace d’un point de vu pratique.
Propriété:
1.Une surface d’onde relativement à une sourceS est une surface telle que pour tout pointM : (SM) =cte.
2. La chemin optique calculer entre deux surface d’onde émis d’une même source S est indépendant du rayon lumineux choisi : (M1N1) = (M2N2). AvecM1 etM2deux points d’une même surface d’onde, de même queN1et N2 :
(M N)1= (M N)2.
3. Le chemin optique subit une discontinuité : après réflexion des rayons sur un métal, après passage des rayons par un point de convergence, après réflexion sur un dioptre séparant deux milieux pour lequel le rayon incident se propage dans le milieu de plus réfringent. Cette discontinuité est de :
λ0
2 Exemple :
A B
e M n
1 N 2
Considérons une onde plane lumineuse se propageant dans un milieu d’in- dice n0 = 1,00 et incident sur un milieu d’indice n > n0 et d’épaisseur e.
On cherche à exprimer le déphasage de l’onde dans le plan de phase contenant le point M dû à la réflexion de cette onde sur les deux dioptres du milieu d’indice n.
(M N)1 = (M A) + (AN) +λ0
2
(M N)2 = (M A) + (AB) + (BA) + (AN) La différence de chemin optique entre ces deux chemins est :
(M N)2−(M N)1 = {(M A) + (AB) + (BA) + (AN)} −
(M A) + (AN) +λ0
2
(M N)2−(M N)1 = 2(AB)−λ0
2
Or la relation fondamentale permet de définir la différence de phase recherchée : (M N)1 = (ϕ1(N)−ϕ1(M))λ0
2π et (M N)2= (ϕ2(N)−ϕ2(M))λ0
2π orϕ1(M) =ϕ2(M) ainsi : ϕ2(N)−ϕ1(N) = 2π
λ0
.
2.n.e−λ0 2
ϕ2(N)−ϕ1(N) = 4.n.e.π λ0 −π
D’après ce qui a été fait en première année on sait que lorsque les ondes sont en phase on peut avoir interférence constructive. C’est-à-dire lorsqueϕ2(N)−ϕ1(N) = 4.n.e.π
λ0
−π= 2.k.π soit finalement :
e= λ0(2.k+ 1) 4n
Si e est "assez grand" ont peut trouver plusieurs valeur deλ0 qui permettent de vérifier cette relation. Mais si eest
"assez petit" il n’y a qu’un nombre fini de longueur d’onde λ0 qui vérifient cette relation. Ce phénomène explique la coloration des bulles de savon ou des tache de gazole sur la route.
Système opitque
A A'
M1
M2
M'1
M'2 Propriété :
Lorsque deux pointsA etA0 sont conjugués par un systèmestig- matique, le chemin optique (AA0) calculé est indépendant du rayon lumineux choisi pour effecteur de le calcul.
(AA0)1= (AA0)2
En effet prenons deux pointsM1 etM2sur une même surface d’onde issue deAetM10,M20 sur une même surface d’one issu de Aet ayant traversée le système optique.
Par définition d’une surface d’onde : (AM1) = (AM2).
Le principe de retour inverse de la lumière donne la relation : (A0M10) = (A0M20) puisque les rayons lumineux semblent issus deA0. De plus le théorème de Malus donne : (AM10) = (AM20). Finale- ment :
(AA0)1 = (AM1) + (M1M10) + (M10A0) (AA0)1 = (AM2) + (M1M10) + (M20A0) (AM1) + (M1M10) = (AM10)
(AA0)1 = (AM20) + (M20A0)
(AA01 = (AA0)2
III Superposition et observation d’ondes lumineuses
III.1 Récepteur de lumière
Nous allons maintenant nous intéresser aux moyens d’observation des ondes lumineuses et des conséquences sur les observations des phénomènes décrit précédemment.
Il existe une grande diversité des récepteurs de lumière : oeil, photodiode, photorésistance, capteur CCD, capteur CMOS dont le fonctionnement diffère. Cependant tous ces récepteurs ont un point commun : leurtemps de réponse est très grand devant la période temporelle des ondes lumineuses.
En effet cette période est de l’ordre de 10−14s pour la lumière visible. Voici pour différent capteur les temps de réponse correspondants :
Capteur Oeil Photodiode CCD Photorésistance Temps de réponse s 0,1 10−3 10−6 10−2 Propriété:
Il n’existe pas de capteur optique capable de suivre les oscillations de la vibration lumineuse. Un capteur optique réalise une intégration de la vibration lumineuse. On dit aussi qu’il n’est sensible qu’à la valeur quadratique moyenne de la vibration scalaire :
s2(M, t) Définition:
On appelle éclairement ouintensité lumineuse la puissance électromagnétique surfacique moyenne reçue par un élément de surfacedS. Elle s’exprime en W.m−2 :
E(M) =K.
s2(M, t)
avecKune constante indéterminée fonction de la nature de la surface sur laquelle est observée l’éclairement.
des rapport d’intensité oucontraste. Tous les phénomènes décrit le seront alors à une constante de proportionnalité près.
Très souvent nous utiliserons aussi la notation complexe pour définir l’éclairement : E(M) = 1
2s(M, t).s?(M, t)
III.2 Superposition d’ondes incohérentes
M
S1
S2
Soient deux sources ponctuelles S1 et S2 émettrices d’ondes lumineuses s’ex- primant :s1(M, t) =s01(M) cos(ω1.t−ϕ1(M)) ets2(M, t) =s02(M, t) cos(ω2.t− ϕ2(M)).
Le principe de superposition au pointM donne l’onde résultante : s(M, t) =s1(M, t) +s2(M, t)
L’éclairement au même pointM donne : E(M) =D
(s1(M, t) +s2(M, t))2E On développe cette expression de l’éclairement :
E(M) =
s21(M, t) +
s22(M, t)
+ 2.hs1(M, t).s2(M, t)i E(M) =
s21(M, t) +
s22(M, t) E(M) = E1(M) +E2(M)
Définition:
On appelleterme d’interférencele terme :E12= 2.hs1(M, t).s2(M, t)iprésent dans l’expression de l’éclairement résultant en un pointM de la superposition de deux ondes lumineuses.
En effet :hs1(M, t).s2(M, t)i= 1
2.s01(M).s02(M).hcos((ω1+ω2).t−(ϕ1(M) +ϕ2(M))) + cos((ω1−ω2).t−(ϕ1(M)−ϕ2(M)))i.
Et finalement :
hcos((ω1+ω2).t−(ϕ1(M) +ϕ2(M)))i = 0 hcos((ω1−ω2).t−(ϕ1(M)−ϕ2(M)))i = 0 Propriété:
L’éclairement résultant de la superposition en un point M de deux ondes lumineuses quelconques est égale à la superposition des éclairements individuels dus à chaque source :
E(M) =E1(M) +E2(M) Dans ce cas on dit que les ondes sontincohérentes.
III.3 Superposition d’ondes cohérentes
Définition:
On appelleondes cohérentesdeux ondes qui peuvent interférer. C’est-à-dire que le terme d’interférence est non nul :
2.hs1(M, t).s2(M, t)i 6= 0
Cherchons à établir l’ensemble des conditions que doivent vérifier les deux ondes pour quelles puissent interférer.
Condition de synchronisme :
La valeur moyenne temporelle d’une fonction harmonique qui est fonction du temps est nulle :hcos(Ω.t)i= 0. Il est donc nécessaire que les deux ondes lumineuses soientsynchrones, c’est-à-direω1=ω2=ω.
Dans ce cas là : hs1(M, t).s2(M, t)i = 1
2.s01(M).s02(M).hcos(2ω.t−(ϕ1(M) +ϕ2(M))) + cos(−(ϕ1(M)−ϕ2(M)))i Et donc finalement :
2.hs1(M, t).s2(M, t)i=s01(M).s02(M).hcos(ϕ2(M)−ϕ1(M))i Condition de phase :
Les ondes lumineuses se propageant deS1etS2versM on peut utiliser la relation de déphasage dû à la propagation pour exprimer :
ϕ2(M) =ϕ(S2) +2π
λ0(S2M) ϕ1(M) =ϕ(S1) +2π λ0(S1M)
On rappelle queϕ(S2) etϕ(S1) sont desquantités aléatoires dans le modèle d’émission des trains d’onde.
Alors :
cos
ϕ(S2) +2π λ0
(S2M)−ϕ(S1)−2π λ0
(S1M)
= 0
Pour que le terme d’interférence soit non nul il est nécessaire que la différence de phaseϕ(S2)−ϕ(S1) =cte. On doit stabiliser la phase à l’origine.
Supposons qu’on puisse réaliser cette condition et choisissons pour clarifier le discours :ϕ(S2)−ϕ(S1) = 0. Alors : 2.hs1(M, t).s2(M, t)i=s01(M).s02(M)
cos
2π
λ0 (S2M)−(S1M)
Définition:
On appelledifférence de marchela différence de chemin optique entre deux rayons lumineux : δ(M) = (S2M)−(S1M)
Le terme d’interférence s’écrit : 2.hs1(M, t).s2(M, t)i=
cos
2πδ(M) λ0
. On peut aussi remarquer queE1(M) = 1
2s201(M) Propriété:
Deux ondes lumineuses peuvent interférer si elles sont cohérentes. C’est-à-dire que ces deux ondes sont syn- chronesω1=ω2et que leur déphasage à l’origine est constantϕ(S2)−ϕ(S1) =cte.
Dans ce cas on peut exprimer l’éclairement en un pointM en utilisant la formule de Fresnel : E(M) =E1(M) +E2(M) + 2.p
E1E2cos
2πδ(M) λ0
On peut aussi écrire :
E(M) =E1(M) +E2(M) + 2.p
E1E2cos (∆ϕ(M))
La dernière expression de la formule de Fresnel provient de l’utilisation de la formule du retard de phase dû à la propagation. On obtient alors :
∆ϕ(M) = 2πδ(M) λ0
Cas d’ondes cohérentes Cas d’ondes incohérentes
M
S
1S
2l
cM
S
1S
2l
cDans ce cas on comprend qu’il y a interférence des ondes lumineuses si les trains d’ondes émis des deux sources arrivent au pointM de façon à se supperpo- ser en M. On comprend alors la nécessiter de stabi- liser la phase à l’origine, mais on remarque aussi que la différence de marche δ(M)< lc.
Dans ce cas on comprend que comme les trains d’onde sont émis à des intervalles de temps aléatoires alors statistiquement il y a peu de chance que deux trains d’onde arrivent enMen même temps. Alors en valeur moyenne on observe une intensité uniforme.
Considérons deux sources lumineuses cohérentes. C’est-à-dire qu’elles peuvent interférer. On observe l’intensité lumineuse en un pointM sur un écran. Dans un premier temps on peut distinguer deux cas limites d’observation : i-l’écran est parallèle à l’axe des sources.
ii-l’écran est orthogonal à l’axe de sources.
Définition:
On appelleinterférences constructivesles positions d’éclairement maximal sur la figure d’interférence.
On appelleinterférences destructivesles positions d’éclairement minimal sur la figure d’interférence.
Dans chacun des deux cas l’analyse de la formule de Fresnel permet de dégager une condition d’interférence constructives et destructives.
Propriété:
Les interférences sont constructives si les ondes arrivants enM sont en phase : cos(∆ϕ(M)) = 1. sur l’écran on observe unefrange brillante.
Les interférences sont destructive si les ondes arrivants enM sont en opposition de phase : cos(∆ϕ(M)) =−1 sur l’écran on observe unefrange sombre.
L’oeil ne va pas réellement être sensible à l’intensité lumineuse de façon absolue, mais va être sensible au écarts d’éclairement par rapport à un éclairement moyenne. C’est-à-dire aucontraste. Une frange sombre parait d’autant plus sombre que les franges brillante le son.
Définition:
On appellecontrastela grandeur :
C=Emax− Emin
Emax+Emin
C’est une grandeur comprise entre 0 et 1, elle permet de savoir s’il est facile d’observer les interférences ou non.
Le contraste peut s’exprimer en fonction des éclairements individuel des deux sources :Emax=E1(M) +E2(M) + 2.√
E1E2et Emin=E1(M) +E2(M)−2.√
E1E2 ce qui donne : C= 2√
E1E2 E1(M) +E2(M)
Ce contraste est maximal si les amplitudes des deux sources sont identiques.
Propriété:
Pour obtenir une figure d’interférence bien contrasté il suffit d’utiliser des ondes dont les amplitudes sont égale. La formule de Fresnel peut s’écrire :
E(M) = (E1(M) +E2(M)).(1 +C.cos(∆ϕ(M)))
s02=s01 s02= 3.s01 s02= 10.s01 s02= 50.s01
Dans le chapitre suivant nous nous intéresserons à la façon de réaliser un montage permettant de rendre le déphasage à l’origine constant avec des sources quasi-ponctuelles de même amplitude lumineuse.
