Indice de Maslov : opérateurs d'entrelacement et revêtement universel du groupe symplectique

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INDICE DE MASLOV, OPERATEURS D'ENTRELACEMENT ET REVETEMENT UNIVERSEL DU GROUPE SYMPLECTIQUE

par

Robert Guenette

/

.-!lJ,

Mémoire présenté 'à la Faculté des .Etudes Avancées et de la Recherche, en vue de l'obtention du gràde

de Maître en Sciences\' /

Département Mathématique Université McGill .

Montréal Québec' Septembre 1981

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INDICE DE ~BLOV, OPERATEURS D'ENTRELACEMENT

ET REVETEMENT UNIVERSEL DU GROUPE SYMPLECTIQUE

RySUME

C

Dans ce mémoire, on expose la récente

défini~ion

de

l'indice de Maslov proposée par Kashiwara. Cette version est utilisée pour étudier la composition de t:r;ois opérateurs

d'entrelacement du groupe de Heisenberg. Pour cela, il faut déterminer les repré sentat ions u,nitaires irréductibles, les classifier via le théorème de Stone~Von Neumann et proposep un choix canon ique d ' opérateurs dt entrelacement_ smtre diverses représentations induites. La définition de Kashiwara permet de généraliser l'indice de Maslov tel, que défini par Souriau

\

tout en conservant la formule de Leray

qui

unit les Jieux indices. Finalement, on s'est servi des deux versions du l'indice de

~

-=-"---/ ' Maslov pour présenter un modèle du revêtement universel du groupe symplect ique.

Département Mathématique Université McGill

Montréal Québec Robert Guenette M.Sc.

(

,

.

J

MASLOV .INDEX, INTERTW\INING OPERATORS AND UNIVERSAL

COVERING GROUP OF THE SYMPLECTIC GROUP ,

ABSTRACT

In This thesis, we present the l'ecent definition of the

Maslov index due to Kashiwara. This version is used to discuss

the composition of three intertwining operators of the Heisenberg

group. In order to make precise the former, knowledge is needed

about irreducible unitary representations and theÏ!' classif

i-cation via the Stone-Von Neumann' s t'heorem. We also give an

exPlicit formula for intertwining operators between various

induced representations. Using the definition of Kashiwara~

we extend. the' Masl'bv index as defined by Souriau and establish . the basic link between both indices Known

&

the Leray' s

~ .

formula. Finally, we use both v~ons_ of the Maslov index

to construct the universal cover~ group of ,the symplectic

group. McGill University Department of Mathem?itics Montreal Quebec

\

" September 1981 i i

( 1 .

~

0

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.

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_{TÂBLE DES MATIERES}

/

/

Introduct ion , 1 •

• • • • • • • • .. .. .. • .. • .. .. • - ... ... ":1"'· ... .

Chapitre l

1. Espace vectoriel symplectique .. ""

.

..

. .

..

..

...

~

.'

\..

..

..

..

...

\1 •

2. Groupe de Heisenberg . . . • . . . • • . . . . ~ ..••.•...•.•

3.

.

.

\;

Représentations unitaires irréductibles au

4.

groupe de Heisenberg '1 • • • • • / • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

, \ ./

Théorème de Stone-Von\ Neumann • • . . . . • • . . . " .•...•

Chapitre II 1

1. Indice de Maslov

...

,

... .

31

2. Opérat eurs d'entrelacement dans le cas

transver-se ... . ~... . ... .. ... .. ... .. ... . ... 44

3. Composition de trois opérateurs

dt entrelacement ... 0 . . . _ . . . ; .. .. . . . . .. .. • .. 50

4. Opérat eurs d'entrelacement dans le c~s

général ... 57 Chapitre

III

1.

1

2. 3. 4. Arlnexes 1. 2. 3. Structure hermitienne 61 Revêtement universel de A •...• , . . . 68

Indice de Maslo" selon J.M. Souriau... 77

Revêtement universel du groupe symplectique 87

Opérateur commutant avec des opérateurs de

multiplicat~on ... 99

Rappel sur les dens i tés . • • . . . . • . . . 102

Rappel sur l'orientation ••...• ; •....••..••••....

_..

104

Bibliographie ... 106

1

/

'f " 1 1 1

1

INTRODUCT ION

Le point cèntral du présent mémoire est l'indice de Il faut remonter en 1965 aveC les travaux de V.P.

sur la mécanique quantique pour voin apparaître indice qui porte auj ourd' hui son nom. Maslov étudiait à

poque-.-les solution's asymptotiques du type quasi-classique

WKBJ) des, équat ions aux dérivées partielles

rencon-physique mathématique. Ses recherches l'ont condu,it formuler des conditions de quantification (quantification de hr-Sommerfeld [2]) dans lesquelles apparaîssait un indice

t

intersection associé s travaux de Maslov furent repris par Arnold [lJ qui montra à des courbes sur l'espace des phases. ]je caractère cohomologique de cet indice. Par la suite, cette

.

dernière fut étudiée par Hormander et Leray [3

J.

[6 J.

Plus récemment, J.M. Souriau parvint dans son article

"Construction explicite de l'indice de Haslov et applications" 0

-[9J à donner une définition simple et pratique utilisant presqu'-uniquement l'algèbre linéaire. Il relia se s propres travaux à

ceux de Leray en rétablissant la formule de Leray qui est une des propriétés principales de l'indice de Maslov. Je vais présenter cette version de l'indice de Maslov au chapitre 3 en

suivant l' exposé fait sur le suj et par Guillemin et Sternberg [2]. La définition fournie par J.H. Souriau possède un défaut majeur. L'indice n'est défini que sur les paires de sous-espaces

,

lagrangiens transverses ou plus exactement sur les relèvements

-1-

-2-de c'es sous-espaces au revêtement universel -2-de la grassmanienne lagrang ienne. Par exemple, la construction ne permet pas de dé-finir un cocycle globalement défini sur le groupe symplectique; i l est défini que sur un ouvert. De même, la condition de trans-versalité s'applique _, à' l'indice d'inertie de Leray qui est un en-tier associé à un tr'iplet de sous-espaces lagrangiens transverses.

Dans un article non publié mais présenté dans le livre de G. Lion et M. Vergne, "The Weil representation, Maslov index and Theta series" [7], M. Kashiwar,a parvint à contourner -la diffi-cuIté en généralisant l'indice d' inert ie de Leray au cas non-transverse. Le caractère cohomologique de cet mdice a déjà été

remarqu~ par Souriau et Leray [9]. [6]. Maintenant elle est

établie dans toute sa général~té. Je vais présenter cet indice _~ au début du chapitre 2 sous l' appel lat ion d'indice de Maslov. Je suivrai de près l'exposé de G. Lion et M. Vergne [7].

A première vueL il semble inopportun d'utiliser la même

appellation pour deux concepts différents. Mais replacé dans le cadre cohomologique, on compr-end mieux un tel choix. En eff et, on verra au chapitre 3 que l'indice tel que défini par Kashiwara est en fait le cobord de l'indice de Maslov selon Souriau. Cet énoncé- constitue la formule de Leray.

En gros, l'indice de Kashiwara est la signature d'une certaine forme quadratique. Cette dernière a l'inconvénient d'être définie sur un espace artificiel, plus exactement sur la sonune directe des trois sous-espaces lagrangi~ns. Si fIon

~

(,

"

-3-d'utiliser une telle définition. Par ailleurs, étant donné

~

',11 que l'indice est présenté comme une signature, il doit être

compris entre -3n et 3n où '2n e st, la d.im nsion de l ' espac e

vectoriel symplectique. Par contre, la discuss' n au chapitre 2

montrera qu'il est en fait compris entre -n et' n, donc à

fortiori entre -2n et 2n. Ainsi, en principe, i l semble

plausible de définir l'indice de Maslov comme la signature d'une

form'e quadratique sur l'espace vectoriel symplectique. Ce point

de vue qui m'a été suggéré par mon directeur de thèse C. Herz,

sera élaboré à la fin de la première section du chapitre 2 avec

la construction d'un indice associé à l'algèbre de Lie

symplec-tique. Pour le moment, le lien entre les deux indices n'est

connu que dans le cas transverse.

La nouvêlle définition de l'indice de Maslov due à Kashiwara _,

permet d'étendre l'indice selon Souriau au cas non-transverse. J'ai utilisé la formule de Leray pour cette généralisation et

j ' a i aus si établi la formule de Leray dans le cadre élarg i. Il me paraît avantageux d'avoir aucune restriction sur le domaine

de dé'finition de l'indice. Comme jè l ' a i mentionné précéctenunent,

on peut fabriquer un cocycle sur le groupe symplectique. On

définit aisément l'indice de Maslov d'une courbe fermée. Ceci

m'a permit de faire le lien avec la classe de Maslov due à

Arnold [1].

La majeure partie du premier chapitre est consacrée au

gr~upe de Heisenberg et à ses représentations unitaires

ir-réductibles. Ce groupe fut introduit par H. Weyl (10) pour

17'

\

\

(

(

-...

-4-formal'iser dans le lang~ge des groupes les règles de commutations

de Heisenberg (principe d'incertitude). De nos jours" on lui ar•

trouvé des applications dans beaucoup de branches des

mathéma-tiques allant de l'analyse harmonique

à

la théorie des nombres.

Le, lecteur désireux de connaître l ' historique et les appli6"ations

du groupe de Heisenberg consulterà l'article,de R. Howe [4J.

"

Sur le plan de la théorie des représentations des groupes de Lie,

ce groupe est le plus simple des groupes nilpotents. Comme on

-le sait, la théorie des groupes nilpotents fut achevé par

Kirillov [5J. Mais, vue la simplicité de ce groupe, j'ai

préféré faire appel

à

un résl:lltat classique de Stone et Von

Neumann [7] pour classifier les représentations unitaires

ir-~

réductibles. L'exposé de G. Lion et M. Vergne [7J m'a servi de

modèle dans la présentation du célèbre théorème de Stone-Von Neumann.

Les sections 2

à

4 du chapitre 2 a'bordent les opérateurs

d'entrelacement. En bref, le prOblème de ces opérateurs se

présente comme suit. Si deux représentations du groupe de

Heisenberg coïncident ~ôrsque réduites au centre, alors elles

sont équivalentes.

P'

est essentiellement l'énoncé du théorème

de Stone-Von Néuma.wl. La méthode de l'induction fournit une

collection de représentations vérifiant l ' hypothèse du théorème.

Un problème fondamental consiste à trouver les opérateurs

d'en trelac ement. La principale difficulté rencontrée provient

du fait qu'il n' y a pas de choix unique d'opérateur

d,!-entre-lacement. Le problème se réduit à déterminer un choix canonique.

·.1

Le livre

d~

G. Lion ,et M. Vergne [7] fourni-t un 'teLchoix. Il, est à noter que, j'adopte la définition du livre seulement dans

_,

le cas transverse. J'ai préféré généraliser différemment afin d'éviter une longue discussion sur le c'ho~ des mesureS

canoniques. Si l'on compose trois opérateurs d' entrelac~ent

d'une manière cyclique, le lemme de Shur nous dit que la

compo~ée diffère de l'identité par une constante. Le problème -central du chapitre 2 est le calcul de cette constante. Il est surprenant de constater qu'il existe un lien entre l'indice de Mas10v et cette constante. En fait, cette relat ion était déj

à

connue dans le cas transverse [2], [7 J.' A l'aide de l'indice de Maslov d'après Kashiwara, G. Lion [7] a pû établir la

formule dans le cas général.

Le troisième chapitre débute avec une discussion sur les

1

structures hermitiennes. L'idée de base est de considérer la structure symplect ique comme étant fixée tout au long du mémoire tandis que les autres structures qui s'ajoutent sont susceptib;Les dê varier. ~La raison d'une telle attitude est dictée par la

recherche d'invariants symplectique. Je montr~rai que l'indice de Maslov selofl Souriau est bien un invariant symplectique.

Cette façon de voir l'es choses m'a été transmise par mon directeur de thèse.

Un des buts du mémoire est de présenter un modèle convenable du revêtement universel du groupe symplectique. A première vue,

il semble difficile de détecter un lien entre le revêtement universel et l'indice de Maslov. Mais si l'on approfondit un

1

. i

1

..

'1

.... " " _.,' ." -6- '.

peu, on s'aperçoit que l'indice de Maslov tel que défini par Maslov, Arnold, Hormander et Leray, se comporte comme un l-cocycle. Son cobord est donc un 2-cocycle. Par aillèurs,

"

le revêtement universel peut tojours être considéré comme une extension centrale du groupe symplectique par le grouEe

d'homo-) "

tapie qui est, dans ce cas, Z. La classification des

exten-'.

~dons de groupes peut C!tre traduite dans un langage cohomologique: ,les extensions non-équivalentes correspondent à des 2-cocycles.

, p

En

vertu du fait que la cohomologie des groupes de Lie est la m3me' quelque soit la méthode utilisée: De Rham, C~ch, etc.,

i~, d.Oi~tre Pos~ible, en principe, de rapprocher indice d~ Maslov ~xtens10n centrale. Ce point de' vue fut entièrement résolu par Kashiwara grâce à sa déf;inition de l'indice de Maslov. La quatrième section du chapitre 3 est consacré à la présentation de ce modèJ,e puisé dans le livre de G. Lion et M. Vergne [7J.

Celui-ci a l ' avantage d'être défini seulement par la structure 'symplectique., Malheureusement, il comporte un choix arbitraire d'un sous-espace lagrangien. Mon directeur de thèse et moi avons la oonviction qu'il doit exister un modèle ne faisant intervepir aucun choix.

,

Je voudrais remercier mon directeur de thèse C. Herz et le

> professeur S. Shnider pour m'avoir introduit à l'indice de Maslov.

"En dernier lieu, je tiens

à,

remercier sin~èt-ement Madame E. Massa pour sa gentillesse et sa patience prodiguées tout au long de la' lourde tache de la dactylographie.

l

/

r .~

.,

,

~ ,

-.

_,

CHAPITRE l

il. Espace vectoriel sy.mplectique

Je vais présenter le matériel nécessaire pour la compréhension des concepts qui seront développés tout au long du mémoire.

Soit V un espace vectoriel sur le corps des réels -de dimension finie.

"'

.' Définition! une stI'ucture sympl~ctique sur V est la

'\

donnée d'une forme bilinéaire 00 a~tisy.métrique et non-dégénérée.

On dit que le couple (V ,00) forme un espace vec'toriel symplectique.

-"

.

Remarque s. 1) La d~ ~ ~ d

no~- egenerescence e 00 entraîne l'existence

"

d'un isomorphisme de V dans son dual V ,par x ---::...> oo(x,·).

2) On verra plus loin que la dimension de V doit être paire.

Soit

E

c

V

un sous-espace. On définit le sous-espace

th 1 E,J.

or ogona _0 par:

E~

=

{x ~ .. V " 00 (

:x,y

) = 0

v

y E E}

ProEriétés:

1) dim E +dim E.l

₌

dim V

2) (E.l).l

=

E 3 ) (E + F).l

₌

E.l n F,.l -7-J

~

_,1 J • .'

_'.1

, ../ ~-- -8-4) (E n F).L

=

EJ. + F.L

"

"

Preuve: 1) V - - > V - - > E x - - > w(x,·) - - > ·w(x,· )/E. " , E.L.

Le noyau de la composee , est Etant donné que cette application est -surj ect

ive,

~J

E.L il dim V

₌

dim +d:i.m E. donc dim'V = dim E

+

dim E.L.

2) L'inclusion E c E.L.L est triviale. D'autre part,

dim V :'dim E.L.L '+ dim EJ. ,= dim E.L + dim E. Ce qui implique 3 ) E,F c E + F~ (E + F) .L c E.L n F.L Si x t; E.L n F.L~ w (x, y)

=

0 Vy E: E et w(x,z)

₌

0 V Z E: F ~ w(x,y+z)

=

0 donc x € CE + F).L Ainsi (E + F).L

=

E .1 n F • .L 4) On applique 2) èt 3).

Si E c E.L, on dit que E est un sous-espace isotropè

de V. Si on a égalité E

=

E.L, E est appelé sous-espace lagrangien de V.

Pro12o s i tion 1- Les énoncés suivants sont équivalents.

1) E est lagrang ien,

2) E est isotrope et dim E

=

dim V

2

3) E est max.imale par rapport

..

a la classe des sous-espaces isotropes.

-9-oRemarque~ pour le moment, je vais suppo~er que la dimension de V est paire. Ce fait est garanti par l'existence d'un

sous-•

espace lagrangien.

Preuve: est triv ial '

El. j Fl. j F mais

soit F isotrope tel que F j

E.

On a

dim E

=

d~

V donc dim- El.

=

dm E. Ceci ,implique dim F s dim E et alors E = F.

3) ~ 1) par hypot hè se Soit X fi: E +

!Rx

est un sous-espace isotrope et

E

c

E

+ ~x. Donc x fi:

E

et

finalement E = El..

"

Proposition

2.

Si

F

est un ~ous-espace isotrope, alors il existe un sous-espace lagrangien E tel que E:;) F.

1

Preuve: on considère la" collection

A

définie par,

A

=

{A cV; A sous-espace isotrope et

A

~ F} A f; fi car F fi: A. Par ailleurs, toute chaîne totalement ordonnée possède

une borne supérieure. Par le lemme de Zorn, i l existe un élément

maximal

E

€

A.

Si x E: E.l. E + fRx est isotrope et E c E + IRx.

En utilisant la maximalité de E, on en; déduit que E = El..

, / !

Notation: L'espace de tous les sou s-espaces lagrangiens de V

1

sera n~té par A. Par la suite, la lettre ~ désignera un élément de A sauf mention contraire ..

Soit 1,1' fi: A. Le couple 1, l ' est dit transversal si

1 n l '

=

{Ole

On dira que l ' est transverse

à

1. Une défi-nition équivalente est que l ' soit isotrope et 1

e

l'

=

V. La prochaine proposition montre l'existence d'un sous-espace

(

'-

'#>

\

\

'-,)

..

-10-_

transverse p0t;r chaque élément de A.'y,"

Proposi tron 3. Si t €

A,

alors i l existe t'

.

tO A

transverse if t.

Preuve: on considère la collection des sous-espaces isotropes

A

avec la condition

A

n t

=

{a}.

Par un argument semblable

à

celui de la proposition 2, le lemme de Zorn g?ranti

l'exis-.

tence d'un élément maximal ~, tel que R, n t'

=

{a} et

t ' c t'~. Ceci entraîne que t'~ c t

®

t ' car sinon x € t'J. et x 1. t

ta

t'. t ' + IRx est isotrope et Ct' + IRx) n t

=

{O}.

Donc t'

=

t ' + IRx par maximalité et par conséquent x € t '

qui est une contradiction. Ainsi t'~ c t ~ t ' . L'utilisation des propriét'és de ~ donne:

V

=

{O}~

=

(t n t')J.

=

t + t'~ c t ~ t' c

V.

Donc t Ef) t ' = V. C'est-à-dire que t ' e s t transverse à t.

Une base sy.mpl~ctique de

V

est une base ei i=l,2 ••• 2n de V telle que: w(e.,e .)

=

ô,. 1 n+) 1) Vi,j = 1,2 ••• ,n w(e.,e.)

=

0 1 ] W ( en + i ' en +j)

=

0

Je vais montrer qu'il existe une base symplectique associée

à

chaque paire d' éléments transvers~s de A.

JI

Proposition

4.

Si

t , t ' €

A

sont transvers~s, alors il

existe une base symplectique e.

1 t

=

n

IRe.

. l 1 1.= et n t' =

.El

_lRen+_{i ·} 1=

i=l,2 .•. 2n l,telle que

'"'.-" • *'

1

': ~ ;j

1

~

(

.,

-11-l

Preuve: l'application bilinéaire i x i ' ~> ~ est non-dégénérée car

*

que i + R.' R. est et un

R.' sont transverses. On en dédl,lit isomorphisme. Soit e·

l. une- base de i

i=1,2 ••. n. w(e.,·)

l. forment une base de

1'*.

Par dualité,

i l existe une base de notée j=I,2 ' ••• n telle que w(e.,e .) =

ô:.

l. n +J J.;J 'if

i,j

=

1,2 •.• n.,

Comme conséquence de la preuve, on a que toute base de i

peut s'étendre à une base symple?tique de V •

,

/

L'ensemble des transformations 'linéaires qui conservent lq

structure symplectique forme un groupe appelé groupe symplec-tique (réel) noté Sp V.

Sp V = {S € En~ V ; wCSx,Sy) = w(x,y)}

Si S € Sp V, alors S € Au~ V car si Sx = 0, V Y E: V

w(Sx,Sy) = w(x,y) = O. Donc x

=

O. D'autre partt Sp V est un sous-groupe 'fermé de Au~ V et par conséquent c'est un groupe de Lie (semi-simple).

Je vais l'exprimer sous forme matricielle. Soit e· _l.

i=1,2 2n une base symplectique de

V.

La matrice associée

...

tU est J

l:

:J.

La condition que S soit symplectique

a =

[:

;]

s'exprime par stJ S = J. C'est-à-dire si S = où

les A, B, e et D sOnt des matrices n x n, la dernière relation s'écrit:

AtC,

Btn

symêtriques et AtD - etB

=

I.

, i

l '

.,

-12-_~ __ ---.J

L'algèbre de Lie se calcule via l'application exponen-tielle. On trouve sp V = {X € En~ V ; w(Xu,v) + w(u,Xv) = 0

Vu,v € V}.

Sous forme matricielle, ceci s'exprin'ie par XtJ + JX

=

0

dans la m&1e base choisie précédenunent. Ainsi X:;:

~A

B ]

~

C

_At

avec B et C symétriques.

La dimension du groupe symplectique (réel) e'st + n.

Le groupe symplectique agit sur fi. par la formule:

Sp V x A - - > fi.

(S t) - - > SR,

Il est clair que cette action est transitive en faisant appel aux bases symplectiques.

,t

§2. Groupe de Heisenberg

Dans Cette section, je vais introduire le groupe de Heisenberg. L'appellation provient du fait que l'algèbre de Lie correspondante donne les règles de commutations de

Hei~en-berg en mécanique quantique.

Soit (V,w) un espace vectoriel symplectique réel. groupe de Heisenberg noté

G

est défini par:

muni de ~a loi de groupe

(u,t)(v,t') :;: (u+v, t+t' +

~

w(u,v».

Le ~

(

-13-.,

groupe de Lie simplement connexe. L'identité'du groupe e s t · e

=

(0,0) et l'inverse d'un élément est donné par

( u,t . )-1 = (-u,-t) .

Je vais calculer l'algèbre de Lie noté g. Soit g = (u,t) € G. La multiplication à gauche est:

Lg : (v , t ' ) - > (u +v, t tt' +

~

Ul (u , v ) ) L'application tangente est:

l

a

=

'

.

~Ul(u,.)

l

.

Les générateurs infinitésimaux par rapport à une base symplectique sont:

x.

a

1

_yi

a

= --.-

-'2

IT

1

_ax

1

i=1,2

.

" " n

Y.

= ---.-

a

t 1 _{- x} i

a

IT

1 _ay1 2 " ' T

=

_at

a

ou ... u

=

_{(xl ,x2 "·} .X_{n ' Y1" • "Yn )} €o. 1R 2n ...

V.

,

On calcule les règles de commutation

[X.,Y.] = ô.'. T.

1 ] 1J

,

On .en déduit que l'algèbre de Lie 9

=

V Cf) IR possède la règle de commutation

[u $ t, v e t ' ]

=

w(u,v).

(-(.

\ \

..

-14-Le centre de § 9

=

{u (9 t ; [u t9 t, v

6J

t ' ]

=

0

[u 6Jt, v & t ' ] = w(u,v)

=

0 "'Iv e V

~ V ::: 0

Donc le centre de 9

=

IR.

On peut transcrire les règles de commutation ci-dessus par:

[g ,IR] =

a

ainsi

[g ,9]

=

IR

[9,[9,9]] :::

o.

C' .est-à-dire que 9

est un algèbre nilpotente.

" Je vais terminer cette section par le calcul de l'appli-cation exponentielle. , Un élément de 9 est: n . .

W

=

r

alX. + bly. +

aT

. 1 l l l= ' avec a i ,b i ,a € IR.

L'écoulement de West donné par le système d'équation d.ifférentïelle: dx i i

dt

=

a dyi bi ,.

=

dt dT 1 n i i dt

=

a +

2"

r

b x. - a Yi i=l J.

avec les conditions initiales xi(Q)

=

0

yi(O)

=

0

T(O)

=

o.

L'intégration de ce système donne:

-~~ ~ " --~ -~~~-~-- ~'" ~~.- - ... K... .. ... ~J., .... "'1~ ... "'~'--~j _~ '""' .... _ - r " ' . . ~ 10-' .... \ " " " _1- ... ~,.,. 4_ .. .-">1>'" • ~ ~... . . - _ .. ~"'" -~~-... . . . ~ - , ,

-1

_.

_,

'.

1

, j -1 j

-15-yi

₌

b~t

T = a.t.

En

d'autres mots, exp(u

₈

a.)

=

(u,a.)

1

1

exp VCP/R->Vx(R est

l'application identité.

3. Représentations unitaires irréductibles du groupe, de Heisenberg

..

Le but de la~ section est de classifier les représentations unitaires irréductibles du groupe de Heisenberg. On a vu dans la section précédente que

.G

₄ est un groupe nilpotent. Le

~ problème de la détermination des représentations unitaires ir-réductibles dans le èas d'un group~ nilpotent a été entière-ment résolu par Kirillov [ 5 ] qui développa la méthode des orbi1;es. Pour le groupe de Hei'~enberg, il existe des moyens plus directes. Celle utilisée dans le présent ouvrage est basée sur le théorème de Stone-Von Neumann [7 J. néanmoins la méthode des orbites est implicite. La prochaine section eXP9sera le théorème tandis la présente section fournira une classe de représentations qui s'avérera complète grâce au théorème de

Stone-Von,Neumann.

Le centre de G noté Z(G) est donné par

exp(centre de g)

=

exp IR

=

(0,lR). Par abus de langage, on

I S . . . .

é

le note

R.

Soit (~,H) une representat~on unitaire irr duc-tible de G sur l'espace de Hilbert H. On a

-16-Par irréductibilité, n(O,t)

=

X(t)I où X: IR -+- T est un caractère de IR continue (car la représentation est continue). Si le caractère X est trivial sur le centre i.e. X(t) =~l, on obtient une représentation unidimensionnelle. En effet

n(u,t)

=

n«u,O)(O,t» == n(u,O) q ..

Donc n (u , t ) 1T (v , t ' ) = rr (u +v, t +t' + 1

2

w (u , v ) )

->

R{~+V, 0)

=

rr(v,t')1T(U,t) •

.

Encore par irréductibilité, n(u,t)

=

rr(u,O) :.. n(u)I ou

..

n : V + T est un caractère continu de

V.

Ainsi

n

peut

'.

Si écrire n(u)

=

_~ 2rrif(u) _ou

..

f € V •

'*

De nouveau,

l'irréduc-tibilité de rr donne dim H

=

1.

En

résumé:

si

(rr,H) est une représentation unitaire irréductible telle que rr/z(G) soit trivial,

alqrs dim H

=

1

et n(u,t)

=

e 2rrif (u) ou

..

f €

V

..

-On va traiter main~enant le cas où le, caractère X est non-trivial.

Soit t c V un sous-espace'lagrangien. ~n pose

L

=

t x R ç G qui forme un sous-groupe abélien et

2 niÀ t

est le caractère défini par XÀ (t) = e avec

XÀ : IR + T À f;. O. Le

caractère s'étend à L en posant XÀ(x,t)

=

XÀ (t). On va utiliser le procédé de l'induction pour obtenir une représen-tation unitaire.

1T

À,1.

=

Ind XÀ est la repr~sentation induite

L~ ~

[

...

-17-sur l'espace de Hilbert L2(G/L; XI..) donnée par:

L2(G/L ; XI..) = {f : G -+ C ; f(gh) = XÀ(h)f(g).

"g

€ B

" h € L

et

J

1 f (g ) 1 2 dg < CD

G/L

où dg est une mesure quasi-invariante sous l'action de G • Cette me sure n'est déf inie qu'à un facteur posit i f près. Pour le moment, un choix particulier d'une mesure n'a peu d'importance. Par contre lorsque j'aborderai les opérateurs d'entrelacement au chapitre 2, je préciserai ce choix.

'Ir _À,R. agit sur L2 (G/L ; X,) selon la formule

1\

-1

1f

À

,

R.(g)f(g')

=

f(g gr)

et g ,g' € G.

Une version plus concrète peut être donnée de la manière suivante. On choisit t' c

V

un sous-espace complémentaire pas nécessairement lagrangien, i.e. ~

e

t'

=

V.

La projection de G csur ~r fournit un isomorphisme de G/L sur ~, selon le diagramme

G

---1

....

R.'

! /

isomorphiSlIle

G/L

La mesure de Lebesgue sur R.' étant' quasi-invariante sous l'action de G sur

t',

on peut la t'amener sur G/L par l'isomorphisme ci-dessus • . On a ainsi une isométrie surjective

o

1

1

-

-18-R :

~2

(G /

L ; X À) - > L 2 ( t 1 )

f - - > _{f / t '}

On va expliciter l'inverse de R.

Chaque élément de , G se décompose uniquement en produit g = g 1 g" avec g' € R. 1 et g" e' L'. Plus précisement

g=

(x',O)(X,t+~W(x,x'»

où g'=(x+x',t) avec X € t

x' € R. ' • Ainsi découle le résultat suivant:

.R-lf(x+x' ,t)

=

XÀ

Ct +·f w(x,x')f(x') où f e L 2 (R. 1 ) . On transfère la -représentation sur L2( tl _{) .}

lR

L2(1,I) et -1 = ~À,R.(g)R f(y,O) ou .... y E R.' et f € L 2 ('R.' ) = R- l f(g-l(y,O» '" -1 l = R f ( -x +y-x " - t -

'2

w (x +x l ,y) ) - x'

=

XÀ (-t-w(x, y - '2 ) )f(y-x') x' . 2~ iÀ[ t+w (x,y -

2) ]

= e f (y-x 1 ) Donc où g

=

(x+x' , t ) x e R., x' E R.'.

En limitant g successivement à t, R.' " et le centre de G, on obtient: _..

c"

"

.. ~... ",

-~9-7r

_À,R. (X" O)f(y)

=

e2niÀw(x'Y)f(y) iÀ"R.(x' ,O)f(y)

=

fey-x')

rr

_À,1(o,t)

=

e2~iÀtI

•

Le point important est de montrer que cette classe de

• représentations est irréductibleF Par la suite, on va supposer que À = 1. Toutes les proprié~és dans le cas À = l

demeure-,

ront valables pour unI ,À ~ ,0 arbitraire car correspond à un changement d'échelle. \ On désignera le caractè~e Xl par X,

.

la représentation par ~1 et finalement l'espace de Hilbert par H(1). La dépendance des représentations face au choix d'un sous-espace Lagrangien est importante. Les-opérateurs d'entrelacement qui en découleront, seront étudiés au prochain, chapitre.

,Théor~e. La représentation induite ni où 1 e A est irréductible.

Preuve: on choisit l' e A transverse

à

1 et une base symplectique associée' à la paire 1, l ' de sous-espaces la .. grangiens. La ;eprésentation

~1

peut être ramenée sur L2(1')

et par suite sur L 2 (lRn) grâce à l'isomorphisme linéaire entre l' et ~n donné par le choix de la base symplectique. On

...

' .

- not-el' a la representat~on sur par n.

Soit

W

€ L' (Rn). L'opérateur n(w) sur

L

2(Rn) _ es,

défini par:

~(w)

=

f

~(a,O,O)w(a)da

Rn

--

-.

f ' " . . . - - - ; ; . _ ... J ~_ . . . , . - , " " ' ... 1-. .. -' ... _'~_.I ... _ ~~"'~ L A _ • . - . " _ _ ,i. _. _ _ ... _ ,

..

-o

"

'.,

'

..

" ....

-C'est-à-d'ire

cation par la fonction

,-20-~ .. ~ J;''' ;..,

,

.l'~!i·

où

a·x

=

A , =, 111 ( -X ) f (x )

"

a, _'1:, i.e. a(x) = 1I1C-x)"

,

.

~oit

T : 4!(Rn)

-~ L~'(Rn)

vérifiant la condition

Ainsi p,ar conséquent Vg ~ G T 0 '1\' (111 )

=

T 0

1.

'1\' (a, 0 , 0 ) 111 (a ) da '\

Rn

=

f

T 0 'I\'(a,O,O)1I1(a)da.::....· . IRn =

f

'1\' (a , 0 , 0'; 0 T 1/1 Ca) da

'1\'

Ca,

0, O')tIJ (a )da 0 T ,;

/'

Un opérateur qui commute avec une classe.~ussi vaste d'opéra-teurs de multiplic.ation doit être l u i - é e un opérateur de multiplication M

h avec

co

h E: L • Le lecteur est prié de

con-sulter l'annexe l'. pour une preuve de ce fait. Donc T

=

Mn

avec h € L • co " .

.

, " "

i

~

.

,~

1

.'

(

-21-Or

Ce qui implique' que T doit

.... aussi commuter avec les translations. Ceci oblige la fonction h d'être constante presque partout. Donc T

=

11, 1 ~ ~.

Le critère d'irréductibilité a été vérifié.

,.

§4.

Theorème de Stone-Von Neumann

La section est entièrement consacrée au théorème dé Stone-Von Neumann. Il permet de résoudre le problème de la complé-titude des représentations décrites dans la section précédente. RappelIons qu'un système .de représentations est dit complet si toute représentation unitaire irréductible est équivalente

à

.'

l"une du système. Certains préliminaires seront nécessaires pour la preuve du théorème.

Soit (rr,H) une représentation unitaire de G. On dé- f finit la transforlÎlée de Weyl d'une fonction \jI f: L'(V) par:

J

rr(v,O)\jI(v)dv'

V

Une convolution est défini sur L' CV) qui diffère de la convolution ordinaire.

~

• $(v)

='J

~(u)~(v_u)e~iw(u,v)dU

V

On peut aussi l ' interpnéter comme une "vraie" convolution non plus sur V mais sur un espace homogène [7]. Néanmoins, i l est facile de v€rifier les propriétés usuelles d'une

con-

.

(~

.f

(

-22-En général, pour deux mesures complexes \..1 et.

v,

la

convolution est donnée par:

jJ ,il V (f)

=

f

J

f (u -tv ) e 1f i w (u , v ) d \..1 (u ) d v· (v')

V V

La transformée de Weyl pour une mesure comp1e~ ~ est:

Propriétés: Preuve: 1) ('( 2) 2)

W

1r(\..I)

,

W 1T(\..I) =

J

1T(v,O)d\J(v) V W 1T(u il v) = W1T<~) ~ W1r(v)

pour deux mesures complëxes sur V

W 1r<<j»* ;:: W1T(<j>*) où <j>" (x) ;: cp < -x) et cp E: L' (V). o W 1r(v) = W1f(\..I) 0

J

1T(v,O)dv(v) =

J

-W 1T(\..I)1T(v,O)dV(v)

=

_J

_J

1T(U, O)1T(V, O)d\..ldv

=

J

f

'!!'(u+v, O)e 1Tiw (u,v )dJ.ldV

=

f

1T(U,~)d\..l

* V = _W1T~\..I if v) <W (CP)f,g>

=

J

<1T(v,O)f,g><j>(v)dv f,g 1T

=

_J

< 1T ( -v ,

° )

f ,g ><j> ( -v ) d v

=

J

<f,1T(V,O)<j>(-v)g>dvl il

=

<f,W 1r($ )g>.

/

E: H ,

"

~'Y_~ r~ .... '._...:. . • :;.0 -

,

(i

(

-23-Soit H< un espace de Hilbert. V espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt est par définition H fi)

H

où H lest l'espace de Hilbert obtenu en cha~geant la multiplication sca'laire et le produit hermitien sur H:

"

À-X

=

lx

et

Il est commode de noter les éléments de H par x.

Ainsi on a:

Àx

=

Àx et <x, Y>H = <x 'Y>H

.\!)

-On rappelle que H ® H est naturellement plongé dans ";,.

l"espace des opérateurs de H noté LCH).

H t9

H

- > L(H)

x

®

y Cv) = <v, y>x où V e H.

Dans le cas où H

=

L 2 (X) avec X un espace rnesura:Qle, H ® H '; L 2

ex

~ X). L'isomorphisme est donné par:

- - >

f®g

--->

«x,y) - > f(x,g(yT)

Invers~ent

pour chaque K € L2(X x X) correspond l'opérateur K:

Kf (y) =

J

K(x ,y)f (x )dx. X

L'utilité de tous ces èoncepts provient de la proposition suivante.

Proposition L La transformée de ~eyl sr étend à un

iso-morphisme (d'espace de Hilbert) de L2CV) sur H t?) H dans le

"

"

(

(

",:,,24-cas où 1r = _1fR.

₌

_{Ind X et} H = L2(R,') ,.. ₌ H(R,).

L+G Consul.

t et' l.a

:.'

~

précédente les notationsw

sect~o'ft pour

J \

Preuve: soit 1{J € S (V), la classe de Schwartz

On

pose ainsi. V

W1r(1jI)f(~)

=

I l

R, R.' 21riw(x, ~_:l.) e 2.f(~-y)1jI(x,y)dxdy

=

J

l

e1riw(x'~+Y)f(y)w(x,~_Y)dXdY

R, R. 1

en changeant y par ~-y

KW(Y'~)

=

l

e1fiw(x'~+Y)1jI(x,~_y)dX

R.

W'Ir (tjI) f (

~)

=

J

K (y ,

~)f

(y) dy R,'

.

Q

Si l'on analyse de plus près le noyau K( y,~)

R.

=

~

x (-

(~;

y ) ,

~

-

y)

A

Les notations l/J_x = F x1J1 désignent la transformée de

Fourier partielle par rapPj'rt à la variable x. La transformée

'F _x : L2(V) + L2(R,1 x R,') est une isométrie surjective.

(

-25-a un détérmin-25-ant ég-25-al

à

-1. Ceci induit une isométrie de sur

- - >

La composition des isométries ci-dessus est exactement W_tt,

Donc

W

_n est une isométrie surjective.

Remarque: l~expression de K", petmet d'affirmer que '1' _ "

K1jJ € S ( R.' x R, ' ) si ljJ € S ( R. ' ) • Ce poin~ sera utilisé plus loin.

Définition: soient (lTl,H

l ) et (lT2,H2) deux représen:'" tations unitaires de Go' On dit que n 2 est un multiple de nI s ' i l existe un espace de Hilbert H et - une isométrie

sur-j ecti ve de Hl fi) H, sur H₂ tels que ment équivalentes

à

lT 2'

soient

unitaire-\

-Si { f . }

] j EJ désigne une base orthonormale de

H,

c'est-à-dire que H

=

L -

œf.,

.J

jEJ J alors H @ H =

L

o . J

JE

H ($) Itf .. o J Vu que Itf.

J est unidimensionnel,· H o

t.&J

q:f.

J est canoniquement

isomorphe à Ho' Donc Ho

®

H se décompose en une somme de copies isomorphes à

sentation:

H

o Ceci se reflète au niveau de la

repré-(

Par conséquent, si TI

o! et TIl vérifient la définition

ci-dessus, on a que lT l est isomorphe

à

une somme directe de représentations tous isomorphes à lT 0 d'où l'appellation de

(

-26-irréductibles sont multiples l'une de l'autre,'c'est dire qu'elles sont équivalentes.

Théorème de Stone-Von Neumann

Toute représentation unitaire (1T,H) de G telle que \ sa restriction au centre soit égale au caractère X i.e.

1T/Z(G) = XIH, est un multiple de 1TR, où R, € A est quelconque.

'----r

Preuve: on fixe R, € A et

...

verse a t. On notera_ par t' 1T o

trans-\

un sous-espace lagrangien la représentation 1T t sur _\

tel que BelO -' 1. 1

2 - J

sur Œe

l est donné par Mais

W

_1T

o : L

2

(V) + H fi) H est une

iso-o 0

morphisme d'après la proposition précédente. Donc il existe <Pl € S(V) (voir la remarqu<: suivant la proposition 1.) tel que:

est un proj ecteur i. e.

les propriétés de W 1T' on obtient:

o

<Pl

*

<Pl =

4>1

<P~

=

<Pl

et En utilisant

1

Ainsi on peut appliquer la transformée de Wey~ par rapport à la représentation 1T pour avoir un projecteur sur H.

Lêmme 1. Le sous-espace engendré par ou "

g E G et x € H est dense dans H.

(

".t .. '

/'

-27-U E: V. On doit vérifier que: y E: H <y,1T(g)W

1T(cf>"l)'11'(g)-lx>

=

0 Vg E: G 'lx € H entraîne que y == O.

o

= <y,1T(g)W_1T(cf>I)'11'(g)-lx>

=

I

<Y;'11'(u,O)1T(v,O)1T(-u,O)x>4>l (v)dv V

0

=

I

<y,1TCv,O)1T(O,w(u,v»x>4>I{v)dv V

0 =

I

<y,1TCV,O)x><fI_l(v)e-2'11'iw(u,v)dV V

car '11'(O,t)

₌

_{X (tn}

H

=

e 21Ti t I H

Or la fonction v ---> <y,'11'CV,O)x>cf>l(v) est continue et dans

L' CV) car la représentation e_st continue et

... ...- <;!

[<y,lT(V,O)x>/ :Ç Dy' 'xL j L'égalité ci-dessus indique que la _,

transformée de Fourier de cette fonction est nulle. Donc la

fonction elle-même est identiquement nulle.

~l (v)<y,lT(v"O)x>

=

°

'lx € H 'Iv € V M-ais ~l ~

°

car tel que ct> l (v o) ft 0 Pl = W'11' (4)1) 1. O. Donc i l existe V o E: V o

et par c'onséquent <y,'11'(v

o ,O)x>

=

0 'lx € H'" <

y ,

z> = 0 V Z € H.... Y =

o.

On se rappelle qu'on a obtenu un proj ecteur W_lT (<fi 1) sur

.-~~

" '

H. Le lemme montre en particulier que ce proj ecteur n' est pas

nulle car s ' i l en était ainsi '11'(g)W

1f{<fII )x = 0 Vx € H Vg E: G

qui n' est certainement pas dense dans H. On pose Hl = l'image

du projecteur W_1T<<fI_l ). Il reste à définir l'équivalence

uni-taire entre Ho ® Hl et H. Le sous-espace linéaire

l

,

1

f

j

f

"

- 1',- ...

~

.... -.. ___ ,.._ . __ . __

~~

.... _ .. ;

28

-{E c. Tf _i (g.) el} est invariant sous la représentation Tf i r

-~ 0 ~ 0 .

,

réductible. Do~c ce sous-espace est dense dans Ho" On va

dé-finir l'équivalence stl;r un sous-espace dense de Ho i) Hl"

a : Ho

C3

Hl - - > H aCE Tf o (gi)el

€J

Wi )

=

E Tf(g. )w. i j i ~ ~ W, <1r_O (gl)e l ,Tf_O(g2)e l >H <Wl'WZ>H o 1 Preuve: Ô

u désigne la mesure de Dirac concentrée sur u EV"

W 1r(ôu ft <Pl)

=

1T(U,O) 0 W1T(CPl) W 1r ($l'tIc ôu) = W1T($l) °1T(U,O)

=

X (t )<W_lT ($l)1r (u, 0) W 1T (<Pl )xl ,x2 > H en décomposant g = (u,O)(O,t) u E V et 1T (

a ,

t )

=

x (

t) l H D'autre part, Pl = W

lT _o (4)1) est le projecteur sur Œel , donc

<1T_o(g)e_l ,e_l > H Pl o' où g ....

=

(u, 0) " 1 ~ ~

(

-29-Grâce

à

la proposition 1., on en déduit que $1" Ô

u fi $1 =. <TI'o(u,O)e_{1,e l >} H 4>1· o l'égalité ci-dessus Avec la notation devient w· _J. '>i=1,2, = _{X(t)<WTl'«7T o (u,O)el'el > 4>l)xl'xZ>} Ho H

=

< X ( t ) TI' 0 (u , 0 ) el ' el> < W 1T ( $1 H' _a

Le pr.incipal problème est de montrer que l'application

a Ho @ Hl -.. H est bien déf inie sur un sous-espace dense de

Ho

&

Hl de la forme {I: TI' (g.) el ® w.}.

i 0 J. J. Supposons ) ( 1 alors donc

o =

0

₌

0

₌

I: 7T (g. )e_l ® w. =

°

i 0 J. J. 2 1 I: 7T (g.) el

®

w. 1 =

°

i 0 J. J. H

eH

o l 1: <TI' (g". )e l ,1T (g. )el> <w. ,w.> . . a J. 0 ] H 1. ] H J.,] 0 l I: < TI' (g . ) w. ,1T (g . ) w. > _{par le}

i,j

1. J. J . J H lE 1T(g.)w.1 2 i J. J.

H

a(I: '[o(gi)e_l ® w_i )

₌

L TI' (g . )w. )

i i 1 J.

lemme 2.

= O.

Ceci montre que ex est bien défini. Le lemme 2 indique, que a est une isométrie sur le sous-espace dense

,

(

F,

{I '\

(g i ) el @ W i} C d'analyse fonctio j ective sur H une équivalence

-30-Par les principes généraux s'étend

à

une isométr ie sur" ce au lemme 1.). L'application CL est

e les représentations 1T et 1T

o ® IH • ₁ En effet, on doit avoir:

Vg € G

Il suffit d'établir l'égalité sur un sous espace dense et par linéarité on peut se rédilire aux éléments 1T

o(g')e1 €> w. CL 0 (1T O(g) ® IH)(1To (g' )el x w) ;: a(1To (gg' )e1 @ w) ft; ;: 7T(gg')W

=

7T(g)rr(g')w = 7T(g) 0 a(1T o (g')e1 Q) w) Ceci achève la démonstration du théortme de Stone-Von

Neumar,m. ,

--

..

-,,-"._ .... ~ ... '~---_ ... , - - - - --..-,.---_.--, '

(

CHAPITRE

fI.

'--§l. Indice de Maslov

Suivànt-

-i'

exposé de G. Lion et de M. Vergne, je vais présenter l'indice de Maslov tel que défini par M. Kashiwara. L'indice associe un entier pour chaque triplet de sous-espace~ lagrangiens. On vérifiera qu'il constitue un invariant symplec-'" tique c'est-à dire qu'il dèmeure constant par l'action du groupe

symplectique. De plus, il présentera'un caractère cohomologique essentiel pour les applicat ions.

Définition: Soient t _l , t

2, t 3 trqis sous-espaces la-grangie<r{s. L'indice de Maslov est défini comme étant la s.igna-ture de la forme quadratique sur t

l $ t 2 ~ t 3 donnée par:

Q(x,y,z)

=

w(x,y) + w(y,z) + !ù(z,x).

En fait la forme bilinéaire associée

à

Q eSt:

B ( (x , y , z) , (x' , y' ,z'

»-

=

t

[ru (x , y' ) + w (x '"

~

y ) + W (y , z ' ) + w

5

y , , z)

-+ w(z,x' )+w{z' ,x)]

qui est symétrique. On note l'indice de Maslov par i(t

l ,t 2 ,t3 ). Ainsi i(t l ,t2, t3)

=

sign

Q.

Propriétés: Soient R._l ,t₂,R._{3 ( A} 1) i ( t 1,t2 ,R.3)

=

-iCt2,R.l't3)

=

-iCtl ,R.3,R.2 )· ""

C'est une conséquence immédiate de la définition. 2) iCgt

l ,gt2,gt3)

=

i(tl ,t2,R.3) Vg I! Sp(V). Ceci se déduit, du fait que la signature d'une forme

-31-'" ... . . . . - _ . , , , -"'< .. .>_ ... """' _ _ _ ' 'I_·I _ _ _ _ _ ~ _ _c·~_ ... '_"""'u~ _ _ . . . . _ . ... _ _ _ _ . .

-j

j

l

1

,

~ j;

~

l

()

~

l

l t, 1 '. "

1

_l'

t

_'. ~

t

,

1

t

1

J ;1 i'

,

~

i

f 1

1

1 i

1

1

t

~ 1 1 , ₁

1

_y f t

(

1 • 1 !

!

_t

-32-quadratique ne dépend pas de la base choisie pour la calculer. Il est à noter que l t indice de Maslov est un entier compris

entre -3n et 3n si diIn V = 2n. On verra à la fin de cette section qu'il est toujours compris entre -n et n. Lorsque

9.₁ et 13 sont transverses, l'indice peut être obtenue

ci 'une

façon différente. En fait elle constitue une secondedéfin7.tion

souv,ent utilisée, par exemple dans Geometrie asymptotics [2].

fIe

cas où les sous-espaces sont mutuellement transverses. Soient 9., l ' € A. transverses. Posons P pour la

pro-,j ection sur 9.'

1

parallèle

à

9., i. e. ' Ker P ~ 9.. On a la relation suivante:

oo(Pu,v> + w(u,Pv).= w(u,v) 'fu,v € V.

On montre ceci en 'observ.ant qu'il suffit dt établir l'égalité dans trois cas:

.

_. u,v € 1, u,v € l ' et u € 9., v

La vérification est immédiate.

E: 9. t • " On se donne 9. 1,1 2,9.3 E: A avec 9.1 et R.3 transverses. P .. ~J une

désigne l~Oiection sur 9.. parallèle

...

a 9. ••

forme

Ainsi

]

bili éa\t'e sur 9.

2 par :

s(x,~~

oo(x,P₁₃y) x,y € 9. 2

s

(y,x)

, j

-;1/

:: w(y,x) -

W(P13Y~~)"

:: w(x,P 13y) :: S(x,y)

U

e st symétrique.

s

l-..

On définit

Proposition 1. . Soient 1.1'9.₂ ,,9.₃ (A et 11' 9.₃ trans-verses, alors i(R.

l ,R.2 ,R.3) = sign S où S est la forme

quadra-tique définit ci-dess\ls.

-

'.

..

•

1

r.

(

1 -33":

1

Preuve: '~:Q(x,y,'Z)

=

w(xt-y) + w(y,z) + w(z,x)

=

w(x,P13 Y) + w(P31Y'z) '+ w(z,x) car· y :: P13 Y + P3lY E' t _{3 $ 11 :: V} Considérons l' iSOlJ\orphisme: 1.1 _, 1_{2 •} 1.₃ > 1.' $ 12 • 1.3 ( "'- 1

[~1

>

r -

PUYl

y : : " , y'

C'J

-

z

P13 Y

z'

Q(x',y',z')

₌

• w(Po ' ₃₁Y' ,puY') - li) (.X,'

,z' )

,

-=

w(y' _{,P l3}y') - "-~~'

,z'

L

~

.

"-> _,

.. .!'~ •

SCy'

,y')

=

w(Y' ,PlaY') est un'e forme

qua~.;'ltique

sur .1₂ et

w(x' , z' )

sur

~st' nulle.

DOnC'}Sign Q = sign

S -

sign w. Mai~

En effet, hoisissons une base symplectique

n n

'e . . i=1,2, ••• 2n

~ de V avec 11

=

_i=l

l

Re. _~ et t 3

=

_i::l liRe _n+~ .•

La forme bilinéaire associée à la forme quadratique

w

(x" ,z' ) est donné e par:

La matrice de A

A( (x' ,z'),

(x",z"»

=

~(w(x'

,Z") + w(x"

z'»

"i

es~

:

[0

0

î

Il

' } l ·0

par rapport à la base

Donc dans la nouvelle base e· _~ + e . ,

n+~ e. J. - e n+i i=1,2 n

la matrice 'de A ~~t:

~ -~

qui est de signature nulle dG>nc _{i(.1.1'1 2 ,1 3 )} :: sign Q ₌ / sign

S.

~i l'on suppose 1. 2 transverse à 11 et .1. 3 ' la forme " - 1 ~

" , , ~_"''''-'" .... _ _ , - " , " _ ' ' ' , 40-

. -

-~---,_.

-_. -,,----.... , ... ---... ---T

~_. • 'I o '-, -34-,

.

b:t.lin~aire S sur R.

2' devient non-d'~g~nérée car si'

S(x,y)

₌

w(x ,Puy)

₌

0 \/y E: R.

2 _.,,:

-~ w (u _{,P"13 Y)}

=

0 Vu € V carl R. 2 (9 R.

a

=

V ~ Puy

=

O.

,/

..., ~ Y € R. l mais y € 1.2 et R.l n .R.2

=

{O}

__ fi

~./'- donc

y

=

o.

. __

.

c~~

observation

va

servir

à

trou:'er une configuration particulièrement simple de trois sous-espaces lagrangiens mutuellement transverses.

Proposition -2. mutuellement transverses. Alors il existe un entier k,

cr

~ k ~ n et une base symplectique e.

~

i=1,2

2n tels que

n R. 1

=

l

Rei • t

i=l

.-n "i: . R. 2

=

.!

Ren+i

.'

~=l

,

_-' n

- '.':' ta-=

_.E

R(e. _~ + _Eien+i)

'.

~=l ~ t.

={

+l si i Si k "

oil

_{~ -1} si i > k et i(1. l ,R.2

,R.

a)

=

n-2k.

Preuve:

Soit

P la projection ~e V sur t

3 para~lèle

à

R.

l •

La forme S(x,y)

=

w(x,Py.) où

d'après la remarque ci-dessus.

i=1,2

n de _{1 2} telle que

S(en+i,en+_{j )}

r

x,y € R. 2 Ainsi il J, , 1 est nOn-déténérée existe une

)baSe

en+i

1

1 1 +1 :

si

i ~ k si i > k :

, 0 ( : ./'

..

,.; dt . . . , • , .. !t _"'P,o IIho

-, ' - -35-et sign S = n-2k.

Pa~ le fait' que _~l et t

2 soient transverses, on peut ~

, étèndre la base en+i à une base symplect ique e· _~ i=1,2 2n

où

₁₁ = n

E

Re. et _~2 ::

.E

n

Ren+i· Voir 1 du chapitr~ l . . 1 1

1= 1=1

Les' Pe +' _{" n ~} forment une base de _{13 grace au diagramme}

,

.

~ _.4~ ______ .

v

> t 3

1

_/

V /

1.f. ';

1 2 fi, isomorphisme S~en+l:,en+j) =

wCen+i,Pen+j)-= w(en ... ï~Pen+j - eni'j

y

= - e:.ô ..

J ~J

.t_l . et 1

2 étant transverses

est non-dégénérée

Tout ceci 'implique - e _n+] .

=

_.

e:·e·

] ] donc Pe - .

=

e:. e. + e . n+J J ] n+] = g.(e .. + E.e .). J ] ] n+] \, _,

C'est-à-dire que e .... e:.e .

]

J

n+] forment une base de .t3.

-,.6r"

On peut donner une interprétation de ce résultat. Le group~ symplectique agit transitivement sur l'ensemble des paires trans-verses de A, voir 1 du chapitre 1. Par contre, i l ne peut agir transitivement SUI' les triplets mutuellement trans~erses

1

de A car l'indice de Maslov fournit une obstruction à ce fait.

Si L3 dénote l'ensemble de tel triplet, L

3/ - est l'ensemble

quotient par la relation d'équivalence donnée par l'action du

(

-36-"

groupe Sp(V) sur L3. L'indice de Maslov est un invariant

symplect ique. Ainsi le diagramme comm~te.

~'La proposition précédente peut se formuler de la manière suiv,ante: ..l'application L3/"" ->:OZ est injective.

C'est-à-~

dire qu'un triplet de L3 est entièrement défini par l'indice

de,Maslov modulo l'action du groupe Sp(V).

Dans ce qui va suivre, je vais faire ressortirqle caractère cohomologique de l'indice de Maslov.

On, définit l'opérateur cobord

a

par:

ai('1,'Z.'3,'4)

=

_{iC1 2 ,1 3 ,1 4 ) - i('1,13 ,'4)} + _{i(ll ,1 2 ,14)}

- i(l l ,'2,'3) avec

1·

«::

A

1. i=1,2,3,4.

On va montrèr que

ai

=

o.

On exprime ce fait en disant que i ( · , · , · ) est un ,cocycle par analogie avec le schéma usuel de la cohomologie.

Proposition 3. Si '1,12,13,14 «::

A

alors _{ai('1,1 2 ,1 3 "4)}

=

o.

'-'

Preuve: en premier lieu, on suppose que 14 est transverse

à

Il' '2 et '3· ai

=

0 peut s'écrire

iC'1,1 2 ,1 3 )

=

i('1,1 2 "4) + i(1 2 "3"4) + iCI 3 ,11 "4)

...

J

1

~

(:'

(

, -37-iCR. l ,R.2,R.Lj.) sign 82 où

,

w(x_{2 ,PlLj.x;)} w(PJ_lx₂,x;)

=

8₂Cx 2,x2)

=

=

où

,

R. 2 x 2,x2 €. i<R.₂ ,R. 3 ,R.Lj.) où

,

,

,

=

sign 8 3 83(x3,x3)

=

w(x3,P2Lj.x3)

=

wCPLj.,2 x 3'x 3 )

où

,

R. 3 x 3,x3 € f

,

,

.i(R.₃,R._l ,R.Lj.)

₌

sign

_SI

où 8₁ (xl ,xl)

₌

w(x

l ,P34xl )

=

W (PLj.3 x l ,xl)

..

,

ou _{xl,x l} € _{R. l "} et 8₁ - 8₂ • _{8 3 (xl'x 2 ,x 3})= _{W(P 43}

x

_{l ,x l} )= w(~4lx2,x2)= _{UJ(P 42}x_{S 'x 3)} définie sur R. l li R.2 St t3 •

On considère l'applicc'3:tion linéaire de R.

l EB R.2 $ t 3 dans elle-même. X _{xl + PLj.l} x 2 > x 2 + PLj.2 x 3 x 3 + P43 Xl aidera

..

Le lemme suivant a montrer que

est un isomorphisme.

Lemme~ P₄ . PLj.'x,

=

x.

~ J ~ ~ Vi,j = 1,2,3

et

PI'euve: _{W(P4iP4jXi'X~)}

=

_{WCP4jXi,Pi4x4)}

=

UJ (P 4j Xi ' X 4)

Mai menant supp osons

=

w(xi,PjLj.xLj.) X •• ~ Xl + P_{4lx 2}

=

a

x 2 + P 42x3 = -

a

x 3 + P Lj.3xl

=

a

1 " YI

=

_Y2

\ Yg ( app ~ication cette i 'F j X. € R. •• ~ ~" , \ f ... -:"

.'

1

1 1 ~

1

1 l

•

(

Mais ,.. v "" f' - J __ 38 -X 2 = P4lx 2 + P14x 2 = -xl + P 14x 2 ~ x l +x 2 € R,4·

o

=

P₄₃(x 2 + P42x3)

=

P43x2 + x3 d'après le lemme. Or _{x 3} + P43xl

=

0 ce qui,implique P43(x_l - x₂)

=

0 ~ _{xl - x 2} E R. 40 Donc

x

2 ~, R, 4

=+

x 2 =

a

= xl = x 3 0

Ce résultat permet d'utilise~ Y

l , Y2 nouvelle variable. et Y3 comme

\

W(Yl'Y2 )

=

w(x l ,x 2 ) + _{w(x l ,P 42 x 3 )} + _{w(P 41x 2 ,x 2 '} + w(P41x2,P42x3) w(Y2'Y3)

=

_{w(x 2 ,x 3 )} + _{w(x 2 ,P43xl) + w(P 42 x 3 ,x3 )} + w(P42x3,P43xl) w(Y 3 'Yl)

=

w(x 3 ,x l ) + _{w(x 3 ,P 4}

i

x 2) + _{w(P43x l'x l )} + w(P43 x l,P4l x 2) Or _{w(x 1 ,x 2 )} + _{w(x 2 ,P 43x 1 )} + w(P43xl,P41x2)

=

a

et de même pour les deux autres relations obtenues en réunissant tous les termes contenant x₂' x₃ et finalement xl' x₃. Je vais prouver la relation ci-dessus les autres étant semblables °

W(x₂,P

43xl ) = W(x2,xl ) - W(P43x2,xl )

w(P 43x l ,P41x 2) = _{w(x l ,P 4Ix 2 )} w(xl,P43P41x2)o Additionnons en notant que w(xl,P41x2)

=

a

w(xl'X 2 ) + _{w(x 2 ,P 43x 1 )} + _{wO?43 x l'P 4lx 2 )}

=

w(xl,P43(x2-P41x2»

=

0 car x₂ - P_4lx

2 E t 40

Ainsi la somme w(YI'Y2) + w(Y2'Y3) + w(Y3'Yl) devient égale

à

w(P43xI'xl) + w(P

41

x_{2 ,x 2 )} + w(P42~3,x3) qui est exacte-ment Sl fi S2 lP S3.

Donc _{i(R,1,R,2,t 3 )}

=

sign

Q

= sign Sl + sign S2 + sign S3: Ceci achève la démonstration dans le cas où _{t 4 est transverse}

à

t

l , t 2 et t 30 Dans le cas général, i l suffit de choisir

(

-39-un R. E: A _R.lj.. On expr~e

i(R.. ,R.. ,R.

k)

~ J en fonction de iCL,L,R.) ~ J et le résûltat s'ensuit.

Il est intéressant de s'interroger sur les valeurs que peut prendre l'indice de Maslov. D'après la définition, sa valeur doit être un entier compris entre -3n et 3n si dim V

=

2n. D'autre part, si parmi les trois sous~espaces il y a une paire de transverses, la proposition l indique que l'indice doit être entre -n et n. La question est de savoir si l'indice oscille entre ces deux bornes. Afin de résoudre ce problème, i l faut

1

développer un peu de machineries.

Soit E un sous-espace isotrope de V. La forme symplec-tique w définie une structure symplectique sur E~/E. Si W

est un sous-espace de V, on définit

(W + E) n E~ = (W n E~) + E Propr :i,.été :

f

.L E (WE ) = (W~) (WE ) .L E

En effet

₌

(W+E) ~ + E

₌

(W~ n E~) + E

₌

(W.l.) en utilisant les propriétés de .L. (Voir 1. du chapitre 1).

Si R. E

A

alors R.E €

A.

_,.1 Lemme: Soient R. l ,R.2,R. E A verifiant la relation R. = R. n R. 1 + R. n R. 2 alors i (R. l ,R.,R.2)

=

O.

Preuve: _{on introduit ,El' E 2 sous-espaces de V tels que} Ei c R. n R.

i i=1,2 et R,

=

El + E2 . La forme quadratique

Q

sur .t_l œ R. $ R.₂

=

.R._l $ El • E 2 lB R.₃ devient: