Mathématiques Mme LE DUFF Terminale STAV
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I – Limites à l’infini.
1) Limite finie.
Définition : On considère une fonction f définie sur un intervalle du type
]
a
;
+∞
[
. On dit que f(x) tend vers le nombre réel L lorsque x tend vers+
∞
si f(x) est aussi proche que l’on veut de L à condition de prendre x suffisamment grand.On note : f x L
xlim→+∞ ( )= . On dit que f(x) tend vers L quand x tend vers
+
∞
.Définition : La droite d’équation y = L est appelée asymptote horizontale à la courbe représentative de f en
∞
+
.Limites à connaitre.
Propriété (admise) :
Pour tout entier naturel strictement positif n : lim 1 =0
−∞ → n x x et 0 1 lim = +∞ → n x x
L’axe des abscisses est donc asymptote horizontale à la courbe représentative de ces fonctions.
2) Limite infinie.
Définition : On considère une fonction f définie sur un intervalle du type
]
a
;
+∞
[
. On dit que f(x) tend vers∞
+
lorsque x tend vers+
∞
si f(x) est supérieur àn’importe quel réel M choisi à condition de prendre x suffisamment grand.
On note : =+∞
+∞ → ( )
lim f x
x .
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Définition : On considère une fonction f définie sur un intervalle du type
]
a
;
+∞
[
. On dit que f(x) tend vers∞
−
lorsque x tend vers+
∞
si f(x) est inférieur à n’importe quel réel M choisi à condition de prendre x suffisamment grand. On note : =−∞ +∞ → ( ) lim f x x . Limites à connaitre. Propriété (admise) :Pour tout entier naturel non nul n : =+∞
+∞ →
n
xlim x .
Si n est pair alors : =+∞
−∞ →
n xlim x
Si n est impair alors : =−∞
−∞ →
n xlim x
II – Limite infinie lorsque
x
tend vers un nombre réel
a
.
Définition : On considère une fonction f définie sur un intervalle du type
] [
b;
a
avec b<a. On dit que f(x) tend vers+
∞
lorsque x tend vers a par valeur inférieure à a, si f(x) est supérieur à n’importe quel réel M choisi à condition de prendre x suffisamment proche de a.On note : − =+∞ → ( ) lim f x a x ou =+∞ < → ( ) lim f x a x a
x . Cette limite est appelée limite à gauche de a.
Définition : On définit de manière analogue =−∞
< → ( ) lim f x a x a x .
Définition : La droite d’équation x = a est appelée asymptote verticale à la courbe représentative de f en a.
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Page 3 sur 4 Propriété (admise) :
Pour tout entier naturel strictement positif n : =+∞
> → n x x x 1 lim 0 0
Si n est pair alors : =+∞
< → n x x x 1 lim 0 0
Si n est impair alors : =−∞
< → n x x x 1 lim 0 0
L’axe des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe représentative de ces fonctions.
III – Opérations sur les limites.
Somme, produit et quotient de deux fonctions.
a désigne ici un nombre réel, ou ±∞.
Lorsque les propriétés énoncées ne permettent pas d’obtenir directement la limite recherchée il faut adopter une autre démarche déterminer la limite, on parle alors de forme indéterminée notée FI.
Dans les propriétés suivantes, l et l’ désignent des nombres réels.
Si f a pour limite en a l l ou
∞
+ l +∞ −∞
Et g a pour limite en a l’ +∞ −∞ −∞ −∞
Alors f + g a pour limite en a l + l’ +∞ −∞ FI −∞
Si f a pour limite en a l l l +∞ −∞ 0
Et g a pour limite en a l’ +∞ −∞ −∞ −∞ ±∞
Alors f + g a pour limite en a l l’
∞ + si l>0 ∞ − si l<0 ∞ − si l>0 ∞ + si l<0 −∞ +∞ FI Si f a pour limite en a l l l l ±∞ 0 Et g a pour limite en a l’≠0 0 + 0 − ±∞ ±∞ 0
Alors f + g a pour limite en a ' l l +∞si l>0 ∞ − si l<0 ∞ − si l>0 ∞ + si l<0 0 FI FI
Formes indéterminées.
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Cas des fonctions polynômes.
Propriété (admise) :
En±∞, la limite d’une fonction polynômes est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
Cas des fonctions homographiques.
Propriété (admise) :
En±∞, la limite d’une fonction homographique
d cx b ax x + +
a , où c≠0etad −bc≠0, est égale à
d c
