Types dans les corps valués munis d'applications coefficients

ILLINOISJOURNAL OFMATHEMATICS Volume 43, Number 2, Summer 1999

TYPES

DANS

LES

CORPS

VALUIS

MUNIS

D’APPLICATIONS

COEFFICIENTS

Luc

BILAIR

ABSTRACT. WetransposeDelon’sanalysisoftypesinvaluedfields tounramifiedhenselianvaluedfields of mixed characteristic,by usingcoefficientmapsof order n. ThisyieldstheAx-Kochen-Ershovtransfer principlefor theindependenceproperty in this class of valued fields.

1. Introduction

Dans

[2], l’analyse de Delondes typessurles

corps

valu6sest

transpos6e

dans

le formalismedescorpsvalu6s munis d’uneapplication coefficient, c’est--dire un

homomorphisme du

groupe

multiplicatifdans le

groupe

multiplicatifdu

corps

des

restes,homomorphisme quiprolongele

passage

au restepourles616mentsde valua-tionnulle.

Les

typessur uncorpsvalu6 hens61ien decaract6ristiquer6siduellenulle se rambnent alorshquelquesdonn6es valuationnelles, untypesurlecorpsr6siduel, et un

typesurlegroupede valuation(voirle th6orime 6.1 ci-dessous).

Tout

devientalors

transparent, enparticulierles coh6ritiers et lapropri6t6 d’ind6pendance.

Dans

cet article, avec un formalismeanalogue d6jconsid6r6

par

vandenDries(d6finition 3.3 ci-dessous),nous traitonsle cas descorpsvalu6s decaract6ristiquez6ro avec uncorps

des restes decaract6ristiquep > 0,non ramifi6s.

Comme

auparavant

([5],

voir[2]),

on obtient unth6orbme la Ax-Kochen-Ershov

pour

lapropri6t6 d’ind6pendance:

uncorpsvalu6 hens61ien d’in6gale caract6ristiquenon ramifi6possidelapropri6t6 d’ind6pendancesi etseulement si son

corps

des

restes

ou songroupede valuation la

posside,sietseulement si son

corps

des restes laposside (voir

[9]).

Cecig6n6ralise

le cas du

corps

des nombres p-adiques, obtenu

par

Matthews [17], qui

n’a

pas la

propri6t6 d’ind6pendance.

Les

r6sultats de cet article se transposent directement

au casde la ramification finie, en ajoutantune constanteappropri6e.

La

propri6t6 d’ind6pendancesusciteunnouvelint6rtparticulier

par

son lien avecla dimension de

Vapnik-Chervonenkisetlesr6sultatsdeMacintyre-Sontagenintelligenceartificielle

(voir 15]et

16]).

ReceivedMarch3,1998.

1991 MathematicsSubjectClassification.Primary03C60, 03C 10,12J 10,12L12.

would liketorepayanold debt and thank thelogicgroupand theDepartmentof Mathematicsatthe Universityof Illinois in Urbanafor theirhospitalitywhen was avisitinggraduatestudent in 1984-85. Cesr6sultatsont6t6obtenus lors d’uns6jour,aott95 avril96, dansl’lquipedelogique math6matique de l’Universit6 Paris7. Jetienstremercierl’lquipepoursonhospitalit6. Soutien financierCRSNG.

()1999bythe BoardofTrusteesof the University of Illinois Manufactured in the UnitedStatesof America

Au

paragraphe

2,on fixela notation etla terminologie.

Au

paragraphe

3,ond6finit les applicationscoefficients eton donnela propri6t6 c16utilis6edans la suite.

Au

paragraphe 5,on montre un th6orimed’61iminationdesquantificateurs

par

rapportaux variables du

corps

de base

pour

les

corps

valu6shens61iensd’in6gale caract6ristique

non ramifi6s, en utilisant unsystime d6nombrable d’ applicationscoefficientsd’ordre

n. Onillustrelesarguments decette d6monstration au

paragraphe

4,endonnantune

preuve

du th6orime d’61imination de

Pas pour

les

corps

valu6s hens61iens

d’6gale

caract6ristique 0avec uneapplicationcoefficient.

Au

paragraphe 6,on axiomatiseles typesdans le formalismedes applicationscoefficients.

Au

paragraphe 7,onapplique

cetteaxiomatisation ladescription descoh6ritiers et la propri6t6 d’ind6pendance.

Je

remercie

B.

Poizatde m’avoirindiqu6 lelienentreuneappliCationcoefficient etlecorpoi’dede

Krasner.

2. Notationet terminologie

Le

langagedes

corps

valu6s

Z

sera lelangage trois sortes,

pour

le

corps

debase,

legroupede valuation et le

corps

des restes, muni d’unsymbole

pour

lavaluation et le

passage

au reste(toujours

surjectifs),

avec le

langage

des anneaux

pour

le

corps

de

baseetle

corps

des restes, etle

langage

des

groupes

ab61iensordonn6s

pour

le

groupe

de valuation.

Pour

un

corps

k, k d6signeson

groupe

multiplicatif.

Pour

un

corps

valu6(K, v),

vK

d6signeson

groupe

de valuation comme

groupe

ab61ienordonn6,

A(K,v),

ou

Av,

son anneaude valuation,m(K),ou m, l’id6al maximalde l’anneaude valuation,

Ko

son

corps

des restes et le reste de x siv(x) > O.

Nous

dirons

qu’un

corps

valu6estdecaract6dstique (0, 0),sile

corps

debaseet

le

corps

desrestes sontde.caract6ristique 0; decaract6ristique (p, p), sile

corps

de

baseetle

corps

desrestes sontde

caract6ristique

p > 0;et decaract6ristique (0, p),

sile

corps

de base est decaract6ristique 0etle

corps

des restes de caract6ristique p>0.

Soit(K, v)un

corps

valu6 decaract6ristique (0, p)non ramifi6, c’est--dire

que

v(p) est l’616ment positif minimum de

oK.

On pose

M,,(K)

_Mn

{x

A(tc,v):

v(x)

> (n

₊

l)v(p)},

An(K)

_An

A(r,v)/Mn(K),

et Pn:

A(IC,v)

"-A,,(K) d6signe l’application canonique. Onnote

que Mo(K)

re(K),

Ao(K)

_Kv.

Le sous-groupe

Zv(p) est un

sous-groupe

convexe de

vK

etinduit une valuation

i)"

K

vK/Zv(p).

On pose K

K,

rh(K)

{x

6

K" )(x)

>

0}

et

lereste de x pour/; v induit une valuationsur

K

,

aussi not6e v, dont le

groupe

de valuation estZv(p). Soitkun

corps

decaract6dstique p > 0,

W(k)

d6signele

corps

desvecteurs de Witt.sur k, avecla valuation naturelle.

Nous

allonsutitiser le fait

que

l’anneau

W

(k)

desvecteursdeWittdelongueur estd6fini

par

le produit

cart6sien

U

muni d’une addition etd’une multiplication d6finies

par

des identit6s

polynomiales

t

coefficients dans

Z,

etlefait

qu’on

atoujours A,,(K)

W,,+(Ko)

de.

_faon

canonique.

412 LUC

BlLAIR

induitde

oK

dans

vL,

_fre.

leplongementinduit de

_Kv

dans

Lv,

et

fres,,

le

plongement

induit de

An(K)

dans

An(L)

siles

corps

valuessontde caractEristiques

(0,

p).

3. Applicationscoefficients

Dfinition

3.1.

Une

applicationcoefficientd’un

corps

valuE, disons (K, v),est

unhomomorphisme de

K

dans

_Ko

x,

disons co, telque

co(u)

₌

si

v(u)

O.

Exemple 3.2.

(1)

Soit

K

k((T))

le

corps

des series formelles sur le

corps

TN+I

k, avec la valuationnaturelle: pour

_f

asT

N

₊

as+l

+

...,

avec

as

0,

v(f)

N. L’applicationdEfiniepar

co(f)

as

estune applicationcoefficient.

(2)

Soit

K

Qp

le

corps

desnombresp-adiquesaveclavaluationp-adique,alors

l’application

co(aspN

+

as+l

pS+t

+

...) as, avecaidesentiers0 < ai < pet

as

-

O,estuneapplicationcoefficient.

(3)

Soit(K,v)un

corps

value et?’unesectiondela valuation, alorsl’application

co(x)

_.x

,

(x-

estuneapplicationcoefficient.

Cettenotion

apparaSt

dans[6], elleestutilisEedans

18]

puis [7],elle est 6tudiEe

dans

[8]

et

19]. Puisque

le

groupe

multiplicatifdes616ments devaluation nulle est

purdans

K

on voit

qu’on

aura une

application

coefficient dis

que

le

groupe

abElien

K

est pur-injectif. I1 s’ensuit

que

tout

corps

value a une extension 616mentaire

qui possideune application coefficient(voir

[19]).

En

utilisantla construction de

l’exemple

3.2

(3),

cecidEcouleaussi durEsultatsemblable

pour

unesection de la val-uation. Denef

[6]

remarque que

1’ application coefficientci-dessus

pour

les nombres

p-adiquesestdEfinissable dans le

langage

des

corps

values

E,

essentiellement

parce

quele

corps

rEsiduel est fini. I1 yades

corps

valuessansapplicationcoefficient(voir

[19]).

I1

y

ades

corps

values avec uneapplicationcoefficient mais sans section dela

valuation.

En

effet, on

n’a qu’h

fairelaconstructionclassiqued’un

corps

de series formellesgEnEralisEesavecunemultiplication<< tordue>>(voir 11],section2),mais enprenantuncorps decoefficientsk dontle

groupe

multiplicatif k estpur-injectif.

De

plus,Scowcroft

[21

a construit des

corps

p-adiquementclossans section dela

valuation p-adique; ces

corps, par

la

remarque

de Denefci-dessus, foumissentdes exempleseninEgale caractEristique.

Pour

les corps values de caractEristique (0, p),ona besoinde

plus.

Dfinition

3.3

[8].

Soit(K,v)un

corps

value et

I

un idealde l’anneau de

valu-ation

_Ao.

Une

applicationcoefficientd’ordre

I

estunhomomorphismede

K

dans

(A/I)

,

disons co,tel

que co(u)

u

+

I

si

v(u)

O.

Exemple 3.4.

(1)

Si

I

est l’idEal maximal de

Ao,

alors on retrouve la notion

prEcEdente d’ applicationcoefficient.

(2)

Soit

K

Qp

le

corps

des nombresp-adiques avec la valuationp-adique et

pn

av+

P

+

+

av+n

estuneapplicationcoefficient d’ ordre

I. C’

est1’ application

co(x)

p-(X)x

mod

I.

Nous

n’utiliseronsquedesapplicationscoefficients

pour

les id6aux

I

{x: v(x)

> n

+

commedansl’exemple

pr6c6dent.

Soit(K,

v)

un

corps

valu6 de caract6ristique (0, p).

Nous

appelleronsapplication

coefficient

d’ordren, not6e con, une

applica-tion coefficient d’ordre

_Mn

(K), avec la convention co

_coo.

On

peutnoter

que

la

remarque

de Denef ci-dessus s’applique aussi aux applications coefficients de

l’exemple

3.4

(2):

elles sont d6finissablesdans Z;.

Dans l’exemple

3.4,ona en fait une suite

(con)n=O,

qui estcompatible avec le systime projectif naturel des an-neaux r6siduels An(K), c’est--direCOn+lYgn COn, 0[1 7l’n’.

An+I(K)

"-+ An(K)

estlasurjection canonique.

Nous

seronsamen6si consid6rerplut6tde telles suites

d’applicationscoefficients. Puisquele

groupe

multiplicatif des

616ments

de valuation nulleestpurdans

K

on voit

qu’on

auraune applicationcoefficientd’ordre n dis

que

legroupeab61ien

_An

(K) estpur-injectif.

En

utilisantle th6orime decompacit6

on obtientle lemme suivant.

LEMMA

3.5.

Tout

corps valud (K, v)decaracMristique (0, p) a une extension dlmentaire quipossde une suited’applications

coefficients,

(COn)h=O,l

...

qui est

compatibleaveclesystkme projectifnatureldesanneauxrsiduels

An(K).

Dans

le cas des

corps

valu6s(K,v)decaract6ristique (0, p)non ramifi6s, le lemme

pr6c6dent d6couleausside l’existenced’uneextension 616mentaire munied’une sec-tion normalis6e

,

de la valuation, c’est--dire ?,(v(p)) p,

par

une construction

analogue celle de

l’exemple

3.2

(3).

Soit(K,v)un

corps

valu6. Consid6rons la suite exacte

1--

_K

-

K/l

+m(K)--

vK

O

Une

application coefficient co induit la scission de cette suite

par

une r6traction c--6:

K

/1

+

m(K)

_K.

En

effet,uneapplicationcoefficientcose factorise

par

K

/1

+

m(K), disons-’6, eton a 6(i(g))

g,

puisque

co(x)

si

v(x)

0;

la suite exacte est donc scind6e

par

-’6.

Et

r6ciproquement, en composant une

r6traction -6:

K/I

+

m(K)

_K

provenant d’une section de la suite exacte, avec 1’application canonique

K

K

/

+

m(K),onobtient uneapplication

coef-ficient.

La

suite exacte ci-dessus estlastructuresous-jacenteaucorpo’ide de

Krasner

associ6aucorpsvalu6(K, v) (voir 12]);uneapplicationcoefficientcorrespond donc

exactement

?

une section ducorpo’fdede

Krasner.

De

m0,me,uneapplication coeffi-cientd’ordre

I correspond

exactementitunesectiondelasuiteexacte

(Av/I)

--+

K

/1

₊

I

--

vK

--+ 0

Vues

sous cet

angle,

les applicationscoefficients sont iirapprocher du formalisme

414 LUC

BtLAIR

K/I

+

Mn

(K)

sontfondamentaux.

Nous

allons exploiterce lien

pour

obtenir un

thEorimed’Elimination semblableavecleformalismedesapplicationscoefficients.

Ces groupes

semblentstandardenthEorie des nombres(voirles <<

congruences

mul-tiplicatives>>de

Hasse [10]).

Le

lemme suivantexpliquela

grande

flexibilitEd’unformalismequi incorpore les applicationscoefficients.

LEMMA

3.6

[8].

Soit

I (x)

une

_formule

sansquantificateursdulangage des corps values

E,

qui

dfinit

unidealde l’anneaude valuation. Soient(E, v, co)et(F, v, co)

des corps values munisd’une application

_coefficient

d’ordre

I (E)

et

I

(F), l’iddal

dfini

par

I (x).

Soit unplongement de

Av(E)/I (E)

dans

Ao(F)/I

(F). Soit

K

un sous-corps de

E

et unplongement de corps valu de

K

dans

F

tel que

(co(x))

co(i (x)), pourtoutxdans

K.

Soit

K

C

L

C

E

uncorpsintermdiaire

et Lunplongementdecorpsvalues de

L

dansFquiprolongei.

Supposons

qu’ilexiste

unsous-groupe Gde

L

telquev

L

v

K

₊

vG

etunensemble degdnrateurs

H

deG

telque

fl(co(h))

co(il(h)),pourtout h dans

H.

Alors ona(co(y)) co(il(y)),

pourtouty dans

L.

Dmonstration.

On

note

qu’on

aalors

fl(co(z))

co(i(z)),

pour

tout

z

G.

Ainsi touty

L

s’exprime y xzu,

pour

un certainx

K,

z

Get

u

L

tel

que

v(u)

0,et onconclut directement.

Comme

casparticulier du lemme

prEcEdent,

onpeutmentionnerles extensions immEdiatesdecorpsvalues.

4.

llimination

avec une applicationcoefficient

En

ajoutantunnouveau

symbole

coaulangage

E

on obtientle

langage

_Eo

des

corps

values munis d’uneapplicationcoefficient.

Les

theoriesde

corps

valuesdans

celangageserontmunies des axiomes

pour

co.

Rappelons

le thEorime d’Elimination

desquantificateurs

par

rapport aux ElEmentsdu

corps

debase de

Pas ([ 18];

voir

[7],

(3.5)).

THtORME

4.1.

La

thoriedescorps valueshensliens decaractristique

(0,

0)

admetl’liminationdes quantificateurs parrapport auxlmentsducorps de base

dans lelangage

.co.

Pas

montrece thEorime essentiellement

par

Eliminationdirecte.

Dans [8]

(chap. 2, .5), van den Dries montre un thEorime deplongement qui foumitune preuvede thEoriedes modiles duthEormede

Pas.

I1se dEduitaussi du thEorime d’Elimination deBasarab de

]. Pour

illustrerles

arguments

utilisEs lasection suivante dansle rEsultatd’Eliminationen caractEristique (0, p), nousallons dEduirelethEorimede

Pas

de celui deBasarab.

On

utiliseleth6orimede

plongement

2.1 de Basarab

([

])

qui

correspond

dans cecas exactement l’61imination

([ ],

th.

A

ou

B).

Nous

allons

6noncer succinctement ce th6orime. Soit(K,v)un

corps

valu6 de caract6ristique 0.

Si

_Kv

est decaract6ristique p > 0, alorsen utilisantle

sous-groupe

convexe

H

de

oK

engendr6

par

v(p)on obtient une valuation

:

K

--

vK/H.

Avec

lanotation

analogue/i celle d6jiutilis6e,d6signons

par

i/’0

la structure

((K

,

v),

K

x/1

+

rh(K),/K,

K

x

_K

x/1

+

rh(K)

-

/K

0)

Si

_Ko

estdecaract6ristique 0, d6signons

par

i/f0

lastructure

(Kv,

K

/1

+

m(K),

oK,

_Kv

x

K

/1

+

m(K)

--

oK

--

O)

Appelonsles structures

K0

des co-structures.

THIORME

4.2 [1,th.

2.1].

Soit(K, v) uncorpsdecaractdristique 0,et(L, v),

F,

v) desextensionshensdliennesde

K

v) telles que

F, v)

est

L

I-pseudocomplet.

Soitun

o-plongement

_lz:

,o

--

o

deco-structures(dansunsensdvident). Alors il existe un (K, v)-plongementdecorps valuds(L,v)

--

(F, v) qui induit le

plonge-ment

Pour

le th6orime d’61imination4.1,ilsuffitdemontrer le lemmedeplongement

suivant.

LEMMA

4.3. Soit (K, v, co) de caractdristique

(0, 0).

Soient

(L,

v,co) et

(F, v,co) desextensions hensdliennes de (K,v,

co)

telque (F, v,

co)

est

L

+-saturde. Soitor: v

L

oF

unplongementdegroupesabdliens ordonnds tel que

ot

It=

idet

:

_Lo

_Fo

unplongement de corps tel que

_fl

_IKv=

id. Alorsilexiste

unplongement

_f:

(L, v,

co)

(F, v,co)telque

_f

_IK

id,

_fv

tz,et

_fres

[J.

Ddmonstration.

On

a des sections des suites exactes suivantes, au-dessus de (K, v),donn6es

par

les b"6d6jvus

1-+

_L

L

X/l

+

m(L)-

vL--

0

1---

_Fo

x

F/I

+

m(F)--

vF---0

On

obtientdes isomorphismes

L/1

+

re(L)

_Lv

x vL

416 LUC

BLAIR

etviacesisomorphismeset

or,/,

unplongement

xor:

L/I

+

m(L)

FX/l

+m(F)

tel que/ xo

_Ir/l+mCr)--

id.

Le

plongement/ xc correspondi unplongement

de lapremieresuite exactedansla deuxime,quicoi’ncideavecl’identit6 sur la suite exacte

Kvx--

K

/l+m(K)--

oKO

Le

th6orme 2.1 de [1] s’applique donc et on obtient un

plongement

de

corps

valu6sr/: (L,v) (F, v) telque

r/It=

id et

r/induit

leplongement/ x

.

Mais

r6interpr6t6en termesdeco, celaimplique

que

r/est unplongement danslelangage

L,,.

Leformalismede estreprisparKuhlmanndans[ 14]

ott

il obtient un th6orime d’61imination

analogue

en caract6ristique (p,p)

pour

les

corps

valu6s de

Kaplan-sky (c’est-h-dire v

K

p-divisible et

_Kv

sans extension de degr6 divisible

par

p)

alg6briquementmaximaux 14, th. 2.6].

La

discussion ci-dessus s’applique eton

obtientle r6sultat suivant.

THIORME

4.4. Lathorie des corps values decaractristique (p, p)de

Kaplan-sky algbriquementmaximauxadmet l’limination des quantificateurs parrapport

auxlmentsdu corps de base dans lelangage

,co.

Les

th6orimes ci-dessus entrainent directementlesprincipesd’Ax-Kochen-Ershov

correspondantsdans le

langage/2,.o

(voir

[7]).

Kuhlmann

13]

amontr6la validit6 des

principesd’Ax-Kochen-Ershov dans lelangage des

corps

valu6s decaract6ristique

(p,.p) pourles

corps

alg6briquement maximauxparfaits.

A-t-on

l’61imination des

quantificateurspar rapportaux616mentsdu

corps

de base dans lelangage

2,.o

dans ce

cas?

5.

llimination

en

in,gale caractristique

avecles

applicationscoefficientsd’ordren

Introduisons le

langage/2,.o,

obtenu dulangagedes

corps

valu6s/2enajoutantdes

symboles pourune suitecompatible

(co,,)n=O,

d’applicationscoefficientsdechaque

ordre n, et dessymboles v,, pourles applications canoniques vn"

Av

A,,. Dans

celangagelescorps valu6sserontdes structures

multisortes,

not6es (K,v, (con)), du typesuivant

(K,

oK,

(An(K))n=O,

...

K

--

oK,

(A,-

An(K))n=O,

...

(K

An(K))n=o,

))

THIORME 5.11

La

thorie descorps valueshensliensde caractristique (0, p)

non

_ramifies

admetl’liminationdes quantificateurs parrapport aux.lments du

corpsde base dans lelangage

.co.

COROLLAIRE

5.2. Soient(Ki,vi,con)), 1,2 des corps valudshensdliensde

caractdristique(0, p)nonramifi6s. Alors

(1)

(KI, vl,(COn))

=--

(K2,rE,

(COn))

sietseulementsi

_oKl

_vK2

et

Kl,v

=--

KE,

v.

(2)

(KI,vl,(con)) "< (K2,02,

(con))

si etseulementsi

vKl

_

vK2

et

An(KI)

"<

An

(K2),pourtout n.

Dmonstration.

La

partie

(2)

d6coule directementdu th6orime.

Pour

(1), on

remarque

que Ao(Ki)

Ki,o

et, les

corps

6tant non ramifi6s, An(Ki) est

canon-iquement isomorphe h 1’ anneau devecteursdeWitt

_Wn+

(Ki,v). Or

Wn+l

(Ki,v)

est

uniform6mentd6finissable sans

paramtre

dans

Ki,v. Les

arguments standard

per-mettentd’obtenir(K, v,

(con))

=--

(K2,v2,

(con))

si etseulementsi

vK

=--

vK2

et

An(K)

An

(K2),

pour

tout n, et onconclut

par

la

remarque pr6c6dente.

Le

th6orme 5.1 d6couledefaqon standarddu th6orime deplongementsuivant.

THIORME

5.3. Soit(K, v,

(COn))

uncorps valud decaractdristique (0, p) et

(L, v, (COn)), (F, v, (COn)) desextensionshensdliennes non

_ramifids

de (K, v, (COn)),

telsque (F, v, (COn))

estl

L

_I+-saturd.

Soitt:

vL

oF

unplongementde groupes

abdliens ordonndstel

que

a

_IrK

id; soient

n:

An(L)

An(F)

des plongements

d’anneaux telsque

n

IAnK)

idettelsqueles

n

soientcompatiblesavec lesystdme projectifnaturel des

An,

c’est-?t-dire

_nZrn

.Zrntn+l,

Oft Zrn"

An+i

-

An

estla

surjectioncanonique.Alorsilexisteunplongement

_f:

(L, v,

(COn))

(F, v,(COn))

telque

_f

_IK

id,

_fo

,

et

_fresn

n

pourtoutn.

Le

th6orime5.3se

ramne

au th6orime2.1

de[

],mais

pas

defaqonaussi directe

qu’en

6gale caract6ristique 0.

Dmonstration.

On

a des sections des suites exactes suivantes, au-dessus de

(K, v),donn6es

par

les

"6n

(comme ci-dessus)

--

A

(L)

LX/1

d-

Mn(L)

--

vL

---> 0

--

A

(F)

FX/1

+

Mn(F)

-

vF

--

0

ICe

th6orimeg6n6ralisele th6orime3.7deJ.Pas,Cell decomposition and localzetafunctionsin a tower_ofunramifiedextensions_ofap-adicfield,Proc.LondonMath.Soc. 65 (1990), 37-67,oil il traite le casd’une valuation discritederang1.

418 LUC

BILAIR

On

obtientdes isomorphismes

L/1

+

Mn(L)

--

AXn

(L)

x

vL

F

/1

"4-Mn(F)

--

A

(F) x

vF

etviacesisomorphismeset

ct,/n,

desplongements

n

xor:

L

/1

+

Mn(L)

F

/1

+

Mn(F)

En

passant hla limite on obtientdes plongements

,o"

lim

_An

(L) lim

_An

(F)

<--n <’-’rt

/o

x a: lim

L

/

+

Mn

(L)

lim

F

/

+

M

(F)

<"-n <--n

Notons,

surl’exempie de

L, que

limL/1

+

Mn(L) lim

AnX(L)

x

vL

’-’n

etonalesinclusionscanoniques (voir

I1

])

ALo,v

lim

A

₂

(L)

n

LX/1

+

rh(L)

limLX/1

+

Mn(L)

*’n

Or,

puisque(F,v, (co,,))estsuffisamment satur6,on ales isomorphismes naturels

(voir ])

lira

An(F)

--

AtFo,,O

<’-’n

lim

F

/1

+

M(F)

F

_l1

₊

rh(F)

<"-n

On

obtientdesplongements

X

o:

ALo,v

A(to,v

oo

X o"

L/1

+

_th(L)

,---->

_F/1

+

_rh(F)

au-dessus de

K

/

+

rh (K) Ornotons,

par

exemple, que

K

pZ

x

A

_(KO,v).

Cela permetd’obtenirun

plongement

o,,

l"

L

F

tel

que

o,

x c

[LO

/o,,

et un

plongement

desuites exactes#

L

--+

LX/l+rh(L)

iL 0

quicoi’ncideavecl’identit6surla suite exacte

-->

K

-->

_K/1

+

rh(K)

o_.>

OK

--+ 0

Onv6rifie vialeslimites

_{projectives que flo,,}

"

L

F

est aussiun

plongement

de

corps

valu6s

pour

la valuation de

d6part

v.

Le

th6orime2.1 de

s’

applique,et on obtient unplongementdecorpsvalu6sr/: (L,v) (F,v) quiestl’identit6 sur

K

etqui

induit/z.

Mais, r6interpr6t6 en termesdesCOn, celaentraine

que

r/est un

Lco-plongement.

I"l

6.

Types

la Delon

On donne maintenantuneaxiomatisation des

1-types

sur les modules dans les

langages

Eco

et

Eco.

Cette analysesuit depriscelledeDelon(voir

[5]).

Elledistingue

trois familiesde types. Consid6ronsune extensionde

corps

valu6s(K,

v)

-< (N, v),

x e N

\

K,

etsoit

IK(X) {g

_

vK"

:ik

K,

v(x

-k)

g}

Le

type tp(x,

K)

seclasse parmi l’une destrois families suivantes’.

(1) It(x)

{v(x- k):

k

K}

etpossde unmaximum;

(2)It(x)=

{v(x-

k):

k

K}

etne

possde

pas

de maximum;

(3) It(x)

{v(x

k): k

K},

etalors

{v(x

k): k

K}

It(x)t3{go}et

It(x)

<go.

Fixonsune th6oriecomplite

Tr

de

corps

de caract6ristique 0etune th6orie

complite

Tg

de groupes ab61iens ordonn6s, et

consid6rons

dans

E.co

la th6orie complite de

corpsvalu6s hens61iens de caract6dstique

(0,

0) dontle

corps

de testes est modile

de

_Tr

et le groupe de valuation modile de

Tg.

De

fa;on

analogue, fixons aussi

une th6oriecomplite

Tp

de

corps

valu6s de

Kaplansky

alg6briquement maximaux

decaract6ristique (p, p).

Rappelons

ladescriptiondestypes

pour

le

langage

Z;co,

6tabliedans

[2]

pourlescorpshens61iensde caract6ristique (0,

0).

Compte

tenudu

th6orme

4.4,les

m.mes

calculss’appliquent

pour

les

corps

deKaplansky

alg6brique-mentmaximauxde caract6ristique (p, p).

THIORME

6.1. Soit(K, v, co)unmodulede

T

To,

Tp

etx dans uneextension

dldmentaire, x

q

K.

(1)Sitp(x K)appartient

?t

lapremidre

famille,

alors ilestcompldtementddtermind pardeuxconstantesa, b

K,

a

:/:

0, telles que

v(ax

₊

b)

0,ax

+

b q[

Kv,

etpar

le typetp(ax

₊

b, Kv).

(2)

Sitp(x K)appartient

?t

la deuxime

famille,

alorsilestcompldtementddtermind

parune suite

(ap; yp)

indexdepar un ensemble bien ordonnd, oft

_aa

K,

ya

v(x

a)

et

_(,)

est

_cofinale

dans

IK(X).

(3)

Sitp(x K)appartient d la troisidmefamille,alors ilestcompltementddtermind parune constante a

K

tellequev(x a)

vK,

par

le typetp(v(x a), vK)et par le typetp(co(x a), Ko).

420 LUC

BILAIR

Fixons une th6orie complite

Tr

de

corps

de caract6ristique p et une th6orie

complite

_Ts

de

groupes

ab61iens ordonn6s discrets, et consid6rons dans

_E.coo

la

th6oriecomplite de

corps

valu6s hens61iens nonramifi6s decaract6dstique (0, p)

dont le

corps

derestes estmodilede

_Tr

et le

groupe

devaluation modilede

Tg.

Les

anneaux An(K), avec les applications canoniques rn"

An+l

(K)

-->

An(K),

forment

unsystimeprojectif.

Nous

auronsi consid6rerdessuitesdetypes

(qn(z))n, oO

qn

estuntypesur

_An

(K), quidevront

.tre

consid6r6escomme

provenant

d’un616ment

d’une extension 616mentaire viales applicationsv,,"

Ao

--

An.

Ceci6quivauti ce

que

cestypessoientcompatiblesavec lessystimes d’applications

(Vn)n

et

(Zrn)n

dans

un sens 6vident.

Nous

allons

6voquer

cettesituationen disant

que

la suitede types (qn)nestcompatibleavecle systime projectifdes anneaux

An,

etnousallons d6signer

par

_lim

qn

(Y)

le

systme

deconditionsquid6crit cettecompatibilit6etlesq,,,ii toute finpratique

6gal

{y

A

A

qn(Y

₊

Mn);n >_

0},

etquiestr6alis6dans unecertaine extension616mentairede(K,

v). On

peutconsid6rerlim.-qn(Y) commeuntypesur

n

Aro,o

r6alis6 dans

W(k) pour

unk >-

_Ko.

THIORME 6.2.

Soit (K,v,

(coo))

unmoddle de

To,

p, etx dansune extension

dldmentaire, x

q

K.

(1)

Sitp(x,K)appartient lapremidre

famille,

alors ilestcompldtementddtermind

par deuxconstantesa, b

K,

a 0,tellesquev(ax

₊

b)

0,ax

+

b

Ko,

etpar

la limite projective de types lim-tp(Con(aX

₊

b),

An(K)).

n

(2)

Sitp(x K)appartient la deuxime

famille,

alors ilestcompltementddtermind

parune suite

(ap; yp)

indexdeparun ensemble bien ordonnd, oft

_aa

K,

,

v(x

aa)

et

_(,)

est

_cofinale

dans

It(x).

(3)

Sitp(x,K)appartient la

_troisidme

famille,

alors ilestcompltement ddtermind par,neconstante a

K

tellequeo(x

a)

o

K,

parle typetp(v(x a),oK)et

parla limite projective de types lim.-tp(con(X

),

An(K)).

n

Ddmonstration. Soit(N,v,

(con))

une extension616mentaireassezsatur6e,

qu’

on

pourra

ajuster

pour

obtenir

ies

automorphismes voulus. Identifionsx un 616merit de

N.

(l)Soit

x’

N tel

que tp(x’, K)

appartientaussi i lapremiirefamille ettel que

v(ax’

₊

b) 0,

ax’

₊

b

K,

et

limtp(Con(aX

₊

b),

An(K))

limtp(con(aX’

₊

b), An(K))

Puisque

N

estassezsatur6, onales identifications (N

,

v) W(No) et

Aro,o

lira.-

An(N)

_AwtNo

(voir Ill). Soit

K0

un relivement de

K par

une section de

f’application

de

passage

au reste

pour

la valuation/.

On

a/

_IKo(ax+b)=

0et

i)

_Irotax,+b=

0,Car X,

X’

sonttranscendantssur

K.

Ilexistedonc desrelivements

NI,

N2

de

N

dans

N

tels

que Ko(ax

₊

b)

C

Nl

et

Ko(ax’

+

b) C

N2.

On

a

ax

+

b lim,-COn(ax

+

b), ax’

₊

b

lim,-COn(aX’

₊

b), par

lesidentifications

n

A,(N) tel que rn(COn(aX -4-

b))

Con(aX’,

₊

b)

et

an

IA,,C)-"

id.

En

ajustantde nouveau

N

il existe une famille(an) compatibleavec la limiteprojectivelim-A,(N). Onobtient ainsi unautomorphismed’anneaux

or"

_A(No,v)

_A(N’-,v)

tel que cr(ax

+

b) ax’

₊

betr

Ilim,--A,,(K)’--

id, enparticuliercr

_IAKo.,=

idpar

l’inclusion

Aro,o)

c_

lim.-An(K).

En

utilisant le fait

que N

pZAuo,o),

on

n

peut prolonger

?a

un automorphismede

corps

al"

N

--

N

tel

que

a

Iro=

id.

Par

la construction de or,1’ automorphisme

_r

sera aussi unautomorphismede

corps

valu6s

pour

la valuation v.

On

obtientun relivement de

_r

en unK0-automorphisme

de

corps

valu6s r2" (NI,v) --+. (N2,v) tel

que

rz(ax

₊

b)

ax’

₊

b. Or

K

et

Ni

sontlin6airementdisjointsau-dessus de

_K0

eton obtient(voir

[4],

prop.

2.15)

unK-isomorphismedecorpsvalu6sr3" (K

N,

v) (KN2, v) quiprolonger2et

vK

Ni

v

K,

_{K Ni}

_o

_Nv.

Par

lelemme3.6 avec G

H

},

l’isomorphismeor3 estaussiun

,.o,o-isomorphisme. On

conclut

par

leth6orimed’61imination 5.1

que

tp(x,K)

tp(x’,

K).

(2) Supposons

x’

6 N tel que

tp(x’,

K) appartientaussi

t

la deuxime famille

pourla

mme

suite

(ap;

,p).

Onv6rifie directement

que

la suite

(ap)

est une suite

pseudo-Cauchy

detype transcendant dont x et

x’

sont despseudo-limites;ilexiste done unK-isomorphismedecorpsvalu6s#"

K

(x)

K

(x’)

tel

que o(x)

x’

et on

a vK(x)

vK(x’)

vK,

K(x)o

K(x’)o

Ko.

On

conclutparlelemme3.6et

le th6orme 5.1 comme en

(1).

(3)

Supposons

x’

6 N tel

que tp(x’,

K) appartientaussi

t

latroisime famille

pourlemSme paramitrea e

K

ettelque tp(v(x a),vK)

tp(v(x’

a),vK)et

limtp(co,(x a), An(K))

limtp(con(X’

a), A,(K))

n n

Posons

y x a,

y’

x’

a.

II

suffitde voir

que

tp(y,K)

tp(y’,

K).

En

proc6dant comme en (1), il existe un relivement

No

de N dans N

pour

) et un

K-automorphismedecorpsvalu6s

p" (KNo,v) (KNo, v)

telque qgn(CO,(y))

co,(y’)

pourtout n, et

_v.KNo

vK,

(KNo)o

No.

Comme

oK -< oNetv(y),

v(y’)

vK,

on

aque

y,

y’

sonttranscendantssur

K,

v(Y’

aiy

i)

mini v(aiyi), v(Y

aiy

’i)

mini

v(aiy’i),

pour

tousai

_

KNo,

vKNo(y)

vK

Zv(y),

vKNo(y’)

vK

Zv(y’). On

obtientunK-isomorphismedecorpsvalu6s

qg" (KNo(y),v)

(KNo(y’),

v) tel

que

p(y)

y’

et

p,,(co,(y))

co,(y’)

pour tout n.

Par

le lemme 3.6 avec

H

{y}, l’isomorphisme p est aussi un

12,.o-isomorphisme,

etonconclut

par

le th6orime d’61imination5.1

que

tp(y, K)

tp(y’,

K). I1

422 LUC

BILAIR

7.

La

proprit d’indpendance

Compte

tenu de la caract6risation des types ci-dessus, l’analyse de Delon des

coh6ritierss’appliquedirectement(voir

[5];

on trouve un

expos6

d6taill6dans

[3]).

Rappelons

d’abord les r6sultatsdebase.

PROPOSITION7.1 (Delon). Soit (K, v) __% (M,v) une extension lmentaire de

corps values,zr E

Sl

(K, o),q E

Sl

(M, o).

(i)Siqcohrite deyr,alors

_IM

(q)fq_V

_K

_Ir

_(r).

(ii) Siyr _{n’appartient pas la 3}e

_famille

etsiq cohritede 7r,alors Ir(yr) est

cofinal

dans

_IM

q).

(iii)Siyr(x) appartient la re

famille

etsiq(y) cohrite

de

zr(x), alors

q(y)

appartientaussi la re

famille

pour les

mmes

paramtres

a, b

K

tels que

v(ax

₊

b) 0,ax

-t-b

q

Kv.

(iv)Si

zr(x)

appartient

?t

la2e

famille

et siq(y)cohritede

r(x):

(iv.

1)

Si

M

nerdalisepaszr, alors raun

_ills

unique sur

M,

_ceills

appartient la 2e

famille

pourles

mmes

paramdtres

(ap;

,),

ap

K,

,

oK,

quidonnentune

suitepseudo-convergente.

(iv.2)Si

M

raliserr, disonsparxo,alorsq (y)appartient la3

_famille

avec le

paramtre

_xo

(v(y xo) q[ vM),

Ir(zr)

est

_cofinal

dans

Ita(r)

ettp(v(y xo),vM)

cohrite dtgauche desa restriction v

K.

(iv.3)SoientXo,xl

M

deux ralisationsdeyr_{et Yo,Ydes ralisations deq dans} une extensionlmentaire. Alors, pourtoutm

M,

v(yo m) v(y m); en

particulier,tp(v(yo xo),

vM)

tp(v(yl Xl),

oM).

(v)

Si

rr(x)

appartient la 3e

_famille,

_alors

_q(y)

appartientaussi la3

_famille

pour le

mme

parambtrea

K

tel que o(x

a)

oK.

On

travaille avec les th6oriesde

corps

valu6s

To,

Tp, To,

pci-dessus.

Les

r6sultats

de

[2]

restentvalables

pour

Tp;

rappelons-en

la description descoh6ritiers.

THIORME

7.2. Soit(K, v,

co)

-< (M, v,co) des modules de

To

ou

Tp

et soit 7r

(x)

un 1-typesur

K,

nontrivial.

(1)

Siyr_{appartient lapremibrefamille,}sescohritierssur

M

sontles typesq (y)

telsqueq(y)appartient lamdme

famille

avecles

mmes

paramtres

a,b dans

K

et_{tp(ay h- b, Mv)}cohritede

tp(ax

d-b,

Ko).

(2)

siyrappartient la deuxime

_famille

onadeuxcas:

(2.

l)Si

M

neralise pasyr _{alors rpossde}un

_fils

uniquesur

M,

ce

_fils

appartient

aussi la deuxime

_famille

et estdterminparla

mme

suite

_(a;

_},)

quer.

(2.2)

Si

M

ralisezr enxo, les cohritiers de r sontles typesq(y) tels que q(y)

appartient latroisidme

_famille

pour

le

paramdtre

xo,

_Ir

(7r

est

_cofinal

dans

IM

(q),

tp(v(y Xo), vM)cohrite

?t

gauchedesarestriction

?t oK,

ettp(co(y xo),Mo)

cohritede sarestriction

?t

Ko.

(3)

Si7r appartient la troisidme

famille,

ses cohritiers sur

M

sont les types

tp(v(y a), vM) cohdrite de tp(o(x a),

oK)

ettp(co(y a),My) cohdrite de

tp(co(x a), Kv).

Pour

T0,p,

on obtient1’ analoguesuivant.

THIORME

7.3. Soit(K, v,(COn)) "< (M,v,

(CO)n)

des modules de

To,

petsoit

rr(x)un l-typesur

K,

non trivial.

(1)

Si7rappartient d lapremibre

famille,

sescohdritiers sur

M

sontles typesq (y)

telsqueq(y)appartientgtla

mme

_famille

avecles

mmes

parambtres

a,b dans

K

et

lalimite projective de typeslim,--_tp(con(ay

₊

_b),

_An(M))

cohdritedesarestriction

n

K.

(2)

Sirc appartientdla deuxime

_famille

on adeuxcas:

(2.

Si

M

nerdalisepasrr alors repossdeun

_fils

uniquesur

M,

ce

_fils

appartient aussi la deuxidme

_famille

et estddtermindparla

mme

suite

(ap; ,p)

que

(2.2)

Si

xo

E

M

rdalise re, les cohdritiers de rr sontlestypesq(y) telsqueq(y)

appartient fi la troisidme

famille

pour leparamdtre xo,

Ir

(re)est

_cofinal

dans

_IM

(q),

tp(v(y x0),vM)cohdrite gauchedesarestriction d

vK,

etla limite projective

de typeslim,-_{tp(Con(y xo),}

_An(M))

cohdritedesarestriction

K.

n

(3)

Sizr appartient la troisime

famille,

ses cohdritiers sur

M

sont les types

q(y) telsqueq(y) appartientgt la

mme

_famille

avec le

mme

paramtre

a dans

K,

tp(v(y a),vM) cohdritedetp(v(x a),vK)etla limite projective de types

lim.-tp(Con(y a), An(M))cohdrite desarestriction

t

K.

Rappelonsle critire de Poizat

pour

lapropri6t6 d’ind6pendance.

THIORME

7.4

[20].

Soit

T

une th6oriecomplitedans un

langage L.

Si

T

ala

propri6t6 d’ind6pendance,alors

pour

toutcardinal

.

_>1

L

I,

il existeun type sur un modile

.M

de

T

de cardinal

M

.,

quia

22

coh6ritiers. Si

T n’a pas

lapropri6t6 d’ind6pendance,alors

pour

toutcardinal,k

_{>_tL}

_I,

lenombre decoh6ritiersd’un type

sur unmodule

M

de

T

decardinal

M

est

major6

par

2

x.

En

appliquantle critire de Poizat, on obtient letransfert/laAx-Kochen-Ershov, quise ramine auxseuls

corps

par

[9].

THIORfME

7.4.

(1) Dans

le langage

.co,

T

To,

Tp

possdde la

propridtd

d’inddpendancesietseulementsi

_Tr

lapossbde.

(2) Darts

le langage

.o,

T

To,

p possdde lapropridtd d’inddpendancesi et seulementsi

_Tr

lapossde.

Ddmonstration.

(2)

(=)

On

saitpar

[9]

qu’aucune

th6oriede

groupes

ab61iens

ordonn6s

n’a

lapropri6t6 d’ind6pendance.

Supposons

que

Tr

n’a pas

la

propd6t6

424 LUC

BtLAIR

n’a

pasnon

plus

lapropri6t6 d’ind6pendance, puisque

l’anneau

An(K) est

canon-iquement isomorphe h 1’anneau

_Wn+

(Kv)des vecteursdeWittdelongueurn

+

sur

Kv

etquecetanneau est uniform6ment d6finissable sansparamitredans

Kv.

Un

type

zr

S

(K)

n’aura,

parle th6orime 7.3etlecritiredePoizatappliqu6aux

groupes

ab61iensordonn6s,

qu’au

plus

2torl.

(21rvl)o

_< 2cl

_21rl.o

_21rl

coh6ritiers,d’oOler6sultat.

Commeon obtientdesapplicationscoefficients enpassantd’uncorps valu6

t

une extension 616mentaireassezsatur6e,onpeut redescendreaulangage

COROLLAIRE 7.5.

Dans

lelangagedescorps values,unethorie decorpsvalues

hensliens

To,

Tp

ou

_To,

_pposskdelapropri.t d’indpendancesi etseulementsila thoriedecorps associde aucorps deresteslapossde.

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Universit6 duQu6bec Montr6al, Montr6al,Qu6bec, H3C 3P8,Canada