Contributions à l’étude des Systèmes Hamiltoniens Solubles et Leurs Déformations Intégrables

Texte intégral

(1)UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL FACULTÉ DES SCIENCES Rabat N° d’ordre : 2336. THÈSE DE DOCTORAT Présentée par. HANANE SEBBATA Pour obtenir le grade de Docteur en Physique Discipline : Spécialité :. Physique Physique Mathématique. Contributions à l’Etude des Systèmes Hamiltoniens Solubles et Leurs Déformations Intégrables Soutenue le 28 Avril 2007, devant le jury Président : M. Belaiche. Professeur à l'Ecole Normale Supérieure, Rabat. Examinateurs : A. Awane M. Chabab M. Daoud E.H. El Kinani M. Kessabi T. Lhallabi E.H. Saidi M.B. Sedra E. M. Souidi. Professeur à la Faculté des Sciences, Casablanca Professeur à la Faculté des Sciences, Marrakech Professeur à la Faculté des Sciences, Agadir Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques, Errachidia Docteur, Professeur de l’Enseignement Secondaire, Rabat Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat Professeur à la Faculté des Sciences, Kenitra Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat.

(2) A la mémoire de mon Père Abdellah A ma très chère Mère Zoubida A mon cher Mari Hicham A mes Enfants Hamza et Salma.

(3) Table des matières Avant propos. 5. Introduction Générale. 9. 1 Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique. 15. 1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.2. Intégrabilité de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 1.2.1. Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.2.2. Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.2.3. Variables Action-Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. Paire de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.3.1. Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.3.2. Quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 1.3.3. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 1.3.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 1.3.5. Paramètre spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. Construction de Zakharov-Shabat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.4.1. Notations et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 1.4.2. Diagonalisation et décomposition de L et M en partie polaire. 1.3. 1.4. (Structure de la paire de Lax) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. Forme générale de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. Matrice r classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 1.5.1. Existence d'une matrice r . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 1.5.2. Complément : Matrice r abstraite . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 1.4.3 1.5. 1.

(4) TABLE DES MATIÈRES 1.6. 1.7. Exemple d'application : Modèle de Calogero-Moser . . . . . . . . .. 36. 1.6.1. Paire de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 1.6.2. Matrice r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. Séparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 1.7.1. Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 1.7.2. Exemple générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 2 Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Quantique. 67. 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 2.2. Ansatz de Bethe Algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 2.2.1. Introduction et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 2.2.2. Description du modèle XXX1/2 . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 2.2.3. Relation fondamentale de commutation et la famille d'opé-. 2.3. rateurs F (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 2.2.4. Equations de l'Ansatz de Bethe du modèle XXX1/2 . . . . .. 77. 2.2.5. Spectre physique dans la limite thermodynamique . . . . . .. 85. Ansatz de Bethe Fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. 2.3.1. Séparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. 2.3.2. Ansatz de Bethe fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99. 3 Théorie des Champs Intégrables à Deux Dimensions. 113. 3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. 3.2. Théorie des champs intégrables et matrice de monodromie . . . . . 114. 3.3. 3.4. 3.2.1. Orbites coadjointes et équation de Lax . . . . . . . . . . . . 114. 3.2.2. Matrice de monodromie et quantités conservées . . . . . . . 115. Construction de Zakharov-Shabat en théorie des champs . . . . . . 119 3.3.1. Proposition 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120. 3.3.2. Proposition 2 : Calcul des quantités conservées . . . . . . . . 122. 3.3.3. Exemples d'applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Crochet de poisson de la matrice de monodromie. . . . . . . . . . . 125. 3.4.1. Proposition 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. 3.4.2. Proposition 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.

(5) TABLE DES MATIÈRES 3.5. 3.6. Groupe des transformations d'habillage . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128. 3.5.2. Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129. 3.5.3. Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130. 3.5.4. Propriété et dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131. 3.5.5. Groupe d'habillage et action de Lie-Poisson . . . . . . . . . 132. Solutions solitoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.6.1. Problème de Riemann Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. 3.6.2. Solutions solitoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138. 3.6.3. Exemple : Modèle sigma non linéaire . . . . . . . . . . . . . 139. 4 Déformations Intégrables des Systèmes Hamiltoniens Solubles. 175. 4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175. 4.2. Perturbation algébrique d'un système Intégrable . . . . . . . . . . . 176. 4.3. 4.2.1. Aperçu sur la théorie de perturbation algébrique . . . . . . . 176. 4.2.2. Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178. Q-Déformation d'un système intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185. 4.3.2. Relation d'incertitude de Heisenberg q-déformée . . . . . . . 185. 4.3.3. Equation dynamique q-déformée . . . . . . . . . . . . . . . . 187. Conclusion et perspectives. 207. 3.

(6) TABLE DES MATIÈRES. 4.

(7) Avant propos Ce travail a été eectué au Laboratoire/UFR de Physique des Hautes Energies à la Faculté des Sciences de Rabat, mes premiers remerciements vont donc naturellement à son Directeur le Professeur El Hassan Saidi pour m'avoir accueillie, pour m'avoir intégrée et soutenue, et pour m'avoir donné les moyens de réaliser cette thèse dans de très bonnes conditions. Je tiens à remercier très chaleureusement mes deux directeurs de thèse, Monsieur le Professeur El Hassan Saidi et Monsieur le Professeur Mohammed Kessabi, d'avoir accepté de m'encadrer pendant plus de trois années. J'ai appris énormément en travaillant à leurs côtés, ils ont su me faire proter de leur grande culture en physique lors de nos nombreuses discussions. En eet, je ne sais comment remercier le Professeur El Hassan Saidi. Je suis inniment heureuse et honorée d'avoir fait ma thèse sous sa direction. Je le remercie vivement de m'avoir communiqué sa passion pour la recherche fondamentale. Son expérience, son sens de la physique m'ont guidé durant toutes ces années. Ses remarques, ses précieux conseils autant que les discussions que l'on a pu avoir m'ont grandement facilitée la tâche et aidée à faire de ce document ce qu'il est devenu. Ces quelques lignes ne suront pas à traduire l'innie reconnaissance que j'ai envers vous, Professeur Mohammed Kessabi, pour m'avoir suivi au quotidien et pour m'avoir enseigné tant de choses. Mes vifs remerciements, tout particulièrement pour votre ecacité, votre entrain sans pareil et votre patience surhumaine avec laquelle vous avez toujours répondu à toutes mes questions. J'espère que vous garderez un souvenir aussi bon que le mien de tout ce temps passé à travailler ensemble et que notre collaboration continuera dans les années à venir. 5.

(8) H. Sebbata. Avant propos. J'adresse mes vifs remerciements à Monsieur M. Belaiche, Professeur à l'Ecole Normale Supérieure, Rabat qui me fait l'honneur de présider le jury. Je tiens également à remercier les autres membres du jury qui ont eu la bonté de prendre sur leur temps an de juger ce travail : un grand merci à Madame T. Lhallabi, Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat, à Monsieur E.M Souidi, Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat, à Monsieur A. Awane, Professeur à la Faculté des Sciences, Casablanca, à Monsieur M. Chabab, Professeur à la Faculté des Sciences, Marrakech, à Monsieur M. Daoud, Professeur à la Faculté des Sciences, Agadir, à Monsieur E.H. El Kinani, Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques, Errachidia et à Monsieur M.B Sedra Professeur à la Faculté des Sciences, Kénitra. Je souhaite aussi remercier tous les enseignants qui, tout au long de mon cursus universitaire et surtout pendant la préparation du DESA, m'ont tant appris. Un grand merci au Docteur A. Belhaj, au Professeur M. Benai, au Professeur H. Chakir, au Professeur M. Kessabi, au Professeur T. Lhallabi, au Professeur E.H. Saidi, au Professeur M.B. Sedra et au Professeur J. Zerouaoui. Ils m'ont soutenu et ont développé ma curiosité et mon intérêt pour la physique et les mathématiques. Grâce à eux, apprendre a toujours été un plaisir. Je remercie le Centre International de la Physique Théorique ICTP de Trieste en Italie, qui m'a ouvert ses portes, et m'a permis de participer à ses séminaires et d'utiliser les ressources précieuses de sa bibliothèque ce qui m'a énormément aidé et facilité le travail. Je remercie le programme Protars III D12/25, CNRST. Bien sûr cette thèse a été l'occasion de faire de nombreuses rencontres humainement enrichissantes. J'y ai croisé des collègues étudiants qui sont avec le temps devenus des amis chers que je souhaite garder. Je pense notamment à R. Ahl Laamara et à H. Jehjouh qui m'ont tant aidé, à A. Rhalami qui m'a fait proter de son expertise en informatique, à B. Bouzerda, à L.B. Drissi, à N. El Haynouni, à H. El Ouali, à R. Louizi, à A. Moujib et à R. Abounasr : Merci à vous mes ami(e)s et j'espère vous revoir bien vite vu que certain(e)s se sont déjà éloigné(e)s. J'en prote pour remercier tous les autres étudiants du laboratoire avec qui j'ai passé d'agréables moments, j'ai une pensée pour chacun d'eux. Un grand merci à mes chères amies Fatima et Atika pour leur continuel soutien 6.

(9) H. Sebbata. Avant propos. surtout pendant les moments les plus diciles. Comment exprimer ma gratitude à ma mère sans qui je n'aurais jamais été ce que je suis, elle m'a soutenu, encouragé et aidé durant les moments de doute et de stress qui accompagnent une thèse, sans son appui moral et sans ses nombreux sacrices ce travail n'aurait jamais pu aboutir. Je tiens à remercier Hicham, l'homme qui partage ma vie, pour avoir accepté tant de sacrices pour l'aboutissement de cette thèse ; Il a subi toutes mes études supérieures et notamment ces trois dernières années qui ne furent pas les plus faciles. Je le remercie surtout pour le respect qu'il donne à mes choix et pour toutes les bonnes conditions qu'il a su me mettre pour me motiver dans mon travail. Je terminerai en exprimant mes vifs remerciements à toute ma famille : A mes beaux parents Majida et Abderrahmane pour leurs encouragements et leur amour. A "Mmi" La Zohra pour son soutien, son aection et pour l'amour qu'elle m'a toujours témoigné depuis toute petite. A Abderrahmane, Fadoua, Youness et Adiba pour tous les moments d'attention et d'aection qu'ils ont su m'accorder à chaque fois que j'en sentais le besoin. A Hind et Majid pour leur gentillesse, leur sourire constant et leur serviabilité sans limites. A Adnane et Najwa pour leur sympathie et leur bonne humeur. A Hiba, Rim, Abdellah, Sara, et Rita pour leur présence agréable. A Hamza et Salma dont le regard innocent m'a toujours redonné sourire.. 7.

(10) H. Sebbata. Avant propos. 8.

(11) Introduction Générale La théorie des systèmes hamiltoniens intégrables représente un des domaines les plus actifs de la physique mathématique. Elle réunit des idées et des méthodes très variées allant de l'analyse fonctionnelle classique à la géométrie algébrique et les développements tous récents en algèbre non commutative. Elle est également riche en applications aux problèmes concrets d'origine physique et technique [1], [2]. Durant les trente dernières années, après la surprenante découverte du lien inattendu entre l'équation de Korteweg-de Vries en hydrodynamique des ondes non linéaires et la diusion en mécanique quantique [3]-[10], la nouvelle approche à l'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires, appelée la Méthode Classique du Problème Inverse de la Diusion (CISM) (Classical Inverse Scattering Method). [10]-[13], connut une expansion rapide et a permis de révéler des connexions jamais soupçonnées entre diérentes branches des mathématiques et physique. La théorie des systèmes intégrables trouva de nombreuses applications en physique, allant de l'hydrodynamique et de l'optique non linéaire à l'astrophysique et à la théorie des particules élémentaires. Elle a aussi débouché sur plusieurs découvertes majeures de dernières décennies en mathématiques pures, comme par exemples la solution du problème de Schottky en géométrie algébrique [14], [15], la création de la théorie des groupes quantiques [16]-[18], la découverte de nouveaux invariants des noeuds. [19]-[21], ou encore la théorie de Donaldson en topologie diérentielle des variétés de basses dimensions [22],[23]. Dans sa version moderne, la théorie des systèmes hamiltoniens intégrables réunit les puissantes méthodes analytiques (problèmes de Riemann-Hilbert, fonctions thêta de Riemann ...) avec les méthodes algébriques de la théorie des groupes et algèbres de Lie (surtout en dimension innie). Dans ce qui suit, nous allons donner une courte introduction historique sur les 9.

(12) Contributions à l'Etude des Systèmes Hamiltoniens Solubles ... modèles intégrables en commençant par dénir les systèmes intégrables classiques, puis nous allons dans un deuxième temps discuter les systèmes intégrables quantiques sans oublier de signaler les relations intimes de la théorie des champs avec ces deux mécaniques.. Systèmes intégrables classiques Les systèmes intégrables classiques sont les systèmes dont les solutions exactes s'expriment sous forme de quadratures, c'est-à-dire par un nombre ni de calculs d'intégrales et d'autres opérations algébriques. Au-delà de la possibilité d'obtenir la solution exacte du système lui-même, ces systèmes se prêtent beaucoup mieux à l'analyse qualitative et à la généralisation aux problèmes où les solutions ne peuvent être trouvées que par des méthodes numériques approchées ou même à des systèmes possédant une solution exacte mais qui ne s'exprime pas en quadratures. Citons à titre d'exemples, les problèmes de N corps qui admettent des solutions dans des situations particulières [24]-[26]. L'étude qualitative seule n'est pas d'une grande utilité en pratique. C'est pour ces raisons que les systèmes intégrables jouent un rôle particulier en mécanique classique mais aussi en mécanique statistique. Bien que l'histoire de ce sujet soit aussi ancienne que la mécanique classique ellemême (la résolution par Newton du problème de Kepler étant historiquement le premier exemple d'un système intégrable non trivial [27]), très peu de modèles intégrables ont été découverts jusqu'à une époque relativement récente. Le premier développement moderne déterminant dans ce sujet fut le théorème de Liouville [28] qui a permis de réunir tous les exemples de modèles intégrables connus à l'époque dans le cadre général d'un système Hamiltonien possédant le nombre maximal d'intégrales du mouvement. Le théorème assure aussi l'existence des variables canoniques appelées les variables action-angle dans lesquelles les équations du mouvement se linéarisent et peuvent donc être immédiatement résolues. Mais, le problème de détermination eective de ces variables est resté un peu en marge de la physique mathématique pendant assez longtemps. La révolution qui a mené à la théorie moderne a commencé avec les travaux de Gardner, Green, Kruskal et Miura [10] sur les solutions exactes de l'équation de. 10.

(13) Introduction Générale Korteveg-de Vries (KdV) [3]-[9], [29]. u˙ = 6uu0 − u000. (0.1). et la découverte du formalisme des paires de Lax [30] qui a été utilisé par Faddeev, Zakharov, Gardner et d'autres. L'article [10] a présenté un changement de variables astucieux linéarisant l'équation (0.1) et permettant de trouver ses solutions exactes (les solitons). Après, d'autres travaux ont reformulé ce résultat en termes de paires de Lax et par suite ont montré qu'il n'était pas spécique à l'équation KdV mais pouvait aussi s'appliquer à d'autres équations comme par exemple l'équation de Schrödinger non linéaire [31]. ˙ = −Ψ00 + 2k|Ψ|2 Ψ . iΨ On peut mentionner aussi que la méthode du problème inverse (qui est le nom sous lequel la construction de [10] est connue) peut être développée en utilisant la représentation de courbure nulle qui permet de remplacer l'équation à résoudre par une condition de compatibilité d'un système d'équations auxiliaire. Il a été démontré que l'existence d'une telle représentation était équivalente à l'existence d'une paire de Lax mais avec l'avantage d'une formulation géométrique du problème [27]. Au cours du développement des études sur l'intégrabilité, le rôle central joué par l'existence de la paire de Lax ou la représentation de courbure nulle devenait de plus en plus clair surtout pour les systèmes hamiltoniens. La combinaison de l'approche hamiltonienne avec des idées de la mécanique statistique a permis à Sklyanin de généraliser la méthode du problème inverse classique aux modèles quantiques entre 1978 et 1980 [32]-[34]. Une des innovations de cette méthode du problème inverse quantique était la matrice R quantique introduite par Sklyanin qui a mené un peu plus tard à l'idée de la matrice r classique [35], [36]. Cette matrice r va servir pour une reformulation de la théorie des modèles intégrables qui remplaça la condition d'existence d'une paire de Lax ou d'une représentation de courbure nulle. Dans le premier et le troisième chapitre, nous allons voir en détail pourquoi ces changements d'approche successifs ont été fructueux même si ce sont seulement des formulations diérentes de la même idée, mais on peut déjà donner quelques indications : 11.

(14) Contributions à l'Etude des Systèmes Hamiltoniens Solubles .... a. le crochet de Poisson s'écrit sous une forme plus compacte à l'aide de la matrice r ce qui facilite les calculs. b. de plus, sous cette forme il a une interprétation naturelle en termes des représentations d'algèbres de Lie. c. nalement, la raison probablement la plus importante est qu'une telle formulation se généralise directement aux modèles intégrables quantiques. Pour conclure cette discussion sur le cas classique, remarquons que la théorie des systèmes intégrables ne s'applique pas seulement aux modèles continus mais aussi aux modèles discrets [37]-[41] ce qui explique pourquoi ces méthodes sont aussi importantes en mécanique statistique (où les réseaux apparaissent naturellement) et en théorie des champs qui est liée intimement à cette dernière.. Systèmes intégrables quantiques L'histoire des modèles intégrables quantiques est bien plus brève que celle de la théorie classique. Comme indiqué ci-dessus, elle n'a commencé qu'en 1978 avec la synthèse de deux idées qui, jusque là, se sont développées indépendamment : la méthode de l'Ansatz de Bethe, datant de 1931 [42], et la méthode du problème inverse classique [10] brièvement exposée ci-dessus. Le résultat fut la méthode du problème inverse quantique [34], [43] qui n'a pas mis longtemps pour prouver son ecacité car elle a rapidement permis de calculer les fonctions de corrélation pour plusieurs modèles importants. Elle a aussi eu des conséquences mathématiques importantes car c'est à partir de là que la théorie des groupes quantiques [16]-[18] a pris son essor. Malgré tous ces succès, cette théorie n'est pas encore aussi bien développée que la théorie classique. Peut-être un peu paradoxalement, on ne possède toujours pas la dénition de l'objet principal d'études de ce domaine, qui est un système quantique complètement intégrable. En eet, l'idée évidente d'essayer de généraliser le théorème de Liouville au cas quantique rencontre très vite des problèmes même dans le cas des systèmes ayant un nombre ni de degrés de liberté. Heureusement, ce manque de dénition n'empêche pas de travailler avec des systèmes quantiques intégrables qui, d'un point de vue pratique ne sont rien d'autre que les systèmes que l'on sait intégrer, c'est-à-dire où l'on peut trouver d'une façon exacte les quantités physiques importantes comme le spectre du système ou les 12.

(15) Introduction Générale fonctions de corrélation. Le manuscrit s'articule autour de quatre chapitres avec des objectifs précis. Chaque chapitre se termine par une de nos contributions. Le premier chapitre est dédié à l'étude des systèmes hamiltoniens intégrables en mécanique classique : dénition de l'intégrabilité classique, la notion de la paire de Lax, la construction de Zakharov-Shabat et la matrice r classique. Le modèle de Calogero-Moser sera présenté comme exemple d'application. Nous introduirons aussi la méthode classique pour la séparation des variables. A la n du chapitre, nous présenterons notre travail nommé "Systèmes intégrables de Calogero" qui rassemble les études classique, quantique et algébrique du système de Calogero à N particules. Le deuxième chapitre sera focalisé sur l'étude quantique des systèmes hamiltoniens intégrables et sera scindé en deux sections. La première section présentera en détail l'application de l'Ansatz de Bethe algébrique pour la résolution de la chaîne magnétique XXX : nous donnerons les équations de l'Ansatz de Bethe de ce modèle et ensuite nous passerons à la description du spectre physique dans la limite thermodynamique. La seconde section traitera l'Ansatz de Bethe fonctionnel. Nous commencerons par rappeler quelques faits élémentaires concernant la séparation des variables dans un système quantique, puis nous montrerons comment l'Ansatz de Bethe fonctionnel s'applique dans l'exemple de la chaîne XXX . La clôture de ce chapitre se fera par l'une de nos contributions intitulée "Calogero model with Yukawa-like interaction" dans laquelle nous avons déformé le système de Calogero par le potentiel de Yukawa et nous avons montré que le spectre discret de ce système déformé peut être déterminé exactement en xant les valeurs du facteur d'onde et sa dérivée seconde au point singulier du potentiel. Le troisième chapitre sera consacré à l'étude de la théorie des champs intégrables. Nous verrons tout d'abord comment l'équation de Lax sera remplacée par l'équation de courbure nulle. Ensuite, nous allons dénir la matrice de monodromie qui est l'analogue de la matrice de Lax en théorie des champs ce qui va nous permettre de déterminer les quantités conservées. A partir d'un crochet de Poisson linéaire sous la forme de la matrice r pour la connexion de Lax, nous allons obtenir un crochet de Poisson quadratique pour la matrice de monodromie. Par la suite, nous allons introduire le groupe des transformations d'habillage agissant sur les 13.

(16) Contributions à l'Etude des Systèmes Hamiltoniens Solubles ... solutions des équations du mouvement. Nous allons montrer que cette action est une action de Lie-Poisson dont le générateur est la matrice de monodromie. Nous utiliserons des éléments d'habillage simples pour produire ce qu'on appelle les solutions solitoniques. Finalement, nous introduirons notre contribution "On basic symmetries in A-type Calogero model" où nous avons réussi à dériver une symétrie fondamentale du système de Calogero de type A décrite par une algèbre de Lie de dimension 4 et est liée à l'invariance de Heisenberg-Wigner par une transformation non linéaire. Le quatrième chapitre concerne les déformations des systèmes hamiltoniens intégrables et se décline en deux parties. La première partie s'attachera à l'étude de la perturbation algébrique d'un système intégrable. Dans la seconde partie, nous allons donner des résultats concernant l'algèbre de Heisenberg q-déformée : relation d'incertitude de Heisenberg q-déformée, l'hamiltonien q-déformé et ainsi l'équation de Schrödinger q-déformée. Ce chapitre se terminera par notre contribution "Explicit computation of the spectrum of the deformed Calogero model by Yukawa like potential". Dans ce travail, nous avons déformé le système de Calogero quantique par le potentiel de Yukawa qui décrit une classe particulière d'interactions à courte distance pouvant avoir des applications en chimie quantique. Nous avons déterminé l'expression explicite du spectre discret : µ ¶ 1 2 En = n + ² + ω + β (−1)n+1 . 2 λ (n + 1) et les fonctions d'onde associées. La conclusion synthétise les apports du travail de thèse et montre quelques nouvelles directions de recherche que nous envisageons pour l'avenir.. 14.

(17) Chapitre 1 Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique Dans ce chapitre, nous allons dénir les systèmes hamiltoniens intégrables à travers le théorème de Liouville, c'est à dire, des systèmes admettant n quantités conservées en involution sur un espace des phases de dimension 2n. Le théorème de Liouville arme que les équations du mouvement peuvent être résolues par quadrature. Nous allons introduire aussi la notion de la matrice de Lax. C'est une matrice dont les éléments sont dynamiques et dont l'évolution par rapport au temps est isospectrale. Ensuite, nous allons présenter la méthode de Zakharov-Shabat qui consiste à construire des paires de Lax consistantes pour des systèmes intégrables. Finalement, nous allons montrer dans la cinquième section, que les crochets de Poisson des éléments de la matrice de Lax sont exprimés sous forme d'une matrice connue sous le nom de la matrice r classique.. 1.1. Introduction. En mécanique classique, l'état du système est décrit par un point dans l'espace des phases. C'est généralement un espace de dimension paire avec des coordonnées de position qi et d'impulsion pi . La dynamique du système est déterminée par la donnée d'une fonction H sur l'espace des phases appelée Hamiltonien notée par H(pi , qi ) et qui permet d'écrire 15.

(18) 1.2 Intégrabilité de Liouville les équations du mouvement sous la forme :. q˙i =. ∂H ∂pi. ,. p˙i = −. ∂H ∂qi. (1.1). Ici et dans ce qui suit, le point signie la dérivée par rapport au temps. Pour n'importe qu'elle fonction F sur l'espace des phases, la dépendance par rapport au temps est décrite par l'équation :. dF F˙ ≡ = {H, F } dt et donc la valeur de F ne change pas au cours de l'évolution du système si elle commute avec l'hamiltonien. En particulier, la valeur de l'hamiltonien lui-même (l'énergie totale du système) est toujours conservée. Pour toutes fonctions F et G, le crochet de Poisson est déni par : n X ∂F ∂G ∂G ∂F {F, G} ≡ ( − ) . ∂p ∂q ∂p ∂q i i i i i=1. Le crochet de Poisson est antisymétrique et satisfait l'identité de Jacobi :. {F, G} = −{G, F } {F, {G, K}} + {G, {K, F }} + {K, {F, G}} = 0, et il prend une forme particulièrement simple pour les variables pi et qi :. {qi , qj } = 0,. {pi , pj } = 0,. {pi , qj } = δ ij. (1.2). Les variables vériant les relations (1.2) sont dites canoniquement conjuguées. Après cette introduction nous pouvons maintenant dénir la notion de système intégrable.. 1.2 Intégrabilité de Liouville Nous considérons un système hamiltonien dynamique avec un espace des phases. M de dimension 2n. Introduisons les coordonnées canoniques pi , qi telle que le crochet de Poisson non dégénéré s'écrit comme dans l'équation (1.2). Comme d'habitude, un crochet de Poisson non dégénéré sur M est équivalent à la donnée d'une 16.

(19) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique 2-forme non dégénérée fermée, dω = 0, dénie sur M , appelée la forme symplectique [44]. En coordonnées canoniques, la forme symplectique s'écrit : X ω= dpj ∧ dqj j. 1.2.1 Dénition Soit H l'Hamiltonien du système. Le système est intégrable au sens de Liouville s'il possède n quantités conservées indépendantes Fi , i = 1, ..., n, {H, Fj } = 0, en involution :. {Fi , Fj } = 0 L'indépendance signie que les formes dFi sont linéairement indépendantes partout sauf peut être en des points isolés, ou bien que l'espace tangent de la surface. Fi = fi existe partout et est de dimension n. Il ne peut pas y avoir plus de n quantités indépendantes en involution sinon le crochet de Poisson serait dégénéré. En particulier l'hamiltonien est une fonction des quantités conservées Fi .. 1.2.2 Théorème de Liouville Théorème de Liouville : La solution des équations du mouvement d'un système intégrable au sens de Liouville est obtenue par "quadrature".. Preuve : Soit α =. X. pi dqi la 1-forme canonique et ω = dα =. i. X. dpi ∧ dqi la 2-forme. i. symplectique sur l'espace des phases M .. Nous allons construire une transformation canonique (pi , qi ) −→ (Fi , ψ i ) tels que les quantités conservées Fi sont parmi les nouvelles coordonnées : X X ω= dpi ∧ dqi = dFi ∧ dψ i i. i. Si nous réussissons à faire cela, les équations du mouvement deviennent triviales :. F˙ j = {H, Fj } = 0 © ª ∂H ψ˙ i = H, ψ j = = Ωj ∂Fj 17.

(20) 1.2 Intégrabilité de Liouville Les Ωj dépendent uniquement des Fi et donc sont constantes par rapport au temps. Dans ces nouvelles coordonnées, la solution des équations du mouvement s'écrit :. Fj (t) = Fj (0) ,. ψ j (t) = ψ j (0) + t Ωj. Pour construire cette transformation canonique, nous allons introduire ce qu'on appelle sa fonction génératrice S . Soit Mf (f ≡ fi ) la variété de niveau Fi (p, q) = fi . Supposons que, sur Mf , nous pouvons résoudre les équations du mouvement pour. pi , pi = pi (f, q), et considérons la fonction : Z qX Z m pi (f, q)dqi , α= S(F, q) ≡ q0. m0. i. où le chemin d'intégration est contenu dans Mf et a pour extrémités les points de coordonnées (p(f, q0 ), q0 ) et (p(f, q), q), avec q0 = (q01 , q02 , ...q0n ). Supposons que cette fonction S existe, et ne dépend pas du chemin liant m0 et. m, alors pj =. ∂S . ∂qj. Dénissons ψ j par :. ψj = nous avons :. dS =. X¡ j. Puisque d2 S = 0 on déduit que ω =. ∂S ∂Fj. ψ j dFj + pj dqj. X. ¢. dpj ∧ dqj =. j. X. dFj ∧ dψ j . Cela montre. j. que si S est une fonction bien dénie, alors la transformation est canonique. Pour montrer que S existe, nous devons prouver qu'elle est indépendante du chemin d'intégration. En utilisant le théorème de Stokes, nous devons montrer que :. dα|Mf = ω|Mf = 0 Soit Xi le champ vectoriel hamiltonien associé à Fi , déni par dFi = ω (Xi , .), ¶ X µ ∂Fi ∂ ∂Fi ∂ − Xi = ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk k. Ces champs vectoriels sont tangents à la variété Mf car les Fj sont en involution :. Xi (Fj ) = {Fi , Fj } = 0 18.

(21) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique Comme les Fj sont des fonctions indépendantes, l'espace tangent à la sous-variété. Mf est généré en chaque point m ∈ M par les vecteurs Xi |m (i = 1, ..., n) et alors dFi (Xj ) = 0 d'où ω(Xi , Xj ) = dFi (Xj ) = 0. Nous avons prouvé que ω|Mf = 0 et donc S existe. Nous avons eectivement obtenu la solution des équations du mouvement par une quadrature (pour calculer la fonction S ) et quelques manipulations algébriques (pour exprimer le p en fonction de q et F ).. 1.2.3 Variables Action-Angle Comme nous l'avons déjà remarqué dans la preuve du théorème de Liouville, la variété de niveau Mf a des cycles non-triviaux. Si Mf est compacte et connexe, alors elle est diéomorphe à un tore Tn de dimension n. Cela nous mène à l'introduction des variables angles pour décrire le mouvement le long des cycles. Le tore. Tn est isomorphe au produit de n cercles Ci . Nous pouvons choisir des coordonnées angulaires spéciales sur Mf qui soient duaux aux n cycles fondamentaux Ci (voir dans la suite éq(1.3)). Les variables action Ij sont dénies comme les intégrales des 1-formes canoniques sur les cycles Cj :. 1 Ij = 2π. Z α Cj. Les Ij sont en fonction des constantes du mouvement Fj et nous supposons qu'elles sont indépendantes, pour pouvoir déterminer Mf connaissant les valeurs de Ij. (j = 1..., n). Considérons la transformation canonique générée par la même fonction vue précédemment :. Z. m. S(I, q) =. α m0. mais exprimée en termes des variables Ii au lieu de Fi . Notons par θj la variable conjuguée de Ii , la transformation canonique générée par S est dénie par :. pk =. ∂S , ∂qk. θk =. ∂S ∂Ik. Les variables θk sont canoniquement conjuguées aux variables action Ii . 19.

(22) 1.3 Paire de Lax Nous montrons qu'elles peuvent être considérées comme des variables angulaires normalisées sur les cycles Cj . C'est à dire : Z 1 dθk = δ jk 2π Cj Par dénition de θk : Z Z ∂ dθk = dS ∂Ik Cj Cj. ,. dS =. (1.3). X µ ∂S i. ∂S dqi + dIi ∂qi ∂Ii. ¶. Puisque dIi = 0 sur la variété Mf , nous avons : Z Z Z ∂ ∂S ∂ dθk = dqi = α = 2πδ jk ∂Ik Cj ∂qi ∂Ik Cj Cj Cela prouve que les θk sont les variables angles.. 1.3 Paire de Lax Si le théorème de Liouville nous permet de justier l'intégrabilité du système et par conséquent les équations du mouvement se linéarisent par un changement de variables, il n'en reste pas moins qu'il subsiste deux problèmes importants à l'étude des systèmes intégrables, à savoir : la diculté à trouver, en pratique, le changement de variables donnant les variables action-angle et celle de construire de nouveaux exemples de tels systèmes. Ainsi, et grâce à la découverte de la notion de la paire de Lax, premier développement majeur de la théorie moderne des systèmes intégrables, on a pu dépasser ces deux obstacles.. 1.3.1 Dénition Une paire de Lax est un couple de fonctions matricielles L et M dénies sur l'espace des phases telles que les équations du mouvement soient équivalentes à l'équation suivante :. dL ≡ L˙ = [M, L] dt où [M, L] ≡ M L − LM est le commutateur des matrices M et L. 20. (1.4).

(23) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique. 1.3.2 Quantités conservées L'intérêt immédiat de pouvoir écrire les équations du mouvement sous forme de la paire de Lax est que cela permet de trouver facilement les quantités conservées. En eet, la solution de l'équation (1.4) est de la forme [45] :. L(t) = g (t) L(0)g (t)−1 où la matrice g(t) est une matrice inversible dénie par l'équation suivante :. g(t) ˙ = M (t)g (t) Donc le polynôme caractéristique de L(t) est préservé par l'évolution ce qui implique que ses valeurs propres le sont aussi. On dit que l'équation d'évolution (1.4) est isospectrale. Donc toutes les quantités TrLk sont conservées et, bien sûr, elles sont en involution en tant que polynômes en valeurs propres de L.. 1.3.3 Remarque On peut construire une paire de Lax pour tout système intégrable à partir des variables action-angle de ce système. Cependant, cette construction ne présente aucune utilité en pratique car si on connaît déjà les variables action-angle, cela veut dire qu'on sait résoudre les équations du mouvement et donc on n'a plus besoin de la paire de Lax. Il est plus intéressant de remarquer que, inversement, si on trouve une nouvelle paire de Lax, on peut construire un système mécanique correspondant qui sera intégrable [45]. Donc la correspondance entre les systèmes intégrables et les paires de Lax est à double sens.. 1.3.4 Exemple Nous allons présenter l'exemple simple de l'oscillateur harmonique montrant que les équations du mouvement peuvent en eet être reformulées sous la forme de l'équation de Lax (éq.(1.4)). Soit :. Ã L=. p. ωq. ωq −p. !. Ã ,. M= 21. 0 − ω2 ω 2. 0. ! (1.5).

(24) 1.3 Paire de Lax Il est facile de vérier que l'équation de Lax (1.4) est équivalente aux équations du mouvement :. q˙ = p,. p˙ = −ω 2 p. Remarquons que l'Hamiltonien H peut être écrit comme :. 1 H = TrL2 4 Cet exemple peut être généralisé à n oscillateurs harmoniques indépendants en écrivant les matrices de Lax L et M sous forme de bloc diagonal, chaque bloc est composé d'une matrice 2 × 2 comme ci-dessus. Les quantités conservées seront ainsi :. TrL2p = 2. X. (2Fi )p. avec : 2Fi = p2i + ω 2 qi2 , et TrL2p+1 = 0.. 1.3.5 Paramètre spectral Pour comprendre les autres avantages de la formulation en termes de paires de Lax, nous allons introduire un paramètre supplémentaire que l'on appelle le paramètre spectral. Les matrices de la paire de Lax dépendront dans ce cas, et d'une façon analytique, d'un paramètre complexe additionnel λ et l'équation (1.4) se réécrit comme :. L˙ (λ) = [M (λ) , L (λ)]. (1.6). En pratique, l'introduction du paramètre spectral λ nous permet d'avoir "plus de degrés de liberté". En eet, dans certains cas, nous pouvons avoir une paire de Lax triviale dans le sens que les quantités TrLk s'annulent ou simplement ne sont pas indépendantes et l'hamiltonien n'apparaît pas dans cette famille. Donc le paramètre spectral sert à lever cette dégénérescence car l'équation (1.6) contient plus d'équations que l'équation (1.4) (comme les expressions à droite et à gauche sont analytiques en λ, on peut en déduire l'égalité des coecients pour chaque puissance de λ au lieu d'une seule équation (1.4)). D'un point de vue plus global, l'intérêt de cette généralisation est double :. ¦ Premièrement, il devient possible d'étudier les propriétés analytiques de L et M 22.

(25) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique comme fonction de λ. En particulier, on peut s'intéresser à la structure polaire de. M et on trouve que l'équation (1.6) xe la forme possible de M (et vice versa : la méthode de Zakharov-Shabat permet aussi de construire une paire de Lax étant données les propriétés analytiques des matrices L et M ). De plus, cette approche permet dans certains cas particuliers de faire le lien avec la théorie des groupes de Lie et d'introduire, par le biais du crochet de Berezine-Kostant-Kirillov [46], [47] une structure symplectique naturelle.. ¦ Deuxièmement, cela fait apparaître aussi la structure géométrique sous-jacente. En eet, on peut associer à une paire de Lax avec un paramètre spectral une courbe spectrale dénie par l'équation suivante :. det(L(λ) − µ) = 0 Remarquons que, grâce au caractère isospectrale de l'équation, cette courbe ne dépend pas du temps. C'est une surface de Riemann et on peut utiliser les méthodes de la géométrie algébrique pour l'étudier. Dans la section suivante, nous allons présenter la méthode de Zakharov-Shabat qui va nous permettre de construire une paire de Lax étant données les propriétés analytiques des matrices L et M .. 1.4. Construction de Zakharov-Shabat. Pour un système intégrable donné, il n'existe pas encore un algorithme utile pour construire une paire de Lax. Cependant, il existe une procédure générale, dûe à Zakharov et Shabat, pour construire des paires de Lax consistantes pour des systèmes intégrables. C'est une méthode générale pour la construction des matrices. L (λ) et M (λ), dépendant d'un paramètre spectral λ, telle que l'équation de Lax : ∂t L (λ) = [M (λ) , L (λ)]. (1.7). soit équivalente aux équations du mouvement d'un système intégrable. La méthode consiste à spécier les propriétés analytiques des matrices L (λ) et M (λ) , λ ∈. C. Nous considérons ici des systèmes avec un nombre ni de degrés de liberté. Le résultat principal de cette section est l'équation (1.13) exprimant les formes possibles de la matrice M dans la paire de Lax. 23.

(26) 1.4 Construction de Zakharov-Shabat. 1.4.1 Notations et dénitions Nous commençons tout d'abord par introduire des notations. Toute matrice. f (λ) dont les valeurs sont des fonctions rationnelles avec des pôles d'ordre nk aux points λk peut être décomposée comme suit :. f (λ) = f0 +. X. fk (λ) ,. avec. fk (λ) =. −1 X. fk,r (λ − λk )r. r=−nk. k. où f0 une matrice constante et fk,r sont des matrices. La quantité fk (λ) est appelée la partie polaire au point λk . Nous allons souvent utiliser la notation alternative. f− (λ) ≡ fk (λ) (quand nous n'avons aucune ambiguïté concernant le pôle que nous considérons). Autour d'un des points λk , f (λ) peut être décomposée comme suit :. f (λ) = f (λ)+ + f (λ)− avec f (λ)+ est la partie régulière au point λk et f (λ)− = fk (λ) est la partie polaire.. 1.4.2 Diagonalisation et décomposition de L et M en partie polaire (Structure de la paire de Lax) Considérons maintenant les matrices L (λ) et M (λ) de dimension N × N . Nous allons supposer que ces matrices sont des fonctions rationnelles du paramètre λ. Soit {λk } l'ensemble de leurs pôles, à savoir les pôles de L (λ) et ceux de M (λ). Avec les notations ci-dessus, nous pouvons écrire d'une manière générale :. L (λ) = L0 +. X. Lk (λ) ,. avec. −1 X. Lk (λ) ≡. Lk,r (λ − λk )r. (1.8). r=−nk. k. et. M (λ) = M0 +. X. Mk (λ) ,. avec. Mk (λ) ≡. −1 X. Mk,r (λ − λk )r. (1.9). r=−mk. k. nk et mk sont l'ordre des pôles aux points correspondants λk . Les coecients Lk,r et Mk,r sont des matrices N ×N , L0 et M0 des matrices N ×N ne dépendant pas de λ. Nous supposerons que les positions des pôles λk sont des constantes indépendantes du temps. 24.

(27) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique Prenons l'équation de Lax (1.7), et remplaçons L (λ) et M (λ) par leurs expressions données par les équations (1.8) et (1.9). Le pôle λk dans la partie gauche de l'équation (1.7) est d'ordre nk tandis que dans la partie droite, il est d'ordre. nk + mk . Donc nous avons deux types d'équations. Le premier type d'équations ne contient pas les dérivées par rapport au temps et il est obtenu en annulant les coecients des pôles d'ordre plus grand que nk dans la partie droite de l'équation. Donc nous aurons mk équations dans Mk . Le second type d'équations est obtenu en faisant la correspondance entre les coecients des pôles d'ordre inférieur ou égal à nk sur les deux côtés de l'équation. Ces équations contiennent les dérivées par rapport au temps et sont ainsi les vraies équations dynamiques.. Proposition Supposons que L (λ) a des valeurs propres distinctes au voisinage de λk , on peut eectuer une transformation régulière g (k) (λ) diagonalisant L (λ) au voisinage de. λk : L (λ) = g (k) (λ) A(k) (λ) g (k)−1 (λ). (1.10). où A(k) (λ) est diagonale et possède un pôle d'ordre nk au point λk . Par conséquent, la décomposition de L (λ) et M (λ) en partie polaire s'écrit :. L = L0 +. X. Lk ,. avec. ¡ ¢ Lk = g (k) A(k) g (k)−1 −. (1.11). k. M = M0 +. X. Mk ,. avec. ¡ ¢ Mk = g (k) B (k) g (k)−1 −. (1.12). k. où B (k) (λ) a un pôle d'ordre mk au point λk . De plus, l'équation de Lax implique que B (k) (λ) est diagonale.. Preuve Si λk est un pôle de L (λ), exiger que L (λ) a des valeurs propres distinctes au voisinage de λk signie que Lk,−nk a des valeurs propres distinctes. Alors la matrice. Q (λ) = (λ − λk )nk L (λ) qui est régulière au point λk peut être diagonalisée au voisinage de λk avec une matrice régulière g (k) (λ). Ce qui prouve l'équation (1.10). 25.

(28) 1.4 Construction de Zakharov-Shabat Et donc si on dénit B (k) (λ) par :. M (λ) = g (k) (λ) B (k) (λ) g (k)−1 (λ) + ∂t g (k) (λ) g (k)−1 (λ) l'équation de Lax devient :. £ ¤ A˙ (k) (λ) = B (k) (λ) , A(k) (λ) Ceci implique que A˙ (k) = 0 comme prévu (car le commutateur avec une matrice diagonale n'a aucun élément sur la diagonale). De plus, si nous supposons que les éléments diagonaux de A(k) sont tous distincts, cette équation implique que B (k) est aussi diagonale. Finalement, le terme ∂t g (k) g (k)−1 est régulier et ne contribue pas à ¡ ¢ la partie singulière Mk de M au point λk . Par conséquent, Mk = g (k) B (k) g (k)−1 − (k). (il dépend uniquement de B− ). Notons que les n premiers coecients du développement de g (k) (λ) dépendent seulement des n premiers coecients du développement de Q (λ). La matrice g (k) (λ) est dénie à une multiplication prés par une matrice diagonale analytique arbitraire. Notons que cette diagonalisation simultanée de L (λ) et M (λ) est valable autour de n'importe quel point où L (λ) a des valeurs propres distinctes. Cette proposition clarie la structure de la paire de Lax. Seules les parties singulières de A(k) et B (k) contribuent dans Lk et Mk . Les paramètres indépendants (k). dans L (λ) sont ainsi L0 , les matrices singulières diagonales A− de la forme : (k) A−. −1 X. =. Ak,r (λ − λk )r. r=−nk. et une suite de matrices régulières gˆ(k) d'ordre nk − 1, dénie à une multiplication près par une matrice régulière diagonale gk,r (λ) : (k). gˆ. =. nX k −1. gk,r (λ − λk )r. r=0. A partir de ces données, nous pouvons reconstruire la matrice de Lax L (λ) en P dénissant L = L0 + Lk avec : k. ´ ³ (k) Lk ≡ gˆ(k) A− gˆ(k)−1. −. 26.

(29) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique Alors, autour de chaque point λk , on peut diagonaliser L (λ) = g (k) A(k) g (k)−1 . Cela (k). nous donne une extension des matrices A− et gˆ(k) pour compléter les séries A(k) et P g (k) en (λ − λk ). Finalement, pour dénir M (λ) = M0 + k Mk , nous choisissons ¡ ¢ un ensemble de matrices polaires B (k) (λ) − et nous utilisons la série g (k) pour dénir Mk à l'aide de l'équation (1.12).. 1.4.3 Forme générale de M Au voisinage d'une singularité, L (λ) et M (λ) peuvent être simultanément diagonalisées si l'équation de Lax est vériée. Dans cette jauge diagonale, l'équation de Lax arme que la matrice A(k) (λ) est conservée et que B (k) (λ) est diagonale. Quand nous transformons ces résultats dans la jauge originale, nous obtenons la solution générale des contraintes non dynamiques sur M (λ).. Proposition Soit L (λ) une matrice de Lax de la forme éq(1.8). La forme générale de la matrice M (λ) tels que les ordres des pôles soient égaux sur les deux côtés de P l'équation de Lax est M = M0 + Mk avec : k. ¡ ¢ Mk = P (k) (L, λ) −. (1.13). où P (k) (L, λ) est un polynôme en L (λ) avec des coecients rationnels en λ et. ( )− signie la partie singulière au point λ = λk .. Preuve Il est facile de montrer que c'est en eet une solution. Nous devons vérier que l'ordre des pôles soit correcte. Nous allons voir ce qui se passe autour du point. λ = λk . En utilisant un argument présenté pour la première fois par Gelfand et Dickey [48], nous pouvons écrire ce qui suit :. [Mk , L]−. h¡. i ¢ = P (L, λ) − , L − h i h¡ i ¡ (k) ¢ ¢ (k) = P (L, λ) − P (L, λ) + , L = − P (k) (L, λ) + , L (k). −. 27. −.

(30) 1.4 Construction de Zakharov-Shabat où nous avons utilisé le fait qu'un polynôme en L commute avec L. Donc, on voit bien que l'ordre du pôle au point λk est inférieure à nk . Pour montrer que c'est une solution générale, on fait appel aux équations (1.10), (1.12). Puisque A(k) (λ) est une matrice diagonale d'ordre N × N avec tous ses éléments distincts au voisinage de λk , ses puissances de 0 jusqu'à N −1 engendrent l'espace des matrices diagonales et on peut écrire :. ¡ ¢ B (k) = P (k) A(k) , λ. (1.14). ¡ ¢ où P (k) A(k) , λ est un polynôme de degré N − 1 en A(k) . Les coecients de P (k) sont les combinaisons rationnels des éléments matriciels de A(k) et B (k) , et par conséquent ils admettent les développements de Laurent en (λ − λk ) au voisinage de λk . En insérant l'équation (1.14) dans l'équation (1.12), on obtient ¡ ¢ Mk = P (k) (L, λ) − . De plus, dans cette formule, les expansions de Laurent des coecients de P (k) peuvent être tronquées à une certaine puissance positive de. (λ − λk ) puisqu'une puissance assez grande ne peut pas contribuer à la partie singulière, donnant un polynôme avec des coecients des polynômes de Laurent en. (λ − λk ). Il est important de réaliser que les variables dynamiques sont les éléments matriciels de la matrice de Lax L ou les éléments matriciels de Lk,r . Le choix du nombre et de l'ordre des pôles de la matrice de Lax revient à spécier un modèle particulier. Le choix des polynômes P (k) (L, λ) revient à spécier les ux dynamiques. Les propositions ci-dessus donnent la forme générale de M (λ) en ce qui concerne la structure de la matrice et la dépendance en λ. Cependant, nous devons tenir compte des coecients des polynômes P (k) (L, λ) qui sont à priori des fonctions des éléments matriciels de L et exigent de nouvelles caractérisations an d'obtenir un système intégrable. Dans la section suivante, nous allons introduire un objet fondamental de la théorie des systèmes intégrables qui est la matrice r classique. 28.

(31) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique. 1.5. Matrice r classique. Contrairement à la démarche habituelle selon laquelle on généralise les notions classiques au cas quantique, la matrice r est apparue comme l'analogue classique de la matrice R quantique qui a été découverte auparavant. Donc historiquement, la matrice r a été introduite après la création de la méthode du problème inverse classique, tandis que la méthode du problème inverse quantique a été formulée dès le début en utilisant la matrice R.. 1.5.1 Existence d'une matrice r Une paire de Lax nous fournit des quantités conservées sans se référer à une structure de Poisson. La notion d'intégrabilité au sens de Liouville exige la connaissance d'une structure de Poisson simultanément avec la propriété d'involution des quantités conservées. Nous allons présenter ici la forme générale des crochets de Poisson entre les éléments matriciels de la matrice de Lax qui assure la propriété d'involution pour les quantités conservées. Supposons que nous avons une paire de Lax (L, M ), avec L et M des matrices d'ordre N × N, et supposons que la matrice L peut être diagonalisée comme suit :. L = U ΛU −1. (1.15). Les éléments matriciels λk de la matrice diagonale Λ sont les quantités conservées.. a. Notations utiles Commençons tout d'abord par introduire quelques notations. Soit (Eij )i,j=1,...N la base canonique des matrices N × N , (Eij )kl = δ ik δ jl .. L s'écrit sous la forme : L=. X. Lij Eij. ij. Les composantes Lij de la matrice de Lax sont des fonctions sur l'espace des phases. Nous pouvons évaluer le crochet de Poisson et déduire les résultats comme suit : 29.

(32) 1.5 Matrice r classique Posons. L1 ≡ L ⊗ 1 =. X. Lij (Eij ⊗ 1) ,. L2 ≡ 1 ⊗ L =. ij. X. Lij (1 ⊗ Eij ). ij. L'indice 1 ou 2 signie que la matrice L se trouve dans le premier ou le deuxième facteur du produit tensoriel. De même, pour T se trouvant dans le produit tensoriel de deux matrices N × N , nous posons :. T = T12 =. X. Tij,kl Eij ⊗ Ekl ,. T21 =. ij,kl. X. Tij,kl Ekl ⊗ Eij. ij,kl. Plus généralement, quand nous avons des produits tensoriels avec plus de deux matrices N × N , nous notons par Lα le produit tensoriel où L se trouve dans la position α, par exemple L3 = 1 ⊗ 1 ⊗ L ⊗ 1 ⊗ ..., et Tαβ l'indexation de T dans la position α et β . Nous noterons également par Trα la trace partielle sur l'espace dans une position. α dans un produit tensoriel. Par exemple : Tr1 T12 =. X. Tij,kl Tr (Eij ) Ekl. ij,kl. On dénit le crochet de Poisson entre les éléments L1 et L2 de la matrice L comme suit :. {L1 , L2 } =. X. {Lij , Lkl } Eij ⊗ Ekl. ij,kl. b. Crochet de Poisson de la matrice de Lax Pour un système intégrable, le crochet de Poisson entre les éléments de la matrice de Lax L peut être écrit sous la forme spéciale donnée par la proposition suivante :. Proposition La propriété d'involution des valeurs propres de L est équivalente à l'existence d'une fonction, r12 , sur l'espace des phases telle que :. {L1 , L2 } = [r12 , L1 ] − [r21 , L2 ] 30. (1.16).

(33) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique Preuve Supposons d'abord que les valeurs propres de L commutent au sens de Poisson. {λi , λj } = 0 [45]. Rappelons que L est diagonalisée par U , éq.(1.15). Comme U est une fonction sur l'espace des phases, nous pouvons calculer directement les crochets de Poisson {L1 , L2 } = {U1 Λ1 U1−1 , U2 Λ2 U2−1 } en utilisant la règle de Leibnitz. Nous obtenons neuf termes dont quatre contiennent le crochet de Poisson {U1 , U2 }. Introduisons la quantité k12 = {U1 , U2 } U1−1 U2−1 , ces termes peuvent être écrits sous la forme :. 1 1 [[k12 , L2 ], L1 ] = [[k12 , L2 ], L1 ] − [[k21 , L1 ], L2 ] 2 2 Les quatre termes non nuls restants contiennent {Λ1 , U2 } et {U1 , Λ2 }. Si on introduit :. q12 = U2 {U1 , Λ2 } U1−1 U2−1 nous pouvons écrire ces termes sous la forme :. [q12 , L1 ] − [q21 , L2 ] Ainsi, le crochet de Poisson {L1 , L2 } devient :. {L1 , L2 } = U1 U2 {Λ1 , Λ2 } U1−1 U2−1 + [r12 , L1 ] − [r21 , L2 ] où :. 1 r12 = q12 + [k12 , L2 ]. 2 Si {Λ1 , Λ2 } = 0 la première partie de l'équivalence est prouvée. Inversement, supposons que le crochet de Poisson ait la forme éq(1.16). Alors, dans n'importe quelle représentation matricielle, nous avons :. £ n,m ¤ £ n,m ¤ {Ln1 , Lm 2 } = a12 , L1 + b12 , L2 avec :. an,m = 12. n−1 m−1 X X. Ln−p−1 L2m−q−1 r12 Lp1 Lq2 1. p=0 q=0 n,m. b12 = −. n−1 m−1 X X. Ln−p−1 Lm−q−1 r21 Lp1 Lq2 1 2. p=0 q=0. 31. (1.17).

(34) 1.5 Matrice r classique Si on prend la trace de l'éq(1.17), et on utilise le fait que la trace d'un commutateur est nulle, on obtient que les quantités de Tr (Ln ) sont en involution. Ce qui est équivalent à l'involution des valeurs propres λk de L. Cette proposition est importante pour développer les aspects formels des systèmes intégrables puisqu'elle nous permet de contrôler les crochets de Poisson de la matrice de Lax. L'identité de Jacobi sur le crochet de Poisson, entraîne la contrainte suivante sur r :. [L1 , [r12 , r13 ] + [r12 , r23 ] + [r32 , r13 ] + {L2 , r13 } − {L3 , r12 }] + perm.cyc. = 0 (1.18) où perm.cyc. signie les permutations cycliques des indices tensoriels 1, 2, 3. Cela signie que la résolution de cette équation revient à classier les systèmes hamiltoniens intégrables. Si r est constante, les seuls termes restants dans l'éq(1.18) sont les premiers. En particulier, l'identité de Jacobi est satisfaite si une matrice r constante satisfait :. [r12 , r13 ] + [r12 , r23 ] + [r32 , r13 ] = 0 Si r est antisymétrique, r12 = −r21 , c'est ce qu'on appelle l'équation de YangBaxter classique.. c. Remarques • La forme du crochet est préservée par des transformations de jauge. Si : {L1 , L2 } = [r12 , L1 ] − [r21 , L2 ] 0 telle que : et L0 = gLg −1 , alors il existe une fonction matricielle r12 0 0 {L01 , L02 } = [r12 , L01 ] − [r21 , L02 ] 0 peut être exprimée en termes des fonctions r12 et des crochets de La fonction r12. Poisson entre g et la matrice de Lax L : µ ¶ 1 −1 0 r12 = g1 g2 r12 + g1 {g1 , L2 } + [u12 , L2 ] g1−1 g2−1 2 32.

(35) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique où u12 = g1−1 g2−1 {g1 , g2 }.. • D'après l'équation (1.16), la propriété d'antisymétrie du crochet est explicite bien que r n'ait aucune propriété de symétrie spéciale. En outre, nous avons la liberté de redénir r par :. r12 −→ r12 + [σ 12 , L2 ] où σ est symétrique sans que le crochet de Poisson change.. d. Exemple Donnons un exemple de cette construction de la matrice r dans le cas simple de l'oscillateur harmonique. La matrice de Lax L est donnée par l'équation (1.5) et les coordonnées action-angle ρ, θ s'écrivent comme suit : p = ρ cos φ,. q=. ρ ω. sin φ.. Dans ces coordonnées, la matrice L est diagonalisée par : Ã ! θ θ cos sin 2 2 U = U −1 = θ sin 2 − cos 2θ Comme {U1 , U2 } = 0,. r12 = q12 , qu'on peut calculer facilement et l'on obtient : Ã ! 0 1 ω r12 = 2 ⊗L 2ρ −1 0. Il est facile de vérier que cette matrice r satisfait en eet l'équation (1.16). Remarquons que c'est une matrice r dynamique, ce qui signie qu'elle dépend explicitement des variables dynamiques.. 1.5.2 Complément : Matrice r abstraite Il existe une dénition abstraite pour la matrice r classique [36], c'est à dire sans référence aux systèmes intégrables.. a. Dénition Soit G une algèbre de Lie et r ∈ EndG . L'endomorphisme r est une matrice r classique si et seulement si l'application [, ]r dénie par :. [X, Y ]r = [rX, Y ] + [X, rY ] 33.

(36) 1.5 Matrice r classique est un crochet de Lie (c'est-à-dire vérie l'identité de Jacobi comme cette application est évidemment bilinéaire et antisymétrique).. b. Equations de Yang-Baxter Du point de vue abstrait, la matrice r se dénit dans le contexte des algèbres de Lie doubles. Remarquons que l'identité de Jacobi pour le crochet [, ]r mène à l'équation de Yang-Baxter classique :. [rX, rY ] − r([X, Y ]r ) = 0 et/ou l'équation de Yang-Baxter modiée :. [rX, rY ] − r([X, Y ]r ) = −[X, Y ].. c. Crochet de Poisson Une matrice r comme elle a été dénie ci-dessus permet d'introduire un crochet de Poisson naturel dans l'algèbre des observables simplement comme le crochet de Lie-Poisson-Berezin-Kirillov-Kostant. 1. correspondant : pour f, g ∈ C ∞ (G ∗ ) et ∀L. ∈ G∗ {f, g}(L) ≡ L([df (L), dg(L)]). (1.19). Pour faire le contact avec la notation plus habituelle de la matrice r, nous devons d'abord remarquer que le crochet (1.19) peut être étendu aux applications linéaires arbitraires car il préserve la linéarité. Plus précisément, pour A ∈ Hom (G ∗ , V ) et. B ∈ Hom (G ∗ , W ), nous pouvons dénir {A, ⊗B} ∈ Hom(G ∗ , V ⊗ W ). Dans le cas particulier de V = W = G ∗ et A = B = IG , nous pouvons dénir :. {L1 , L2 } ≡ {L ⊗ 1, 1 ⊗ L}{I, ⊗I} (L) En d'autres mots, {L1 , L2 } contient tous les crochets de Poisson des diérents éléments de L :. {L1 , L2 }ij,kl = {L1 , ⊗L2 }ij,kl = {Lik , Ljk } 1 Cette. dénition a été donnée par Lie mais elle est restée pratiquement inconnue jusqu'à sa. redécouverte par Berezin d'un côté et Kirillov et Kostant de l'autre bien plus tard.. 34.

(37) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique où la convention utilisée pour les indices est la même que pour le produit tensoriel habituel :. (A ⊗ B)ij,kl = Aik Bjl La matrice r (linéaire) est habituellement introduite dans la théorie des systèmes intégrables par la formule :. {L1 , ⊗L2 } = [r, L1 + L2 ] où r ∈ G ⊗G . Il est facile de voir que cette relation s'obtient à partir de la dénition précédente dans le cas particulier où les deux conditions supplémentaires suivantes sont vériées :. ¦ Il existe une forme bilinéaire invariante non dégénérée sur G . ¦ La fonction r est antisymétrique La première condition implique qu'on peut identier G et G ∗ et c'est ce qu'on doit pouvoir faire car pour nous r ∈ G ⊗ G . Remarquons aussi que quand ces deux conditions sont satisfaites, l'algèbre de Lie double (G, [ ] , [ ]r ) devient une bialgèbre de Lie.. d. Matrice r quadratique Un autre exemple d'une matrice r bien connue et très important en pratique car il apparaît naturellement dans beaucoup de systèmes intégrables est celui d'une matrice r quadratique (opposé à la matrice r linéaire citée ci-dessus) : h i quadr {L1 , ⊗L2 } = r12 , L1 L2 Il se met encore sous la forme éq.(1.16) en posant : ´ 1³ quadr quadr lin = −L2 r21 r12 + r12 L2 2 ou pour une matrice r quadratique antisymétrique : ´ 1³ quadr quadr lin = r12 L2 r21 + r12 L2 2 Ceci explique que les cas des matrices r linéaires et quadratiques ne sont pas fondamentalement diérents et que même si les calculs sont en pratique souvent 35.

(38) 1.6 Exemple d'application : Modèle de Calogero-Moser plus diciles dans le cas quadratique (car une matrice r quadratique constante ne correspond pas à une matrice r linéaire constante), néanmoins les mêmes idées peuvent souvent être appliquées aux deux cas. Dans la section suivante, nous allons présenter un exemple d'un système intégrable qui est le modèle de Calogero-Moser. Nous allons donner sa paire de Lax ainsi que la matrice r associée à la matrice de Lax.. 1.6 Exemple d'application : Modèle de CalogeroMoser Le modèle de Calogero-Moser est un système de N particules identiques se mouvant sur une ligne et dont l'hamiltonien s'écrit comme suit :. H=. 1 X 2 γ2 X 1 pi + 2 i 2 i,j=1 (qi − qj )2 i6=j. Ce système dynamique est intégrable [45], de plus il reste intégrable quand le potentiel est remplacé par un potentiel elliptique [49], c'est à dire. 1 q2. −→ ℘ (q) avec. ℘ (q) est la fonction elliptique de Weierstrass dénie sur un tore de dimension deux avec des périodes ω 1 et ω 2 :. ¾ X ½ 1 1 1 ℘ (q) = 2 + − q (q − 2mω 1 − 2nω 2 )2 (2mω 1 + 2nω 2 )2 m,n6=0 Il est intéressant de considérer un modèle plus généralisé, c'est le modèle de Calogero-Moser avec spin, qui contient des variables dynamiques de spin supplémentaires. Nous allons introduire un ensemble de variables dynamiques (qi , pi ) et. (fij ), i, j = 1, ..., N simultanément avec les crochets de Poisson suivants : {pi , qj } = δ ij. (1.20). {fij , fkl } = −δ jk fil + δ li fkj. (1.21). Le crochet de Poisson éq.(1.21) est un crochet de Kostant-Kirillov [46], [47] pour 36.

(39) Systèmes Hamiltoniens Intégrables en Mécanique Classique l'action coadjointe du groupe GL (N ). L'hamiltonien s'écrit :. H=. N N 1X 2 1 X pi − fij fji V (qi − qj ) 2 i=1 2 i,j=1 i6=j. où le potentiel V (q) ≡ ℘ (q). Les équations du mouvement sont facilement déduites :. q˙i = pi , f˙ii = 0 N X p˙i = fij fji V 0 (qij ) ,. qij ≡ qi − qj. j=1 j6=i. f˙ij =. N X. fik fkj [V (qik ) − V (qjk )] + (fii − fjj ) fij V (qij ) ,. i 6= j (1.22). k=1 k6=i,j. A partir de l'équation (1.22), nous constatons que les fii sont des intégrales du mouvement, et nous pouvons restreindre le système à la sous-variété :. fii = α où α est une constante indépendante de i. Dans ce cas, le dernier terme dans l'équation (1.22) s'annulle. Ces contraintes sont liées à la réduction de l'hamiltonien et nous verrons que c'est ce système réduit qui admet une paire de Lax et est intégrable.. 1.6.1 Paire de Lax La première étape pour prouver que le modèle réduit de Calogero-Moser avec spin est intégrable consiste à trouver une formulation de la paire de Lax. Nous aurons besoin de la fonction de Lamé Φ qui est dénie par l'expression suivante :. σ (λ − q) exp ζ (λ) q σ (λ) σ (q) où σ est la fonction σ de Weierstrass qui s'écrit comme suit : " ¶ ¶2 # µ Y µ q 1 q q exp + σ (q) = q 1− ω ω 2 ω mn mn mn m,n6=0 Φ (q, λ) =. 37. (1.23).