Réflexions sur l'identification des paramètres en géotechnique

HAL Id: hal-01008811

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01008811

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Réflexions sur l’identification des paramètres en

géotechnique

Aurélie Papon, Yvon Riou, Christophe Dano, Pierre Yves Hicher

To cite this version:

Aurélie Papon, Yvon Riou, Christophe Dano, Pierre Yves Hicher. Réflexions sur l’identification des paramètres en géotechnique. Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur (JNGG’08), Jun 2008, Nantes, France. �hal-01008811�

REFLEXIONS SUR L’IDENTIFICATION DES PARAMETRES EN

GEOTECHNIQUE

COMMENTS ON THE IDENTIFICATION OF PARAMETERS IN GEOTECHNICS

Aurélie PAPON, Yvon RIOU, Christophe DANO, Pierre-Yves HICHER

GeM, Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique, Nantes, France

RÉSUMÉ – De nombreux travaux de recherche ont été consacrés au comportement

des sols. Toutefois, il nous semble que les méthodes d’identification des paramètres des lois de comportement n’ont pas bénéficié de la même attention. Afin de juger de la pertinence de certaines méthodes, il est proposé, dans ce travail, de tester divers outils d’optimisation sur des essais pressiométriques.

ABSTRACT – Many research projects has been devoted to the constitutive models

of soils. However, it seems that similar attention has not been paid to the identification parameters methods. In order to evaluate the relevance of some methods, various optimization tools are tested on pressuremeter tests.

Introduction

Lors du GRECO, Groupement de recherche coordonnée qui, de 1986 à 1994, a réuni une grande partie de la communauté française du génie civil, les géotechniciens ont focalisé leurs travaux sur les lois de comportement et sur la validation de ces dernières dans des situations principalement académiques. Si dans ses conclusions, ce réseau de laboratoires insistait sur la pertinence des modèles rigoureux et sophistiqués, à savoir les modèles élastoplastiques, à multi-mécanismes, à écrouissage cinématique, à lois d’écoulement non associées, à élasticité non linéaire, il évoquait la forte incidence de l’identification des paramètres dans les résultats d’une modélisation et la nécessité de mener des travaux de recherche dans ce domaine. Si ce sujet est parfois abordé, force est de constater que cette étape dans la simulation d’un ouvrage reste encore assez mal appréhendée et constitue un frein au développement des techniques les plus modernes de simulation. Cette problématique se retrouve également à des niveaux plus amont que la modélisation des ouvrages. C’est le cas notamment des études sur l’analogie entre le comportement cyclique des matériaux et leur comportement visqueux, analogie qui permettrait de s’affranchir de calculs longs et fastidieux lors de la simulation du comportement des ouvrages sous sollicitations répétées (Hicher, 1985). Des modèles de comportement visqueux ont été élaborés et confrontés avec des mesures de laboratoire sur des échantillons de sol soumis à des essais de fluage et de relaxation. L’identification des paramètres a été réalisée sur ces confrontations. Il s’agit à présent de réaliser les mêmes opérations sur l’enveloppe des essais cycliques, de procéder aux mêmes opérations d’identification et d’étudier la corrélation qui pourrait exister entre ces deux types de jeux de paramètres. Une telle démarche nécessite à la fois une grande rigueur dans les procédures d’identification et une exploration des jeux de paramètres susceptibles de répondre de manière « satisfaisante » à un grand nombre de critères associés aux divers essais de laboratoire.

Dans le but de mieux comprendre le fonctionnement des algorithmes d’optimisation appliqués à l’analyse inverse en géotechnique, nous confrontons deux types de procédures d’identification. L’analyse inverse est menée sur des essais pressiométriques, à savoir des essais à champ de contraintes non homogènes qui limitent l’emploi de solutions analytiques (solutions nécessitant des hypothèses restrictives) et justifient l’exploitation de moyens de calcul numériques. L’essai pressiométrique a également été choisi puisque plus courant que les essais mécaniques de laboratoire dans les études géotechniques. L’identification a été menée à la fois sur un essai de laboratoire (cylindre épais) et sur un essai in situ. Deux procédures d’optimisation ont été testées : une méthode déterministe recommandée pour sa rigueur « mathématique » dans la recherche d’un minimum et une méthode stochastique qui permet une recherche multicritères de solutions « satisfaisantes ».

1. Identification des paramètres mécaniques basée sur l’essai pressiométrique

Nous n’évoquerons pas ici les procédures d’identification consistant à rechercher ces paramètres par calages successifs de résultats de simulation avec des mesures expérimentales. Nous traitons ici l’analyse inverse qui consiste à minimiser l’écart entre ces valeurs mesurées et calculées par des moyens plus formels. L’analyse inverse appliquée à des essais pressiométriques in-situ a fait l’objet de nombreux travaux. On citera entre autres les contributions de (Mehta, 1989 ; Cambou et Bahar, 1993 ; Zentar et al., 2001 ; Dano et al., 2007 ; Levasseur, 2007). Nous proposons de compléter ces études en comparant les deux techniques d’optimisation.

Les méthodes d’optimisation consistent à minimiser la différence entre des mesures expérimentales et des valeurs issues de la simulation. Le jeu de paramètres mécaniques intervenant dans la loi de comportement fait office dans le cas présent de variable d’optimisation. Cette méthode conduit donc à un jeu de paramètres permettant de représenter au mieux les observations. Il s’agit donc d’une méthode d’identification de paramètres par analyse inverse dans la mesure où ce n’est pas le résultat de la simulation du comportement de l’ouvrage ou de l’essai qui nous intéresse mais les paramètres du modèle de sol. La nature de la simulation dépend essentiellement de la complexité de la configuration à étudier et du degré de sophistication apportée à la modélisation. Ainsi, selon la géométrie de l’essai et sa simplification lors de la modélisation, selon la loi de comportement du sol, selon le type de conditions aux limites et de chargement, on mettra en œuvre des méthodes différentes (analytique ou numérique) de résolution des équations d’équilibre et de comportement. Un jeu, évalué préalablement par une technique analytique et/ou graphique généralement recommandée par l’auteur de la loi de comportement ou estimé sur la base de travaux antérieurs portant sur le même sol, sert à initialiser le processus d’optimisation. Deux types de techniques d’optimisation peuvent être exploitées les techniques déterministes telles que le gradient conjugué, le simplexe, la méthode de Levenberg-Marquardt ou celle de Newton-Raphson, et les techniques stochastiques telles que la méthode génétique.

2. Les méthodes d’optimisation

La différence entre les valeurs expérimentales et les valeurs calculées du champ étudié u, évoquée précédemment, représente la fonction coût Ferr.

Classiquement, il a été choisi dans cette étude la norme quadratique :

N N

2 1

N

( k ) i i ( k )

err exp num

i F ( x ) ( u u ( x )) = ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ⎝

∑

x jeu de paramètres à l’itération k

Chaque terme de cette norme peut être pondéré par des considérations sur la précision de la mesure. Il a été montré que l’incidence de ces pondérations sur les résultats de l’identification est significative. Toutefois, sans justification véritablement objective de règles dans la détermination de ces coefficients et sachant que l’objectif de cette étude est d’étudier la sensibilité des méthodes d’optimisation, il a été convenu de ne pas appliquer de coefficients de pondération.

Traditionnellement les méthodes déterministes sont exploitées en géotechnique. L’algorithme du simplexe est connu pour être stable et robuste. Un simplexe est un polyèdre convexe dans un espace à n dimensions ayant n+1 points extrêmes (n nombre de variables). Le principe de l’algorithme consiste à modifier le simplexe de départ en fonction des valeurs de la fonction coût à ses sommets en utilisant une des quatre opérations suivantes : réflexion, expansion, contraction ou similitude. Le critère de convergence peut porter sur la taille du simplexe ou sur la fonction coût.

Cette recherche d’optimum peut intégrer des contraintes, généralement des domaines physiquement admissibles pour les paramètres mécaniques. Le principal défaut de cette méthode réside dans la dépendance de la solution vis-à-vis de la valeur initiale de la variable. Des minima locaux peuvent être atteints selon les conditions initiales. On pourra également reprocher à cette méthode de ne fournir qu’une solution possible pour une condition initiale donnée alors qu’un ensemble de solutions « satisfaisantes » interprétables par la suite physiquement, ou que l’on pourrait associer à d’autres ensembles de solutions acceptables provenant d’autres essais et d’autres optimisations, permettrait la recherche de compromis. Il s’avère par ailleurs que ces méthodes déterministes présentent des difficultés de convergence en présence de recherches multicritères.

Des méthodes stochastiques, et parmi celles-ci les méthodes génétiques (Goldberg, 1989), ont été développées afin de faciliter la recherche d’optima. Comme pour les méthodes déterministes, ces méthodes ont pour objectif de rechercher, suivant un processus itératif, un (ou plusieurs) optimum(a). La perturbation consiste à muter des variables ou à croiser certaines d’entre elles sélectionnées selon des critères de performance mais également de manière aléatoire. Cette opération intègre donc à la fois du déterminisme et du hasard, comme le conçoivent certaines lois de l’évolution en biologie. Par conséquent ce processus converge (exploitation) vers des optima tout en explorant le domaine d’étude à la recherche de nouvelles solutions (exploration). Ces opérations pourraient être menées de manière systématique par une analyse du domaine d’étude suffisamment discrétisé. Toutefois, les temps de calcul nécessaires à la simulation de chaque évènement ne permettent généralement pas de mettre en œuvre ce type de recherche. Les méthodes stochastiques consistent à accélérer ce processus en orientant l’exploitation et l’exploration au gré des générations

d’individus qui donnent une vision globale de la recherche de minima. Cette méthode permet à la fois de converger vers un vrai minimum, et non pas vers un minimum local, mais elle permet également d’identifier des minima locaux qui auraient une plus grande signification physique que le minimum absolu. Cette configuration peut intervenir en cas de recherches multicritères ou lorsque le problème n’est pas correctement posé. Ceci peut se concevoir lorsque la formulation analytique de certains modèles de comportement fournit des solutions sans signification physique.

3. Application à l’essai pressiométrique dans un cylindre épais

3.1. Description du dispositif expérimental

L’étude est basée sur un essai pressiométrique réalisé sur un échantillon de sable d’Hostun au sein d’un cylindre épais (Dupla, 1995). L’essai retenu pour l’optimisation des paramètres est réalisé sur une éprouvette dense (ID=0,80) à une pression de

confinement de 100 kPa. L’éprouvette cylindrique a un diamètre de 100 mm et une hauteur de 150 mm avec une cavité centrale de 10 mm (r_e r_i =10). Le sable est mis en place par dépôt sec à l’aide d’un entonnoir avec une hauteur de chute faible. Un compactage est réalisé avec une petite masse. Le confinement est maintenu constant sur la paroi extérieure tandis que la pression dans la cavité est progressivement augmentée. L’échantillon est considéré comme saturé, l’essai est effectué en condition drainée, ce qui permet de mesurer les variations de volume de l’échantillon.

3.2. Modélisation numérique

Le problème étant axisymétrique, la modélisation par éléments finis est réalisée en deux dimensions. On utilise des quadrilatères à 8 nœuds, le modèle comprend 1911 nœuds et 600 éléments. Conformément à l’expérimentation, les déplacements sont nuls à la base. La pression de confinement verticale et latérale est maintenue constante (100 kPa). Le chargement est piloté en déplacement (déplacement constant au droit de la sonde). L’identification a été menée avec les codes Cesar-LCPC pour la modélisation et ModeFrontier pour l’optimisation.

Le comportement du sol est représenté par une loi élastique linéaire parfaitement plastique (Mohr-Coulomb). L’identification porte sur les trois paramètres suivants : le module d’Young E, l’angle de frottement interne ϕ et l’angle de dilatance ψ. La cohésion a été considérée comme nulle puisque le sable est saturé. Le résultat de l’essai étant peu sensible au coefficient de Poisson, ce dernier a été fixé arbitrairement à 0,33. Le calcul considère l’hypothèse des petites déformations, justifié ici par le fait que les déformations locales n’excèdent pas 20%.

3.3. Comparaison des algorithmes d’optimisation

3.3.1. Algorithmes génétiques

La population initiale est fixée à 200 individus, aléatoirement répartis entre 5 et 50 MPa pour le module d’Young, 30 et 50 degrés pour l’angle de frottement et 0 et 30 degrés pour l’angle de dilatance. Le pas de discrétisation de ces intervalles est respectivement 1MPa, 0,5 degrés et 0,5 degrés. Au vu des incertitudes de mesures, les individus sont jugés « satisfaisants » lorsque leur fonction coût est inférieure à 85

kPa (norme quadratique de l’erreur), ce qui équivaut à une erreur de 4,25 kPa (erreur moyenne) pour chacun des incréments. La figure 1a compare la courbe d’essai à celle de deux simulations, dont la fonction coût est égale à 85 kPa. Le calcul est arrêté à la fin de la 5ème génération lorsque presque la moitié des individus possède une performance satisfaisante. L’optimum mathématique est obtenu pour le jeu de paramètres suivant :

E = 24 MPa ϕ = 40,5 degrés ψ = 29,5 degrés

0 200 400 600 800 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ΔVcav/V0cav P ( k P a ) essai

simulation E=25MPa, Phi=42°, Psi=17°, Ferr=85kPa simulation E=29MPa, Phi=40,5°, Psi=19,5°, Ferr=85kPa

-0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ΔVcav/V0cav Δ V ec h /V 0ech essai

simulation E=24MPa, Phi=40,5°, Psi=29,5°, Ferr=68kPa simulation E=30MPa, Phi=41°, Psi=10,5°, Ferr=85kPa

Figure 1. Comparaison des courbes expérimentale et numériques pour des individus « satisfaisants » (a) courbe pressiométrique (b) courbe donnant la déformation

volumique de l’échantillon en fonction de celle de la cavité

Ferr

Figure 2. Répartition des individus « satisfaisants » de la 5ème population

Les deux angles, ϕ et ψ, ne respectent pas les corrélations acceptées en géotechnique. Cependant sur la figure 2, il apparaît que certains jeux de paramètres moins performants mais néanmoins satisfaisants sont physiquement acceptables (par exemple : E = 30 MPa, ϕ = 41 degrés et ψ = 10,5 degrés). Une analyse

comparative des déformations volumiques (cavité et éprouvette), calculée et mesurée, a levé cette incertitude (Figure 1b). Ce dernier jeu propose une déformation volumique cohérente avec celle mesurée.

3.3.2. Algorithme du simplexe

Plusieurs calculs avec des simplexes initiaux différents ont été menés. La dispersion, en fonction des valeurs initiales, et les jeux extrêmes sont indiqués dans le tableau I. Les deux optima détectés sont, au vu des résultats obtenus par algorithmes génétiques, des optima locaux (norme de l’erreur supérieure à 68 kPa). Cependant leur performance, inférieure à 85 kPa, assure une bonne adéquation avec les données expérimentales. La valeur unique de l’angle de dilatance reste néanmoins physiquement inacceptable. En moyenne, l’algorithme du simplexe a besoin d’une soixantaine d’itérations pour converger.

Tableau I. Résultats des calculs d’optimisation avec l’algorithme du simplexe

Jeux de paramètres initiaux Jeux de paramètres optimisés E (MPa) ϕ (degrés) ψ (degrés) E (MPa) ϕ (degrés) ψ (degrés) Ferr(kPa)

15 35 10 40 45 20 15 35 20 40 45 10 27 41 17 76 5 30 0 50 50 30 5 30 30 50 50 0 25 41 23 71

Sachant que la réponse pressiométrique est moins sensible à l’angle de dilatance, on peut considérer comme plus fiables les valeurs de E et de ϕ proposées par la méthode génétique. On remarquera que la différence entre les deux jeux fournis par les méthodes génétique et simplexe est ténue. Toutefois, la méthode génétique présente l’avantage de proposer une gamme d’angles de dilatance que l’expert géotechnicien appréciera. Ce même expert aura également à sa disposition un choix relativement varié de couples (E, ϕ) avec lequel il pourra composer en fonction de son expérience du terrain et de l’ouvrage qu’il a à dimensionner.

4. Application à l’essai pressiométrique in situ

L’identification des paramètres précédente ayant été menée sur des essais de laboratoire, à savoir dans des conditions contrôlées, on peut se demander si l’exploitation d’essais in situ mène aux mêmes conclusions. Dans ce qui suit, nous traitons un essai réalisé dans le cadre d’un benchmark.

Il s’agit d’un essai pressiométrique effectué par l’Université de TEXAS A&M et Geotest Engineering dans le cadre d’un benchmark traitant de semelles filantes. L’essai a été réalisé selon la norme ASTM D4719. Pour plus de détails on se référera à la synthèse de ce benchmark (Briaud, 1994).

L’identification a été menée avec les mêmes outils que précédemment. Elle porte également sur trois paramètres, la cohésion (non nulle puisque sol partiellement saturé), le module d’Young et l’angle de frottement interne. L’angle de dilatance n’a

pas été pris en compte ici, considérant que son incidence était faible au vu du résultat précédent. La modélisation ne traite que la bande de sol correspondant à la hauteur de la sonde pressiométrique (H = 16 cm). Les conditions aux limites et le chargement prennent en compte les conditions de terrain. La contrainte verticale aux limites supérieure et inférieure du domaine est maintenue constante.

0 10 20 30 40 50

cohésion (kPa) Module Young (MPa) Phi (°) Résidu (%)

0 4 20 8 10 20 30 0,36 1,8 0 0 16 ___ : méthode génétique - - - : méthode simplexe Résidu :

erreur sur la déform. radiale

Figure 3. Répartition des individus « satisfaisants » de la 5ème population

Les résultats donnés par les deux méthodes d’identification, simplexe et génétique, sont représentés sur la figure 3. Seuls les résultats de trois calculs menés avec la méthode du simplexe et jugés significatifs de la dispersion de l’ensemble, sont représentés. On constatera que la méthode du simplexe livre un jeu de paramètres dont la fonction coût est supérieure à 1,8%. Grâce à la méthode génétique, toute une gamme de jeux de paramètres correspondant à une représentation « satisfaisante » de l’essai pressiométrique est accessible à l’expert géotechnicien. Dans le cas présent, il convient de remarquer que ce choix sera déterminant dans le calcul d’une charge limite puisque les angles de frottement possibles sont compris dans un intervalle très ouvert (entre 38 et 50 degrés).

5. Conclusions

Les deux exemples d’identification des paramètres présentés ci-dessus illustrent tout l’intérêt que peut présenter la méthode génétique. C’est un outil qui offre à l’expert géotechnicien non seulement le jeu de paramètres optimum pour un problème donné, mais également un ensemble de jeux jugés « satisfaisants » dont les valeurs peuvent avoir une plus grande légitimité physique. Rappelons que ce cas de figure est envisageable compte tenu des imprécisions et erreurs de mesure lors des essais de géotechnique.

La durée des calculs relative à chaque méthode n’a pas été évoquée jusqu’à présent. Dans les deux exemples, un unique calcul d’optimisation avec la méthode du simplexe était environ 15 fois plus rapide qu’un calcul avec la méthode génétique. Il est bien clair que la recherche systématique, par la méthode du simplexe, de

l’optimum au sens mathématique, qui n’est pas nécessairement celui qui répond aux critères de l’expert géotechnicien, nécessiterait plus de 15 calculs avec des jeux de paramètres initiaux différents. Les autres méthodes déterministes n’ont pas été présentées ici puisque présentant plus de difficultés que la méthode du simplexe dans la recherche des paramètres de convergence du processus, et donc plus délicates à mettre en œuvre.

Au cours de l’étude, il a été remarqué que les résultats de certains calculs basés sur la méthode génétique ne faisaient pas mention du minimum local proposé par la méthode du simplexe. Il reste donc à mener une réflexion sur le réglage des différents paramètres de la méthode génétique qui permettrait d’exhiber l’ensemble des solutions « satisfaisantes » et ceci de manière efficace, i.e. pour des temps de calcul raisonnables. Parmi les paramètres de la méthode génétique, on citera la distribution de la population initiale, le nombre de jeux par génération, le nombre de générations et les paramètres d’élitisme, de croisement et de mutation.

Cette étude est actuellement complétée par la prise en compte de lois de comportement plus sophistiquées (lois élastoplastiques écrouissables). Le processus d’optimisation va être élargi à un ensemble d’essais qui devraient permettre d’identifier tous les paramètres de la loi. On peut penser que c’est dans cette situation que la méthode génétique sera la plus pertinente.

6. Références bibliographiques

Briaud J.L. (1994), Predicted and measured behaviour of five spread footings on sand, Geotechnical Special Publication 41, ASCE, 255 pages

Cambou B., Bahar R. (1993) Utilisation de l’essai pressiométrique pour l’identification de paramètres intrinsèques du comportement d’un sol, Revue Française de Géotechnique, 63, 39-50

Dano C., Hicher P. Y., Rangeard D., Marchina P. (2007) Interpretation of dilatometer tests in a heavy oil reservoir, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 31(10), 1197-1215

Dupla J.C. (1995) Application de la sollicitation d’expansion de cavité cylindrique à l’évaluation des caractéristiques de liquéfaction d’un sable, Thèse, ENPC

Goldberg D.E. (1989) Genetic algorithms in search, optimization and machine learning, Adison Wesley publishing company

Hicher P.Y. (1985) Comportement mécanique des argiles saturées sur divers chemins de sollicitations monotones et cycliques – Application à une modélisation élastoplastique et viscoplastique, thèse de doctorat d’état, Paris VI

Levasseur S. (2007) Analyse inverse en géotechnique : développement d’une méthode à base d’algorithmes génétiques, Thèse, Univ. J. Fourier, Grenoble I Mehta B.J. (1989) Evaluation of subsoil properties by pressuremeter test, 12th

International Congress of Soil Mechanics and Foundation Engineering, Rio de Janeiro, Proceedings, 1, 295-298

Zentar R., Hicher P.Y., Moulin G. (2001) Identification of soil parameters by inverse analysis, Computers and Geotechnics, 28, 129-144