Raccordement de développements asymptotiques pour la propagation des ondes dans les milieux comportant des fentes

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Raccordement de développements asymptotiques pour la

propagation des ondes dans les milieux comportant des

fentes

Sébastien Tordeux, Patrick Joly

To cite this version:

Sébastien Tordeux, Patrick Joly. Raccordement de développements asymptotiques pour la propagation

des ondes dans les milieux comportant des fentes. Groupe de travail : Applications des Mathématiques,

ENS Cachan, 2004, Rennes, France. �inria-00528067�

Raccordement de développements

asymptotiques pour la propagation

des ondes dans les milieux

comportant des fentes

S ´ebastien Tordeux et Patrick Joly

Une application typique

Comment peut-on étudier la diffraction des ondes

dans les milieux incluant des

fentes minces

?

source

onde

réfléchie

transmise

onde

Un problème physique avec deux longueurs

caractéristiques

(

La

longueur d’onde

λ

Une situation

asymptotique

:

Une application typique

Comment peut-on étudier la diffraction des ondes

dans les milieux incluant des

fentes minces

?

source

onde

réfléchie

transmise

onde

Une situation

asymptotique

:

La difficulté numérique

Un pas de maillage plus petit que

ε

ε

Quelques références

- Fentes minces:

Harrington, Auckland

(1980),

Tatout

(1996).

- Différences finies:

Taflove

(1995).

- Théorie des plaques, théorie des jonctions,...

Ciarlet

,

Le Dret

,

Dauge

-

Costabel

.

- Développements asymptotiques raccordés:

McIver, Rawlins

(1993),

Il’in

(1992).

Un problème simple

Ω

ε

ε

Equation des ondes

scalaires

:

∂

2

p

ε

∂t

2

− ∆

p

ε

_{= f}

Régime

harmonique

:

p

ε

_{(x, y, t) = exp(−iωt)}

u

ε

(x, y)

Equation de

Helmholtz

:

∆

u

ε

+ ω

2

u

ε

_{= −f}

in

Ω

ε

Un problème simple

Ω

ε

ε

Solution

sortante

à l’infini:

∂

u

ε

∂n

− iω

u

ε

≤

C

r

2

,

pour

r

grand

,

Condition aux limites de

Neumann

(mur rigide)

∂

u

ε

∂n

= 0

sur

∂Ω

Un problème simple

Ω

ε

ε

Solution

sortante

à l’infini:

∂

u

ε

∂n

− iω

u

ε

≤

C

r

2

,

pour

r

grand

,

Condition aux limites de

Neumann

(mur rigide)

∂

u

ε

∂n

= 0

sur

∂Ω

ε

Une simulation numérique

Dirichlet

Neumann

Simulation numérique effectuée avec le code éléments finis

d’

ordre élevé

(

M. Duruflé

, INRIA)

Une simulation numérique

Dirichlet

Neumann

ε

Une simulation numérique

Dirichlet

Neumann

ε

Une simulation numérique

Dirichlet

Neumann

ε

Objectifs

Développer des méthodes de calcul

précises

Introduction d’une

zone de transition

Une technique appropriée: les

développements

asymptotiques raccordés

Définir de

nouveaux modèles approchés

permettant de

calculer la solution.

Maîtriser l’utilisation de techniques “universelles” de

calcul numérique (raffinement de maillage).

Objectifs

Développer des méthodes de calcul

précises

Introduction d’une

zone de transition

Une technique appropriée: les

développements

asymptotiques raccordés

Définir de

nouveaux modèles approchés

permettant de

calculer la solution.

Maîtriser l’utilisation de techniques “universelles” de

calcul numérique (raffinement de maillage).

Objectifs

Développer des méthodes de calcul

précises

Introduction d’une

zone de transition

Une technique appropriée: les

développements

asymptotiques raccordés

Définir de

nouveaux modèles approchés

permettant de

calculer la solution.

Apports aux rac. de dév. asympt.

Reformuler les

principes de raccord

(pas toujours

clairs) proposés par l’école anglo-saxonne.

Justification mathématique de cette technique.

Méthode

inspirée

des techniques multi-échelles

Existence et unicité

des termes des

développements asymptotiques.

Apports aux rac. de dév. asympt.

Reformuler les

principes de raccord

(pas toujours

clairs) proposés par l’école anglo-saxonne.

Justification mathématique de cette technique.

Méthode

inspirée

des techniques multi-échelles

Existence et unicité

des termes des

développements asymptotiques.

Trois zones

η

_S

η

_H

_x

y

Champ lointain

(champ 2D)

Champ proche

(couche limite)

Trois zones

η

_S

η

_H

_x

y

Les

hypothèses asymptotiques:

Trois zones

x

y

Les

hypothèses asymptotiques:

Trois zones

x

y

Champ lointain

Les

hypothèses asymptotiques:

Trois zones

x

y

Champ proche

Les

hypothèses asymptotiques:

Trois zones

x

y

Champ de fente

Les

hypothèses asymptotiques:

Trois zones

x

y

lointain et proche

Les

hypothèses asymptotiques:

Trois zones

x

y

de fente et proche

Les

hypothèses asymptotiques:

Les temps de la méthode

Dérivation

des développements asymptotiques:

Partie

formelle

Les temps de la méthode

Dérivation

des développements asymptotiques:

Partie

formelle

Plusieurs présentations possibles

Description

des développements asymptotiques

Partie

rigoureuse

Définition

des termes de développements

asymptotiques

Les temps de la méthode

Dérivation

des développements asymptotiques:

Partie

formelle

Plusieurs présentations possibles

Description

des développements asymptotiques

Partie

rigoureuse

Définition

des termes de développements

asymptotiques

Validation mathématique

du développement

asymptotique

Partie

rigoureuse

Estimations d’erreur

Les temps de la méthode

2

Dérivation

des développements asymptotiques:

Partie

formelle

Plusieurs présentations possibles

1

Description

des développements asymptotiques

Partie

rigoureuse

Définition

des termes de développements

asymptotiques

3

Validation mathématique

du développement

asymptotique

Partie

rigoureuse

Estimations d’erreur

Champ lointain

Contexte asymptotique:

ε

_η

_H

_λ

.

η

_S

η

_H

Champ lointain

Contexte asymptotique:

ε

_η

_H

_λ

.

(x, y)

η

_H

Pas de

normalisation

:

X = x,

Y = y.

Champ lointain

Contexte asymptotique:

ε

_η

_H

_λ

.

(x, y)

η

_H

_ε

_{→ 0}

(x, y)

Ω

A

Pas de

normalisation

:

X = x,

Y = y.

Champ lointain

Contexte asymptotique:

ε

_η

_H

_λ

.

(x, y)

η

_H

_ε

_{→ 0}

(x, y)

Ω

A

u

ε

=

u

0

+

+∞

X

i=1

i−1

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

+ o(

ε

∞

),

dans

Ω.

Champ lointain

Contexte asymptotique:

ε

_η

_H

_λ

.

(x, y)

η

_H

_ε

_{→ 0}

(x, y)

Ω

A

où les

u

k

_i

vérifient l’équation de

Helmholtz homogène

Champ de fente

u

ε

(x, y) =

U

ε

(x,

y

Champ de fente

ε

η

_S

x

y

Le contexte

asymptotique

:

ε

_η

_S

_λ

.

La

normalisation:

X = x,

Y =

y

ε

Champ de fente

ε

η

_S

x

y

scaling

1

η

_S

x

Y

Le contexte

asymptotique

:

ε

_η

_S

_λ

.

La

normalisation:

X = x,

Y =

y

ε

Champ de fente

ε

η

_S

x

y

scaling

1

η

_S

x

Y

ε

_{→ 0}

1

x

Y

Le contexte

asymptotique

:

ε

_η

_S

_λ

.

La

normalisation:

X = x,

Y =

y

ε

Champ de fente

ε

η

_S

x

y

scaling

1

η

_S

x

Y

ε

_{→ 0}

1

x

Y

u

ε

(x, Y ε) =

U

ε

(x, Y ) =

+∞

X

i=0

i

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

U

_i

k

(x, Y ) + o(

ε

∞

),

dans

_O

₁

.

Champ de fente

ε

η

_S

x

y

scaling

1

η

_S

x

Y

ε

_{→ 0}

1

x

Y

où les

U

k

_i

vérifient l’équation de

Helmholtz 1D

:

d

2

U

k

_i

dx

2

+ ω

2

_U

k

Champ proche

u

ε

(x, y) =

u

ε

_p

(

x

ε

,

y

Champ proche

Contexte

asymptotique

:

ε

_η

_H

_λ,

ε

_η

_S

_λ.

La

normalisation

:

X =

x

ε

,

Y =

y

ε

Champ proche

(x, y)

ε

η

_S

η

_H

Contexte

asymptotique

:

ε

_η

_H

_λ,

ε

_η

_S

_λ.

La

normalisation

:

X =

x

ε

,

Y =

y

ε

Champ proche

(x, y)

ε

η

_S

η

_H

1

η

H

ε

η

S

ε

1

(X, Y )

scaling

Contexte

asymptotique

:

ε

_η

_H

_λ,

ε

_η

_S

_λ.

La

normalisation

:

X =

x

ε

,

Y =

y

ε

Champ proche

(x, y)

ε

η

_S

η

_H

1

η

H

ε

η

S

ε

1

(X, Y )

scaling

ε

_{→ 0}

(X, Y )

B

1

Contexte

asymptotique

:

ε

_η

_H

_λ,

ε

_η

_S

_λ.

La

normalisation

:

X =

x

ε

,

Y =

y

ε

Champ proche

(x, y)

ε

η

_S

η

_H

1

η

H

ε

η

S

ε

1

(X, Y )

scaling

ε

_{→ 0}

(X, Y )

B

1

u

ε

(

ε

X,

ε

Y ) =

u

ε

_p

(X, Y ) =

+∞

X

i=0

i

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

_p

)

k

_i

(X, Y ) + o(

ε

∞

).

Champ proche

(x, y)

ε

η

_S

η

_H

1

η

H

ε

η

S

ε

1

(X, Y )

scaling

ε

_{→ 0}

(X, Y )

B

1

où les

(

u

_p

)

k

_i

vérifient l’équation de

Laplace (in)homogène

.







Ordre 0 :

u

0

,

(

u

_p

)

0

₀

,

U

0

₀

A

Champ lointain:































Chercher

u

0

_{∈ H}

_loc

1

(Ω)

tel que

:

−∆

u

0

_{− ω}

2

u

0

= f,

dans

Ω,

∂

u

0

Ordre 0 :

u

0

,

(

u

_p

)

0

₀

,

U

0

₀

B

1

Champ proche:

Ordre 0 :

u

0

,

(

u

_p

)

0

₀

,

U

0

₀

O

1

Champ de fente:

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

A

r

θ

Approximation

de la solution exacte :

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

A

r

θ

Forme explicite de

u

0

₁

u

0

₁

_{(r, θ) = −}

ω

2

u

0

_{(A) H}

(1)

0

(ωr).

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

X

Y

B

1

ρ

θ

Approximation

de la solution exacte :







u

ε

(

ε

X,

ε

Y ) =

u

ε

_p

(X, Y ),

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

X

Y

B

1

ρ

θ

Champ proche :

Chercher

(

u

_p

)

0

₁

_{∈ H}

_loc

1

_(B

₁

)

tel que:











∆(

u

_p

)

0

₁

= 0,

dans

_B

₁

∂(

u

_p

)

0

₁

= 0,

sur

_∂B

₁

.

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

X

Y

B

1

ρ

θ

Le comportement `a l’infini

dans le demi-espace:

(

u

p

)

0

₁

(ρ, θ) −

∂

u

0

∂y

(A) ρ cos θ +

ω

2

u

0

_(A)

h

_{1 +}

2i

π

log ρ + γ

i

= O(

1

ρ

).

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

X

Y

B

1

ρ

θ

Le comportement `a l’infini

dans le demi-espace:

(

u

p

)

0

₁

(ρ, θ) −

∂

u

0

∂y

(A) ρ cos θ +

ω

2

u

0

_(A)

h

_{1 +}

2i

π

log ρ + γ

i

= O(

1

ρ

).

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

X

Y

B

1

ρ

θ

(

u

_p

)

1

₁

_{= −}

iω

π

u

0

_(A)

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

O

1

x

Approximation

de la solution exacte :







u

ε

(x,

ε

Y ) =

U

ε

(x, Y ),

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

O

1

x

Le champ de fente:

U

0

₁

(x) =

Z

1

0

U

0

1

(0, Y ) dY exp (iωx),

Ordre 1 :

u

0

₁

,

(

u

_p

)

0

₁

,

(

u

_p

)

1

₁

,

U

0

₁

,

U

1

₁

O

1

x

Le champ de fente:

U

1

₁

_{(x) = −}

iω

π

u

Les champs lointains d’ordre

i > 1

Les champs

u

k

_i

sont définis dans tout le

demi-espace

:

Les champs lointains d’ordre

i > 1

Les champs

u

k

_i

sont définis dans tout le

demi-espace

:

A

Les champs lointains

u

k

_i

vérifient l’équation de

Helmholtz homogène

Les champs lointains d’ordre

i > 1

Les champs

u

k

_i

sont définis dans tout le

demi-espace

:

A

u

k

_i

=

+∞

X

p=0

a

_p

H

p

(1)

(ωr) cos pθ

Les champs lointains d’ordre

i > 1

Les champs

u

k

_i

sont définis dans tout le

demi-espace

:

A

u

k

_i

=

i−k−1

_X

p=0

Les champs lointains d’ordre

i > 1

Les champs

u

k

_i

sont définis dans tout le

demi-espace

:

A

u

k

_i

=

i−k−1

_X

p=0

Les champs lointains d’ordre

i > 1

Les champs

u

k

_i

sont définis dans tout le

demi-espace

:

A

Im

(H

₀

(1)

(ωr))

u

k

_i

=

i−k−1

_X

p=0

a

_p

H

p

(1)

(ωr) cos pθ

Les champs lointains d’ordre

i > 1

Les champs

u

k

_i

sont définis dans tout le

demi-espace

:

A

Im

(H

₁

(1)

(ωr) cos θ)

u

k

_i

=

i−k−1

_X

p=0

a

_p

H

p

(1)

(ωr) cos pθ

Les champs proches d’ordre

i > 1

Les

(

u

_p

)

k

_i

(X, Y )

sont définis sur le domaine

canonique

:

Les champs proches d’ordre

i > 1

Les

(

u

_p

)

k

_i

(X, Y )

sont définis sur le domaine

canonique

:

par des équations de

Laplace

:

∆(

u

_p

)

k

_i

= 0,

(i = k

ou

k + 1),

∆(

u

_p

)

k

_i

_{= −ω}

2

(

u

_p

)

k

_i−2

,

(i > k + 2),

Les champs proches d’ordre

i > 1

Les

(

u

_p

)

k

_i

(X, Y )

sont définis sur le domaine

canonique

:

par des équations de

Laplace

:

par des

croissances

polynomiales à l’infini:

Les

croissances

dans le demi-espace sont fonctions

des champs

lointains d’ordre inférieur ou égal

Les champs proches d’ordre

i > 1

Les

(

u

_p

)

k

_i

(X, Y )

sont définis sur le domaine

canonique

:

Preuve de l’

existence-unicité

:

Avec des fonctions de troncature, on retire le

comportement croissant à l’infini des

(

u

_p

)

k

_i

Les champs de fente d’ordre

i > 1

Les

U

k

_i

sont définis sur le domaine

canonique

:

O

1

x

U

k

_i

(x) =

Z

1

0

Les champs de fente d’ordre

i > 1

Les

U

k

_i

sont définis sur le domaine

canonique

:

O

1

x

Les

U

k

_i

ne dépendent que de

x

.

U

k

_i

(x) =

Z

1

0

Quelques propriétés

On observe que:

Plus

_{i − k}

est grand plus

u

k

_i

est

singulier

à l’origine:

Termes en

r

−

p

,

_{p = 0, ..., i − k − 1}

Quelques propriétés

On observe que:

Plus

_{i − k}

est grand plus

u

k

_i

est

singulier

à l’origine:

Termes en

r

−

p

,

_{p = 0, ..., i − k − 1}

Plus

_{i − k}

est grand plus

(

u

_p

)

k

_i

est

croissant

:

(

Termes en

ρ

p

,

_{p = 0, ..., i − k,}

Quelques propriétés

On observe que:

Plus

_{i − k}

est grand plus

u

k

_i

est

singulier

à l’origine:

Termes en

r

−

p

,

_{p = 0, ..., i − k − 1}

Plus

_{i − k}

est grand plus

(

u

_p

)

k

_i

est

croissant

:

(

Termes en

ρ

p

,

_{p = 0, ..., i − k,}

Termes en

X

p

,

_{p = 0, ..., i − k,}

Diagramme de dépendance des correcteurs

4

3

2

1

0

i =

0

1

2

3

4

k=

ε

i

log

k

ε

Diagramme de dépendance des correcteurs

4

3

2

1

0

i =

0

1

2

3

4

k=

ε

i

log

k

ε

Ordonnancement naturel des calculs

4

3

2

1

0

i =

0

1

2

3

4

k=

ε

i

log

k

ε

Dérivation des termes des dév. asympt.

On recherche la solution sous la forme:

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

(Champ lointain)

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

_p

)

k

_i

(Champ proche)

X

i∈Z

X

k∈Z

Dérivation des termes des dév. asympt.

On recherche la solution sous la forme:

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

(Champ lointain)

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

_p

)

k

_i

(Champ proche)

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

U

k

_i

(Champ de fente)

Dérivation des termes des dév. asympt.

On recherche la solution sous la forme:

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

(Champ lointain)

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

_p

)

k

_i

(Champ proche)

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

U

k

_i

(Champ de fente)

On

injecte les équations

volumiques et surfaciques

Obtention des conditions de

couplage

(

la difficulté

)

Raccord lointain-proche

λ

η

_H

ε

η

_H

Dans une

zone épaisse

du type:

ε

_η

_H

_λ.

On traduit le raccord:

u

ε

(η

_H

, θ) = (

u

p

)

ε

(

η

_H

ε

, θ).

+∞

X

X

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

(η

_H

_{, θ) '}

X

X

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

_p

)

k

_i

(

η

H

ε

, θ)

Raccord lointain-proche

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

(η

_H

_{, θ) '}

X

i∈Z

X

k∈Z

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

_p

)

k

_i

(

η

H

ε

, θ)

η

_H

_{→ 0}

η

H

ε

→ +∞

On

développe

la série de gauche suivant

η

_H

proche de

0

la série de droite suivant

η

_H

/

ε

proche de l’

infini

Le couplage entre les champs

Le couplage champ

lointain

-champ

proche

:

Le comportement

singulier du champ lointain en l’origine

est couplé avec le comportement

croissant du champ

proche à l’infini dans le demi-espace

Le couplage entre les champs

Le couplage champ

lointain

-champ

proche

:

Le couplage champ

proche

-champ de

fente

Le comportement

croissant du champ proche dans la fente

est couplé avec le comportement à

l’origine du champ de

fente

(valeurs des dérivées)

Analyse mathématique

Ω

R,R

0

R

0

R

u

ε

₋

u

0

₋

n

X

i

=1

i−

1

X

k

=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

H

1

_(Ω

R,R0

₎

≤ C

ε

n

+1

_(log

_ε

₎

n

kfk

L

2

_(Ω)

.

Analyse mathématique

Ω

R,R

0

R

0

R

B

₁

L,L

0

L

L

0

u

ε

₋

u

0

₋

n

X

i

=1

i−

1

X

k

=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

H

1

_(Ω

R,R0

₎

≤ C

ε

n

+1

_(log

_ε

₎

n

kfk

L

2

_(Ω)

.

u

ε

_p

₋

n

X

i

=0

i

X

k

=0

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

p

)

k

i

H

1

_(B

L,L0

1

)

≤ C

ε

n

+1

(log

ε

)

n

+1

_kfk

L

2

_(Ω)

.

Analyse mathématique

Ω

R,R

0

R

0

R

B

₁

L,L

0

L

L

0

l

0

l

O

₁

l,l

0

u

ε

₋

u

0

₋

n

X

i

=1

i−

1

X

k

=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

H

1

_(Ω

R,R0

₎

≤ C

ε

n

+1

_(log

_ε

₎

n

kfk

L

2

_(Ω)

.

u

ε

_p

₋

n

X

i

=0

i

X

k

=0

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

p

)

k

i

H

1

_(B

L,L0

1

)

≤ C

ε

n

+1

(log

ε

)

n

+1

_kfk

L

2

_(Ω)

.

ε

n

X

_X

i

i

k

k

n

+1

n

+1

Idée de la preuve

Nous souhaitons définir une

approximation

_e

u

ε

_n

de la solution

exacte qui

coïncide

avec:

le développement

tronqué

du

champ lointain

loin de la

fente dans le demi-espace

u

H,

_n

ε

(x, y) =

u

0

(x, y) +

n

X

i=1

i−1

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

(x, y)

Idée de la preuve

Nous souhaitons définir une

approximation

_e

u

ε

_n

de la solution

exacte qui

coïncide

avec:

le développement

tronqué

en

champ proche

au

voisinage de l’embouchure de la fente

u

N,

_n

ε

(x, y) =

n

X

i=0

i

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

p

)

k

_i

(

x

ε

,

y

ε

)

Idée de la preuve

Nous souhaitons définir une

approximation

_e

u

ε

_n

de la solution

exacte qui

coïncide

avec:

le développement

tronqué

en

champ de fente

loin dans

la fente

u

S,

_n

ε

(x, y) =

n

X

i=0

i

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

U

k

_i

(x,

y

ε

)

Idée de la preuve

Introduction d’une partition de l’unité

e

u

ε

_n

(r, θ) = χ

ε

_H

u

H,

_n

ε

+ χ

_N

ε

u

N,

_n

ε

+ χ

ε

_S

u

S,

_n

ε

avec

χ

ε

_H

+ χ

ε

_N

+ χ

ε

_S

= 1.

1

0

η

_H

(

ε

)

χ

ε

_H

0

1

η

_H

(

ε

)

η

_S

(

ε

)

χ

ε

_N

η

_S

(

ε

)

χ

ε

_S

Idée de la preuve

Equation portant sur l’

erreur

e

ε

_n

_{= e}

u

ε

_n

₋

u

ε



























∆

e

ε

_n

+ ω

2

e

ε

_n

= (

δ

_N

)

ε

_n

+ (

δ

_H−N

)

ε

_n

+ (

δ

_S−N

)

ε

_n

,

dans

Ω

_ε

,

∂

e

ε

_n

∂n

= 0,

sur

∂Ω

ε

,

e

ε

_n

est sortante.

(

δ

_N

)

ε

_n

est relié à l’

approximation

de l’équation de

Helmholtz

par le champ

proche

Idée de la preuve

Equation portant sur l’

erreur

e

ε

_n

_{= e}

u

ε

_n

₋

u

ε



























∆

e

ε

_n

+ ω

2

e

ε

_n

= (

δ

_N

)

ε

_n

+ (

δ

_H−N

)

ε

_n

+ (

δ

_S−N

)

ε

_n

,

dans

Ω

_ε

,

∂

e

ε

_n

∂n

= 0,

sur

∂Ω

ε

,

e

ε

_n

est sortante.

(

δ

_H−N

)

ε

_n

est relié à l’

erreur de raccord

entre champ

lointain

et champ

proche

Idée de la preuve

Equation portant sur l’

erreur

e

ε

_n

_{= e}

u

ε

_n

₋

u

ε



























∆

e

ε

_n

+ ω

2

e

ε

_n

= (

δ

_N

)

ε

_n

+ (

δ

_H−N

)

ε

_n

+ (

δ

_S−N

)

ε

_n

,

dans

Ω

_ε

,

∂

e

ε

_n

∂n

= 0,

sur

∂Ω

ε

,

e

ε

_n

est sortante.

(

δ

_S−N

)

ε

_n

est relié à l’

erreur de raccord

entre champ de

fente

et champ

proche

Idée de la preuve

Equation portant sur l’

erreur

e

ε

_n

_{= e}

u

ε

_n

₋

u

ε



























∆

e

ε

_n

+ ω

2

e

ε

_n

= (

δ

_N

)

ε

_n

+ (

δ

_H−N

)

ε

_n

+ (

δ

_S−N

)

ε

_n

,

dans

Ω

_ε

,

∂

e

ε

_n

∂n

= 0,

sur

∂Ω

ε

,

e

ε

_n

est sortante.

Démarche asymptotique classique:

Stabilité

: raisonnement par l’

absurde

(Helmholtz)

Idée de la preuve

L’estimation d’erreur globale











_u

ε

_{− e}

_u

ε

n

H

1

_(Ω

R,δ

ε

)

6

C

h

η

_H

(

ε

)



n

+



ε

η

_H

(

ε

)



n

i

+ C

h

η

_S

(

ε

)



n

+



ε

η

_S

(

ε

)



n

i

.

δ

R

Idée de la preuve

L’estimation d’erreur globale











_u

ε

_{− e}

_u

ε

n

H

1

_(Ω

R,δ

ε

)

6

C

h

η

_H

(

ε

)



n

+



ε

η

_H

(

ε

)



n

i

+ C

h

η

_S

(

ε

)



n

+



ε

η

_S

(

ε

)



n

i

.

On choisit

η

_H

(

ε

)

et

η

_S

(

ε

)

pour

optimiser

cette relation

η

_H

(

ε

) = η

_S

(

ε

) =

√

ε

Nous tirons

_u

ε

− e

u

ε

_n

_H

1

_(Ω

R,δ

ε

)

6

C

ε

n

2

Idée de la preuve

_u

ε

−e

u

ε

_n

_H

1

(Ω

R,δ

ε

)

6

C

ε

n

2

=⇒

u

ε

_{− e}

u

ε

_n

_H

1

(Ω

R,R0

₎

6

C

ε

n

2

δ

R

Idée de la preuve

_u

ε

−e

u

ε

_n

_H

1

(Ω

R,δ

ε

)

6

C

ε

n

2

=⇒

u

ε

−e

u

ε

n

H

1

(Ω

R,R0

₎

6

C

ε

n

2

R

R

0

Idée de la preuve

_u

ε

−e

u

ε

_n

_H

1

(Ω

R,δ

ε

)

6

C

ε

n

2

=⇒

u

ε

−e

u

ε

n

H

1

(Ω

R,R0

₎

6

C

ε

n

2

Dans la zone de

champ lointain

:

e

u

ε

_n

=

u

H,

_n

ε

=

u

0

+

n

X

i=1

i−1

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

Idée de la preuve

_u

ε

−e

u

ε

_n

_H

1

(Ω

R,δ

ε

)

6

C

ε

n

2

=⇒

u

ε

−e

u

ε

n

H

1

(Ω

R,R0

₎

6

C

ε

n

2

Dans la zone de

champ lointain

:

e

u

ε

_n

=

u

H,

_n

ε

=

u

0

+

n

X

i=1

i−1

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i







_u

ε

−

u

H,

_3n

ε

_H

1

(Ω

R,R0

₎

6

C

ε

3

_n

2

_u

H,

ε

3n

−

u

H,

n

ε

H

1

_(Ω

_R,R0

₎

6

C

ε

n+1

_log

n

_ε

Idée de la preuve

_u

ε

−e

u

ε

_n

_H

1

(Ω

R,δ

ε

)

6

C

ε

n

2

=⇒

u

ε

−e

u

ε

n

H

1

(Ω

R,R0

₎

6

C

ε

n

2

Dans la zone de

champ lointain

:

e

u

ε

_n

=

u

H,

_n

ε

=

u

0

+

n

X

i=1

i−1

X

k=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i







_u

ε

−

u

H,

_3n

ε

_H

1

(Ω

R,R0

₎

6

C

ε

3

_n

2

_u

H,

ε

3n

−

u

H,

n

ε

H

1

_(Ω

_R,R0

₎

6

C

ε

n+1

_log

n

_ε

Analyse mathématique

Ω

R,R

0

R

0

R

B

₁

L,L

0

L

L

0

l

0

l

O

₁

l,l

0

u

ε

₋

u

0

₋

n

X

i

=1

i−

1

X

k

=0

ε

i

(log

ε

)

k

u

k

_i

H

1

_(Ω

R,R0

₎

≤ C

ε

n

+1

_(log

_ε

₎

n

kfk

L

2

_(Ω)

.

u

ε

_p

₋

n

X

i

=0

i

X

k

=0

ε

i

(log

ε

)

k

(

u

p

)

k

i

H

1

_(B

L,L0

1

)

≤ C

ε

n

+1

(log

ε

)

n

+1

_kfk

L

2

_(Ω)

.

ε

n

X

_X

i

i

k

k

n

+1

n

+1

Perspectives

1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes

de

résonance

)

x

y

Perspectives

1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes

de

résonance

)

Perspectives

1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes

de

résonance

)

2. Comparaison avec les techniques

multi-échelles

Perspectives

1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes

de

résonance

)

2. Comparaison avec les techniques

multi-échelles

3. Equations de

Maxwell

3D

4. Domaine

temporel

(équation d’évolution)

∂

2

u

∂t

2

− c