Discountinuous Galerkin methods and posteriori error analysis for heterogeneous diffusion problems

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analysis for heterogeneous diffusion problems

Annette Fagerhaug Stephansen

To cite this version:

Annette Fagerhaug Stephansen. Discountinuous Galerkin methods and posteriori error analysis for

heterogeneous diffusion problems. Engineering Sciences [physics]. Ecole des Ponts ParisTech, 2007.

English. �pastel-00003419�

présentée pour l'obtention du titre de

DOCTEUR DE L'ÉCOLE NATIONALE

DES PONTS ET CHAUSSÉES

Spé ialité : Mathématiques et Informatique

par

Annette Fagerhaug STEPHANSEN

Sujet :

Méthodes de Galerkine dis ontinues et analyse d'erreur a posteriori

pour les problèmes de diusion hétérogène

pour être soutenue le17 dé embre 2007 devant lejury omposéde :

Rapporteurs: Roland Be ker

Frédéri Pas al

Examinateurs : Erik Burman

Philippe Destuynder

Vivette Girault

Mi helKern

Laurent Loth

Tout d'abord ma gratitudes'adresse àAlexandre Ern pour avoirdirigé mathèse ave

ompéten e et gentillesse. De ses larges onnaissan es s ientiques et de sa rigueur, j'ai

beau oupappris.

Ensuite,jesouhaiteraisremer ierl'Andrapourm'avoirpermisderéaliser ettere her he

et en parti ulierAlain Dimier pour avoirété mon onta ts ientiqueau seinde et

étab-lissement.

Je tiens aussi à remer ier Philippe Destuynder de m'avoir fait l'honneur de présider

monjurydethèse,RolandBe keretFrédéri Pas ald'avoirbienvouluêtrelesrapporteurs

de e travail,Erik Burman et VivetteGirault d'avoira epté de fairepartie de monjury.

Jevoudraisremer ierMi helKernetLaurentLothpourleurs onseilspendantletravail

de thèse et également pour avoir faitpartie de monjury.

Mer iàPaoloZunino de m'avoir a ueillieausein dulaboratoire MOXau Polite ni o

di Milano et pour les dis ussions fru tueuses quinous ont amenés à lapremière partie de

ette thèse.

Mer iàMartinVohralìkpourlesren ontrestrèsenri hissantes. J'aibeau oupappré ié

sonenthousiasmeet sarigueur s ientique.

Enn, mer i à toute l'équipe du Cermi s de m'avoir a ueillie. Les sympathiques

dis ussions après le déjeûner quand tout le monde se réunit autour d'un afé vont me

manquer! Mer i également aux se rétaires Sylvie Berte, Khadija El Louali et Martine

Ouhanna pour leur travail d'organisation et leur aide. Un remer ieme nt parti ulier va à

Amélie pour l'organisation des sorties entre thésards et en général pour rendre le milieu

du Cermi splus agréable.

Une pensée parti ulière va à un des mes professeurs du Polite ni o di Milano, Luigi

Quartapelle, pour m'avoir inspirésapassionpour less ien es.

Je terminerai ette page en remer iant mes pro hes qui ont toujours su être làet qui

Dans ette thèse, nous analysons une méthode de Galerkine dis ontinue (GD) et deux

estimateurs d'erreur a posterioripour l'équation d'adve tion-diusion- réa tion linéaire et

stationnaire ave diusionhétérogène. La méthode GD onsidérée,laméthode SWIP, est

unevariationdelaméthodesymétriqueave pénalisationintérieure. Aladiéren ede ette

dernière, laméthode SWIPutilisedesmoyennespondérées dont lespoids dépendent dela

diusion. L'analysea priori montrequela onvergen e estoptimale enlepasdumaillage

et robuste par rapport auxhétérogénéi t és de ladiusion, e qui est onrmé par lestests

numériques. Les deuxestimateurs d'erreur a posteriorisont obtenus par une analyse par

résiduset ontrlentla(semi-)normed'énergiedel'erreur. L'analysed'e a itélo ale

mon-trequepresquetouslesestimateurssontindépendant sdeshétérogénéités. L'ex eptionest

l'indi ateurdenon- onformitéquiaétéévaluéenutilisantl'interpolédeOswald. Le

deux-ième estimateurd'erreur estpluspré isquelepremier, maisson oûtde al ul est

légère-ment plus élevé. Cet estimateur est basé sur la onstru tion d'un ux

H

(div)- onforme

dansl'espa e de Raviart-Thomas-Nédéle en utilisantla onservativité desméthodesGD.

Les résultats numériques montrent que les deux estimateurs peuvent être employés pour

l'adaptation demaillage.

Abstra t

In this thesis we analyse a dis ontinuous Galerkin (DG) method and two omputable a

posteriorierror estimators forthe linear andstationaryadve tion-diusion-r ea tion

equa-tion with heterogeneo us diusion. The DG method onsidered, the SWIP method, is a

variation of the Symmetri Interior Penalty Galerkin method. The dieren e is that the

SWIP method uses weighted averages with weights that depend on the diusion. The a

priori analysis shows optimal onvergen e with respe t to mesh-size and robustness with

respe t to heterogeneo us diusion, whi h is onrmed by numeri al tests. Both a

poste-riori error estimators are of the residual type and ontrol the energy (semi-)norm of the

error. Lo allower boundsareobtainedshowing thatalmostallindi ators areindependent

of heterogenei t ies. The ex eption is for the non- onforming part of the error, whi h has

been evaluated using the Oswald interpolator . The se ond error estimator is sharper in

its estimate with respe t to the rst one, but it is slightly more ostly. This estimator

is basedon the onstru tion of an

H

(div)- onforming Raviart-Thomas-Nédélé uxusing

the onservativity of DG methods. Numeri al results show that both estimators an be

1 Introdu tion 1

1.1 Le sto kage enformation géologique profondedesdé hets radioa tifs . . . . 1

1.2 Lesmilieux poreux et letransportréa tif. . . 3

1.3 Lesméthodesde Galerkine dis ontinues . . . 5

1.4 Analyse d'erreura posteriori. . . 10

1.5 Obje tifsdela thèse . . . 15

1.6 Plande lathèse . . . 16

2 A Dis ontinuousGalerkin method with weighted averages 21 2.1 Introdu tion . . . 22

2.2 The SWIPmethod . . . 24

2.3 Error analysisin the energy norm . . . 28

2.4 Error analysisfor the adve tive derivative . . . 33

2.5 Numeri altests . . . 37

2.6 Con luding remarks . . . 46

3 A posteriori energy-norm error estimate 47 3.1 Introdu tion . . . 48

3.2 The dis retesetting. . . 50

3.3 A posteriori erroranalysis . . . 52

3.4 Numeri alresults . . . 67

3.5 Con lusions . . . 72

3.6 Appendix: Tra e inequality . . . 73

4 A posteriori energy-norm error estimate based on ux re onstru tion 75 4.1 Introdu tion . . . 76

4.2 Notation, assumptions, and ontinuousand dis rete problems . . . 79

4.3 Improved energy norma posteriori errorestimates in the pure diusion ase 83

4.4 E ien y of the estimatesin the pure diusion ase . . . 88

4.5 A posteriori error estimatesfor the re onstru tedux. . . 94

4.6 Improved energy norma posteriori errorestimates in the general ase. . . . 95

4.7 E ien y of the estimatesin the general ase . . . 100

4.8 Numeri al experiments . . . 105

5 Con lusions et perspe tives 115

Introdu tion

1.1 Le sto kageen formationgéologique profondedes dé hets

radioa tifs

La Fran e est un pays pauvre en ressour esénergétiques fossiles, e qui l'a motivée à

mettreen÷uvreunprogrammenu léaireimportant,quiaujourd'hui ompte59réa teurs.

78 % des kWh élé triques produits en Fran e sont d'origine nu léaire. Cette produ tion

permet de réduire le niveau des émissions de CO

2

, mais pose la question des dé hets

radioa tifs. Un des a teurs prin ipaux dans le domaine est l'ANDRA, l'agen e nationale

pour la gestion des dé hets radioa tifs. Dans la terminologi e du dossier Argile 2005 de

l'ANDRA,lesdé hetsHAVL(hautea tivité,vielongue) omprennentlesdé hetsC(haute

a tivité), B(moyenne a tivité à vie longue) et CU ( ombustibles usés non traités). Alors

queles dé hetsCUpeuventêtreretraités, unesolution permanente doitêtretrouvée pour

les dé hetsBet C, dontle volume total onstituait, au31 dé embre 2004,47 369 m

3

.

Un programme de re her he ambitieux a été mis en pla e ave la loi du 30 dé embre

1991, dite `loi Bataille', qui spé ie trois axes de re her he prin ipaux : la séparation et

la transmutation des éléments radioa tifs à vie longue, le sto kage dans les formations

géologiques profondes, et l'étude des pro édés de onditionnement et d'entreposage de

longue durée en surfa e. L'ANDRAest responsable de la oordinatio n des re her hessur

le deuxième axe. À l'issue des 15 années de re her he menées dans le adre de la loi de

1991, la loi du 28 juin 2006 renfor e le rle de l'ANDRA en lui onant les études sur

l'entreposage, et établit une feuille de route détaillée pour l'agen e. De plus, le sto kage

en ou he géologique profonde devient la solution de référen e pour les dé hets à haute

Un site approprié pour a ueillir un sto kage doit posséder ertaines ara téristiques

importantes:lerisquesismiqueàlongtermeetlaprésen ed'eaudoiventêtreminimaux,la

profondeurdoitêtresusante(400-700mètres)pourmettreàl'abrilesdé hetsdediverses

perturbations (anthropiquesou naturelles) et la ro he doit permettre le reusement pour

desinstallations. La apa ité de laro he à limiter ladiusion desdé hets radioa tifs est

ru iale. En outre, desressour esrares exploitables ne doivent passe trouver àproximité

dusite.EnFran e,lesitea tuellement àl'étudeest eluideBureenMeuse/Haute-Marne,

oùlaro he estde typeargilite Callovo-Oxfordien.

Unsitedesto kagesouterrainutilisetroisdiérentesbarrièrespour ontenirlesdé hets

radioa tifs. La premiere barrière est onstituée du onteneur. Les dé hets de type B sont

ompa tés ou enrobés dansdu bitume ou du béton, avant d'être pla és dans un olis en

bétonoua ier.Lesdé hetsdutypeCsontin orporésdansunverreparti ulieret misdans

un onteneur eninox.

Pour ladeuxième barrière,ditebarrièreouvragée,onaoptépourlabentonite,untype

d'argile largement onstitué de sme tite. La bentonite segone au onta t ave l'eau, et,

en fon tion de sa ompa ité, peut absorber du liquide orrespondant à plusieurs fois son

proprepoidsàse .C'estuneargiletrèsutilepours elleretrendreunpassageimperméabl e.

Deplus, laplasti itédesargiles leur permet d'absorber des déformationséventuelles.

La ro he autour du sto kage onstitue la troisième barrière, la barrière géologique.

L'argiliteaunetrèsfaibleperméabilit éet esttrèshomogène.Lagrandeporositédumilieu

poreuxen ouragelaxationdesradionu léidesàl'intérieurdesro hes.Unpointimportant

est que la zone endommagée réée pendant le reusement des ouvrages soint limitée et

n'inuen e pas les bonnes proprietés du site. Dans le dossier 2005, l'ANDRA a présenté

unere her he surlesargiles et l'argilite de Bure enparti ulier.

Comme les onstantes de dé roissan e radioa tive sont de l'ordre de

10

5

_{− 10}

7

ans

pour l'iodine et leplutonium, il est lair que les barrières mises en pla e n'arriveront pas

à ontenir toute la radioa tivité à l'intérieur du sto kage sur de si grandes é helles de

temps.L'eauremplira lesto kage et les onteneurs seront orrodés. En onta tave l'eau,

les radionu léides seront transportés à l'extérieur des alvéoles de sto kage vers le milieu

naturel.Le risque de ontaminati on de labiosphèreest évaluépar desanalyses de sûreté.

Toutel'information disponibleest utiliséean demodéliser lespro essus, et on sesertdu

al uls ientiqueandesimulerlamigrationdesradionu léidesàunhorizond'unmillion

d'années. Le rle du groupement de re her hes (GDR) MoMaS

1

, dans lequel s'ins rit le

1

travailde ettethèse,estde oordonnerlesre her hessurlamodélisationmathématiqueet

lamiseaupointdess hémasnumériquespourl'étudeetl'analysedessto kagesdedé hets

radioa tifs.

De plus amples informations sur le sto kage en formation géologique profonde des

dé hets radioa tifspeuvent être trouvées surlesite internet dugouvernement français

2

et

sur elui de l'ANDRA

3

. Les dossiersANDRA sont disponibles au publi et peuvent être

télé hargés depuis lesite internet de l'agen e.

1.2 Les milieux poreux et le transport réa tif

Unmilieu poreuxest onstituéd'unestru turesolideet d'un réseaude poresà travers

lesquels un uide s'é oule. L'ensemble formé de la stru ture, des pores et du uide peut

être onsidéré omme un ontinuum. La modélisation et l'étude des milieux poreux sont

très importantes, arelles permettent de omprendre le omportement de nombreux

ma-tériaux. Mêmesi le on ept de milieu poreux a étéoriginellem ent développé pour étudier

lamé anique des sols,et don pour ara tériser le sableou les ro hes, on aensuiteutilisé

le on eptpour formerunethéorieplusgénérale,laporomé anique.La ara térisationdes

milieux poreux est don utilisée aussi pour des matériaux naturels omme le bois et les

tissus biologiques et desmatériauxindustriels omme la éramiqueet lamousse.

On ara térise un milieu poreux par sa porosité, saperméabilit é et par les propriétés

de sa stru ture solide et du uide qui la traverse. La porosité est dénie par le rapport

entre le volume des pores et levolume total, et est don par dénition plus petite que1.

La perméabilit é dépend ex lusivement de la géométrie du milieu et mesure la possibilité

duuidedeletraverser.Elledépend nonseulement delaporositédumilieu,maisausside

la onnexité despores, et estexprimée par lebiais d'un tenseur symétrique dénipositif.

La perméabilit é peut être mesurée expérimentale ment ,et pour les milieuxanisotropes les

mesuresdoiventêtrefaitesen onsidérant lestroisdire tionsspatiales.Dansle asgénéral

d'é oulement s dans les ro hes, une ara térisation omplète doit en outre onsidérer les

fra tures présentes.

L'é oulem ent dansunmilieux poreux estsouvent modélisépar l'équation deDar y

q =

−K∇h,

(1.1)

2

http://ww w.industrie.gouv.fr/energie/sommaire.htm

3

où

q

estlavitessedeltration,

K

estla ondu tivitéhydrauliqueet

h

estla harge

hydrau-lique.Le signe négatif estdûau faitque laltration alieu dansladire tion despressions

dé roissantes. La ondu tivitéhydrauliquedépenddelaperméabilit é etdelavis osité

dy-namiquedu uide.La loi de Dar ypeut être déduite deséquations de Navier-Stokessous

ertaineshypothèses. En fait, l'équation(1.1) est valable seulement pour desé oulements

lents et visqueux, e qui est le as pour le transport de solutés dans un sol. Par ontre,

siletransportestpolyphasique,l'équationdoit êtremodiée. Si leuxestmonophasique

et stationnaire et sous l'hypothèse de densité onstante, la onservation de la masse en

absen ede sour esou puits impliqueque

∇·q = 0.

(1.2)

Les équations (1.1) et (1.2) ompletées des onditions aux limites dé rivent, à l'é helle

ma ros opique,l'é oulement stationnairedansun solsaturé.

Pour dé rire letransport d'uneespè eradioa tive de on entration

C

i

dansunsol,on

utilise enpremière approximation l'équationd'adve tion-diusion -réa tion suivante

φR

i



∂C

i

∂t

+ λ

i

C

i



− ∇· (D

i

∇C

i

) + q

· ∇C

i

= f

i

,

où

φ

est la porosité ee tive,

R

i

est le fa teur de retard,

λ

i

la onstante de dé roissan e

radioa tive,

q

la vitessede Dar y,

D

i

le tenseur de diusion/dispersion et

f

i

un terme de

sour eou puits éventuel. L'indi e

i

indiqueque lavaleurpeut être diérente pour haque

espè e.La porositéee tivefaitréféren eauxporesqui sontouvertspourletransportdu

uide.

Lefa teurderetardtient omptedufaitquelesolutén'estpastransportéave lamême

vitessequeleuide.C'estunemanièretrèssimpledemodéliserl'eetdupro essus himique

d'adsorption, qui par ontre est très ompliqué. L'adsorption fait intervenir la surfa e

du milieu poreux (à la diéren e de l'absorption où les molé ules sont in orporées dans

la stru ture même). L'adsorption est souvent modélisée omme un pro essus instantané

en utilisant des isothermes. Celles- i fournissent la masse adsorbée

S

sur la surfa e en

fon tionde la on entration dusoluté

C

. Lesdeuxisothermes lesplus utiliséessont elles

deLangmuiret de Freundli h. L'isothermede Freundli hest donnée par

S = K[C]

n

,

alorsque l'isothermede Langmuir estdonnée par

S =

KM C

1 + KC

,

où

M

est le maximum de soluté adsorbé. Le fa teur de retard est al ulé en utilisant la relation

R = 1 + ρ

1

− φ

φ

K

d

,

où

ρ

estladensitédelaphasesolideet

K

d

= S/C

estle oe ientdedistribution. Notons

que lefa teurde retard peut donner lieuà d'important es non linéarités.

Lamodélisationdesphénomènesdediusion parleterme

∇· (D

i

∇C

i

)

est onnuesous

lenomde`loideFi k',etrestea eptablequandunintervalledetempsrelativementgrand

est onsidéré.Letenseur dediusion/dispersion

D

i

tient omptedediérentsphénomènes,

notamment ladiusion molé ulaire et ladiusion mé anique. Le tenseur peut être dé rit

en utilisant larelation suivante

D

i

= d

ei

I + α

li

F (q) + α

ti

(I

− F (q)).

La diusion molé ulaire est due au mouvement brownien, et rend ompte du mouvement

du soluté au niveau molé ulaire. Elle est modélisée par le terme

d

ei

I

, où

I

est la matri e

identité. La valeur de

d

ei

est en général très petite. La dispersion mé anique est due à

la variation lo ale de lavitesse par rapport à la vitessema ros opique (de Dar y), et est

modélisée par deux oe ients

α

li

et

α

ti

et un tenseur

F

qui dépend de la vitesse

q

. La

diusionmé aniquerendsouventnégligeableladiusionmolé ulaire, saufquandlavitesse

d'é oulement devient très petite omme dansl'argilite.

Le système d'équations d'adve tion-diusion-réa t ion pour les diérentes

on entra-tions desespè es himiquesdoitêtrea ompagné d'un systèmed'équationsquidé rit

l'in-tera tion entre elles- i.Lespro essusà onsidérersont lesphénomènesenphaseaqueuse,

les é hanges liquide-gaz et les é hanges liquide-solide. Il faut aussi onsidérer la inétique

desréa tions.Dans etravaildethèse,nousnoussommeslimitésà onsidérerlarésolution

de l'équationd'adve tion-diusion -réa tion stationnaire et linéaire.

Pour plusd'informationssurletransportde ontaminant s, onpourra onsulterlelivre

d'Anderson [7℄.

1.3 Les méthodes de Galerkine dis ontinues

Contraireme nt auxméthodesusuelles d'éléments nis, les méthodesde Galerkine

dis- ontinues(GD)n'imposentpasde ontrainte de ontinuitésurlesfon tionsdebase, equi

onduit à unesolution appro hée quin'est pas

H

1

Ladénitiondel'espa ed'approximationGDsurunmaillage

T

h

dudomaine

Ω

,supposé

polygonal oupolyédrique pour simplier, est

V

h

=

{v

h

∈ L

2

(Ω);

∀T ∈ T

h

, v

h

|

T

∈ P

p

},

où

P

p

estl'ensembledepolynmesde degréglobalinférieurou égalà

p

. LesméthodesGD

donnent lieu à laformulation suivante duproblème appro hé : Cher her

u

h

∈ V

h

telque

a

h

(u

h

, v

h

) = (f, v

h

)

0,Ω

,

∀v

h

∈ V

h

,

où

f

est ladonnée du problème,

(

·, ·)

0,Ω

leproduit s alaire

L

2

sur le domaine

Ω

et

a

h

la

formebilinéairedelaméthodeGD.Laformebilinéaire

a

h

ontientnonseulementlestermes

ren ontrésdanslesméthodesd'élémentsnisusuelles,maiségalementd'autrestermes.Ces

termes dièrent de méthode en méthode, mais il y a normalement un terme qui rend la

méthode onsistante et un autre dit de pénalisation, an d'imposer de manière faible la

ontinuité de lasolution appro hée et les onditions auxlimites. Le terme de onsistan e

peut également être a ompagné d'un terme qui rend lamatri e de rigidité symétrique.

LesméthodesGDpeuventaussiêtreformuléesentermesdeuxnumériquesdénissur

lesinterfa esd'un élément.Lesuxsontdits onservatifssileurvaleurestuniqueausigne

prèssurunefa epartagéepardeuxéléments.Dans e as,leuxquisortd'unélémentest

égalauuxquientredansl'élémentvoisin.Cettepropriétéest ommuneave lesméthodes

devolumes nis.

Commeave lesméthodesd'élémentsnisusuelles,lamatri ede rigiditéobtenueave

une méthode GD est reuse, et il est possible de travailler sur des géométries omplexes

enutilisantdesmaillagesnonstru turés.La non- onformitéde laméthodedonneenoutre

la possibilité de dé omposer le domaine en sous-domaines, et de mailler eux- i

séparé-ment sans ontraintes de ompatibili té entre les maillages des sous-domaines. Les n÷uds

pendants (`hanging nodes' en anglais) sont don autorisés, et il est possible de raner le

maillageou d'augmenterlo alement ledegré despolynmesutiliséssansgrandedi ulté.

Enn,travaillerave desfon tionsdebasedis ontinuespeut semblernaturelsides ou hes

limitessont présentesdanslasolution exa te.

L'in onvénient prin ipal des méthodes GD est leur nombre de degrés de liberté élevé

parrapportà eluidesméthodesd'élémentsnisusuelles.Ilestdon importantd'exploiter

lesavantages de laméthode au regard de laexibilité des maillages an de minimiser les

oûtsdu al ul.

Les méthodes GD ont été introduites par Reed et Hill [83℄ dans les années 70 an de

ontee tuél'analysemathématiquedelaméthodeen1974,maislapériodelapluspropi e

audéveloppement desméthodesGDpour lesproblèmeshyperboliquesaétéverslandes

années 80 et les années 90. Ave la première onféren e internationa le sur les méthodes

GD qui aeu lieu en 1999,ledéveloppement et lesproblématiques liésà esméthodesont

ététra és,voirpar exemplel'ouvrage deCo kburn, Karniadakiset Shu[31℄.Grâ eaufait

que les méthodes GD pour les systèmes hyperboliques non-linéaires ont été formulées en

termes de ux numériques, les similarités ave les méthodes de volumes nis ont pu être

exploitées. Les façons de stabiliser le s héma et de apturer les dis ontinuités éventuelles

danslasolutionexa tesontsouventtrèssimilaires.Lesméthodesimpli itesSCDG(Sho k

Capturing Dis ontinuous Galerkin) ajoutent un terme de vis osité arti ielle qui dépend

du résidu de l'équation et de la taille lo ale

h

du maillage; f. Jiang et Shu [60℄. La

dé-monstrationquela onvergen edus hémaestd'ordreélevéestfa ilitéeparladépendan e

de e terme en

h

, maisà proximité des dis ontinuités lavis osité arti ielle atténue trop

les extrema de la solution. Les méthodes RKDG (Runge Kutta Dis ontinuous Galerkin)

ont été introduites par Co kburn et Shu [32℄. Dans es méthodes, lavis osité numérique

dépenddelarégularitélo aledelasolution.Ellespeuventêtreréé ritesave unlimiteurde

pente, utilisépouravan erlasolutionentemps aprèsavoirrésolul'équationsansvis osité

arti ielle dansles pasde temps intermédiaires.

LesméthodesGDsontégalementenmesured'appro herlessystèmesdeloisde

onser-vation omportant desdérivées du deuxième ordre. En étudiant les équations de

Navier-Stokes, Bassi et Rebay [16℄ ont dé idé de traiter également omme in onnue la dérivée

première de lasolution. Le systèmea ensuite étérésolu ave une méthode RKDG.

Co k-burn et Shu [33℄ ont généralisé ette pro édure en proposant la méthode LDG (Lo al

Dis ontinousGalerkin).Dansles hémaLDG,toutesleséquations sontré rites omme un

système d'équations du premier ordre. C'est don la formulation mixte du problème de

départ quiest onsidérée.

Ave ledéveloppementdesméthodesRKDGetLDG,lesméthodesGDsontdevenuesde

première importan e dans la résolution des systèmes de loisde onservation ave termes

du premier et du deuxième ordre. Outre les équations de Navier-Stokes, nous pouvons

mentionneràtitred'exemplelarésolutiondeséquationsdeSaintVenantparErn,Piperno

et Djadel [47℄,par Tassi,Bokhove et Vionnet [95℄et par Aizinger et Dawson [6℄.

Ledéveloppement desméthodesGDpourlesproblèmeselliptiquess'estfaitdemanière

relativementindépendant e,ens'inspirantdelaformulationfaibledes onditionsauxlimites

proposées danslestravauxde Nits he [76,77℄. Lespremiers travauxont étéee tuésdans

Dupont [40℄, deBaker [15℄, de Wheeler [104℄ et de Arnold[10℄. Dans es travaux, les ux

numériques ne sont pas exprimésde manière expli ite, et e sont plutt les modi ations

possiblesdesdiérentstermesde laforme bilinéairequi sont onsidérées.

La méthode GEM (Global Element Method) de Delves et Hall [36℄ est une méthode

sanstermesde pénalisation pour laquellela matri ede rigidité estsymétrique. Comme la

matri e n'est pasné essairement semi-dénie positive, la méthode peut être

in ondition-nellement instable en l'appliquant à une équation instationnaire. Il n'a pas non plus été

démontré que le s héma soit bien posé. La méthode hp DG (hp Dis ontinuous Galerkin)

deOden, Babu²ka et Baumann [78℄ sediéren iede la méthode pré édente par unsigne,

e qui rend les termes de onsistan e antisymétriques. Pour obtenir un s héma stable, il

fautpar ontre utiliserdespolynmesd'un degréminimum de deux.

Parmi less hémasdetypeIP(InteriorPenalty-pénalisationinterne) ontrouve la

mé-thode onstituantlepoint dedépartde ette thèse:laméthodeSIPG(Symmetri Interior

PenaltyGalerkin) établie suite aux travauxde Baker [15℄,de Douglas et Dupont [40℄, de

Wheeler[104℄et deArnold [10℄.La formebilinéaireestsymétrique, etlessauts dela

solu-tionappro héeainsiqueles onditionsauxlimitesdeDiri hletsontpénalisés.Leparamètre

destabilisation doit êtresupérieur à un ertain seuilminimalqui doit être déterminé par

l'utilisateur. Une variante de la méthode SIPG qui s'aran hit de e paramètre

indéter-miné,est laméthode proposée par Bassi, Rebay, Mariotti,Pedinotti et Savini[17℄, où le

terme depénalisationutilise des opérateurs de relèvement. La méthode NIPG deRivière,

Wheeler et Girault [89℄ est très similaire, modulo un des termes qui est hangé de signe.

Dans e as, onobtient une méthode qui assurelapositivitéde laforme bilinéairesans le

terme destabilisation. Par ailleurs, undésavantagede laméthode NIPGest que,

ontrai-rement à laméthode SIPG, on nesait pasmontrerla onvergen e optimale de l'erreur en

norme

L

2

soushypothèse de régularité elliptique,même si ette onvergen e est observée

dansles essaisnumériques. Unevariante delaméthodeNIPG aétéprésentéepar Romke,

Odenet Prudhomm e [92℄, oùsont pénalisés les sauts des uxdiusifset non les sauts de

lasolutionappro hée.

Ave l'introdu tion des méthodes LDG, les similarités entre les méthodes DG pour

leséquations hyperboliques et ellespour leséquations elliptiques sont devenuesplus

évi-dentes. Dans les dix dernières années, les analyses uniées des méthodes GD ont vu le

jour.Mentionnonsl'arti ledeArnold,Brezzi, Co kburnet Marini[8℄quiapour but

d'uni-er l'analyse des méthodes GD appliquées aux équations elliptiques. Les arti les de Ern

et Guermond [4345℄ et de Di Pietro, Ern et Guermond [38℄, par ailleurs, examinent les

hyperboliques et elliptiques.

Pour le as qui nous intéresse dans ette thèse, les équations

d'adve tion-diusion-réa tion, l'analysedesméthodesGD aétéprésentéede manièreapprofondie dansl'arti le

de Houston, S hwab et Süli [59℄, qui ouvre notamment le as d'un tenseur de diusion

anisotropeet hétérogène.Par ontre, le asparti ulierd'unetrès petite diusiondansune

partiedudomaineposeen oredesdi ultés.Eneet,dansle asoùle hampd'adve tion

estorientédansladire tiondediusion(isotrope) roissante,une ou helimiteseformeà

l'interfa e oùla diusionest dis ontinue. Dans le aslimite de diusionévanes ente d'un

tédel'interfa e,lasolutionexa teestdis ontinuesile hampadve tifpointedelapartie

hyperboliqueverslapartie elliptique. Ce asa étéanalysé en unedimension d'espa e par

Gastaldi et Quarteroni [52℄,et plus ré emment dansl'arti le de Croisille, Ern,Lelièvreet

Proft [34℄. Dans le as d'une diusion anisotrope en dimension

≥ 2

, il faut tenir ompte

de la diusion et de l'adve tion dansla dire tion normale àl'interfa e, f. Di Pietro, Ern

et Guermond [38℄.

Lorsque ertaines des valeurs propres du tenseur de diusion deviennent très petites,

même si le tenseur reste déni positif, les méthodes GD usuelles ont des di ultés si la

ou he limite n'est pas susamment résolue par le maillage. En eet, au lieu d'imposer

la ontinuité d'une manière faible, la solution ( ontinue) serait mieux appro hée par une

fon tion dis ontinue sur l'interfa e où se trouve la ou he limite. Une possibilité serait

d'autoriser ettedis ontinuité danslaprogrammat iondelaméthodeenéliminant

manuel-lementlestermsdepénalisationsurl'interfa eenquestion,ainsiqueproposéparHouston,

S hwab et Süli[59℄ et plusré emment dansl'arti le deErn et Proft [48℄.

Notreproposition,quiseradé riteendétailparlasuite, onsisteenrevan heàmodier

les méthodes GD de façon plus générale. Dans les termes de onsistan e, nous proposons

de onsidérer desmoyennespondérées au lieudesmoyennesarithmétiques,ave despoids

dépendant de la diusion. Le terme de pénalisation, par ailleurs, dépend de la moyenne

harmonique de la diusion dirigée normalement à l'interfa e. La seule hypothèse

(raison-nable) quiestrequise,estquelesdis ontinuitésdansladiusion oïn ident ave ertaines

des interfa es du maillage, e qui est raisonnable dans le ontextede lamodélisation

hy-drogéologique.

L'utilisation des moyennes pondérées provient de la méthode d'éléments nis dite de

`mortier', dont l'idée remonte aux travaux de Nits he [76,77℄. Cette méthode impose la

ontinuité des ux entre régions diérentes de manière faible. Divers auteurs ont noté

la possibilitéd'utiliser une moyenne ave des poids dans les méthodes GD. Mentionnons

de Heinri h et Piets h [55℄. Dans es travaux, diérentes te hniques de type `mortier'

ont été proposées an d'utiliser des éléments nis onformes sur un maillage qui n'est

pasné essairement onforme. Les moyennes pondérées sont introduites simplement pour

généraliserlesmoyennesarithmétiques.Par ontre,lespoidsnesontpas hoisisenfon tion

des oe ients du problème et notamment du oe ient de diusion. Un tel hoix a été

ré emmentexplorédansl'arti ledeBurmanetZunino[25℄pourdesproblèmes

d'adve tion-diusion-réa tion isotrope appro hés par une te hnique de type `mortier'. Si on applique

ette méthode élément par élément, on obtient une méthode GD.Burman et Zunino ont

montréqu'un hoixspé iquedespoidsaméliorelastabilitédus hémaquandladiusivité

prendlo alementdesvaleurstrèspetites.L'extensionàdeséquationsd'adve tiondiusion

-réa tionave diusionlo alementévanes enteaétéanalyséeré emmentparDiPietro,Ern

etGuermond [38℄.

1.4 Analyse d'erreur a posteriori

L'analyse d'erreur a priori vise à démontrer la bonne onvergen e du s héma

numé-rique; l'analyse d'erreur a posteriori a pour but de quantier l'erreur d'approximation.

Celle- i doit être mesurée dansune norme qui est signi ative pour leproblème en

ques-tion:pourl'évaluer,nousavonsàdispositionlasolution al ulée, lesdonnéesduproblème

etlesdonnéesdumaillage.Dans ettethèse,nousnousrestreindronsàdesestimateurs

d'er-reuraposterioridanslanormedestabiliténaturelleduproblème ontinu,ou(semi-)norme

d'énergie, quenousnoterons

k·k

B

.

Un estimateur d'erreur doit fournir une borne supérieure de la véritable erreur. Nous

nommerons

u

lasolution exa teet

u

h

la solutionGD. Ainsi,

e(h, f, u

h

)

estun estimateur

d'erreursi

ku − u

h

k

B

≤ e(h, f, u

h

),

où

h

estlataille du maillage et

f

leterme sour e. Dénissonsl'indi e d'e a ité

I

e

par

I

e

=

e(h, f, u

h

)

ku − u

h

k

B

.

Andepouvoirdé idersile al ulee tuéaétésusammentpré is,l'estimateur

e(h, f, u

h

)

,

a essiblepar le al ul,estévalué. Un indi e d'e a itépro hede 1implique quel'erreur

n'est pas inutilement surévaluée. De plus, il est souhaitable que l'indi e d'e a ité soit

indépendant des données du problème ( omme le tenseur de diusion ou le hamp

L'adaptation de maillage est un bon moyen pour obtenir une solution plus pré ise

ave un sur oût de al ul modéré, un fa teur à ne pas négliger si les al uls sont d'une

ertaine importan e. Un ingénieur ave beau oup d'expérien epeut utiliserson intuition

pour identier les parties dudomaine où laméthode aurait besoin d'un maillage plusn.

Uneautrepro édurerelativement ourante onsisteàranerlemaillagedanslespartiesoù

lasolution al uléeprésenteunfortgradient.Paropposition,l'analysed'erreuraposteriori

vise à automatiser la pro édure d'adaptation du maillage en basant ette pro édure sur

desfondementsmathématiques solides.

An de pouvoir utiliser l'estimation d'erreur a posteriori pour adapter le maillage, il

faut que l'estimateur soit lo alisable, 'est-à-dire que l'estimateur puisse s'é rire omme

une sommesur leséléments dumaillage

T

h

dudomaine

Ω

souslaforme

e(h, f, u

h

) =





X

T ∈T

h

e

2

_T

(h, f, u

h

)





1

2

.

Les quantités

e

T

(h, f, u

h

)

sont appelées indi ateurs d'erreur. Dans la partie du domaine

où les indi ateurs sont les plus grands, le maillage est rané. Il est aussi possible de

déraner le maillage dans les parties du domaine où les indi ateurs sont les plus petits.

Dans l'algorithme d'adaptation, il est possible, par exemple, de raner les éléments où

l'indi ateur d'erreurdépasse l'indi ateur le plusgrand multiplié par une onstante

c < 1

,

et de déraner suivant un ritère similaire. Une autre possibilité est de dé ider a priori

le pour entage d'éléments à raner pour mieux ontrler le oût de al ul d'un maillage

à l'autre. Une troisième possibilitéest d'utiliser lemarquage proposé par Dörer [39℄ qui

onsisteàtrouverunsous-ensembleminimaldemaillesdontla ontributiondesindi ateurs

représenteunefra tionminimaledel'estimateurtotal.Cettestratégiedemarquagepermet

de garantir la rédu tion de l'erreur sous ertaines hypothèses, voir également les travaux

de Morin, No hetto et Siebert[7173℄.

Pour que les indi ateurs d'erreur soient utiles, il faut qu'il ne surestiment pas trop

l'erreur lo alement. Dans le as idéal, l'indi ateur et la véritable erreur sont lo alement

équivalents, 'est àdire, sur haque élément

T

∈ T

h

,

c

1

e

T

(h, f, u

h

)

≤ ku − u

h

k

B,T

≤ c

2

e

T

(h, f, u

h

).

(1.3)

I i

c

1

et

c

2

sontdeux onstantes, et lanormeindiquée par

B, T

esttelleque

ku − u

h

k

B

=





X

T ∈T

h

ku − u

h

k

2

B,T





1

2

.

En général, le mieux que l'on puisse obtenir est une majoration de l'indi ateur lo al par

l'erreurlo aleen onsidérant les élémentsles pluspro hes, 'est-à-dire:

c

1

e

T

(h, f, u

h

)

≤

X

T ∈∆

T

ku − u

h

k

B,T

,

où

∆

T

indique un ensemble d'élémentsautour de

T

, par exempleles éléments partageant

aumoinsune fa eave

T

.

Les indi ateurs d'erreur ont été introduits dans les années 70 par Babu²ka et

Rhein-boldt [12,13℄. Plusieurs te hniques ont étédéveloppéespar la suite.Nousnous

on entre-rons i-aprèssurlesestimateurs par résidu, arils onstituent undesprin ipauxsujets de

ettethèse.

Considéronsparexemplel'équationdePoissonave onditionsauxlimitesdeDiri hlet

homogènessurun domaine

Ω

en

R

d

de frontière

∂Ω

:







−∆u = f

sur

Ω,

u = 0

sur

∂Ω.

(1.4)

Indiquant par

u

h

lasolutionappro hée obtenueave uneméthodeGD,lerésiduestégalà

R(u

h

) = f + ∆

h

u

h

,

(1.5)

où

∆

h

indique le lapla ien lo al, 'est-à-dire l'opérateur qui sur haque élément oïn ide

ave l'opérateur

∆

appliquéàlarestri tionsur etélément.Dansl'estimateurd'erreurpar

résidu,leterme

R(u

h

)

esta ompagné d'autres termes,typiquementunterme quimesure

lanon- onformité de

u

h

et d'autres termes qui mesurent les sauts des uxdiusifs et les

sautsde

u

h

surles interfa es.

Pour l'équation de Poisson ave onditions aux limites de Diri hlet, la semi-norme

d'énergieestlanorme

L

2

dugradient brisé, 'estàdirelegradientdénimailleparmaille.

Pour les méthodes GD, les premières estimations d'erreur par résidu dans la semi-norme

d'énergie ont été obtenuespar Be ker, Hansbo et Larson [20℄ et par Karakashian et

Pas- al [62℄. Ainsworth [3,4℄ a rendu expli ite la dépendan e des onstantes vis à vis de la

diusion,tandis que Houston,S hötzauet Wihler [58℄ont ee tué une analyse

hp

. En e

qui on ernelesestimateursd'erreurennorme

L

2

,onpeutmentionnerletravaildeBe ker,

Hansboet Stenberg[21℄, elui de Rivière et Wheeler [87℄et elui de Castillo [29℄.

Dans les travaux de Be ker, Hansbo et Larson [20℄, Ainsworth [3℄ et Castillo [26℄, le

gradient del'erreur

e = u

− u

h

estsujetàunedé ompositiondeHelmholtz;unete hnique

Bartels et Jans he [27℄. La te hnique onsiste à onsidérer que

∇e

est omposé de deux

parties :

∇e = ∇φ + ∇ × ϕ,

où

φ

∈ H

1

0

(Ω)

estun potentiel s alaire tel que

(

_{∇φ, ∇v)}

0,Ω

=

X

T ∈T

h

(

_{∇e, ∇v)}

0,T

,

∀v ∈ H

1

(Ω),

et

ϕ

∈ H = {H

1

_{(Ω), (ϕ, 1)}

0,Ω

= 0

}

estun potentiel ve teur telque

(

_{∇ × ϕ, ∇ × w)}

0,Ω

=

X

T ∈T

h

(

_{∇e, ∇ × w)}

0,T

,

∀w ∈ H.

La dé omposition onduit à l'identité suivante pour lanormed'énergie

X

T ∈T

h

k∇ek

2

0,T

=

X

T ∈T

h

k∇φk

2

0,T

+

X

T ∈T

h

k∇ × ϕk

2

0,T

.

L'analyse s'ee tue en intégrant par parties et en notant que

∇φ = ∇(φ − πφ)

où

πφ

estlaproje tion

L

2

-orthogonale surl'espa e desfon tions onstantesparmor eaux.Cette

façon depro éderaaussiétéappliquéeauxéquationsdeMaxwellpar Houston,Perugiaet

S hötzau [57℄.Par ontre, elle n'a pasété utiliséedans l'analysede Houston, S hötzauet

Wihler [58℄, ni dans ellede Karakashian et Pas al [62℄. Nousne n'utilisons pasnon plus

dans ette thèse. Notons que la te hnique de dé omposition de Helmholtzne s'étendpas

fa ilement si la norme d'énergie dans laquelle on souhaite ontrler l'erreur ontient des

termes d'ordre zéro, omme 'estle aspour leséquations d'adve tion-diusion- réa tion.

Danstousles as,untermedenon- onformitéestprésentdanslesestimationsd'erreur

a posteriori pour les méthodes GD. D'une façon générale, e terme peut être formulé en

introduisant une fon tion ontinue arbitrairequi doit respe ter les onditions aux limites

de Diri hlet. An de pouvoir al uler ette erreur de non- onformité, il faut hoisir une

fon tion spé ique, et l'interpolé de Oswald est un hoix ourant. Sur haque n÷ud du

maillage quin'est passitué surlafrontière,l'interpolédeOswaldprend lavaleurmoyenne

de lasolution al ulée

u

h

. Si len÷udest à l'intérieur del'élément,

u

h

et soninterpolé de

Oswaldprennentlamême valeur.Si len÷udsetrouvesurl'interfa e entredeuxéléments,

la valeur de l'interpolé de Oswald est la moyenne arithmétique des deux valeurs de

u

h

,

et . Lesvaleursausein de haqueélément sont ensuiteinterpolées ave despolynmesde

Une desdi ultés ave lesestimateurs i-dessusest quepour leproblème dePoisson,

si la solution

u

h

est linéaire par mor eaux, le résidu est identique au terme sour e

f

du

problème. Cette estimation est trop grossière pour les méthodes GD, qui disposent de

tous les degrés de liberté polynomiaux dans haque maille, si bien qu'on devrait obtenir

des résidus du type

kf − π

p

f

k

0,T

où

π

p

f

indique la proje tion

L

2

orthogonale du terme

sour e sur l'espa e ve toriel des polynmes de degré

p

. Les estimateurs d'erreur obtenus

ré emmentparVohralíkpourlesméthodesmixtesetdevolumesnis[101103℄ onsidèrent

notamment des résidus de e type. Pour les méthodes de volumes nis, on a

p = 0

, alors

quepourlesméthodesmixtes,

p

estledegrépolynomialdel'in onnues alaire.Cerésultat

aétéobtenuenutilisantlefaitquelesméthodesmixtesetdevolumesnissontlo alement

onservatives.Notre ontributionaétéd'étendre eresultatauxméthodesGD.Notonsque

si

f

estsusamment régulière(i.e.

f

∈ H

1

_{(T )}

pour tout

T

∈ T

h

) la onvergen e durésidu

estd'un ordreplus élevé par rapport aurésidu standard.

Danslesestimateursparrésidu,leterme quimesureledéfautde onservativitédesux

diusifsbaséssurlegradientlo aldelasolution al ulée,résultedufaitquelegradientn'est

pasdansl'espa e

H(

div

, Ω) =

{v ∈ L

2

_(Ω);

_{∇·v ∈ L}

2

_(Ω)

_}

. Ce terme n'est passtri tement

lo al, arpour le al uler, il faut onsidérer les éléments qui partagent une interfa e ave

unélémentdonné.Ilseraitdon souhaitable depouvoirsubstituerà e termeunautrequi

serait al uléen onsidérant seulement l'élément en question.Mêmesi lesuxdiusifsne

sont pas ontinus, les ux numériques des méthodes GD le sont. Il est don envisageable

d'utiliser les ux numériques an de onstruire un hamp ve toriel dans

H(

div

, Ω)

, et

ensuitedebaserl'estimationd'erreursur e hampve toriel.Pour que ettete hniquesoit

intéressante, la onstru tion du hampve toriel devra êtrelo ale, e qui limite en eet le

oûtdu al ul. Notre ontribution porteégalement sur e point.

L'idéed'utiliserune onstru tiondeux

H(

div

, Ω)

- onformesdanslesestimations

d'er-reurremonte auxannées 40ave letravailde Prageret Synge[81℄.Pour l'appli atio n aux

méthodes d'éléments nis onformes, signalons les travaux de Ladevèze[65℄, de Ladevèze

et Leguillon [66℄,de Destuynder et Métivet [37℄, de Repin [8486℄ et de Neittaanmäki et

Repin[75℄. L'appli at ion aux méthodes GD pour les problèmes de diusion pure est par

ontre très ré ente, et a été explorée par Ainsworth [5℄, par Kim [63,64℄, par Lazarov,

Repin et Tomar [67℄ et par Co hez-Dhondt et Ni aise [30℄. L'appli ation aux problèmes

d'adve tion-diusion- réa tion est nouvelle, et sera explorée i-après. Une observation

1.5 Obje tifs de la thèse

Leprin ipalobje tifde ettethèseestd'améliorerlarésolutiondel'équation

d'adve tion-diusion-réa tion linéaireet stationnaire,dansle asoùletenseurdediusionprésente de

forteshétérogénéi tés.L'appli ationviséeestlamodélisationdeladispersionde omposants

radioa tifs autour d'un ouvrage de sto kage souterrain dans le milieu naturel. En

parti- ulier, ette dispersion est modélisée par une équation de transport réa tif simpliée en

milieu poreux. Les diérentes ou hes ro heuses sont ara térisées par des diusions très

hétérogènes, e qui pose une di ulté pour les méthodes numériques. Vu les propriétés

favorables des méthodes GD, nous nous sommes on entrés sur ette famille de s hémas

numériques.

Lepremier obje tif estde onstruire uneméthode d'approximatio n robuste et pré ise.

Nous supposons que ladiusion est onstante à l'intérieur de haque élément si bienque

les dis ontinuités dans le tenseur de diusion oïn ident ave des frontières de ertains

éléments dumaillage.En modiant laméthode SIPGstandard,nousobtenons uns héma

qui imposemoins de ontinuité sur les interfa es où les hétérogénéités donnent lieu à des

forts gradients. En permettant une dis ontinuité plus forte dans la solution al ulée par

rapport à elle imposée par la méthode SIPG usuelle, nous arrivons à diminuer, voire

en ertain as à éliminer, les os illations qui sont souvent présentes à proximité d'une

ou he limite. Le résultat obtenu est dû à un hoix des poids utilisés dans le terme de

onsistan e et dans le terme qui rend la méthode symétrique. Dans la méthode SIPG,

les poids sont tout simplement égaux à

1

2

. Le hoix du paramètre de pénalisation est

aussi très important, et nous utilisons la moyenne harmonique de la diusion dans la

dire tion normale à l'interfa e,alors que les méthodes SIPGproposées dansla littérature

utilisent souvent lamoyenne arithmétique. Dans l'analyse nous verrons que la possibilité

d'utiliser lamoyenneharmonique estune onséquen edu hoixdespoidsdansleterme de

onsistan e. Nousavonsnommé ette nouvelle méthode SWIPpour Symmetri Weighted

InteriorPenalty.

Laqualitédumaillage est ru ialepourgarantirdesrésultatsnumériquessatisfaisants,

en parti ulier si la solution présente des ou hes limites. Pour l'analyse de sûreté, il est

aussitrèsimportantde pouvoirseer auxrésultatsnumériquesobtenus.Lebut seradon

d'ee tuer l'analyse d'erreur a posteriori pour obtenir un estimateur d'erreur qui puisse

également être utilisé pour l'adaptation du maillage. Nous analysons dans ette thèse

deux estimateurs d'erreurbasés surl'analyse par résidus. Ces estimateurs sont fa ilement

L

2

dugradient brisé)del'erreurdanstoutledomaine.Onobserveraqueleterme desauts

auxinterfa eset lesvaleursauborddelasolutionappro hée,quisontsouventin lusdans

les estimateurs d'erreur a posteriori pour les méthodes GD, ne sont pas in lus dans la

semi-normed'énergie ar estermes dépendent du hoix desparamètres numériquesde la

méthode. L'analyse d'erreur se base sur la possibilitéd'identier la non- onformité de la

solution, 'est-à-direl'erreur ommiseenutilisantdesfon tionsdis ontinuespourappro her

unesolution ontinue. Le premier estimateur quenousavonsobtenuest similairedans sa

formeà elui deKarakashian et Pas al [62℄.Nousavonspar ailleursapportébeau oupde

soinàl'évaluationdetoutesles onstanteset àl'améliorationdel'e a itédel'estimateur

andelerendreleplusindépendantpossibledeshétérogénéitésdutenseurdediusion.Le

deuxièmeestimateurutiliseun hampve torielauxiliaire onstruitparlebiaisdeproblèmes

lo aux. La pro édureest inspirée destravaux deVohralík pour les méthodes mixtes[102℄

etde volumesnis [101℄,et estbasée surlapropriétéde onservativitédesméthodes GD.

Le oûtde al uldudeuxièmeestimateurestlégèrement plusgrand,maisenrevan he son

indi e d'e a itéestmeilleur.

1.6 Plan de la thèse

Cemémoire est omposéde 5 hapitres.

Dansle hapitre 2nousprésentonsl'équation d'adve tion-diusion-r éa tion onsidérée

etlaméthodeSWIP,notamment le hoixdespoidset duparamètredestabilisation.Nous

montrons que laméthode proposée est oer ive par rapport à lanorme d'énergie du

pro-blème dis ret et que la onvergen e en norme d'énergie et en norme

L

2

(sous hypothèse

de régularité elliptique) est d'ordre optimal. Deplus, ette onvergen e est indépendant e

deshétérogénéi tés et desanisotropies dutenseur de diusion.An de ompléter l'analyse

de onvergen e de la méthode dans le as de diusion évanes ente, nousee tuons aussi

l'analysed'erreurpar rapportà ladérivéeadve tive.Ce résultatestlui aussiindépendant

deshétérogénéi tés dutenseur de diusion,maisl'anisotropiedutenseur peut ae ter

l'er-reurdans ertains as.Larobustessedel'estimationd'erreurestobtenuesilesnombresde

Pé letévaluéspar rapportàlaplusgrandevaleurpropredutenseurdediusionlo alsont

susamment grands. Enn nous présentons des tests numériques pour illustrer l'analyse

d'erreur. Lesmêmes testsnumériques ont étéréalisésave laméthode SIPGan de

om-parerles résultatsave eux obtenus ave la méthode SWIP. Pour les résultatsprésentés

au hapitre 2, nous avons ollaboré ave Paolo Zunino

4

. Les tests numériques, ee tués

4

par Paolo Zunino, ont été réalisés ave le logi iel gratuit freeFEM++ 5

, développé par

Frédéri h He ht, Antoine Le Hyari et Olivier Pironneau au Laboratoir e Ja ques-Louis

Lions,UniversitéPierre et MarieCurie.Le hapitre2 estlesujetd'unarti le soumispour

publi ation dansIMA Journal ofNumeri alAnalysis [51℄.

Dans le hapitre 3 nous présentons un premier estimateur d'erreur par résidus. Un

résultat sous forme abstraite montre d'abord omment l'erreur dans la norme d'énergie

peut être ontrlée par l'erreur de non- onformité et deux autres termes. Le premier de

es termes fait intervenir la forme bilinéaire asso iée au problème et l'erreur

d'approxi-mation, et le deuxieme dépend de la partie antisymétrique de ette forme bilinéaire et

l'erreur de non- onformité. Nous onsiderons d'abord l'équation de Poisson, où la partie

antisymétriquedelaforme bilinéaireest nulle.Nousobtenons unestimateur oùtoutes les

onstantessont al ulables.L'indi ate urd'erreurestdiviséentroisparties:unequimesure

la non- onformité de la solution al ulée, une qui dépend du résidu et une qui mesurela

non- onformitédesux.Ensuitenous onsidéronsl'équationd'adve tion-diusion -réa tion

à laquelle nous appliquons la même pro édure. Nous nous sommes inspirés du travail de

Verfürth[98℄pourdénirlarobustessedel'estimateurenrégimedenombredePé letélevé.

Celui- iestditrobuste siles onstantesintervenant danslesestimateurslo auxdépendent

du nombre de Pé let sous laforme

C

1

+ C

2

min(

Pe

, ρ)

, où

ρ

dépend du hampadve tifet

dutenseur dediusion,maispasdumaillage. L'indi ate ur d'erreurest omposédequatre

parties : une qui dépend du résidu, une qui mesure lanon- onformité des ux (identique

à elle trouvée pour l'équation de Poisson) et deux qui mesurent la non- onformité de la

solution al ulée. Une amélioratio n parti ulière à mentionner est dans le résidu, où nous

onsidérons lerésidu auquelsaproje tion

L

2

surl'élément estsoustraite, e quiaugmente

onsidérablement l'e a ité de l'estimateur. Nous avons utilisé pour ela le fait que les

fon tions onstantes par mor eaux sont dansl'espa e d'approximatio ndesméthodesGD.

En e qui on erne l'e a ité lo ale des indi ateurs, notons que seulement l'e a ité de

l'erreur de non- onformité, qui est évaluée en utilisant l'interpolé de Oswald, dépend de

l'hétérogénéi tédutenseurdediusion.Larobustessedetouslesautresindi ateursestune

onséquen e despropriétés despoidsde laméthodeSWIP.Lestestsnumériquesprésentés

à landu hapitre montrent labonne onvergen e de l'estimateuret une e a ité en

o-héren eave lanotionderobustessedeVerfürth.Touslestestsnumériquesontétéréalisés

ave un ode é rit en C++, dont le noyau GD a été développé au Cermi s par Daniele

5

DiPietro 6

. Lesmaillages stru turésont été onstruitsave lelogi ielgratuitgmsh

7

déve-loppépar ChristopheGeuzaine etJean-Franço is Rema le. Lesmaillagesnon-stru turés et

l'adaptation de maillage basée sur les indi ateurs d'erreur ont été réalisés ave lelogi iel

Matlab 8

. Le travail présenté au hapitre 3 est soumis pour publi ation dans Journal of

Computational Mathemati s[49℄.

Dansle hapitre 4 nousprésentonsundeuxième estimateur d'erreurpar résidus,

utili-sant ette fois la onstru tion d'un hamp ve toriel auxiliaire. Nous donnons d'abord un

estimateurabstrait pour l'équation de Poisson. Cet estimateur est quasi-optimal,

'est-à-dire que l'indi e d'e a ité est égal à

√

2

. La norme d'énergie est i i ontrlée par deux

termes : le minimum de l'erreur de non- onformité, onsidérant toutes les fon tions

pos-sibles de

H

1

0

(Ω)

, et un autre terme où le minimum est pris en onsidérant toutes les

fon tions de

H(

div

, Ω)

. Pour pouvoir al uler l'estimateur, nous avons hoisi à nouveau

d'utiliserl'interpolédeOswaldetd'utiliserlesespa esdefon tionsve toriellesde

Raviart-Thomas-Nédéle (

⊂ H(

div

, Ω))

.En onsidérantunesolutionappro héeaneparmor eaux

(

p = 1

), la fon tion de

H(

div

, Ω)

peut être onstruite grâ e à la résolution de problèmes

lo auxà 3 ou8 degrés de liberté, orrespondant respe tivement aux degrésde liberté des

élémentsnis

RT

0

et

RT

1

. La onvergen e durésidu est d'un ordreplusélevéen utilisant

une re onstru tion des ux dans l'espa e

RT

1

. L'estimateur ainsi obtenu ne dépend pas

delarégularité dumaillage, etne né essitepasdeterme additionnel pour traiterles

os il-lations du terme sour e. Passant ensuite à l'équation d'adve tion-diusion-réa t ion, nous

onstruisonsundeuxième hampve torielbasé ettefoissurlesuxadve tifs.Enutilisant

une onstru tion de degré maximal, nous montrons que sous des hypothèses minimales

sur le oe ient de réa tion et la divergen e du hamp adve tif, le terme de résidu est

de la forme

kf − π

p

f

k

0,T

. Dans les tests numériques, nous examinons d'abord le as de

la diusion pure, et en parti ulier nous observons que le résidu onverge bien à l'ordre

prévupar lathéorie,que e soit pour le asd'une onstru tion dansl'espa e

RT

0

ou dans

l'espa e

RT

1

. Deplus, l'indi e d'e a itédunouvelestimateuresttrès pro he de 1.Nous

présentonségalement une omparaison ave deuxautres estimateurs,notamment elui

ob-tenuau hapitre pré édent. Même les as testsave une solution exa te qui présente une

singularité dans le domaine de al ul due aux hétérogénéi tés de la diusion montrent la

bonne onvergen e de l'estimateur et un très bon indi e d'e a ité . Les as tests ont été

réalisés sur des maillages stru turés et non-stru turés. Pour le as ave adve tion

domi-6

InstitutFrançaisduPétrole

7

www.geuz.org/gmsh/

8

nante,les estimateursmontrenttoujours unebonne onvergen e, l'indi ed'e a itéétant

en ohéren e ave la notion de robustesse de Verfürth. Pour tous les as tests (réalisés

ave

p = 1

danslaméthodeSWIP),l'indi ed'e a iténe hangepasbeau oupenpassant

d'une onstru tiondansl'espa e

RT

0

àune onstru tiondansl'espa e

RT

1

.Ennnous

pré-sentons des maillages adaptifs basés sur l'indi ateur d'erreur ave une onstru tion dans

l'espa e

RT

0

et pour un problème de diusion pure ave singularité. Conformément aux

attentes, le maillage devient plusrané làoù lasolution exa te présente une singularité.

Pour les résultats présentés au hapitre 4 nous avons ollaboré ave Martin Vohralík

9

,

qui a étéà l'origine d'unegrande partie de la réda tion. Les maillages stru turés ont été

onstruits ave le logi iel gratuit gmsh. Les maillages non-stru turés et l'adaptation de

maillage basée surlesindi ateursd'erreur ont étéréalisésave lelogi ielMatlab. Tousles

tests numériques ont été réalisés par l'auteur de la thèse en utilisant le ode C++

pré é-demment mentionné.Le travail présenté au hapitre 4 aétésoumispour publi ationdans

SIAM Journal onNumeri alAnalysis [50℄.

Le hapitre5dressela on lusionde etravaildethèseetproposequelquesperspe tives.

9

A Dis ontinuous Galerkin method

with weighted averages

SubmittedtoIMAJournalofNumeri alAnalysisunderthetitle`ADis ontinuousGalerkinmethodwith

weightedaveragesforadve tion-diusion-rea tionequationswithlo allysmallandanisotropi diusivity'.

Alexandre Ern

1

, AnnetteF. Stephansen

1,

2

andPaoloZunino

3

Abstra t: Wepropose and analyzeasymmetri weightedinterior penalty (SWIP) method to

approximate in aDis ontinuous Galerkin framework adve tion-diusion-rea tion equations with

anisotropi and dis ontinuous diusivity. The originality of the method onsists in the use of

diusivity-dependentweightedaveragestobetter opewithlo allysmalldiusivity(orequivalently

with lo ally high Pé let numbers) on tted meshes. The analysis yields onvergen e results for

the natural energynorm that are optimal with respe t to mesh-sizeand robustwith respe t to

diusivity. The onvergen eresultsfortheadve tivederivativeareoptimalwithrespe tto

mesh-sizeandrobustforisotropi diusivity,aswellasforanisotropi diusivityifthe ellPé letnumbers

evaluatedwiththelargesteigenvalueofthediusivity tensorarelargeenough. Numeri alresults

arepresentedtoillustrate theperforman eoftheproposeds heme.

1

Cermi s,E oledesPonts,ParisTe h,6et8avenueBlaisePas al,ChampssurMarne,77455Marnela

ValléeCedex2,Fran e.

2

Andra,Par delaCroix-Blan he,1-7rueJeanMonnet,92298Châtenay-Malabry edex,Fran e.

3

MOX,DipartimentodiMatemati a"F.Brios hi",Polite ni odiMilano,viaBonardi9,20133Milano,

2.1 Introdu tion

Sin etheirintrodu tion over thirtyyearsago[69,83℄, Dis ontinuousGalerkin (DG)

meth-ods have emerged asanattra tivetooltoapproximate numerousPDEs inthe engineering

s ien es. Here we are primarily interested in adve tion-diusion-r ea tion equations with

anisotropi (e.g., tensor-valued) and heterogeneous (e.g., non-smooth) diusivity. Su h

equations areen ountered, for instan e, in groundwater ow models whi h onstitute the

motivationfor the present work.

The analysisof DG methods to approximate adve tion-diusion-r ea tion equations is

extensively overed in [59℄. This work already addresses anisotropi and heterogeneo us

diusivity. However, one parti ular aspe t that deserves further attention is that where

the diusivity be omes very small in some parts of the omputational domain. Indeed,

in this ase it is well-known that the presen e of an adve tive eld an trigger internal

layers. In the lo ally vanishing diusivity limit, the solution be omes dis ontinuous on

theinterfa eswhere the adve tiveeldowsfromthe vanishing-diusivityregiontowards

the nonvanishing-diusivity region. This situation has been analyzed in [52℄ and, more

re ently, in [34,38℄. For (very) small but positive diusivity, the usual DG methods meet

with di ulties in the presen e of internal layersthat are not su iently resolved by the

mesh. Indeed, these methods are designed to weakly enfor e ontinuity of the dis rete

solution a ross mesh interfa es, but be ause internal layers are under-resolved, the exa t

solution is better approximated by a dis ontinuous fun tion at the interfa es adja ent

to internal layers. One possible remedy is to onsider a hard-wired modi ation of the

DG method at those interfa es, as already proposed in [59℄ and, more re ently, in [48℄.

However, amore satisfa toryapproa hwouldbe to design a DG method that an handle

internallayersin anautomatedfashion. Thisis thepurposeof the present work. Thekey

ingredientistheuseofweightedinsteadofarithmeti averagesin ertaininterfa etermsof

the DG method, with weightsdepending on the diusivityon both sidesof the interfa e.

Thepresent methodrelies onthe (mild)assumption thatttedmeshesareused, i.e.,that

dis ontinuities in the diusivityare aligned with the mesh. When this assumption is not

possible (e.g., in the ase of nonlinear diusivity), the present method is not expe ted to

behavebetterthan the usualDGmethods,sin e allmethods willsuerfromthe fa tthat

theyattemptto approximate a rough solution withinsome mesh elements.

The idea of utilizing weighted averages stems from the mortar nite-element method

originally proposed by Nits he [76,77℄. This method imposes weakly the ontinuity of

an average with weightsthat dierfrom one half; see [5456,94℄where several mortaring

te hniquesare presented to mat h onforming nite elements on possibly non onforming

omputational meshes. In the itedworks,weighted averages areintrodu ed asa

general-ization ofstandard averages and the analysisis arried out in the general framework, but

a possible dependen y of the weightson the oe ients of the problem isnot onsidered.

Thisdependen ywasinvestigatedre entlyin[25℄forisotropi adve tion-diusion-r ea tion

problems,usingaweighted interiorpenaltyte hnique with mortars;whenapplied

elemen-twise, this approa h yields a DG method. It was shown in [25℄ that a spe i hoi e of

weights improves the stability of the s heme when the diusivity takes lo ally small

val-ues. The reason why weighted averages are needed to properly handle internal layers is

rooted in the dissipative stru ture of the underlying Friedri hs's system. The design of

the orresponding DG bilinear form, where dissipationat the dis retelevel isenfor ed by

a onsisten y term involving averages, hasbeen re ently proposed in [43℄. The extension

to adve tion-diusion-rea tionequations in ludingthe lo allyvanishingdiusivitylimitis

analyzed in [38℄.

Inthe present work,we extend the DGmethod impli itly derived in [25℄ for isotropi

diusivity to anisotropi problems. This task is not as simple as it may appear on rst

sight sin e the presen e of internal layers now depends on the spe tral stru ture of the

diusivity tensor on both sides of ea h mesh interfa e. The spe tral stru ture also raises

the questionoftheappropriate hoi eofthe penaltyterm intheDGmethodatea hmesh

interfa e. Theanalysispresented belowwill ta kle these issues.

We design and analyze one spe i DG method with weighted averages, namely the

Symmetri Weighted Interior Penalty (SWIP) method, obtained by modifying the

well-known (Symmetri ) Interior Penalty (IP) method [10,15℄. Many other well-known DG

methods, in ludingthe Lo alDis ontinuousGalerkin method[33℄ and the Nonsymmetri

Interior Penalty Galerkin method [89℄, an also be modied to t the present s ope; for

brevity, these developments areomittedherein.

Thispaper isorganized asfollows: Se tion 2.2presents thesetting under s rutinyand

formulatesthe SWIPmethod, while Se tion 2.3 ontains the error analysisin the natural

energynormfortheproblem. Theestimateisfullyrobust,meaningthatthe onstantinthe

errorupperboundisindependentofbothheterogenei tiesandanisotropiesinthediusivity.

Se tion 2.4 is on erned with the error analysis on the adve tive derivative. The derived

estimateisagainrobustwith respe tto heterogenei ti es inthe diusivity, butthe onstant

in the error upper bound an in some ases depend on lo al anisotropies. Robustness is

diusivitytensorarelargeenough. Numeri alresults,in luding omparisonswiththemore

usualIPmethods,arepresented inSe tion2.5andillustratethebenetsofusingweighted

interiorpenalties to approximateadve tion-diusion-r ea t ionequations with lo allysmall

andanisotropi diusivity. Finally, Se tion 2.6 ontains some on ludingremarks.

2.2 The SWIP method

Let

Ω

be a domain in

R

d

with boundary

∂Ω

in spa e dimension

d

∈ {2, 3}

. We onsider

the following adve tion-diusion-r ea tion equation with homogeneous Diri hletboundary

onditions:







−∇·(K∇u) + β·∇u + µu = f

in

Ω,

u = 0

on

∂Ω.

(2.1) Here

µ

∈ L

∞

_(Ω)

,

β

∈ [W

1,∞

_(Ω)]

d

,thediusivitytensor

K

isasymmetri ,positivedenite

eld in

[L

∞

_(Ω)]

d,d

and

f

∈ L

2

_(Ω)

. The regularity assumption on

β

an be relaxed, but

is su ient for the present purpose. The weak formulation of (2.1) onsists of nding

u

_{∈ H}

1

0

(Ω)

su h that

(K

_{∇u, ∇v)}

0,Ω

+ (β

·∇u, v)

0,Ω

+ (µu, v)

0,Ω

= (f, v)

0,Ω

∀v ∈ H

0

1

(Ω)

(2.2)

where

(

·, ·)

0,Ω

denotes the

L

2

-s alar produ t on

Ω

. Hen eforth,weassume that

µ

−

1

2

∇·β ≥ µ

0

> 0

a.ein

Ω.

(2.3)

Furthermore, we assume that the smallest eigenvalue of

K

is bounded from below by a

positive (but possibly very small) onstant. Then, owing to the LaxMilgram Lemma,

(2.2)is wellposed.

Let

{T

h

}

h>0

be a shape-regular family of ane triangulatio ns of the domain

Ω

. The

meshes

T

h

maypossesshanging nodes. For simpli itywe assumethatthe meshes over

Ω

exa tly, i.e.,

Ω

is apolyhedron. A generi element in

T

h

isdenoted by

T

,

h

T

denotes the

diameterof

T

and

n

T

its outward unitnormal. Set

h = max

T ∈T

h

h

T

. We assumewithout

lossof generalitythat

h

≤ 1

. Let

p

≥ 1

. We dene the lassi alDG approximationspa e

V

h

=

{v

h

∈ L

2

(Ω);

∀T ∈ T

h

, v

h

|

T

∈ P

p

},

(2.4)

where

P

p

isthe set of polynomials oftotal degree lessthan or equal to

p

. Hen eforth, we