Temps local d'une diusion en milieu aléatoire

(1)

Temps local d'une diusion en milieu aléatoire

Colloque Jeunes Probabilistes et Statisticiens Mont Dore

Roland DIEL

3 mai 2010

(2)

Temps local d'une diusion en milieu aléatoire Le modèle

1

Le modèle

2

Vallée standard

3

Temps local

(3)

Environnement : V processus càd-làg sur R vériant V (0) = 0.

Diusion X en milieu V :

"Solution" de l'EDS :

dX ( t ) = d β( t ) −

¹₂

V

⁰

( X ( t )) dt , X ( 0 ) = 0

avec β MB indépendant de V .

Plus rigoureusement, à V xé, X diusion de générateur innitésimal :

A = 1

2 e

^V⁽^x⁾

d dx

e

⁻^V⁽^x⁾

d dx

.

On prend pour V un MB standard.

(4)

Environnement : V processus càd-làg sur R vériant V (0) = 0.

Diusion X en milieu V :

"Solution" de l'EDS :

dX ( t ) = d β( t ) −

¹₂

V

⁰

( X ( t )) dt , X ( 0 ) = 0

avec β MB indépendant de V .

Plus rigoureusement, à V xé, X diusion de générateur innitésimal :

A = 1

2 e

^V⁽^x⁾

d dx

e

⁻^V⁽^x⁾

d dx

.

On prend pour V un MB standard.

(5)

Environnement : V processus càd-làg sur R vériant V (0) = 0.

Diusion X en milieu V :

"Solution" de l'EDS :

dX ( t ) = d β( t ) −

¹₂

V

⁰

( X ( t )) dt , X ( 0 ) = 0

avec β MB indépendant de V .

Plus rigoureusement, à V xé, X diusion de générateur innitésimal :

A = 1

2 e

^V⁽^x⁾

d dx

e

⁻^V⁽^x⁾

d dx

.

On prend pour V un MB standard.

(6)

Environnement : V processus càd-làg sur R vériant V (0) = 0.

Diusion X en milieu V :

"Solution" de l'EDS :

dX ( t ) = d β( t ) −

¹₂

V

⁰

( X ( t )) dt , X ( 0 ) = 0

avec β MB indépendant de V .

Plus rigoureusement, à V xé, X diusion de générateur innitésimal :

A = 1

2 e

^V⁽^x⁾

d dx

e

⁻^V⁽^x⁾

d dx

.

On prend pour V un MB standard.

(7)

X est récurrent.

(Schumacher 1985, Brox 1986) X

_t

( log t )

²

−→

loi

L .

La loi de L est connue (Kesten 1986, Golosov 1986). Lois du logarithme itéré (Hu, Shi 1998) : p.s.

lim sup

t→∞

X

t

( log t )

²

log

₃

t = 8 π ,

lim inf

t→∞

log

₃

t ( log t )

²

max

0≤s≤t

X

s

= 1 .

(8)

X est récurrent.

(Schumacher 1985, Brox 1986) X

_t

(log t )

²

−→

loi

L .

La loi de L est connue (Kesten 1986, Golosov 1986).

Lois du logarithme itéré (Hu, Shi 1998) : p.s. lim sup

t→∞

X

t

( log t )

²

log

₃

t = 8 π ,

lim inf

t→∞

log

₃

t ( log t )

²

max

0≤s≤t

X

s

= 1 .

(9)

X est récurrent.

(Schumacher 1985, Brox 1986) X

_t

(log t )

²

−→

loi

L .

La loi de L est connue (Kesten 1986, Golosov 1986).

Lois du logarithme itéré (Hu, Shi 1998) : p.s.

lim sup

t→∞

X

t

( log t )

²

log

₃

t = 8 π ,

lim inf

t→∞

log

₃

t ( log t )

²

max

0≤s≤t

X

s

= 1 .

(10)

X est récurrent.

(Schumacher 1985, Brox 1986) X

_t

(log t )

²

−→

loi

L .

La loi de L est connue (Kesten 1986, Golosov 1986).

Lois du logarithme itéré (Hu, Shi 1998) : p.s.

lim sup

t→∞

X

t

( log t )

²

log

₃

t = 8 π ,

lim inf

t→∞

log

₃

t ( log t )

²

max

0≤s≤t

X

s

= 1 .

(11)

Figure: Une trajectoire de la diusion en environnement brownien.

(12)

Temps local d'une diusion en milieu aléatoire Vallée standard

1

Le modèle

2

Vallée standard

3

Temps local

(13)

[Brox 1986, Tanaka 1987, Neveu, Pitman 1989]

Le milieu V admet un h-minimum en x

0

s'il existe ξ < x

0

< ζ tel que pour tout x ∈ [ξ, ζ] ,

V ( x ) ≥ V ( x

0

) , V (ξ) ≥ V ( x

0

) + h, V (ζ) ≥ V ( x

0

) + h.

idem pour h-maximum.

M

_h

ensemble des h-extrema de V .

P.s, M

_h

n'a pas de point d'accumulation et les h-maxima et les

h-minima alternent.

(14)

[Brox 1986, Tanaka 1987, Neveu, Pitman 1989]

Le milieu V admet un h-minimum en x

0

s'il existe ξ < x

0

< ζ tel que pour tout x ∈ [ξ, ζ] ,

V ( x ) ≥ V ( x

0

) , V (ξ) ≥ V ( x

0

) + h, V (ζ) ≥ V ( x

0

) + h.

idem pour h-maximum.

M

_h

ensemble des h-extrema de V .

P.s, M

_h

n'a pas de point d'accumulation et les h-maxima et les

h-minima alternent.

(15)

[Brox 1986, Tanaka 1987, Neveu, Pitman 1989]

Le milieu V admet un h-minimum en x

0

s'il existe ξ < x

0

< ζ tel que pour tout x ∈ [ξ, ζ] ,

V ( x ) ≥ V ( x

0

) , V (ξ) ≥ V ( x

0

) + h, V (ζ) ≥ V ( x

0

) + h.

idem pour h-maximum.

M

_h

ensemble des h-extrema de V .

P.s, M

_h

n'a pas de point d'accumulation et les h-maxima et les

h-minima alternent.

(16)

⇒ Il existe ∆

_h

= (p

_h

, m

_h

, q

_h

) éléments successifs de M

_h

tels que

p

_h

et q

_h

sont des h-maxima

m

_h

est un h-minimum 0 ∈ [ p

_h

, q

_h

] .

Figure: Vallée standard

(17)

(Brox 1986)

Temps de sortie de [ p

_h

, q

_h

] : log τ

_h

∼ V ( p

_h

) ∧ V ( q

_h

) − V ( m

_h

) .

1 ( log t )

²

| X

_t

− m

_{log t}

| −−−→

^P

t→∞

0 1

( log t )

²

X

_t

−→

^loi

m

₁

(18)

(Brox 1986)

Temps de sortie de [ p

_h

, q

_h

] : log τ

_h

∼ V ( p

_h

) ∧ V ( q

_h

) − V ( m

_h

) . 1

( log t )

²

| X

_t

− m

_{log t}

| −−−→

^P

t→∞

0

1 ( log t )

²

X

_t

−→

^loi

m

₁

(19)

(Brox 1986)

Temps de sortie de [ p

_h

, q

_h

] : log τ

_h

∼ V ( p

_h

) ∧ V ( q

_h

) − V ( m

_h

) . 1

( log t )

²

| X

_t

− m

_{log t}

| −−−→

^P

t→∞

0 1

( log t )

²

X

t

−→

loi

m

1

(20)

Temps local d'une diusion en milieu aléatoire Temps local

1

Le modèle

2

Vallée standard

3

Temps local

(21)

Dénition

Le temps local L

_X

( t , x ) est la densité de la mesure d'occupation :

∀ A ∈ B( R ), µ

_t

( A ) = Z

_t

0

1

A

( X ( s )) ds = Z

R

1

A

( x ) L

X

( t , x ) dx .

On note

L

^∗_X

( t ) := sup

x∈R

L

_X

( t , x ).

(22)

Dénition

Le temps local L

_X

( t , x ) est la densité de la mesure d'occupation :

∀ A ∈ B( R ), µ

_t

( A ) = Z

_t

0

1

A

( X ( s )) ds = Z

R

1

A

( x ) L

X

( t , x ) dx .

On note

L

^∗_X

( t ) := sup

x∈R

L

_X

( t , x ).

(23)

(Hu,Shi 1998) À x xé, log L

X

( t , x )

log t −−−→

^loi

t→∞

U ∧ U e . où U et U sont i.i.d de loi uniforme sur e [ 0 , 1 ] , .

(P.Andreoletti, R.D. 2009) L

_X

( t , m

_{log t}

+ x )

t , x ∈ R

−−−→

loi t→∞

e

^−e^V⁽^x⁾

R

∞

−∞

e

⁻^V^e

, x ∈ R

!

où V est le milieu V conditionné à rester positif. e

(24)

(Hu,Shi 1998) À x xé, log L

X

( t , x )

log t −−−→

^loi

t→∞

U ∧ U e . où U et U sont i.i.d de loi uniforme sur e [ 0 , 1 ] , . (P.Andreoletti, R.D. 2009)

L

_X

( t , m

_{log t}

+ x )

t , x ∈ R

−−−→

loi t→∞

e

^−e^V⁽^x⁾

R

∞

−∞

e

⁻^V^e

, x ∈ R

!

où V est le milieu V conditionné à rester positif. e

(25)

L

_X

( t , m

_{log t}

+ x )

t , x ∈ R

ucp

∼

t→∞





e

⁻^V^{mlog t}^(x)

R

_b_{r log t}

ar log t

e

⁻^V^{mlog t}

, x ∈ R





où

V

_m_{log t}

( x ) := V ( m

_{log t}

+ x ) − V ( m

_{log t}

) et r ∈] 0 , 1 [.

log

L

^∗_X

( t ) L

_X

( t , m

^∗_t

+ x )

, x ∈ R

ucp

t→∞

∼ V

_m^∗_t

(x ), x ∈ R

où m

^∗_t

:= inf { x ∈ R , L

_X

( t , x ) = L

^∗_X

( t )} .

(26)

L

_X

( t , m

_{log t}

+ x )

t , x ∈ R

ucp

∼

t→∞





e

⁻^V^{mlog t}^(x)

R

_b_{r log t}

ar log t

e

⁻^V^{mlog t}

, x ∈ R





où

V

_m_{log t}

( x ) := V ( m

_{log t}

+ x ) − V ( m

_{log t}

) et r ∈] 0 , 1 [.

log

L

^∗_X

( t ) L

_X

( t , m

^∗_t

+ x )

, x ∈ R

ucp

∼

t→∞

V

_m^∗_t

(x ), x ∈ R

où m

^∗_t

:= inf { x ∈ R , L

_X

( t , x ) = L

^∗_X

( t )} .

(27)

Courbe noire : environnement brownien W Courbe bleue : φ

_t

( x ) = log

_L∗

X(t) LX(t,m^∗_t+x)

où t = 25000

(28)

(P.Andreoletti, R.D. 2009) L

^∗_X

( t )

t

−→

loi

1 R

∞

−∞

e

⁻^V^e

.

(minoration : Z.Shi 1998, majoration : R.D. 2009) lim sup

t→∞

L

^∗_X

( t )

t log log log t = constante ∈] 0 , ∞[. (R.D. 2009)

lim inf

t→∞

log log log t

t L

^∗_X

(t) = constante ∈]0, ∞[.

(29)

(P.Andreoletti, R.D. 2009) L

^∗_X

( t )

t

−→

loi

1 R

∞

−∞

e

⁻^V^e

.

(minoration : Z.Shi 1998, majoration : R.D. 2009) lim sup

t→∞

L

^∗_X

( t )

t log log log t = constante ∈] 0 , ∞[.

(R.D. 2009) lim inf

t→∞

log log log t

t L

^∗_X

(t) = constante ∈]0, ∞[.

(30)

Fixons > 0 , c > 0. Il existe 4 processus m

¹_t

, . . . , m

⁴_t

dépendant uniquement du milieu V tel que p.s.

ν

_t

( I

_t

)

t = o ( 1 ( log t )

^c

)

où I

_t

:= ∪

⁴_i₌₁

[ m

ⁱ_t

− ( log

₂

t )

²⁺

, m

ⁱ_t

+ ( log

₂

t )

²⁺

].

Temps local d'une diusion en milieu aléatoire