Formulaire :
Second degré :Dérivation :
Fonction f Dérivée f’ Remarque
a 0 a est un nombre réel
x 1 n x nxn−1 n entier naturel x 1 ² 1 x − x non nul v u ² ' ' v uv v u − u et v deux fonctions, v ne s’annulant pas. Primitives :
k est un nombre réel constant.
Fonction f Primitives F Remarque
0 k a a x + k n x k n xn + + + 1 1 n entier naturel ² 1 x − x +k 1 x non nul.
Devoir commun – Partie mathématiques – Mars 2012
La moyenne de X est :
La variance de X est : L’écart type de X est :
Les données ci-dessus peuvent aussi être calculées à l’aide d’une calculatrice graphique.
Probabilités :
Pour tout évènement A :
Quels que soient les évènements A et B :
Exercice 1 (5 points)
Une machine remplit automatiquement des barquettes de beurre, marquées 250 grammes. On teste la machine sur 200 barquettes en pesant la quantité de beurre contenue dans chacune d'elles.
On obtient les renseignements suivants (en grammes) : Masse (en grammes)
[
[
244 ; 242[
244;246[
[
246;248[
[
248;250[
[
250;252[
[
252;254[
[
254;256[
[
256;258[
Nombre de barquettes 10 18 17 49 52 34 12 8Le responsable de la qualité souhaite avoir au moins 80% des barquettes dont la masse appartiennent à l'intervalle
[
246;254[
et que la masse moyenne des barquettes corresponde à la masse théorique à 0,1 gramme près.L'objectif de cette étude est, entre autres, de vérifier si la production respecte ces contraintes de qualité.
1°)
Quelle est la population étudiée ici ? Quel est le caractère étudié ? De quel nature est-il ?2°)
a.
Déterminer à l'aide de la calculatrice la masse moyenne d'une barquette, arrondie au 100ème de gramme près.
b.
Indiquer si la masse moyenne correspond aux contraintes de qualité.3°)
Donner l'écart type de la série, arrondie au 10ème de gramme près. Les calculs seront effectués à l'aide de la calculatrice et les résultats intermédiaires ne seront pas nécessairement rédigés sur la copie.4°)
Construire l'histogramme des effectifs sur l'annexe 2 (échelle : en abscisses 1 cm représente 2 grammes et en ordonnées 1 cm représente 5 barquettes).5°)
a.
Indiquer le nombre de barquettes dont la masse appartient à l'intervalle[
246;254[
.b.
Exprimer ce nombre en pourcentage de l'effectif total.c.
Indiquer si ce pourcentage correspond à l'exigence du responsable de la qualité.Exercice 2 (5 points)
Soient f, g et h les fonctions définies sur IR par :
t t f 2 1 4 ) ( − = , g(t)=t²−5t+7 et h(t)=3t.
Soient (C), (C') et (C") les représentations graphiques respectives de f, g et h.
1°)
Calculer =∫
41 g( dtt)
I et =
∫
41 h( dtt)
J . Les différentes étapes de chaque calcul figureront sur la
3°)
a.
Simplifier l’expression de t t t h t f 3 2 1 4 ) ( ) ( − − =− (indication : mettre sur le même
dénominateur).
b.
Etudier le signe de6t²−3t+4sur IR.
c.
Etudier le signe de 1−2tà l’aide d’un tableau de signes.
d.
En déduire la position relative de (C) et (C") (indication : quelle courbe est au-dessus de l’autre, et pour quelles valeurs de x).Exercice 3 (5 points)
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :
o la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20% des adultes ; o 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10% des enfants. 1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Magie Théâtre Photo numérique Total
Adultes Enfants
Total 150
On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes : o A l'événement " la personne appelée est un adulte " ;
o M l'événement " la personne appelée a choisi la magie " ; o T l'événement " la personne appelée a choisi le théâtre " ;
o N l'événement " la personne appelée a choisi la photo numérique ". 2. a) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?
b) Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ? c) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte et ait choisi le théâtre ?
3. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.
4. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
Exercice 4 (5 points)
Un agriculteur produit et vend des pêches. La fonction P, exprimant le coût de production en fonction de x (quantité produite et vendue) est représentée en annexe n°1 (courbe CP).
La fonction R exprimant la recette en fonction de x (quantité produite et vendue) est représentée sur le même repère de l'annexe n°1 (courbe CR).
Les quantités produites et vendues sont exprimées en quintaux, les coûts de production et les recettes sont exprimés en milliers de francs.
On rappelle que le bénéfice B est défini par B ( x ) = R ( x ) - P ( x )
Répondre aux questions suivantes à l'aide d'une simple lecture graphique en rédigeant la démarche adoptée. 1) Pour quelle quantité de pêches récoltée la recette est-elle maximale ?
2) Pour quelles quantités de pêches récoltées l'agriculteur réalise-t-il un bénéfice ? 3)
a) Déterminer le bénéfice réalisé lorsque l'agriculteur produit et vend 170 quintaux de pêches. b) Est-ce lorsque la recette est maximale que le bénéfice est maximum ?
