Extension des QuadTrees pour la représentation et le filtrage des contraintes numériques définies par des fonctions par morceaux

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Extension des QuadTrees pour la représentation et le

filtrage des contraintes numériques définies par des

fonctions par morceaux

Élise Vareilles, Khaled Hadj-Hammou, Michel Aldanondo, Paul Gaborit

To cite this version:

Élise Vareilles, Khaled Hadj-Hammou, Michel Aldanondo, Paul Gaborit. Extension des QuadTrees

pour la représentation et le filtrage des contraintes numériques définies par des fonctions par morceaux.

Premières Journées Francophones de Programmation par Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun

2005, Lens, France. pp.219-228. �inria-00000084�

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Extension des QuadTrees pour la représentation et le ltrage des ontraintes numériques

dénies par des fon tions par mor eaux

E. Vareilles 1 K. Hadj-Hamou 2 M. Aldanondo 1 P. Gaborit 1 1

Centre GI, E ole des Mines d'Albi, Campus Jarlard,81000 Albi 2

Laboratoire GILCO, INP Grenoble, 46 Avenue Félix Viallet,38000 Grenoble (Vareille,Aldanondo,Gabori t)e nsti ma . fr, Hamougil o.inpg.fr

Résumé

Cette ommuni ationprésenteuneappro he de re-présentation de ontraintes ontinues. La méthode de dis rétisationdynamiquedesdomainesdesvariables dé-nit une représentation de l'espa e de re her he sous la forme d'un arbre appelé QuadTree dans le as de ontraintes binaires.Nous proposons uneextension de ette méthode pour prendreen ompte les ontraintes ontinuesexprimées ommedesfon tionsparmor eaux. Lapremièrese tionintroduitlaméthode degénération deQuadTrees.Lase ondese tionproposeunedénition des ontraintesdéniespardesfon tionsparmor eaux. Enn, latroisièmese tion propose uneextension de la méthodedeQuadTreepermettantdeprendreen ompte etypede ontraintes.

Abstra t

Thispaperproposesanapproa hallowing represen-tation of ontinuous onstraints. Onesolution to pro- ess these onstraints is to approximate the feasible solution regions by atree de omposition alled Quad-Tree inthe ase of binary onstraints. We propose an extended QuadTreeframeworkdealingwith ontinuous onstraints dened with pie ewise fun tions. The rst se tion introdu es the QuadTree method. The se ond one des ribes the ontinuous onstraints dened with pie ewise fun tions. The thirdse tionproposes an ex-tendedQuadTreesmethodallowingtoapproximatethe feasiblesolutiondomainsofthese onstraints.

1 Introdu tion

Un problème de satisfa tion de ontraintes (CSP) estdéniparunensembledevariables, haquevariable est asso iéeàundomainereprésentantl'ensembledes

d'un ensemble de ontraintes, haque ontrainte est dénie pour un ensemble de variables sur lesquelles elleporteet parunensemblede ombinaisonsde va-leurs qu'elle autorise [8℄. Une solution d'un CSP est une instan iation des variables respe tant toutes les ontraintes.Le adredesCSPest rapidementapparu omme un adre naturel pour représenter beau oup deproblèmesdedé ision: ongurationet on eption deproduits,ordonnan ementdetâ hes, allo ationde ressour es,...

Il existe de nombreuses appro hes basées sur les ontraintesutilisablesdansdesdomainesparti uliers. Le hoixd'uneouplusieursappro hesdépenddedeux aspe ts:

lesdomainessurlesquelsportentlesvariablesqui peuventêtre:

1. symboliques:listesdesymboles,

2. numériques dis rets : domaines dénom-brables(listesd'entiers,listesderéelsou in-tervallesd'entiers),

3. numériques ontinus : domaines innis non dénombrables(intervalles deréels),

letypede ontraintepouvants'exprimer: 1. en extension : table de ompatibilité (liste

des ombinaisons autorisées ou non autori-sées) portant sur des variables symboliques et/ounumériquesdis rètes,

2. enintension:expressionmathématique por-tantsurdesvariablesnumériques(soitpour éviter de lister toutes les ombinaisons ou par equ'ilest impossibledeleslister). Les CSP peuvent être résolus par l'utilisation de

(3)

spé i itédesméthodesdeltrageestqu'ellesopèrent, en ours derésolution, une rédu tion dudomaine de dénition initial desvariables de manière onsistante vis-à-visdusystème de ontraintes.

Dansle asdetablesde ompatibilité,beau oup d'al-gorithmesdemaintiende ohéren e,telqueleltrage lo al par Ar -Cohéren e AC, ont été développés [3℄. L'ACgarantitquel'instan iationdel'unedesvariables mises en jeu par une ontrainte possède un support validant ette ontraintedanslesdomainesdesautres variables.

Cependant,le adreCSP lassiquenepermetde re-présenter que des variables à domaines nis et dis- rets, alors que l'expérien e montre que la plupart des problèmes réels sont des problèmes mixtes, re-groupantdesvariablesdis rètesetdesvariables onti-nues, où oexistent des ontraintes de ompatibilité et des ontraintes type expressions mathématiques, qui limitent les valeurs possibles de variables numé-riques ontinues.C'est equi ajustiél'extensiondu adre CSP dis rets au CSP numériques ou ontinus [6℄.Lapropagationdes ontraintesparmaintiende o-héren ese faitalors surles intervalles.Les méthodes les plusutilisées pour les domaines ontinus sont un mariageentre l'arithmétique des intervalles [9℄ et les méthodes de ltrage lo al [2℄ [5℄ [7℄. Plusieurs te h-niquesontétémisesaupoint ommelaB- onsistan e [6℄ et laBox- onsistan e [1℄. Pour unpanorama plus détaillé des te hniques de maintien de ohéren e sur des ontraintes ontinues,voirlathèsedeDelobel[4℄. La 2B- onsistan e est une onsistan e d'ar sur les bornes des intervalles de variables mises en jeu parune ontrainte de typeexpression mathématique f(x 1 ;x 2 ;:::;x n

)=;<;;>; 0.Elle garantitqueles bornesdudomainedel'unedesvariablespossèdentun support validant ette ontrainte dans les domaines des autres variables. Cet algorithme de ltrage lo al exploitela forme d'expressiondes ontraintes et pré-sentequelquesin onvénients:

dansle asoùplusieurs ontraintesportentsurun mêmesous-ensemblede variables(exemple dela re her hedel'interse tiondedeuxfon tions).Ce asgénèredansleréseaude ontraintesdes y les supplémentaires qui ompliquentle pro essus de propagation,

lorsqu'ilest di ileouimpossibledetrouverune fon tiondeproje tionpour ha unedesvariables d'une ontrainte,

lorsque les fon tions de proje tion ne sont pas ontinueset/oumonotones,

lerésultatdeltragepeutêtrediérentsuivantla formesyntaxiqued'une ontrainte,parexemplela

truirela ontinuitédesdomaines.

Pourpallierà ertainsde esin onvénientsetpour obtenirunereprésentationpuissante desdomainesde faisabilité,Sam-Haroud[10℄proposed'approximerles ontraintesnumériquesenutilisantunedé omposition hiérar hique et dynamique sous la forme d'arbres 2

k (2

k

-Trees). Cette représentation, fréquemment utilisée dans le domaine du traitement d'image, est appeléeQuadTreepourdes ontraintesbinaires(plan de faisabilité déni par deux variables) et O Tree pourdes ontraintesternaires(espa edefaisabilité).

Danslapremièrese tion,nousexposeronsendétail laméthode degénération des ontraintesnumériques binairesparlesQuadTrees.Ensuite,nousprésenterons lemé anismedefusiondeQuadTreespourlapriseen omptedeplusieurs ontraintesnumériques.

Si etteméthodedereprésentationenQuadTrees per-met deprendre en ompte plusieursformes d'expres-sionsmathématiques,undesesin onvénientsmajeurs est qu'elle ne permet pas de traiter les ontraintes numériquesdéniesparmor eauxsouventintroduites pourapproximer desabaques et desrésultats expéri-mentaux dans le adre d'un problème de on eption [11℄. Une ontrainte de type fon tion par mor eaux sur un espa e de re her he multi-intervalles est dé-nieparunensembled'expressionsmathématiques ou-vrant ha uneunezonebiendéterminéede etespa e. Danslase ondese tion,nousdénironsles ontraintes numériques dénies omme des fon tions par mor- eaux et dresserons quelques hypothèses on ernant laforme de es ontraintesainsi queleslimites d'ap-pli ationdelaméthodedesQuadTrees.

Enn,l'obje tifdelatroisièmese tionestdeproposer uneextensiondelaméthodedegénérationdes Quad-Treespermettantdeprendreen ompteles ontraintes numériques s'exprimant par des fon tions par mor- eaux. Pour illustrer notre ontribution, nous nous on entreronsuniquementsurles ontraintesbinaires mettanten÷uvredeuxvariables.

2 Approximation des ontraintes numé-riques par des QuadTrees

Contrairementauxte hniques lassiques de onsis-tan e exploitantles ontraintes numériques représen-téesformellementpardesexpressionsmathématiques, lesméthodesdedis rétisation onsistentàapproximer lesdomainesdefaisabilitéde es ontraintes.Pour ob-tenir une approximation puissante de es domaines, nous supposerons que haque variable prend ses va-leurs dans un domaine ontinu borné et qu'il lui est

(4)

Nous dénirons dans un premier temps les Quad-Trees. Ensuite, nous illustrerons e prin ipe de dé- omposition sur unexemple. Enn, nous montrerons ommentfusionnerplusieursQuadTreesetaborderons brièvementunalgorithmedeltrage.

2.1 Dénition desQuadTrees

Une ontrainte C(x;y), dénie par une expression mathématique entre deux variables ontinues x et y, peut êtreapproximéepar unQuadTree en ee tuant une dé omposition binaire et hiérar hique de ses do-mainesinitiauxdefaisabilitéDxet Dy.

Le prin ipe des QuadTrees est qu'un espa e de re- her hedéni par unn÷ud père est dé omposé, sui-vantlesdeuxvariablesx et y,enquatre sous-espa es dénis parquatre n÷uds ls : NO(Nord-Ouest), SO (Sud-Ouest),SE(Sud-Est)etNE(Nord-Est).Chaque n÷udduQuadTree orrespondàunezonedéniepar un oupled'intervalles(Æx,Æy).Notonsquedansle as de ontraintesternaires,unn÷udpèreestdé omposé, suivantlestroisvariablesx,yetz,enhuitn÷udspour générerunO Tree.

Une ouleurest asso iée à haque n÷ud. La ouleur est dénie suivantl'interse tionentrelere tangle dé-niparlarégion(Æx,Æy)et la ontrainte ontinue nu-mériqueC(x;y),telque:

Blan :sitouslespointsdelarégion(Æx,Æy)sont onsistantsave la ontrainteC(x;y),

Gris : si la région (Æx,Æy) omprend à la fois des points onsistants et in onsistants ave la ontrainteC(x;y),

Noir:si touslespointsde larégion(Æx,Æy) sont in onsistantsave la ontrainteC(x;y),

Chaque n÷udde ouleurGris est àson tour dé om-poséenquatren÷udsls.Lesn÷udsde ouleurBlan ( onsistants) ou Noir (in onsistants) ne sont pas dé- omposés.Lemé anismededé ompositiondesn÷uds Grisestrépétéjusqu'à equeleniveaudepré isiondes variablessoitatteint.A edernierniveaudel'arbre,les n÷uds unitaires (feuilles de l'arbre) Gris deviennent soitBlan ss'ill'oninterditdeperdredespoints onsis-tants,soit Noirss'ill'oninterditdegarderdespoints in onsistants.LeQuadTreenal ontientuniquement desfeuilles Blan hesetdesfeuillesNoires.

2.2 Exempledegénération deQuadTree

Nousprésentonsunexempledegénérationde Quad-Treepourune ontraintenumérique ontinue.

Soitla ontraintebinairesuivante(Figure1): C

1

(x;y):y1+(x 1) 2

Ave lesdomainesinitiauxdesdeuxvariablesxet y :

4

10

0 x

y

C

1 (x,y) : y t 1 + (x - 1)

2 D

x

D

y

Fig.1La ontrainteC 1 (x;y):y1+(x 1) 2

La Figure 2 montre les étapes de onstru tion du QuadTreedela ontrainteC

1

(x;y)ave unniveaude pré isionde Dx=16 et Dy=16pourrespe tivement x ety et laFigure3montreleQuadTree.

Dx, Dy

NO

SO

SE

NE

NO

SO

SE

NE

NO

SO

SE

NE

NO

SO

SE

NE

NO

SO

SE

NE

NO

SO

SE

NE

NO SO SE NE

NO

SO SE NE

NO SO SE NE

NO

SO SE

NE

NO

SO SE

NE NO SO SE NE

Fig.2QuadTreedela ontrainteC 1

(x;y)

2.3 Fusion deQuadTreesetFiltrage

Lorsqu'ilyadeux ontraintes ontinuesentredeux variables x et y, le QuadTree de la ontrainte totale entre es deux variables est onstruit par l'interse -tion des deux QuadTrees initiaux orrespondant aux deux ontraintes.Ce mé anisme de fusion n'est pos-sible que si les domaines initiaux des deux variables sontlesmêmespourlesdeux ontraintes.Etantdonné unordredes ouleurs:Blan <Gris<Noir,la ouleur de haque n÷ud de l'arbre résultant de ette fusion (N÷ud-Fusion)estdénieparla omparaisondes ou-leursdesn÷uds(N÷ud-1etN÷ud-2)demêmeniveau orrespondant aux deux arbres des deux ontraintes

(5)

4

10

0 _x

y

(x;y)

Couleur(N÷ud-Fusion) =

Max[Couleur(N÷ud-1),Couleur(N÷ud-2)℄.

Le ltrage des QuadTrees onsiste à supprimer les bran hesdel'arbredevenuestotalementin onsistantes ave leproblème ourant.

LaFigure5montreleQuadTreerésultantdelafusion desQuadTreesdedeux ontraintesC

1 et C 2 . C 1 (x;y):y1+(x 1) 2 (QuadTree:Figure3) C 2 (x;y):y5+ln(1=10+x)(QuadTree:Figure4)

4

10

0 x

y

(x;y)

Ave lesdomainesinitiaux desdeux variablesxet y : Dx=[0;4℄etDy=[0;10℄.

Pour etexemple,sion hoisitd'interdiredegarder des points in onsistants, alors les feuilles de ouleur GrisduQuadTreenaldeviennentNoir.Si lesquatre n÷udsunitaireslsd'unn÷udpèresontdemême ou-leuralors e n÷udpère devientunn÷udunitaire de même ouleur enabsorbantses quatrels. Le Quad-Treenalaprès fusionest représentéparlaFigure6.

4

10

0 _x

y

Fig.5FusiondesQuadTreesdeC 1 et deC 2

4

10

0 _x

y

3

0.25

1.25

5.625

Fig. 6 QuadTree nal après transformation des n÷uds Gris

Pour le ltrage des domaines par l'utilisation des QuadTrees, Sam-Haroud [10℄ a proposé une variante de l'algorithme AC-3 nommé -AC-3.Le prin ipede etalgorithme onsisteàretirerdesdomainesdes va-riableslesvaleursqui neserontjamaissolutions.Ce i est ee tué par la suppression des valeurs des va-riables orrespondantauxn÷uds de ouleurNoir (in- onsistants).Ce i est équivalent à al uler l'interse -tionentred'unepartl'uniondesintervallesdesn÷uds onsistantsduQuadTree(Blan s) et d'autre partles domaines ourantsdesvariables(Dx etDy).

Pourplusdedétailssurla onstru tiondesQuadTrees et des méthodes de ltrage, plusieurs exemples sont donnésdanslathèsedeSam-Haroud[10℄.

Pourl'exemplepré édent,l'appli ationdel'algorithme -AC-3réduitlesvariablesx ety ommesuit: Dx=[0;4℄)Dx=[0:25;3℄

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ontraintes dénies par mor eaux Dans ettese tion,nousproposonsuneméthodede génération de QuadTrees pour des ontraintes onti-nues binairesexpriméessous formede fon tions dé-niesparmor eaux.Danslapremièresous-se tion,nous dénirons les ontraintes ontinues dénies par mor- eaux. Ensuite, ensebasantsurlaméthode de Sam-Haroudnousdévelopperonsdeuxméthodesde généra-tionetdefusionde etypedeQuadTrees:lapremière pourles ontraintesdetypeégalitésetlase ondepour les inégalités. Notons quedans ette ommuni ation, nousn'aborderonspaslesalgorithmesdeltrage.

3.1 Contraintes ontinuesdéniesparmor eaux Une ontrainte ontinue binaire C(x;y) est dénie parmor eauxsurdeuxintervallesDxetDy,s'ilexiste une olle tiondeplusieursexpressionsmathématiques C 1 (x;y),C 2 (x;y), ...,C n (x;y)telles queC i (x;y)est ontinue sur une région bien déterminée dénie sur un sous-intervalle D i x de la variable x et un sous-intervalle D i y de lavariable y et C(x;y) et C i (x;y) égales sur la région (D

i x, D

i

y). Les expressions ma-thématiques C

i

(x;y) peuvent être soient deségalités ou des inégalités. Par exemple, la ontrainte binaire dénissant l'intérieur d'une forme géométrique d'un losange sur les domaines Dx = [0;16℄, Dy = [0;16℄ est donnéeparlaFigure 11:

C 1 (x;y):y 0:8x+18:5 D 1 x=[7:5;12:5℄,D 1 y=[8:5;12:5℄ C 2 (x;y):y1:25x 7:125 D 2 x=[8:5;13:5℄,D 2 y=[3:5;8:5℄ C 3 (x;y):y 0:8x+10:3 D 3 x=[3:5;8:5℄,D 3 y=[3:5;7:5℄ C 4 (x;y):y1:25x 3:125 D 4 x=[3:5;7:5℄,D 4 y=[7:5;12:5℄

Dans notre proposition, nous distinguons le trai-tement des ontraintes ontinues par des mor eaux exprimés sous la forme d'égalités et eux exprimés ommedesinégalités.

Dansle asd'inégalités, la ontraintedoitavoir abso-lument une forme géométrique fermée e qui permet de dénir une frontière entre les zones onsistantes (intérieur ou extérieur de la forme) et les zones in- onsistantes(extérieurouintérieurdelaforme).Nous posons également l'hypothèse de ohéren e des mor- eauxdela ontrainte.Unedessituationsquipeut re-présenterune ontrainte ontinuein ohérenteest elle oùdesmor eauxdelamême ontrainted'inégalitésse roisent.Cequigénèredespointsàlafois onsistants

Notons que dans le as d'une ontrainte ontinue lassique dénie par une seule expression mathéma-tique, la ontrainte est dénie sur l'ensemble des do-maines de dénition Dx et Dy des variables x et y. Cequi signiequel'ondisposedetoutel'information on ernantla onsistan eoul'in onsistan ede haque n÷udduQuadTree.Dansle asde ontraintesdénies par mor eaux, seules les zones (D

i x, D

i

y) ouvertes par ha undesmor eauxC

i

(x;y)dela ontrainte (do-mainesdedénition desmor eaux)possèdentde l'in-formation sur les n÷uds onsistants et in onsistants vis-à-visdela ontrainteC(x;y).

Notreméthode degénération desQuadTrees asso iés aux ontraintes ontinuesparmor eauxest baséesur leniveaud'informationde haquen÷udduQuadTree pourdéduiresa onsistan eousonin onsistan e. Enplusdesdeuxétatspossédantuneinformation to-tale et qui orrespondent aux deux états Cohérent (Blan )et In ohérent(Noir), nous dénissonsquatre autresniveauxd'informationquepeutavoirunn÷ud etsontillustrésparlaFigure7:

SF

V

F

SI

16 x

y

D

x

D

y

16

0 C

4 (x,y)

C

3 _(x,y)

C

2 (x,y)

C

1 _(x,y)

Nœud

Sur-Frontière

Nœuds

Sous-Informés

Nœud

Frontière

Nœud

Vide

SI

B

Nœud

Cohérent

N

Nœud

Incohérent

Fig.7Typologiedes n÷udssuivantle niveau d'in-formation

n÷ud ne possédant au une information (n÷ud vide) : un n÷udde domaine (Æx,Æy) est dit vide sil'interse tiondesondomaineave tousles do-mainesdedénition desmor eauxC

i

(x;y)(8i= 1:::n)dela ontrainteestvide.Cen÷uddevient alorsunitaire.

n÷ud ne possédant pas assez d'information (n÷ud sous-informé) : un n÷ud de domaine (Æx,Æy) est dit sous-informé si son domaine est interse téparaumoinsledomained'unmor eau C

i

(7)

(n÷ud frontière) : un n÷ud de domaine (Æx,Æy) est dit frontière si un et un seul mor eau de la ontrainte le traverse. Le n÷ud frontière est équivalentaun÷udGris delaméthodede Sam-Haroud.

n÷ud possédant plusieurs informations (n÷ud sur-frontière): un n÷udde domaine (Æx,Æy)est ditsur-frontièresisondomaineesttraverséparau moinsdeuxmor eauxdela ontrainte.Cetypede n÷udest dé omposéjusqu'au niveauunitaire.Il peutalorsdonnernaissan eàdesn÷udspouvant être sur-frontière, frontière, sous-informé et/ou vide.

Un n÷ud unitaire possède une information perti-nentepourjugersonétat( onsistantouin onsistant) lorsqu'ilestinterse téparunetunseulmor eaudela ontrainte. Pour ela, il est né essaire de dénir une taillemaximale desn÷uds unitaires(niveaux de pré- isiondex ety pourlesfeuillesdel'arbreQuadTree) àpartirdelaquelleilestpossibled'isoler haque mor- eaudela ontrainteetappliquerainsilaméthodede génération lassiquedeQuadTree.

3.3 GénérationdeQuadTreespourdes ontraintes d'égalités parmor eaux

Lessolutions ohérentespourune ontraintedetype égalités par mor eaux sont représentées par l'enve-loppe des mor eaux de la ontrainte. Dans e as, seuls les n÷uds unitaires frontières et sur-frontières sont ohérents ave la ontrainte. La génération du QuadTreepour e typede ontraintesest alorsbasée sur l'identi ation de es n÷uds unitaires frontières etsur-frontièresquivontpermettredestatuerensuite surl'étatdesautresn÷uds.

1. Lorsqu'unn÷udfrontièreest déte té,il peut re- evoirunedes ouleurssuivantes:

Gris:s'iln'estpasunitaireetdoitdon être dé- omposé.Lesous-QuadTreeasso iéaumor eau isoléestensuitegénéréave lamêmepro édure proposée par Sam-Haroud générant ainsi des zones onsistantes (Blan ) et des zones in on-sistantes(Noir).

Blan :s'ilestunitaire.Cen÷uddevientBlan ar il appartient à l'enveloppe du mor eau de la ontrainte, don onsistant ave toute la ontrainte.

2. Lorsqu'unn÷udsur-frontièreestdéte té,ilpeut re evoirunedes ouleurs suivantes :

Gris : s'il n'est pas unitaire et doit don être dé omposé générant ainsi des n÷uds ls pouvant être sur-frontières, frontières,

sous- ar il appartient àl'enveloppe dumor eau de la ontrainte, don onsistant ave toute la ontrainte.

3. Les n÷uds vides et sous-informés, qui sont tou-joursunitaires,se olorenten Noir aril ne dé-nissentpasl'enveloppedela ontrainte.

A la n de ette pro édure, tous les n÷uds uni-taires duQuadTree sont soit Blan s ( onsistants) ou Noirs (in onsistants).Pour illustrer ette pro édure, nous reprenonsdans la Figure 8 l'exemple pré édent du losange en onsidérant tous les mor eaux de la ontrainte ommedeségalités.

16

16 D

x

D

y

C

4 _{(x,y) : y = 1.25 x + 3.125}

C

3 _{(x,y) : y = -0.8 x + 10.3}

_C

2 _{(x,y) : y = 1.25 x - 7.125}

C

1 _{(x,y) : y = -0.8 x + 18.5}

0

Fig.8Exemplede ontrainteégalitésparmor eaux LeQuadTreegénéréparnotreappro heest illustré parlaFigure 9.

Le QuadTree nal après transformation de tous les n÷udsunitaires(enBlan souenNoirs)estreprésenté parlaFigure 10.

Lorsqu'ilyaplusieurs ontraintesbinaires,le Quad-Treereprésentantla ontraintetotaleest onstruitpar l'interse tiondesQuadTreesnaux(ayantuniquement des n÷uds unitaires Blan s et Noirs) en utilisant le mêmemé anismedefusionproposéparSam-Haroud.

3.4 GénérationdeQuadTreespourdes ontraintes d'inégalités parmor eaux

Lessolutions ohérentespourune ontraintebinaire de type inégalités par mor eaux dénissent des sur-fa es.Cessurfa esferméesreprésententsoitl'intérieur delaformegéométrique(exemple delaFigure11)ou sonextérieurlimitéparlesdomainesdedénition des variables(exemple delaFigure12).

(8)

l'in-F

F

SI

V

N

V

16 D

x

D

y

SI

V

SI

16 SI

SI

V

SI

V

F

V V

SI SF

SF SI

V V

V SF

V SI

F

SI V

SF V

F

0

Fig.9GénérationduQuadTreedela ontrainte éga-litésparmor eaux

16 D

x

D

y

16

0

Fig.10QuadTreenaldela ontrainteégalitéspar mor eaux

parune pro édurede voisinagepourrenseignerl'état desautresn÷uds.Cettepro éduredepropagationpar voisinage est dé len hée après avoir généré le Quad-Tree et que haque n÷ud possède un des états pré- édemmentdénis:Blan , Noir,Vide,Sous-informé, Frontière ou Sur-frontière. Si la ontrainte est ohé-rente(pasdemor eaux roisés)leQuadTreedoit pos-séderaumoinsunn÷udunitaireBlan et/ouunn÷ud unitaire Noir en dénissant une pré ision maximale desvariables.Ce ireprésenteune onditionné essaire pourappliquerlapro éduredepropagation d'informa-tion par voisinage. Nous dénissons les voisins d'un n÷ud omme les n÷uds unitaires qui lui sont adja- ents.Les règlesd'ae tation des niveaux d'informa-tionetdes ouleurs(NoirouBlan )restentlesmêmes

16

0 _D

x

D

y

C

4 _{(x,y) : y d 1.25 x + 3.125}

C

3 _{(x,y) : y t -0.8 x + 10.3}

C

2 (x,y) : y t 1.25 x - 7.125

C

1 _{(x,y) : y d -0.8 x + 18.5}

Fig.11 Contrainte d'inégalités par mor eaux: as intérieur ohérent

16

0 _D

x

D

y

C

4 _{(x,y) : y t 1.25 x + 3.125}

C

3 _{(x,y) : y d -0.8 x + 10.3}

C

2 (x,y) : y d 1.25 x - 7.125

C

1 _{(x,y) : y t -0.8 x + 18.5}

Fig.12 Contrainte d'inégalités par mor eaux: as extérieur ohérent

dansle as d'inégalités, 'est l'utilisationdela pro é-dure de propagation des états. Nous proposons plu-sieursrèglesdepropagationd'information,fon tiondu niveau d'information initial ou de la ouleur initiale desn÷udsquiinformentleursvoisins.Lapropagation sefaituniquementàpartirdesn÷udsunitairesF ron-tières,Blan souNoirs.

Pour illustrer ette pro édure de propagation par voisinage, nous utilisons l'exemple pré édent du lo-sange pour les deux as : intérieur ohérent (Figure 11)et extérieur ohérent (Figure12).Les QuadTrees naux avant propagation sontillustrés parla Figure 13pourle asintérieur ohérentet laFigure 14pour le asextérieur ohérent.

(9)

F

SI

V

16 D

x

D

y

SI

V

SI

16

0 SI

SI

V

SI

V

F

V V

SI SF

SF SI

V V

V SF

V SI

F

SI V

SF V

F

Fig.13QuadTreenal avantpropagation : as in-térieur ohérent

F

SI

V

16 D

x

D

y

SI

V

SI

16 SI

SI

V

SI

V

F

V V

SI SF

SF SI

V V

V SF

V SI

F

SI V

SF V

F

0

Fig.14QuadTree nalavantpropagation: as ex-térieur ohérent

Propagationdes n÷uds unitairesFrontières: les domainesde es n÷uds sont traversés par unet unseulmor eau.Ilspeuventalorsindiqueràleurs voisins n÷uds unitaires sous-informés et n÷uds unitairesvidess'ilssetrouventdubonoudu mau-vais té de la frontière dénie par le mor eau. Ce iestréaliséenvériantsilesdomainesde dé-nition de haque n÷ud voisin vérient le mor- eau de la ontrainte. Si tel est le as, le n÷ud unitaire (sous-informé ou vide) est ohérent et devient Blan omme illustré par le passage de laFigure 14 àlaFigure 16dans le asde l'exté-rieur ohérent,ets'ilestin ohérentildevientNoir ommeillustréparlepassagedelaFigure13àla Figure15dansle asdel'intérieur ohérent.

F

SI

V

16 D

x

D

y

SI

V

SI

16 SI

SI

V

SI

V

F

V V

SF

V V

V SF

V

F

V

SF V

F

0

Fig.15QuadTreeaprèspropagationdesn÷uds uni-tairesFrontières: asdel'intérieur ohérent

F

SI

V

16 D

x

D

y

SI

V

SI

16 SI

SI

V

SI

V

F

V V

SF

V V

V SF

V

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V

SF V

F

0

Fig.16QuadTreeaprèspropagationdesn÷uds uni-tairesFrontières: asdel'extérieur ohérent

n÷uds unitaires sont in onsistants ave la ontrainte.Ilspropagentalors ettein onsistan e à leurs n÷uds unitairesvoisins sous-informés et vides qui deviennent alors Noirs. Cetterègle est illustréeparlepassagedelaFigure15àlaFigure 17dansle asdel'intérieur ohérent.

Propagation des n÷uds unitaires Blan s : les n÷uds unitaires Blan s sont des n÷uds onsis-tants.Ilspropagentalors ette onsistan eàleurs n÷uds unitaires voisins sous-informés et vides n'ayant au un voisin Noir. En eet, onsidérant queleNoirdomineleBlan ,siunn÷udunitaire sous-informé ou vide a au moins un n÷ud uni-taire voisin Noir, alors il devient aussiNoir. La règle depropagation desn÷uds unitairesBlan s est illustrée par le passage de la Figure 16 à la

(10)

F

16 D

x

D

y

16 F

F

SF

F

SF

F

0

Fig.17QuadTreeaprèspropagationdesn÷uds uni-tairesNoirsetBlan s : asdel'intéieur ohérent

F

16 D

x

D

y

16 F

F

SF

F

SF

F

0

Fig.18QuadTreeaprèspropagationdesn÷uds uni-tairesBlan s etNoirs: asdel'extérieur ohérent

règles de oloration des n÷uds unitaires Fron-tièresetSur-frontières:larèglede olorationdes n÷uds unitaires Frontières ou Sur-frontières est équivalente à la règle de oloration des n÷uds unitairesGris des QuadTrees proposéspar Sam-Haroud.A edernierniveaudel'arbre,lesn÷uds unitaires Frontières ouSur-frontières deviennent soit Blan s s'il l'on interditde perdre des points onsistants, ou Noirs s'il l'on interdit de garder des points in onsistants. Cetterègle est illustrée parlepassagedelaFigure17àlaFigure19dans le asdel'intérieur ohérentetparlepassagedela Figure18àlaFigure20dansle asdel'extérieur ohérent.

A la nde l'appli ationde esrègles depropagation des états des n÷uds par voisinage, le QuadTree

-16

D

x

D

y

16

0

Fig.19 QuadTreeaprès oloration desn÷uds uni-taires Frontières et sur-frontières : as de l'intérieur ohérent

16 D

x

D

y

16

0

Fig.20 QuadTreeaprès oloration desn÷uds uni-taires Frontières et sur-frontières : as de l'extérieur ohérent

( onsistants) et des n÷uds unitaires Noirs (in onsis-tants).Ensuite,silesquatren÷uds unitaireslsd'un n÷ud père sont de même ouleur (Blan s ou Noirs) alors en÷udpèredevientunn÷udunitairedemême ouleur(Blan ouNoir) enabsorbantsesquatrels. Les QuadTrees naux pour les exemples pré édents sontillustrés respe tivementpar laFigure21 pourle asdel'intérieur ohérentdulosangeet parlaFigure 22pourle asdel'extérieur ohérentdulosange.

Lorsqu'il y a plusieurs ontraintes ontinues bi-naires, le QuadTree représentantla ontrainte totale est onstruit par l'interse tion des QuadTrees naux enutilisantlemêmemé anismedefusionproposépar

(11)

16 D

x

D

y

16

0

Fig.21QuadTreenal: asdel'intérieur ohérent

16 D

x

D

y

16

0

Fig.22QuadTreenal: asdel'extérieur ohérent

4 Con lusion

L'obje tif de ette ommuni ationétait de présen-ter une extension de la méthode desQuadTrees per-mettantdetraiterdes ontraintes ontinuesexprimées souslaformedefon tionsdéniesparmor eaux.

Les méthodes de ltrage basées sur les QuadTrees proposéespar Haroud [10℄ permettent de prendre en ompte plusieurs types de ontraintes ontinues. Un desin onvénientsde etteméthodeestqu'ellene per-met pas de traiter les ontraintes ontinues s'expri-mant par des fon tions par mor eaux. Nous avons introduit une typologie de e type de ontraintes et avonsposé quelqueshypothèsessurleursformes.

Pour prendre en ompte e type de ontraintes et enplusdesdeuxétatsdesn÷udsdel'arbre(Blan et Noir), nous avonsproposé d'introduire quatre autres

d'informations qu'ils ontiennent : les n÷uds vides d'information, les n÷uds sous-informés, les n÷uds frontières et lesn÷uds sur-frontières. Ayant identié des diéren es entre les ontraintes dénies par des égalités et des ontraintes dénies par des inégalités, nous avonsproposé une méthodede propagation par voisinage des zones déjà identiées omme Blan ou Noirsurlesautresn÷uds.

Pourprendre en ompte plusieurs ontraintes dé-niesounonparmor eauxetquiportentsurlesmêmes variables, nous utilisons un mé anisme de fusion des QuadTrees proposé par Sam-Haroud [10℄. Nous tra-vaillonsa tuellement surune méthode defusion pro-gressivedesQuadTreespermettantde ouperauplus tt des bran hesin onsistantes des QuadTrees avant d'atteindre les pas de dis rétisation. Cette méthode doits'appuyersuruneextensiondeladénitiondela relationd'ordreentrelesdiérentsétatsdesn÷uds.

Référen es

[1℄ F.Benhamou,D. M AllesterandP.van Henten-ry k. CLP(intervals) revisited.in Pro eedings of the Int.Logi ProgrammingSymposium,1994 [2℄ E.Davis.Constraintpropagationwithinterval

la-bels.in Arti ialIntelligen e,32,1987

[3℄ R. Debruyne and C. Bessière. Domain Filtering Consisten ies. Journal of Arti ial Intelligen e Resear h,14:205230,2001

[4℄ F.Delobel.Résolution de ontraintesréellesnon linéaires.Thèse de do torat, Universitéde Ni e -Sophia Antipolis, Fran e,2000

[5℄ B. Faltings. Ar onsisten y for ontinuous va-riables.inArti ialIntelligen e,65(2), 1994 [6℄ O. Lhomme. Consisten y te hniques for

nume-ri CSPs.inPro eedingsofthe13thInternational Joint Conferen eonAI,1997

[7℄ O.LhommeandM.Rueher.Appli ationdes te h-niquesCSPauraisonnementsurlesintervalles.in Revued'IA,11(3):283311,1997

[8℄ U. Montanari. Networks of onstraints : funda-mentalpropertiesandappli ationstopi ture pro- essing. Information s ien es,7:95-132,1974. in Inform. S ie,7:95132,1974

[9℄ R.E.Moore.IntervalAnalysis.Prenti eHall, En-glewoodClis,NJ,1966

[10℄ D. Sam-Haroud. Constraint Consisten y T e h-niques for Continuous Domains. PhD Thesis, EPFL Lausanne,Suisse, 1995

[11℄ E.Vareilles,M.Aldanondo,K.Hadj-Hamouand P. Gaborit.Appli ation desCSP pour la ong. d'untraitementthermique.JFPLC,Angers,2004