Théorème de Cayley
Samuel Rochetin
Dimanche 29 mai 2016
Problème. Soit (G, ×) un groupe fini à n éléments. Le but de cet exercice est de démontrer un théorème de Cayley énonçant que (G, ×) est isomorphe à un sous-groupe de (Sn, ◦).
1. Montrer que pour tout x ∈ G fixé, l’application fx : G → G définie par
y 7→ xy est une permutation de G.
2. La question précédente nous permet de définir une application ϕ : (G, ×) → (Sn, ◦) par x 7→ fx. Montrer que ϕ est un morphisme de groupes.
3. Montrer que ϕ est injectif.
4. En déduire qu’il existe un sous-groupe de (Sn, ◦) isomorphe à (G, ×).
Corrigé. 1. fx◦ fx−1 = fx−1◦ fx= IdG et G est fini à n éléments, donc fx
est une permutation de G.
2. ∀(x, x0) ∈ G2, ϕ(xx0) = fxx0 = fx ◦ fx0 = ϕ(x) ◦ ϕ(x0) donc ϕ est un
morphisme de groupes.
3. ϕ(x) = IdSn ⇐⇒ ∀y ∈ G, xy = y ⇐⇒ x = IdG en multipliant à droite
par y−1. ker ϕ = {IdG} donc ϕ est injectif.
4. ϕ est un morphisme de groupes, donc d’après le cours, (ϕ(G), ◦) est un sous-groupe de (Sn, ◦). Or, ϕ est surjectif de (G, ×) sur (ϕ(G), ◦), et
d’après la question précédente, ϕ est injectif. Donc ϕ est un isomorphisme de (G, ×) sur (ϕ(G), ◦). Il existe donc bien un sous-groupe de (Sn, ◦)
