La fiche du cours

Suites et séries de fonctions

Principe du recouvrement

Si f est continue (respectivement dérivable ou de classeCp) sur tout segment de I alors f est continue (respectivement dérivable ou de classeCp) sur I.

Suites de fonctions

– (fn) convergesimplement vers f sur I lorsque pour tout x ∈ I, la suite (fn(x)) converge vers f (x). – (fn) convergeuniformément vers f sur I lorsque lim_n→+∞kfn−f k∞_,I= 0. La CVU entraîne la CVS.

Continuité, dérivabilité

• Si pour tout n ∈ N, fnest continue sur I et si (fn) converge uniformément vers f sur I alors f est continue sur I.

• Si pour tout n ∈ N, fnest de classeC1sur I, si (fn) converge simplement vers f sur I et si (f

0

n) converge uniformément vers g sur I alors f est de classeC1sur I et f0= g.

Intégration

• Si pour tout n ∈ N fnest continue et si (fn) converge uniformément vers f sur [a, b] alors lim_n→+∞ Z b a fn(t) dt = Zb a f (t) dt.

• Théorème de convergence dominée. On suppose que : (i) pour tout n ∈ N, fnestCpm0 sur I ;

(ii) (fn) converge simplement sur I vers une fonction f Cpm0 ;

(iii) il existe une fonction φCpm0 et intégrable sur I telle que pour tout n ∈ N, |fn(t)| 6 φ(t).

Alors f est intégrable sur I et lim n→+∞ Z I fn(t) dt = Z I f (t) dt.

Séries de fonctions

– Xfnconvergesimplement sur I lorsque pour tout x ∈ I, la série X

fn(x) converge. – Xfnconvergeabsolument sur I lorsque pour tout x ∈ I, la série

X

|_{fn(x)| converge.} – Xfnconvergeuniformément sur I lorsque

X

fnconverge simplement et lim kRnk∞_,I= 0.

– Xfnconvergenormalement sur I lorsque la série X

k_fnk_{∞,Iconverge.}

Continuité, dérivabilité

• Si pour tout n ∈ N, fnest continue sur I et si X

fnconverge uniformément sur I, la somme S est continue sur I.

• Si pour tout n ∈ N, fnest de classeC1sur I, siXfnconverge simplement sur I et si X

fn0converge uniformément sur I alors la somme S est de classeC1sur I et S0=

+∞

X

n=0

f_n0.

• Si pour tout n ∈ N, fnest de classeCpsur I, si pour tout k ∈ ~0, p − 1Xfn(k)converge simplement sur I et si X

fn(p) converge uniformément sur I alors la somme S est de classeCpsur I et ∀k ∈ ~0, p, S(k)=

+∞

X

n=0

fn(k).

Intégration

• Si pour tout n ∈ N fnest continue et si X

fnconverge uniformément sur [a, b] alors

+∞ X n=0 Z b a fn(t) dt = Zb a +∞ X n=0 fn(t) dt.

• Théorème d’interversion somme / intégrale. On suppose que : (i) pour tout n ∈ N, fnestCpm0 et intégrable sur I ;

(ii) Xfnconverge simplement sur I, et sa somme estCpm0 ;

(iii) la série numériqueX Z

I

|_fn|_converge.

Alors la somme S est intégrable sur I et Z I +∞ X n=0 fn(t) dt = +∞ X n=0 Z I fn(t) dt.

• Méthode alternative. On applique le théorème de convergence dominée à la suite des restes (Rn) : On écrit Z I +∞ X k=0 fk(t) dt = n X k=0 Z I fk(t) dt + Z I