Inclusion de la condensation dans un modèle de couche limite

(j /

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\ \ "-,,---'0

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"

~NCLUS[ON

DE LA CONDENSATION DANS UN

MODELE DE

COUCHE LIMITE

by

A the.1. subm1tted to the Faculty of Graduate Studies and Research of McG1l1 University in partial fu1fllment of the requirements for the degree 'of Master of Scienl::t:.

Department of Heteorology

\

\Montr~al

.~

HcGill 'University September 1986

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"

o

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1'"

,

.

, " 1 ~

,

,

RESUME

On pr6sente une m~thode d'inclusion de la co.nvectlon re.treinte

"

("shallow convection") dans le modèle unidimensionnel de couche limite _, avec fermeture au premier ordre de MailhQt et Benoit (1982). Cette

méthode~ inspirée de Manton (1983). consiste à rehausser les coeffi-

_,..

cients de diffusion turbulente (K) dans la région où la pr~se~e de nuages est diagnostiquée. On montre qU'il faut modifier les variables thermodynamiques pour utiliser un ensemble qui demeure conaervatif lorsqu'il y a condensation: nous utilisons la "température potentielle de l'eau liquide" (Betta. 1973) et l'humidit~ sp~cifique totale. Avec ce nouvel ensemble. on peut inclure directement les nuages s~ratiforme.;

pour les cumulus. on ajoute une paramétrisation permettant de trouver leur étendue. leur base et leur sommet, en fonction de l~tat

thermodynamique de la colonne atmos~h~rique. On utilise ensuite ces données pour rehausser la diffusion turbulente.

On présente deux simulations. La première. BOMEX. montre

l'utilisation de notre schème de convection restreinte et prouve que le modèle simule bien la couche limite sous les aliz6s.

La

seconde. JASIN. montre que le modèle peut reconnaltre la structure "d~doubl~e" de la couche limite recouverte de stratocumulus.

o

o

\

--\ r

'-ABSTRACT

,

A lIethod allowing the inclueion of ehallow convection into the one-dimeneional, first-or~~r cloaure, boundary layer model of Mailhot and Benoit (1982) 1& presented. The method, based on Man ton (1983), worka by enhancing the turbulent diffusion coefficients (K) in the

region where cloud is diagnosed. It is shown that one must modify the thermodynamic variables in ordeY-to use a set that remains conservative under condensation: we use the "l1quid-water potential temperature" (Bette. 1973) and the total apecific humidity. With the new set of

----variablee, strat1!orm cloude can ~e directly included; for cumulus "le add a paramete'rization that allows the determination of cloud base,

\.

.

cloud top and cloud cover, 4a a funct10n of the thermodvnamic state of _,

_.

the air column. These data are then used to enhance turbulent

"

diffueion. • _\

Two simulations ~are presented. The first, BOMEX, shows the use of

1

our .hal10w.~convect1on schelle. and proves that the model aLmulates well the trade-wind boundary layer. The second one, JASIN, shows that the aodel c.~ recognize the dual structure of the stratocumulu8-~overed boundary layer.

,

--...;'

-o

"-o

REMERCIEMENTS

Je voudrat. tout d'abord remercier sinc~relllent mon directeur de

"\

th~se, Robert Benai t . de la Division de Recherche en Pr~vision Num~rique (RPN) du SEA, pour ses conseils profitables au long de ce travail.

J'adresse également de sinc~res remj!rciements à mon co-directeur de recherche. Jocelyn Mallhot. aussi de RPN. pour ses conseil. et son aide • . principa111".tft@nt èn ce qui concerne la programration des di fférents

7"":" •

modules informatiques nécessités par ce modèle. Je remercie aus.i la

.

,

dir:ection et le person~ de' t(PN pour m'avoir permis d'utiliser les

"

facilités informatiques et techniques-de la

d1~s\on.

et pour leurs conseils qui ont permis de mener à bien cette recherche.

J'adresse de plus de

s}.nc,~s

remerciements aux

respon.a~le.

des congés d'étude du SEA pour m'avoir accordé, puis prolongé, ce congé avec soutien financier. J'adresse des remerciements particuliers A Neil Park.er, chef de service intérimaire du Arctic Weather Centre (Edmonton. Alberta) en 1984, pour l'aide ~xceptlonnelle qu'il m'. prod18u~e lors de

1

la demande de ce congé.

J'adresse finalelllent des remerciements à lIIes compagnons de bureau successUs; Pierre Dionne et Bnace Brasnett. pour leur encourage.ent pendant la dur~e de cette recherche.

\,.

(]

'.

--o

...

,

.. "" .

TABLE

MAlIERES

-RESUME.

...

,

.

• • • • 1 • • '", ABSTRACT.

...

REMERCIEMENTS

..

TABLE' DES MATIERES • • • • • • • • -..-~ •••

LISTE DES TABLES

--

. . ....

LISTE DES FIGURES

1 NTRODI,JCTI Of\' •

CHAPITRE 1 LE MODELE DE COUCHE LIMITE AVEC CONDENSATION • • • • • • • • • •

1.1 Pourquoi de nouvelles variables thermodynam1ques?.

1 ...2..-Les ~quations de base ••

1.3

Fermeture ••••••••••••

Equation pour l'énergie cin~tique turbulente •• Longueur de m~lange.... • ••••

1.4 1.5

1.6 Conditions aux limites.

..

.

.

.

. .

.

.

,

... .

CHAPITRE 2 CONVECTION RESTREINTE ET ENERGIE TURBULENTE.

2.1

Production thermique d'énergie turbulente ----ie!t- condenlat ion ••••••••••••••

2.2

'" 2.3

~

La pal'am6trisation des cumulus •••

Incorporation au modèle •••••••

...

CHAPITRE 3 SIMULATION 1:

...

3.1

3.2

3.3 Lei variables Nuages: 6tendue et Turbulence •••••• lei) moyennes. uvertUl'e ••••

.

.

. . .

.

. .

•

CHAPITRE 4 SIMULATION 2: JASIN • • • • • • • • 1

...

4.1

4.2.

4.3

Lei Jal'iables de base •• , •• Oblervations .uppl~mentail'e8 Turbulence. • • •••••••

...

. .

page '11 Ui iv v vii viii 6 6 10 16 20 26 28 30 31

35

43 48 51 66 73 88 95 104 107

-o

o

o

-

•

•

pag-CONCLUSION

.

.

...

.

.

.

. .

. ...

() ~

... . . .

. .

.

. .

APPENDICE 1 \ Passage des variable.

eL.

et q"" aux

variables

e.

q et qC/ •••••••••••••• , ••• , r, • • •• 131 APPENDICE J.I Terme de pr~c:ip1tation dan.

1 '''quat ion therMOdynalliq~e •••• , ••••• , •••• , •••

o.

133 APPENDICE III R~solution de 1 t 6quatlon dt entralnement •••.••• ,,0 • • 137

BIBLIOGRAPHIE. 141

..

- - ">: ~- . _-';"

-o

LISTE' DES TABLES

page 3 •. 1 Niveaux ~ ellplo~y'. lors de la 81l11ulat1on BOMEX 51

4.1

Niveaux ~ employf. lors de la .imulation JASIN 91

\.

,

"

--o

2.1 3.1 3.2 3.3 '3.4 3.5

0

3. ()" 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 ,3.13 3.14

o

LISTE DES FIGURES

6

Repr~8entation .ch~matique de la 8imulation des cumulus

Vent horizontal (compo8ante u)

"-a) mod~le sec b) mod~le avec cumulu8

Vent horizontal (composante v)

a) modèle 'sec • b) mod~le avec C'umulus

S~r1es temporelles

a)

e

(modèle sec)' b)

~L.. (mod~le

avec cumulus) a)Profils de

Q

(modèle sec)

b)Profils de e~ (modèle avec cumulus)

--S~r1es tempor~lles

a) q (mod~le sec) b) qw(mod~le avec cumulus) a) Profils de q (modèle sec)

b) Profils de qw(modèle avec cumulus)

Mod~le sans condensation et avec restriction sur h

a) Temp~rature potentielle b) Humidit~ spécifique

A..J

Contenu en eau liquide du nuage simul~ (q~)

Evolution temporelle de la couverture nuageuse

,

-'-a) P~fils de l'~nergie cin~ti~ue turbulente

b) Bilan d'énergie cinétique turbulente'

Longue~r

1e

m~lan8e

a) mOdè~eJ sec

Flux d~ 9Uantité de mouvement

b) mod~le avec cumulus

a) modè"t'"e sec - b) modèle aveç cumulu8 Profi1.1L1 de

§~w'

(modèle avec cumulus)

Profils de q~i (mo~le avec cumulus)

page 36 B ~4 H ~8 6~ 62 67 68 72

n

79

~2

, 84

,

8~

"',

,

.

l'

.

-:'

"

,

.

o

•

"'r:\ 1fi -ÔL ;. " " )

')

/

4.1 Vent horizontal (JASIN)

a) compo.ante est (u) b) composante nord (v)

4.2 Profils de

~L.

4.3 Profil. de qw 4.4 a) Profil. de

&

b) Pro fi 1& de

qe

4.5 Mod~le san. condensation

a)temp~rature

.

potentielle b)humidité spécifique

4.6 Profils de l'~nergie cinétique turbulente 4.7 8ilan d'énergie cinétique turbulente

(notre modUe)

4.8 Bilan d'énergie cinétique turbulente

(mod~le de Bougeault. 1985)

4.9 Profils de la longueur de mélange 4.10 Flu~e quantité de mouvement

a) u'w'

h}

v'w'

4. Il Profils de

&

_...

_'w'

-4. 12 Prof ils de

ct;,w'

..

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-,"

-

"

ix

\

page 97 99 102 105 108 :J. 110 112 113

r '

'-,--Il ï 119 121'/ 123

o

o

,-'," (-;--~

-

..

, "

INTRODUCTION

,

,

,

Au cours des dernières ann~es, i,l fut remarqu~ (Hanton, 1983; Tiedtke, 1981) que les modêles num~riques prévoient de façon

~atiafai-sante le transport vertical de chaleur et d'humidité dans la couche limite atmosphérique (CLA) claire, de même que celui effectué par la convéétion profonde (engendrant des cumulus congestus ou des cumulonim-bus).o Cependant, il semble maintenant qu'u~ ou des schèmes spécifiques

-

.

sont nécessaires pour bien décrire la CLA en présence de nuages de faible extension verticale. dans laquelle le transport vertical de chaleur et d'humidité est amplifié par les cumulus ou stratocumulus minces qui en pénètrent le sommet: c'est le problème de la "convection

restreinte". On entend par cette dernière expression un ,processus convectif donnant 1 ieu à la formation de nuages de faible extet.sion

,.

verticale, généralement non-précip1tants.

Dans le but de remédier quelque peu à ce problème. différentes formulations ont été suggérées af1n~e tenir davantage c~m~te de la pr6sence de nuages minces. La description

d'~neLtelle

formulation, {npirée des travaux de Manton (1983), et son incorporation dans un ('--modèle unidimensionnel (aussi appelé"'modèle colonne) de couche limite ~ (Mailhot et Benoit, 1982), forment l'essentiel du présent travail.

Par nuages minces, on pense particulièrement 'aux cumulu~ dits "de

beau temps" ou aux .tratoculDulus , ce. nuages bas "en rouleaux"

~

fréque . . ent observables à no. latitudes, surtout Bur le flanc arr1~re

,"

c'

r

,~ ~

f

2

de8 8yst~me8 d~pre8sionnaire8. Comme ce8 nuages couvrent parfois des

zones êtendues, leurs -effets sur l'état de l'atmosphère peuvent être considérables. Par exemple, les stratocumulus influencent grandement le budget radiatif de la r~gion au-dessus de laquelle ils se trouvent: ils rêflêchi . . ent une bonne proportion du rayonnement solaire (jusqu

'}\!Oi.

i Sellers, 1965), et en absorbent également une partie

non-nêgl~ble.

De plus, ilè sont auss'i.responsables de l'''effet de serre". i.e. ils rêduisent le refroidi ssement nocturne de la surface au-dessus de

-...

.

- -

~-",,/

/laquelle on les trouve. Ce dernier effet a un corroi lai re qui s'avère

pa~ticulièrement important dans le cadre de ce travail: la forte

êmission de rayonnement infrarouge par le sommet de ces nuages (qUl

permet de les distinguer sur des photos satellitaires nocturnes, par exemple) crée une mince zone (environ 20 mètres) de très fort

refroidissement (plus de ISO K/jour selon 5lingo et a1., 1982) da à la

1 ,.

divergence du flux radiatif infrarouge. _{Cet te zone agit comme un} "

1

"\

gêné~ateur de turbulence, car, en tout temps, l'air de cet endroit te~ A avoir une température potentielle virtuelle infêr1eure à celle de l'air situê sous lui, causant ainsi du brassage turbulent dans la couche nuageuse: l'ai r refroidi au sommet, plus dense. cherche à "couler" sous l'air plus léger du reste du n~age. Ceci favorise, dans la

couche-nuageuse, un flux ascendant de chaleur et d'humidité.

1 /

Bien entendu, comme cette turbulence affecte une couche nuageuse, il sly produit de la condensation et de l'êvaporationi par rapport à la turbulence tl8~chetl, il y a donc une distinction très importante.

_.,

Comme tous le .avent, la condensation résulte en un dégagement de chaleur latente (et inversement pour ll~vaporation). Cette source de chaleur rev6t une importance consid~rable pour la gén~ration de turbulence.

o

o

o

3

Une façon relativement simple de tenir compte des changements de phase de l'eau c,onsiste à modifier les variables thermodynamiques du modèle, de façon à s'assurer que la diffusion s'op~re sur des variable. conservatives. De'

e

(tempér.ature potentielle) et q (humidité spécifi-que), variables conservatives pour la diffusion sans changement de phase, nous passons à

~\.. (~eIllPérature

potentielle de l'eau\liqUide

'\

(,

'\

--tlliqw.i.d water potential temperature tl ). variable introduite par Betta (1973), et à qlN (humidité spécifique totalfF, i.e. incluant l'eau liquide

s'il y a lieu). L'utilisation de ces nouvelles variables permet d' évi ter les problèmes associés avec les termes sources et pui ts dans

les équations de diffusion.

On constate aussi que, dansle cas d'une atmosphèrE' saturée, le (Jux de chaleur est modif ié, ce qui, bien sOr, se répercute sur la production d'énergie turbulente. Ain"'!. pOl1r que le modàle donne des

., "

résultats réalistes. on doit être en mesure d'accentuer la diffusion turbulente (par rapport au comportement d'un modàle sans condensation) dans la couche nuageuse, afin de tenir compte des changements de phase. Apràs avoir présenté notre modèle (chapitre 1), nQus décrirons les modifications effectuées à cette fin au chapitre 2.

, D'autre part. un modèle de couche limite avec condensation serait inco.plet sana une paramétrisation de la convection restreinte n'engen-drant qu'une couverture partielle du ciel. En e,ffet, en pareil cas, la présence d' ~léments nuageux ne sera probablement pas détectable par simple examen des variables de grande échelle.

,

Bien que. dans l'ensemble, ils ne produisent que des quantité •

.,

négligeables de précipitations, on sait maintenant que les petit.

4

CUMulus (dits "~e beau temps") jouent un rôle significatif dans

l'atmosph~re. Premi~rement. comme les gouttelettes de nuage absorbent

et r~fl~chissent le rayonnement (infrarouge autant que visible). les

cumulus causent une modification dans la distribution des sources et puits "ra'CIiatifs; ë-eci peut affecter la dynamique interne de l ' at1llosphè-rel tout comme les conditions de la surface. Donc. la pr~Qision des bilans radiatifs exige une estimation de la couverture nuageuse.

\;

Deuxièmement. tout comme les stratocumulus, les cumulus accentuent la convection dans' la couche limite. en favorisant le transport

turbulent de chaleur et d'humidit~ sur une couche plus épaisse qu'on n\ l'aurait sans leur présence. La condensat1on permet à des parcelles d'air de la couche limi te (les "thermiques") de monter plus haut dans l'atmosphère. accentuant ainsi les ~changes de masse et d'énergie entre la CLA et la couche située immédiatement au-dessus. dans laquelle seuls

,

les sommets des thermiques satur~s peuvent pénétrer.

Un deuxième aspect de cette ~tude consistera à modeler cet effet •

...

Pour ce faire. on emploie un schème permettant d'identifier de façon diagnostique une couche nuageuse ainsi que son étendue. Nous ajoutons , par la suite cette information au modèle de couche limite (présenté au chapitre 1). afin de modelet la g~nération suppl~~~~taire de turbulence

r due A la pr~sence de cumulus. Ce schème sera explicité au chapitre 2 •

.

Il faut toutefois préCiser immédiatement que ce schème. bien qU'il fa.se appel A une simulation des profils des cumulus~ ne fait pas

intervenir de moyenne directe entre les profils nuageux et environnemen-f

taux. l la maniè.e des schèmes de turbulence claire qui, bien que tenant

•

COMpte 'des to~lA!l. turbulents ("turbulent eddies"), ne cherchent pas

r

1

\

5

o

A faire de moyenne directe entre ces tourbillons et l'environnement. Le but de la paramétrisation implantée dans ce mod~le est uniquement l'estimation de l'effet des nuages sur la génération de

• r

turbulence, et ce, sur une échelle horizontale comparable A celle employée dans les mod~les de prévisions météorologiques (environ 200 km). Dans le modèle, la turbulence est fonction des variables de grande

, <

échelle (dites "globales"~ voir la section 2.2), sur lesquelles hn travaille. Ultimement, ce n'est que par le biais"des coefficients de diffusion que la paramétrisation des cumulus agit en permettant

d'appliquer une "fonction de rehaussement" sur ces coefficients pour, finalement, accentuer la diffusion turbulente là où lion croit probable

J

la présence de cumulus.

o

La paramétrisation des cumulus et son incorporation dans le modèle seront décrites au chapitre 2 •

•

o

o

.~

8

CHAPITRE 1

LE MODBLE DE COUCHE LIMITE AVBC CONDBNSATION

Le mod~le expos~ ici est fondamentalement une extension aux cas

avec changements de phase du mod~le unidimensionnel de couche limite de

.

Mailhot (1980, à l'avenir désigné par M80), avec toutefois quelques modifications qui s'y sont ajoutées depuis sa ~onception. Depuis la publication d'une version légèrement modifiée par Mail~ot et Benoit (1982, à l'avenir d~si8n~ par MB82), ce modèle a continué d'évoluer et const itue maintenant la base du bloc de "physique" du modèle régional aux éléments finis (gén~ra~ement représenté par le sigle EFR) utilis~ sur une base opérationnelle au Centre.Météorologique Canadien (Dorval,

)

Québec). Les modifications affectant le présent modèle sont è-xpodes plus loin dans ce chapitre.

\

1.1 Pourguoi de nouvelles variables thermodynamiques?

•

, Ce changement est ':motivé par la nature même du problème étudié

' l

ici, A savoir la po.sibilité de changements de phase. En.èffet, on constate qu'A cause de ces changements de phase, l~s variables

therllOdynallliques

e

(température potentielle) et q (humidité

spécifi-.

que), utilisées pour la dif~fusion dan. les modèles sans condensation

(e.g. NB82) ne sont plu. conservatives dan. les cas qui nous intére •• ent ...

ici.

o

0

o

.'

"

<.

Afin de pallier l cette difficult6, il s'e.t avfrf n6ce •• aire de

o

..

f~ire le changement de variables thermodynamiques suivant: au lieu'de

S

et q, nouv utilisons maintenant les variable.

&\.

(temp6rature

1

potentielle de l'eau liquide) et qw (humidit6 sp6cifique totale). Ce. ' . nouvelles variables sont reli6es aux anciennes par ~e~ ~quation.

suivantes:

(1.1.1)

"

où

e

est la température potent ielle, T est la temp6ratû"~e, L, la chal~ur latente d'évaporation. cp' la capacité thermique à pression constante de l'air sec, et

qw -Cl (1.1.2a)

si l'air n'est \ a . satur6

,

,. v'

ou _{qW-qSltT+ qe.} (l.1.2b)

si l'air est saturé.

Ici ~ qc. représente 1'h fraction massique de l' eàu liqui~e. déf inie "par

(1.1.3)

où qs~. repr~nte l'humidité spécifique (vapeur) à saturation, qui est une fonction de la température et de la pre.sion, et H e.t la fonction

é~helon

de Heaviside'. Physiquement. on peut décrire

~

cqrnme étant la

, ,

température qu'une parcelle d'air aurait 8i elle 6t~it ram~n~e

adia~ati-, '

quement à une pression de 1000 mb (100 k.Pa) , tout en évaporant 1 \eau

.'

•

liquide qu'elle contient. mais sans que de l',eau liquide ne lui .oit "

, 1 i

ajoutée

ou

enlevee.

L'utilit6 de ce changement a été 80uligr.ée par pl,udeur. auteur'i'

_,

\

.

qui les.ont utilisées dans leurs .ad.les; citons, par exe.ple, So . . eria ,,' et Deardorff (1977), Bougeault (1981a et b, 1982 et 1985) et Manton

..

~~ ',' "

.-" _" ," " f'

.

t t "

'ô

o

~--•

8

(1978 et 19,82).

En po.ant le. 6quation. (i.l.l) et (1.1;2), nous avons implicite-\

.ent fait le. hypoth~.e • • ulvante't te~le. que mentionnées par Betta

(1973). Deardorff (1976) et Hanton-(1978):

1)

Il Y a conden.ation au •• itOt que l'humidité sp~cifique dépasse la

-valeur de .aturation. (hypoth~se en accord avec les observations qui démontrent que l 'humidité relative dans les nuages ne dépasse que de trch peu 100%).

2) L'eau liquide est transportée par les parcelles d'air (ce qui

.ignifie qu'on néglige la vitesse terminale de chute de!,' gouttelettes) et a la

me

me température qu'elles.

3) Il n' y ft pas de pr6cipitation, mais une paramétrisation de la pluie

(ou bruine) peut !tre incluse au besoin; ceci demande toutefois que l'on ajoute un, terme .ource/puits dans les équation. appropriées pour

Qi.

et

q.,. Cependant, dan. leo oimulation. que noue avons effectué •• , leo

~.

contenu. en eau liquide n'ont jamais été a.sez élevés pour qu'il y, ait 0 conver.ion gouttelettes de nuage-go~ttes de plUie, comme on le verra aux

'"

chapitre. 3 et 4. Il ne fut donc pas néce.saire d'ajouter cette

..

4) Seule. les pha~e. gazeu.e et liquide pe l'eau sont présentes (i.e. il de

~~ngé1atiOn

ni de,

.~~lilll4t-iOn).

Cette

hypoth~se

restrein1

n' y ft pa!l

l'application de ce 1IIOd~le A de. nuages .an. glace. Notons toutefoi. que Deardorff

(1976)

.ugg~re une fa90n d'élargir le sy.t~.e

A

_..,.

trois pha.e ••

o

o

o

-'

9

(

S) (L/ciT)

ne varie que

tr~.

peu en comparai.on de

q~.

Examinons maintenant quelques avantages r6sultant du choix

cAs.

nouvelles variables.

8ignal~8

par Deardorff (1976) et Sommeria et

Deardorff (1977):

1) Un schème numérique conservatif qui pr6serve correctement les valeur.

moyennes et les variances de

ê

et q fera de

m~me pour

eL.,

et qw • meme

s'il y a changement de phase.

2) Il n'y a pas de sursaturation survenant pendant un pas de temps

donn~;

la sursaturation est: diagnostiquée

à

la fin ,du 'pas de temp., ,s' 11

y a lieu. Ceci permet le relâchement de la quantité exacte de chaleur

-- latente afin que l'air soit: tout juste saturé

à

la nouvelle température

calculée.

(Nous utilisons

à

cette fin le schème proposé par Langlois •

_.,.

1973; voir la

d~marche à

l'appendice 1.)

3~

Il n'est pas nécessaire. au niveau des équations thermodynamiques. de

déterminer si un point de grille peut n'être saturé que partiellement.

même s1 l'on calcule une humidité relative proche de

100%.

1

4) Lors du traitement des flux des 6chelles non-r6801ues. on peut

6tablir une

ordre) sans

relation de

fermetur~

en

-KT.(~)(fermeture

au pre.ier

les incertitudes a.soc16e8 A la possible

lib~rat10n

de

,

chaleur latente aux échelles non-r6so1ues.

Ceci

~vite

6galement les

complications près des frontières des

n~ages

(base et sommet notamment).

oà la diffu8ion 8'accompagne de change.ente de phase.

S)

Par rapport A la température potentielle équivalente (

ee).

&1.

a

1

ï

avantage d

t

~tre

ident ique A

~

si 1

t

ai r n'est pas

satur~.

Q

o

•

...

,.

...

,-. ·-r·~ ~. ~ \

-10

6) Il n'est pas n'ceua1re de conserver les valeurs de qc. entre les pas

de temps, 'conoM1sant ainsi un peu d'espace d'ordinateur.

/ /

/ /

. /

7) Il e.t d'montr' par Manton (1978) que

~L es~/~(;lement

la variable

/ . /

d'pendante na.turelle dans

i'~quation

deccoJHtê'rvation de l'6nergie

. /

/

the rlIIOdynaml que.

Avant de passer aux équations de base du modèle, il convient de

ligna1er que

m~me

s1 un schème de diffusion a, un comportement similaire

avec le. nouvelles variables qu'avec les anciennes, cela ne signifie

nullement qu'aucune expression ne sera modifiée, comme nous le verrons

plus loin.

En particulier, la forme du terme de

production-~ermique

d'~nergie

turbulente sera fortement affectée, par le changement de

variable.

1.2 Les 'guations de base

Les 'quations de

bas~

s'inspirent des équations primitives en

c:oordonn6es sigma utilisées dans le modèle EFR (voir par exemp,le

yPudykiewicz et al. ,1985,

A

l'avenir P85) ramenées bien entendu

à

une

1...-di.ension.

L'unique dimension a pour effet que, dans un modèle colonne.

on ne peut pas consid6rer les variations temporelles ou spatiales du

champ de.pres.ion, ni le. termes d'advection,

à

moins de les imposer de

,façon externe ou

d'ut~er

des relations spéciales (comme celle du vent

thermique qui permet de trouver le gradient horizontal de température

_..

à

partir du profil du vent g'ostrophique).

Ega~ement,

comme mentionné

dan. l'introduction, d'autres .adifications aux 'quations r6sultent du

\

change.ent de variable.

thermodyna~iques. La

forme finale des 'quations

~

de base du MOdèle est donc pr6.ent'e ci-aprèsi les termes qui ne sont ni

o

o

o

",

,

calcul~s ni impos~s ne sont pas inclu ••

.

.

1.2.a) Approximations utilis~es dans le modèle

11

Le système d'~quations de base accepte les approximations usuelles

utilis~es en m~téorologie pour l'~volution des valeurs moyennes des

variables. Nous avons donc: 1) L'équation hydrostatique

(1.2.1)

o~ ~

est la densité (masse volumique) de l'air, g,

l'accél~rat1on

de la gravité, z, la hauteur et p, la pression;

2)

L'~quation d'état des gaz parfaits, applicable à l'air humide:

"

(1.2.2)

o~ Rez, est la constante des gaz de l'air sec et TV est la temp~rature

virtuelle applicable lorsque de l'eau liquide est pr~sente dans le système:

o~ R~ est la constante des gaz pour la vapeur d'eau, et

ç.

(R"/Ro.. -

1) - 0.608.

(1.2.3)

On définit

Qv'

la température potentielle virtuelle de la m~me façon, i.e.

\

9,,-

f)(l

+

r

q"

-(R"/Ro.)qe).

(1.2.4) .NouL~ouvons combiner (L.2.1) et 0.2.2) av~c l&4' .. lation <1-e

d~flnition

de la coordonnée

<t'

(û

.p/ps)'

afin d

'~tablir

les dérivée.

yerticales dan. l'espace géométrique et celle.-oans l'espace~. Nous

r

-/"

f

12

obtenons:

--

0.2.5)

d

-~1

Cette relation sera fr~que . . ent employ~e dans le mod~le.

Les ~qu~iOns suivantes seront pr~.ent6es en coordoon6es z car leurs diff~rents termes apparaissent plus clairement dans ce système. Cependant. l'emploi de (1.2.5) sera toujours sous-entendu •

•

1.2.b) Equation de conservation de la masse

Nous utilisons une approxim.tion de l'6quation de continuité vaUde si l'échelle vé'i"t.\cale du mouvement peut se comparer à l'échelle de hauteur de l'atmosph~re (Dutton et ~ichtl, 1969):

_,

o

\j.

(e

\V )

~

0

(1.2.'6)

Cette forme permet de tenir compte de l'expansion&ou de la contraction des parcelles se déplaçant à la verticale.

1.2.c) Equation'dynamigue du vent,

En appliquant la deuxi~me loi de Newton. tout en tenant compte des flux turbulents au .ayen de la d~composition de Reynolds et de

J l'application de la .ayenne a'ensemble, on obtient l'équation'suivante ;,

pour la vitesse horizontale:

,

•

o~ \V • (u.~) repr~.ente la valeur MOyenne du vecteur vent horizontal,

o

o

o

13

et \V' • (u',v'), la partie fluctuante; w, la vitesse verticale;

fi

est l'op'rateur gradient horizontal. Le dernier terme de (1.2.7)

repr'~nte

le forcing dO à la convergence du~flux turbulent de'quanti~~ d~

mouvement. Il doit sa forme à l'expression que nous avons adoptfe pour l"quation de continuité.

On suppose ici que la turbulence de petite fchelle est

éuffisam--

--

~

ment homogène pour pouvoir négliger les termes de diffusion horizontale i.e.

1

-

= \

-

o

C

e.

(l.2.8)

On a aussi supposé l'homogénéité horizontale du vent moyen en n'gligeant l'advection horizontale, car on ne dispose pas de méthode pour évaluer le gradient horizontal de \V.

-1.2.d) Equation de conservAtion de l'eau

>

A la différence de MB82 ou de P8S, cette équation est exprimée en termes ue l'humidité spécifique totale qw.q

+

q~ , o~ q repr'sente l'humidité spécifique de la vapeur d'eau, et ~ représente l'humidité spécifique de l'eau li4uide (définie comme étant la masse d'eau 'liquide .divis'e par la masse d'air humide).

Nous avons donc:

(l.~. 9)

o~

P

repr'.ente le taux de perte d'eau par pr'c1p1~tion, proee.su. qui

.

,

f

(>

o

•

14

retire l'eau du

8yat~me

(ou la

~ediatribue).

P eat une quantité

r

p08itive a'1l

y

a une perte d'eau;

i~

est négatif si.

à

un niveau. il

y

5

~

a plua d'évaporation que de formation de précipitation. Une

paramétri-satlôn pour ce terme a été publiée par Manton

(1983);

cependant, comme

on

l'.

déjà a1gnalé, il ne fut pas nécessaire d'inclure ce terme. aucune

de nos simulations n'ayant donné des contenus en eau liquide suffisants

pour former de la précipitation.

1.2.e)

Equation thermodynamique

Comme-mentionné plus tOto afin de tenir compte des processus de

condensation/évaporation, 11 est. nécessaire d'utiliser la "température

potentielle de l'eau 1 iquide" (désignée par

SL)'

introdui te par Bet ts

(1973), comme variable thermodynamique.

En l'absence de phase solide,

r-eL

eat une variable conservative. en autant que l'on puisse considérer

le rapport L/c, comme une constante en comparaison avec qG.

L'équation a donc cette forme:

\

(1.2.10)

oà.

Q~O

est le taux de r6chauffement_radiatif (Le": le taUx de

0

convergence du flux radiatif) et le terme

(S

IT)(LP/cp) est le taux de

réchauffe.ent dQ A la chaleur latente dégagée par la précipitation

emportée vera le bas; ce termè peut également représenter le taux de

refroidiesement par l'évaporation de précipitation provenant de niveaux

eupérieure.

La

for.e de ce ter . . est déMOntrée

à

l'appendice

II.

,

...

• -C . " J,.._~~ 1 . . . ,

; ,

,._.~

o

. Il faut d~s maintenant remarquer ~e notre mod~le n'a pa. de

routine permettant d'évaluer

QlAp.

Nous avons don~ dQ imposer ce terme de l'extérieur. (MB82 comporte un sch~me applicable au refroidt •• ement radiatif d'une couche limite claire; celui-ci n'est donc pa. applicable dans les cas qui nous int~re8sent.)

1.2.t) Vent géostrophigue

Grâce à la définition du vent géostrophique. on peut écrir~ la force de pres8ion sous la forme:

0.2.11)

On peut aussi tenir compte des effets de baroc1inie en imposant un

'0

'.

vent géostrophique variable dans la verticale. En utilisant la relation du "vent thermique", on obt~ent ainsi:

(1.2.12)

Il est, bien entendu, également tou~urs possible de .implement imposer la valeur du ter~e d'advection. si on la connalt. En fait, ceci permet d'éviter des problèmes reliés aux oscillation. inertielle. (due. à l'ajustement ~éostrophique qui, dans un mod~le colonne • • 'op~re .an.

redlltrlbution de la masse, vu qu'on n'a qu'un point ••• )j on en reparlera au chapitre 4.

o

o

•

o

~

16

1.3 Ferllleture

Comme dans MB82, la fermeture des équations du modèle repose sur "

.

l'hypoth~se de l'existence de coefficients de diffusion turbulente

(e.g. Sellers, 1965). On relie, par le biais d., ce's coefficl.ents, les

..

corrélations doubles (de type ~) aux gradie~ts des quantités moyennes. Les coeffic1..~t!Lde diffusivité sont ensuite r;eliés à

l'énergie tOrbulente déduite d'une ~quation pronôstique. )

Nous exposons ici brièvement les hypothèses de fermeture. Pour

~ plus de détails, particulièrement sur les termes calcul~s à l~alde du

sous-modèle de la couche de surface, on voudra bien se référer à MB82 ou à M80. (On n'a pas modifié le schème de couche de surface pour la

présente étude.)

1.3.a) Coefficients de d1ffus1v1té turbulente

De façon semblable à MB82, on écrit les flux turbulents sous la forme:

\V'

ur'

kM

UY

D!.

(1.3.1)

)t., )

\Y'

l

-Kr

l~

~

ur

-....

)1

(1.3.2)

•

,

₌

_{-~\(~ ~~\N}

D'"

\4T"

. oZ

(1.3.3)

Le terme

'1~ corr~.pond

à un 'gradient ve:rtical de température 1.posé pour perettre un flux "co,ntregrad1ent" de chaleur en conditions

o

"

./ J

o

o

de couche de surface instable, même 8i

~1:

est positif

e~

certains endroits de la colonne, en concordance avec l'es CQ~lu'sionll de

Deardorff; voir M80 pour plus de détllils.

Comme dans MB82. on a:

-o

si la couche de surface èst stable

(ev'w'\

<.

0) ~

si

e'w'\

_.,

_s

> o •

§,,'w'

repr~sente

le flux turbulent de

Bv

à la surface.

(1.3.4)

17

Dans les équations ci-haut, b est une constante de -l'ordre de 10, h est la hauteur de la couche Hmi te, et

w*

est l ' échelle de vi tesse

convective de la CLA. donn~e par:

(1.3.5)

Typiquement,

't~

est de l'ordre de 10-3 K.m-I

La relation (1.3.4) est valable dans la CLA claire. Comme on ne connatt pas la forme de ce terme dans la couche nuageuse. nous l'avons posé nul à cet endroi t •

Comme dans MB82, on utilise l'expression de Kolmogorov pour K,.,:

\( M. ::.

Cl.)

~

E

'h.,

_0.3.6)

~

-où E-(l/2)'L. u.,l est l'énergie cinétique turbulente,

À ,

l'échelle de

o ~:I ~

l~eur de la turbulence, généralement as.ociée A la .longueur de

o

,

,

l'instar de ....

~~

et

~~

""1,5est

d~termin~

au moyen du

sous-mod~le

de couche de surface, la mince couche analytique entre la (vraie) s rf ace

18

de la terre et le -niveau 4""'-1. premier niveau du modèle, p1ac~ à mètres "'

de hauteur dans nos simulations (ce ni veau est aussi appelé "ni

Egalement comme dans MB82. on pose que:~

,

et

(1.3.8)

où Pr représente le nombre de Prandtl, aussi détermin~ par le sous-modèle d~ couche de surface.

o

1. 3. b) Sous-modèle de couche de surface

)

La paramêtrisation de la couche de surface, dont on a besoin pOrur

,

déterminer les conditions à la limite inférieu~du mod~le, de même que les paramètres

i{"'J

et a, suit presque exactement celle décrite dans MB82 (ou. de façon plus dêtaillée dans M80, chapitre 2). La seule exception

concerne le calcul de la longueur de rugosité (z(» au-dessus des océans, qui utilise maintenant la

formu~ dit~

de Charnock. qui tient compte du .tresl exercé par le vent sur la surface de la mer, et des vagues

qu'

11 cause.

Voyons rapidement les principales caractéristiques de la couche de .urface de notre IDOdUe.

0,

o

o

19

1) Les propri~t~s de la surface ,(température, humidité de lurface et

..,..

humidit~ en profondeur) sont fixes au-dessus de la mer (où les temps de

réponse sont de l.:ordre du mois), mais peuvent varier au-dessus des continents; dans ce cas, on résout des' équations d'~volution pour

l' humidi té et la temp~rature' à la surface du sol. Celles-ci sont

résolues au moyen de la méthode "Force-Restorp".

2) Les flux de surface

(u~

•

w'~\!t

et

~'.N~)

sont reliés aux

variables de surface

(""~et

q$) et aux variablefJ ... du niveau d'anémomètre au moyen de coefficients de transfert, ceux-ci découlant de la théorie de Monin-Obukho.v pour la couche de surface. Notons que dans ces

calculs, les coeff icients de transf ert pour l'huml.dité et la température sont ordinairement identiques.

3) L'énergie de la couche de surface (condition limite pour l'équation _,

l

d'énergie turbulente) est, dans le cas stable, dépendante de la vitesse de frottement seulement. Dans le cas instable, elle dépend également de l'échelle de vitesse convective, celle-ci r~flétant les mouvements

horizontaux induits dans la basse CU par la vitesse vert icale dans les

_.

_...

gros tourbillons que l'on trouve dans la haute CU.

4) Le coefficient a apparaissant dans l'expression de

KI1

est déterminé de façon telle que 0.3.6) satisfasse l'équation de la diffusivité de la

. 1

20

Ci

1.4- Equation p0,ur l ' II!nergie cin~ti9ue turbulente

Le bilan d'~nergie cin~tique turbulente (par unité de masse) s'exprime. dans le cas d'homog'né1tll! horizontale. par l 'lI!quation suivante: IF'

èE ..

-\'J'ur

,

_{.~ T~}

W'\~'

-~l~'l ~\

_f)

1

_l

_

...

bt

,01

~

(1.4.1) "

tl)

~'l.)

lt"3 )

\~)

-,-

-v'1.+

-;ï)

00 E

,. i

l

_u

l -(

_{1/2)( u '} '1.+

'"

.

• •

Les termes du membre de droite de cette équation représentent respectivement les taux de production d'énergie d'origine (1) mécanique. "(2) thermique (ou due à la poussée d'Archim~de). (3) le taux de

o

p~odu~tion d'énergie ~ar le transport turbulent (terme de

presso-diffu-don). et (4) le taux de dissipation visqueuse.

;

Depuis le modàle original décrit dans MB82. certaines modifica-tions ont ~té ajoutées... Elles affectent l ' hypoth~se de fermeture sur

'i;

le terme de preaso-diffuslon. et le terme de dissi'pation visqueuse. De plus. aux fins du présent travail. d'autres modifications ont été

apportées au terme de production thermique. Toutes sont incorpor~e8 dans les descriptions suivantee.

1.4.a) Fermeture du terme de transE,!0rt turbulent

L'expression que nous utilisons maintenant rll!sulte des travaux de

r

e

Therry et Lacardre (1983). dont voici un tr~s bref sOllUDaire. Leur

,

d'aerche est bas'e sur l~ .od~le avec fermeture au troisi~me ordre d'Andr' et al. (1978).

o

o

o

Après avoir identifi~ les diff~rent. terme. de l'~quation d'~volu-tion du flux turbulent d'énergie cin~tlque turbulente (cette ~qufttion

apparaissant explicitement dans le modèle d'André et al.), 11. ont

-

-compar~ l'importance relative de chacun, 8el~ les calculs du modèle d'André et al. s'appliquant à l'expérience men~e à Voves (France)

eh

1977 (voir André et Lacarrère, 1980),; . Cette comparaison a permis de négliger certains termes de l'équation, et ainsi d'arriver à l'expres-sion suivante pour ~ (équation 24 de leur article):

0.4.2)

où Cs et c~ sont -:des constantes numériques; nous avons regroup~ sous forme vectorielle les termes reliés au vent.

,

L'équa...:Jn ci-dessus diffère de l'~tion 24 de l'article car, du côté gauche, nous avons ajouté le terme p

'w'

le.. •

bien qu' i,l 'n'apparaisse pas dans la publication. D'après le texte (et, en particulier,

....

l'équation 10), il nous a en effet semblé que l'expression, 24 ~t8blit, en fait, une relation pour la somme du transport ;urbulent et de, la presso-diffusion; on not,era, entre autres, que le membre de gauche de l'équation 24 provient d'un terme de'pression.

Après réarrangement des constantes, cette ~quation .'écri~ Céq. 25 de Therry et Lacarrère):

\

,~\

,

\Ir'

t1v

_ \V'ur'.,!

~

W'W-"

~è

)

(1.4.3)

" \

.'

o

••

22

& •

sI

&v~.

et

/

1 1 GC ~ • _J ___

---:~--~

c.,

t

l

Cos

(f.

1

avec

C,

po.~

comme

é~ant

la valeur de

(E/~)

. dans une couche de surface \

neutre

(da~.

laquelle ,on pose

~ .~)

afin d'assurer la cohérence avec l'équation (1.4.2); c~ est reli' à la dissipation d'énergie turbulente; nous en reparlerons à la prochaine sous-section.

Pour pouvoir utiliser (1.4.3), i l faut paramétriser le premier terme A l'intérieur des par~nthèses. Therry et Lacarrère ont donc posé:

0.4.4) où ~est l'échelle de vitesse convective, donnée par (l.3.5).

On obtient donc ainsi:

0.4.5)

-Le terale entre crochets, dans le membre de droite de (1.4.5) peut .'écrire:

(1.4.6)

Util1aant la relation de ferMeture'(l.J.I), (1.4.6) devient:

o

J

-0

23

La relat:ion de fermeture pour le flux d'6nergie devient donc:

Note: les valeurs des constantes C \' Ca et CE, ont ~té d~termin~e. par

J. Mailhot 0985. communication,,personnelle) afin d'assurer la cohérence

~

avec les autres parties du mod~le.

Par rapport à MB82. i l Y a deux changements majeurs:

1)

Ke

1

KM'

contrai rement à auparavant. et

2) En plus du terme régulier (~'[E'+P'/(]··

-I<e.

~E/}z). il ya maintenant un terme contre-gradient dans le transport de E. 80i t le membre de droi te dtj l'équation précédente. Ce terme fat t intervenir le

flux de quantité ke mouvement (ou le cisaillement du vent). et le flux modifié de chaleur (i. e. de température virtuelle potentielle). tel que calculé pour une couche nuageuse (voir chapitre 2).

\r

1.4.b) Terme de dissipation visqueuse

On exprime généralement le terme de

di.s1~at

ion visqueuse en

fonction de l ' ~nergie cinétique turbulente E, et d' une longueur dilllipa:" tive caractéristique, suivant l'hypoth~se de Kolmogorov:

~~

E

l

/2.

t~

On prend habit:uellement

lt..

~

.

la longueur de .. itlange de la

0.4.9)

turbulence, dont on Be sert dans la dittermination des coefficients de diffu.ion (voir plus loin dan. ce chapitre la description du sch~ .. e e .. ploy~ pour le calcul de

A ).

Toutefoh. .pr~. avoir c:on.tati que leur

.'

-" , .$~

o

, 1

o

•

24

IIOd~le était passa"lement sen8ible au choix du schème de calcul de la

1

longueur de .'lange. Therry et Lacarrère (1983) ont ~té al}lenés à

\

rhxaminer cette ,quest\on. A l'aide du modèle d'André et al. (1978) -dont on a déjà parlé- 'appliqué au calcul du flux de chaleur lors d'une

\

8ituation convective de' milieu d'après-midi (heure à laquelle ce flux' était maximum, donc temporairement quasi-stationnaire) survenue le jour 33 de l'expérience Wangara (Clarke et al., 1971). ils ont conclu que. si

\ "1.

on garde les relations K~ - a /\ E , et KT -( I/Pr) K", de même que la longueur de mélange (~) doit "@tre différente de la longueur dissipative

d'

_{t ),}

les deux étant reliées par:

À=

CI

l? )

l~

_(1.4.10)

où C , est une constante.

-Au moyen d'hypothèses plau~ibles sur (w,2.tE). et par comparaison avec le mod~le au troisième ordre d'André et al. (1978), ils sont parvenus à la relation suivante. reliant

À

et

il. :

(1.4.11)

Vu qu'on ne peut pas faire la démonstration menant à 0.4.11) a10r. que le flux de chaleur varie (dans le temps). on suppose ensuite que cette relation est valable en tout temps.

Therry et Lacarrère ont utilisé (1.4.11) pour calculer

À

à partir de ,,-. 'Ici. co_e nous disposons d'un autre sc.hème pour le calcul de

1

q

o

o

..

-

1

o

"

.

25

(1.4.12)

On détermine la valeur de la constante CE. au moyen des propr1~t~s d'une couche de surface neutre avec équilibre entre la production mécanique et la dissipation d' (mergie turbulente. Connaissant les e~pression.

-!Iz.

applicables à une telle couche. on obtient: Ct... (3.75) •

1.4.c) Production thermique d'énergie turbulente

Les modifications A ce terme ayant constitué ,la majeure partie du travail propre à cette thèse, elles seront discut~es en d~tail au

chapitre suivant. Mentionnons seulement les grandes lignes pour le moment.

On constate qu'en présence d'eau condensée, la forme du flux de flott,abUité

(~,

1

e~)

est InodifUei 11 faut ajouter A l'expression habituelle d'autres termes qui agissent comme une source d'énergie turbulente dans la couche nuageuse, celle-ci étant'située, dans les cas

"

!

qui nOU8 concernent. dans la partie

sup~rieure ~e

la couche limite. zone ordinairement stable. Le nouveau terme. en réduisant la stabilité de la zone stable. augmente la product ion d'énergie turbulente dans la couche

't

nuageuse. Par le biais des coefficients de diffusion. ceci '" pOl.1r effet d'accentuer les échanges turbulents dans la haute couche limite, lA où se prodUit la convection restreinte.

Afin de tenir compte des cas de cOOverture nuageuse partielle, on ajoute une paramétrisation pour la présence de 'cumulus i celle-ci permet de diagnostiquer la ba.e, le sommet et l'étendue de ces derniers; puis, connaissant la zone nuageuse et son étendue, on pondère le nOUveau

ter.e

source en con.~quence.

.~-~

l~,-Y

"

.

o

•

26

1.5

Longueur de .élange

Le

.ch~me

décrit dans

M882

a été complètement remplacé; la

r6férence l de. proU la d'équilibre fonction de

Zl

a été compUtement

enlevée, et nous utilisons désormais une formulation basée-'sur celle de

1

Bougeault

(1985).

Cette dernière dépend localement de l'énergie

/

-cinétique turbU'le1lt\ et a comme base la conveTsion totale ou partielle

de cette énergie en énergie potentielle.

(Une conversion partielle est

_.

_.

une façon indirecte de tenir compte de phénomènes comme la résistance

aérodynamique de la parcelle ou de sa dilution ••• )

On définit,

à

z. un "libre parcours vers le haut", l\"

et un

"libre parcours vers le bas", lb ' comme étant les distances qu'une

parcelle d'énergie cinétique

E(z)

peut atteindre Si,elle convertit cette

~-énergie_en énergie potentielle, alors qu'elle fait un travail contre la

force

d'Archim~de.

Le niveau z' où l'énergie s'annule est donc celui

oi:1:

,

(1.5.1)

oi:1

~

e.t l'efficacité de

conver.ion~

et où

~~(z.z'

')

est le

~t

,

au

niveau

z",

d'une parcelle .oulevée (ou

abaissé~)

à partir du niveau z,

ceci en exprimant la force d'Archimède dans le cadre de l'approximation

de Bou •• ine.q.

Le "libre parcour. vers le haut", lh' est,d9nc

1.-

z'-z,

pour une parcelle

JW

niveau z.

Le "libre parcours vers le bas" est

d'fini d'une manière si.ilaire; toutefois, il est

limi~à

la distance

au

'01.

ce qui 1.p11que

1\ • min(kz/2, z-z'), oi:1 k e.t la constante de

von Kar . .

n. Elle e.t ajoutée

à

la relation précédente afin de

retrouver, quand

Z~O,

la

~i.ite

cla •• ique (kz) pour la longueur de

o

o

-,

27

mHange. ,

La longueur de mélange est supposée proportionnelle

A

une moyenne "entre

1"

et l'D. A l'instar de Bougeault. on choisit la moy;r.le ..

n"n..-e----géométrique, par commodité; on pose'donc:

Dans le bas de la CLA, vu que lb est limité par la distance à la surface,

À

devient proportionnelle à z.

,

Cette formulation s'applique partout sous le sommet du nuage.

1

AU-delà, on applique une valeur constante égale à 0.05·H. où H est la hauteur de la couche limite. calculée en fonction des moments de la

dis~ibution de l"nergie cinétique turbulente.

Il faut remarquer que, dans les cas qui nous intére.sent, il est possible que de l'eau liquide soit présente dans la parcelle. Il faut donc considérer son poids. Conséquemment. on utilise (1.2.4) comme expression de la température virtuelle potentielle.

Il faut aus,si noter que

&!,<Z'Zll)

est calculé A partir de profil.

-&~Z")

;of).!5z,) et c:r:(z"). qw(z) (pour tout Zl'), ce qui permet de .. déduire

T~(z' ')

puis 'qt

(z' ')'-

et par conséquent

e,<z,z' ').

Procéder de cette façon permet de tenir compte du réchauffement par dégagement de

..

\

chaleur latente (parcelle montante) ou, inversement.fdu refroidi •• ement

-causé par l'évaporation pour une parcelle en subsidence. pour laquelle ~(z) est non nul. Elle tient au •• i compte de. variation. de den.ité

\

dues A l'apparition ou A l'évaporation d'eau liquide. Notre Mthode de·

. /

o

•

~.,

.'

,

' t • J 28

niveaux, poUS trouver l'emplacement de z' lorsqu'on effectue l'int~grale de (1.5.1). Soulignons de plus que, s ' i l n'y a pas de changement de pha.e, notre expre.sion est 'quivalente l l"quationo(6) de Bouge'ault

(198~).

1.6 Condition. aux limites

Pour r~soudre l' ~quat~on de diffusion, i l faut spécifier'; 'pour chacune des 'quations, celles~ci étant paraboliques, une condition initiale et deux conditions aux limites. On discutera des cQnditions initiales dans les chapitres consacrés aux simulations.

Il Y a trois types de conditions aux frontières pour ce type de IIIOd~le. On peut imposer soit la valeur d'une variable (Dirichlet), soit celle de

.a

d~rivée normale (Neumann), soit une combinaison des deux

(Cauchy) •

Pour notre modèle dont le domaine de solution-couvre les altitudes

\-'sale. ou sup'rieures au niveau d'anémomètre (za,,) , la frontière inférieure est habi tuellement ,bien à l'intérieur de la couche de surface, dans laquelle les flux verticaux de èhal~ur ... humidité et quant: i t ' de -.ouvement sont bien décrits par les lois de résistance et d"quilibre de l'énergie thermique. On imp~se donc des conditions de type Cauchy aux équations pour\V,

&l-'

et qw' A

z

-z~,

lesquelles tiennent co.pte de la prl"'sence d'une couche de surface turbulente sous-jacente qui as.ure le lien entre la surface de la terre et le do . . 1ne de résolution du modèle. Ces expriment la continu! té

\

o

1

o

o

,1 ,

des flux au travers de la front ière inf éri~e, 'et s' écri vent t à z • r :

.,

0.6.2)

0.6.3)

CM et CT sont les coeff1ci,ents de transfer de c~,uche de surface

(cf.MB82. p.22S!).

On remarque que les premiers termes expriment les flux, tels que paramétrisés dans le modèle (section 1.3),"alor8 que les seconds

,"

expriment les f1ux,dans la couche de surf~. t.l

-

~

Au sommet du modèle, on stipule'des conditions de type Neumann

~ ,

pour les variables 1 . de, même que pour l ' énerp,ie. On a donc, à

Z az SOll\"Met et

R. Q

-O,

~

''''

,

) (1.6.4)

La dernière équation empêche la

cr/a~ion

sommet du modèle (placé vers

cr/o.S).

de tendances parasites au

!

Finalement, comme on ne dispose pas'od'uRe, équation pour calculer

-le flux turbu-lent d'énergie

W:E'

dans la couche de surface; on utl1i.e~ une condition de type Diri~hlet sur (1.4.1). et on pose:

E - E~ • à'~ -z4..' Cl.6.5)

E~ est donné, par la relation ~.25) de MB82.

, ~

.

o

CHAPITRE 2

CONVECTION RESTREINTE ET ENERGIE TURBULENTE

o

L'effet de la convection restreinte (ou des nuages non-précipi-tants)..est double. Premièrement. ces nuages influencent fortement le budget radiatif de la zone à l'intérieur de laquelle 1.1s se trouvent: on pense immédiatement à la réflexion du rayonnement sola1 re (al bédo). De

m~me. l'émission de rayonnement infrarouge à leur sommet peut suffire à

produire un niveau de turbulence assez élevé pour entretenir une couche de stratocumulus (Lilly, 1968; Randall, 1980).

\

Pour le présent travail, on ne s'est pas attardé _, à

_,

modeler les • effets radiatifs des nuages; ainsi, ail cours des simulat~ons, on n'a

-fait qu'imposer le reftoidissement radiatif là où les obsè,rvations

..

l'indiquaient. ,On élabol"lera un pe,u 'lors des chapitres sur les simulations.

Le deuxième effet des nuages, dont l'inclusion dans le .modèle de couche limite fut l'objet principal de ce travail, est ressenti au niveau de la turbulence. En effet, la présence de nuages influence les fChan8~s verticaux d~chaleur, d'humidité et de quantité de mouvement; ceci rfaulte essentiellement du fait qu'en présence de nuages, la pou •• fe d' Arch1.mède est forte1aent 1aodifiée, à cause du dfgagement de

...

". 1

~haleu~~latente et du poids de l'eau ~ondensée. Habituellement, en

,

prfaence d'une stratification thermique stable, comme on en retrouve

\

\ 1

\

o

o

..

0

nor~ale~ent près du sommet de la couche limite, les nuages agissent

comme une source thermiquè d'énergie turbulente. Ils diminuent consé-

,

quemment la stabilit~ de la r~gion dans laquelle ils se trouvent, y accentuant les échanges verticaux avec la basse couche limite.

2.1 Production thermique d'énergie turbulente et condensation

Le terme de production thermique d'énergie cinétique turbu1lente, qui représente l'effet de larPoussée d'Arch~mède sur les fluctuations turbulentes, exprimé comme étant (gl ~)~'w' dans le systèmp de

-Boussinesq, peut également s'écrire -

e,;'w'/e,

après util~satlon de

l'équat~on d'état (1.2.2) pour l'air humide.

-/

Selon Manton (1978). en pr~sence de saturat~on. au premier ordre

31

de fluctuations, on obtient. si on néglige les fluctuations de pression face à celles de la.densit~ (note: à l'avenir. sauf dans (2.1.3). on

"'

omett·ra la barre lorsqu'on référera à la moyenne d'ensemble d'une vtflriable):

-

ç \

l

L Rv)

1

-

~ur

-

~;t

-

:p;

~c.

(2.1.1)

Pour trouver le flux turbulent, plutôt que de multiplier

immédia

-r

tement (2.1.1) par w', ce qui ferait apparattre .un ,tjrme en qe,.'w', nous exprimons

~

en fonction des variables de base du modèle (

9

_k

et q\Af).

Manton (1980) démontre qu'au même ordre d'appcoximation, on a:

Tl

_IV

e'

₊

_li~

L.. n

---

_T

-

_Sa.

_e~,

_(2.1.2)

,

,

,

o

o·

32

D1autre part, nous avons vu que qe dépe~d de

9

_L et qw par le biais de la relation de saturation, i.e. q ... qw-q~AT" où on pose ici

implicitement que q~ n'est pas nul. Par décomposition de Reynolds, on obtient:

~

(2.1.3)

Comme on

Il

~,ë(,-~ (~alide

en autant que les fluctuations turbulen-tes ne soient pas trop grandes; si elles le sont, 11 faut effectue,it' des 8tat.istiques sur les fluctuations de

eL

et qw' comme le font, par

exemple, Sommeria et Deardorff, 1977), on troUve:

"'-1

-

_-

~\AT

,

-

~ ~AT

'

(2.1.4)

En .upposant des fluctuations turbulentes assez faibles, on peut laisser de ceté le problàmes des distributions statistiques, (Manton. 1978. p. 222).

Au premier ordre de perturbations. on a:

(2.1.5)

Afin d'etre cohérent avec la notation de Manton (1983), posons

;ÇI

~3

-T

(2.1.6) Ce qui donne: 1

'1,.'

~~

al

~

(2.1.7)

Introdu18ant (2.1.2) et (2.1.7) dans (2.1.1), on trouve:

- e,'