Évaluation graduelle d'arguments

(1)

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Évaluation graduelle d’arguments

Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex

To cite this version:

Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex. Évaluation graduelle d’arguments. [Rapport

de recherche] IRIT-2001-18, IRIT - Institut de recherche en informatique de Toulouse. 2001.

�hal-02881279�

(2)

C. Cayrol

M.C. Lagasquie-S hiex

Dé embre 2001

Rapport IRIT 2001-18-R

(3)

(4)

L'argumentationestbaséesurl'é hangeetl'évaluationd'argumentsinteragissant.

Dans e do ument, et en utilisant le adre de travailproposé par [Dun95 ℄, nous

nous sommes onsa rées à l'analyse des relations d'attaque entre arguments, et

à leur impa t dans la dénition d'une évaluation graduelle d'arguments (ainsi,

etteévaluationprendra en omptelesattaquants,lesattaquantsdes attaquants

et ainsi de suite). Cette étude est menée au travers d'un ensemble de as et

débou he alors sur diverses appro hes.

Tout d'abord une première appro he totalement intuitive (l'appro he 0) dont

l'analyse omparativeave uneappro heexistante( ellede [BH01℄)nous onduit

àpré iserlesdiversprin ipesquisous-tendentl'évaluationd'argumentsbaséesur

l'attaqueentre arguments.

On dénit alors deux nouvelles appro hes reposantsur es prin ipes(l'appro he

1 dite lo ale et l'appro he 2 dite globale).Puis on ee tue une omparaison

(5)

(6)

Nous tenons à remer ier Mr Philippe Besnard pour sa rele ture extrêmement

approfondie et onstru tive de la version pré édentede e rapport.

Grâ eàlui,nousavonspu orrigeretenri hir e rapportsurde nombreuxpoints.

Ilnous aaussisuggéréde nombreuses pistespour poursuivre e travailquiferont

(7)

(8)

1 Introdu tion 1

2 Notationsetdénitions 3

3 Appro he 0: un ordre intuitifentrearguments 7

3.1 Lesexemplesàtraiter . . . 7

3.2 Priseen ompteuniquementdugraphedes ontrariétés . . . 11

3.2.1 Les assans ir uit. . . 11

3.2.2 Les asave ir uitspairs . . . 11

3.2.3 Les asave ir uitsimpairs. . . 12

3.2.4 Analysedesexemples . . . 12

3.3 Priseen omptedelavaleurintrinsèquedesarguments. . . 13

3.3.4 Analysedesexemples . . . 16

3.4 Analysedel'appro he0 . . . 17

3.4.1 Comparaisonave [BH01℄surlesdiérents as . . . 17

3.4.2 Con lusiondel'analyse . . . 19

3.5 Con lusionsurl'appro he0 . . . 20

4 Appro he 1dite lo ale : priseen omptedes intera tionsdire tes 21 4.1 Lesprin ipesretenus . . . 21

4.2 Formalisation . . . 21

4.3 Propriétés . . . 22

4.4 Exemples . . . 22

5 Appro he 2dite globale : destuples pour prendreen omptetoutes lesintera tions 25 5.1 Un exempleintrodu tif. . . 25

5.2 Dénition d'unevaleurtuplée . . . 26

5.3 Appli ationauxdiérentsexemples. . . 28

5.4 Comparaisondevaleurstuplées . . . 29

5.4.1 Introdu tion . . . 29

5.4.2 Appro hetupléeave al ul d'untaux . . . 30

5.4.3 Appro hetupléeave omparaisondunombredesbran hes . . . 32

5.4.4 Appli ationauxdiérentsexemples . . . 34

5.4.5 Propriétésdesévaluationspartuples . . . 40

5.5 Priseen omptedelavaleurintrinsèque . . . 42

(9)

5.5.3 Possibilité3 . . . 43

5.6 Con lusionsurl'appro he2 . . . 44

6 Comparaisons 45 6.1 Comparaisondesappro hes1et2 . . . 45

6.2 Lemodèlede[Dun95℄ . . . 45

6.3 Lemodèlede[JV99℄ . . . 46

6.4 Lafon tiond'agrégationde[BH01℄ . . . 47

(10)

Introdu tion

[Dun95℄amontréquele adredel'argumentation onstitueunoutilpuissantpermettantaussibienl'étude

denombreux systèmesformelsderaisonnementde sens ommunqueladénition d'unesémantiquepour

lesprogrammeslogiques.

L'argumentationestbaséesurl'é hangeetl'évaluation d'arguments on ernantuneassertiondonnée.On

trouvedesappli ationsnotammentdansledomainejuridique,danslessystèmesd'aideàlaprisededé ision

olle tiveoud'aideàlanégo iation.La ara téristiquefondamentaled'unsystèmed'argumentationestla

présen ed'intera tionsetnotammentderelationsde ontrariétéentrelesargumentsavan és.Sil'argument

prend parexemplelaformed'unepreuvelogique,onpeutavan erdesargumentspourune propositionet

desarguments ontre etteproposition,i.e. pourlaproposition ontraire.

Lepro essusd'argumentation omportedon uneétaped'évaluationdelafor erelativedesargumentsen

présen e,l'obje tif étantdeséle tionnerlesargumentslesplusa eptables.Ondistingue:

uneévaluationditeintrinsèquequiévalueunargumentindépendammentdesintera tionsave lesautres

arguments. On peut ainsi exprimer àquel point l'argument augmente la onan e en l'assertion qu'il

supporte.Cetteévaluationpeutprendrediérentesformes[KAEF95℄,enparti ulierunevaleurnumérique

à interprétation probabiliste omme dans [Par97℄, ouêtre simplement représentée parune relationde

préféren esurl'ensembledesarguments, ommedans[PS97℄et[AC98℄.

une évaluation desintera tions selonlaquelleunargumentest évaluéenfon tiondeses ontrariants,

des ontrariantsdeses ontrariants(sesdéfenseurs),... 1

Évaluation intrinsèqueet priseen omptedesintera tionsonttrèssouventété utiliséesséparément,selon

lesappli ations envisagées.Ontrouve ependantquelquestravauxqui proposentune ombinaisonde es

deux ritères(voirparexemple[AC98℄).

La prise en ompte des intera tions a le plus souvent onduit à des évaluations binaires : l'argument

est a epté ou non. Ces évaluations peuvent être dénies de manière individuelle, par exemple par des

pro éduresd'étiquetage[JV99℄,oudemanièreglobaleendonnantdesensemblesd'arguments onjointement

a eptés [Dun95℄. Ré emment, [BH01℄ aproposéune évaluation graduelle des intera tions dans le adre

parti ulierd'argumentsdédu tifs.L'ensembledes ontrariantsd'unargumentestreprésentéparunarbre.

Lavaleur al uléepour etarbre représentelafor erelativedel'argumentra inedel'arbre.

Notre obje tif est deproposeret de dis uterdes prin ipesgénérauxqui régissentlaprise en ompte des

ontrariantsetdesdéfenseurspouruneévaluationgraduelledesarguments,puisdedénirplusieursmodèles

d'évaluationasso iés,dansunsystèmed'argumentationabstrait.

Nous nous plaçons dansle adredéni par[Dun95℄ : elui d'unsystème d'argumentation onstituéd'un

ensembled'argumentsetd'unerelationbinairesur etensemble.Onutiliseraunereprésentationgraphique

dessystèmesd'argumentation.

Nous her honsdans edo umentà omparerdesargumentsentreeux,essentiellementenfon tiondeleur

position dans legraphe des ontrariétés,mais ausside leur valeurintrinsèque. Pour ela, nous al ulons

lavaleur d'unargument issuedugraphe des ontrariétés et omplétée/miseàjour éventuellementparla

valeurintrinsèquedel'argument;puis,nous omparonslesargumentsautraversde esvaleurs.

Nousmettonsi il'a entsurlagradualitédelafon tiond'évaluationquidevraitnouspermettred'obtenir

unerelationd'ordreentreargumentsplusri heque elles proposéesengénéraldanslalittérature(leplus

1

Nousn'étudieronsi iquelesintera tionsduesàlanotionde ontrariétéentrearguments!Ilpeutexisterd'autrestypes

(11)

La se tion 2page i- ontre présente les notations et dénitions relatives àun système d'argumentation

abstraitetsareprésentationsousformedegraphedes ontrariétés.

Ensuite, dansunpremiertemps (voirse tion3page7), nousproposons uneappro hesimple(l'appro he

0)quidénitintuitivementunerelationd'ordreentrelesvaleursenfon tionde equinoussemble orre t

et judi ieux parrapport àlarelationde ontrariété liantlesarguments.Et nous her hons àintégrerà

etterelation laprise en ompte d'unevaleur intrinsèque.Cetteappro he est tout àfait informelle mais

présentedeuxintérêtsmajeurs:

proposerune évaluation baséesur les ontrariétésentre argumentsàpartirdelaquelle onpeutessayer

de rajouterla prise en ompte d'une évaluation intrinsèquedes arguments( e travail d'agrégationde

deux évaluations distin tes étant ensuite valable quelle que soit l'évaluation basée sur les ontrariétés

utilisée!);

énumérerquelquesexemplessigni atifsd'intera tionsduesàla ontrariétéentrearguments.

Cetteappro heintuitiveseraanalyséepar omparaisonave uneappro heexistante ( ellede[BH01℄).Un

ertainnombrededéfautsestalorsmisàjour,aussibienpourl'appro he0(essentiellementdusàl'aspe t

intuitif del'appro he-l'intuitionpouvantnepasêtrelamêmesuivantlesle teurs!)quepourl'appro he

de[BH01℄.

Cette omparaisondébou healorssur2nouvellesappro hes her hantàdénirl'évaluationdesarguments

demanièreaxiomatiqueparlamiseen÷uvrede ertainsprin ipes:

l'une(l'appro he1voirse tion4page21)s'appuiesurdesprin ipesneprenanten omptequel'aspe t

lo aldelarelationde ontrariété(don uniquementlesattaquantsdire tsdel'argumentdonton her he

lavaleur,lesautresargumentsn'intervenantqu'autraversdesvaleursdesargumentsqu'ilsattaquent);

l'autre (l'appro he 2 voir se tion 5 page 25) àbase de valeurstuplées s'appuyant sur une prise en

ompte globale de la relationde ontrariété (tous les arguments liésdire tementou indire tement à

l'argumentétudiésontprisen ompte).

Puis, en se tion 6 page 45, on omparera es 2 appro hes entre elles et ave d'autres appro hes de la

(12)

Notations et dénitions

Nousnousplaçons dansle adreabstraitdénipar[Dun95℄.Soitlesystème d'argumentation <A;R> ,A

étantunensembled'argumentset Rune relationbinairesurAappeléerelationde ontrariété :soientA i etA j 2A,A i RA j signieraqueA j

est ontrariéparA i ,ouqueA i ontrarieA j (aussinoté(A i ;A j )2R).

Nousnepré iseronspasdavantageleformatdesarguments,nilarelationde ontrariété.

Notations : SoitA2A,l'ensemblefA i

2AjA i

RAg estnoté R (A)et l'ensemblefA i 2AjARA i gest noté R + (A).

<A;R> dénitungrapheorientéG (ditgraphe des ontrariétés).

Parexemple, lesystème <A= fA 1 ;A 2 ;A 3 ;A 4 g;R=f(A 2 ;A 3 );(A 4 ;A 3 );(A 1 ;A 2 )g> dénit le graphe G suivant:

A2

A1

A4

A3

Dénition 1 Unargument A2A tel queR (A)=;sera une feuilledugraphe des ontrariétés déni

par<A;R>.

Nousutilisonsensuitelanotion lassiquede hemindansungraphe appliquéeàG :

Dénition 2 Dansle graphedes ontrariétés G,un hemindeAversB estune suited'argumentsA 1 ::: A n telleque: A=A 1 , A 1 RA 2 , ... A n 1 RA n , A n =B.

Ce hemin seranoté C(A;B) 1

.La longueurde e heminest alors n 1 (lenombre d'arêtes onstituant

e hemin)etseranotée l C(A;B)

2

.Ondiraaussi quel C(A;B)

estla distan e entre AetB.

Dénition3 Soient2 heminsC(A 1 ;A n )=A 1 ::: A n etC(B 1 ;B m )=B 1 ::: B m notés respe ti-vement C A etC B .

Cesdeux heminsserontdits dépendantsssi9A i 2C A ,9B j 2C B telqueA i =B j .Indépendantssinon.

Ces deux hemins seront dits ra ine-dépendants ssi A n = B m et 8A i 6= A n 2 C A , 69B j 2 C B tel que A i =B j .

Nous allons utiliser les notions d'attaque et de défense dire te ou indire te inspirées par [Dun95℄ mais

légèrementmodiéesparnossoins 3

.Onadon :

1

S'ilexisteplusieurs heminsentreAetB,onlesnoteraenutilisantunindi esupplémentaire:C(A;B)1 ...C(A;B)n. 2

I iaussi,s'ilyaplusieurs heminsentreAetB,ilpeutyavoirplusieurslongueursrepéréesparunindi esupplémentaire:

l C(A;B) 1 ...l C(A;B)n . 3

Lesnotionsdéniesdans [Dun95℄sont ellesd'attaque etdedéfenseindire te, sa hantquepour[Dun95℄unattaquant

(13)

Dénition 5 SoitA2A, les défenseursdire ts de Asont lesattaquantsdire ts deséléments de R (A).

Dénition6 SoitA2A, les attaquantsindire tsde Asont leséléments A i dénispar : 9C(A i ;A)telquel C(Ai;A) =2k+1,ave k1.

Dénition 7 SoitA2A, les défenseursindire tsde A sontleséléments A i dénis par : 9C(A i ;A)telquel C(A i ;A) =2k,ave k2.

Ondiraplusgénéralementque,sil'argumentAestunattaquant(dire touindire t)del'argumentB,alors

AattaqueB (ouB est attaquépar A). Demême,sil'argumentA estundéfenseur(dire touindire t)de

l'argumentB,alorsAdéfendB (ouB est défendupar A).

Dénition 8 SoitA2A, une bran hed'attaque(resp. dedéfense) pourA est un hemin dansG d'une

feuille vers A de longueur impaire (resp. paire). On diraalors queA est ra ine d'unebran he d'attaque

(resp. dedéfense).

Remarquonsque ettedénition on erneuniquementlesargumentsdugraphequisontatteignables par

une des feuilles du graphe ( haque feuille représentant un point d'entrée dans le graphe). En fait, on

l'utiliseraaussiparabusdelangagepourdesargumentsappartenantàdes ir uitset pasfor émentreliés

àdesfeuillesdugraphe (voirlase tion5.2page26).

Dénition 9 Un ir uit est un hemin C = A 1 ::: A n tel que A n RA 1 et 6 9A i ;A j 2 C;i 6= j tel A i =A j

.Lalongueur de e ir uit estalors de n 4

.

Cettedénition d'un ir uit orrespondàladénition d'un ir uitélémentaireenthéoriedesgraphes(ne

ontientpas2ar sayantlamêmeorigine,oulemêmebut).

Dénition 10 Deux ir uitsC A =A 1 ::: A n etC B =B 1 ::: B m

sont inter onne téssietseulement

si9i2[1;n℄;9j 2[1;m℄tels queA i

=B j

.

Toutes esnotionssontillustréessurl'exemplesuivant:

A1

A2

A3

A4

B2

C1

C2

D2

C3

D1

E1

B1

A

Sur egrapheG,onadon (entreautres):

un hemindeC 2 versAdelongueur2(C 2 B 1 A), 2 ir uitsA 1 A 3 A 2 etA 1 A 3 A 4

, ha undelongueur3(remarquonsqueA 1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 4

n'estpasun ir uitd'aprèsnotredénition),

les heminsD 1 C 1 B 1 etC 3 B 2

Asontindépendants,alorsqueD 1 C 1 B 1 AetC 3 B 2 A

sontra ine-dépendantset queD 1 C 1 B 1 AetC 2 B 1 Asontdépendants,

lesdeux ir uits ités pré édemmentsontinter onne tés(enA 1 et A 3 ), D 1 ,C 2 ,E 1

sontlesfeuilles deG,

D 1 C 1 B 1

Aest unebran hed'attaquepourA, alorsqueC 2

B 1

Aestunebran hededéfense

pourA,

B 1

et B 2

sontlesdeux attaquantsdire tsdeA,

C 1 ,C 2 et C 3

sontlestroisdéfenseursdire tsdeA,

4

(14)

1 2

E 1

estleseuldéfenseurindire tdeA.

Notations Étantdonnéquenous her honsà omparerdesarguments,nousposonsdon lesnotations

suivantesqui serontutiliséestoutlelongde edo ument:soientAet B deuxarguments

Ameilleur queB seranoté AB,

puis,nousdénissonsAstri tementmeilleurqueB,notéAB,par:AB ssiAB etNONBA

(remarquonsquel'onaalorsAB )AB),

et ennnousavonsA etB sontaussibonsl'unquel'autre,notéAB, dénipar: AB ssiAB

et BA.

(15)

(16)

Appro he 0 : un ordre intuitif entre

arguments

Dans etteappro he,onpartd'unehypothèseforte:

Règle 1(Équivalen estru turelle) 2 arguments résultant de la même série d'attaque et de défense

ont lamême valeur (ilssontra ines de la même stru tured'arbre/graphede ontrariétés)

et on her heintuitivementà omparer2valeursd'argumentsétantdonnéeslarelationde ontrariétéqui

leslieauxautresargumentset lavaleurintrinsèquedesarguments.

Aprèslesexemples,onénuméreralesautresrèglesutilisées.

Onvaaussipro éderen2étapes:

d'abordlapriseen ompteuniquementdugraphedes ontrariétés,

puisrajoutdelapriseen ompte desvaleursintrinsèquesà haqueargument.

D'autrepart,nous onsidèreronsi iquenousavonsladénition suivante :

Dénition11 Soit (A;R) un système d'argumentation. Soient V unensemble ordonné de valeurset v

une appli ation de A!V.SoientA etB deuxargumentsayantpourvaleursrespe tivesv(A)etv(B), la

relationd'ordre entrelesvaleursinduit unerelationd'ordre entrelesarguments:siv(A)v(B), ondira

queA estmeilleur queB (noté AB d'après lase tion2page 3).

3.1 Les exemples à traiter

Nousavonstout d'abord her héàrépertorierdiversexemplessigni atifsd'intera tionsentre arguments

(l'intera tion étanti idueàlarelationde ontrariétéentrearguments).

Nousavonsainsiidentiéaumoins18 aspossiblesrépartisentrois lassesdistin tes:

les as orrespondantàungraphedes ontrariétéssans ir uit:

0. unseulargumentnon ontrarié.

A

1. deuxarguments,l'un ontrariantl'autre :

A

B

(17)

A

B

C

3. troisarguments,lesdeuxpremiers ontrariantletroisième:

A

B2

B1

4. inqargumentsformant2 heminsde ontrariétéra ine-dépendants:

A

B2

B1

C1

C2

5. troisarguments,lepremier ontrariantlesdeuxautres:

B1

B2

A

6. inqargumentsformant2 heminsde ontrariété ayantunpointd'interse tion autreque

l'extré-mitédes hemins:

B1

B2

A

C1

C2

(18)

A2

An−1

An

A1

8. nargumentsattaquantunmêmeargument:

A

B1

Bn

9. unegénéralisationdes as6,7et8:

A1

An0

A

A11

A1n1

An01

An0nn0

B1

Bm

les as orrespondantàungraphedes ontrariétésave ir uitpair:

10. deuxargumentss'attaquantmutuellement( ir uitpairdelongueur2):

B

A

11. un ir uitpairdelongueur2dontl'undesélémentsestattaqué paruntroisièmeargument:

A

B1

B2

(19)

B1

B2

A

13. un ir uitpairdelongueur2quiattaque 1

untroisièmeargument:

A

B1

_B2

les as orrespondantàungraphedes ontrariétésave ir uitimpair :

14. unargumentauto- ontrarié(qui s'attaque lui-même)formantainsi un ir uitimpair de longueur

1:

A

15. un ir uitimpairdelongueur3:

B

A

C

16. un ir uitimpairdelongueur3dontundesélémentsest attaquéparunquatrièmeargument:

B

D

A

C

17. un ir uitimpairdelongueur3qui attaqueunquatrièmeargument:

B

D

A

C

Certainsexemplesserontrajoutésau oursdudo umentenfon tiondes ir onstan es.

Remarque : il esttout àfaitévidentque ertainsde esexemplesn'ontpasfor émentdesigni ation

dansle adrepurdel'argumentation(parexemple,le as14peutsemblersurprenantsionsepla e dans

le ontexte d'un dialogue entre deux agents qui argumentent : un des agents se ontredit lui-même!).

Toutefois, e travail se voulant assez général, nous ne nous sommes pas restreints du point de vue des

exemplestraitéset nousavonsplutt her héàénumérerlemaximumdestru turesdegraphespossibles.

1

(20)

Lavaleurasso iéeàunargumentAseranotéev(A).LavaleurM représente lavaleurmaximaleadmise.

Onvaprésenterlesdivers assuivantleurnature (sans ir uit,ave ir uitpair,ave ir uitimpair).

3.2.1 Les as sans ir uit

NuméroCas Contraintessurlesvaleurs

0 v(A)=M 1 v(B)=M,v(A)v(B) 2 v(C)=M,v(B)v(A)v(C) 3 v(A)v(B 1 )=v(B 2 )=M 4 v(B 1 )=v(B 2 )v(A)v(C 1 )=v(C 2 )=M 5 v(B 1 )=v(B 2 )v(A)=M 6 v(A)v(B 1 )=v(B 2 )v(C 1 )=v(C 2 )=M 7

Généraliseles as1et2:Si nestpairalorsl'argumentA 1

estauboutd'uneunique

bran hed'attaque;onaalors:

M =v(A n )v(A n 2 ):::v(A 2 )v(A n 1 ):::v(A 1 )

et sinon(nimpair), l'argumentA 1

estauboutd'uneuniquebran hededéfense;on

aalors: M =v(A n )v(A n 2 ):::v(A 1 )v(A n 1 ):::v(A 2 ) 8 v(A)v(B i )=M,8i=1:::n

RemarquonsquesiundesB i

n'estpasunefeuillealorsonrisquedeperdrelapropriété

i-dessus(parexemplequandundesB i

estattaqué etnondéfenduvoirle as2).

9

Ils'agitd'unegénéralisationdes as6,7et8etonnesaitpasquoi on lure:

v(B j )?v(A)?v(A i )M,8i=1:::n 0

Larelationentre lavaleurdeAet elledeA i

dépend delanature delabran hequi

lesrelie(bran hed'attaqueoude défense),demême, pourlarelationentre Aet les

B j

.Don ,ilyaunproblèmequand2bran hesdenaturediérenteserejoignent(voir

l'exemple18ense tion3.2.4pagesuivante).

La prin ipaleremarquei i est l'importan e delanature desbran hes(attaqueoudéfense) aboutissantà

l'argumentpourle al ul des ontraintesd'ordresurlesvaleurs.

3.2.2 Les as ave ir uits pairs

10 v(B)=v(A)M 11 v(A)v(B 1 )v(B 2 )=M 12 v(A)=v(B 1 )=v(B 2 )M 13 v(B 2 )v(A)=v(B 1 )M

I i, onadesrésultatsqui peuventparaîtresurprenants:

dansle as10,lefaitquev(A)=v(B)peutparaîtrerestri tif parrapportàd'autresappro hes omme

elle de [JV99℄ (qui favorise un des deux arguments), mais n'oublions pas notre hypothèse de départ

(voirrègle1page7)!

dansle as12,bienqueAait2 ontrariantsdire tsetqueB 1

et B 2

n'enaientqu'un,onaquandmême

l'égalité entre les 3valeurs; ela vient dufait que A, B 1

, B 2

sonttout à lafois des attaquantset des

attaqués (don appli ation du as3ET du as5,ave les ontradi tionsque elaimplique et quisont

(21)

14 v(A)M

15

v(A)=v(B)=v(C)M

C'estune appli ationdu as7(ave une haîneattaque/défensedontledébut a

est

àlafoisunattaquantetundéfenseur!)

a

C'estuneimage!Enfait,iln'yapasdedébutàun ir uit.

16

v(A)=v(B)=v(C)v(D)=M

Même remarque que pourle as15. Seul D y é happepuisqu'il est situé avant le

ir uit.

17

v(A)=v(B)=v(C)=v(D)M

Mêmeremarque quepourle as15maisquis'étend ettefoisàD puisqu'ilestsitué

après le ir uit.

3.2.4 Analyse des exemples

De etteanalyseressortentlesrèglessuivantes:

Règle 2(Pas d'attaque) Toutargumentnonattaqué apour valeur M.

Règle 3(Attaque sans défense) Tout argumentA attaqué et non défendu a pour valeur v(A) à la

valeur de sonattaquant (etdon M).

Règle 4(Attaque ave défense) Tout argument A attaqué et défendu (son défenseur n'étant pas

at-taqué) a pour valeur v(A) à la valeur de son défenseur (et don M) mais à la valeur de son

attaquant.

Règle 5(Défense) ToutargumentA attaqué etdéfendu apourvaleur v(A) àla valeur de ses

défen-seurs.

Règle 6(Unique bran he d'attaque) Tout argument A ayant une unique bran he d'attaque a pour

valeur v(A)auxvaleursde ha un desesdéfenseurs, elles-mêmes étanttoutesauxvaleursde ha un

desattaquants.

Règle 7(Unique bran he de défense) ToutargumentA ayantune uniquebran he de défense apour

valeur v(A)auxvaleursde ha un deses défenseursetauxvaleursde ha un deses attaquants.

Propriété 1(Existen e d'une fon tiond'évaluationissue du graphedes ontrariétés) Ilexiste

toujours une fon tiond'évaluation v vériantles s hémaset lesrèglesdonnées i-dessus.

Preuve :Ilsut eneetdeposer:v(A)=M,8A.

Remarque : Les as de ir uitimpair n'ont pasfor émentun sens(si on onsidère despositions dans

desarbresdejeu,onauraitainsiunjoueurquise ontrediraitlui-même,qui her heraitàsefaireperdre!).

Remarque : On onstate rapidement (voir de nombreux as) que ette appro he présente au moins

un in onvénient majeur qui est de for er à l'égalité un ertain nombre de valeurs pour respe ter les

ontraintesd'ordredonnéespré édemment.

Voyons elasurunexemplesupplémentairenuméroté18quiest un asparti ulierdu as9déjà ité :

(22)

B1

B2

B3

B4

A

D1

D2

D3

C1

C2

C3

C4

E1

Surlapartie entouréede egraphe,appliquonsnos ontraintesd'ordre:

M =v(E 1 )v(C 1 )v(A)v(D 1 )v(B 1 ), M =v(D 2 )v(B 1 )v(C 2

)v(A)( e quiesten ontradi tionave la ontraintepré édente àmoins

deposerv(B 1 )=v(C 2 )=v(A)=v(D 1 )).

C'est justement e phénomènequigênel'analyseplus omplètedu as 9.

Attention, lesrègles2page i- ontreà7pagepré édentenetiennentpas omptedelavaleurintrinsèque

desarguments.

Nousallonsdon reprendrelesdiérents as itéspré édemmentenétudiantlessous- asliésauxdiverses

valeursintrinsèquespossibles.

3.3 Prise en ompte de la valeur intrinsèque des arguments

Nousnoterons:

v i

(A)lavaleurintrinsèquedel'argumentA, 'est-à-diredonnéeaprioriàA,

v(A)lavaleurdel'argumentAissuedugraphe des ontrariétés,

v

(A)lavaleur ombinéedel'argumentA, 'est-à-dire ellequitient omptedelavaleurintrinsèquede

Aet delavaleurissuedugraphedes ontrariétés.

On onsidéreraque: v (A)=(v i (A);v(A))

ave lafon tionrestantàdéterminer.

Passonsen revue lesdiérents as possibles.En général,le nombredesous- asde haque asdépend du

nombre n d'arguments apparaissant dans le dit- as, puisqu'il s'agit de trouver tous les ordres possibles

entre les v i

de es n arguments(on aalors n! possibilités). Toutefois, il arriveque es as puissent être

vus ommela on aténationde2autres asindépendants( 'est-à-direqu'iln'yapasderaisond'ordonner

ertainsargumentsparrapportàd'autres), elaréduitdon lenombredesous- astraités.

I i aussi, notre analyse se fera suivant la nature des as. Toutefois, ette analyse sera parti ulièrement

appauvrieparlefaitqu'enpermanen e,onsetrouvedevoirfairedes hoixqui omplexienténormément

les résultats attendus. Dans la se tion 3.3.4 page 16, nous ne pourrons alors présenter que très peu de

règles.

(23)

1 seulsous- as:v (A)=g(v i (A);v(A)) 1

ave 2 sous- aspossiblesenentrée(2!):

sous- as1:v i (A)v i (B) v (A)v (B) sous- as2:v i (A)>v i (B) 2 ontraintes possibles: soitv (A)v (B), soitv (A)v (B) a a

Suivantl'importan ea ordéeàlavaleurintrinsèque

2

ave 6 sous- aspossiblesenentrée(3!):

sous- as1: v i (B)v i (A)v i (C) v (B)v (A)v (C) sous- as2: v i (B)v i (C)v i (A) 2 ontraintes possibles: soitv (B)v (A)v (C), soitv (B)v (C)v (A) sous- as3: v i (A)v i (B)v i (C) 2 ontraintes possibles: soitv (B)v (A)v (C), soitv (A)v (B)v (C) sous- as4: v i (A)v i (C)v i (B) 3 ontraintes possibles: soitv (B)v (A)v (C), soitv (A)v (B)v (C), soitv (A)v (C)v (B) sous- as5: v i (C)v i (B)v i (A) 2 ontraintes possibles: soitv (C)v (B)v (A), soitv (B)v (C)v (A) sous- as6: v i (C)v i (A)v i (B) 3 ontraintes possibles: soitv (B)v (C)v (A), soitv (C)v (B)v (A), soitv (C)v (A)v (B) 3

ave 4 sous- aspossiblesenentréeetnonpas6(eneetle as3peutêtrevu omme

la on aténationde2 asnuméro1) )22=4(il n'yapasde raisond'ordonner

B 1 parrapportàB 2 ) sous- as1:v i (A)v i (B 1 )et v i (A)v i (B 2 ) v (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ) sous- as2:v i (A)v i (B 1 )et v i (A)v i (B 2 ) 4 ontraintes possibles: soitv (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ), soitv (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ), soitv (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ), soitv (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ) sous- as3:v i (A)v i (B 1 )et v i (A)v i (B 2 ) v (A)v (B 1

)puis2 ontraintespossibles:

soitv (A)v (B 2 ), soitv (A)v (B 2 ) sous- as4:v i (A)v i (B 1 )et v i (A)v i (B 2 ) v (A)v (B 2

soitv (A)v (B 1 ), soitv (A)v (B 1 ) 4

ave 36 sous- aspossibles(etpas 120=5!) puisqu'il s'agitde la on aténationde

2 as numéro 2(pasde raison d'ordonner le ouple(B 1

;C 1

) parrapport au ouple

(B 2

;C 2

)))66=36;

nous ne rentrons pas dans le détailde es sous- as; seul le sous- as 1 est présenté

i-après: sous- as1: v i (B 1 )v i (A)v i (C 1 )et v i (B 2 )v i (A)v i (C 2 ) v (B 1 ) v (A) v (C 1 ) et v (B 2 ) v (A) v (C 2 ) 5

ave 4 sous- aspossiblesenentréeetnonpas6(eneetle as5peutêtrevu omme

la on aténationde2 asnuméro1) )22=4(il n'yapasde raisond'ordonner

B 1 parrapportàB 2 ) sous- as1:v i (A)v i (B 1 )et v i (A)v i (B 2 ) v (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 )

(24)

sous- as2:v i (A)v i (B 1 )et v i (A)v i (B 2 ) soitv (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ), soitv (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ), soitv (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ), soitv (A)v (B 1 )etv (A)v (B 2 ) sous- as3:v i (A)v i (B 1 )et v i (A)v i (B 2 ) v (A)v (B 2

soitv (A)v (B 1 ), soitv (A)v (B 1 ) sous- as4:v i (A)v i (B 1 )et v i (A)v i (B 2 ) v (A)v (B 1

soitv (A)v (B 2 ), soitv (A)v (B 2 ) 6

Ilyai i 48 sous- asàtraiter.Détaillonsle al ulde enombredesous- as.

il s'agit làd'ordonner 5variables maissa hantqu'il n'y apasde raison d'ordonner

B 1 parrapportàB 2 , niC 1 parrapportàC 2 ;

il faut don ompter le nombrede as où B 1 et B 2 (resp. C 1 et C 2 ) sontordonnés

sansrajouterd'information surl'ordredes autresvariables ( e sontles as où es 2

variablessontgroupéesdanslasuitereprésentantl'ordreentre les5variables);

il y a 6 as possibles permettant de grouper es variables pour 1 ordre donné sur

les variables restantes et ommeil y a6 façonspossiblesd'ordonner les3 variables

restantes,onadon 662 asànepasprendreen ompte)ilya5! 72=48 a

sous- asàtraiteri i!

Nousprésenterons i-aprèsuniquementlesous- as1.

a

Onpeutretrouver erésultatendé omposantleproblèmesouslaformesuivante:énumérons

tousles aspossiblespourlesquelsniB 1 B 2 ,niC 1 C 2

nesontgroupés;onaalors4 aspossibles(soit

C1<C2etB1<B2,soitC1<C2etB1>B2,soitC1>C2etB1<B2,soitC1>C2etB1>B2),

etpour ha unde es as,onaen ore2sous- aspossibles(soitC1<B1,soitC1>B1);i i,ilya

alors6possibilités(A<C 1 <B 1 <C 2 <B 2 ,C 1 <A<B 1 <C 2 <B 2 ,C 1 <B 1 <A<C 2 <B 2 , C 1 <B 1 <A<B 2 <C 2 ,C 1 <B 1 <C 2 <A< B 2 ,C 1 <B 1 <C 2 <B 2 <A);ainsi, ona 624=48 as. sous- as1:fv i (B 1 );v i (B 2 )g v i (A)fv i (C 1 );v i (C 1 )g v (A)fv (B 1 );v (B 2 )gfv (C 1 );v (C 1 )g 7

ave n! sous- aspossibles;seullesous- as1estprésentéi i:

sous- as1: v i (A 00 1 ):::v i (A 00 p ) v i (A 0 1 ):::v i (A 0 m ) ave m= n+1 2 , p= n 2 , A 0 i =A 2i sinpair,A 2i 1 sinon, etA 00 i =A 2i 1 sinpair,A 2i sinon. v (A 00 1 ):::v (A 00 p )v (A 0 1 ):::v (A 0 m ) 8 ave 2 n

sous- aspossibles;eneet, haqueB i a2possibilités:soitv i (B i )v i (A), soitv i (B i )v i (A);

remarquonsquel'on peutaussi al uler lenombre desous- as possiblesde lafaçon

suivante : nombre de parties diérentes de p éléments tirés parmi n éléments ave

p variant de 0 à n = n p=0 C p n

(et il se trouve, 'est heureux, que n p=0 C p n = 2 n

ladémonstrationsefaitparré urren eenutilisantlerésultatintermédiaireC p n+1 = C p n +C p 1 n pour1pn).

9 Nontraitépuisqu'onnesait mêmepas ommentordonnerlesvaleursdebase!

10

I i, on présente 3 sous- as (au lieu de 2) ar on veut mettre en éviden e le as

parti ulierdel'égalité: sous- as1:v i (B)=v i (A) v (B)=v (A) sous- as2:v i (B)<v i (A) v (B)<v (A) sous- as3:v i (B)>v i (A) v (B)>v (A)

(25)

11

(les as 3 et 2 ave la position de A et de B 1

inversée ) mais qui ne sont pas

indépendants(lesmêmesvariablesapparaissentdansles2 as))nombredesous- as

=lemaxdesnombresdesous- asde haque as(6=max(4;6));

remarquonsque l'on retrouvenon seulement le même nombre de sous- as mais les

mêmes sous- as (à l'é hange des arguments A et B 1

près), ar le as 3 est moins

restri tifquele as2:

sous- as1: v i (A)v i (B 1 )v i (B 2 ) v (A)v (B 1 )v (B 2 ) sous- as2: v i (A)v i (B 2 )v i (B 1 ) 2 ontraintes possibles: soitv (A)v (B 1 )v (B 2 ), soitv (A)v (B 2 )v (B 1 ) sous- as3: v i (B 1 )v i (A)v i (B 2 ) 2 ontraintes possibles: soitv (A)v (B 1 )v (B 2 ), soitv (B 1 )v (A)v (B 2 ) sous- as4: v i (B 1 )v i (B 2 )v i (A) 3 ontraintes possibles: soitv (A)v (B 1 )v (B 2 ), soitv (B 1 )v (A)v (B 2 ), soitv (B 1 )v (B 2 )v (A) sous- as5: v i (B 2 )v i (A)v i (B 1 ) 2 ontraintes possibles: soitv (B 2 )v (A)v (B 1 ), soitv (A)v (B 2 )v (B 1 ) sous- as6: v i (B 2 )v i (B 1 )v i (A) 3 ontraintes possibles: soitv (A)v (B 2 )v (B 1 ), soitv (B 2 )v (A)v (B 1 ), soitv (B 2 )v (B 1 )v (A) 12

ave 9 sous- aspossibles(etpas6=3!)puisqu'ils'agitdela on aténationde2 as

numéro 10 dans lesquelson veutexpli iter l'égalité entre les valeurs(pas de raison

d'ordonnerB 1

parrapportàB 2

))33=9;

i-après: v i (A)=v i (B 1 )=v i (B 2 ) v (A)=v (B 1 )=v (B 2 ) 13

ave 6 sous- aspossibles(3!);

i-après: v i (A)v i (B 1 )v i (B 2 ) v (A)v (B 1 )v (B 2 )

3.3.3 Les as ave ir uits impairs

14 v

(A)M

15

ave 6 sous- aspossibles(3!);seullesous- as1est présenté i i:

sous- as1: v i (A)v i (B)v i (C) v (A)v (B)v (C)M 16

ave 24 sous- aspossibles(4!);seullesous- as1estprésentéi i:

sous- as1: v i (A)v i (B)v i (C)v i (D) v (A)v (B)v (C)v (D)M 17

ave 24 sous- aspossibles(4!);seullesous- as1estprésentéi i:

sous- as1: v i (A)v i (B)v i (C)v i (D) v (A)v (B)v (C)v (D)M

3.3.4 Analyse des exemples

Lesquelquesrèglesutiliséesdans etableauquel'onpuisseexpli iter:

Règle 8(Combinaisonvaleur intrinsèque/valeurissue dugraphes des ontrariétés) La valeur

(26)

Règle 9(Attaque sans défense) Lavaleur ombinée doitrespe terla ontrainte suivante :

Si v i

(A)v i

(B)etB attaque Asans être lui-mêmeattaquéalors v

(A)v

(B)

Règle 10 (Attaque ave défense) Lavaleur ombinée doitrespe terla ontrainte suivante :

Si Aestattaqué parB mais défendu par C etv i (A)v i (C)alors v (A)v (C)

Règle 11 (A ord entre valeurintrinsèque etvaleur issuedu graphesdes ontrariétés) Si

l'éva-luationintrinsèqueest,soitlamêmepourtous,soitrespe tel'ordreimposéparl'évaluationissuedugraphe

des ontrariétés, alors la valeur ombinée respe tera elle-aussi l'ordre imposé par l'évaluation issue du

graphedes ontrariétés.

Propriété 2(Existen e d'une fon tionévaluation ombinée) 8v i

uneévaluationintrinsèquedes

ar-guments et8v une évaluation issuedu graphe des ontrariétés (don respe tantles ontraintesdénies à

la se tion3.2page11),ilexistetoujours unefon tiond'évaluation ombinéev

vériantless hémasetles

règles données i-dessus.

Preuve :Ilsut eneetdeposer:v

(A)=v(A),8A(onignorev i

(A)).

Ilseradi iledemettreàjourd'autresrèglesétantdonnéela omplexitédes hoixee tués.

3.4 Analyse de l'appro he 0

Analysonsl'appro he0àlavuedelaseuleévaluationren ontréedanslalittératurequisoitvéritablement

graduelle 2

( elle de Besnard et Hunter [BH01℄). Toutefois, notre analyse devra tenir ompte des faits

suivants:

[BH01℄neprendpasen ompteune valeurintrinsèquedesarguments,

[BH01℄n'admet pasde ir uit(pairouimpair);enfait, onpeutl'appliqueràdes ir uitssa hantalors

quelavaleurdesélémentsdu ir uitseralepointxedelafon tion 1 1+x

(l'inversedunombred'orvoir

remarquedanslades riptiondu as7danslase tion3.4.1).

3.4.1 Comparaison ave [BH01℄ sur les diérents as

Passonsenrevuelesdiérents assans ir uit 3

:

2

Ilexisted'autresévaluationsmaisjamaisave plusde3valeurs(a epté,rejeté,nondé idé).Voirparexemple[JV99℄. 3

(27)

0 v(A)=1 1 v(A)= 1 2 v(B)=1 2 v(B)= 1 2 v(A)= 2 3 v(C)=1 3 v(A)= 1 3 v(B 1 )=v(B 2 )=1 4 v(B 1 )=v(B 2 )= 1 2 v(A)= 1 2 v(C 1 )=v(C 2 )=1 5 v(B 1 )=v(B 2 )= 1 2 v(A)=1 6 v(A)= 1 3 v(B 1 )=v(B 2 )= 3 4 v(C 1 )=v(C 2 )=1 7

Onales ontraintessuivantes:

v(A n )=1, v(A n i )= 1 1+v(An i 1) ,pouri=1:::n 1.

Aprèsquelques al uls,on onstaterapidementque ettesuitefon tiondelavariable

i orrespondàlaformulesuivante :

v(A n i

)= Fib(i)

Fib(i+1)

(FibétantlasuitedeFibona i)

(remarquonsque Fib(i) Fib(i+1)

onvergeparos illationversl'inversedunombre(leratio

d'or onnudepuisl'antiquité)quanditendversl'inni; etinverseestnotéetest

égalà0:61803:::)

Lesvaleursobtenuessontordonnéesdelafaçonsuivante:

Si n est pairalors (l'argument A 1

est au bout d'une haîne d'attaqueet de défense

dontledébut estunattaquant):

1=v(A n )v(A n 2 ):::v(A 2 ) v(A 1 ):::v(A n 1 )

et sinon(nimpairl'argumentA 1

estauboutd'une haîned'attaqueet dedéfense

dontledébut estundéfenseur):

1=v(A n )v(A n 2 ):::v(A 1 ) v(A 2 ):::v(A n 1 ) 8 v(A)= 1 1+ n i=1 v(Bi) v(B j

)=1;8j=1:::n (eneet, ilest fa ilededémontrerpar

ré urren esurlastru turedel'arbremenantàAque0v(A)1)

Les résultats de ette omparaison montrent que tant que l'on reste dans des as simples, la fon tion

d'évaluationde[BH01℄vérieles ontraintesd'ordrequenoussouhaitons.Par ontre,dansles as omplexes

(le as7,parexemple),nousnesommesplusena ord.

Notonsquelerésultatobtenupourle as8(v(A)v(B j

))n'estpastoujoursvalidequandlesB j

nesont

plusdesfeuilles (voirparexemplele as2quiestun asparti ulierdu as8ave unB j

quin'estpasune

feuille;onaalorsv(A)= 2 3 v(B)= 1 2 ). Ordre de [BH01℄ :

An

An−1

An−4

An−5

An−2

An−3

Ici, l’ordre et les distances sont significatifs !

(28)

An

An−2

An−4

An−1

An−3

An−5

Attention, les distances ne sont pas significatives, seul compte l’ordre entre les variables !

Il s'agit i i d'une question d'interprétation. Soit A un argument attaqué et non défendu, et soit B un

argumentattaquéetdéfenduparA, ona2 hoixpossibles:

soitv(A)v(B):onprivilégiealorslefaitqueB soitaumoinsdéfendualorsqueAnel'estpas(même

si ettedéfenseestee tuéeparunargumentattaquéet nondéfendu!);

soit v(A) v(B) : on privilégiele fait queA soit situé, dans legraphe des ontrariétés plus près des

feuilles; don que B soit attaqué plussouvent que A (une fois en propre et x fois autraversde ses

an êtres défenseurs).Maisest- esigni atif?

Un autre exemple omparatif: l'exemple18 page 12

Surlatotalitéde e graphe,rappelonsque,d'aprèsl'appro he0,nos ontraintesd'ordreentre arguments

sont: E 1 ;D 2 ;D 3 ;C 4 ;B 4 C 1 ;B 2 C 3 A;B 1 ;C 2 ;D 1 (égalitéfor ée!) B 3

Puis al ulonslesvaleursd'après[BH01℄surlegraphedanssatotalité :

v(E 1 )=v(D 2 )=v(D 3 )=v(C 4 )=v(B 4 )=1, v(D 1 )=v(C 2 )=v(C 3 )=v(B 3 )= 1 2 , v(C 1 )=v(B 2 )= 2 3 , v(B 1 )= 6 13 , v(A)= 78 283 .

Ce quinousdonnedupointdevuedel'ordreentrelesarguments:

E 1 ;D 2 ;D 3 ;C 4 ;B 4 C 1 ;B 2 D 1 ;C 2 ;C 3 ;B 3 B 1 A

Ave [BH01℄,nousn'avonspasdeproblèmed'égalitéfor ée.Par ontre,remarquonsque,sionserestreint

àlapartieentouréedugraphe,alorslavaleurdeA= 13 19

, equiestsupérieuràv(B 1 )etv(D 1 ),maisaussi àv(C 1

)(Adevientplusfortquesondéfenseur,alorsqu'ilyaunebran hed'attaquemenantàAetau une

menantàC 1

!).

3.4.2 Con lusion de l'analyse

L'appro he0nefournitpaslesmêmesrésultatsque[BH01℄.Pour omprendrepourquoinousavons her hé

(29)

généralisationde[BH01℄(voirlapropriété9danslase tion6.4page47).

D'autre part, remarquons que [BH01℄ présente quand même des in onvénients (voir le traitement de

l'exemple 18 page 12 en n de se tion 3.4.1 page 17) qui vont être aussi eux de l'appro he 1. Nous

serons alorsamenésàmodier ertains desprin ipesposéspourproposeren oreune troisième appro he

(appro he2-se tion5page25).

3.5 Con lusion sur l'appro he 0

Cetteappro heétantuniquementintuitive,lesrésultatsproposéssontbien-sûrsujetsà aution(etd'ailleurs

lase tion3.4page17en onstitue unepremière ritique). Par ontre,elleaquandmêmepermis:

de proposer une gamme d'exemples signi atifs qui seront repris dans la suite de e do ument pour

ha unedesappro hesproposées;

d'étudier (super iellement!)lapriseen ompte d'unevaleurintrinsèqueenplusdesintera tions entre

arguments pour l'évaluation omplète des arguments. L'appli ation aux exemples montre de manière

évidentela omplexité roissante de e dernierpointsionneposeau unerèglerestri tive.

de suggérer par omparaisonave [BH01℄ les prin ipes fondateursdes appro hes 1et 2 qui vont être

(30)

Appro he 1 dite lo ale : prise en

ompte des intera tions dire tes

4.1 Les prin ipes retenus

L'étudede[BH01℄nous onduitàséle tionner4prin ipesessentielspourdéniruneévaluationd'arguments

baséesurl'intera tionentre arguments(ausensdela ontrariété).

P1 L'évaluation est maximale pour un argument sans attaquant et non maximale pour un argument

attaquéetnondéfendu.

P2 L'évaluation d'unargumentest fon tiondel'évaluation detouslesattaquantsdire ts(la ontrariété

dire te).

P3 L'évaluationd'unargumentestune fon tiondé roissantedel'évaluationdela ontrariétédire te.

P4 La ontributiond'unattaquantdire td'unargumentnepeutpasdiminuerl'évaluationdela ontrariété

dire tepour etargument.

Étantdonné qu'ils'agiti i dene sepréo uperdire tementqueduniveaude ontrariété lepluspro he,

onparlerad'appro helo ale.

4.2 Formalisation

Àpartirde esprin ipes,onvaformaliserune évaluationdelamanièresuivante.

Ondispose d'unensemble W totalementordonnéadmettantunpluspetitélément(V Min

)etd'unepartie

V deW, ontenantV Min

etadmettantunplusgrandélémentV Max

.

Dénition12 Soit<A;R> unsystème d'argumentation.Une évaluationest uneappli ation v :A!V

telleque:

1. 8A2A, v(A)V Min

2. 8A2A, siR (A)=;,alors v(A)=V Max

3. 8A2A, siR (A)=fA 1

;:::;A n

g6=;, alorsv(A)=g(h(v(A 1 );:::;v(A n ))) oùh :V !W telleque(V

dénote l'ensemble dessuitesniesd'éléments de V)

h(x)=x h()=V Min h(x 1 ;:::;x n ;x n+1 )h(x 1 ;:::;x n ) etg :W !V telleque g(V Min )=V Max g(V Max )<V Max

g est de roissante(si xy alors g(x)g(y))

Remarque:h(x 1 ;:::;x n )max(x 1 ;:::;x n

(31)

Laformalisationproposéeprésentelespropriétéssuivantes.

Existen ed'une évaluationv:voirense tion6page45(propriété8page47)unexempled'évaluation

dénidansle adredutravailde[JV99℄.

P1 estsatisfait ar:8A2AsiAn'apasd'attaquant(R (A)est vide),alorsv(A)=V Max et g(V Max )< V Max .

P2 estsatisfait arsiR (A)=fA 1 ;:::;A n g,h(v(A 1 );:::;v(A n

))évaluela ontrariété dire tedeA.

P3 estsatisfait arlafon tiong estsupposéedé roissante.

P4 estsatisfaitparlespropriétésdelafon tionh.

Proposition1 Lafon tiong satisfait pourtoutn1:

g(V Max )g 3 (V Max ):::g 2n+1 (V Max ) g 2n (V Max ):::g 2 (V Max )V Max

Si deplusg est stri tementdé roissante etg(V Max

)>V Min

,lesinégalités i-dessussont stri tes.

Preuve :Parré urren eàpartirdeV Min

g(V Max

)<V Max

etparappli ationdeg deuxfois

onsé utivement.

4.4 Exemples

Reprenonsquelquesexemples.

0 v(A)=V Max 1 v(B)=V Max don v(A)=g(V Max ) 2 v(C)=V Max ,v(B)=g(V Max )etv(A)=g 2 (V Max ) 3 v(B 1 )=v(B 2 )=V Max v(A)=g(h(V Max ;V Max )) 4 v(C 1 )=v(C 2 )=V Max v(B 1 )=v(B 2 )=g(V Max )etv(A)=g(h(g(V Max );g(V Max )))

LIENENTRE v(A)et v(C 1 );v(C 2 );v(B 1 );v(B 2 )? 5 v(A)=V Max v(B 1 )=v(B 2 )=g(V Max ) 6 v(C 1 ) = v(C 2 ) = V Max v(A) = g(h(V Max ;V Max )) et v(B 1 ) = v(B 2 ) = g(h(g(h(V Max V Max ));g(h(V Max ;V Max )))) LIENENTRE v(B 1 );v(B 2 )etv(C 1 );v(C 2 );v(A)? 7 v(A)=g n 1 (V Max )

Si nestpairv(A n 1 ):::v(A 3 )v(A 1 )v(A 2 ):::v(A n )=V Max

Si nestimpairv(A n 1 ):::v(A 2 )v(A 1 )v(A 3 ):::v(A n )=V Max 8 v(B i )=V Max v(A)=g(h(V Max ;:::;V Max | {z } nfois )) 9 Si v(A i

) augmente (resp. diminue), v(A) diminue (resp. augmente) en raison des

propriétésdeg etdeh. v(A)=g(h(v(A 1 );:::;v(A n0 )))g(h(v(A 1 );:::;v(A n0 1 ))) Remarque : Si h(x 1 ;:::;x n ;x n+1 )>h(x 1 ;:::;x n

) et g est une fon tionstri tement

dé roissante,alorsl'inégalité i-dessusest stri te.

Cetexemplemontrequesil'onveuttenir omptedunombrede ontrariants,

l'évalua-tiond'unargumentdoitpouvoirêtrestri tementinférieureàg(V Max

).C'estle assila

fon tiongeststri tementdé roissanteetsilafon tionhvérieh(x 1 ;:::;x n ;x n+1 )> h(x 1 ;:::;x n ).

(32)

10

v(A)=g(v(B))etv(B)=g(v(A))don v(A)etv(B)sontdespointsxesdeg 2

.Par

ontre,les ontraintessurgnepermettentpasd'imposerv(A)=v(B).

11 v(B 2 )=V Max ,v(A)=g(h(v(B 1 );V Max ))etv(B 1 )=g(v(A))

LIENENTRE v(A);v(B 1 )? 12 v(A)=g(h(v(B 1 );v(B 2 ))), v(B 1 )=v(B 2 )=g(v(A)) LIENENTRE v(B 2 );v(A);v(B 1 )? 13

D'après le résultat de l'exemple 10, v(A) et v(B 1

) sont des points xes de g 2 et v(B 2 )=g(v(A)) LIENENTRE v(B 2 )et v(A);v(B 1 )?

14 v(A)estunpointxedeg

15

v(A),v(B),v(C)sontdespointsxesdeg 3

etsontégaux,puisqueg 3

estdé roissante.

Deplus,v(A)=g(v(B))impliquequev(A)=v(B)=v(C)=x,ave xunpointxe

deg etx<V Max . 16 v(D)=V Max ,v(C)=g(h(v(B);V Max )),v(A)=g(v(C))et v(B)=g(v(A))

LIENENTRE v(C);v(A);v(B)?

17

D'après le résultat de l'exemple 15, v(A) = v(B) = v(C) point xe de g, et ave

v(D)=g(v(C))onav(D)=v(B)=v(A)=v(C).

L'étude de graphes ave ir uitsfait apparaître le rle joué parles points xes de g, g 2

, ... . On peut

généraliser esrésultatsdansle asde ir uitsdelongueurn:sinestimpair,touslesargumentsdu ir uit

ontlamêmevaleurquiestunpointxedeg,etsinestpair,touslesargumentsdu ir uitontpourvaleur

despointsxesdeg n

.

Et sur l'exemple 18page 12 Onobtientleséquationssuivantes:

v(E 1 )=v(D 2 )=v(D 3 )=v(C 4 )=v(B 4 )=V Max v(D 1 )=v(C 2 )=v(C 3 )=v(B 3 )=g(V Max ) v(C 1 )=v(B 2 )=g 2 (V Max ) v(B 1 )=g(h(g 2 (V Max );g(V Max ))) v(A)=g(h(g(h(g 2 (V Max );g(V Max )));g 2 (V Max );g(V Max );V Max )) Onadon : E 1 ;D 2 ;D 3 ;C 4 ;B 4 C 1 ;B 2 D 1 ;C 2 ;C 3 ;B 3

Par ontre, les ontraintessurv(A)etsurv(B 1

)sontinsusantes.

Et 'estlemêmeproblèmequiapparaîtsil'onréduit etexempleàlapartieentouréedugraphe:E 1 ;D 2 C 1 D 1 ;C 2

ave ladi ulté de omparer v(A) (v(A) = g 2 (h(g 2 (V Max );g(V Max )))) et v(B 1 ) (v(B 1 ) = g(h(g 2 (V Max );g(V Max

))))auxautresvaleurs.

En résumé: V Min g(V Max ) V Max Une innité d'attaquants dire ts Un seul niveau de ontrariété. Plus d'un attaquant dire t Un seul niveau et un seul attaquant dire t Plusieurs niveaux et un seul

atta-quantparniveau

Argument non

ontrarié

(33)

(34)

Appro he 2 dite globale : des tuples

pour prendre en ompte toutes les

intera tions

5.1 Un exemple introdu tif

Àlavuedel'exemple18page12(enparti ulierdesapartieentourée),on onstatequelesordresenvisagés

jusque là posent un problème dès lors qu'un argument est ra ine à la fois de bran hes d'attaque et de

bran hesde défense.En eet,soit on seretrouve àdevoirfor er des égalités devaleurs(l'appro he0),

soit on trouve des résultats qui paraissent surprenants (des arguments en bout de bran he de défense

ayantunevaleurmoindreque euxquisontenboutd'unebran hededéfenseet d'unebran hed'attaque

([BH01℄),soitdesargumentsdi ilement omparablesauxautres(appro he1 1

).

Une solution onsiste àdévelopperun étiquetagepermettantde mémoriser ette stru ture, enasso iant

à haque bran he sa longueur (nombre d'ar s de la feuille jusqu'au n÷ud ourant) dans le graphe des

ontrariétés, sa hantque:

on traite les ir uits àpart (soit en utilisant lalongueur min du ir uit, soit en réduisant le ir uit à

deuxbran hes1d'attaqueet1dedéfense,soit ensupprimant arrémentles ir uitsdugraphe),

unebran hedelongueurimpaireestunebran hed'attaquepourlen÷ud ourant,alorsqu'unebran he

delongueurpaireestunebran hededéfensepour emêmen÷ud.

Remarquonsquelefait,pourunargument,d'avoirune bran hededéfense signiequ'ilestdéfendu mais

don aussi qu'il a été attaqué. On ne onsidère don pas une bran he de défense omme un signe de

vi toire!L'idéedebran hededéfense/d'attaquene orresponddon pasexa tementàl'idéed'unargument

gagnant/perdant!

La omparaison de deux arguments se fera don sur leur nombre respe tif de bran hes d'attaque, de

bran hesdedéfenseetsurlalongueurdesditesbran hes.Ilresteàdénirunerelationd'ordresur etype

detuples(delongueurvariable!).

Ainsi,surl'exemple18page12,ona:

1

Celavientdufaitquel'appro he1n'imposepasné essairementunordreuniquesurlesarguments lassésd'aprèsleur

(35)

B1

B2

B3

B4

A

D1

D2

D3

C1

C2

C3

C4

E1

(2)

(4,3,3,2,1)

(3,2)

(2)

(1)

()

L'argumentAa3bran hesd'attaque(2delongueur3et1delongueur1) et2bran hesdedéfense(1de

longueur4et l'autredelongueur2).

Nous allons don poser de nouveaux prin ipes, tout en retrouvant quelques points ommuns ave eux

proposéspourl'appro he1:

P1' L'évaluation est maximale pour un argument sans attaquant et non maximale pour un argument

attaqué(qu'ilsoit défenduoupas).

P2' L'évaluationd'unargumentprenden ompte touteslesbran hesdont et argumentestra ine.

P3' L'améliorationde la défenseou ladétérioration de l'attaque onduisentàaugmenter lavaleurd'un

argument.

P4' L'amélioration de l'attaque ou la détérioration de la défense onduisent à diminuer la valeur d'un

argument.

On vadon déniruneévaluationqui prendraen omptelesdiérentesbran hesmenantàunargument

( 'estdon uneappro heglobale).Ceseral'évaluationpartuples.

5.2 Dénition d'une valeur tuplée

Nous onservonsla règle 1page 7et nous posons plusieursdénitions onstru tivesd'une valeur tuplée

suivantles diérents as quel'on peutren ontrer dansungraphe des ontrariétés.Attention, lesvaleurs

tupléesquenousdénissonssontdesn-upletsnonordonnés.

Règle 12 (Valeur d'un argumentn'appartenant pasà un ir uit) Soitl'argumentAn'appartenant

pasàun ir uit,savaleur sera:

siA n'estpasattaqué:

v(A)=()(aussinotée:v(A)=(0))

si A a pour attaquants dire ts les arguments B 1

;:::;B n

dont les valeurs respe tives sont les tuples

(b 1 1 ;:::;b 1 m 1 );:::;(b n 1 ;:::;b n m n ): v(A)=(b 1 1 +1;:::;b 1 m 1 +1;:::;b n 1 +1;:::;b n m n +1)

Le as des ir uits est assezparti ulier ar le nombre de bran hes 2

est inni. On onsidérerale ir uit

ommeunméta-argument.Onvaprendrela onventionsuivante :

Onnemémoriseraquedeuxbran hes ( elled'attaquede longueurminimale et ellede défense

delongueur minimale).

D'autrepart,le al uls'ee tueraenrépertoriantpour haqueélémentdu ir uitlesattaquesetlesdéfenses

internesau ir uit,puisenrajoutant ellesquiviennentdel'extérieurdu ir uit.

Règle 13 (Valeur d'un argumentappartenant à un ir uit) SoitunargumentAappartenant àC 1 ...C m ir uits. SoientC 0 1 ...C 0 n

autres ir uits inter onne tésà l'undesC i ouentreeux 3 .SoientX 1 ... 2

L'utilisationde etermeestunabusdelangagepuisquelesélémentsd'un ir uitnesontpasfor émentliésàunefeuille

dugraphe. 3

An'appartientdon àau undesC 0 i .

(36)

X argumentsn'appartenantpasaux ir uitsmaisattaquantsdire tsdel'undes ir uits .Sa hantquel'on

note :

l i

:distan e la plus ourteentrele ir uitC 0 i etA(l i =Min C 0 j 2C 0 i (l C(C 0 j ;A) )), l X i =l C(X i ;A) (distan e 5 entrel'argumentX i etA), haque argumentX i apourvaleur :v(X i )=(x i 1 ;:::;x i k 1 ). on aalors: v(A) = ( z }| { 1;2;:::;1;2; mfois 1+l 1 ;2+l 1 ;:::;1+l n ;2+l n ; x 1 1 +l X 1;:::;x 1 k 1 +l X 1; :::; x p 1 +l X p; :::;x p k p +l Xp )

Remarque : pour al uler la valeur d'un argument A attaqué par un argument B ayant ()pour valeur,

il sut d'utiliser la notation (0) pour B et d'appliquer soit la règle 12 page i- ontre, soit la règle 13

pagepré édente.

Propriété 3(Existen e d'une évaluationpar tuples) Soit V l'ensemble des multi-ensembles

d'en-tiers, il existe toujours une fon tion d'évaluation par tuples v : A ! V vériant les règles données

i-dessus.

Preuve :Ils'agitd'uneappli ationdire te desrègles12page i- ontre à13page pré édente,

puisque esrèglesrépertorientlatotalité des aspouvantseproduire(ave ousans ir uit).

Un exemple d'étiquetage omplet : Prenons le graphe des ontrariétés suivant et appliquons les

règlespré édentes:

D

G

H

A

F

I

J

C

B

E

K

L

Q

P

M

N

O

()

(1,2)

(2,3)

()

(1,3,4)

(1,2,2,3,4,4,5,5)

(1,2,3)

(1,2,3,4,3)

(1,2,2,3,2)

(2,3,4)

(1,2,4,5,5)

(1,2,3,4,4)

(2,3,3)

(1,2,2)

(1,2,1)

PourD, E, F, L, Q et P, onutilise larègle 12 page i- ontre.Les valeursdetous lesautres arguments

sontfourniesparlarègle13pagepré édente.

Remarquonsaupassagequele seul asoùunargumentalamêmevaleurquesonattaquantdire t est le

asoùl'argumentet sonattaquantappartiennentàun ir uitsansattaquant!

Un autreexempleplus omplet auniveau des ir uitsestlesuivant:

4

C'est-à-direattaquantsdire tsd'élémentsdes ir uits:8X i ,9C2fC 1 ;:::;Cm;C 0 1 ;:::C 0 n gtelque9C2CetX i RC. 5

S'ilyaplusieurs heminsmenantdeX i

àA,onprendraen omptebien-sûrlesl 1 X i ,l 2 X i ,... orrespondantes.

(37)

D

()

(1,2,2,3,2)

(1,2,1,2,1)

(1,2,2,3,2)

_(1,2,2,3,2)

(1,2,1,2,1)

(2,3,3,4,3)

(1,2,2,3,2,3)

_{(1,2,2,3,2,1)}

(1,2,1,2,1,2)

(1,2,2,3,3,4,2)

(1,2,1,2,2,3,2)

(1,2,2,3,3,4,3)

(1,2,1,2,2,3,1)

(2,3,2,3,2,

2,3,2,3,2,

2,3,2,3,3,4,2,

2,3,2,3,2,3)

E1

A1

C1

B1

C2

A2

B2

E2

F2

F3

E3

A3

C3

B3

B4

A4

C4

E4

F4

Là,seulsC 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ,F 2 ,F 4

etDsont al ulésave larègle12page26.Touslesautresargumentssont

prisen ompte parlarègle13page26.

5.3 Appli ation aux diérents exemples

Reprenonslesdiérents aspourvoir e que elapourraitdonner.

I i, le al ul s'ee tue lassiquementenpartantdesfeuilles etenprogressantverslara inedel'arbre.

0 v(A)=() 1 v(B)=(), v(A)=(1) 2 v(C)=(), v(B)=(1), v(A)=(2) 3 v(B 1 )=v(B 2 )=(), v(A)=(1;1) 4 v(C 1 )=v(C 2 )=(), v(B 1 )=v(B 2 )=(1), v(A)=(2;2) 5 v(A)=(), v(B 1 )=v(B 2 )=(1) 6 v(C 1 )=v(C 2 )=(), v(A)=(1;1), v(B 1 )=v(B 2 )=(2;2)

(38)

n v(A n 1 )=(1), ..., v(A 2 )=(n 2), v(A 1 )=(n 1) 8 v(B i )=()8i=1:::n, v(A)=(1;:::;1) | {z } n fois 9

Ils'agitd'unegénéralisationdes as6,7et8:

v(A)=(x 1 ;x 2 ;:::;x p

)ave plenombretotaldebran hesetx i lalongueurde haque bran heiet v(B j )=(x 1 +1;x 2 +1;:::;x p +1),8B j .

On onstate que l'on n'a au un problème à al uler la valeur d'arguments appartenant à la fois à une

bran hede défense et àune bran he d'attaque. Ilreste maintenant àexploiter es valeurs, e qui est le

sujetdelase tion5.4.

10 v(B)=v(A)=(1;2) 11 v(A)=(1;2;1), v(B 1 )=(1;2;2), v(B 2 )=() 12 v(A)=(1;2;1;2), v(B 1 )=(1;2;2;3), v(B 2 )=(1;2;2;3) 13 v(A)=v(B 1 )=(1;2)etv(B 2 )=(2;3)

Quelquesremarquessur esrésultats:

dansle as10,lefaitquev(A)=v(B)esttoujoursduàl'hypothèsededépart(voirrègle1page7);

dansle as 12,onadésormaisune diéren eentre d'un téA etde l'autreB 1

etB 2

( equireète le

faitqueAappartientàdeux ir uitsalorsqueB 1

et B 2

n'appartiennentqu'àunseul ir uit).

14 v(A)=(1;2) 15 v(A)=v(B)=v(C)=(1;2) 16 v(D)=(), v(C)=(1;2;1), v(A)=(1;2;2), v(B)=(1;2;3) 17 v(A)=v(B)=v(C)=(1;2)et v(D)=(2;3)

5.4 Comparaison de valeurs tuplées

5.4.1 Introdu tion

SoientX etY,2argumentsayantlesvaleurstupléesrespe tivesv(X)etv(Y),leplussimplepour omparer

X etY estd'établirune omparaisonlexi ographiquedev(X)etdev(Y).Or, ette omparaisonnepermet

pasde on luredemanière onstru tivepourplusieursraisons:

Les bran hes de défense ont systématiquement une longueur supérieure aux bran hes d'attaque (par

exemple, ommentexploiterlefaitquev(X)=(1;1;1;1;1;1)< lex

(39)

(parexempleendiminuantde1lalongueurdetouteslesbran hesdedéfense).

Mais alors, onseretrouveànepluspouvoirdistinguer des as pourtantbien dissemblables 6

: B, dont

lavaleurv(B)=(2)devientv(B)=(1),nesedistingueraplusdel'argumentAdontlavaleurd'origine

v(A)=(1)(Aétantattaquésansdéfense,alorsqueB étaitattaquépuisdéfendu).

D'autrepart,ilfaudraitpouvoirdistingueraussiunargumentquiestattaqué(resp.défendu)sur

beau- oupdeniveauxetunargumentquiestattaqué(resp.défendu)surtrèspeudeniveaux(v(A)=(11)et

v(B)=(1)).Or,leraisonnementn'estpaslemêmesuivantqu'ils'agitd'uneattaqueoud'unedéfense:

plusunebran hededéfenseest ourteetpluselleestintéressantepourvalider unargument 7

,alorsqu'à

l'opposé,plusunebran hed'attaqueest ourteetpluselleestintéressantepourdis réditerunargument.

Larelationd'ordreentreargumentsn'estdon pasobtenuedelamêmefaçon,suivantquel'onexploite

lesrésultatsobtenussurl'aspe tattaqueousurl'aspe tdéfense!

Ensuivant esquelquesindi ations,onpeutdébou hersurplusieursappro hes.Nousallonsdon proposer

i i deuxsortesde omparaisons.Ellesobéissenttoutes lesdeuxàlamême idéede base :on faitd'abord

une omparaison quantitative des arguments à partir des attaques et des défenses, puis, si on ne peut

pas on lurepar e quelesquantités sontégales,on passe àune omparaison qualitative des arguments

toujoursàpartirdesattaquesetdesdéfenses(enutilisantune omparaisonlexi ographique).Ladiéren e

essentiellereposesurlamanièredontonvaréaliserla omparaisonquantitative:

soitenutilisantunrapport/tauxentredéfensesetattaques,

soitenexploitantdire tementlenombred'attaquesetlenombrededéfenses.

Onremarqueraquandmêmequel'utilisationd'une omparaisonlexi ographiquelorsdelaphasede

om-paraison qualitativeprésenteunin onvénient: 'est une méthodede omparaisonlo aleausensoù seuls

lespluspetits élémentsdiérentsvontserviràtran her(eneet(2;10 n ;:::;10 n )< lex (4;4;:::;4)!).

5.4.2 Appro he tuplée ave al ul d'un taux

I i, on va travailleren partant d'un taux entre attaques et défenses et en privilégiant la minimalité du

nombreglobaldebran hes.

Idéesutilisées Onpose:

Plus ilyadebran hesd'attaquemenantàunargument,etplus etargumentest mauvais.

Plus il y a de bran hes de défense menant à un argument, et plus et argument est bon (ave un

bémol : e prin ipes'applique si l'argument est aussiattaqué,sinon onpréfèrera qu'ily ait lemoins

possiblededéfenseseneet,qui ditdéfense, ditaussiqu'ilyaeuattaque ,l'idéalétantbien-sûrni

défense,ni attaque!).

Lavaleurmaximalesera elled'unargumentquin'estniattaqué,nidéfendu.

La valeurminimale sera elle d'un argument qui est attaqué par une innité d'arguments, et jamais

défendu.Cet argumentn'existebien-sûrpas!Ilsertjustedeborneinférieurepournotreévaluation.

Plusunebran hed'attaquemenantàunargumentestlongue,etmoinsellead'importan epour

dis ré-diter etargument(don plusellead'importan epour onforter etargument).

Plusunebran hededéfensemenantàunargumentest ourte,etplusellead'importan epour onforter

etargument.

La longueur des bran hes n'a d'importan e que si le rapport entre nombre de bran hes d'attaque et

nombredebran hesdedéfense nesut paspour omparer2arguments(les2rapportssontégaux!).

Ilvadon falloirfaire unepremièrepasse pourdéterminer et omparer d'abord lerapport entre nombre

d'attaques et nombre de défenses de ha un. Puis, si la première passe ne sut pas pour déterminer

le meilleur argument, on fera une se onde passe pour re her her la valeur maximale (en eet, étant

donné le al ul durapport voir i-après , il faut pouvoirtran herentre un argument jamais attaqué

et unargumentayantune uniquebran hequiest dedéfense ils ontlemême rapport !).Etenn,une

troisièmepasse souslaformed'une omparaisonlexi ographiqueserviraà omparer la qualitérespe tive

des attaques et des défenses. Ces deux dernières passes s'ee tueront sur une versionépurée des tuples

(inutile eneetde onserverleséléments ommuns à haquetuple : ilsn'apporterontrienaurésultatde

la omparaison).

6

Cetteremarqueestvraieaussision hoisitd'augmenterde1lalongueurdetouteslesbran hesd'attaque. 7

(40)

aurapasd'argumentsin omparables!).

Notations SoitX unargumentet v(X)savaleur,posons:

n a

(X) = nombre de bran hes d'attaque menant à X ( 'est-à-direnombre d'éléments impairs dans le

tuplev(X),et siX est unefeuillealorsn a

(X)=0),

n d

(X)=nombredebran hesdedéfensemenantàX ( 'est-à-direnombred'élémentspairsdansletuple

v(X),et siX est unefeuillealorsn d (X)=0), r(X)= nd(X) na(X) n d (X)+n a (X) si n a (X)6=0ou n d (X) 6=0,sinon r(X)=1(quand n a (X)=0ET n d (X) =0, don quandv(X)=()), v 0 (X)=f (v(X)),lafon tionf

(t) onsistantàordonnerletupletparvaleurs roissantes,

v 0 p (X) = f p (v 0 (X)), la fon tion f p

(t) onsistant à ne garder du tuple t que les valeurs paires ( elles

représentantdeslongueursdebran hesdedéfense),

v 0 i (X) =f i (v 0 (X)), lafon tion f i

(t) onsistantà ne garder dutuple t que les valeursimpaires ( elles

représentantdeslongueursdebran hesd'attaque).

Justi ationdes hoix Lesdonnéesn a

(X),n d

(X)serventà al ulerlerapportr(X)quialespropriétés

suivantes:

1 r(X) 1 (la valeur 1 orrespond au as pas de bran he d'attaque, alors que la valeur 1

orrespondau aspasdebran hededéfense),

r(X)augmentequandn d (X)augmenteouquandn a (X)diminue, r(X)diminuequand n d (X)diminueouquandn a (X)augmente, r(X)=0quandn a (X)=n d (X).

Onpeutdon direqueplusr(X)estgrandetmeilleurestl'argumentX (moinsd'attaque,plusdedéfense).

Quand r(X)est positif, alorsily aplusdedéfenses qued'attaquesetàl'inverse,quand r(X)est négatif

alorsilyaplusd'attaquesquededéfenses.

Quantàv 0 (X),v 0 p (X),v 0 i

(X),ils permettrontla omparaisonlexi ographiquedutuple. Remarquonsque

pourX dontlavaleurest(),onav 0 (X)=v 0 p (X)=v 0 i (X)=().

Dénition La omparaisonde2argumentsAetB vasefaireautraversdela omparaisondesnombres

r(A) etr(B) d'unepart,et d'autrepartautraversde la omparaisonlexi ographiquedes tuplesv(A)et

v(B)quandlapremière omparaisonn'aurapaspermisdetran her.

Onutiliseraladénitionsuivante :

Dénition13 Soient deuxtuples t =fx 1 ;:::;x n get t 0 =fy 1 ;:::;y p g. On dénitt t 0 omme étant le

tuple onstruitde la manièresuivante :

début

t t 0

=()

tantqu'ilresteunx i 2t faire n t nombred'o urren esdex i danst n t 0 nombred'o urren esdex i danst 0 n n t n t 0 sin<0alorsn 0 mettredanst t 0 no urren esdex i

enlevertoutesleso urren esdex i

det

n

Puisonutilisel'algorithme1pagesuivantepourdénirlarelationentrelesargumentsenfon tiondeleurs

valeurstuplées.

Remarquonsqueleseul asoùl'onfor el'égalité entre2argumentsAet B estlesuivant:A etB ontle

mêmerapport entreattaquesetdéfensesetl'undesdeuxargumentsaàlafois depluspetitesbran hes

de défenseet depluspetitesbran hesd'attaquequel'autre.Parexemple,A apour valeur(1;2;51;102),

alorsqueB apourvaleur(n;p;31;52)ave 1<n<31et2<p<52;i i,A estunargumentave saplus

petitedéfensefortemaisaussisapluspetiteattaqueforte,alorsqueBestunargumentave sapluspetite

défensefaiblemaisaussisapluspetiteattaquefaible.

Attention, ave les notations hoisies i i,A B peut signierdeux hoses bien diérentes : soit A et B

ontlamêmevaleur,soitleursvaleurssontin omparablesetonimpose alorsqueAet B soient onsidérés

(41)

%Des riptiondes paramètres: %

%v(A),v(B):2tuples %

début

siv(A)=v(B)alorsAB %Cas1%

sinon

sir(A)>r(B)alorsAB %Cas2%

sinon

sir(A)<r(B)alorsAB %Cas3%

sinon

%r(A)=r(B)don re her hedelavaleurmaximale()aprèsépuration%

v e

(A) v(A) v(B) %ongardelesélémentsdev(A)quinesont pasdansv(B)%

ve(B) v(B) v(A) %ongardelesélémentsdev(B)quinesontpasdansv(A)%

sive(A)=()alorsAB %Cas4%

sinon

sive(B)=()alors AB %Cas5%

sinon

% omparaisonslexi ographiquesentred'unepartlestuplesv 0 e p (A)etv 0 e p (B)%

%etd'autrepartlestuplesv 0 e i (A)etv 0 e i

(B)ave lesnotations:%

%v 0 ep

(X)tupleordonnéparordre roissantdesvaleurspairesdeve(X)%

%v 0 e i

(X)tupleordonnéparordre roissantdesvaleursimpairesdev e (X)% siv 0 ep (A)lexv 0 ep (B)etv 0 e i (A)lexv 0 e i (B)alorsAB %Cas6% sinon siv 0 ep (A)lexv 0 ep (B)etv 0 e i (A)lexv 0 e i (B)alorsAB %Cas7%

sinonAB %ondé idedenepastran her!Cas8%

n

autre argument). Par ontre, on remarqueraque ette évaluation n'est plus une mesure mais plutt un

ordonnan ement.

Par ontre,onverraense tion5.4.5page40que etterelationn'estpasunerelationd'ordre,

equi peutposerquelquesproblèmes!

5.4.3 Appro he tuplée ave omparaison du nombre des bran hes

Dans etteappro he beau oup plus simple,maismoins omplète sur ertainspoints(voirse tion 5.4.4

page34),onprend en omptedire tement lenombred'attaqueset dedéfenses,sanspasserpar

l'intermé-diaired'untaux.Deplus,onne her hepasàoptimiserenfon tiondunombreglobaldebran hes.

Idées utilisées Onpose:

Plus ilyadebran hesd'attaquemenantàunargument,etplus etargumentest mauvais.

Plus ilyadebran hesdedéfensemenantàunargument,etplus etargumentestbon.

Lavaleurmaximalesera elled'unargumentquin'estniattaqué,nidéfendu.

La valeurminimale sera elle d'un argument qui est attaqué par une innité d'arguments, et jamais

défendu.Cet argumentn'existebien-sûrpas!Ilsertjustedeborneinférieurepournotreévaluation.

Plusunebran hed'attaquemenantàunargumentestlongue,etmoinsellead'importan epour

dis ré-diter etargument(don plusellead'importan epour onforter etargument).

Plusunebran hededéfensemenantàunargumentest ourte,etplusellead'importan epour onforter

etargument.

Lalongueurdesbran hesn'ad'importan e quesilenombredebran hesde haquenature nesut pas

pour omparer2arguments.

Ilvadon falloirfaireunepremièrepasse pourdétermineret omparerd'abordlenombred'attaquesetde

défenses de ha un.Si es deux ritèressontena ordouendésa ord,alorsonpourra on lure. Sinon,

silapremièrepasse nesutpaspourdéterminerlemeilleur argument(lesdeux ritèressontidentiques),

on fera une se onde passe sous la forme d'une omparaison lexi ographique qui servira à omparer la