1ère - Semaine du
Vous trouverez sur le site Maths.ita une série d le triangle et sur les droites et vecteurs normaux. Mardi 19 mai :
Activité A p 254. Vous trouverez la figure ici https://www.geogebra.org/geometry/x8xmwy8z
1. et . Comme
cercle mesure 10 unités. 2.
a. et
b. Calculons
c. Calculons
n’est pas un point du cercle 3.
a. Le point appartient au cercle b. On a
c. On a donc :
Bilan :
Un cercle de centre et de rayon
Exercices d’application directe : 21, 22, 23 et 24 p 267.
Corrigé exercice 21 :
1.
2.
3.
Corrigé exercice 22 (utiliser le produit scalaire p
puis développer et simplifier 1.
Semaine du 18 au 22 mai 2020 - Correction
Equation de cercle
s trouverez sur le site Maths.ita une série d’autotests sur les relations métriques dans oites et vecteurs normaux. A utiliser sans modération.
verez la figure ici : .geogebra.org/geometry/x8xmwy8z
. Comme est un rayon du cercle et que
on en déduit que le rayon du mesure 10 unités.
.
Donc et sont des points du cercle. n’est pas un point du cercle .
appartient au cercle si . .
ce qui veut dire que .
et de rayon a pour équation application directe : 21, 22, 23 et 24 p 267.
x2 – 4x + y2 – 6y = 7 x2 + 2x + y2 – 2y = 1
x2 + 4x + y2 + 3y = – .
(utiliser le produit scalaire pour commencer à obtenir les for puis développer et simplifier))
x2 – 5x + y2 – 5y = –7
Correction
autotests sur les relations métriques dans A utiliser sans modération.
on en déduit que le rayon du
et
sont des points du cercle. . Donc
ce qui veut dire que
2.
3.
Corrigé exercice 23 :
1.
donc l‘équation du cercle est 2.
donc l‘équation du cercle est 3.
donc l’équation du cercle est
Corrigé exercice 24 :
1. Par définition le centre est 2. L’équation peut s’écrire
coordonnées et le rayon est 1. 3.
et le rayon du cercle est 4. L’équation peut s’écrire :
On obtient alors rayon : .
5. L’équation peut s’écrire
est . Exercice 41 p 269 1. , et x2 + 5x + y2 + 2y = 9 x2 – 4x + y2 – = donc l‘équation du cercle est
donc l‘équation du cercle est x2 – 2x + y
donc l’équation du cercle est x2 + 2x +
Par définition le centre est et le rayon mesure .
L’équation peut s’écrire donc le centre du cercle admet p et le rayon est 1.
donc le centre du cercle admet pour coordonnées et le rayon du cercle est .
L’équation peut s’écrire : .
on a donc le centre du cercle :
L’équation peut s’écrire d’où
donc le centre du cercle est
et .
= – .
y2 – 4y = 3
+ y2 – 8= 35
donc le centre du cercle admet pour
donc le centre du cercle admet pour coordonnées
on a donc le centre du cercle : et le
2. D’une part De plus
Et le point de coordonnées
est .
donc bien perpendiculaire à
3. passe par et est perpendiculaire à On a donc que
L’équation de est de la forme donc 4. Pour cela on résout le système
5. Le centre du cercle est
Une équation du cercle est donc
Mercredi 20 mai :
Visio : Contrôle des démonstration droite et II sur les équations de cercles).
dans un triangle et les droites et vecteurs normaux. Ex 34 puis ex 36 p 268 : une équation donnée est
Corrigé exercice 34 :
1. 2.
3. On remplace les formes canoniques déterminées précédemment dans notre première équation :
4. Les coordonnées des points de On en déduit que l’ensemble
donc
Et le point de coordonnées appartient à la droite donc un vecteur directeur
les vecteurs sont orthogonaux la droite donc bien perpendiculaire à c’est donc bien la médiatrice de
et est perpendiculaire à . est un vecteur normal de .
est de la forme . Comme
donc et admet pour équation Pour cela on résout le système
Le centre du cercle est et le rayon est
Une équation du cercle est donc .
es démonstrations de la fiche de synthèse (I sur les vecteurs normaux à une droite et II sur les équations de cercles). Réponse aux questions sur les relations métriques dans un triangle et les droites et vecteurs normaux.
une équation donnée est-elle celle d’un cercle.
, donc .
, donc .
On remplace les formes canoniques déterminées précédemment dans notre
Les coordonnées des points de vérifient donc .
est un cercle de centre et de rayon
appartient à la droite donc un vecteur directeur
les vecteurs sont orthogonaux la droite est c’est donc bien la médiatrice de .
on en déduit que
.
(I sur les vecteurs normaux à une se aux questions sur les relations métriques
On remplace les formes canoniques déterminées précédemment dans notre
, donc et de rayon .
Corrigé exercice 36 :
1.
Cette équation est l’équation du cercle de centre 2.
est équivalente à
d’obtenir un carré de rayon de longueur négative puisque le rayon est un réel, donc cette équation n’est pas une
3.
coefficient 2 devant le
4.
Donc l’équation
Cette équation est l’équation d’un cercle de centre 5.
du signe négatif devant le
Ex 43 p 269.
Corrigé exercice 43 :
Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices du triangle
La médiatrice de est la droite passant perpendiculairement par le milieu A’ du segment . Le vecteur est donc un vecteur normal à la médiatrice du segment
, donc . Or le milieu ses coordonnées : et , donc , donc l’équation est équivalente à .
Cette équation est l’équation du cercle de centre et de rayon 2.
, donc , donc l’équation
est équivalente à . Il n’est pas possible d’obtenir un carré de rayon de longueur négative puisque le rayon est un réel, donc cette équation n’est pas une équation de cercle.
: cette équation n’est pas une équation de cercle à cause du coefficient 2 devant le et 1 devant le : il est impossible de l’écrire sous la forme
.
et , donc
. est équivalente à
, donc à
Cette équation est l’équation d’un cercle de centre et de rayon
: cette équation n’est pas une équation de cercle à cause du signe négatif devant le : il est impossible de l’écrire sous la forme
.
Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices du triangle
est la droite passant perpendiculairement par le milieu A’ du segment est donc un vecteur normal à la médiatrice du segment
, une équation de la médiatrice est de la forme . Or le milieu du segment appartenant à la médiatrice, on calcule
, donc .
, donc l’équation
, donc à
, donc l’équation . Il n’est pas possible d’obtenir un carré de rayon de longueur négative puisque le rayon est un réel, donc
: cette équation n’est pas une équation de cercle à cause du : il est impossible de l’écrire sous la forme
.
et de rayon . : cette équation n’est pas une équation de cercle à cause
: il est impossible de l’écrire sous la forme
Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices du triangle . est la droite passant perpendiculairement par le milieu A’ du segment est donc un vecteur normal à la médiatrice du segment . Comme
, une équation de la médiatrice est de la forme appartenant à la médiatrice, on calcule
On les remplace dans l’équation précédente : Une équation de la médiatrice est alors
La médiatrice de est la droite passant perpendiculairement par le milieu B’ du segment . Le vecteur est donc un vecteur normal à la médiatrice du segment
, donc .
Or le milieu du segment , donc
, donc
Une équation de la médiatrice est alors .
On note le point d’intersection des deux médiatrices. Afin de trouver les coordonnées de , on résout le système d’équations
Les coordonnées de sont donc
On calcule maintenant le rayon du cercle circonscrit : lace dans l’équation précédente :
Une équation de la médiatrice est alors .
est la droite passant perpendiculairement par le milieu B’ du segment est donc un vecteur normal à la médiatrice du segment
, une équation de la médiatrice est de la forme
appartenant à la médiatrice, on calcule ses coordonnées : . On les remplace dans l’équation précédente :
, donc .
Une équation de la médiatrice est alors , ce qui est équivalent à
le point d’intersection des deux médiatrices. Afin de trouver les coordonnées de , on résout le système d’équations
sont donc .
On calcule maintenant le rayon du cercle circonscrit :
, donc .
est la droite passant perpendiculairement par le milieu B’ du segment est donc un vecteur normal à la médiatrice du segment . Comme
, une équation de la médiatrice est de la forme
appartenant à la médiatrice, on calcule ses coordonnées : . On les remplace dans l’équation précédente :
, ce qui est équivalent à
L’équation du cercle est donc :
