Devoir de contrôle n° 3 2ème Sciences Me Bayoudh 29 01 15 (Pilote)

(1)

• Exercice 1 : (4,5 points)

Soit = 29 435

où désigne le chiffre des unités et celui des dizaines de milliers de l’entier naturel .

1) Déterminer pour que soit divisible par 9.

4) a/ Déterminer pour que le reste de la division euclidienne de par 8 soit égal à 5.

b/ Déterminer dans ce cas le reste de la division euclidienne de par 8.

• Exercice 2 : (8,5 points : 2+2,5+4)

Les questions I) , II) et III) sont indépendantes.

I) 1) Déterminer a et b tels que pour tout ∈ \ 0,1

2) En déduire deux valeurs de l’entier naturel pour les quelles − ! divise 14 − 8!.

II) Montrer que $+ 5 est divisible par 6 pour tout ∈ .

III) On considère le polynôme % défini par : % &! = &' _{+ &}' _{+ ⋯ + & + & + 1.}

1) Calculer &. % &! et montrer que : &'− 1 = & − 1!% &!

2) En déduire que pour tout ) ∈ ℕ:

* 10,_{− 1 est divisible par 9.}

* 10 ,− 1 est divisible par 11.

* 10 ,- _{+ 1 est divisible par 11.}

3) Déterminer le reste de la division euclidienne de 10 ,+ 2015 par 99.

• Exercice 3 : (7 points)

Soit V un cercle de centre . et / un point de V , on note le milieu du segment 0./1.

Soit ∆ la médiatrice du segment 0./1, ∆ coupe le cercle V en 3 et 4 .

1) a/ Construire en justifiant ∆′ l’image de la droite ∆ par la translation de vecteur .666667.

b/ Construire VË l’image du cercle V par la translation de vecteur 2./666667 , on note .′ son centre.

c/ Montrer que la droite ∆′ est une tangente commune aux cercles V et VËA

2) Soit 8 le symétrique du point 4 par rapport au point ..

a/ Construire le point 3’ = : 6666667_;< 3!

b/ Montrer que les points 8, 3 et 3’ sont alignés.

c/ La droite 33’! recoupe le cercle VË en 8’. Montrer que : _;<6666667 8! = 8′

3) Soient = = :_<>666667 8! et ? = :@<666667 =!.

Montrer que 4 = :_A@₆₆₆₆₆₇ ?!. http://mathematiques.kooli.me/

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Classe : 2ème Sciences 4

Date : 29/01/2015