Devoir de contrôle N° 3 durée : 1 heure date : 20/01/2012
Lycée pilote de Nabeul 2ème année Sciences
Exercice n° 1 : (6 points)
On considère l’entier naturel N = 55y94x où x désigne le chiffre des unités et y le chiffre des milliers, r est le reste de la division euclidienne de N par 11.
1. On donne x = 1 et y = 8 : a. Calculez r.
b. Déduisez-en le reste de la division euclidienne de N² par 11.
2. On donne x = 9, déterminez y pour que N soit divisible par 11, justifiez.
3. On donne y = 7 et r = 10. Calculez x.
Exercice n° 2 : (5 points)
Soit n un entier naturel non nul, on donne l’expression A = 3n² + 7n – 6.
1. Trouvez les entiers a et b pour lesquels A = (n + 3) (an + b).
2. Déterminez les valeurs de n pour lesquelles
est un entier naturel.
Exercice n° 3 : (9 points)
Soient ξ et ξ’ deux cercles de centres respectifs O et O’, tangents extérieurement en A et de rayons respectifs r = 2 et r’ = 3. On considère h l’homothétie de centre A qui transforme O en O’.
1.
a. Déterminez le rapport k de h.
b. Montrez que ξ’ est l’image de ξ par h.
2. La perpendiculaire à (OA) en O coupe ξ en B et C.
a. Construisez le point I image de C par h.
b. La droite (AB) recoupe ξ’ en J. Déterminez l’image de B par h.
c. Déduisez-en que les droites (IJ) et (AO) sont perpendiculaires.
3. La droite (OA) recoupe ξ en E. On pose h(E) = K.
a. Vérifiez que K ξ’.
b. Précisez la nature du triangle EBC. Déduisez-en celle du triangle KIJ. Justifiez.
4. Soit ∆ la tangente à ξ en A, la droite (EB) coupe ∆ en F. Montrez que F’ est le barycentre des points pondérés (K, -1) et (J, 2) où F’ est l’image de F par h.
5. Soit M un point de ∆ vérifiant : MF + MA = AF. Déterminez et représentez en couleur le lieu du point M’ l’image de M par h.
