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Chapitre 9

Les Applications Linéaires

Motivation : Le fait que l’ens des sols d’un système homogène est un sev provient de ce que LA: x → Axtransforme les CL d’im en im de CL.

I

La linéarité

I.1 Définition

Définition I.1 (Applications linéaires)

Soient E, F deux K−espaces vectoriels . Une application f : E → F est dite linéaire lorsque

∀x, y ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, f (λx + µy) = λf (x) + µf (y).

Si E = F , on dit que f est un endomorphisme. On note L (E, F ) l’ensemble des

applications linéaires entre E et F , etL (E) = L (E, E) l’ensemble des endomorphismes de E.

Remarque :

B Si f ∈ L (E, F ), alors f (0E) = 0F . En effet, y = f (0E)vérifie y + y = y, et on sait que dans un groupe,

l’élément neutre est le seul qui vérifie cette équation. B f : E → F est donc linéaire ⇔ elle est à la fois

1. homogène : f (λ.x = λ.f (x), et

2. additive : f (x + y) = f (x) + f (y),

i.e finalement ⇐⇒ elle préserve la structure d’espace vectoriel . On appelle aussimorphismes d’espaces vectoriels les applications linéaires.

B La définition se généralise aux combinaisons linéaires finies : si f est linéaire, ∀a1, . . . , an∈ K, ∀e1, . . . en∈ E, f n X i=1 aiei ! = n X i=1 aif (ei).

B Interprétation géométrique : En regardant l’image de vt= tx + yoù t parcourt R, on voit qu’une

appli-cation linéaire transforme toute droite affine de E en une droite affine de F .

I.2 Exemples

Nous en avons rencontré un grand nombre :

(2)

2./ Tout espace vectoriel E admet pour endomorphisme l’application identité IdE : x ∈ E 7→ x ∈ E.

3./ Les formes linéaires sont les applications naturelles sur E Définition I.2 (Formes Linéaires)

Soit E un K−espace vectoriel . On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire ϕ : E → K.

La description des formes linéaires sont Kn _{est la suivante :}

Proposition I.3 (Formes linéaires sur Kn₎

ϕ : Kn _{→ K est une forme linéaire sur K}n_{si et seulement si}

il existe a1, . . . , an∈ K tels que ϕ :     x1 .. . xn    ∈ K n _7→ n X i=1 aixi ∈ K.

Démonstration : Je vous laisse la linéarité de ce type d’applications, soit ⇐ . Si ϕ est une

forme linéaire sur Kn_{, notons (e}

1, . . . , en)la base canonique de cet espace vectoriel et pour tout

i ∈ [[1, n]], ai = f (ei).La linéarité nous donne donc

f    x1 .. . xn   = f n X i=1 xiei ! = n X i=1 xif (ei) = n X i=1 xiai. 4./ Soient n, p ∈ N∗ _{et A = (a}

i,j) ∈Mn,p(K). Notons LA: X ∈ Kp → AX ∈ Kn,où,

LA     x1 .. . xp     =       a11 a12 . . . a1p a21 a22 . . . a2p .. . ... ... an1 an2 . . . anp           x1 .. . xp     =           p X j=1 a1,jxj .. . p X j=1 an,jxj           ∈ Kn.

Alors pour tous X, Y ∈ Kp_{, ∀λ, µ ∈ K, LA}_{(λ.X + µ.Y ) = λL}

A(X) + µLA(Y ).

LA est l’application linéaire (endomorphisme si n = p) canoniquement associé a A.

Notons que dans le cas où n = 1, A est une matrice-ligne, et on retrouve les formes linéaires sur Kn_.

Nous verrons que, tout comme dans ce cas, toute application linéaire de Kp_{dans K}n_{est de cette forme.}

Ainsi, résoudre le système AX = B, où B ∈ Kp_{, c’est finalement rechercher les}

antécé-dents de B par l’application f , i.e Sol = LA−1

{B}. Le système possède au moins une solution ⇐⇒ LA est surjective, et il en possède au plus une ⇐⇒ LAest injective.

5./ Soit x0 ∈ R. On appelle opérateur d’évaluation en x0 l’application

Ex0 : f ∈F (R, R) 7→ f(x0) ∈ R.

(3)

6./ Soit I un intervalle de R.

La dérivation D D1_{(I, R) −→ F (I, R)}

f 7−→ f0

est une application linéaire.

7./ Soit I un intervalle de R et a, b ∈ I. L’intégrale I C0 m(I, C) −→ C f 7−→ Z b a f (t)dt

est une forme linéaire.

8./ Soit θ ∈ R. Notons Rθ la rotation.

II

Structure, image et noyau

II.1

Structure de

L (E, F ).

Proposition II.1 (L (E, F ) est un espace vectoriel )

Soient E et F deux K−espaces vectoriels . L’ensemble L (E, F ) des applications linéaires de E dans F est un sous-espace vectoriel deF (E, F ).

Démonstration : L’application nulle est bien évidemment linéaire. Soient f, g ∈L (E, F ), a, b ∈

K. Il s’agit de montrer que a.f + b.g est aussi linéaire, ce qui ne pose aucun difficulté.

Proposition II.2 (L (E) est stable par composition)

Soit E un K−espace vectoriel . Soient f et g deux endomorphismes de E. Alors f ◦ g est un endomorphisme de E.

Les puissances d’un endomorphisme f seront encore notés fn_{, pour tout n ∈ N.} Exemples :

– Montrer que D : P 7→ P0 _{est un endomorphisme de E = R}

n[X], et que Dn+1= 0_{L (E)}.

– Montrer que D : P 7→ P0 _{est un endomorphisme de E = R[X], et que ∀n ∈ N, D}n_{6= 0}

L (E).

II.2

Images et noyaux

Remarque :

B f : E → F et X ⊂ E. On note

f (X) = {f (x)où x ∈ X} l’image directe de X par f .

L’image de E est f (E). On la note Im f . Rappelons enfin que f est surjective ssi Im f = E.

B f : E → F et Y ⊂ F . On note

f−1(Y ) = {x ∈ Etels que f (x) ∈ Y } On l’appelleimage inverse de Y par f .

Elle ne nécessite pas l’inversibilité de f .

B Avec ces notations, on a ainsi f (X) ⊂ F et f−1(Y ) ⊂ E.

Dans le cadre linéaire, ces deux notions sont compatibles avec la structure :

Propriétés II.3

(4)

1. Soit W un sous-espace vectoriel de F . L’image inverse f−1_{(W )}_{de W par f est un}

sous-espace vectoriel de E.

2. Soit V un sous-espace vectoriel de E. L’image directe f (V ) de V par f est un sous-espace vectoriel de F .

Corollaire II.4 (L’image et le noyau sont des sous-espaces vectoriels )

Soient E et F deux K−espaces vectoriels , et f : E → F une application linéaire. Alors : 1. ker f =nx ∈ E tels que f (x) = 0F

o

est un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle le noyau de f .

2. Si Im f est de dimension finie, on appelle rang de f sa dimension. 3. Im f = f (E) = {f (x) où x ∈ E} est un sous-espace vectoriel de F .

Exemples :

– L’ensemble des solutions du système linéaire homogène associé à une matrice A ∈ Mn,p est le noyau de

LA∈L (Rp, Rn). On retrouve ainsi sa structure de sous-espace vectoriel de Rp. On dira souvent noyau de

la matrice , plutôt que noyau de l’aplication linéiare canoniquement associée à A. – {f ∈F (R, R) telles que f(π) = 0} est le noyau de l’opérateur d’évaluation en x0.

– f ∈F (R, R) telles que Z 1 0 f (t)dt = 0

est le noyau de l’intégrale.

Dans le cas où f = LA:

Proposition II.5 (Image et Noyau d’une matrice)

Soit A ∈Mn,(K). Notons C1, . . . , Cp ses colonnes.

1. Le noyau de LAest l’ensemble de solutions de AX = 0.

2. L’image de LAest Vect (C1, . . . , Cp).

Dans le cadre linéaire, l’injectivité et la surjectivité d’une application se traduit par des égalités de sous-espaces vectoriels :

Proposition II.6 (Injectivité et surjectivité d’une application linéiare)

Soient E et F deux K−espaces vectoriels , et f : E → F une application linéaire. Alors : – f est injective ⇐⇒ ker f = {0E}.

– f est surjective ⇐⇒ f (E) = F .

III

La linéarité en dimension finie

III.1

Comment construire une application linéaire

Pour toute familleE = (e1, . . . ep)de E, on appelleimage deE par l’application linéaire f la maille (f (e1), . . . , f (ep)).

SiE est une base de E, alors Sie1, . . . ep

est une base de E, alors Im f = Vect

f (e1), . . . f (ep)

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si bien que coincident alors nos deux notions de rang : Sie1, . . . ep

est une base de E, alors Rang f = Rang

f (e1), . . . f (ep)

,

Le lemme suivant explique que la connaisance de l’image d’une famille génératriceE de

E par une application linéaire f détermine complètement cette application linéaire :

Lemme 1

Soient E et F deux K−espaces vectoriels , f, g ∈ L (E, F ), et E = (e1, . . . , ep)une famille

génératrice de E.

Si ∀i ∈ [[1, p]], f (ei) = g(ei), alors f = g.

Démonstration : PuisqueE est génératrice de E, ∀x ∈ E, ∃a1, . . . , ap ∈ K tels que x =

p X k=1 ai.ei. Alors f (x) = f p X k=1 ai.ei ! = p X k=1 ai.f (ei) = p X k=1 ai.g(ei) = g p X k=1 ai.ei ! = g(x).

Le théorème central de ce paragraphe est le suivant :

Théorème III.1

Soient E un K−espace vectoriel de dimension finie et F un K−espace vectoriel. Soient

 



B = (e1, . . . , en)unebase de vecteurs E et

(b1, . . . , bn)unefamille de vecteurs de F .

Alors il existe une unique application linéaire f ∈ L (E, F ) qui vérifie pour tout

i ∈ [[1, n]], f (ei) = bi.

Démonstration : EXISTENCE : Tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme une

combi-naison linéiare de vecteurs deB. Définissons notre application à l’aide de ces coordonnées : f : n X i=1 xiei∈ E 7→ r X i=1 xibi ∈ F.

UNICITE : C’est une conséquence du lemme précédent.

L’image d’une base quelconque de E par f peut donner beaucoup d’informations sur f :

Proposition III.2 (Image d’une base)

Soit f ∈L (E, F ), (e1, . . . , en)une base de E. Alors,

• (f est injective) ⇐⇒ (f (e1, . . . , f (en))est libre.

• (f est surjective) ⇐⇒ (f (e1, . . . , f (en))est génératrice de E.

(6)

III.2

Le théorème du rang

Voici un des résultats les plus importants d’algèbre linéaire, dont nous avons déjà fourni une preuve lors des systèmes. En effet, avec notre langage d’alors, il s’agit de dire que toute variable est soit libre soit pivot, et jamais les deux à la fois :

Soit E un espace vectoriel de dim finie, F un espace vectoriel , et ∈ L (E, F ). Alors Im f est de dimension finie et

dim ker f +Rang f = dim E.

Preuve : On complète une base de ker f en une base de E par n − k vecteurs. on montre alors que l’image de ces n − k vecteurs forment une base de l’image de f .

Exemples :

B Le noyau d’une forme linéaire en dimension finie est un hyperplan. B Cas d’une matrice.

B Cas de la dérivation.

III.3

Isomorphisme

Nous tirons de la proposition III.2 :

Corollaire III.4

Soient E et F deux K−espaces vectoriels de dimensions finies, et f ∈ L (E, F ). Alors, 1. Si f est injective, alors dim E 6 dim F .

2. Si f est surjective, alors dim E > dim F . 3. Si f est bijective, alors dim E = dim F .

Considérons maintenant les applications bijectives entre deux espaces vectoriels de même dimension finie.

Soient E et F deux K−espaces vectoriels tels que dim E = dim F = n ∈ N, et f ∈ L (E, F ). Alors,

f est injective ⇐⇒ f est surjective ⇐⇒ f est bijective ⇐⇒ Rang f = n ⇐⇒ dim ker f = 0.

Exemples :

1. C’est FAUX en dimension infinie, par exemple la dérivation sur R[X].

Lemme 2

La réciproque d’un isomorphisme est linéaire.

Définition III.6 (Groupe linéaire)

Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie. On note GL(E) l’ensemble des iso-morphismes de E. C’est un sous-groupe deBij(E), ◦.

(7)

Soit n ∈ N∗

. Tout ev de dimension n est isomorphe à Rn_.

on refait la dém.

IV

Quelques applications à connaître

IV.1

Projecteurs et symétries

IV.2

Hyperplans et formes linéaires

IV.3

Miscellaneous

B Les endomorphismes nilpotents : soit f ∈ L (E). On note pour tout entier naturel

k, fk ₌    IdE, si k = 0, f ◦ fk−1_, _sinon. .

B Les valeurs propres : Def de valeurs propres et de vecteurs propres d’un endomor-phisme. ker f, ker(f − λId), exemple de la matrice 3 × 3 dont les coeffs diagonaux valent 2 et les autres 1.