le corrigé

Séries entières (complément pour 5/2)

Exercice 1 Soit (un) une suite bornée, et pour tout n ∈ N, sn= n X

k=0

uk.

a) Déterminer les rayons de convergence de U(x) =

+∞ X k=0 uk k!x k_{et S(x) =} +∞ X k=0 sk k!x k_. b) Trouver une relation entre U0, S et S0.

c) On suppose que (sn) tend vers une limite ` quand n tend vers +∞. Montrer qu’alors e

−_x

S(x) tend vers une limite à préciser quand x tend vers +∞.

a) (un) est bornée donc uk

k!x k_{= O}xk k!  . le rayon de convergence deXuk k!x k_{est égal à +∞.} sn= O(n) donc sk k!x k_{= O} xk (k − 1)!  . le rayon de convergence deXsk k!x k_{est égal à +∞.} b) U0(x) = +∞ X k=1 uk (k − 1)!x k−1₌ +∞ X k=1 sk−sk−1 (k − 1)!x k−1₌ +∞ X k=1 sk (k − 1)!x k−1₋ +∞ X k=0 sk k!x k_{= S}0 (x) − S(x). c) Soit  > 0. Il existe un rang N à partir duquel |sn−`| 6 /2. Alors :

|_{S(x) − ` e</sub>x|<sub>=</sub>   +∞ X k=0 sk−` k! x k   6 N−1 X k=0 |_sk−_{`|</sub> k! x k<sub>+</sub> 2 +∞ X k=N+1 xk k! 6 N−1 X k=0 |<sub>sk</sub>−<sub>`|} k! x k₊ 2e x donc | e−xS(x) − `| 6  2+ N−1 X k=0 |<sub>sk</sub>−<sub>`|} k! x k_e−_x

. Lorsque x tend vers +∞ ce majorant tend vers 

2 donc il existe A > 0 tel que x > A =⇒ | e−xS(x) − `| 6 , ce qui prouve que lim

+∞e −_x

S(x) = `.

Exercice 2 Soit A ∈ Mp(C). Déterminer le rayon de convergence de X

tr(An)znet exprimer sa somme en fonction du polynôme caractéristique de A.

Posons Sp(A) = {λ1, . . . , λp}(valeurs propres comptées avec multiplicité). On sait que tr(An) = p X k=1 λn_k (conséquence de la trigonalisation) donc +∞ X n=0 tr(An)zn= p X k=1 +∞ X n=0 (λkz)n. Or X (λkz)nconverge et vaut 1 1 − λkz si et seulement si |_{z| 6} 1 |λk| donc R = 1 max |λk| et +∞ X n=0 tr(An)zn= p X k=1 1 1 − λkz.

Par ailleurs,

χ

χ

χ

χ

χ

Exercice 3 On considère le problème de Cauchy y00+ xy0+ y = 1 avec y(0) = y0(0) = 0. a) On considère une série entièreXanxn de rayon de convergence R > 0. Si

X

anxn est solution de l’équation différentielle, donner la relation de récurrence liant les termes de la suite (an).

b) Expliciter anen fonction de n, et donner alors le rayon de convergence de X

anxn. c) ExpliciterXanxnà l’aide des fonctions usuelles.

a) On a +∞ X n=2 n(n − 1)anxn−2+ x +∞ X n=1 nanxn−1+ +∞ X n=0

anxn= 1 soit en ré-indexant la première somme :

+∞ X n=0 (n + 1)(n + 2)an+2xn+ +∞ X n=0 nanxn+ +∞ X n=0

anxn = 1 et en invoquant l’unicité du développement en série entière on obtient : 2a2+ a0= 1 et pour tout n > 1, (n + 2)an+2+ an= 0.

PC∗ b) Sachant que a0= 0 on a a2= 1 2 et pour tout p > 1, a2p= (−1)p−1 (2p)(2p − 2) · · · (4)a2= (−1)p−1 2pp! .

Sachant que a1= 0 on a pour tout p > 0, a2p+1= 0.

La série entière recherchée vaut donc y(x) =

+∞

X

p=1 (−1)p−1

2pp! x

2p_{; le critère de d’Alembert donne R = +∞.}

c) Pour tout x ∈ R, y(x) = −

+∞ X p=1 (−1)p p! _x2 2 p = 1 − exp(−x2/2). Exercice 4 Soit (an) ∈ (C ∗ )N

, telle que lim n→+∞     an+3 an    = ` ∈ R+ ∪ {_+∞}. Déterminer le rayon de convergence de S =Xanzn.

Considérons les trois séries entières S1=

X a3nz3n, S2 = X a3n+1z3n+1 et S3 = X a3n+2z3n+2. Le critère de

d’Alembert appliqué à chacune d’elles montre qu’elles ont toutes trois un rayon de convergence R = 3 √

`. On en

déduit que le rayon de convergence de S est supérieur ou égal à 3 √

`.

Par ailleurs, si on a |z| > 3 √

` alors la suite (a3nz3n) ne converge pas vers 0, donc la suite (anzn) dont elle est extraite

non plus. On en déduit que le rayon de convergence de S est égal à 3 √

`.

Exercice 5 Pour n ∈ N on note Bnle nombre de partitions d’un ensemble à n éléments. On convient que B0= B1= 1.

a) Montrer que Bn+1= n X k=0 n k ! Bk.

b) Montrer que le rayon de convergence R de la série entièreXBn

n!x

n_{est strictement positif.}

c) On pose f : x 7→ +∞ X n=0 Bn n!x

n_{. Trouver une équation différentielle vérifiée par f sur ]−R, R[.}

d) En déduire une expression de Bnsous la forme d’une série.

a) Considérons un ensemble E à n + 1 éléments, et l’un de ses éléments a. Le nombre de partitions de E pour lesquelles la classe de a contient k + 1 éléments (avec k ∈ ~1, n est égal à n

k ! Bn−kdonc Bn+1= n X k=0 n k ! Bn−k = n X k=0 n k !

Bk de par la formule des compléments. b) On montre par récurrence que Bn6_n!.

– C’est clair pour n ∈ {0, 1}.

– Si n > 1, on suppose le résultat acquis jusqu’au rang n. Alors Bn+16 n X k=0 n k ! k! =X k=0 n n! (n − k)!6 n X k=0 ! = (n + 1)! donc la récurrence se propage.

Ainsi, Bn n! 61, ce qui implique R > 1. c) Pour tout x ∈ ]−R, R[, f0(x) = +∞ X n=1 Bn (n − 1)!x n−1₌ +∞ X n=0 Bn+1 n! x n₌ +∞ X n=0 n X k=0 Bk k!(n − k)!x n_.

On reconnait un produit de Cauchy : f0(x) = _X+∞ n=0 xn n! _X+∞ n=0 Bn n!x n_{= e}x_{f (x).}

d) On en déduit l’existence de λ ∈ R tel que f (x) = λ eex. Et puisque f (0) = 1, λ = 1/ e et ainsi, f (x) = eex−1.

D’où : f (x) = 1 e +∞ X k=0 ekx k! = 1 e +∞ X k=0 +∞ X n=0 (kx)n

n!k! et si on admet qu’on peut intervertir les deux sommes : f (x) =

1 e +∞ X n=0 _X+∞ k=0 kn k! _xn

n!. Par unicité du développement en série entière on en déduit Bn=

1 e +∞ X k=0 kn k!.

Séries entières (complément pour 5/2) Exercice 6 Calculer wn= n X k=0 (−1)k 2k k ! 2n − 2k n − k ! à l’aide de f (x) = +∞ X n=0 2n n ! xn.

Le critère de d’Alembert permet de prouver que le rayon de convergence de f est égal à 1/4. D’après le produit de Cauchy, pour tout x ∈ ]−1/4, 1/4[, f (x)f (−x) =

+∞

X

n=0

wnxn. Nous allons maintenant calculer

f (x). Pour tout x ∈ ]−1/4, 1/4[, f0(x) = +∞ X n=1 (2n)! n!(n − 1)!x n−1₌ +∞ X n=1 (4n − 2) 2n − 2 n − 1 ! xn−1= +∞ X n=0 (4n + 2) 2n n ! xn.

On a donc f0(x) = 4xf0(x) + 2f (x), soit (1 − 4x)f0(x) = 2f (x). En résolvant cette équation (sachant que f (0) = 1) on en déduit que f (x) =√ 1

1 − 4x, puis que f (x)f (−x) = 1 √

1 − 16x2. Il reste à développer en série entière :

f (x)f (−x) = +∞ X n=0  −1 2  −3 2  · · ·−1 2−n + 1 (−1)n(16x2)n n! = +∞ X n=0 (2n − 1)(2n − 3) · · · (3)(1) 2n_n! (16x 2₎n₌ +∞ X n=0 (2n)! 4n_(n!)2(16x 2₎n = +∞ X n=0 4n 2n n ! x2n donc w2n+1= 0 et w2n= 4n 2n n ! .