PC & PC∗
Interpolation de Lagrange (d’après Saint-Cyr 93 et ENSAIT 99)
Durée : 4 heures
Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul et Rn[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels
de degré inférieur ou égal à n.
On conviendra de confondre un polynôme avec la fonction polynomiale qui lui est associée. Les parties II, III et IV de ce problème sont indépendantes entre elles.
Partie I.
Polynôme de Lagrange
Étant donnée une famille de (n + 1) réels distincts x0, x1, x2, . . . , xn, on définit les polynômes L0, L1, L2, . . . , Lnpar :
∀i ∈ ~0, n, Li(X) = n Y j=0 j,i (X − xj) (xi−xj)
Question 1. Que vaut Li(xj) lorsque i , j ? et lorsque i = j ? En déduire que (L0, L1, . . . , Ln) est une base de Rn[X].
Question 2. On considère de plus (n + 1) réels quelconques y0, y1, . . . , yn. Montrer qu’il existe un unique polynôme L de
Rn[X] tel que pour tout j ∈ ~0, n, L(xj) = yj. On exprimera L dans la base (L0, L1, . . . , Ln). Question 3. À l’aide de la question 2, calculer les sommes
n X i=0 Li(X) et n X i=0
xiLi(X), puis plus généralement n
X
i=0
xikLi(X)
lorsque k ∈ ~0, n.
Partie II.
Étude matricielle
Dans cette partie on note B = (1, X, X2, . . . , Xn) la base canonique de Rn[X], B
0
= (L0, L1, . . . , Ln) la base des polynômes de
Lagrange, et A la matrice de passage de B vers B0, autrement dit la matrice de Mn+1(R) dont les vecteurs colonnes sont les
composantes dans la base B des vecteurs L0, L1, . . . , Ln.
Question 4. Dans cette question uniquement, on suppose n = 2, x0= 0, x1= 1 et x2= 2. a) Calculer les polynômes L0, L1et L2, puis la matrice A ∈ M3(R).
b) Déterminer les vecteurs U ∈ R3qui vérifient AU = U.
c) En déduire les polynômes de R2[X] vérifiant : P(X) = P(0) + P(1)X + P(2)X2. Question 5. Dans cette question et les suivantes on revient au cas général.
a) Justifier que A est inversible et calculer son inverse.
b) Montrer que la somme des éléments de la première ligne de A est égale à 1, et que la somme des éléments de toute autre ligne de A est nulle. On pourra pour ce faire considérer le produit matriciel AU où U est le vecteur de Rn+1dont toutes les composantes sont égales à 1.
Question 6. Dans cette question uniquement on suppose que x0= 0.
a) Montrer que la matrice A − I n’est pas inversible, où I désigne la matrice identité de Mn+1(R).
b) Montrer qu’il existe des polynômes P de Rn[X] différents du polynôme nul et qui vérifient : P(X) = n
X
i=0
P(xi)Xi.
Question 7. Dans cette question uniquement on suppose que x0= 1.
Montrer que la somme des éléments de la première colonne de A est égale à 1, et que la somme des éléments de toute autre colonne de A est nulle.
Question 8. Dans cette question uniquement, on suppose x0= 0, x1= 1, x2= 2, . . ., xn= n et on note Li,nle polynôme
que l’on notait précédemment simplement Li. De plus, on conviendra que L0,0= 1. a) Montrer que B00= (L0,0, L1,1, . . . , Ln,n) est une base de Rn[X].
b) Soient j et k deux entiers naturels. Calculer Lk,k(j) (on distinguera les cas j < k, j = k et k > k), et en déduire la matrice
de changement de base de B0vers B00.
c) Prouver alors que l’on peut écrire la matrice A comme le produit d’une matrice triangulaire supérieure et d’une matrice triangulaire inférieure.
d) Effectuer tous les calculs du 8c dans le cas où n = 2, x0= 0, x1= 1, x2= 2.
Partie III.
Convergence de la suite des polynômes d’interpolation
Dans toute cette partie, on considère la fonction f définie sur [−1, 1] par f (x) = 1
x2+ a2, a désignant un réel strictement positif.
Dans cette partie uniquement, on définit les réels x0, x1, . . . , xnpar : ∀i ∈ ~0, n, xi = −1 + 2
i n.
On note enfin Pnl’unique polynôme de Rn[X] vérifiant : ∀i ∈ ~0, n, P(xi) = f (xi). Son existence et son unicité sont établies
par la question 2. On dit que Pnest lepolynôme d’interpolation de f aux points x0, x1, . . . , xn.
Question 9.
a) Montrer que si une fonction ψ : [−1, 1] → R est de classeCn+1et possède (n + 2) zéros distincts dans [−1, 1] alors la dérivée d’ordre (n + 1) de ψ s’annule dans ]−1, 1[.
b) En déduire que pour tout x ∈ [−1, 1] il existe un réel cx∈]−1, 1[ tel que :
f (x) − Pn(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn)
f(n+1)(cx)
(n + 1)!
Indication. Le réel x étant fixé, on pourra considérer la fonction ψ : t 7→ f (t) − Pn(t) − (t − x0)(t − x1) · · · (t − xn)A où A est un
réel convenablement choisi. Question 10.
a) Déterminer deux nombres complexes λ et µ tels que f (x) = λ
x + ia+
µ
x − iaet en déduire une expression de la dérivée
d’ordre (n + 1) de f .
b) En déduire que pour tout x ∈ [−1, 1], f (n+1)(x) 6 (n + 1)! a(x2+ a2)(n+2)/2. Question 11. Montrer que pour tout x ∈ [−1, 1],
(x−x0)(x − x1) · · · (x − xn) 6 2n+1(n + 1)! nn+1 . Question 12.
a) Prouver que pour tout n ∈ N∗et tout x ∈ [−1, 1] on a
Pn(x) − f (x) 6 2 n n+1 n! an+3.
b) Pour 5/2 uniquement. Montrer que si a >2
e la suite (Pn) converge uniformément vers f sur [−1, 1].
Partie IV.
Calcul pratique du polynôme d’interpolation
Dans cette partie f : I → R désigne une fonction définie sur un intervalle I de R, x0, x1, . . . , xnsont des valeurs distinctes
dans I, et L est le polynôme d’interpolation de f aux points x0, x1, . . . , xn, autrement dit l’unique polynôme de Rn[X]
vérifiant : ∀i ∈ ~0, n, L(xi) = f (xi) (son existence et son unicité résultent de la question 2).
Question 13. Si a, b, x1, . . . , xnsont (n + 2) réels distincts de I, montrer que si P interpole f aux points b, x1, . . . , xnet si Q
interpole f aux points a, x1, . . . , xnalors le polynôme S défini par
S(X) =(X − a)P(X) − (X − b)Q(X)
b − a
interpole f aux points a, b, x1, . . . , xn.
On définit par récurrence les quantités suivantes, appeléesdifférences divisées : Pour x ∈ I, f0[x] = f (x) ; pour x, y distincts dans I, f1[x, y] =
f (x) − f (y)
x − y et plus généralement, si x0, x1, . . . , xnsont (n + 1)
points distincts dans I on pose :
fn[x0, x1, . . . , xn] = fn−1
[x0, x1, . . . , xn−1] − fn−1[x1, x2, . . . , xn]
x0−xn
Question 14. Soit L le polynôme qui interpole f en x0, x1, . . . , xn. Montrer que le coefficient du terme de plus haut degré
de L est fn[x0, x1, . . . , xn] (raisonner par récurrence et utiliser la question 13).
Question 15. En déduire que fn[x0, x1, . . . , xn] est invariant par permutation des (xi).
Question 16. Démontrer que
L(X) = f0[x0] + f1[x0, x1](X − x0) + f2[x0, x1, x2](X − x0)(X − x1) + · · · + fn[x0, x1, . . . , xn](X − x0)(X − x1) · · · (X − xn−1)
Question 17. Étant donnés deux entiers i, j ∈ ~0, n vérifiant i + j 6 n, on pose ti,j= fi[xj, xj+1, . . . , xj+i].
a) Donner la valeur de t0,jpuis exprimer ti,jen fonction de ti−1,jet de ti−1,j+1pour i > 1 et j 6 n − i.
b) En déduire une fonction PythondifferencesDivisees(X, Y)qui prend pour arguments deux tableauxXetYde tailles (n + 1) contenant respectivement les valeurs x0, . . . , xnet f (x0), . . . , f (xn) et qui renvoie un tableau bi-dimensionnelT
de taille (n + 1) × (n + 1) pour lequelT[i][j]= ti,j.
Question 18. En déduire une fonction pythonlagrange(X, Y, x)qui prend pour arguments les mêmes tableauxXet Yainsi qu’un réel x et qui renvoie la valeur de L(x) (on utilisera la question 16).
