Développement d'une méthode d'analyse bayésienne simultanée et multiparamétrique des spectres stellaires et son application aux spectres d'étoiles massives

Développement d’une méthode d’analyse

bayésienne simultanée et multiparamétrique des

spectres stellaires et son application aux spectres

d’étoiles massives

Développement d’une méthode d’analyse

bayésienne simultanée et multiparamétrique des

spectres stellaires et son application aux spectres

d’étoiles massives

Jean-Michel Mugnes

Sous la direction de:

Résumé

Je présente, dans cette thèse, une nouvelle méthode d’analyse des spectres stellaires, basée sur la statistique bayésienne et l’utilisation de modèles atmosphériques, que j’applique à l’étude d’un échantillon d’étoiles de type B. L’originalité de cette méthode réside dans l’analyse si-multanée d’un grand nombre de raies spectrales, mais aussi dans la détermination, également simultanée, d’un nombre important de paramètres stellaires, ainsi que dans le calcul automa-tique d’incertitudes incluant les variations possibles de chacun des paramètres, la qualité des données et, dans une certaine mesure, les limitations du modèle théorique employé. Les princi-paux avantages d’une telle méthode sont l’homogénéité de ses résultats, sa robustesse face au bruit, son efficacité même à faible résolution spectrale, sa polyvalence (car elle est applicable à tous types d’étoiles et de modèles), sa simplicité d’utilisation (la méthode est largement auto-matisée), et sa relative rapidité d’exécution (selon le nombre de paramètres ajustés, l’analyse d’une étoile prend entre 20 secondes et 5 minutes avec un ordinateur moderne).

Dans ce document, j’illustre, au travers de nombreux tests théoriques et statistiques, les per-formances et les capacités, mais aussi les limitations et les biais possibles de cette méthode. La comparaison des résultats que j’obtiens pour mon échantillon d’étoiles B, avec ceux d’autres groupes de recherche, est plutôt satisfaisante et me permet de mettre en avant certains dé-fauts des méthodes traditionnelles d’analyse, mais aussi de relever deux problèmes importants propres au modèle d’atmosphère (TLUSTY) que j’utilise. Puis, avec les paramètres obtenus, je détermine l’âge, la masse et les distances des étoiles de mon échantillon, donne une estimation inédite de l’âge et de la distance de deux amas ouverts, et confirme la différence de vitesses de rotation qui existe entre les étoiles du champ et des amas. La comparaison de mes distances avec les données HIPPARCOS et les mesures d’extinction des deux amas révèle également un accord satisfaisant. Enfin, je propose des pistes d’amélioration de ma méthode et donne un exemple d’utilisation plus générale et plus en adéquation avec les observations multiobjets ou à grande échelle qui se poursuivent à l’heure actuelle.

Abstract

I present, in this thesis, a new stellar spectra analysis method, based on bayesian statistics and theoretical atmopheric models, which I apply to a sample of B type stars. The originality of this method lies in the simultaneous analysis of a large number of spectral lines combined with the simultaneous determination of a large number of stellar parameters, as well as in the automatic calculation of the uncertainties. These uncertainties are linked to the possible variations of each parameter, the data quality and, to some extent, to the limitations of the theoretical model used. The main advantages of this method are the homogeneity of its results, its robustness to noise, its effectiveness even at low spectral resolution, its versatility (as it is applicable to all types of star), its ease of use (the method is largely automated), and its relatively fast execution (depending on the number of adjusted parameters, the analysis of a star takes between 20 seconds and 5 minutes with a modern computer).

I show, through numerous theoretical and statistical tests, the performance and the capabil-ities, but also the limitations and the possible bias of this method. The comparison of the results I get for my sample of B stars, with the results from other research groups, is quite satisfactory. This comparaison also allows me to highlight some of the shortcomings of tra-ditional analytical methods, and to address two significant issues specific to the atmosphere model that I use (TLUSTY). Next, with the parameters obtained, I determine the age, mass, and distances of my sample stars, give for the first time an estimate of the age and distance of two open clusters, and confirms the difference in rotational velocity between field and cluster stars. The comparison of my distances with the HIPPARCOS data and the published extinc-tions of the two clusters reveals a satisfactory agreement. Finally, I propose ways to improve my method and provide an example of a more general application in relation with modern large scale or multi-object surveys.

Table des matières

Résumé iii

Abstract iv

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Liste des figures viii

Avant-propos xv

Introduction 1

1 Les modèles d’atmosphère 6

1.1 Termes et notions de base . . . 7

1.2 Les équations de base de l’atmosphère stellaire . . . 11

1.3 Résoudre les équations, décrire les modèles et les spectres . . . 25

1.4 Un exemple concret de modèle et de synthèse spectrale : l’ensemble TLUSTY, SYNSPEC, SYNPLOT. . . 33

2 La statistique bayésienne 37 2.1 Philosophie et nomenclature . . . 37

2.2 La théorie des probabilités comme une extension de la logique . . . 40

2.3 L’a priori et la vraisemblance . . . 44

2.4 L’estimation de paramètres et la marginalisation . . . 49

2.5 La comparaison de modèles et le rasoir d’Occam . . . 51

3 La méthode d’analyse et son application pour la détermination des paramètres stellaires de base 54 3.1 Avant-propos . . . 54

3.2 Version française du résumé de l’article . . . 54

3.3 Abstract . . . 55

3.4 Introduction. . . 55

3.5 Description of the Method . . . 57

3.6 Testing the Method on Artificial Stellar Spectra . . . 65

3.7 Testing our Method on Real Stellar Spectra . . . 72

3.8 Conclusions . . . 90

3.10 Appendix 2 : Tables of Stellar Parameters . . . 93

4 Complément de l’article 108

4.1 Modifications apportées et compléments d’information . . . 108 4.2 Mise à jour des résultats et nouveau vocabulaire. . . 119

5 Abondances individuelles et métallicité 125

5.1 Abondances individuelles à métallicité fixe . . . 127 5.2 Métallicité et profil d’abondances . . . 136 5.3 Abondances individuelles, métallicité variables et interpolation . . . 148 6 Application de la méthode pour la détermination des abondances, de

la métallicité et des paramètres fondamentaux 156

6.1 Métallicité et abondances individuelles, une étude comparée . . . 156 6.2 Comparaison avec la littérature . . . 183 6.3 Détermination des paramètres fondamentaux et de la distance des étoiles. . 205

Discussion et conclusion 216

A L’expérience du dé pipé 228

A.1 Énoncé du problème . . . 228 A.2 Le point de vue fréquentiste . . . 229 A.3 Le point de vue bayésien . . . 234

B Ajustements des spectres observés pour les analyses 1, 2 et 3 242

Liste des tableaux

2.1 Approches fréquentiste et bayésienne des probabilités . . . 38

3.1 Principal spectral lines used for the analysis . . . 73

3.2 Basic Parameters of Field B Stars . . . 93

3.3 Basic Parameters of Cluster B Stars . . . 97

3.4 Basic Parameters of Field B Stars with Modified He and Si Abundances from Lefever et al. (2010) . . . 98

3.5 Basic Parameters of Field B Stars with Modified O and Ne Abundances from Takeda et al. (2010) . . . 99

3.6 Basic Parameters of Field B Stars with Modified C, N, O Abundances from Searle et al. (2008) . . . 100

3.7 Basic Parameters of Field B Stars with Modified He and Si Abundances from Markova & Puls (2008) . . . 101

3.8 Basic Parameters of Field B Stars with Modified C, N, O, Mg, Al, and Si Abundances from Daflon et al. (2007) . . . 102

3.9 Basic Parameters of Field B Stars with Modified He and Mg Abundances from Lyubimkov et al. (2005) . . . 103

3.10 Basic Parameters of Field B Stars with Modified C and N Abundances from Andrievsky et al. (1999) . . . 103

3.11 Basic Parameters of Field B Stars Returned by ATLAS9 with Solar Composition from Grevesse & Sauval (1998) . . . 104

3.12 Basic Parameters of Cluster B Stars Returned by ATLAS9 with Solar Compo-sition from Grevesse & Sauval (1998) . . . 106

6.1 Paramètres ajustés lors des différentes analyses . . . 157

6.2 Paramètres de base et métallicité pour HD886 et HD37032. . . 166

6.3 Nombre de raies et leur largeur équivalente moyenne calculée pour chaque élé-ment analysé et pour chaque étoile . . . 172

6.4 Résultats consolidés des trois analyses . . . 184

6.5 Comparaison des différents estimateurs de métallicité . . . 201

6.6 Valeur moyenne des paramètres de base pour les analyses HETL, ETL et hybride-approximative . . . 203

6.7 Paramètres fondamentaux des étoiles de l’échantillon et états d’évolution. . . . 208

6.8 Valeurs moyennes des paramètres fondamentaux des amas NGC1960 et NGC884 214 Cl.1 Paramètres de base des spectres synthétiques pour le test multiobjets. . . 218

Liste des figures

1.1 Schématisation d’un angle solide dω dans la direction θ par rapport à la normale

à une surface . . . 8

1.2 Illustration des conventions en géométrie plan-parallèle . . . 13

1.3 Diagramme du fonctionnement itératif d’un modèle d’atmosphère . . . 26

1.4 Exemple de diagramme Grotian : le modèle atomique de l’ion O3+ _{. . . . 29}

1.5 Système de coordonnées pour la représentation de la vitesse rotationnelle pro-jetée sur l’axe de visée . . . 31

2.1 Syllogismes forts et faibles . . . 37

2.2 Prédictions bayésiennes des différents syllogismes . . . 42

2.3 Mode, moyenne et région crédible . . . 51

3.1 Illustration of the data sets . . . 59

3.2 Illustration of the Bayesian analysis step by step . . . 60

3.3 Examples of the marginal probability distribution for Tef f and ξ . . . 63

3.4 Stellar parameter values with increasing σχ/σnoise . . . 66

3.5 Relative stellar parameter uncertainties with increasing σχ/σnoise . . . 67

3.6 Relative stellar parameter uncertainties with increasing σχ/σnoise for a higher v sin(i) . . . 68

3.7 Stellar parameter values as a function of the signal-to-noise ratio . . . 69

3.8 Success rate of the method with a mock spectrum from TLUSTY . . . 70

3.9 Stellar parameter values as a function of the signal-to-noise ratio with a mock spectrum from ATLAS9 . . . 71

3.10 Success rate of the method with a mock spectrum from ATLAS9 . . . 72

3.11 Examples of the best fits obtained for four B stars in our sample . . . 75

3.12 Examples of the worst fits obtained for four B stars in our sample. . . 76

3.13 Comparison of our results for Tef f, log(g), v sin(i), and ξ with other works from the literature . . . 77

3.14 Comparison of Tef f, log(g), v sin(i), and ξ with modified individual chemical abundances . . . 79

3.15 Tef f and log(g) variations for different models and different number of lines . . 80

3.16 The most probable pair [Tef f, log(g)] as a function of v sin(i) for different lines 81 3.17 Illustration of the interdependency between Tef f, log(g), and ξ . . . 83

3.18 Comparison of the best fits for the lines He I λ4471 and Mg II λ4481 for 2 stars with large rotational velocities . . . 85

3.19 Best fits of 4 helium lines of HD184171 . . . 87 3.20 Maximum uncertainty for v sin(i) as a function of v sin(i) for our whole sample 88

3.21 The most probable pair [Tef f, log(g)] as a function of ξ for different lines . . . 89

3.22 Illustration of the commutativity of the Bayesian analysis. . . 92 4.1 Illustration de raies bien et mal modélisées. . . 109 4.2 Impact d’une raie mal modélisée sur la distribution de probabilité finale pour

σn,k = σnoise = constante. . . 110

4.3 Impact d’une raie mal modélisée sur la distribution de probabilité finale pour σ2

n,k = σRM S2 + σnoise2 = cte par raie. . . 112

4.4 Impact d’une raie mal modélisée sur la distribution de probabilité finale pour σ2

n,k = σDM2 + σ2noise variable en chaque point. . . 114

4.5 Impact du nombre de points constituant une raie sur la distribution de

proba-bilité finale, pour deux raies bien modélisées et lorsque σn,k= constante . . . . 116

4.6 Différences entre les deux définitions de σmodel pour deux raies mal modélisées . 118

4.7 Révision des paramètres stellaires en fonction du rapport signal-sur-bruit. . . . 120 4.8 Révision des taux de réussite de la méthode avec un spectre synthétique de

TLUSTY. . . 121 4.9 Révision des paramètres stellaires en fonction du rapport signal-sur-bruit pour

un spectre calculé avec ATLAS9. . . 122 4.10 Révision des taux de réussite de la méthode avec un spectre synthétique de

ATLAS9 . . . 123 4.11 Révision de la comparaison des résultats pour Tef f, log(g), v sin(i), et ξ avec

ceux trouvés dans la littérature . . . 124 5.1 Diagramme d’interpolation des spectres aux paramètres de base désirés. . . 128 5.2 Diagramme d’interpolation et de composition des spectres aux abondances variées 130 5.3 Illustration de l’interpolation et de la composition d’un spectre aux abondances

variées . . . 132 5.4 Paramètres stellaires et abondances individuelles obtenues en fonction du

rap-port S/B . . . 133 5.5 Taux de réussite de la méthode pour les abondances individuelles et les

para-mètres stellaires de base . . . 134 5.6 Illustration de la résolution de l’équilibre d’ionisation . . . 136 5.7 Distributions de probabilités de vraisemblance et postérieures données par quatre

segments spectraux contenant des raies de silicium pour différentes valeurs de ξ 137 5.8 Détermination de l’abondance de silicium lorsqu’un seul état d’ionisation est

présent. . . 138 5.9 Paramètres stellaires obtenus, incluant la métallicité, en fonction du rapport S/B 141 5.10 Taux de réussite global de la méthode pour tous les paramètres de base, incluant

la métallicité . . . 142 5.11 Taux de réussite de la méthode pour la métallicité . . . 142 5.12 Détermination de la métallicité et de la vitesse de microturbulence en utilisant

des raies mélangées . . . 143 5.13 Métallicités Z obtenues avec des grilles proportionnelles pour des spectres

si-mulés non proportionnels . . . 146 5.14 Influence individuelle de l’abondance de chaque élément chimique sur la

métal-licité obtenue. . . 147 5.15 Erreurs sur les paramètres stellaires de base pour des spectres simulés non

5.16 Influence de l’interpolation et d’une métallicité fixe et erronée sur la détermina-tion des paramètres de base de spectres simulés aux profils d’abondances non

proportionnels . . . 152 5.17 Influence de l’interpolation et d’une métallicité fixe et erronée sur la

détermina-tion des abondances de spectres simulés aux profils d’abondances non

propor-tionnels . . . 153 5.18 Métallicités moyennes ˆM obtenues avec des grilles non proportionnelles et à

métallicités Z variables . . . 154 6.1 Exemple de quatre des meilleurs ajustements de l’échantillon . . . 158 6.2 Exemple de quatre des plus mauvais ajustements de l’échantillon . . . 159 6.3 Spectres synthétiques obtenus par les analyses 1, 2 et 3 pour l’étoile HD886 . . 160 6.4 Spectres synthétiques obtenus par les analyses 1, 2 et 3 pour l’étoile HD37032 . 163 6.5 Résultats par groupe d’étoiles pour les trois analyses . . . 167 6.6 Moyennes de chaque paramètre par groupe d’étoiles et par analyse. . . 170 6.7 Variations de l’abondance de magnésium entre les analyses 1 et 3 en fonction

de la variation de l’abondance d’aluminium et de la microturbulence . . . 173 6.8 Variations de l’abondance de silicium entre les analyses 1 et 3 en fonction de la

variation de l’abondance de fer et de la microturbulence . . . 174 6.9 [F e/H] en fonction de log(Z/Z) . . . 175

6.10 Abondances relatives [X/H], en fonction de log(Z/Z), obtenues par l’analyse 2 176

6.11 Abondances relatives [X/H], en fonction de [F e/H], obtenues par l’analyse 3 . 177 6.12 Rapports de probabilités des trois analyses calculés pour chaque étoile . . . 181 6.13 [M/H], et log(Z/Z) en fonction de ˆM . . . 182

6.14 Influence de l’ajustement des abondances sur la détermination des paramètres

de base . . . 189 6.15 Comparaison des résultats consolidés pour Tef f, log g, v sin i, et ξ avec ceux

trouvés dans la littérature . . . 190 6.16 Abondances individuelles consolidées obtenues pour C, N, O, Mg, Al, Si et Fe,

et comparaison avec la littérature . . . 191 6.17 Comparaison des paramètres consolidés avec ceux de Searle et al. . . 192 6.18 Ajustement de la raie C II λ4267 pour les étoiles en commun avec Searle et al. 194 6.19 Comparaison des paramètres consolidés avec ceux de Lyubimkov et al. . . 195 6.20 Comparaison avec les distributions d’abondances obtenues par Nieva & Przybilla

et dans la littérature . . . 198 6.21 Distributions des abondances de C, N et O obtenues avec les analyses HETL,

ETL et hybride-approximative . . . 204 6.22 Diagramme Hertzprung-Russel spectroscopiques pour des étoiles de masses

in-férieures à 15 M et pour plusieurs vitesses de rotation initiales . . . 206

6.23 Diagramme Hertzprung-Russel spectroscopiques pour des étoiles de masses

su-périeures à 15 M et pour 2 vitesses de rotation initiales . . . 207

6.24 Comparaison entre les distances HIPPARCOS et les distances spectroscopiques 213 6.25 Extrait annoté de la Figure 6.15 . . . 213 6.26 Distribution des vitesses de rotation initiales et actuelles des étoiles . . . 215 Cl.1 Spectres d’étoiles simulés à différentes résolutions pour un test SITELLE. . . . 219 Cl.2 Facteur de qualité moyen des paramètres obtenus en fonction du rapport

Cl.3 Incertitude moyenne des paramètres en fonction du rapport signal-sur-bruit

pour chaque type spectral et pour toutes résolutions confondues. . . 222 Cl.4 Facteur de qualité moyen des paramètres obtenus en fonction du rapport

signal-sur-bruit pour chaque résolution et pour tous types spectraux confondus . . . . 223 Cl.5 Incertitude moyenne des paramètres en fonction du rapport signal-sur-bruit

pour chaque résolution et pour tous types spectraux confondus . . . 224 Cl.6 Exemple de spectres observés simulés avec bruit analysés lors du test SITELLE 225 A.1 Illustration des distributions de probabilité binômiales pour p = p0 et p1 . . . . 230

A.2 Risques et puissances d’un test d’hypothèse . . . 231 A.3 Risques et puissances de test pour α = 0.07, 0.05 et 0.015 . . . 233 A.4 Probabilité postérieure que le dé soit pipé dans le cas des six consécutifs . . . . 238 A.5 Probabilité postérieure que le dé soit pipé pour n allant de 1 à 10 lancés . . . . 240 B.1 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile BD341103s (étoile n°00) . . 243 B.2 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile BD56556 (étoile n°01) . . . 245 B.3 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile BD56604 (étoile n°02) . . . 247 B.4 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD14321 (étoile n°03) . . . 250 B.5 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD14476 (étoile n°04) . . . 253 B.6 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HG2048 (étoile n°05) . . . . 257 B.7 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HG2255 (étoile n°06) . . . . 259 B.8 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HG2794 (étoile n°07) . . . . 261 B.9 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile SAO58227 (étoile n°08) . . . 263 B.10 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile SAO58230 (étoile n°09) . . . 265 B.11 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile SAO58239 (étoile n°10) . . . 268 B.12 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile W168 (étoile n°11) . . . 270 B.13 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD190066 (étoile n°12) . . . 272 B.14 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD192660 (étoile n°13) . . . 275 B.15 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD193183 (étoile n°14) . . . 278 B.16 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD198478 (étoile n°15) . . . 282 B.17 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD206165 (étoile n°16) . . . 287 B.18 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD213087 (étoile n°17) . . . 291 B.19 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD160762 (étoile n°18) . . . 294 B.20 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD166182 (étoile n°19) . . . 297 B.21 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD184171 (étoile n°20) . . . 301 B.22 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD196035 (étoile n°21) . . . 303 B.23 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD198820 (étoile n°22) . . . 305 B.24 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD202347 (étoile n°23) . . . 307 B.25 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD205794 (étoile n°24) . . . 310 B.26 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD214263 (étoile n°25) . . . 313 B.27 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD214432 (étoile n°26) . . . 316 B.28 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD215191 (étoile n°27) . . . 318 B.29 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD215371 (étoile n°28) . . . 320 B.30 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD32249 (étoile n°29) . . . 322 B.31 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD32672 (étoile n°30) . . . 325 B.32 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD33816 (étoile n°31) . . . 327 B.33 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD35912 (étoile n°32) . . . 330 B.34 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD36280 (étoile n°33) . . . 332

B.35 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD37032 (étoile n°34) . . . 334 B.36 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD3827 (étoile n°35) . . . . 337 B.37 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD40160 (étoile n°36) . . . 340 B.38 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD44700 (étoile n°37) . . . 342 B.39 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD45418 (étoile n°38) . . . 344 B.40 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD5882 (étoile n°39) . . . . 346 B.41 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD77770 (étoile n°40) . . . 348 B.42 Spectres observationel et synthétiques pour l’étoile HD886 (étoile n°41) . . . 352

À mon père qui m’a permis d’avoir la tête dans les étoiles, et à mon fils qui m’a permis de garder les pieds sur Terre.

D’une lave en fusion, d’une pâte d’étoile, d’une cellule vivante germée par miracle nous sommes issus, et, peu à peu, nous nous sommes élevés jusqu’à des cantates et à peser des voies lactées.

Antoine de Saint-Exupéry Terre des hommes (1938)

Avant-propos

Ce document constitue une thèse de doctorat en astrophysique avec insertion d’articles.

L’ar-ticle présenté au Chapitre 3, a été préalablement soumis, arbitré et publié dans le journal

scientifique Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, et a été inséré intégralement en anglais sans modification autre que l’adaptation de la mise en page afin de préserver l’uni-formité de la thèse. Je suis l’auteur principal de cet article de par ma très grande contribution au travail de recherche qu’il contient et de par le fait que j’ai été le responsable de sa rédaction. Ma directrice de recherche, Carmelle Robert, est coauteure de l’article, du fait de son travail de collaboratrice et de superviseure de mon projet.

Introduction

Qu’est-ce qu’une étoile ?

Depuis les simples trous dans la sphère céleste de l’antiquité, aux modèles d’atmosphère stel-laire théoriques modernes les plus sophistiqués, notre compréhension de ce que sont, selon Kant, ces « gigantesques boules de feu brûlant des gaz légers » a énormément évolué au cours de notre Histoire. Cela aura cependant pris beaucoup de temps, et il aura fallu que l’astro-nomie s’épanouisse d’abord et qu’apparaissent ensuite des techniques d’observation comme la spectroscopie et des théories comme la relativité restreinte et la physique atomique, quantique, statistique et nucléaire pour pouvoir comprendre comment et de quoi sont faites les étoiles. Mais, grâce à cela, nous savons maintenant que les étoiles sont de véritables usines nucléaires, puisqu’au cours de leur vie et de leur mort, elles fabriquent et disséminent la majorité des élé-ments lourds (plus lourds que l’hélium) que nous observons dans l’Univers. Étant de plus une source de rayonnements électromagnétiques, parfois très intenses et dans toutes les longueurs d’onde, elles injectent de grandes quantités de matière et d’énergie dans leur environnement et sont ainsi les moteurs de l’évolution de leurs galaxies hôtes. Nous savons aussi que toutes les étoiles sont différentes et qu’elles ont des tailles, des masses, des luminosités, des tempé-ratures, des compositions chimiques, des durées de vies et des âges différents. Les étoiles les plus massives, par exemple, sont de véritables feux d’artifice dans la nuit de l’Univers. Leurs grandes masses font d’elles des objets excessivement brillants et éphémères (avec une durée de vie de quelques millions à quelques dizaines de millions d’années), qui rayonnent intensément dans les domaines visible et ultraviolet, et qui, pour les plus massives d’entre elles, expulsent, tout au long de leur vie, de la matière sous forme de vents stellaires avant de mourir de fa-çon spectaculaire en supernova, injectant ainsi, dans leur environnement, les matériaux dont elles sont issues et qu’elles ont enrichi. Et ce sont justement toutes ces propriétés qui rendent les étoiles massives particulièrement intéressantes à étudier. Par exemple, leur courte durée de vie les lient fortement au milieu qui les a vues naître, et ainsi, connaitre ces étoiles, c’est connaitre leur environnement immédiat. Or, comme ces étoiles sont souvent très brillantes, cela nous permet de sonder indirectement de nombreuses régions de l’espace, que ce soit dans notre propre galaxie ou encore dans les galaxies voisines comme les Nuages de Magellan, par exemple.

Dans cette thèse, je m’intéresse plus particulièrement aux étoiles de type B. Moins massives et moins lumineuses que les étoiles de type O, les étoiles de type B se situent néanmoins dans

la partie haute du diagramme Hertzprung-Russel. Avec des masses comprises entre 3 M et

environ 25 M(Carroll & Ostlie 2006), ce sont des étoiles chaudes, avec des températures qui

varient entre 10000 K (B9) et 30000 K (B0). La production d’énergie se fait principalement par le cycle CNO de l’hydrogène pour les étoiles B naines. Les étoiles B apparaissent bleutées dans le visible et émettent une bonne proportion de leur flux lumineux dans l’ultraviolet. Leur

magnitude absolue (Mbol) est grosso modo comprise entre 0 et −7. Elles sont souvent associées

à des étoiles de type O (plus chaudes et plus massives), mais contrairement à ces dernières, les étoiles B ont des vents plus faibles (surtout celles sur la séquence principale) augmentant en intensité à mesure que l’on se rapproche du type O : pour les étoiles tardives (B5 à B9) on

estime une perte de masse de l’ordre de 10−12 _{à 10}−14 _M

 an−1 et moins, alors que pour les

étoiles précoces (B0 à B5), on mesure des vents correspondant à une perte de masse allant de

10−8 à 10−4 M an−1, avec une vitesse terminale comprise entre 300 et 3000 km s−1.

Entre observation, théorie et analyse

Pour pouvoir comprendre les étoiles, il faut d’abord pouvoir les observer correctement, élabo-rer des théories qui puissent rendre compte des observations, et se doter de moyens d’analyse permettant de confronter observation et modèles théoriques de façon satisfaisante et objective. Or, depuis la première lunette astronomique de Galilée et le premier télescope de Newton au

17e _{siècle, au plus célèbre télescope spatial Hubble, en passant par les installations terrestres}

géantes telles que le Very Large Telescope au Chili, les moyens employés pour observer les étoiles, et autres objets célestes, n’ont cessé d’évoluer et de se développer au cours du temps. De même, les techniques d’observation se sont diversifiées et raffinées produisant ainsi une quantité proprement astronomique de données. En parallèle, l’avènement de la physique mo-derne ainsi que l’évolution fulgurante, et sans cesse croissante, de nos moyens de calcul ont permis conjointement, une meilleure compréhension de la physique stellaire et l’élaboration de modèles théoriques stellaires (modèles d’atmosphère, de dynamique et d’évolution stellaire, de magnéto-hydrodynamique...) de plus en plus sophistiqués et réalistes.

En contrepartie d’une telle course à l’équipement, il est nécessaire de se munir de moyens d’ana-lyse qui suivent un tel développement. Or durant les dernières décennies, et particulièrement dans le domaine de la spectroscopie, les méthodes sont restées relativement inchangées. En effet, une des principales techniques utilisées en spectroscopie, la synthèse spectrale, consiste à comparer un spectre observé avec un ou plusieurs spectres théoriques afin d’en déduire un ou plusieurs paramètres stellaires (comme la température effective, la gravité de surface, la vitesse de rotation, la composition chimique, la masse, le rayon, l’âge...). Et c’est cette façon de comparer, ou d’ajuster, les spectres et d’en déduire les paramètres qui n’a que peu changé au cours du temps. Il faut dire que faire une analyse par synthèse spectrale n’est pas un problème

simple. Nous verrons en effet que pour ajuster un spectre observé par un spectre synthétique, il faut jouer avec un nombre important de paramètres qui agissent de façon interdépendante et non linéaire sur les profils des raies. Alors pour simplifier le problème, on a commencé par procéder à des analyses séquentielles, c.-à-d. que l’on détermine un paramètre (ou deux dans certains cas) à la fois en choisissant un ou quelques indicateurs (c.-à-d. des raies ou des parties de raies) dans le spectre qui sont particulièrement sensibles à ce paramètre et relativement

in-sensibles aux autres (Gray 2005). Et, lorsque l’on détermine un paramètre, tous les autres sont

fixés soit aux valeurs fournies par leurs indicateurs respectifs (Rolleston et al. 1997;Markova &

Puls 2008;Takeda et al. 2010), soit aux valeurs déterminées par d’autres travaux (Lyubimkov et al. 2005;Takeda et al. 2010). Une telle analyse séquentielle est ensuite raffinée en devenant

itérative quand c’est possible (Cunha & Lambert 1994;Lefever et al. 2010) : le paramètre a

est déterminé pour une certaine valeur du paramètre b qui est à son tour redéterminé avec la nouvelle valeur de a et ainsi de suite. Et, pour la première itération, les paramètres ont des valeurs estimées grâce à un a priori de départ (le type spectral, une calibration photomé-trique...). L’avantage d’une telle approche est sa frugalité en termes de puissance et de temps de calcul nécessaire, ainsi que la possibilité de n’utiliser que des portions réduites du spectre, ce qui peut être pratique selon l’instrument d’observation utilisé (par exemple un spectroscope à haute résolution, mais à bande spectrale étroite). En revanche cette approche nécessite d’avoir une estimation de départ pour l’ensemble des paramètres, qui liée à l’approche itérative peut potentiellement pointer vers une solution qui soit un minimum/maximum local et non global dans l’espace des probabilités (autrement dit, des points de départ différents peuvent mener à des solutions différentes). De plus, nous verrons que le choix d’un seul indicateur par para-mètre peut aussi entrainer des erreurs systématiques et impliquer que la solution va dépendre de ce que l’on regarde dans le spectre. Pour les mêmes raisons, la gestion des erreurs est elle aussi simplifiée. De manière générale, l’erreur sur un paramètre est estimée en comparant les

valeurs obtenues lorsque l’on fait varier les autres paramètres individuellement (Lyubimkov

et al. 2005;Searle et al. 2008), ou encore, lorsqu’il y a plusieurs indicateurs pour ce paramètre (comme pour les abondances par exemple), en prenant l’écart type des valeurs obtenues pour

chaque indicateur (Daflon et al. 2007;Lefever et al. 2010). Or, les différents paramètres étant

interdépendants, il faudrait estimer les erreurs en faisant varier l’ensemble des paramètres simultanément en intégrant, en plus, l’incertitude de mesure de chaque indicateur. Mais c’est une démarche couteuse et pas toujours évidente à mettre en oeuvre, alors il arrive aussi que l’on donne un estimé conservateur des incertitudes basé sur les tests variationnels et/ou sur

des cas extrêmes (Rolleston et al. 1997;Andrievsky et al. 1999;Searle et al. 2008). Ceci étant

dit, ces techniques ont fait leurs preuves et ont été utilisées, à raison, de nombreuses fois par le passé. Cependant, nous arrivons à une époque où des ordinateurs gèrent quotidiennement des quantités phénoménales de données et manipulent simultanément un très grand nombre de pa-ramètres pour trouver et proposer des solutions commerciales adaptées et personnalisées à des millions de consommateurs, et ce en quelques secondes voir en quelques fractions de seconde.

Cela signifie que les moyens matériels et algorithmiques, qui permettraient de procéder à des analyses spectrales multiparamétriques, simultanées et capables de calculer précisément des incertitudes cohérentes, existent et sont potentiellement accessibles. De plus, avec l’avènement

récent des observations à grande échelle, comme c’est le cas avec le projet GAIA1 _{par exemple}

qui prévoit l’observation de millions d’étoiles, ou l’utilisation d’instrument multiobjets comme

le Tarantula Survey2 _{ou le spectrographe à intégrale de champ SITELLE (Drissen et al. 2010;}

Grandmont et al. 2012), il est impératif de mettre au point des méthodes d’analyse qui soient à la fois objectives, automatisées, flexibles et rapides offrant des résultats fiables, homogènes et précis pour un grand nombre d’objets variés.

Mon doctorat vise alors à mettre au point une méthode d’analyse qui permette de tirer le maximum d’information d’un spectre, même s’il est à basse résolution ou avec un faible rap-port signal-sur-bruit, et de déterminer simultanément et de façon cohérente de nombreux paramètres avec leurs incertitudes. Il faut aussi que la méthode soit automatisée, polyvalente et exécutable dans un temps raisonnable sur un ordinateur personnel ou sur un serveur de groupe de recherche, sans avoir à faire appel obligatoirement à un supercalculateur. Cette thèse présente cette méthode en commençant par poser les bases théoriques de la

modélisa-tion d’atmosphère stellaire au Chapitre 1, puis en fournissant, dans le Chapitre 2, les bases

conceptuelles et mathématiques de la statistique bayésienne qui est la pierre angulaire de mon

travail, avant de procéder, au Chapitre 3, à une description détaillée de la méthode, de ses

performances théoriques, à son application pour la détermination des paramètres de base d’un échantillon d’étoiles B et à la confrontation des résultats à ceux d’autres travaux indépendants.

Par la suite, le Chapitre 4fait état des modifications et améliorations qui ont été apportées à

la méthode depuis l’écriture (et la publication) du chapitre précédent, ainsi que des biais de

mesures pouvant apparaitre dans ce genre d’analyse et comment ils sont évités. Le Chapitre5,

qui traite de la détermination des abondances individuelles et de la métallicité d’une étoile, se divise en deux parties. La première partie commence par détailler la méthode de construction et d’interpolation des grilles de spectres synthétiques aux abondances individuelles variables, mais à métallicité fixe, nécessaires à l’analyse de la composition chimique d’une étoile, avant d’illustrer les avantages, performances et limitations de la méthode au travers de tests statis-tiques. La deuxième partie commence, elle aussi, par préciser la création des grilles de spectres synthétiques, où, cette fois-ci, les grilles ont des métallicités et des abondances individuelles variables. Puis cette deuxième partie se termine par l’illustration, grâce à des tests statis-tiques, des performances et limitations de la méthode lorsqu’elle est appliquée à des étoiles

dont le profil d’abondances est proportionnel ou non au le profil solaire. Ensuite, le Chapitre6

présente l’application de cette méthode, au même échantillon d’étoiles B qu’au Chapitre 3,

pour la détermination simultanée des paramètres de base, des abondances individuelles et de la métallicité. Je confronte également, dans ce chapitre, mes résultats à ceux de la littérature

1. http://sci.esa.int/gaia/

scientifique, et pousse l’analyse un peu plus loin en déterminant les paramètres fondamen-taux (masse, âge et distance) de mon échantillon et en proposant pour la première fois une mesure de l’âge et de la distance de deux amas ouverts peu étudiés. Enfin, je conclus par un bref résumé des avantages de la méthode, propose des pistes d’amélioration et présente un exemple d’application plus général de la méthode (et qui est déjà réalisable) en analysant un échantillon d’étoiles simulées de plusieurs types spectraux différents telles qu’observées par l’imageur hyperspectral SITELLE.

Chapitre 1

Les modèles d’atmosphère

La modélisation d’une atmosphère stellaire est une tâche ardue et complexe à laquelle se sont attelés de nombreux chercheurs pendant plusieurs décennies. En effet, une étoile est le siège de réactions de fusion nucléaire associées à des processus et des mouvements électro-hydrodynamiques complexes ainsi qu’à d’innombrables interactions entre la lumière et la matière, le tout dans une constante recherche d’équilibre entre force de gravitation, force centrifuge, pression thermique et pression radiative. Idéalement, pour modéliser correctement une étoile, il faudrait pouvoir résoudre simultanément, en trois dimensions et en fonction du temps, tous les processus nucléaires se déroulant en son centre, ainsi que les équations hy-drodynamiques, les équations du transfert radiatif et de l’équilibre statistique des populations atomiques régissant les différentes couches de l’atmosphère, le tout pour une masse totale, une vitesse de rotation et une composition chimique initiale donnée. Ce travail titanesque n’étant bien évidemment pas à la portée de nos moyens de calculs actuels, il faut passer par plusieurs simplifications et approximations et « choisir ses batailles ». Tout d’abord, le cœur de l’étoile : depuis les travaux de Kirchhoff au XVIIIe siècle et l’avènement de la physique nucléaire au début du XXe siècle, on sait que l’on peut approximer le cœur de l’étoile et la base de l’atmo-sphère comme un corps noir « chauffé » par les réactions de fusion nucléaire et dont la lumière, qui met plusieurs milliers d’années à s’échapper, est thermalisée. Cette première approxima-tion faite, on peut se concentrer sur le reste non moins complexe de l’étoile, son atmosphère. Plusieurs approches sont alors possibles en fonction de ce que l’on veut étudier. Par exemple, une approche hydrodynamique 3D avec un traitement radiatif simplifié permet de modéliser des phénomènes dynamiques et structurels comme les processus de convection. Ou alors, si on souhaite se concentrer sur les processus radiatifs et sur la formation des spectres stellaires, comme c’est le cas dans cette thèse, on peut se limiter à une dimension et traiter la convec-tion de manière simplifiée (au moyen de la théorie de la longueur de mélange par exemple) afin d’appliquer un transfert radiatif très détaillé utilisant des descriptions atomiques les plus complètes et précises possible. Dans la suite de ce chapitre, et de manière générale dans cette thèse, les principales simplifications et approximations suivantes seront appliquées :

— L’atmosphère est à l’équilibre hydrostatique. Approximation qui est valable si l’on sup-pose que la photosphère ne subit pas d’accélération à grandes échelles comparable à la gravité de surface et qu’en conséquence, il n’y a pas de perte de masse significative. — L’atmosphère a une géométrie plan-parallèle impliquant que toutes les variables

phy-siques ne dépendent que d’une coordonnée spatiale (la profondeur optique ou géomé-trique). Cette hypothèse se justifie si l’on suppose que l’épaisseur de l’atmosphère est négligeable devant le rayon de l’étoile et que chaque couche d’atmosphère est homogène et donc sans dépendance azimutale.

— On néglige les champs magnétiques. Ce qui est généralement raisonnable sauf dans cer-tains cas extrêmes que nous n’aborderons pas ici. Cela permet entre autres de considérer l’opacité et l’émissivité comme isotropes.

Ceci étant posé, je vais pouvoir présenter quelques termes et concepts fondamentaux, avant d’aborder les équations de base de la modélisation d’atmosphère stellaire, et enfin, exposer plus en détail le fonctionnement des modèles utilisés dans ce projet. Une grande partie des

sections qui suivent est fortement inspirée du livre de Gray(2005).

1.1

Termes et notions de base

1.1.1 Température effective et gravité de surface

L’atmosphère stellaire est la région de transition entre l’intérieur stellaire et le milieu inter-stellaire. Elle est généralement divisée en plusieurs sections selon le type d’étoile considéré : la photosphère, la chromosphère et la couronne. Bien que chaque section ait son importance et des propriétés qui lui sont propres, je me concentre ici sur la photosphère. Il est en effet important de savoir que la plus grande portion du spectre stellaire visible vient de la pho-tosphère. Ainsi, une étude de la lumière visible d’une étoile est essentiellement l’étude de la

photosphère1_.

L’étendue géométrique de la photosphère varie grosso modo comme l’inverse de sa gravité de surface qui est définie par

g = g

M

R2, (1.1)

où g est la gravité de surface du Soleil, en m s−2, M et R sont la masse et le rayon de l’étoile

respectivement (tous deux exprimés en unité solaire). L’épaisseur de la photosphère dépend aussi de l’opacité des gaz qui la composent.

La deuxième variable physique qui affecte fortement la nature de l’atmosphère et ses caracté-ristiques est sa température. En effet, la température de la photosphère varie fortement (en

θ ~ n dA dω Ver sl’o bse rvat eur

Figure 1.1 – Schématisation d’un angle solide dω dans la direction θ par rapport à la normale à une surface

général plus que d’un facteur 2) entre sa surface et sa base (et est très différente des tem-pératures de la chromosphère ou de la couronne). La température de la photosphère influe notamment sur l’excitation et l’ionisation de la matière et donc sur l’opacité de celle-ci. Il s’agit alors d’un paramètre important pour décrire une atmosphère et, plutôt que de choisir une température à une profondeur particulière pour décrire l’état général de la photosphère, il

est de coutume d’utiliser la température effective, Tef f, qui est définie par la puissance totale

émise par l’étoile par unité de surface :

Z ∞

0

F

où σ est la constante de Stefan-Boltzmann et

F

Cette équation est celle de la loi de Stefan-Boltzmann pour un corps noir de température Tef f.

En d’autres termes, et bien que la distribution de puissance dans le spectre de l’étoile puisse

être radicalement différente de celle d’un corps noir, Tef f correspond à la température d’un

corps noir ayant la même puissance totale émise par unité de surface que l’étoile.

1.1.2 L’intensité spécifique et ses différents moments

Considérons une surface lumineuse A de normale ~n comme sur la Figure 1.1. L’intensité

spécifique en un point de cette surface à un instant t donné, dans une direction θ (par rapport à ~n) et pour une fréquence ν, est définie de la façon suivante :

Iν = dEν

cos θdA dω dt dν, (1.3)

où dω est un élément d’angle solide, et Eν est l’énergie émise à la fréquence ν. L’intensité

solide et de fréquence. Iν est, comme nous le verrons, une quantité cruciale dans le calcul des

modèles d’atmosphère.

On utilise également les différents moments de l’intensité spécifique relatifs à cos θ pour obtenir

d’autres quantités utiles. Le moment d’ordre 0 est l’intensité moyenne Jν définie comme la

moyenne directionnelle de l’intensité spécifique :

Jν =

1 4π

I

Iνdω, (1.4)

où le cercle dans l’intégrale dénote l’intégration sur toute la sphère unité centrée sur le point d’intérêt.

Le moment d’ordre 1 donne le flux :

F

I

Iνcos θdω. (1.5)

Notons que

F

suivante :

Fν =

F

Le moment d’ordre 2 de Iν, appelé intégrale K, est :

Kν =

1 4π

I

Iνcos2θdω. (1.7)

L’intégrale K est reliée à la pression radiative totale par

PR= 4π c Z ∞ 0 Kνdν. (1.8)

1.1.3 La profondeur optique et les coefficients d’absorption et d’émission

Considérons une lumière traversant une fine couche de matière suffisamment froide pour ne pas émettre elle-même de la lumière de façon notable. Cette lumière va perdre de l’intensité en traversant cette couche et la perte d’intensité va dépendre de l’épaisseur et de la densité de la couche de matière, mais aussi de la nature de cette matière. Plus précisément, il existe deux processus physiques contribuant à l’atténuation de la radiation qui traverse l’atmosphère :

soit le photon incident est détruit (absorption) et son énergie est thermalisée, soit il est dévié (diffusion) dans une direction autre que celle de l’angle solide considéré. Dans tous les cas,

on peut définir un coefficient d’absorption2 _κ

ν permettant de décrire la perte d’intensité dIν

pour un rayon lumineux incident d’intensité Iν traversant une couche de matière d’épaisseur

dx et de densité volumique de masse ρ tel que

dIν =−κνρIνdx. (1.9)

Notons que le photon « perçoit » simultanément κνρ et dx et qu’il est par conséquent plus

commode de considérer ce que l’on appelle la profondeur optique τν, qui est définie pour un

chemin de longueur L par

τν = Z L 0 κνρdx. (1.10) Ainsi, dτν = κνρdx. (1.11)

Dans ce cas, l’Équation 1.9s’écrit :

dIν =−Iνdτν, (1.12)

et sa solution est simplement :

Iν = Iν0 e−τνdτν, (1.13)

correspondant à la loi d’extinction habituelle. Souvenons-nous qu’il s’agit ici d’une situation « passive » où il n’y a pas d’émission lumineuse. Envisageons alors la situation inverse, soit une couche de matière suffisamment chaude pour émettre de la lumière. Il y a là aussi deux processus pouvant contribuer à l’émission de lumière. L’émission réelle, c.-à-d. la création d’un photon et la diffusion d’un photon dans la direction considérée (la diffusion étant plus souvent due à la réémission d’un photon absorbé qu’à un processus de déviation). On peut alors, de

façon analogue à l’absorption, définir un coefficient d’émission jν tel que l’incrément d’intensité

dIν émit par une couche d’épaisseur dx soit donné par

2. En toute rigueur, il s’agit d’un coefficient d’atténuation incluant l’absorption pure et la diffusion. Il s’agit d’un abus de langage très répandu que je conserve ici par souci de cohérence avec la littérature et les ouvrages

dIν = jνρdx. (1.14)

Enfin, en combinant les deux définitions d’absorption et d’émission, on peut obtenir un troi-sième terme souvent plus pratique à utiliser dans le calcul du transfert radiatif et qui donne en quelque sorte l’intensité spécifique « émise » en un point par un gaz chaud. On appelle ce terme la fonction source et il est défini de la façon suivante :

Sν =

jν

κν

. (1.15)

Notons que dans le cas où le milieu est à l’état d’équilibre thermodynamique, c.-à-d. dans un cas « d’absorption pure » où tous les photons sont absorbés et réémis avec une distribution ne dépendant que des conditions physiques du milieu, la fonction source est alors donnée par la loi de Planck à la température du milieu :

Sν =

2hν3

c2

1

ehν/kT _{− 1}= Bν(T ), (1.16)

où h est la constante de Planck, k la constante de Boltzmann et c la célérité de la lumière dans le vide. Dans le cas de l’approximation de diffusion, c.-à-d. dans un cas de « diffusion isotropique pure » où il n’y a pas de photon absorbé puis réémis, on peut montrer que

Sν = Jν. (1.17)

1.2

Les équations de base de l’atmosphère stellaire

1.2.1 L’équilibre hydrostatique

Il s’agit ici d’une des approximations mentionnées plus haut. L’équilibre hydrostatique sup-pose, en effet, qu’il n’y a pas de perte de masse significative dans l’atmosphère et que l’étoile n’est pas non plus en train de s’effondrer. En d’autres termes, l’ensemble des forces qui s’exercent sur un élément de volume donné est à l’équilibre. Donc, le poids d’un élément de volume dV = dA dx (où dA est un élément de surface et dx est un élément de distance) et de densité ρ est égal à l’ensemble des forces dF qui s’y exercent, soit

où g est la gravité à la profondeur de l’élément de volume. En divisant cette équation par dA, on exprime l’équilibre hydrostatique en termes de la pression :

dP = dF

dA = ρgdx. (1.19)

Ici dP est la pression totale supportant l’élément de volume dV . La pression P est généralement définie comme la somme de plusieurs contributions :

P = Pgaz+ Prad+ Pturb+ Pmag, (1.20)

où Pgaz est la pression du gaz qui, dans le cas d’un gaz parfait, est donnée par

P = nkT (1.21)

avec n = N/V la densité volumique du gaz (et N le nombre de particules). Prad est la pression

de radiation définie précédemment (Éq. 1.8). Pturb est la pression de turbulence et s’exprime

comme Pturb = 1 2ρv 2 turb, (1.22)

où vturb (aussi notée ξ) est la vitesse de microturbulence. Cette vitesse, encore peu comprise

de nos jours, fait référence aux mouvements de matière à petite échelle dont l’amplitude est petite comparée à la profondeur optique unitaire. Je reviendrai un peu plus loin sur ce terme et les subtilités qu’il apporte aux modèles d’atmosphère. Il suffit de préciser ici qu’il s’agit d’un paramètre qui a été ajouté de façon ad hoc afin de pouvoir compenser un problème d’élargissement des raies spectrales et que sa compréhension ainsi que sa vraie valeur sont

encore sujettes à débat. Enfin, Pmag correspond à la pression magnétique que je néglige ici

puisqu’elle ne devient significative que dans des cas assez extrêmes qui ne sont pas considérés dans cette thèse.

En utilisant la définition de la profondeur optique vue à la Section 1.1.3, on peut réécrire

l’équation de l’équilibre hydrostatique (Éq. 1.19) en utilisant l’Équation1.11 :

dP dτν

= g

κν

. (1.23)

L’équation de l’équilibre hydrostatique permet donc, en théorie, de construire la structure en

pression de l’atmosphère, P (τν), c.-à-d. une valeur de pression pour chaque profondeur optique

considérée. Mais nous verrons que les choses ne sont pas si simples et qu’il faudra résoudre simultanément d’autres équations pour pouvoir déterminer la pression.

Ver sl’o bser vate ur θ ds dx =_−dr profondeur Rayon

Vers le centre de l’´etoile

x

x+dx r

r+dr

g´eom´etrique

Figure 1.2 – Illustration des conventions en géométrie plan-parallèle Schéma illus-trant les relations entre un élément orienté de chemin optique faisant un angle θ par rapport à la normale à la surface, le rayon de l’étoile et la profondeur optique, en géométrie plan-parallèle.

1.2.2 L’équation du transfert radiatif

Considérons un faisceau de lumière se propageant dans la direction s. Pour un élément de

chemin optique ds, l’incrément d’intensité spécifique dIν est donné par la somme des pertes,

exprimées par le coefficient d’absorption κν, et des gains, exprimés par le coefficient d’émission

jν, que subit le rayon lumineux, soit

dIν =−κνρIνds + jνρds. (1.24)

Maintenant, si on divise cette équation par κνρds et que l’on applique la définition de dτν

(Éq.1.11) et de Sν (Éq.1.15), on obtient la forme générale de l’équation du transfert radiatif

en fonction de la profondeur optique : dIν κνρds =−Iν+ jν κν , dIν dτν =_−Iν+ Sν. (1.25)

Notons qu’il s’agit d’un système d’équations ; il y a une équation pour chaque valeur de fréquence ν (il y a donc une infinité d’équations quand ν est continu). En considérant une

géométrie plan-parallèle, comme sur la Figure 1.2, où ds est orienté vers l’observateur et fait

un angle θ avec la normale à la surface, pour un élément de rayon dr nous avons la relation dr = cos θds et l’équation du transfert radiatif devient :

cos θ dIν κνρdr =−Iν+ Sν, cos θdIν dτν =_−Iν+ Sν. (1.26)

Selon les conventions, on peut aussi adopter une nouvelle variable de profondeur géométrique,

x, telle que dx = −dr et ainsi l’Équation1.26s’écrit :

cos θ dIν κνρdx = Iν− Sν, cos θdIν dτν = Iν− Sν. (1.27)

On peut montrer que la forme générale de l’équation du transfert radiatif (Éq. 1.25) a une

solution de la forme :

Iν(τν) =

Z τν

0

Sν(tν)e−(τν−tν)dtν + Iν(0)e−τν, (1.28)

où tν est une variable muette. Notons ici qu’il s’agit de l’évolution de l’intensité spécifique le

long d’un chemin optique s quelconque puisque nous avons défini dτν = κνρds. Ainsi, entre

la profondeur optique τν = 0 et une profondeur optique quelconque τν, l’intensité originale

Iν(0) a subi une extinction exponentielle e−τν. Et de manière générale, l’intensité générée en

un point tν quelconque, notée ici Sν(tν), subit une extinction de la forme e−(τν−tν)avant d’être

intégrée au point τν.

En géométrie plan-parallèle, avec la convention dx = −dr, l’Équation 1.28devient :

Iν(τν, θ) =−

Z τν

c

Sν(tν)e−(tν−τν) sec θdτν, (1.29)

où la limite d’intégration c remplace Iν(0)afin d’exprimer les différentes conditions aux limites

s’appliquant dans cette géométrie particulière. En effet, puisque nous considérons plusieurs couches d’atmosphère « empilées » les unes sur les autres et que nous avons définit la

pro-fondeur optique par dτν = κνρds = −κνρ sec θdx, alors les conditions aux limites changent

si l’on considère des radiations allant vers le centre (Iin

ν ), quand θ > π/2, ou allant vers

l’ex-térieur (Iout

ν ), quand θ < π/2 (rappelons que 0 ≤ θ ≤ π). En effet, chaque couche, hormis

surface) jusqu’à τν, ainsi que celle venant des strates inférieures, soit de c = ∞ (le centre de

l’étoile) jusqu’à τν. On peut alors réécrire l’Équation 1.29comme

Iν(τν, θ) = Iνout(τν, θ) + Iνin(τν, θ) = Z ∞ τν Sν(tν)e−(tν−τν) sec θdτν − Z τν 0 Sν(tν)e−(tν−τν) sec θdτν. (1.30)

Et les conditions aux limites suivantes s’appliquent :

I_νin(_{∞, θ) = 0 (au coeur de l’étoile),}

Iin

ν (0, θ) = 0(à la surface, si l’étoile n’a pas de compagnon),

Iout

ν (0, θ) =

Z ∞

0

Sν(tν)e−(tν−τν) sec θdτν. (1.31)

C’est justement l’Équation1.31 qu’il va falloir calculer pour obtenir un spectre. Plus

précisé-ment, comme nous ne pouvons pas résoudre spatialement les étoiles (hormis le Soleil), il faut

encore intégrer Iout

ν sur le disque stellaire (sur θ) pour obtenir le flux observable (voir Éq.1.5).

Mais avant de pouvoir calculer Iν et obtenir un spectre, il faut impérativement connaitre la

fonction source Sν(tν)qui, relativement aux situations considérées, peut être une fonction très

complexe.

Enfin, en combinant l’Équation 1.30 avec la définition du flux,

F

les exponentielles intégrales,

En(x) =

Z ∞

1

e−xw

wn dw, (1.32)

avec w = ± sec θ et x = ±(tν− τν), on peut réécrire le flux comme :

F

De même, en utilisant les définitions de Jν et de Kν, on peut écrire

Jν(τν) = 1 2 Z ∞ τν Sν(tν)E1(tν− τν)dtν+ 1 2 Z τν 0 Sν(tν)E1(τν − tν)dtν, (1.34)

et Kν(τν) = 1 2 Z ∞ τν Sν(tν)E3(tν − τν)dtν+ 1 2 Z τν 0 Sν(tν)E3(τν− tν)dtν. (1.35) 1.2.3 La fonction source

Jusqu’à présent, nous avons utilisé la définition générale des coefficients d’absorption et d’émis-sion. Pour pouvoir aller plus loin dans la description de la fonction source, il faut préciser un peu plus ces coefficients. On peut en effet distinguer deux types de coefficients d’absorptions (et respectivement d’émissions) dénotant deux origines différentes : l’absorption (respectivement l’émission) du continu et celle des raies spectrales.

Notons lν et jνl les coefficients d’absorption et d’émission des raies, et κν et jνc les coefficients

d’absorption et d’émission du continu. Alors la profondeur optique prend la forme :

dτν = (lν + κν)ρdx, (1.36)

et la fonction source s’écrit :

Sν =

jl ν + jνc

lν+ κν

. (1.37)

On peut aussi définir séparément les fonctions sources des raies et du continu par

Sl= jl ν lν , (1.38) Sc= jc ν κν , (1.39)

telles que, la fonction source totale s’exprime comme

Sν = (lν/κν)Sl+ Sc 1 + lν/κν = Sl+ (lν/κν)Sc 1 + κν/lν . (1.40)

Ce qui ne change pas l’équation du transfert radiatif vue précédemment (Éq. 1.27) et donc

la nécessité de déterminer Sν. Toutefois, cette séparation de la fonction source peut nous y

La fonction source du continu

Parmi les principaux mécanismes produisant un spectre continu, on notera les transitions liée-libre (ionisation et recombinaison radiative), les transitions libre-libre (collisions, bremss-trahlung...), et la diffusion électronique. Afin d’alléger ce chapitre déjà conséquent, seules les sources et dépendances de ces processus, ainsi que les définitions des coefficients d’absorption et d’émission qui y sont rattachés, sont présentées ici (le lecteur peut se référer à la littérature

existante, comme par exemple Gray 2005).

On définit le coefficient d’absorption continu comme étant la somme des coefficients des mé-canismes qui y contribuent :

κν = κBFν + κF Fν + κe, (1.41)

où κBF

ν provient des transitions liée-libre (Bound-Free), κF Fν des transitions libre-libre

(Free-Free). Les principales sources d’absorption du continu viennent de la grande abondance d’hy-drogène et d’hélium dans l’atmosphère ainsi que des métaux qui, bien que nettement moins nombreux, sont de grands donneurs d’électrons. Ainsi, les coefficients dépendent de la tempé-rature, de la pression du gaz, de la pression électronique et bien sûr de l’abondance relative des éléments chimiques caractérisant l’atmosphère. Concernant la diffusion électronique, il est intéressant d’entrer un peu plus dans les détails puisque d’une part, elle contribue de façon significative à l’absorption dans les photosphères des étoiles chaudes de types O et B précoce et que d’autre part, elle produit une absorption indépendante de la fréquence. En effet, le coef-ficient d’absorption par électron, étant simplement donné par la section efficace de Thomson,

ne dépend pas de ν dans le visible et, pour Ne électrons, le coefficient d’absorption total est

alors : κe = Neα(e), (1.42) avec α(e) = 8π 3  e2 mc2 2 , (1.43)

la section efficace de Thomson, où m est la masse de l’électron. Il est aussi intéressant d’ex-primer le coefficient d’absorption par particule d’hydrogène

κe/H = α(e)Ne

NH

= α(e)Pe

PH

où Pe et PH sont les pressions électroniques et atomiques. En définissant le nombre total de

particules N comme étant :

N = Ne+

X

Nj = Ne+ NH

X

Aj, (1.45)

où Nj est le nombre de particules autre que des électrons et

Aj = Nj/NH, (1.46) alors NH = N − Ne P Aj autrement dit, PH = Pg− Pe P Aj , (1.47) et donc κe/H = α(e) Pe Pg− Pe X Aj. (1.48)

Avec cette dernière expression on voit que si la température augmente jusqu’à ioniser

com-plètement l’hydrogène, alors Pe≈ 0.5Pg et donc κe/H ≈ α(e)P Aj dépend principalement de

l’abondance relative des autres donneurs d’électrons.

Finalement, on peut définir le coefficient d’émission jc

ν de manière analogue à celui

d’absorp-tion :

j_νc = j_νBF + j_νF F + je. (1.49)

Et dans le cas de l’émission par diffusion électronique, on peut appliquer l’approximation de

diffusion, donnant Sν = Jν, et donc je= κeJν.

La fonction source des raies spectrales

Pour un atome à deux niveaux d’énergie, le niveau supérieur ayant une population Nu et le

niveau inférieur une population Nl, la probabilité que, suite à la transition d’un électron du

niveau supérieur vers le niveau inférieur, l’atome émette un photon dans un temps dt, dans

un angle solide dω, et dans un intervalle de fréquence dν, est Aulψ(ν)dt dω dν. Où, Aul est

le coefficient d’Einstein pour l’émission spontanée et ψ(ν) est la dépendance en fréquence du photon émit spontanément. La fonction ψ(ν) définie le profil de la raie d’émission ; son intégrale sur toutes les fréquences vaut un. Le coefficient d’émission de la raie est alors donné par

j_νlρ = NuAulψ(ν) hν. (1.50)

Le processus inverse est bien entendu possible, et on parle d’absorption lorsqu’un photon est absorbé par l’atome le faisant passer de l’état inférieur vers l’état supérieur. Il existe aussi le phénomène d’émission stimulée, où le photon interagit avec l’atome, qui est alors dans l’état supérieur, provoquant ainsi sa désexcitation et l’émission d’un second photon identique au photon incident (même phase, direction et polarisation). Les photons produits par émission stimulée ont alors la même dépendance en fréquence, φ(ν), que les photons absorbés et, pour pouvoir définir le coefficient d’absorption, il faut retrancher au nombre de photons absorbés, le nombre de photons émis par stimulation. On parle alors de coefficient d’absorption corrigé pour l’émission stimulée :

lνρ = NlBluφ(ν) hν− NuBulφ(ν) hν, (1.51)

où Bul et Blu sont les coefficients d’Einstein pour l’absorption et l’émission stimulée. Le profil

d’absorption de la raie, φ(ν), est également normalisé à l’unité. On peut alors écrire la fonction source des raies comme

Sl= jl ν lν = NuAulψ(ν) NlBluφ(ν)− NuBulφ(ν) , (1.52)

et, en utilisant les relations liant les coefficients d’Einstein : Aul = 2hν3Bul/c2et Bulgu = Blugl,

où gu et gl sont les poids statistiques des deux niveaux, Sl devient

Sl= 2hν3 c2 1 (Nl/Nu)(gu/gl)− 1 ψ(ν) φ(ν). (1.53)

À l’équilibre, il y a redistribution complète des fréquences (c.-à-d. que pour chaque photon émit il doit y avoir un photon absorbé identique), donc ψ(ν) = φ(ν) et,

Sl= 2hν3 c2 1 (Nl/Nu)(gu/gl)− 1 . (1.54)

On voit alors que pour déterminer Sν, il faut connaitre les populations des niveaux participants

abordé. Notons par ailleurs qu’en situation d’équilibre thermodynamique (ET) ou d’équilibre thermodynamique local (ETL), le rapport des densités de population est donné par l’équation de Boltzmann : Nl Nu = gl gu ehν/kT. (1.55)

Et ainsi, la fonction source est directement donnée par la fonction de Planck :

Sl =

2hν3

c2

1

ehν/kT _{− 1} = Bν(T ). (1.56)

Dans ce cas on dit que la raie est formée à l’ETL, alors que le traitement général donné par

l’Équation 1.53est appelé traitement hors-ETL (HETL).

De manière générale, pour une fréquence donnée ν, une ou plusieurs transitions de différents atomes ou ions peuvent participer à la fonction source. Ainsi, en toute rigueur, la fonction source des raies spectrales, évaluée à la fréquence ν, est définie comme le rapport des sommes des contributions de l’émissivité et de l’opacité à cette fréquence :

Sl(ν) = P raiesNuAulφ(ν) P raiesNlBluφ(ν)− NuBulφ(ν) . (1.57)

Dans ce cas, on ne peut plus simplifier par φ(ν) puisque le profil d’une raie change d’une tran-sition à une autre. En effet, φ(ν) est définie par un profil de Voigt global qui s’exprime comme

la convolution d’une fonction lorentzienne de dispersion de largeur γ = γN aturel+ γP ression,

appelée constante d’amortissement (qui dépend du coefficient d’émission spontanée Aul de la

transition, de la température et de la pression du milieu), et d’une fonction gaussienne d’écart

type ∆νD, correspondant au décalage Doppler dû aux effets thermiques et à la microturbulence

ξ. Ainsi, φ(ν) s’écrit φ(ν) = γ/4π 2 ∆ν2_{+ (γ/4π)}2 ∗ 1 π1/2_∆ν D e−(∆ν/∆νD)2, (1.58)

où ∗ représente un produit de convolution et

∆ν = ν_{− ν}ul et ∆νD = νul c  2kT m + ξ 2 1/2 . (1.59)

1.2.4 L’équilibre statistique et les équations de clôture

La détermination des populations des niveaux d’énergies des atomes et des ions est nécessaire au calcul de la fonction source. Pour effectuer ce calcul, il faut en appeler à l’équilibre statis-tique qui stipule qu’à l’équilibre, la population de chaque niveau doit être constante dans le temps. Ainsi, en combinant les taux de transitions de tous les processus physiques qui inter-viennent dans le passage d’un niveau i vers un niveau j en un taux de transitions global (ou

probabilité) Pij, on peut écrire, pour chaque niveau i :

dNi dt = M X j=1,j6=i (NiPij− NjPji) = M X j=1,j6=i NiPij− Nj M X j=1,j6=i Pji = 0, (1.60)

où M est le nombre de niveaux pour une espèce chimique, Ni et Nj sont les populations

respectives des niveaux i et j, Pij et Pji représentent, respectivement, les probabilités de

dépeupler et de peupler le niveau i vers et depuis le niveau j. Les termes NiPij et NjPji

correspondent alors aux nombres d’atomes effectuant ces «migrations». La somme doit se faire sur toutes les combinaisons possibles en incluant également le continu (c.-à-d. l’ionisation et

la recombinaison). La probabilité de transitions totale Pij est définie comme la somme des

probabilités de transitions radiatives Rij et collisionnelles Cij :

Pij = Rij + Cij. (1.61)

Les taux de transitions radiatives Rij peuvent être formulés de façon très générale en utilisant

les sections efficaces σij(ν):

Rij =    4π h R σji(ν) ν Gji(Jν+ 2hν3 c2 )dν si j < i 4π h R σij(ν) ν Jνdν si j > i, (1.62) où la section efficace dépend du type de transitions :

σij(ν) =

 



Bijhνφ(ν) transitions liée-liée

σi continu(ν) transitions liée-libre,

(1.63)

Gij =    gi gj transitions liée-liée (ni nj) ∗_ehν/kT ₌ gi gje −χi/kT_ehν/kT transitions libre-liée, (1.64)

où φ(ν) est le profil de raie donné par l’Équation 1.58, gi et gj sont les poids statistiques

des niveaux i et j, (ni/nj)∗ dénote le rapport de population à l’ETL, et χi est l’énergie

d’ionisation à partir du niveau i. Dans le cas des transitions libre-liée, l’indice j fait référence à l’état fondamental du prochain état d’ionisation.

Les transitions induites par collision, représentées dans l’Équation1.61par Cij, dépendent de

la densité des particules causant la collision (principalement l’hydrogène et les électrons), de leur distribution de vitesse et des constantes atomiques comme la section efficace de collision et le potentiel d’excitation. Si des calculs quantiques existent, alors les données atomiques peuvent être disponibles sous plusieurs formes (sections efficaces, forces de collision ou encore collisions effectives). Dans le cas général, où les calculs quantiques ne sont pas disponibles, des formules semi-empiriques et semi-quantiques permettent d’évaluer la force de collision à partir de la force d’oscillateur quand elle est connue. Pour plus de détails, et des exemples de formules semi-empiriques utilisées dans un code de modèle d’atmosphère, le lecteur pourra

consulter, par exemple, la Section 4.5 de l’article de Hubeny (1988).

Finalement, rappelons-nous que le système d’équations différentielles à résoudre (Éq. 1.60),

ayant M − 1 équations, est donné pour un seul élément chimique. C’est donc un système

de (M − 1) Nelem équations, où Nelem est le nombre d’éléments chimiques considérés par le

modèle, plus une équation de clôture, qu’il est nécessaire de résoudre pour trouver les niveaux de populations d’une seule couche d’atmosphère. Comme équation de clôture, on peut utiliser indifféremment l’équation de conservation de la charge :

Nelem X j=1 Mj X i=1 ZjiNji = Ne, (1.65)

ou encore l’équation de conservation du nombre de particules,

NT ot= Ne+ YT otNH où YT ot= Nelem X j=1 Aj = Nelem X j=1 Nj NH = Nelem X j=1 PMj i Nji NH , (1.66)

où Mj est le nombre d’états d’ionisation de l’élément j, Zji sa charge selon son état

d’ioni-sation i (0 pour neutre, 1 pour ionisé une fois, −1 pour un ion négatif, etc.), Nj le nombre

d’atomes de l’élément j, Nji le nombre d’atomes j dans l’état d’ionisation i et Aj = Nj/NH