DROITES ET PLANS DE L’ESPACE
I) Détermination d’un plan :
P1 : un plan P peut être déterminé par :
P A B C P A D P D D ' P D D '
a) Trois points A, B, C non alignés
b) Une droite D et un point A extérieur à D
c) deux droites D et D ’ sécantes
d) deux droites D et D’ parallèles
II) Position relative de deux droites :
P2 : Si deux droites de l’espace D et D ’ ont :
a) deux points en commun A et B A B elles sont confondues
b) un seul point en commun A
D
D '
A elles sont sécantes, donc coplanaires
c) aucun point en commun
D
D ' elles sont coplanaires donc strictement
parallèles
D D '
elles ne sont pas coplanaires
D1 : Deux droites D et D ’sont dites parallèles si elles sont : - soit confondues ;
- soit coplanaires et n’ont aucun point en commun.
III) Position relative d’une droite et d’un plan : P3 : Si une droite D et un plan P ont
a) au moins deux points A et B en commun
P
A B D est contenue dans P
b) un point et un seul en commun
P
D
A D et P sont sécants en A
c) aucun point en commun
P D
D est strictement parallèle à P
D2 : Une droite D et un plan P sont dits parallèles s’ils ne sont pas sécants. IV) Position relative de deux plans :
P4 : Si deux plans P et P ’ a) ont au moins trois points non
alignés en communs P
A
b) non confondus ont au moins
un point A en commun P A
P '
ils sont sécants suivant une droite passant par A
c) aucun point en commun
P P '
ils sont strictement parallèles
D3 : Deux plans P et P ’ sont dits parallèles s’ils ne sont pas sécants.
V) Propriétés de parallélismes : P5 :
a) Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre.
b) Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
P6 :
a) Une droite parallèle à une droite d’un plan est parallèle à ce plan. b) Une droite strictement parallèle à un plan n’a aucun point commun avec toute droite du plan.
P7 : Théorème du toit
Une droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur intersection, et réciproquement.
P8 :
a) Si deux plans sont parallèles, alors toute droite qui coupe l’un coupe l’autre.
b) Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
VI) Droites orthogonales :
D1
D2
D4 : Deux droites D1 et D2 sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un même point de l’espace sont perpendiculaires dans le plan qu’elles déterminent.
D D '
D
D ' d
P D D ' d
VII) Droites et plans orthogonaux :
D5 : Une droite d et un plan P sont dits orthogonaux lorsque d est orthogonale à toute droite du plan P.
P9 : Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu’elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
P10 : P P ' D D ' a) P P ’ et D⊥P alors D⊥ P ’ c) D⊥P et D⊥P ’ alors P P ’ b) D D ’ et D⊥P alors D ’⊥ P d) D ⊥P et D ’⊥P alors D D ’ P D
M P11 : Il existe un plan P et un seul passant par un point M donné et perpendiculaire à une droite donnée D.
D6 : La projection orthogonale de M sur D est le point d’intersection de D avec le plan perpendiculaire à D passant par M.
P
O
H B
P12 : Il existe une droite et une seule passant par un point O donné et perpendiculaire à un plan P donné.
D7 : La projection orthogonale de O sur P est le point d’intersection de P avec la droite perpendiculaire à P passant par O.
D8 : La distance d’un point O à un plan P est OH. C’est la plus courte distance entre O et un point de P.
A I B
M
D9 : On appelle plan médiateur d’un segment [AB] le plan passant par le milieu de [AB] et perpendiculaire à (AB).
P13 : Pour tout point M du plan médiateur de [AB] alors MA = MB VIII) Plans perpendiculaires :
P
P '
D10 : On dit que deux plans P et P ’ sont perpendiculaires lorsque toute droite orthogonale à P et toute droite orthogonale à
P ’ sont orthogonales.
P14 : Pour que 2 plans soient perpendiculaires, il suffit qu’une droite perpendiculaire à l’un et une droite perpendiculaire à l’autre soient orthogonales.
P15 : Deux plans sont perpendiculaires signifie que l’un deux contient une droite perpendiculaire à l’autre.
