Les fonctions presque périodiques

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Les fonctions presque périodiques

Mémoire

Thierry Anselme Kouontchou Tchemb

Maîtrise en mathématiques - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

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Résumé

L’objectif de ce mémoire est de définir et de développer des notions diverses sur la théorie des fonctions presque périodiques sur la droite réelle, d’utiliser ses propriétés comme outils importants dans la compréhension et la preuve des principaux résultats, soit particulièrement le critère de Bochner, le théorème d’approximation et la relation de Parseval pour ce type de fonction. Nous terminerons par l’étude des séries de Dirichlet pour les fonctions presque périodiques holomorphes dans une bande du plan complexe C.

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Table des matières

Résumé ii

Table des matières iii

Table de Notation v

Remerciements vi

Introduction 1

1 Introduction et propriétés élémentaires des fonctions presque

pério-diques 3

1.1 Définitions. . . 3

1.2 Propriétés des fonctions presque périodiques. . . 5

1.3 Normalité des fonctions presque périodiques . . . 8

1.4 Le critère de Bochner . . . 10

2 Analyse harmonique des fonctions presque périodiques 14 2.1 Prérequis sur des intégrales de Fourier-Stieltjes . . . 14

2.2 Théorème d’approximation . . . 17

2.3 Étude du théorème de la valeur moyenne, la transformation de Bohr, les séries de Fourier et le théorème de l’unicité . . . 19

2.4 Les polynômes de Bochner-Fejér . . . 23

2.5 Étude de la relation de Parseval pour des fonctions presque périodiques . . 28

3 Fonctions presque périodiques holomorphes 31 3.1 Quelques théorèmes auxiliaires en théorie des fonctions holomorphes . . . . 31

3.2 Définition des fonctions presque périodiques holomorphes et leurs propriétés 36 3.3 Séries de Dirichlet . . . 40

Conclusion 52

A Quelques résultats d’analyse complexe 53

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A mes parents, mon fils et au chef Bametcha

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Table de Notation

(a,b) intervalle ouvert

[a,b] intervalle fermé

(a,b], [a,b) intervalle semi ouvert

ha,bi tout intervalle (a1,b1) tel que a < a1< b1< b

[a,bi tout intervalle [a,b₁) tel que a < b₁ < b variable complexe z z = σ + it, avec σ et t des réels

la droite σ0 {z ∈ C tel que σ = σ0 et t ∈ R}

la bande I _{{z ∈ C : σ ∈ I} avec I := (a,b); [a,b]; ha,bi; (a,b]; ha,b]; . . .}

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Remerciements

J’aimerais débuter par remercier le seigneur de tous ses merveilles durant cette période. J’aimerais exprimer tous mes remerciements spéciaux et de gratitude aux professeurs Ja-vad MASHREGHI et Damir KINZEBULATOV qui m’ont donné une opportunité en or de faire ce merveilleux mémoire, qui m’a permis de faire beaucoup de recherche et d’en sortir édifié de plusieurs autres notions des mathématiques. Ils m’ont vaillamment aidé dans la com-préhension de ce sujet, guidé dans la méthodologie dans la recherche, transmis la rigueur dans le travail et soutenu financièrement.

Mes remerciements s’étendent aussi au département des Mathématiques et Statistiques de l’Université Laval pour la qualité des cours dispensés, pour le cadre idéal de travail (labora-toire, bibliographie, bureau, etc) et pour ma participation aux tâches d’auxiliaires d’enseigne-ment auxquelles j’ai pris de l’expérience. J’ai beaucoup apprécié la sympathie des membres de ce département.

Sans oublier les encouragements de ma famille et de mes amis, je termine par remercier les examinateurs de ce document pour le temps précieux dévoué à l’amélioration de ce travail.

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Introduction

La théorie des fonctions presque périodiques, établie en 1924, par Harald Bohr [3] (mathéma-ticien danois) a connu un développement substantiel par d’autres mathéma(mathéma-ticiens entre autres Salomon Bochner [2], Hermann Weyl [15], Abram Samoilovitch Besicovitch [1], Jean Favard [7], John Von Neumann [13], Vyacheslav Vassilievich Stepanov. Ceux-ci ont notamment déve-loppé des connections avec d’autres branches de la théorie moderne des fonctions. D’un côté, la presque périodicité, comme une propriété structurale de fonctions, est une généralisation de la pure périodicité. Par exemple, la fonction

f (x) = sin 2πx + sin 2π√2x

n’est pas périodique. Il n’existe pas de valeur τ satisfaisant l’équation f (x + τ ) = f (x)

pour toute valeur x dans R. Mais nous pouvons établir l’existence de nombres pour lesquels cette dernière équation est approximativement satisfaisante avec un degrés de précision arbi-traire. De l’autre côté, la théorie des fonctions presque périodiques ouvre une façon d’étudier une classe générale de séries trigonométriques de type général et de séries exponentielles (série de Dirichlet), donnant dans le dernier cas d’importantes contributions aux problèmes de la théorie des fonctions holomorphes.

Ce mémoire portera alors sur l’étude des fonctions presque périodiques, leur application en analyse harmonique et en analyse complexe.

Dans le premier chapitre, nous donnerons d’abord quelques définitions et propriétés de base des fonctions presque périodiques. Nous donnerons ensuite la relation entre ces fonctions et les fonctions dites normales. Et enfin dans ce chapitre, nous parlerons du critère de Bochner, qui jouera un rôle important dans le développement de cette théorie des fonctions presque périodiques.

Le deuxième chapitre porte sur l’analyse harmonique des fonctions presque périodiques. Nous parlerons entre autre des intégrales de Fourier-Stieljes, des polynômes de Bochner-Fejer, de la transformation de Bohr, etc. Nous étudierons la relation de Parseval pour des fonctions

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presque périodiques et donnerons la preuve de l’un des résultats principaux, qui est le théorème d’approximation.

Dans le dernier chapitre, nous nous intéressons aux fonctions presque périodiques holomorphes dans une bande de la droite réelle. Notamment leurs propriétés et l’étude de leurs séries de Dirichlet.

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Chapitre 1

Introduction et propriétés

élémentaires des fonctions presque

périodiques

Les outils présentés ici proviennent des livres [1], [4] et [8].

1.1 Définitions

Définition 1.1.1. (Ensemble relativement dense) Un ensemble E ⊂ R de nombres réels

est dit relativement dense s’il existe un réel l > 0 tel que, pour tout α ∈ R, tout intervalle Iα,l de la forme (α, α + l) := Iα,l ⊂ R de longueur l contient au moins un nombre de E. En

d’autres termes,

∃ l > 0 tel que (α, α + l) ∩ E 6= ∅, ∀ α ∈ R.

Définition 1.1.2. (ε-presque période) On dit qu’un nombre réel τ est une ε-presque période d’une fonction continue f : R −→ C (f ∈ C(R,C)) si

sup

t∈R

|f (t + τ ) − f (t) | ≤ ε. (1.1)

Définition 1.1.3. (Fonction presque périodique) Une fonction f ∈ C (R,C) est dite presque périodique si pour chaque ε > 0, elle possède un ensemble relativement dense

de ε-presque période (qu’on notera par la suite E{ε,f }). De façon plus précise, une fonction f ∈ C(R,C) est dite (Bohr) presque périodique si pour tout ε > 0, il existe lε> 0 tel que

tout intervalle I_α,l_ε de longueur l_ε contient au moins un nombre τ vérifiant (1.1) i.e, ∀ ε > 0, ∃ l_ε > 0 tel que ∀ Iα,lε ⊂ R, ∃ τ ∈ Iα,lε vérifiant sup

t∈R

|f (t + τ ) − f (t) | ≤ ε.

Nous représenterons l’ensemble des fonctions presque périodiques de R vers C par AP (R, C) et dans la suite de ce travail, nous utiliserons AP au lieu de AP (R,C).

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Les exemples classiques des fonctions presque périodiques incluent des fonctions périodiques continues sur R ainsi que les polynômes trigonométriques, c’est-à-dire toute fonction

Pn : R −→ C

t 7−→ P_n(t) = Pn

k=1

akeiλkt,

avec λ_k_{∈ R et a}_k_{∈ R, pour tout k = 1,2, . . . , n.} On voit que n P k=1 akeiλkt= n P k=1 ak(cos(λkt) + i sin(λkt)).

Nous pouvons par ailleurs avoir des fonctions presque périodiques qui ne sont pas périodiques. C’est l’exemple des fonctions f (t) = cos(t) + cos(t√2) et g(t) = sin(t) + sin(t√2). Toute fonc-tion périodique est presque périodique et la réciproque est fausse (voir exemples précédents). Ainsi, si une fonction f est une fonction périodique de période T , alors tous les éléments de la forme nT, (n ∈ Z) sont aussi des périodes de la fonction f . Et donc, pour tout ε > 0, les nT sont des ε-presque périodes. Finalement, l’ensemble des éléments nT est relativement dense. Avant de passer aux propriétés des fonctions presque périodiques, rappelons des concepts (sur l’espace métrique R munit de la norme valeur absolue) utiles dans la preuve de certains futurs résultats.

Définition 1.1.4. (Espace métrique) Soit X un ensemble. On dit que d : X · X −→ R est

une distance sur X si et seulement s’il satisfait les propriétés suivantes — Positivité d(x,y) ≥ 0 et d(x,y) = 0 ⇔ x = y.

— Symétrique d(x,y) = d(y,x).

— Inégalité triangulaire d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).

Le couple (X,d) est appelé espace métrique. Il en existe plusieurs exemples. Par exemple l’espace métrique Euclidien (Rn,d).

Définition 1.1.5. (totalement borné) L’espace métrique (R,d) est totalement borné si et

seulement si pour tout ε > 0, il contient un ensemble fini ε-net. C’est-à-dire en fait qu’il existe un ensemble S ⊂ R et pour tout x ∈ R, on a d(x,S) ≤ ε. Rappelons ici que d(x,S) =

inf

y∈Sd(x,y) = infy∈S|x − y| est la distance entre le point x et l’ensemble S.

On donne par la suite un résultat principal de la compacité définit par un ensemble ε-net dont la preuve est consultable à la page quatre de [8].

Lemme 1.1.1. Soit X un ensemble munit d’une distance d. L’espace métrique (X,d) est

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1.2 Propriétés des fonctions presque périodiques

Notons par R_f _{= {x ∈ C : x = f (t), t ∈ R} l’ensemble image de la fonction f ∈ C(R, C) et ¯}Rf

sa fermeture.

Propriété 1.2.1. Toute fonction presque périodique f ∈ C(R, C) est compacte en ce sens que

l’ensemble ¯Rf est compact.

Démonstration. Il est suffisant de montrer que Rf est totalement bornée. C’est à dire que,

pour tout ε > 0, il existe S ⊂ R_f tel que pour tout x ∈ R_f, inf

y∈S|x − y| ≤ ε. (1.2)

Ainsi, soit ε > 0, considérons l = l(ε) la longueur de l’intervalle (α, α + l_ε). On pose Rf,l= {x ∈ Rf : x = f (t), −l/2 ≤ t ≤ l/2}.

Par continuité de la fonction f , il suit que l’ensemble R_f,l est compact. Aussi, on a que Rf,l⊂ Rf. Nous montrons maintenant que pour tout x ∈ Rf, on a

inf

y∈Rf,l

|x − y| ≤ ε. (1.3)

Pour cela, soit t₀ _{∈ R pris arbitrairement et soit τ = τ}_ε une ε−presque période telle que −l/2 ≤ t₀+ τ ≤ l/2,

c’est-à-dire,

−t₀− l/2 ≤ τ ≤ −t₀+ l/2. Alors,

|f (t0+ τ ) − f (t0)| ≤ ε,

et comme l’élément (t0+ τ ) appartient à l’intervalle (−l/2, l/2), on a bien (1.3). En prenant

alors S := R_f,l, on obtient (1.2). Et c’est ce qu’il fallait démontrer.

Propriété 1.2.2. Soit f ∈ AP . Alors la fonction f est bornée et uniformément continue sur

R.

Démonstration. Considérons ε = 1 et dénotons par M = sup

t∈(0,l1) |f (t)|.

Nous constatons facilement que nous pouvons définir un nombre 1−presque période τ d’un ensemble relativement dense E, tel que (t + τ ) appartient à l’intervalle (0,l₁), ceci pour tout réel t. Et par conséquent, pour tout t ∈ R, on a

(12)

Mais puisque

|f (t + τ ) − f (t)| ≤ 1, alors

|f (t)| ≤ M + 1. Ce qui prouve que la fonction f est bornée.

Pour la continuité, considérons ε > 0 et posons ε₁= ₃ε et l = l_ε₁. La fonction est uniformément continue dans l’intervalle fermé [−1,1 + l], c’est-à-dire il existe δ = δ_ε₁ tel que |f (δ00) − f (δ0)| < ε1 si |δ00− δ0| < δ, avec δ00, δ0 ∈ R. Considérons maintenant t0, t00 ∈ R tel que |t0− t00| < δ.

Prenons τ = τ_ε₁ ∈ [−1, 1 + l]. Posons δ0 _{= t}0_{+ τ}

ε1 et δ

00_{= t}00_{+ τ}

Propriété 1.2.3. Soit (f_n)_n≥0 _{∈ C(R, C) une suite de fonctions presque périodiques qui} converge uniformément vers f dans R. Alors, la fonction f est presque périodique.

Démonstration. Soit ε > 0, soit n = n_ε tel que sup

t∈R

|f (t) − f_n_ε(t) | ≤ ε 3. Soit encore τ = τ [f_n_ε] une ε₃

Ceci prouve que la fonction f est presque périodique car l’ensemble Eτ = E{τ, f } est

relati-vement dense.

Propriété 1.2.4. Soit f ∈ AP et g une fonction continue sur ¯Rf. Alors, la fonction composée

gof est une fonction presque périodique à valeurs dans C.

Démonstration. Déjà, l’ensemble ¯Rf est compact, alors la fonction g est uniformément

conti-nue dans ¯Rf. Cependant, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(ε) > 0 tel que pour tout x0, x00∈ ¯Rf

avec |x00− x0| ≤ δ, on a

(13)

Or si τ est une δ-presque période de la fonction f , alors |f (t + τ ) − f (t)| ≤ δ, et donc,

|g(f (t + τ )) − g(f (t))| ≤ δ. Ce qui achève la preuve.

Corollaire 1.2.5. Soit f une fonction presque périodique continue à valeurs dans C. Alors

|f (t)|k _{est une fonction numérique continue presque périodique, pour tout k > 0.}

Propriété 1.2.6. Supposons que f ∈ AP. Si sa dérivée f0 existe et est uniformément continue sur R, alors f0 est une fonction presque périodique.

Démonstration. Elle provient de l’usage des différentes définitions. En effet, la dérivée f0 de la fonction f existe et est uniformément continue et donc, pour tout l > 0, il existe δ = δ(ε) > 0 tel que |t0− t00| < 0 =⇒ |f0(t0) − f0(t00)| < ε. Ainsi, si 1/n < 1, alors n f t + 1 n − f (t) − f0(t) = n Z 1 n 0 f0(t + η) − f0(t) dη ≤ n Z 1 n 0 f0(t + η) − f0(t) dη < ε.

Par conséquent, la suite des fonctions presque périodiques φ_n(t) = nhft + _n1− f (t)iconverge uniformément sur R vers f0. Ainsi, par la Propriété (1.2.3) ci-dessus, on a que la fonction dé-rivée f0 est presque périodique.

Définition 1.2.1. Soit deux fonctions f : R −→ C et g : R −→ R. Leur convolution (f ∗ g)

si elle est existe est donnée par

(f ∗ g)(t) = Z ∞

−∞

f (s)g(t − s)ds.

Propriété 1.2.7. Soit f ∈ AP . Si g ∈ L1_{(R), alors la convolution (f ∗ g) ∈ AP .}

Démonstration. Puisque la fonction f est continue et que la fonction g ∈ L1_{(R), il est facile} de montrer que la fonction t 7→ (f ∗ g)(t) est continue. Cependant,

(14)

Alors, le produit de convolution (f ∗ g) est continu et borné. Montrons que (f ∗ g) ∈ AP . Pour cela, il est suffisant de supposer kgk₁ 6= 0. En effet, si kgk₁ = 0, alors g = 0 presque partout et donc f ∗ g = 0 presque partout et il n’y a rien à montrer.

Comme f ∈ AP , alors pour tout ε > 0 il existe, lε > 0 tel que pour tout α ∈ R, il existe

τ ∈ [α, α + lε], avec |f (σ + τ ) − f (σ)| < ε kgk₁, ∀ σ ∈ R. En particulier, |f (t − s + τ ) − f (t − s)| < ε kgk1 , (1.4)

pour tout (t − s) = σ ∈ R. Maintenant, (f ∗ g)(τ + t) − (f ∗ g)(t) =

Z ∞

−∞{f (t − σ + τ ) − f (t − σ)} g(σ)dσ, t ∈ R.

D’après la relation (1.4), et le fait que g ∈ L1_{(R), on a}

|(f ∗ g)(τ + t) − (f ∗ g)(t)| < ε.

D’où (f ∗ g) ∈ AP . La preuve de cette propriété est inspirée de la référence [6].

1.3 Normalité des fonctions presque périodiques

Définition 1.3.1. Une fonction continue f est dite normale si pour une suite de nombres

réels donnée (h_i), il existe une sous suite (h_n_i) telle que la suite de fonction (f (t + h_n_i)) est uniformément convergente.

L’objectif dans cette section est de prouver que la classe des fonctions normales et celle des fonctions presque périodiques sont identiques. Le lemme suivant qui a son importance dans la preuve du théorème de cette section.

Lemme 1.3.1. Soit f une fonction presque périodique et (hi) une suite de nombre réels. Alors

pour tout ε > 0, correspond une sous suite (h_n_i) telle que le module de la différence de toute paire de fonctions f (t + h_n_i) est inférieur à ε.

Démonstration. Tout h_i peut être représenté sous la forme h_i = τ_i + r_i, où τ_i ∈ E{1 4ε, f }

et ri ∈ [0,lε/4]. Pour chaque hi, nous considérons seulement une représentation de la forme

précédente. Soit r le point limite de l’ensemble de tous les r_i. Définissons un nombre δ tel que |f (x00) − f (x0)| < ε

2 si |x

(15)

Alors l’ensemble de tous les h_i pour lequel r_i ∈ (r − δ,r + δ) satisfait la condition du lemme. Soit alors h_j et h_k deux telles valeurs. On a

sup |f (x + h_j) − f (x + h_k)| = sup |f (x + τ_j− τ_k+ r_j− r_k) − f (x)|

≤ sup |f (x + τ_j− τ_k+ r_j− r_k) − f (x + r_j− r_k)| + sup |f (x + r_j− r_k) − f (x)|.

Or (τj− τk) est une ε₂-presque période et |rj− rk| < 2δ. Alors

Cette preuve est tirée du livre d’Abram Samoilovitch Besicovitch [1] p.10.

Théorème 1.3.2. Toute fonction presque périodique est normale et la réciproque est vrai.

C’est-à-dire toute fonction normale est presque périodique.

Démonstration. Soit (hi) une suite de nombre réels. Par le lemme (1.3.1) précédent, nous

pouvons choisir une sous suite h_n0

i

telle que quelque soit deux entiers positifs j,k et pour tout t, on a f t + h_n0 j − ft + h_n0 k < 1. De façon similaire, nous pouvons choisir une sous suite

h_n(2) i de la suite h_n0 i

telle que pour deux entiers positifs j,k et pour tout réel t, on a

f t + h n(2)_j − f t + h n(2)_k < 1 2. Nous choisissons alors une sous suite (h

n(3)_i ) de la suite (hn(2)_i ) telle que

f t + h n(3)_j − f t + h n(3)_k < 1 3, ainsi de suite. Prenons maintenant la suite de fonctions

f (t + h_n0 1

), f (t + h

n(2)₂ ), f (t + hn(3)₃ ), . . . . (1.5)

Soit j,k (j < k) deux entiers positifs. Nous avons clairement f (t + h n(j)_j ) − f (t + hn(k)_k ) < 1 j,

(16)

ce qui montre que la suite (1.5) est uniformément convergente. Et comme la suite (h_i) est arbitraire, on obtient alors la conclusion que toute fonction presque périodique est normale. Réciproquement, supposons le contraire que f n’est pas une fonction presque périodique. Alors, il existe ε > 0 tel que l’ensemble E{ε,f } n’est pas relativement dense. Considérons un réel arbitraire h₁ et soit (a₂,b2) un intervalle de longueur l > 2|h1| qui ne contient pas un

nombre de E{ε,f }. Dénotons par h₂le centre de cet intervalle. Évidemment, la différence h₂− h1 est dans l’intervalle (a1,b2), et forcement n’appartient pas à l’ensemble E{ε,f }. Définissons

maintenant un intervalle (a₃,b3) de longueur l0 > 2(|h1| + |h2|) qui ne contient pas un nombre

de l’ensemble E{ε,f }. Soit h₃ le centre de (a₃,b3). Comme précédemment, les nombres h3−

h1, h3 − h2 n’appartiennent pas à l’ensemble E{ε,f }. De façon similaire, nous définissons

h4,h5, · · · tels que aucun des nombres hi− hj n’appartienne à E{ε,f }. Ainsi, pour tout i,j,

on a sup t∈R |f (t + hi) − f (t + hj)| = sup t∈R |f (t + hi− hj) − f (t)| > ε.

Nous arrivons ainsi à la conclusion que aucune sous suite de la suite (f (t + h_i)) n’est uni-formément convergente. Ce qui est une contradiction avec l’hypothèse que la fonction f est normale. Le théorème est cependant prouvé. Cette preuve émane du livre de Jean Favard [7].

1.4 Le critère de Bochner

Énoncé sous forme d’un théorème, ce critère est le résultat principal de cette section. Notons par B(R), l’ensemble des fonctions bornées munit de la norme supremum.

Théorème 1.4.1. f ∈ AP si et seulement si la famille H = fh= (f (t + h)) , h ∈ R est compacte dans _B(R).

Démonstration. Supposons que f ∈ AP et montrons que l’ensemble H est compact. Pour cela, considérons l’ensemble Q de tous les points rationnel de R et soit fhn _{= (f (t + h}

n)) une

suite arbitraire de fonctions de l’ensemble H. Par compacité des fonctions presque périodiques f , (Voir la Propriété (1.2.1)) on peut extraire de f (t + hn) une sous suite (qu’on peut encore

appeler f (t + h_n_{) SPDG) qui converge, pour tout t ∈ Q. Nous allons montrer que la suite} (f (t + h_n_{)) converge dans B(R). Pour cela, soit ε > 0 et l = l}_ε. Soit δ = δ(ε) choisit comme en la Propriété (1.2.2). Subdivisons le segment [0,l] en p segments ∆k, k = 1,2, . . . ,p de longueur

l(∆k) ≤ δ, et dans chaque segment ∆k, choisissons un point rationnel rk. Supposons que

n = nε est choisi tel que

|f (rk+ hn) − f (rk+ hm)| < ε (1.6)

(17)

Ainsi, pour tout t₀_{∈ R, il existe τ = τ}₀ tel que 0 ≤ t₀+ τ ≤ l ⇔ −t₀≤ τ ≤ l − t₀. Supposons maintenant que le nombre (t₀ + r) = t0 ∈ ∆_k₀ et que r_k₀ (r_k₀ ∈ ∆_k₀) est le point choisit précédemment. Alors, par notre choix de δ, on a

|f (t0+ h_n) − f (r_k₀+ h_n)| < ε et |f (t₀0+ h_m) − f (r_k₀+ h_m)| < ε. (1.7) En combinant (1.6) et (1.7), on a |f (t0+ hn) − f (t0+ hm)| ≤ |f (t0+ hn) − f (t00+ hn)| + |f (t00+ hn) − f (rk0 + hn)| + |f (r_k₀+ h_n) − f (r_k₀ + h_m)| + |f (r_k₀ + h_m) − f (t₀0+ h_m)| + |f (t₀0+ h_m) − f (t₀+ h_m)| < 5ε.

Puisque le réel t0 est choisit de façon arbitraire, la dernière égalité implique que la suite

(f (t + h_n)) converge dans_{B(R). C’est-à-dire que l’ensemble H est compact dans B(R).} Réciproquement, supposons que la famille (f (t + h)) , h ∈ R est compact dans B(R) et mon-trons que f ∈ AP . Tout d’abord, la fonction f est bornée dans R. En effet, si c’est pas le cas, nous pouvons trouver une suite de nombre hn pour lesquels |f (hn)| −→ ∞. Mais alors, ni la

suite (f (t + h_n)) ou tout autre sous suite de (f (t + h_n)) serait convergente au point t = 0. Comme f ∈ B(R), il suit que la famille de fonctions fh = (f (t + h)) , h ∈ R peut être regardée comme un ensemble de B(R). Par le critère de Hausdorff, pour tout ε > 0, il existe h1, h2, . . . , hp tel que pour tout h ∈ R, il existe k = k(h) tel que

sup

t∈R

|f (t + h) − f (t + hk)| < ε,

ce qui implique que

sup

t∈R

|f (t + h − h_k) − f (t)| < ε.

C’est-à-dire que les nombres (h − h_k), k = 1,2, . . . ,p sont des ε-presque période de la fonction f . Pour finir, nous n’avons qu’à montrer que l’ensemble des nombres (h − hk) est relativement

dense. Pour cela, posons

L = max

1≤k≤p|hk|,

alors on a

h − L ≤ h − hk≤ h + L.

Mais puisque h est arbitraire, cet inégalité précédente implique que tout intervalle de longueur 2L contient une ε-presque période de la fonction f . Ce qui termine la preuve du théorème.

Il découle du critère de Bochner, d’autres propriétés intéressantes.

Propriété 1.4.2. Soit f, g ∈ AP . Alors, cf (où c est une constante), ¯f (la fonction conjuguée de f ), f2, f + g, f − g, f g sont toutes des fonctions presque périodiques.

(18)

Démonstration. Commençons par la preuve des trois premiers résultats. Comme f ∈ AP , alors par définition, pour tout ε > 0, il existe l_ε > 0 tel que pour tout intervalle Iα,lε de R, il

existe τ ∈ Iα,lε tel que

|f (t + τ ) − f (t)| ≤ ε. Ainsi, on a respectivement |cf (t + τ ) − cf (t)| ≤ |c|ε, | ¯f (t + τ ) − ¯f (t)| ≤ ε, |f2(t + τ ) − f2(t)| ≤ 2M ε, où M = sup t∈R

|f (t)|. Ainsi, chaque ensemble E{|c|ε,cf }, E{ε, ¯f }, E{2M ε,f2_{} correspondant}

respectivement aux fonctions cf , ¯f et f2 contient l’ensemble relativement dense E{ε,f }. Par conséquent, les ensembles E{|c|ε,cf }, E{ε, ¯f } et E{2M ε,f2_{} sont relativement dense puisque}

ε est arbitraire.

Nous pourrions donner une preuve pour la somme f + g suivant le même procédé, mais nous passerons par l’usage des suites. En effet, soit (hn) une suite arbitraire de nombres

réels dont on peut extraire une sous suite h0_n tel que la suite de fonctions f (t + h0_n) converge, et alors une sous suite h00_nde la suiteh0_npour laquelle la sous suite de fonctions

g(t + h00_n)est convergente. Clairement, la sous-suitef (t + h00_n) + g(t + t00_n)est convergente. Ainsi, f + g ∈ AP . Et en toute évidence, il en est de même pour f − g.

La preuve du produit émane des précédents. En effet, le produit f g peut être représenté comme somme de deux fonctions presque périodiques

f g = 1

4(f + g)

2₋ 1

4(f − g)

2_.

Ce qui achève la preuve.

Remarque 1.4.1. Soit C un espace complexe, soit X = Cn et x = (x1, x2, . . . , xn) un

élément de X de norme |x| =

n

X

k=1

|x_k|. Il suit du critère de Bochner que si f₁_{∈ AP (R, C), f}₂ ∈ AP (R, C), . . . , fn∈ AP (R, C), alors la fonction f = (f1, f2, . . . , fn) ∈ AP (R, X).

La propriété suivante est déduite de cette remarque.

Propriété 1.4.3. Soit f1 ∈ AP (R, C), f2 ∈ AP (R, C), . . . , fn ∈ AP (R, C). Alors, pour tout

ε > 0, les fonctions f1,f2, . . . ,fn ont en commun un ensemble relativement dense de ε-presque

(19)

Démonstration. Supposons que τ est une ε-presque période. Pour f (t) = (f₁(t),f₂(t), . . . ,f_n(t)), on a |f (t + τ ) − f (t)|_X = n X k=1 |f_k(t + τ ) − f_k(t)|_C_{< ε, ∀ t ∈ R.} Clairement, pour ce τ , nous avons

|f_k(t + τ ) − f_k(t)| < ε, k ∈ (1,2, . . . ,n). Et ainsi, est achevée la preuve de la propriété.

Le prochain théorème est connu sous le nom de Lyusternik. Il donne un résultat aussi impor-tant sur la compacité des fonctions de _{B(R) qui, on le rappelle est l’ensemble des fonctions} bornées. Son énoncé et sa démonstration découlent de la page 7 du livre [4].

Théorème 1.4.4. (Lyusternik) L’ensemble M ⊂ B(R) est compact si et seulement si

(i) Pour tout t0 ∈ R l’ensemble Et0 = {x ∈ R : x = f (t0), f ∈ M } ⊂ R est compact. (ii) L’ensemble M est équicontinue, c’est à dire, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(ε) tel que

|f (t0) − f (t00)| < ε si |t0− t00| < δ, ∀ f ∈ M .

(iii) L’ensemble M est équi-presque périodique, c’est à dire, pour tout ε > 0, il existe l = l_ε tel que tout intervalle (α, α + l) ⊂ R, ∀ α, contient une ε-presque période commune à toute fonction f ∈ M .

Démonstration. Le premier sens de la démonstration est issue de la preuve du critère de Bochner. Pour le second sens, le critère de Hausdorff sur les espaces métriques nous permet d’affirmer que l’ensemble M est totalement borné. C’est à dire que pour tout ε > 0, l’ensemble M contient un sous ensemble fini S, disons S = {f1,f2, . . . ,fn} tel que pour tout f ∈ M , on a

inf

fk∈S

|f (t) − f_k_{(t)| ≤ ε, avec t ∈ R. Cependant, pour tout f ∈ M , il existe k}₀, avec 1 ≤ k₀≤ n tel que sup t∈R |f (t) − f_k₀(t₀)| < ε, t₀ _{∈ R.} (1.8) De l’inégalité (1.8), on a |f (t₀) − f_k₀(t₀)| < ε,

et donc, l’ensemble S0= {f1(t0), f2(t0), . . . , fn(t0)} forment un sous ensemble fini totalement

borné de E_t₀. Par conséquent, l’ensemble E_t₀ est compact. D’où la condition (i) du théorème de Lyusternik est vérifiée. Pour la preuve du second cas, elle découle de la continuité uniforme de chaque fonction (fk)_k≥1 dans R et de l’inégalité (1.8). Finalement, la condition (iii), elle

(20)

Chapitre 2

Analyse harmonique des fonctions

presque périodiques

2.1 Prérequis sur des intégrales de Fourier-Stieltjes

Définition 2.1.1. Soit f une fonction définie la droite réelle. Soit σ = (a₀,a1, . . . ,an) une

subdivision d’un intervalle quelconque de cette droite réelle. On pose ν(f,σ) =

n

X

i=1

|f (a_i) − f (a_i−1)|.

La variation totale de f sur R est la valeur ν(f ) appartenant à R ∪ {−∞,∞} et définie par ν(f ) = sup

σ

ν(f,σ).

Si quelque soit le système de points de division, la quantité ν(f ) est finie, alors la fonction f est dite à variation totale finie ou tout simplement à variation bornée.

Définition 2.1.2. Soit σ(λ), λ ∈ R, une fonction numérique à variation bornée. La trans-formation de Fourier-Stieltjes de σ(λ) est la fonction f définie par

f (t) = Z ∞

−∞e

iλt_dσ(λ).

Dénotons par λ1,λ2, . . . les points de discontinuité de σ(λ) pris dans n’importe quel ordre et

d1,d2, . . . les sauts correspondants, c’est-à-dire,

dν = σ(λν+ 0) − σ(λν − 0), (ν = 1,2, . . .).

On pose

d(λ) = X

λν<λ

(21)

En utilisant cette décomposition, on peut représenter la fonction f comme somme de deux intégrales de la façon suivante :

f (t) = Z ∞ −∞ eiλtd(λ) + Z ∞ −∞ eiλtds(λ) =X ν dνeiλνt+ Z ∞ −∞e iλt_ds(λ).

Les lemmes suivants seront utiles dans la preuve du résultat principal de ce chapitre. Nous ne donnerons pas les démonstrations de ceux-ci. Elles sont consultables dans les livres de Boris Moiseevich Levitan [4], Georgi Evgen’evich Shilov [14] et Andrei Nikolaevich Kolmogorov [10].

Lemme 2.1.1. Soit f la transformation de Fourier-Stieltjes de σ(λ). On a

lim T −→∞ 1 2T Z T −T f (t)e−iµtdt = ( d_ν si µ = λ_ν 0 si µ 6= λ_ν, (ν = 1,2, . . .). Démonstration. Se référer au livre de Boris Moiseevich Levitan [4] p.15.

Soit f et g les transformations de Fourier-Stieltjes des fonctions σ(λ) et τ (λ) respectivement : f (t) = Z ∞ −∞e iλt_{dσ(λ) et g(t) =}Z ∞ −∞e iλt_{dτ (λ).}

Le produit f (t) · g(t) peut aussi être représenté comme intégrale de Fourier-Stieltjes : f (t) · g(t) = Z ∞ −∞e iλt_dρ(λ), avec ρ(λ) = Z ∞ −∞ σ(λ − µ)dτ (µ) = Z ∞ −∞ σ(µ)dτ (λ − µ). (2.1)

Définition 2.1.3. L’intégrale en (2.1) est appelée la convolution des fonctions σ et τ .

Au moins une des fonctions σ ou τ est continue, alors il en de même pour leur convolution. Soit h(t) =

Z ∞

−∞e

iλt_{ds(λ), avec s(λ) comme fonction continue. On a}

h(t) = Z ∞ −∞ eiλtds(λ) = Z ∞ −∞ e−iλtds(−λ). Ainsi, par la représentation faite en (2.1), on a que la fonction

|h(t)|2= h(t) · h(t)

est représentable comme une intégrale de Fourier-Stieltjes d’une fonction continue. Cette conclusion et le lemme précédent nous envoient vers le lemme suivant.

(22)

Lemme 2.1.2. Soit

h(t) = Z ∞

−∞

eiλtds(λ)

une intégrale de Fourier-Stieltjes de la fonction continue s(λ). Alors, on a lim T −→∞ 1 2T Z T −T |h(t)|2_{dt = 0.}

Démonstration. Voir dans [14] ou dans [10].

Définition 2.1.4. Une fonction f : R −→ C telle que

f (t) = Z ∞ −∞ eiλtdσ(λ) (2.2) et pour laquelle n X µ=1 n X ν=1 f (tµ− tν)ξµξν = Z ∞ −∞ n X ν=1 ξνeiλtµ 2 dσ(λ) ≥ 0,

pour tout nombres réels arbitraires t₁,t2, . . . ,tnet nombres complexes arbitraires ξ1,ξ2, . . . ,ξn

est dite définie positive.

Nous aurons besoin du théorème classique de Bochner Khinchin suivant dans la preuve du théorème principal de ce chapitre.

Théorème 2.1.3. Toute fonction continue définit positive peut être représentée (de façon

unique) comme l’intégrale en (2.2) où σ(λ) ici est une fonction bornée non décroissante.

Démonstration. Voir le livre de Georgi Evgen’evich Shilov [14] p.404.

Définition 2.1.5. Soit f : R −→ C une fonction continue. La trajectoire de f est la fonction

définie par fh _{= f (t + h), pour tout h ∈ R.}

Lemme 2.1.4. Supposons que f : R −→ C a une trajectoire compact. Alors la fonction

F (T ) = 1 2T

Z T

−T

f (t)dt, (T > 1) a aussi une trajectoire compact.

(23)

2.2 Théorème d’approximation

Théorème 2.2.1. Soit f ∈ AP et soit ε > 0, il existe une fonction trigonométrique

Pε(t) = Nε X ν=1 bν,εeiλν,εt, (bν,ε∈ C, λν,ε∈ R) telle que sup t∈R |f (t) − Pε(t)| < ε.

Littérairement, ce théorème stipule que, toute fonction presque périodique peut être approximée par un polynôme trigonométrique.

Démonstration. Pour tout ε > 0, choisissons l = l(ε/8) et δ = δ(ε/8) comme dans la définition (1.1.3) et la propriété (1.2.2) respectivement. Alors tout intervalle de longueur l, il existe un nombre τ tel que

sup t∈R |f (t + τ ) − f (t)| ≤ ε 8 (2.3) et |f (t00) − f (t0)| ≤ ε 8 (2.4)

pour tout t00, t0 ∈ R avec |t00− t0| < δ.

Nous couvrons R avec les intervalles Jn = (nl,(n + 1)l), n ∈ Z. D’après les relations (2.3) et

(2.4), tout intervalle J_n contient un sous intervalle ∆_n= (τ_n− δ, τ_n+ δ) dont les points sont des ₄ε

-presque périodes de la fonction f . C’est-à-dire, ∀ τ0 ∈ ∆n, sup

t∈R

|f (t + τ0) − f (t)| ≤ ε

4. (2.5)

Définissons une fonction constante Kδ(s), s ∈ R, par

Kδ(s) =

(

l/2δ pour s ∈ ∆_n 0 pour s /∈ ∆_n ayant les propriétés utiles suivantes

(i) (_2nl1 ) Z nl

−nl

Kδ(s)ds = 1, (n = 1,2, . . .).

(ii) Pour tout s ∈ R et pour tout m ∈ N, on a 1 2ml Z ml+s −ml+s Kδ(r)dr = 1 + η(s), avec |η(s)| ≤ 1 m. (iii) Pour tout δ fixé ; l’ensemble de fonctions

φδ,T(u) = 1 2T Z T −T Kδ(s)Kδ(u + s)d(s), T = Tn= nl, n = 1,2, . . . , µ ∈ R.

(24)

est uniformément bornée et équicontinue. Ainsi, par le théorème classique d’Arzela, nous pouvons trouver une sous suite T_k= T_n_k d’une suite T_n telle que

φδ(u) = lim k−→∞ 1 2Tk Z T_k −Tk Kδ(s)Kδ(u + s)d(s), (u ∈ R)

existe uniformément dans tout intervalle fini. (iv) La fonction limite φδ(u) est définie positive. Pour

n X µ=1 n X ν=1 φδ(uµ− uν)ξµξν = lim k−→∞ 1 2T_k Z Tk −Tk n X ν=1 ξνKδ(uµ+ s)ξµ 2 ds ≥ 0.

Par le théorème (2.1.3) de Bochner Khinchin nous obtenons la représentation φδ(u) = ∞ X ν=1 ανeiλνt+ Z ∞ −∞ eiλtds(λ), (2.6)

avec αν > 0 et s(λ) une fonction continue, non décroissante et bornée.

Pour la suite de la démonstration, nous choisissons arbitrairement m,n ∈ N et posons fδ,m,n = 1 4mnl2 Z nl −nl Z ml+s −ml+sKδ (s)Kδ(r)f (t − s + r)drds.

D’après l’inégalité (2.5), on a que si K_δ(s)K_δ(r) 6= 0, alors (−s + r) est une ε₂

-presque période de la fonction f . Cependant, il suit des propriétés (i) et (ii) de Kδ(s) que

sup t∈R |f (t) − fδ,m,n(t)| ≤ ε 2+ Γ m (2.7) avec Γ = sup t∈R |f (t)|. On pose nl = T et ml = R et on a fδ,m,n = 1 2T Z T −T 1 2R Z R+s R+s Kδ(s)Kδ(r)f (t − s + r)drds = 1 2T Z T −T 1 2R Z R+s R+s Kδ(s)Kδ(u + s)f (t + u)duds.

Ainsi, en posant T = T_k (voir la propriété (iv) de notre fonction K_δ(s)) et en prenant la limite, après l’usage des propriétés (iii) et (iv) de Kδ(s) et l’égalité (2.6), on a :

fδ,m(t) = lim k−→∞fδ,m,mk = 1 2R Z R −Rf (t + u)φδ (u)du =X ν ανe−λνt 1 2R Z R −R f (t + u) · e[iλ(t+u)]du + 1 2R Z R −R f (t + u)h(u)du,

(25)

où h(u) = Z ∞

−∞

eiλud(λ). Donc, de la relation (2.7) avec n = m_k, dans la limite quand k −→ ∞, on a

|f (t) − f_δ,m(t)| ≤ ε 2+

Γ

m. (2.8)

Le lemme (2.1.2) et le lemme (2.1.4) viennent compléter la preuve. En effet, d’après le lemme (2.1.2), il suit que lim R−→∞ 1 2R Z R −R f (t + u)h(u)du ≤ lim R−→∞ 1 2R Z R −R kf (t + u)k2du !1/2 × lim −→∞ 1 2R Z R −R |h(u)|2_{du = 0.} _(2.9)

Ainsi, si α1,α2, . . . ,αN sont choisis de sorte que

∞ X ν=N +1 α0 < ε 2T, alors pour tout R > 0, nous avons

∞ X ν=N +1 αν 1 2R Z R −R f (t + u)e[iλ(t+u)]du < ε 2. (2.10)

Par le lemme (cLem3), il existe une sous suite R_k = m_kl telle que la limite suivante existe pour tout ν = 1,2, . . . ,N , on a Aν = lim k−→∞ 1 2Rk Z R_k −Rk

f (t + u)e[iλν(t+u)]_du

= lim k−→∞ 1 2R_k Z Rk −Rk f (t)eiλνt_dt. _(2.11)

Il en découle des relations (2.8), (2.9) et (2.10) que, f (t) −X ν Aνανe(−iλνt) < ε,

et ceci achève la preuve du théorème d’approximation. Cette preuve provient de [4].

2.3 Étude du théorème de la valeur moyenne, la

transformation de Bohr, les séries de Fourier et le

théorème de l’unicité

Dans cette section, nous parlerons des autres notions d’une fonction presque périodique. Nous verrons que celles-ci peuvent être déduites simplement du théorème d’approximation vu dans la section précédente. Les éléments présentés dans cette section sont issus du deuxième chapitre livre [4].

(26)

Propriété 2.3.1. Soit f ∈ AP , la valeur moyenne lim T −→∞ 1 2T Z T −Tf (t)dt := M {f }

existe. De plus, pour tout a ∈ R, la limite lim T −→∞ 1 2T Z T +a −T +af (t)dt = M {f } (2.12) uniformément par rapport à la valeur a.

Démonstration. Soit a ∈ R et soit T > 0, on a 1 2T Z T +a −T +ae iλt_{dt =} ( 1 si λ = 0 eiλa·sin(λT )_T si λ 6= 0. Cependant, pour tout λ ∈ R,

lim T −→∞ 1 2T Z T +a −T +a eiλtdt := Ψ(λ) = ( 1 si λ = 0 0 si λ 6= 0 (2.13)

uniformément par rapport à la valeur a.

D’après (2.13), il suit que (2.12) tient uniformément en la valeur a pour tout polynôme trigonométrique P (t) = N X k=1 akeiλt, (ak∈ R) et M {P (t)} = N X k=1 akΨ(λk).

Par la suite, pour tout f ∈ AP , d’après le théorème d’approximation, pour tout ε > 0, il existe un polynôme trigonométrique Pε(t) tel que

sup t∈R |f (t) − Pε(t)| < ε. On pose 1 2T Z T +a −T +a f (t)dt := M {f,T,a} et nous avons

|M {f,T0,a} − M {f,T00,a}| ≤ |M {f − Pε,T0,a}| + |M {Pε,T0,a} − M {Pε,T00,a}|

+ |M {Pε− f,T00,a}|

≤ |M {Pε,T0,a} − M {Pε,T00,a}| + 2ε.

Ainsi, pour tout ε > 0, il existe T_ε > 0 tel que quelque soit T0,T00 > Tε et pour tout a ∈ R,

on a

|M {f,T0,a} − M {f,T00,a}| < 3ε, et c’est ce qui fallait démontrer.

(27)

Définition 2.3.1. (Transformation de Bohr) Soit f ∈ AP et pour tout λ ∈ R, la fonction

g(t) := f (t)e−iλt∈ AP . Ainsi, la fonction

a(λ; f ) := Mt{g(t)} := Mt{f (t)e−iλt}

est définie pour tout λ ∈ R et est appelée la transformation de Bohr de f .

La propriété suivante est fondamentale à la théorie des fonctions presque périodiques.

Propriété 2.3.2. La fonction a(λ; f ) est non nulle pour au plus un ensemble dénombrable

de valeurs de λ.

Démonstration. Soit f ∈ AP et (Pk)_k≥1 une suite de fonctions polynomiales approximatives

de f telle que sup t∈R |f (t) − P_k(t)| ≤ 1 k. Supposons que Pk(t) = nk X m=1 ak,meiλk,mt et {µn} = ∪k,m(λk,m).

L’ensemble {µn} n’est pas plus que dénombrable. Montrons que a(λ; f ) = 0 pour λ 6= µn. En

fait, pour k ∈ N, on a

|a(λ; f )| = |a(λ; Pk) + a(λ; f − Pk)|

= |a(λ; f − P_k)| ≤ 1 k.

Puisqu’on peut prendre k arbitrairement large (ou en laissant k −→ ∞) on a que |a(λ; f )| ≤ 0 =⇒ a(λ; f ) = 0, ∀ λ 6= µn.

Ce qui termine la preuve de la propriété.

Il en résulte de cette propriété plusieurs autres définitions intéressantes.

Définition 2.3.2. L’ensemble {λ_n} de tous les λ tels que a(λ; f ) 6= 0 est appelé le spectre de f . Et clairement, on a {λn} ⊆ {µn}.

Définition 2.3.3. On pose an= a(λn; f ). Soit f ∈ AP , la série de Fourier de f est donnée

par

f (t) =X

n

aneiλnt,

où les a_n_{∈ R sont les coefficients de Fourier de f et les {λ}_n} les exposants de Fourier de f .

(28)

La propriété suivante est issue de la preuve du théorème d’approximation et du théorème de la valeur moyenne.

Propriété 2.3.3. (i) Les exposants de Fourier des polynômes d’approximation

Pε(t) = nε

X

k=1

ak,εeiλk,εt

peuvent être choisis parmi ceux de la fonction presque périodique f .

(ii) Les coefficients des polynômes d’Appriximation peuvent être vus comme produit des coefficients de Fourier de la fonction presque périodique f et des nombres positifs.

Comme conséquence de cette propriété, on a le théorème d’unicité ci-dessous.

Propriété 2.3.4. (Théorème d’unicité) Soit f et g deux fonctions presque périodiques. Si

a(λ; f ) ≡ a(λ; g) alors, f ≡ g.

Démonstration. Si a(λ; f ) ≡ a(λ; g) alors a(λ; f − g) ≡ 0. Cependant, nous pouvons assumer que le polynôme d’approximation Pε(t; f − g) = 0, ∀ ε > 0. Par conséquent, f (t) − g(t) = 0

d’où f (t) = g(t) pour tout t ∈ R.

Propriété 2.3.5. Pour tout f ∈ AP , on a lim

n−→∞an= 0.

Démonstration. Soit P_ε(t) un polynôme trigonométrique tel que sup

t∈R

|f (t) − Pε(t)| ≤ ε, pour tout ε > 0

et nε pris tel que pour tout n > nε, on a

M {Pε(t)e−iλnt} = 0. Alors, pour n > n_ε, on a |a_n| = |M {f (t)e−λnt_{}| − 0} = |M {f (t)e−iλnt_{}| − |M {P} ε(t)e−iλnt}| = |M {[f (t) − P_ε(t)]e−iλnt_}| ≤ ε. D’où lim n−→∞an= 0.

Dans la section qui suivra, nous parlerons d’autres concepts lies aux fonctions presque pério-diques.

(29)

2.4 Les polynômes de Bochner-Fejér

Définition 2.4.1. (Somme de Fejér, Somme de Bochner-Féjer) Soit f une fonction

2π-périodique avec la série de Fourier f (t) = ∞ X k=−∞ akeikt, où ak= 1 2π Z π −π f (t)e−iktdt. On pose Sn(t) = n X k=−n akeikt; avec S0(t) = a0,

et appelons S_n(t) une somme partielle des séries de Fourier. Écrivons σn(t) = S0(t) + S1(t) + · · · + Sn−1(t) n = n X k=−n 1 −|k| n akeikt.

Les sommes σ_n(t) sont appelées sommes de Fejér. Pour tout f ∈ AP , les sommes de Fejér convergent uniformément vers la fonction f quand n −→ ∞. Bochner a montré qu’à partir des sommes de Fejér, on obtient des sommes trigonométriques finies qui convergent uniformément vers une fonction presque périodique f ∈ AP . De telles sommes sont des généralisations des sommes de Fejér et sont appelées sommes de Bochner-Fejér et ainsi notées

σn(t) = n X k=−n rk(n)akeikt où rk(n)= ( 1 −|k|_n pour |k| < n 0 pour |k| ≥ n.

Nous parlerons plus profondément dans cette section de la construction des sommes de Bochner-Fejér et de la preuve de ses propriétés. Nous définissons d’abord des concepts néces-saires d’algèbre linéaire.

Définition 2.4.2. Un ensemble fini ou dénombrable de nombres réels β₁,β2, . . . ,βn, . . . est dit

linéairement indépendant si pour tout nombres rationnels r1,r2, . . . ,rn (avec n un entier

naturel arbitraire) on a

r1β1+ r2β2+ · · · + rnβn= 0 =⇒ r1= r2 = · · · = rn= 0.

Définition 2.4.3. Un ensemble fini ou dénombrable de nombres réels linéairement

indépen-dant β₁,β2, . . . ,βn, . . . est appelé base rationnelle d’un ensemble dénombrable de nombres

réels λ1,λ2, . . . ,λn, . . . si pour tout n ∈ N, λn est représentable comme combinaison linéaire

finie de β_j avec des coefficients rationnels. C’est-à-dire, pour tout λ_n il existe r_j(n) _{∈ Q tel} que

λn= r1(n)β1+ r2(n)β2+ . . . + rmk

(n)_β

(30)

De ces deux précédentes définitions, il suit le résultat suivant énoncé sous forme de théorème.

Théorème 2.4.1. Tout ensemble dénombrable de nombres réels contient une base

Démonstration. Soit E := {λ1,λ2, . . . ,λn, . . .} un ensemble de nombres réels. Choisissons β1

comme étant le premier nombre non nul de cet ensemble E, et λ ∈ E \ {β₁} tel que r1β1+ r2λ = 0,

avec r1,r2 ∈ Q. Comme précédemment, choisissons β2 comme étant le premier nombre non

nul de l’ensemble E et λ ∈ E \ {β₁,β2} tel que

r1β1+ r2β2+ r3λ = 0,

avec r₁,r2,r3∈ Q. Ainsi de suite, on aurait construit une base de l’ensemble E.

Remarque 2.4.1. Un ensemble de nombres peut avoir plusieurs base rationnelle, mais la

base spécifiée en (2.14) est unique.

Le concept des polynômes trigonométriques de Bochner-Fejér requiert la définition des concepts du noyau de Fejér et du noyau de Bochner-Fejér. Pour ce faire, nous effectuerons un calcul de la somme de Fejér d’ordre n d’une fonction périodique f . Considérons ainsi une fonction périodique de période p = 2π/|β|, f (t) = ∞ X −∞ akeikβt, où ak= 1 p Z p 0 f (t)e−ikβtdt. On pourrait montrer que

ak= Mt{f (t)e−ikβt}. (2.15)

En fait, pour un T > 0, on a que ak = 1 2T Z T −Tf (t)e −ikβt dt = 1 2T Z −Np −T f (t)e−ikβtdt + Z Np −Np f (t)e−ikβtdt + Z T Np f (t)e−ikβtdt, (2.16) où N = T /p. Puisque f (t)e−ikβt est périodique, alors

Z Np −Np f (t)e−ikβtdt = 2N Z Np −Np f (t)e−ikβtdt,

(31)

et donc, en laissant T −→ ∞ (N −→ ∞) dans la relation (2.16), nous obtenons la relation (2.15). Soit la somme partielle suivante

Sr(t) = r X ν=−r aνeiνβt = Ms ( f (s) r X ν=−r aνe−iνβ(s−t) ) = Ms    f (t + s) sinr +1₂βs sin(βs/2)    = Ms    f (t + s) sin(βs/2) sinr +1₂βs sin2_(βs/2)    = Ms f (t + s)cos(rβs) − cos(r + 1)βs sin2_(βs/2) . Cependant, on obtient les sommes de Fejér suivantes

σn(t) = S0(t) + S1(t) + . . . + Sn−1(t) n = Ms ( f (t + s)sin 2_(nβs/2) n sin2(βs/2) ) . D’autre part, σn(t) = n X ν=−n 1 −|ν| n aνeiνβt.

Définition 2.4.4. Le noyau de Fejér d’ordre n est la fonction K_n définit par Kn(βs) = sin2(nβs/2) n sin2_(βs/2) = n X ν=−n 1 −|ν| n e−iνβt.

Ce noyau a deux propriétés importantes qui résultent directement de sa définition.

Propriété 2.4.2. Pour tout β et pour tout s, on a

(i) Kn(βs) ≥ 0,

(ii) Ms{Kn(βs)} = 1.

Définition 2.4.5. Soit f ∈ AP et f (t) = X

n

aneiλnt sa série de Fourier associée. Soit

β1,β2, . . . ,βr, . . . une base rationnelle des exposants de Fourier de la série f (t). Soit ˜B un

en-semble de toutes les combinaisons linéaires des nombres rationnels β₁,β2, . . . ,βr, . . .. Soit aussi

(32)

définit par Km;β1,β2,...,βm(s) = K(m!)2 _β 1s m! · · · K_(m!)2 _β ms m! = X |ν1|≤(m!)2 .. . |νm|≤(m!)2 1 − |ν1| (m!)2 · · · 1 − |νm| (m!)2 × ei(ν1m!β1+···+ νm m!βm)t = X |ν1|≤(m!)2 .. . |νm|≤(m!)2 Km;ν1,...,νm× e i(ν1 m!β1+···+ νm m!βm)t. Posons λ = ν1 m!β1+ · · · + νm m!βm (2.17)

et puisque les nombres β1,β2, . . . sont linéairement indépendants, alors

λ = 0 ⇐⇒ ν1= ν2= · · · νm = 0.

Cependant, ce noyau vérifie la propriété (2.4.2) du noyau de Fejér. Entre autre, on a Ms{Km;β1,...,βm(s)} = 1.

Propriété 2.4.3. Les coefficients K_m;ν₁_,...,ν_m du noyau de Bochner-Fejér vérifient (i) 0 ≤ Km;ν1,...,νm ≤ 1,

(ii) Km;0,0,...,0 = 1,

(iii) Pour tout r,ν₁,ν2, . . . ,νr, on a Km;ν1,ν2...,νr;0,0,...,0−→ 1, lorsque m −→ ∞.

Définition 2.4.6. Soit f ∈ AP . Le polynôme trigonométrique de Bochner-Fejer de f

est la fonction Pm(t,f ) donnée par

Pm(t,f ) = Ms{f (t + s)Km;β1,...,βm(s)} = X |ν1|≤(m!)2 .. . |νm|≤(m!)2 Km;β1,...,βma(λ; f ) × e i(λβmt)_, _(2.18) où

a(λ; f ) = Mt{f (t)e−iλt}

et λ est comme en (2.17).

Nous pouvons dès à présent énoncer sous forme de théorème le résultat principal de cette section.

(33)

Théorème 2.4.4. Soit f ∈ AP , on a

lim

m−→∞Pm(t; f ) = f (t)

uniformément.

Démonstration. Considérons le polynôme trigonométrique fini QN(t) =

N

X

n=1

bneiλnt bn∈ R

tel que les exposants de Fourier λn∈ ˜B. Soit m0 et r0 choisis tels que pour tout n = 1,2, . . . ,N

on a λn= r0 X k=1 νk,n βk m0! et |ν_k,n| ≤ (m₀!)2.

Un tel choix est possible et pour m₀ ≥ max(m₀,r0), d’après la représentation en (2.18), on

obtient que Pm(t; QN) = X |ν1|≤(m!)2 .. . |νm|≤(m!)2 1 − |ν1| (m!)2 · · · 1 − |νm| (m!)2 × a _ν m!β1+ · · · + νr0 m0! βr0; QN ei ν1 m0!β1+···+ νr0 m0!βr0 t Clairement, on a lim m−→∞Pm(t; QN) = QN(t) (2.19)

uniformément. Maintenant, soit f (t) une fonction presque périodique arbitraire. Pour tout ε > 0, considérons le polynôme trigonométrique Qε(t; f ) dont les exposants de Fourier

appar-tiennent à l’ensemble ˜B et tel que sup

t∈R

|f (t) − Q_ε(t; f )| ≤ ε. (2.20)

D’après l’égalité (2.19), pour ε fixé, il existe M = M (ε) suffisamment large tel pour m ≥ M , on a

sup

t∈R

|Qε(t; f ) − Pm(t; Qε)| ≤ ε. (2.22)

Alors, pour tout t ∈ R et m ≥ M , il suit de (2.20), (2.21) et (2.22) que

|f (t) − P_m(t; f )| ≤ |f (t) − Q_ε(t; f )| + |Q_ε(t; f ) − P_m(t; Q_ε)| + |P_m(t; Q_ε) − P_m(t; f )| ≤ ε + ε + ε = 3ε.

(34)

2.5 Étude de la relation de Parseval pour des fonctions

presque périodiques

Soit Cn un espace complexe de Hilbert. Soit x,y les éléments de Cn ayant hx,yi =

n

X

i=1

xiy¯i

comme produit scalaire et

kxk = hx,xi1/2

la norme de x dans Cn. L’unique résultat de cette section est le théorème suivant. Se conférer à la page 31 du livre [4].

Théorème 2.5.1. Pour toute fonction f ∈ AP (R,Cn) telle que f (t) =X

n

aneiλnt.

Alors, la relation de Parseval tient. C’est-à-dire,

Mt{hf (t),f (t)i} =

∞

X

n=1

han,ani. (2.23)

Démonstration. Considérons les éléments arbitraire c1,c2, . . . ,cn de l’espace complexe de

Hil-bert H et les nombres réels arbitraires µ₁,µ2, . . . ,µn et considérons aussi la fonction

d = d(c1,c2, . . . ,cn) = Mt    f (t) − n X k=1 ckeiµkt 2   . (2.24)

Nous appelons √d la déviation de la somme S(t) =

n

X

k=1

ckeiµkt

à partir de la fonction presque périodique f . Cherchons min

ci∈C

(35)

similaire à (2.24), on a d = Mt (* f (t) − n X k=1 ckeiµkt,f (t) − n X l=1 ckeiµlt +) = Mt{hf (t),f (t)i − n X k=1 D ck,Mt n f (t)e−µktoE − n X k=1 D Mt n f (t)e−iµlto_,c l E + n X k=1 n X l=1 hc_k,cliMt n eiµkt_e−iµlto = M_t{hf (t),f (t)i − n X k=1 hc_k,a(µk; f )i − n X k=1 ha(µ_k; f ),c_ki + n X k=1 hc_k,cki + n X l=1 ha(µ_k; f ),a(µ_k; f )i − n X k=1 ha(µ_k; f ),a(µ_k; f )i = Mt{hf (t),f (t)i − n X k=1 ha(µ_k; f ),a(µ_k; f )i + n X k=1 hc_k− a(µ_k; f ),c_k− a(µ_k; f )i . (2.25)

D’après la dernière égalité (2.25), min d est obtenu si et seulement si ck= a(µk; f ) = Mf n f (t)e−iµnto_. C’est-à-dire, ck= ( 0 si µ 6= an:= coefficients de Fourier de f,

a(µk; f ) 6= 0 si ∃ n0 tel que µk= an0

Cette propriété est appelée la propriété minimale des coefficients de Fourier. Si on pose µk = λk et ck= a(λk; f ) = ak dans la relation (2.25), on obtient

d = Mt{hf (t),f (t)i} − n

X

k=1

kakk2. (2.26)

Puisque d ≥ 0, alors on obtient l’inégalité de Bessel suivant

n

X

k=1

kakk2 ≤ Mt{hf (t),f (t)i} .

Ici, n est arbitraire, alors on déduit en particulier la convergence de la somme

n

X

k=1

ka_kk2_{. Nous}

allons à présent montrer la relation de Parseval (2.23). Pour cela, prenons ε > 0 et considérons Pε(t) = nε X k=1 bkεe iλkt

un polynôme trigonométrique pour lequel (d’après le théorème d’approximation)

sup

t∈R

(36)

Il suit de (2.27) et de la propriété minimale des coefficients de Fourier que 0 ≤ d(a1,a2, . . . ,anε) ≤ d(b1ε,b2ε, . . . ,bnε)

= M_tn|f (t) − P_ε(t)|2o≤ ε2_. _(2.28)

En combinant (2.26) et (2.28), on obtient que 0 ≤ M_t{kf (t)k2_{} −}

n

X

k=1

ka_kk2 _{≤ ε}2_.

Et cependant, puisque ε était choisit de façon arbitraire, on a que la relation de Parseval (2.23) est prouvée.

(37)

Chapitre 3

Fonctions presque périodiques

holomorphes

3.1 Quelques théorèmes auxiliaires en théorie des fonctions

holomorphes

Définition 3.1.1. On dit qu’une fonction f est S-bornée dans une bande (a,b) s’il existe un

nombre fini K > 0 tel que

Z s+i

s

|f (t)|dt < K, sur tout point de la bande.

Théorème 3.1.1. Si une fonction f (s) est

(i) holomorphe dans la bande (a,b), (ii) S-bornée dans la même bande (a,b).

Alors, la fonction f (s) est bornée dans la bande ha,bi.

Démonstration. Considérons une bande quelconque (a₁,b1) tel que a < a1< b1< b et posons

δ = min a1− a, b − b1, 1 2 .

Soit s₀ = σ₀ + it₀ un point quelconque de la bande (a₁,b1) et C(s0,r) le cercle |s − δ0| = r.

Pour tout r ≤ δ, on a

2πr|f (s0)| ≤

Z

C(s0,r)

(38)

Une intégration de r = 0 à r = δ donne πδ2|f (s0)| ≤ Z δ 0 dr Z C(s0,r) |f (s)||ds| ≤ Z σ0+δ σ0−δ dσ Z σ+(t0+1₂)i σ+(t0−1₂)i |f (s)||ds| ≤ 2δK.

Ainsi, pour tout point s0 de la bande (a1,b1), on a

|f (s₀)| ≤ 2 πδK. Ce qui prouve le théorème.

Théorème 3.1.2. Si une suite de polynômes exponentiels

φk(s) = Nk

X

n=1

an,keλn,ks, (k ≥ 1), λn,k ∈ R

converge uniformément en tout point des droites σ = α et σ = β, alors elle converge unifor-mément dans la bande [α,β].

Démonstration. Soit ε > 0, il existe k0 > 0 tel que

|φ_k0(s) − φ_k00(s)| < ε (3.1) pour tout point des droites α et β si

k0 > k0, k00> k0.

Mais comme φ_k0(s) − φ_k00(s) est bornée dans la bande [α,β], on conclut par le théorème de Phragmen-Lindelof (A.0.12) que la relation (3.1) tient sur tout point de la bande. Ce qui prouve le théorème.

Théorème 3.1.3. (Doetsch) Si φ(s) est une fonction holomorphe bornée dans la bande

[σ₁,σ2] alors pour toute droite σ de cette bande, on a

L(σ) ≤ L(σ1) σ2−σ σ2−σ1_L(σ₂₎σ2−σ1σ−σ1 _, _(3.2) où L(σ) = sup s∈σ |φ(s)|. En d’autres mots, log L(σ) est une fonction convexe.