NOTE SUR LES PHÉNOMÈNES PÉRIODIQUES DANS LES CONDUITES FORCÉES À CARACTÉRISTIQUES MULTIPLES

(1)

Note sur les p h é n o m è n e s périodiques dans les conduites forcées à caractéristiques multiples

par Charles JAEGER, Ingénieur, Docteur ès-Sciences techniques

I N T R O D U C T I O N

U n nombre considérable de travaux ont paru, au cours des dernières années, sur le problème du coup de bélier. Des raisons sérieuses les justifient. Les m ê m e s difficultés techniques, rencontrées en divers pays, ont suscité, entre spécia- listes, une sorte d'émulation dans la recherche ; certains problèmes ont m ê m e été traités et résolus, presque simul- tanément el de façon analogue, par des auteurs travaillant indépendamment les uns des autres. Nous constatons avec plaisir que leurs résultats se recoupent.

Il est, en effet, u n point sur lequel nous insisterons : c'est l'unité et la concordance certaine des diverses méthodes de calcul employées. Récemment, deux auteurs connus (1) les ont mises en doute. Nous avons eu l'occasion, en leur répon- dant, (2), de démontrer, au contraire, l'unité delà méthode analytique, mise au point par les travaux d'Allievi, de Sparre, Camichel et les nôtres et de rappeler, en outre, la belle démonstration donnée par Bergeron, prouvant la par- faite concordance des méthodes graphiques Bergeron-

Schnyder et des méthodes analytiques (3).

La théorie du coup de bélier peut, en effet, être exposée en employant soit les méthodes graphiques, dont le germe est contenu dans l'exposé de Lcewy (4), soit au m o y e n d'une étude analytique, 'dont les principes avaient été posés par Allievi et de Sparre. Certains auteurs n'ont foi qu'en la m é - thode analytique (5), d'autres, au contraire, préconisent le seul emploi des méthodes graphiques (6). Il y a là, de part et d'autre, quelque excès. Les deux méthodes nous parais- sent également puissantes et souples ; les deux sont, de plus, également indispensables.

Voici, entre nombre, quelques preuves justifiant notre point de vue : Dans u n récent article (6), Bergeron étudiait, au m o y e n de sa méthode graphique, « la fermeture rapide d'un orifice sur une conduite munie d'une dérivation ». Or, dans u n article antérieur de quelques mois à celui de Berge- ron (7), nous avions résolu le même exemple particulier, à titre d'application de la théorie analytique complète des conduites jumelées. Dans le m ê m e article de Bergeron, nous trouvons quelques- cas de résonance de conduites simples

(1) C A L A M E E T GADEN. — Considérations sur, le coup de bélier, Bulletin, technique de la Suisse Romande, 14 sept, et 23 nov. 1935, 29 février 1936.

(2) Charles JAUGER. — Quelques remarques en marge de la théorie du coup de bélier, Bulletin technique de la Suisse Romande, 9 mai 1930.

(3) B E R G E R O N . — Revue générale de VHydrauUque, N° 1, janvier-fé- vrier 1935, pages 21 et 22, et N° 2, mars/avril 1935.

(4) LCEWY. — Druckschwankungen in Druckrohrleitungen, Vienne.

Springer 1928.

(5) ÀLIEVT. — Arresto di una colonna liquida in moto asoendente, L'Elettrotecnica, 25 octobre 1934, (voir : Osservazioni preliminari).

(6) B E R G E R O N . — Etude des coups de bélier dans les conduites ; nouvel exposé de la méthode graphique. La technique moderne, No s 2 et 3 (janvier-février 1936) (voir les « conclusions » de Bergeron).

(7) Charles JAEGER. — Noie, sur le coup de bélier dans les conduites jumelées ou parallèles. Revue générale de l'Hydraulique N ° 3, mai- juin 1935,

également étudiés par voie graphique. Qu'on nous per- mette de rappeler, sur ce m ê m e sujet, les fort belles recher- ches analytiques de Camichel, Eydoux et Gariel (9), bien

antérieures aux travaux de Bergeron ; ainsi que nos trois notes, que M . Fabry a eu l'obligeance de lire à l'Académie des Sciences au cours du printemps 1936 ; notes où nous abordions ces m ê m e s problèmes sous leur aspect le plus gé- néral (8)-

Il nous semble donc vain, sous prétexte de faire valoir l'une des méthodes, graphique ou analytique, de mésestimer l'autre. Ce qui importe, c'est le progrès de nos connaissan- ces c o m m u n e s dans le domaine qui fait l'objet de nos études.

Nous pensons donc qu'il y a quelque utilité à développer les notes u n peu sommaires que nous avons publiées, dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, sur les phéno- mènes de résonance et les phénomènes périodiques dans les conduites à caractéristiques multiples (8).

Après les travaux d'Allievi, de Camichel-Eydoux-Gariel et ceux d u Comte de Sparre, il paraîtra bien inutile de défi- nir les résonances dans les conduites forcées. Précisons, par contre, que nous entendons par phénomènes périodiques les oscillations de charge qui se produisent, à titre de nTiéno- m è n e secondaire, à la suite d'une m a n œ u v r e primaire d'ou- verture ou de fermeture. Les phénomènes périodiques sont donc extrêmement fréquents. E n outre, il y a u n e étroite parenté entre la résonance du fondamental dans une conduite quelconque et les mouvements périodiques. Il est donc tout à fait légitime de leur consacrer u n m ê m e et seul cha-

pitre. Si nous nous contentons d'aborder ici les seuls phénomènes périodiques, c'est afin de ne point allonger notre étude. Le lecteur pourra cependant se souvenir que notre travail n'est qu'une introduction à l'étude des réso- nances, ainsi qu'on peut le voir dans la seconde et troisième notes présentées à l'Académie.

I. — P H E N O M E N E S P E R I O D I Q U E S :

C A L C U L D E L A P É R I O D E A P P A R E N T E .

Les expériences classiques de Camichel, Eydoux et Ga- riel (9) ont mis en relief les faits suivants :

Lorsqu'on étudie une conduite à caractéristique variable (par ex. à diamètre variable), au m o y e n de la « méthode des dépressions brusques » de Camichel (10) — méthode qui con-

(8) Charles JAEGER. — Théorie du coup de bélier dans les conduites forcées à caractéristiques multiples : Phénomènes périodiques ; résonance du fondamental et des harmoniques ; répartition des surcharges de ré- sonance le long d"une conduite quelconque. Académie des Sciences, séances des 27 lévrier, 16 mars et 4 mai 1936. C. R. tome 202.

(9) CAMrcHEL-EïDoox-G.vniEL. — « Etude théorique et expérimentale des coups de bélier » Dunod 1919.

(10) CAMICHEL. — La Lumière Electrique, 9 et 16 sept. et7oct. 1916.

ainsi que C. R. Tome ICI, pages 343 et 412. Tome 163 pages 150, 224 et 438.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1936008

(2)

siste à provoquer au bas de la conduite une brusque ouver- ture des vannes, suivie immédiatement d'une fermeture non moins brusque — on enregistre une période d'oscillation de la conduite, qui est la s o m m e des périodes propres de chaque secteur de section constante de la conduite. Nous dirons, à la suite de Camichel, que cette période est la période d'oscillation théorique de la conduite.

Si, au contraire, nous envisageons u n mouvement, tel que le retour périodique du m a x i m u m de pression à la suite d'une fermeture lente de l'obturateur, on constate l'existen- ce d'une période différente de la précédente, — en général, plus courte — dite période apparente de la conduite.

Etudiant, par voie expérimentale, les phénomènes' de ré- sonance dans les conduites à caractéristique variable, Cami- chel a vérifié que les harmoniques impairs des conduites forcées ont, c o m m e période, une fraction entière de la pé- riode d'oscillation théorique de la conduite, alors que la pé- riode du fondamental d'une conduite à caractéristique variable — fondamental qu'il est toujours possible de provoquer dans une pareille conduite — est, au contraire, égale à la période d'oscillation apparente.

Camichel et de Sparre (11) avaient estimé la période apparente d'une oscillation périodique d'une conduite à carac- téristique variable, en calculant u n nombre de m a x i m a et de m i n i m a successifs suffisant pour qu'on puisse en déduire, avec une approximation satisfaisante, la période cherchée.

Plusieurs mesures expérimentales!, effectuées par Bou- cher (12), Neeser (13) et Camichel (14), ont vérifié les cal- culs de de Sparre et de Camichel. Ce procédé est évidem- ment, u n peu lent. Nous allons rechercher une «méthode de calcul directe que nous pourrons généraliser et qui fait mieux ressortir le mécanisme d u phénomène.

La période d'oscillation apparente, c o m m u n e à tous les mouvements périodiques intéressant la longueur totale de la conduite, semble être une caractéristique de cette derniè- re, qu'il importe de connaître.

Il est parfaitement légitime de supposer — c o m m e hypo- thèse de départ — que la courbe des surcharges à l'obtura- rateur est de forme sinusoïdale. L'observation d'un grand nombre de diagrammes de surcharges, pris au droit de l'obturateur de conduites à caractéristiques multiples, montre que, m ê m e dans les cas les plus complexes, les courbes pri- mitivement d'allure compliquée tendent à devenir sinusoï- dales. La courbe sinusoïdale est donc — • c'est un, fait d'observation — une solution possible d u problème. Foch a m ê m e pu démontrer que, dans le cas de petites oscillations dans une conduite munie d'un réservoir d'air, la forme sinusoï- dale est la seule possible (15). O n pourrait, certes, rechercher quelles sont les formes de courbes susceptibles d'engendrer u n m o u v e m e n t périodique stable dans des systèmes complexes. Mais, cette recherche sort du programme que nous nous s o m m e s tracé et qui tend à rechercher les lois élémen- taires des phénomènes périodiques et, plus particulièrement, la durée de la période apparente.

Rappelons les équations fondamentales du problème du coup de bélier :

(D (2)

+ F ( 0

V » vB — [F (0 g a

+ fit)

qui sont absolument générales, F et / étant des fonctions d'intégration quelconques.

Posons donc, à l'obturateur : (3)

2*

où m = — , © étant la période apparente cherchée.

e

y — y⁰ = A sin mt,

Supposons que, l'obturateur étant fermé à partir d u temps t = o, on ait constamment v = o, condition qui est effec- tivement réalisée au cours des mouvements périodiques que nous envisageons. O n en tire :

(11) Lettre de de Sparre citée par CAMICHEI,, E^noux, GARIEL.

(12) Conduite de Fuilly, CAMICHEI., E Y D O U X , GARIEL, p. 210-211.

(13) Conduite de l'Akersand, CAMICHEL, E Y D O U X , GARIEL, p. 211-212.

(14) Conduite de 1 1 . E. Toulouse, CAMICHEL, EYDOTJX, GARIEL, p. 2 1 9 .

(15) FOCH. — « Contribution à l'étude des coups de bélier dans les con- duites munies d'un réservoir d'air ». Toulouse, Ed. Privât 1920.

(4) g

a f^F (t) - f (t)] = o d'où (5) fit)

ce qui donne bien : y

— F (t) = — sin. mt

y„ = 2 F(f) = A sin. mi.

1) Cas d'une discontinuité de section (Voir fig. 1) A u point d e discontinuité A, o n doit avoir continuité de la pression, d'où :

yi = y2 et

y i - y i . = y² — y² «

les indices « 1 » et « 2 » se rapportant aux conduites « 1 » et « 2 », le second indice « o » se rapportant au régime nor- mal.

La continuité des masses est exprimée par : (6) St v1 = S2 v2,

S,, et Sa représentant les sections des deux tronçons aval et amont de la conduite.

Nous écrivons, en appliquant l'équation fondamentale (1) au point de bifurcation A, pour la conduite aval :

Yio = F a.

= F a + F [t + — 11 al

en tenant compte d u retard d u passage en A, o, de l'onde F et de l'avance de l'onde /.

Pour la conduite amont, on a, par contre : aj

par rapport à

y* — y2 0 = Gif) +' git) = G(f) — Gît 2 L, en admettant qu'il y a réflexion totale à l'extrémité a m o n t de la conduite et en désignant par G (f) et g (l) deux fonc- tions d'intégration d u m ê m e type que F (t) et / (f).

Egalons les deux valeurs de yt et y3 au point de disconti- nuité :

(3)

(7) F ( ï - ^ ) + F ( . + i V 6 « ) - G | (

2 U

posons : (8)

B

G (t) = —^c- cos (mi + <p), B et cp étant des constantes à déterminer.

Les équations (7) et (8) nous donnent A . / L,\ a

sin m I + — a,

R , , • B Vf 2 L* \ 1

= — cos (ml -I- cos mit - — J + <p_

(9)^:A «os m — »sin mt~ B sm m,—un \ ml + <t —²

«i «a

L

^{% J}

Pour que cette égalité soit satisfaite quel que soit t, il faut que :

(10) et :

A cos m- L

B sin m —

m a, 2

et : 2 T. L„

m a»

La période apparente du fondamental, dans une conduite de section constante, est égale à la période théorique 4 ~ de celte conduite.

o) Las ou

Ur.

Nous désignons par L ^ L, f L2 la longueur totale et par dm une célérité moyenne satisfaisant à la relation po- sée plus haut. La formule (12 a) devient :

m L, m L,

fg ——- = p.'œ i g . d'QÙ .

co^gr m ^{i l =}^{. /}¹ _ ° x / «. t

v ~ ~ T L : v x e t :

ou ; (10 a)

m t = m t + ? — m

? = m

9 _ .

Ecrivons que la vitesse t)t est donnée par 9

vl = vi

a. _{î L}

F ( * - h ) —Fit a. a 9 r

o ai L

9 r A . / L,

— sin m r •

2 \ a4

A

s m m j / -f

z V a

— A sin m — cos m L

«, a, (11) t)v = «

D e m ê m e , en tenant compte de (8) :

(11a) •tu = u, o + —- B cos m — c o s m t.

Introduisons v^: et v-^A dans l'équation de continuité (6) ; on trouve :

St L, S. L.

— A sin m, •—- cos m t. = — B cos m — cos m t

0l OJ «» «2

L, L.

Divisons par A cos m — = B sin m — il vient :

r a, a»

(12) — la m

rt fi

S, L²

cota m —

a, w a,

Posons :

Sx as 1

«I «2 (12 a)

• ; on trouve :

L, L3

ta m — = y-' cotg m —

y a, a.

équation dont, on peut tirer m , puis &, période apparente du m o u v e m e n t périodique.

O n vérifiera que cette relation ne dépend -que de la forme de la conduite, de ses sections, longueurs et de son élasticité.

Il est utile de comparer cette formule (12 a) avec la for- mule (11) de Fooh, page 64 de son étude.

2) Cas particuliers

a) ht ~ o (conduite à caractéristique unique)

O n a : cotg m — = o ; d'où :

(13; e

cota — \ / — arc

Rappelons ici une formule que nous avons démontrée ailleurs (16) :

(14) E / g

s = P ~ô~ i a 1

formule dans laquelle <r est la tension dans l'acier de la

«s conduite, et. qui nous permet de calculer le rapport-—en

% fonction de la pression d'eau au point de bifurcation A et à l'obturateur O et des constantes connues E, g et s.

Pour fixer les idées, nous admettons, en utilisant la formule (14) : a3 = 1000 m/sec. et a2 = 820 m/sec, ce qui

L, L, est une solution admissible pour le cas

D \ 820 O n a : 1/!*' « x -r T^r = 0.82

D2!

D² 1000 D²

a,

Posons : m £ = g, d'où 9 : I L . ^ - x . _ Nous pouvons dresser le tableau suivant :

Pour ~

0 :

4 L

1,2

1,18

47^38' 1,056

1,104 1 0,7 0,5

1,0 0,82 0,491 0,205

1,0 0,905 0,635 0,4525 50^ 53» 18' 64» 73*

1 0,94 0,782 0,685 0,3 0,074

0,2718 83s 0,602

(16) Gharies JAKGER. — « La Houille Blanche )> mars-avril 1934, for- mule (16), p. 37.

(4)

4L et représenter graphiquement la variation du rapport 0 : —

(lia en fonction du rapport variable -j^-(fig. 2).

D2

a»

0,00 ni.; L2

1,074 ;-^L

1

2,278,0 m.;

2",124 2

0,5 1,074

2 0,594

0,63 x 1,255 Posons 0 = 13*75, on a, alors :

2 ~ h = 2- x 0,136 = 54» 50 ; ig m —

0 a^{t a} a,

1,153

OS 0,7 I 1,104 '.2 -3.

Fig. 2 3) Cas général . exemples :

Nous avons trouvé, dans l'ouvrage de Camichel-Eydoux- Gariel [11], mention de quelques rares mesures de périodes apparentes, qui nous permettent de contrôler notre formule (12 a).

a) Conduite du Laboratoire de Toulouse (17) :

La conduite de Toulouse se composait de deux sections

« 1 » et « 2 », dont voici les diamètres et longueurs : Dj. = 0,40 m.; L^x = 105,85 m.;

a1 = 1,350 ; — = 0",078 ai

D, = 0,80m.; L2 = 201,6 m.;

a, = 1,300; — = Û",155

O n en tire : 1

ix' 2-

0,4 x 1,300

= 0,24

Soit 0 m

0,8 x 1,356

= 2* x 0,1545 = 61» 8 0 ; colg m — = 0,698 L'équation (12 a) se trouve satisfaite pour 0 = 13" ,75.

La concordance entre notre formule et les mesures effec- tuées il y a une vingtaine d'années nous paraît entièrement satisfaisante. Il en est de m ê m e pour les usines de Pau,

Gauterets et Eget (19).

Pour la conduite d'Akersand, qui présente plusieurs dis- continuités, la concordance est u n peu moins bonne. Nous avons trouvé © = 4",4, alors que Neeser mesurait 0=4",63.

4) Cas d'une bifurcation.

Le cas de bifurcation se traite de façon analogue à celui d'une variation de section. Considérons les conduites 1,

2 et 3, bifurquant en A ; l'obturateur se trouvant en O, à la base de 1.

Désignons, c o m m e pré- cédemment, par F (t) et.

11 / (0 et par G (t) et g (f),

3 les fonctions d'intégra- tion de l'équation fondamentale pour les conduites 1 et 2. Désignons par H (t) et h (t) ces m ê m e s fonctions: pour la conduite 3. O n a, alors, nom seulement :

a alors :

2 * L, 2* x 0,078

& ai' 0,71

2* U 2* x 0,155

F u -

mais aussi

i l + F (t + = G (0 — G[ t 2 L v

«2

0 tu

=-- 2- x 0,1099 = 445 e t t g m —¹= 0 , 8 2 7 2?c x 0,218 = 87» 30 et

0,71 d'où

colg m = 0,2025

&2

A cos m — sin m t

« i

il f —

L,

3 3L/g

a3

valeurs qui vérifient la formule (12^a) .

Camichel avait mesuré © = 0",69 pour la période apparente de la conduite. La période théorique était estimée à 0 = 0 " , 92:

b) Conduite de Fully (18) :

O n peut définir la conduite de Fully, c o m m e suit : Dx = 0,50 m.; U = 2.347,5 m.;

cx = 1,255 ; ~ = 1",872

B sin m — cos l m t + q>, — m — L,

= C sin m — cos (, m t + <p3

a$

m

«s d'où l'on tire :

A cos m — = B s m m — = C sin m — •

« i a2 a3

O n a, d'autre part :

Sx v \ = Sj V i, + S,. 9 . . L,

— A swi m — cos m t

a, ax

(17) GAMIODEL-EYDOtJX-GABnSL, p. 210.

(18) CAMICHEL-EYDOUX-GAIUEL, p. 219 et 376. (19) CAMICHEI,, E Y D O U X , GABIET,, p. 241-142.

(5)

ÉLECTRICITÉ

Notes de Métrologie Industrielle

L e contrôle économique de la Production dans les Usines interconnectées

M É T H O D E S ET DISPOSITIFS

par M . D U G I T , Ingénieur I. E. G.

G J S N E E ALITES

Suivant leurs disponibilités, les Usines 'interconnectées doivent fournir au Réseau qu'elles alimentent des contin- gents d'énergie journaliers, généralement différents, d'après des conventions et des consignes préalablement concertées.

Le service de la Répartition du Réseau désigne les Usines qui doivent concourir à la livraison du courant et fixe l'im- portance de leurs interventions respectives. Il appartient aux Chefs d'Exploitation des Stations Génératrices! de mettre judicieusement en service et en charge les groupes géné- rateurs pour assurer, dans les conditions les plus écono- miques, la fourniture requise.

Sous usti certain aspect, que cette note précisera, et d'un point de vue essentiellement pratique, l'une quelconque des stations génératrices est, au Réseau qu'elle alimente, ce

qu'un générateur quelconque est, individuellement, à l'Usine m ê m e sur les barres de laquelle il débite.

Or, pour assurer; sur u n réseau de distribution, la fourniture d'une puissance déterminée, il est une infinité de manières de répartir la charge entre les groupes générateur D E S Usines jintereonnectées. A chaque répartition corres- pond une valeur bien déterminée du rendement du système.

Mais il est une répartition et une seule pour laquelle ce rendement est m a x i m u m : répartition optima de^ la puis-

sance totale entre les Usines interconnectées, répartition optima de la charge de chaque Usine entre les divers groupes générateurs qui l'équipent.

La détermination et le contrôle des conditions de répar- tition optima peuvent être pratiquement réalisés par une méthodes et des dispositifs simples. Exposer le principe de l'une et des autres, tel est le but de la communication que vodei.

L'intérêt de la question est absolument général. Vaine- ment, objecterait-on le cas d'unités identiques de m ê m e s caractéristiques, de m ê m e provenance etc.. Considérations purement idéales, car pratiquement, les groupes et les Usi- nes interconnectées, accuseront toujours des différences sen-

sibles. L'expérience révélera, généralement, dans leurs conditions de fonctionnement respectives, des particularités suf- fisantes pour justifier u n contrôle systématique de la ré- partition des charges et d u rendement

L e Problème Générai

de ia Répartition des Charges et d u R e n d e m e n t dans les

Systèmes générateurs complexes couplés en parallèle

Considérons R ensembles de générateurs :

G\> Gh, G1, , , G\ G\, G\, G\.. G*^s, , G\, G\,

G\, G%, - GN 3, G\ G'

G\, G -A, G '8 J G\ G \r

couplés respectivement sur les barres omnibus de r stations génératrices.

S U SA, S3, Sn Sr

interconnectées pour l'alimentation d'un .réseau de distribution d'énergie électrique.

S J - s j JL a il o ï-2 i ⁰^{n l r o u}v e : o² v s — >32 v². + o² — B cos m — cos m i

r (15) • — la m — — cola m — -F — cotg m — S3 v'a = S3 v .3 + Sa - G cos m — cos m l ; d'où : «> °* «» "3 «* «»

S . . L, S² „ L² S,„ L^{3 o u}'^eⁿ P °^{s a n t :} "T s ~ = t*^{e t} " T ^ T = ^ A sin m — - = — B cos m — + , — C cos m — °2 b l a a b l

'h a² «³ a³ L L L

. . L, T., L, (1 5 a) *Sf'"ï — = p.'cotg m — + y." cota m ~

Divisons par : A cos m — = B sin m — = G sin m _^ai « 2^a «a

C Î L "= « 3 T A «ufwej